Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

1 Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów.

Wyznaczanie zer wielomianów.

Plan wykładu:

1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami

a) połowienia (bisekcji) b)Regula Falsi

c) siecznych d) Newtona

2. Wyznaczanie zer wielokrotnych

a) modyfikacja metod przy znajomości krotności pierwiastka

b)modyfikacja metod siecznych i Newtona dla przypadku ogólnego c) Proces ² Aitkena

3. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych

4. Wyznaczanie zer rzeczywistych i zespolonych wielomianów a) metoda Lehmera-Schura

b) metoda Łobaczewskiego c) dzielenie wielomianów

d) metoda iterowanego dzielenia

Równanie nieliniowe z jedną niewiadomą Poszukujemy zera rzeczywistego ciągłej

funkcji f(x), czyli szukamy rozwiązania równania:

f (x) = 0 , x 2 fx

; x

; : : : ; x

g; x 2 R

3 Uwagi:

1) Nie istnieją wzory pozwalające obliczyć dokładnie pierwiastki równania – trzeba używać schematów iteracyjnych. Często w obliczeniach inżynierskich nie jest znana postać równania nieliniowego.

2) Rozwiązanie problemu uzyskane metodą iteracyjną będzie przybliżone

(z zadaną dokładnością)

3) Jak w każdej metodzie iteracyjnej, o tym jak szybko znajdziemy zadowalające

przybliżenie pierwiastka zależeć będzie od samej metody, od przybliżenia założonego na starcie oraz od postaci funkcyjnej

równania.

Metoda połowienia (bisekcji)

Rozwiązania szukamy w przedziale, w którym znajduje się miejsce zerowe funkcji, w tzw.

przedziale izolacji pierwiastka (wewnątrz tego przedziału pierwsza pochodna funkcji nie zmienia znaku). Przedział wyznacza się na podstawie wykresu funkcji lub w przypadku wielomianów algebraicznych – analitycznie.

Założenia:

1)w przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek

2)Na końcach przedziału wartosci funkcji mają różne znaki tj.

Algorytm

1.Dzielimy przdział izolacji na pół

2.Sprawdzamy czy spełniony jest warunek

jeśli tak to mamy rozwiązanie, jeśli nie to przechodzimy do kolejnego puntu

3.z dwóch przedziałów [a,x₁] oraz [x₁,b]

wybieramy ten, w którym wartości funkcji na krańcach przedziałów mają różne znaki

4.Powtarzamy kroki 1-3, co powduje że długości kolejnych przedziałów maleją

f (a) ¢ f(b) < 0

x

= b + a 2 f (x

) = 0

f (x

) ¢ f(x

) < 0

jx

¡ x

j = 1

2

(b ¡ a)

Lewe krańce przedziałów tworzą ciąg niemalejący ograniczony z góry. Natomiast prawe tworzą ciąg nie rosnący ograniczony z dołu. Istnieje ich wspólna granica w punkcie . Punkt ten jest poszukiwanym rozwiązaniem równania nieliniowego.

Przykład. Znaleźć w przedziale [1,2] metodą połowienia pierwiastek równania

Wewnątrz przedziału wartość pierwszej pochodnej funkcji jest dodatnia (nie zmienia znaku) – więc jest to przedział izolacji pierwiastka.

x

+ x

¡ 3x ¡ 3 = 0 f (x) = x

+ x

¡ 3x ¡ 3

f (1) = ¡4 f (2) = 3

f (a) ¢ f(b) = f (1)f(2) = ¡12 < 0

x f(x)

1.0 -4

2.0 3

1.5 -1.874

1.75 0.17187

1.625 -0.94335

1.6875 -0.40942

1.71875 -0.12487

1.73437 0.02198

... ...

1.73205 0.0000000

Wyniki kolejnych przybliżeń rozwiązania

Wadą metody wolna zbieżność w otoczeniu punktu stanowiącego rozwiązanie. Zaletą jest natomiast niezawodność metody.

5 Wzór iteracyjny.

Jeżeli g(y) stanowi funkcję odwrotną do f(x) to dla zbioru punktów

funkcję g(y) można przybliżyć (aproksymować) wielomianem Lagrange'a

Oznaczmy

Jeśli x=a jest rozwiązaniem (pierwiastkiem) to wówczas y=0

(x_i+1-j – to wcześniej wyznaczone przybliżenia) gdzie wielomian l_j ma postać

Wzór na x_i+1 określa metodę iteracyjną rozwiązywania równania nieliniowego.

fy

; y

; : : : ; y

g

g(y) ¼ X

l

(y)g(y

) x

= g(y

)

x

= X

l

(0)x

Wzór ten można zapisać w bardziej ogólnej postaci

który jest n-punktowym wzorem iteracyjnym.

Szczególnym przypadkiem są metody jednopunktowe wykorzystujące do

znalezienia przybliżenia w i+1 iteracji przy znajomości przybliżenia wyznaczonego w i- tym kroku

Zbieżność metody iteracyjnej Ciąg przybliżeń jest zbieżny gdy

Błąd rozwiązania w i-tej iteracji

W punkcie x=a metoda jest rzędu p, jeśli istnieje liczba rzeczywista

x

= F (x

; x

; : : : ; x

)

x

= F (x

)

"

= a ¡ x

i

lim

x

= a

p ¸ 1 l

= (y ¡ y

) : : : (y ¡ y

)(y ¡ y

) : : : (y ¡ y

)

(y

¡ y

) : : : (y

¡ y

)(y

¡ y

) : : : (y

¡ y

)

i

lim

jx

¡ aj

jx

¡ aj

= lim

i!1

j"

j

j"

j

= C 6= 0

dla której zachodzi

Liczbę C nazywamy stałą asymptotyczną błędu

Metoda Regula Falsi

W metodzie tej wykorzystuje się założenie istnienia lokalnej liniowości funkcji (fałszywe, stąd nazwa). Zakładamy ponadto:

1) w przedziale [a,b] funkcja ma tylko jeden pierwiastek pojedynczy

2) f(a)f(b)<0

3) funkcja jest klasy C²

4) pierwsza i druga pochodna nie zmieniają znaku w przedziale [a,b]

Rys. Idea metody Regula Falsi dla funkcji wypukłej

j"

j = Cj"

j

j"j < 1 ) j"

j << j"

j

7 Sposób postępowania:

1.przez punkty A i B prowadzimy prostą o równaniu:

2.punkt x₁ w którym prosta przecina oś 0x przyjmuje się za pierwsze przybliżenie szukanego pierwiastka równania:

3.sprawdzamy warunek, czy: f(x₁)=0, jeśli tak to przerywamy oblicznia

4.jeśli to sprawdzamy na końcach którego przedziału ([A,x₁], [x₁,B]) wartości funkcji mają różne znaki – przez te punkty prowadzimy kolejną prostą powtarzając kroki 1-4

Jeśli w przedziale [A,B]

a) f⁽¹⁾(x)>0 oraz f⁽²⁾(x)>0 to B jest punktem stacjonarnym (prawy brzeg ustalony) b) f⁽¹⁾(x)>0 oraz f⁽²⁾(x)<0 to A jest punktem

stacjonarnym

Metoda generuje ciąg przybliżeń. Elementy ciągu można wyznaczyć rekurencyjnie

y ¡ f(a) = f (b) ¡ f(a)

b ¡ a (x ¡ a)

x

= a ¡ f (a)

f (b) ¡ f(a) (b ¡ a)

f (x₁) 6= 0

x

= x

¡ f (x

)

f (b) ¡ f(x

) (b ¡ x

) k = 1; 2; 3; : : : x

= a

Błąd przybliżenia szacujemy korzystając z tw.

Lagrange'a o przyrostach:

gdzie:

Ponieważ

więc dostajemy oszacowanie

gdzie

m -oznacza kres dolny pierwszej pochodnej Błąd bezwzględny można oszacować znając wartości dwóch kolejnych przybliżeń x_k i x_k+1. Przekształcając wzór rekurencyjny otrzymujemy:

I dodajemy z lewej strony wyraz

f (®) = 0

m = inf

x2[a;b]

jf

(x) j

¡f(x

) = f (x

) ¡ f(b)

x

¡ b (x

¡ x

)

f (®) = 0

f (®) ¡ f(x

) = f (x

) ¡ f (b)

x

¡ b (x

¡ x

) f (x

) ¡ f(®) = f

(c)(x

¡ ®)

c 2 [x

; ®]

jx

¡ ®j · jf(x

) j

m

8 Po zastosowaniu tw. Lagrange'a otrzymujemy:

Następnie przekształcamy do postaci

Dla

gdzie:

kres dolny

kres górny

oszacowanie błędu bezwględnego ma postać

»

2 (x

; ®) x ¹

2 (x

; b) (® ¡ x

)f

(»

) = (x

¡ x

)f

(¹ x

)

j® ¡ x

j = jf

(¹ x

) ¡ f

(»

) j

jf

(»

) j jx

¡ x

j

jf

(x

) ¡ f

(»

) j · M ¡ m m = inf

x2[a;b]

jf

(x) j M = sup

x2[a;b]

jf

(x) j

j® ¡ x

j · M ¡ m

m jx

¡ x

j

Nie znamy wartości m i M. W niewielkim otoczeniu pierwiastka można pochodną można zastąpić

ilorazem różnicowym:

Metoda Regula Falsi jest zbieżna do dowolnej funkcji ciągłej w przedziale [a,b] jeśli wartość pierwszej pochodnej jest ograniczona i różna od zera w

otoczeniu pierwiastka. Obliczenia przerywa się jeśli dwa kolejne przybliżenia różnią się o mniej niż

założone . Wadą jest wolna zbieżność ciągu przybliżeń – rząd metody p=1.

j® ¡ x

j »

¯ ¯

¯ ¯ f (x

) f

(x

)

¯ ¯

¯ ¯

»

¯ ¯

¯ ¯ x

¡ x

f (x

) ¡ f (x

)

¯ ¯

¯ ¯jf(x

) j

9 Metoda siecznych

Jest modyfikacją metody Regula Falsi. Prostą przeprowadza się przez dwa ostatnie

przybliżenia x_k i x_k-1 (metoda dwupunktowa).

Kolejne przybliżenia w metodzie siecznych wyznacza się według relacji rekurencyjnej:

Zbieżność metody jest znacznie szybsza niż w metodzie RF. Rząd metody

Należy dodatkowo przyjąć, że |f(x_k)| mają tworzyć ciąg wartości malejących. Jeśli w kolejnej iteracji |f(x_k)|zaczyna rosnąć, należy przerwać obliczenia i ponownie wyznaczyć punkty startowe zawężając przedział izolacji.

Przykład. szukamy dodatniego pierwiastka równania

p = 1

2 (1 + p

5) ¼ 1:618 x

= x

¡ f (x

)(x

¡ x

)

f (x

) ¡ f(x

)

f (x) = sin(x) ¡ 1 2 x

Regula Falsi Metoda siecznych

x₃ 1.75960 1.75960

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

= ¼=2 x

= ¼

Metoda Newtona (metoda stycznych)

Algorytm:

1) z końca przedziału [a,b] w którym funkcja ma ten sam znak co druga pochodna należy

poprowadzić styczną do wykresu funkcji y=f(x) 2) styczna przecina oś 0X w punkcie x₁ który

stanowi pierwsze przybliżenie rozwiązania 3) sprawdzamy czy f(x₁)=0, jeśli nie to z tego

punktu prowadzimy kolejną styczną

4) druga styczna przecina oś 0X w punkcie x₂ ktróry stanowi drugie przybliżenie

5) kroki 3-4 powtarzamy iteracyjne aż spełniony będzie warunek

Równanie stycznej poprowadzonej z punktu B:

i dla y=0, otrzymujemy pierwsze przybliżenie:

y ¡ f(b) = f

(b)(x ¡ b)

x

= b ¡ f (b)

f

(b)

jx

¡ x

j · "

11 Korzystamy z rozwinięcia Taylora:

Gdzie

Wiemy że f()=0 , więc po przekształceniu wzoru Taylora otrzymujemy

Korzystając ze wzoru na pierwsze przybliżenie, możemy oszacować odległość nowego przybliżenia od dokładnego rozwiązania:

czyli punkt x₁ leży na prawo od pierwiastka Natomiast z tw. Lagrange'a wynika że

czyli punkt x₁ leży po lewej stronie punktu B.

Powyższe warunki pokazują, że kolejne iteracje przybliżają nas do rozwiązania dokładnego

f (®) = f (b) + f

(b)(® ¡ b) + 1

2 f

(c)(® ¡ b)

c 2 [®; b]

® = b ¡ f (b)

f

(b) ¡ 1 2

f

(c)

f

(b) (® ¡ b)

® ¡ x

= ¡ 1 2

f

(c)

f

(b) (® ¡ b)

< 0

x

¡ b = ¡ f (b)

f

(b) < 0 x

2 [®; b]

Równanie stycznej w k-tym przybliżeniu

Równanie rekurencyjne na położenie k-tego

przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego w metodzie Newtona jest następujące

Metoda Newtona jest więc metodą jednopunktową.

Oszacowanie błędu przybliżenia w metodzie Newtona

Rząd zbieżności metody wynosi p=2.

y ¡ f(x

) = f

(x

)(x ¡ x

)

x

= x

¡ f (x

)

f

(x

) (k = 1; 2; : : :)

"

= ¡ f

(»)

2f

(x

) "

Przykład. Zastosować metodę Newtona do znalezienia pierwiastka kwadratowego dodatniej liczby c

Szukamy miejsca zerowego funkcji

Wykorzystujemy relację rekurencyjną

co poprzekształceniu daje

Rozwiązania szukamy w takim przedziale [a,b], w którym spełnione są warunki

x

¡ c = 0

f (x) = x

¡ c f

(x) = 2x

x

= x

¡ x

¡ c 2x

0 < a < c

b > 1

2 (a + c=a) x

= 1

2 µ

x

+ c x

¶

Poszukiwanie pierwiastków wielokrotnych równania nieliniowego

def. Liczbę  nazywamy r-krotnym (r≥ 2 ) pierwiastkiem równania f(x)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest (r-1) -krotnym pierwiastkiem równania:

Metody: połowienia, RF, siecznych nadają się do poszukiwania pierwiastków tylko o nieparzystej krotności. Rząd metody siecznych obniża się (wolniejsza zbieżność). Metoda Newtona pozwala znaleźć pierwiastki o parzystej i nieparzystej krotności.

Aby utrzymać rząd metody (przyśpieszyć zbieżność) stosuje się modyfikacje wzorów rekurencyjnych.

a) Znamy krotność r pierwiastka równania.

Wówczas możemy wykorzystać tę informację w metodzie Newtona

(w praktyce bardzo rzadko znamy wartość r przez co zastosowanie powyższego wzoru jest mocno

ograniczone)

f

(x) = 0

x

= x

¡ r f (x

)

f

(x

)

13

a ¡ x

= a ¡ x

+ r f (x

) f

(x

) (a ¡ x

)f

(x

) = G(x

)

Obliczmy różnicę pomiędzy rozwiązaniem dokładnym a k+1 przybliżeniem

Gdzie

Różniczkujemy G(x) j-krotnie

Wykorzystujemy fakt że a jest pierwiastkiem r- krotnym

Z rozwinięcia Taylora w punkcie x=a dostajemy

oraz

G(x) = (a ¡ x)f

(x) + rf (x)

G

(x) = (a ¡ x)f

(x) ¡ jf

(x) + rf

(x)

G

(a) = 0 (j = 0; 1; : : : ; r) G

(a) 6= 0

G(x) = (x ¡ a)

(r + 1)! G

(»

) f

(x) = (x ¡ a)

(r ¡ 1)! f

(»

)

Kombinacja dwóch ostatnich zależności prowadzi do związku pomiędzy błędami w k i w k+1 iteracji

Ponieważ

Więc metoda Newtona dla pierwiastka krotności r ma rząd zbieżności p=2.

f

(»

) 6= 0 G

(a) 6= 0

"

= 1 r(r + 1)

G

(»

) f

(»

) "

j"

j

j"

j

· C

"

= (a ¡ x

) = G(x

)

f

(x

)

x

= x

¡ u(x

) x

¡ x

u(x

) ¡ u(x

)

x

= x

¡ u(x

) u

(x

)

u

(x

) = 1 ¡ f

(x

)

f

(x

) u(x

) u(x) = f (x)

f

(x)

b) Jeśli wiemy że pierwiastek jest wielokrotny ale nie znamy jego krotności r wówczas

możemy badać zera funkcji

Funkcja u(x) ma zero krotności 1 w punkcie x=a. We wzorach iteracyjnych dokonujmey podstawienia u(x) za f(x)

a) w metodzie siecznych

b) w metodzie Newtona

gdzie:

Przykład. Wyznaczyć dodatni pierwiastek równania

µ

sin(x) ¡ 1 2 x

¶

= 0

m. Newtona m. Newtona - r m. Newtona - u(x)

x2 1.78540 2.00000 1.80175

x3 1.84456 1.90100 1.88963

x4 1.87083 1.89551 1.89547

x5 1.88335 1.89549 1.89549

x6 1.88946 x7 1.89249 x8 1.89399 x9 1.89475 x10 1.89512 x11 1.89531 x12 1.89540 x13 1.89545 x14 1.89547 x15 1.89548 x16 1.89549

x

= 1

2

15 Proces ² Aitkena

Jeśli metoda jest zbieżna liniowo to można ją w prosty sposób przyśpieszyć

gdzie |C_i| dąży do stałej asymptotycznej błędu. Po wielu iteracjach powinniśmy otrzymać przybliżenie

Zwiększamy indeks i o 1 i eliminujemy stałą

Następnie obliczamy a

Procedurę tę można stosować jedynie dla metod zbieżnych liniowo, gdy kolejne 3 przybliżenia są bliskie poszukiwanemu rozwiązaniu.

a ¡ x

= C

(a ¡ x

) ( jC

j < 1)

a ¡ x

¼ ¹ C(a ¡ x

); j ¹ C j = C

a ¡ x

a ¡ x

¼ a ¡ x

a ¡ x

a ¼ x

x

¡ x

x

¡ 2x

+ x

16 Układy równań nieliniowych

Układ równań nieliniowych

zapisujemy w postaci wektorowej

Dla takiej postaci układu wyprowadza się wzory iteracyjne. Ogólny wzór iteracyjny

(wielokrokowy)

Zakladamy że funkcja wektorowa f ma w otoczeniu rozwiązania

funkcję odwrotną

Jeśli punkt

jest odwrotny do punktu x (wektora

f

(x

; x

; : : : ; x

) = 0; (j = 1; 2; : : : ; n)

To można funkcję g(y) rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu y_i

Gdzie: jest pochodną cząstkową funkcji h względem zmiennych

w punkcie x wektor s:

x

; x

; : : : ; x

fff (x x x) = 0

fff = (f

; f

; : : : ; f

)

x x x = (x

; x

; ; : : : ; x

; )

F F F = (F

; F

; : : : ; F

)

®

® ® = (®

; ®

; : : : ; ®

) ggg = (g

; g

; : : : ; g

)

yyy = (y

; y

; : : : ; y

; )

x x x = ggg(yyy) = ggg(yyy

) +

m+1

X

j=1

1

j! d

ggg(yyy

; yyy ¡ yyy

)

+ 1

(m + 2)! d

ggg(»»»; yyy ¡ yyy

)

»»» 2 [yyy; yyy

] d

h(x x x; sss) =

X

X

: : : X

D

h(x x x)s

s

: : : s

D

h(x x x)

sss = (s

; s

; : : : ; s

)

x x x

= F F F (x x x

; x x x

; : : : ; x x x

)

17 Szukane rozwiązanie ma postać

Po odrzuceniu reszty w rozwinięciu Taylora i

uwzględnieniu powyższego warunku otrzymujemy n-wymiarowy odpowiednik metody Newtona.

Dla m=0 (metoda jednokrokowa)

Pochodne funkcji g można wyrazic poprzez pochodne funkcji f. Dla n=2 otrzymujemy

Rząd zbieżności metody wynosi 2. Zazwyczaj zbieżność uzyskujemy tylko jeśli startujemy już z dobrym przybliżeniem rozwązania.

® ® ® = ggg(000) ) yyy = 000

Problem poszukiwania rozwiązań układu równań nieliniowych można sformułować jako problem poszukiwania minimum poniższej fukcji

Funkcja osiąga minimum globalne dla dokładnego rozwiązania x. Do jego znalezienia można użyć metody największego spadku (minimalizacja wartości funkcji).

©(x x x) = X

i=1

f

(x x x)

J = 2 4

@f1

@x⁽¹⁾

@f1

@x⁽²⁾

@f2

@x⁽¹⁾

@f2

@x⁽²⁾

3 5 x x x

= x x x

+ dggg(yyy

; ¡yyy

) =

= x x x

¡ X

@ggg(yyy

)

@y

y

x

x x

= x x x

¡ 1 J

2 4

@f2

@x⁽²⁾

¡

¡

3 5

2 4 f

f

3 5

x x x=xxx_i

Wyznaczanie zer wielomianów

Szukamy zer rzeczywistych i zespolonych wielomianu

Metoda Lehmera-Schura

Dla pierwotnego wielomianu f(z) definiujemy wielomian

(kreska pozioma – sprzężenie zespolone) i wprowadzamy operator T

dla z=0

f (z) = a

z

+ a

z

+ : : : + a

= 0 z 2 C

a

2 R; (i = 0; 1; : : : ; n)

f

(z) = z

f (¹ ¹ z

) = ¹ a

+ ¹ a

z + : : : + ¹ a

z

T [f (z)] = ¹ a

f (z) ¡ a

f

(z)

T [f (0)] = ¹ a

a

¡ ¹a

a

= ja

j

¡ ja

j

2 R

Operator T działając na f(z) obniża stopień

wielomianu o 1. Działając nim wielokrotnie na f(z)

otrzymamy ciąg wielomianów corza niższego stopnia.

Tw. Jeśli dla

istnieje takie h, że

to f(z) ma co najmniej jedno zero wewnątrz koła jednostkowego.

Jeśli

to wewnątrz koła jednostkowego nie leży żadne zero f(z).

T

[f (z)] = T £

T

[f (z)] ¤

f (0) 6= 0

T

[f (0)] < 0

0 < h < k; h; k 2 Z

k = min f1; 2; : : : ; ng $ T

[f (0)] = 0

T

[f (0)] > 0; 1 · i < k

T

[f (z)] = const

19

T [f (0)] < 0

T

[f (z)](j = 1; 2; : : :) T

[f (0)] < 0 (j < k)

T

[f (0)] = 0

Jeśli f(z) ma zero wewnątrz koła

to wielomian

ma zero wewnątrz koła jednostkowego.

Algorytm lokalizacji zer metodą LS:

1.Jeśli f(0)=0 to z=0 jest zerem. Jeśli nie to przechodzimy do 2.

2.Obliczamy T[f(z)]. Jeśli

to wewnątrz koła jednostkowego leży

pierwiastek. Jeśli nie to przechodzimy do 3.

3.Obliczamy

aż do uzyskania

(w kole jednostkowym leży pierwiastek) lub

(jeśli T^k-1[f(0)]=const to w kole nie ma pierwiastka)

jz ¡ cj = ½

4. Jeśli wewnątrz koła jednostkowego nie ma zera to sprawdzamy funkcję g(2z) (wewnątrz koła jednostkowego)

5. Zgodnie z punktami 3 i 4 lokalizujemy zero w pierścieniu

(jeśli zero jest w kole to połowimy jego promień tak długo aż zero znajdzie się w pierścieniu).

6. Znaleziony pierścień można pokryć 8 kołami

badając każde koło znajdziemy na pewno zero w jednym z nich.

7. W wybranym kole (C_j) stosujemy kroki 3-4 (stosując połowienie promienia) i

lokalizujemy zero w pierścieniu

8. Następnie powtarzamy kroki 6-7

R = 2

· jzj < 2

= 2R

r = 4

5 R (promien) C

= 3R

2cos(¼=8) e

; k = 0; 1; : : : ; 7

R

= 4

5 R2

· jz ¡ C

j < 4

5 R2

= 2R

g(z) = f

µ z ¡ c

½

¶

Rys. Lokalizacja zer w metodzie Lehmera-Schura.

Inne zero leżące blisko pierwotnego koła

21 Po k krokach zero leży w kole o promieniu 2R_k

Własności metody Lehmera-Schura:

1) Szybkość zbieżności metody jest niewielka ale nie zależy od krotności pierwiastka równania

2) Pozwala lokalizować zera rzeczywiste i zespolone z zadaną dokładnością

3) Po znalezieniu pierwiastka można go wyrugować z równania dzieląc wielomian przez odpowiedni dwumian i szukać jego kolejne zera

R

· µ 2

5

¶

R

Metoda Łobaczewskiego (Graeffego) Dla wielomianu n-tego stopnia w postaci

można zdefiniować wielomian stopnia 2n

Zera wielomianu f₁ są kwadratami zer f₀

(rozdzielamy zera). Ogólnie można to zapisać

Pomiędzy współczynnikami wielomianów f_r+1 oraz f_r zachodzi związek

W metodzie Łobaczewskiego współczynniki

wielomianu f_r wykorzystujemy do obliczenia jego zer.

f

(z) = (z ¡ ®

)(z ¡ ®

) : : : (z ¡ ®

)

f

(w) = ( ¡1)

f

(z)f

( ¡z) =

= (w ¡ ®

)(w ¡ ®

) : : : (w ¡ ®

) w = z

f

(w) = ( ¡1)

f

(z)f

( ¡z); (r = 0; 1; : : :)

a

= ( ¡1)

0

@ ³

a

´

+ 2

minfn¡j;jg

X

k=1

( ¡1)

a

a

1

A

22 Związek współczynników wielomianu z jego

zerami:

gdzie S_k(x₁,x₂,...,x_n) jest k-tą funkcją symetryczną zmiennych x₁,x₂,...,x_n

np.: dla j=n-1, k=n-j=1

Zera wielomianu możemy zapisać w postaci

i załóżmy, że pierwiastki mają różne moduły

Wówczas dla j=n-1 otrzymujemy

a

= ( ¡1)

S

(®

; ®

; : : : ; ®

; ) j = 0; 1; : : : ; n ¡ 1

S

(x

; x

; : : : ; x

) =

= X

1·r1<r2<:::<rk·n

x

x

: : : x

a

= ¡S

³

®

; ®

; : : : ; ®

´

= ¡ X

®

®

= ½

e

; k = 1; 2; : : : ; n

½

> ½

> : : : ½

>

a

= ¡®

"

1 +

X

µ

®

®

¶

#

I w granicy

Dla dostatecznie dużego r możemy oszacować moduł zera (₁)

Dla j=n-2 mamy

i analogicznie dla pozostałych modułów r

lim

ja

j

= j®

j

½

¼ ja

j

a

= X

1·r¹<r2·n

®

®

=

= ®

®

2

6 41 + X

1·r1<r2·n (r1;r2)6=(1;2)

µ ®

®

®

®

¶

3 7 5

½

¼ 1

½

ja

j

¼

¯ ¯

¯ ¯

¯

a

a

¯ ¯

¯ ¯

¯

1=2^r

½

¼

¯ ¯

¯ ¯

¯

a

a

¯ ¯

¯ ¯

¯

1=2^r

; k = 2; 3; : : : ; n

23 Wartość r określa się empirycznie badając

stabilizację cyfr znaczących wyznaczanych modułów.

Znaki zer wyznacza się określają znak wartości wielomianu po podstawieniu do niego

odpowiedniego modułu.

Przykład. Wyznaczyć zera wielomianu

z

¡ 5z

¡ 17z + 21 = 0

r

1 1 -59 499 -441

2 1 -2483 196963 -194481

3 1 -5771363 37828630723 -37822859361

a

a

a

a

r

1 7.68 2.91 0.94

2 7.06 2.98 0.997

3 7.001 2.999 0.99998

½

½

½

Dokładne wartości:

®

= 7

®

= ¡3

®

= 1

a) Metodę modyfikuje się dla zer zespolonych oraz przypadku gdy pierwiastki równania mają identyczne moduły.

b) Szybki wzrost wartości współczynników eliminuje się normalizując współczynniki.

Do wyznaczania zer wielomianów stosuje się też metody Bernoulliego oraz Laguerre'a.

Metoda Laguerre'a jest zbieżna dla zer

rzeczywistych i wielokrotnych, a rząd zbieżności wynosi 2. W przypadku pojedynczych zer

zespolonych rząd metody wynosi 3.

Metody dzielenia wielomianów

Aby wyznaczyć zera zespolone konieczne jest przeprowadzenie dzielenia wielomianów

a) przez czynniki liniowe (dwumian) b) przez czynniki kwadratowe (trójmian) Dzielenie wielomianu przez czynnik liniowy Wielomian

dzielimy przez dwumian:

f (z) = a

z

+ a

z

+ : : : + a

= 0

(z ¡ z

)

Wynikiem dzielenia jest

Z porównania współczynników przy jednakowych potęgach otrzymujemy zależności

Zatem współczynnki nowego wielomianu można obliczać rekurencyjnie

a

= b

a

= b

¡ z

b

.. .

a

= b

¡ z

b

a

= R

¡ z

b

b

= 0

b

= a

+ z

b

k = n ¡ 1; n ¡ 2; : : : ; 0 R

= a

+ z

b

Dzieląc jeszcze raz wielomian otrzymamy

Wartości współczynników c_i wyznaczamy analogicznie jak w poprzednim przypadku.

Obliczanie zer za pomocą iterowanego dzielenia

Zera wielomianu możemy wyznaczyć

iteracyjnie stosując zmodyfikowane wzory jednokrokowe np.. metodę siecznych czy Newtona.

Kolejne przybliżenia w metodzie siecznych wyznaczamy ze wzoru

oraz w metodzie Newtona

z

= z

¡ R

(z

¡ z

) R

¡ R

z

= z

¡ R

R

f (z) = (z ¡ z

) ¡

b

z

+ b

z

+ : : : + b

) + R

f (z) = (z ¡ z

)

¡

c

z

+ c

z

+ : : : + c

) + R

(z ¡ z

) + R

25 Metodę Newtona można jeszcze zmodyfikować

jeśli zauważymy, że R_j=0 gdy z_j jest pierwiastkiem równania. Wtedy kolejne przybliżenie ma postać

Wzór

określa metodę Lina, która jest wolniej

zbieżna od metody Newtona (rząd zbieżności p=1). W jednym kroku wymaga ona wykonania mniej działań niż metoda Newtona. Może być tez rozbieżna.

Chcąc wyznaczyć pierwiastek zespolony należy wykonywać działana na liczbach zespolonych.

Ponadto pierwotne przybliżenie pierwiastka powinno być zespolone.

Postępowanie w przypadku zer zespolonych

z

= ¡ a

b

= z

¡ z

¡ a

b

=

= z

¡ b

z

+ a

b

= z

¡ R

b

z

= z

¡ R

b

z

= x

+ iy

b

= °

+ i±

c

= "

+ i´

°

= ±

= 0

°

= a

+ x

°

¡ y

±

; (k = n ¡ 1; n ¡ 2; : : : ; 0)

±

= "

= ´

= 0

±

= x

±

+ y

°

;

(k = n ¡ 2; n ¡ 3; : : : ; 0)

"

= °

+ x

"

¡ y

´

´

= 0

´

= ±

+ x

´

+ y

"

; (k = n ¡ 3; n ¡ 4; : : : ; 0) R

= b

= °

+ i±

R

= c

= "

+ i´

x

= x

¡ "

°

+ ´

±

"

+ ´

y

= y

¡ ±

"

¡ °

´

"

+ ´

26 Wpływ błędów współczynników

wielomianu podczas wyznaczania zer wielomianów.

Dokładny wielomian (współczynniki bez błędów)

oraz wielomian ze współczynnikami zaburzonymi

błędy współczynników

Z₀ (dokładne zero) i z₀ (obliczone zero) łączy zależność

Po podstawieniu _i oraz Z₀ do F(z) otrzymujemy

Oszacowanie traci sens gdy pochodna jest

F (z) = A

z

+ A

z

+ : : : + A

Z

= z

+ "

±

= A

¡ a

(i = 0; 1; : : : ; n)

Okazuje się, że istnieją wielomiany (wysokiego stopnia) dla których nawet niewielkie zaburzenie współczynników powoduje duże zmiany wartości zer (np.. zera rzeczywiste staja się zespolonymi).

Przykład: wielomian Wilkinsona.

Wielomiany takie nazywamy źle uwarunkowanymi.

Uzyskanie dokładniejszych przybliżeń zer wielomianu mozliwe jest wówczas tylko jeśli obliczenia

wykonywane przy użyciu silniejszej arytmetyki.

f (z) = a

z

+ a

z

+ : : : + a

X

±

z

+ "f

(z

) ¼ 0

" =

¯ ¯P

±

z

¯

¯

jf

(z

) j