Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda I

Kongruencje

Definicja

Niech m ∈ N+oraz a, b ∈ Z.

Mówimy, żea przystaje do b modulo m(i piszemy a ≡ b (mod m) lub a ≡mb), jeśli m | a − b.

Równoważnie, a ≡ b (mod m) wtedy tylko wtedy, gdy a mod m = b mod m.

Przykłady

−1 ≡ 11 (mod 4).

3 6≡ 5 (mod 4).

Własności

Kongruencja jest relacją równoważności.

Jeśli a ≡ b (mod m) oraz c ≡ d (mod m), to

a ± c ≡ b ± d (mod m) oraz a · c ≡ b · d (mod m).

Rozwiązywanie kongruencji

Problem

Dla danych liczb m ∈ N oraz a, b ∈ Z znaleźć wszystkie liczby x ∈ Z takie, że a · x ≡ b (mod m).

Metoda

1 Wykorzystując rozszerzony algorytm Euklidesa, znajdujemy liczby d ∈ N oraz k, l ∈ Z takie, że

d = NWD(m, a) i d = k · m + l · a.

2 Jeśli d - b, to kończymy rozwiązanie.

Odpowiedzią jest: x ∈ ∅.

3 Jeśli d | b, to „zastępujemy” (o ile d 6= 1) kongruencję a · x ≡ b (mod m) kongruencją a⁰· x ≡ b⁰ (mod m⁰), gdzie

a⁰:=^a_d, b⁰:=_d^b, m⁰:=^m_d.

4 Mnożąc kongruencję a⁰· x ≡ b⁰ (mod m⁰) stronami przez l , otrzymujemy kongruencję x ≡ l · b⁰ (mod m⁰).

5 Jeśli r := (l · b⁰) mod m⁰, to odpowiedzią jest: x ≡ r (mod m⁰).

Rozwiązywanie kongruencji – przykład

Zadanie

Znaleźć wszystkie liczby x ∈ Z takie, że 8x ≡ 12 (mod 22).

Rozwiązanie

1 Stosujemy rozszerzony algorytm Euklidesa dla 22 i 8:

a b r q k l

1 0

22 8 6 2 0 1

8 6 2 1 1 -2

6 2 0 3 -1 3

2 0

3 Ponieważ 2 | 12, więc musimy rozwiązać kongruencję 4x ≡ 6 (mod 11).

4 Mnożąc powyższą kongruencję stronami przez 3, otrzymujemy kongruencję x ≡ 18 (mod 11).

Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda I

Problem

Dla danych liczb a₁, b₁, . . . , a_k, b_k∈ Z oraz m1, . . . , m_k∈ N takich, że NWD(mi, m_j) = 1 dla i 6= j , znaleźć wszystkie liczby x ∈ Z takie, że ai· x ≡ b_i (mod m_i), dla każdego i = 1, . . . , k.

Metoda I

1 Niech n := m₁· · · mkoraz

n1:= m2· · · mk, n2:= m1· m3· · · mk, . . . , nk:= m1· · · mk−1.

2 Zastępujemy kongruencje

a₁· x ≡ b1 (mod m₁), a₂· x ≡ b2 (mod m₂), . . . , a_k· x ≡ bk (mod m_k), kongurencjami

n₁a₁·x ≡ n1b₁ (mod n), n₂a₂·x ≡ n2b₂ (mod n), . . . , n_ka_k·x ≡ nkb_k (mod n).

Dodając stronami powyższe kongruencje, otrzymujemy kongruencję

(n₁a₁+ n₂a₂+ · · · + n_ka_k) · x ≡ n₁b₁+ n₂b₂+ · · · + n_kb_k (mod n).

3 Rozwiązując powyższą kongruencję, znajdujemy odpowiedź.

Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda I, przykład

Zadanie

Znaleźć wszystkie liczby x ∈ Z takie, że

x ≡ 3 (mod 5), 2x ≡ 4 (mod 6), 3x ≡ 1 (mod 7).

Rozwiązanie

1 Mamy n = 5 · 6 · 7 = 210 oraz

n₁:= 6 · 7 = 42, n₂:= 5 · 7 := 35, n₃:= 5 · 6 = 30.

2 Mnożąc współczynniki wyjściowych kongruencji przez 42, 35 i 30, odpowiednio, otrzymujemy 42x ≡ 126 (mod 210), 70x ≡ 140 (mod 210), 90x ≡ 30 (mod 210).

Dodając powyższe kongruencje stronami, dostajemy kongruencję 202x ≡ 296 (mod 210).

3 Rozwiązanie kongruencji

202x ≡ 296 (mod 210), ma postać

x ≡ 68 (mod 105).

Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda II

Założenie

Zakładamy, że k = 2, tj. chcemy rozwiązać układ

a₁· x ≡ b1 (mod m₁), a₂· x ≡ b1 (mod m₂).

W przypadku, gdy k > 2, możemy iterować stosowanie powyższej metody.

Metoda II

1 Rozwiązujemy kongruencje a₁· x ≡ b1 (mod m₁), a₂· x ≡ b1 (mod m₂), a więc zastępujemy je kongruencjami

x ≡ b₁⁰ (mod m⁰₁), x ≡ b⁰₂ (mod m⁰₂).

2 Stosując rozszerzony algorytm Euklidesa dla pary (m⁰₁, m⁰₂), znajdujemy liczby l₁i l₂takie, że 1 = l1· m⁰₁+ l2· m⁰₂.

3 Jeśli r := (l2m₂⁰b⁰₁+ l1m1b₂⁰) mod(m⁰₁m₂⁰), to rozwiązanie ma postać x ≡ r (mod m⁰₁m⁰₂).

Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda II, przykład

Zadanie

Znaleźć wszystkie liczby x ∈ Z takie, że

x ≡ 3 (mod 5), 2x ≡ 4 (mod 6), 3x ≡ 1 (mod 7).

Rozwiązanie Krok I

1 Rozwiązując kongruencje x ≡ 3 (mod 5), 2x ≡ 4 (mod 6) otrzymujemy kongruencje x ≡ 3 (mod 5) i x ≡ 2 (mod 3).

2 Stosując rozszerzony algorytm Euklidesa dla liczb 5 i 3, otrzymujemy 1 = (−1) · 5 + 2 · 3.

3 Ponieważ (3 · 2 · 3 + 2 · (−1) · 5) mod(5 · 3) = 8, więc w Kroku I otrzymujemy rozwiązanie x ≡ 8 (mod 15).

Krok II

1 Rozwiązując kongruencje x ≡ 8 (mod 15), 3x ≡ 1 (mod 7) otrzymujemy kongruencje x ≡ 8 (mod 15) i x ≡ 5 (mod 7).

2 Stosując rozszerzony algorytm Euklidesa dla liczb 15 i 7, otrzymujemy 1 = 1 · 15 + (−2) · 7.

Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda III

Uwaga

Poniższa metoda jest modyfikacją Metody II i może być stosowana w jej zastępstwie, gdy k > 2.

Metoda III

1 Rozwiązujemy kongruencje

a₁· x ≡ b₁ (mod m₁), a₂· x ≡ b₂ (mod m₂), . . . a_k· x ≡ b_k (mod m_k), a więc zastępujemy je kongruencjami

x1≡ b⁰₁ (mod m⁰₁), x2≡ b⁰₂ (mod m₂⁰), . . . x_k≡ b⁰_k (mod m⁰_k).

2 Niech n := m⁰₁· · · m_k⁰oraz

n1:= m⁰₂· · · m⁰_k, n2:= m⁰₁· m⁰₃· · · m⁰_k, . . . nk:= m₁⁰· · · m⁰_k−1.

3 Dla każdego i = 1, . . . , k, stosujemy rozszerzony algorytm Euklidesa dla pary (ni, m⁰_i) i znajdujemy liczby p_ii q_itakie, że

1 = pi· ni+ qi· m⁰_i.

4 Jeśli r := (p₁n₁b⁰₁+ p₂n₂b₂⁰+ · · · + p_kn_kb⁰_k) mod n, to rozwiązanie ma postać x ≡ r (mod n).

Rozwiązywanie układów kongruencji - Metoda III, przykład

Zadanie

Znaleźć wszystkie liczby x ∈ Z takie, że

x ≡ 3 (mod 5), 2x ≡ 4 (mod 6), 3x ≡ 1 (mod 7).

Rozwiązanie

1 Rozwiązując kongruencje x ≡ 3 (mod 5), 2x ≡ 4 (mod 6), 3x ≡ 1 (mod 7), otrzymujemy kongruencje

x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 5 (mod 7).

2 Mamy n = 5 · 3 · 7 = 105 oraz

n1:= 3 · 7 = 21, n2:= 5 · 7 := 35, n3:= 5 · 3 = 15.

3 Stosując rozszerzony algorytm Euklidesa dla par (21, 5), (35, 6) i (15, 7), otrzymujemy 1 = 1 · 21 + (−4) · 5, 1 = (−1) · 35 + 12 · 3, 1 = 1 · 15 + (−2) · 7.

odpowiednio.

4 Ponieważ

(3 · 1 · 21 + 2 · (−1) · 35 + 5 · 1 · 15) mod 105 = 68, więc odpowiedzią jest: x ≡ 68 (mod 105).