Over de grondslagen van de operatoren-rekening volgens Heaviside

r

OVER DE GRONDSLAGEN VAN

DE OPERATOREN REKENING

VOLGENS HEAVISIDE

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP

AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL TE

DELFT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR

MAGNIFICUS. IR. J. A. GRUTTERINK,

HOOG-LEERAAR IN DE AFDEELING DER

MIJN-BOUWKUNDE, VOOR EEN COMMISSIE UIT

DEN SENAAT TE VERDEDIGEN OP

WOENS-DAG 15 FEBRUARI 1933. DES NAMIDWOENS-DAGS

TE VIER UUR, DOOR

JACOBUS PIETER SCHOUTEN,

GEBOREN T E S-GRAVENHAGE.

GEDRUKT BIJ DE N.V. TECHNISCHE BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ ). WALTMAN JR

DELFT

f-é • « K h .

r

AAN MIJN VROUW.

V O O R W O O R D .

Nu mijn proefschrift is voltooid en ik de ontwikkelingsgang van mijn wetenschappelijke vorming overpeins, gaan mijn gedachten in de eerste plaats uit naar Dr. v. Lummel, die in mijn H. B. S. tijd bij mij de liefde voor de wis- en natuurkunde heeft opgewekt. Het inzicht, dat hij mij heeft bijgebracht is mij, bij mijn verdere studie, een vaste steun geweest.

Hooggeachte Promotor, Prof. Elias!

Uw tot eigen onderzoek aansporende colleges en de inzichten, die U mij heeft gegeven, zijn voor mij onvergetelijk. Dankbaar gedenk ik de moeite, die Gij U hebt willen getroosten bij het tot stand komen van dit proefschrift.

Hooggeachte Promotor, Prof. Bremekamp!

Het is mij een vreugde, U hier te kunnen bedanken voor alle tijd en moeite, welke Gij U hebt gegeven, vooral tijdens de correctie van mijn werk en het geduld, dat U daarbij heeft gehad. Indien mijn werk thans op mathematische strengheid kan bogen, dan is dit in de eerste plaats te danken aan Uw leiding en aanwijzingen. Gij, Prof. Feldmann, hebt mij ingewijd in de theorie en de practijk van de electrische machines. Dat ik deze lessen van U, een pionier in ons mooie vak, heb mogen ontvangen beschouw ik als een groot voorrecht. Hartelijk dank ik U voor de steun, die ik, ook in mijn praktijkjaren, van U heb mogen ontvangen.

Hooggeachte Prof. Schouten!

Uw lessen zijn onvergetelijk. Uw groot enthousiasme voor de wetenschap is mij een lichtend voorbeeld geworden. U heeft mij het eerst doen kennis maken met het werk van Heaviside.

Gaarne breng ik hier verder een woord van dank aan het Hooge-schoolfonds, zonder welks steun het niet mogelijk geweest zou zijn dit proefschrift tot stand te brengen.

Het stemt mij tot vreugde, dat Gij, mijn Ouders, die altijd met zoo groote belangstelling mijn ontwikkeling hebt gevolgd getuigen kunt zijn van het tot stand komen van dit proefschrift.

F

#•

I N H O U D .

Biz. Literatuurlijst . i 11 —12

Inleiding 13 Hoofdstuk I. De methode van Bromwich 17—^40

§ 1. Inleiding 17 § 2. Behandeling van een gewone lineaire

differen-tiaalvergelijking van de n' orde 17

§ 3. Het expansietheorema 25 § 4. Simultaan stelsel van lineaire

differentiaalverge-lijkingen 27 § 5. Operator vergelijkingen 30

§ 6. Partieele differentiaalvergelijkingen . . . 31

§ 7. Verandering van de integratieweg 35 § 8. Beschouwing van het geval, dat de storingsfunctie

een willekeurige functie van de tijd is . . . . 40

Hoofdstuk II. Operatorvergelijkingen 42—71

§ 1. Inleiding 42 § 2. Hoofdstelling van de Operatorenrekening . . . 44

§ 3. Het integraaltheorema van Fourier en de

samen-hang van de methoden van Bromwich en Carson 52 § 4. Het theorema van Borel . 59 § 5. Speciale gevallen van het theorema van Borel. . 61

§ 6. Algemeene impulsfuncties 62 § 7. Het theorema van Borel in verband met het

ge-val, dat de in een systeem optredende kracht een

10

Biz.

Hoofdstuk III. De theorie van Levy 72—91 § 1. Definitie en eigenschappen van het "produit de

composition" 72 § 2. Het operatorprobleem 83

§ 3. Verband tusschen de theorie van Levy en

Brom-wich 88 § 4. Een bijzonder type integraalvergelijkingen, welke

met het theorema van Borel te behandelen zijn . 91 Hoofdstuk IV. De methode van v. d. Pol . . . . 92 Hoofdstuk V. Algemeene theorie der asymptotische c

reeksontwikkelingen volgens Heaviside . . . . 9§—121

§ 1. Inleiding 95 § 2. Algemeene beschouwingen betreffende de

stam-functies, welke tot divergente oplossingen

aan-leiding kunnen geven 97 § 3. Verandering van de integratieweg en algemeene

theorie van de divergente oplossingen . . . . 98

§ 4. Voorbeelden en toepassingen 107 § 5. Nadere beschouwing van het geval, dat op een

snede in het complexe vlak nog andere singuliere punten liggen, zooals polen en andere

vertak-kingspunten 113 Hoofdstuk VI. Toepassing van de

L I T E R A T U U R L I J S T .

1. Legons sur les séries divergentes par Emile Borel. Gauthier-Villars 1901.

2. T. J. I. A. Bromwich. "Normal Coordinates in Dynamical Systems". Proc. London. Math. S o c , series 2, vol. 15, p.p. 401 — 448, 1916.

3. K. W . W a g n e r . "Über eine Formel von Heaviside zur Berechnung von Einschaltvorgange". Archiv für Elektrotechnik. Vol. 4, p. 159, 1916.

4. "Electric circuit theory and the operational Calculus" by J. R. Carson.

Mc. Graw Hill Book Cy., 1926.

5. The Practical Application of the Fourier Integral, by G. A. Campbell. Bell System Techn. Journ. 1928, vol. 7, p. 639.

6. Paul Levy. Le calcul symbolique d'Heavisde, Gauthier Vil-lars, Paris 1926. Ook gepubliceerd in Bulletin des Sciences Mathe-matiques.

7. a. Balth. van der Pol. "A Simple Proof and Extension of Heaviside's Operational Calculus for invariable Systems.

Philosophical Mag. Vol. VII. June 1929, pag. 1153.

b. On the operational Solution of Linear Differential Equations and an Investigation of the Properties of these Solutions.

Phil. Mag. S. 7, vol. 8, No. 53 Suppl. Dec. 1929, pag. 861. 8. "Operational Methods in Mathematical Physics", by Harold Jeffreys.

Cambridge University Press. 1927.

9. B. V. d. Pol and K. F. Niessen, On Simutaneous Operational Calculus. [Application to Electric Circuit T h e o r y ] .

Phil. Mag. Febr. '31, Series 7, vol. 11, p.p. 368—376.

10. Casper. "Die Operatorenrechnung". Archiv für Elektro-technik. Bd. XVI, p. 267, 367. 1924.

12

11. Bell Telephone System. Monograph B 584.

Fourier Integrals for Practical Applications. By George A. Camp-bell and Ronald M. Foster. Sept. 1931.

12. Whittaker and Watson. Modern Analysis. Sec. ed. pag. 239.

13. W . E. Sumpner. "Impulse functions ". Phil. Mag. (7), 11, 345—368 (Feb. 1931).

14. The Solution of Differential Equations by a method similar to Heaniside's by J. J. Smith. Journ. Franklin Inst. Vol. 195, p. 815. 15. On Heaviside's Operational Solution of a Volterra's Inte-gral Equation when its Nucleus is a Function of {x — $). Appli-cation to Electr. circuit Theory. Phil. Mag. Febr. '31, 7, Vol. 11, p.p. 432—441.

16. Bell System Techn. Journal 1930, pag. 152 e.v. 17. Bieberbach. Lehrbuch der Funktionentheorie I.

18. Funktionentafeln mit Formeln und Kurven. E. Jahnke— F. Eemde.

19. Electromagnetic Theory by Oliver Heaviside. Vol. I, II, III, (herdruk van 1922).

20. M. Wiener. "The Operational Calculus ". Mathematische Annalen Bd. 95, H 4, p. 557.

I N L E I D I N G .

Over de operatorenrekening van Heaviside zijn de laatste jaren zooveel onderzoekingen gepubliceerd, dat het noodig schijnt het verschijnen van nog een studie hierover te rechtvaardigen.

In zijn „Electromagnetic Theory" gebruikt Heaviside verschil-lende operatieve methoden voor het bestudeeren van overgangs-verschijnselen in electrische systemen. Een belangrijke plaats nemen daarbij in de methoden, waarmee Heaviside de oplossing van een probleem in de vorm van reeksen, hetzij convergente hetzij diver-gente, wist te verkrijgen. Het merkwaardige daarbij was, dat de reeksen, die Heaviside als oplossing vond, vrijwel altijd conver-geerden, wanneer de reeks een machtreeks was, met positieve machten van de onafhankelijk veranderlijke en heel vaak divergent waren, wanneer de reeks slechts negatieve, geheele of gebroken machten van de onafhankelijk veranderlijke bevatte. Deze diver-gentie was echter nooit zoodanig, dat de gevonden reeksen onbruikbaar waren, integendeel, het waren steeds z.g. asymp-totische reeksen L ' * .

Deze rekenmethoden zijn voor de op wetenschappelijk terrein werkende ingenieur van het grootste belang en ook de physicus kan er met vrucht gebruik van maken.

Wanneer men nu van de verschillende onderzoekingen kennis neemt dan blijkt, dat juist deze reeksontwikkelingen stiefmoederlijk zijn bedeeld en dat nog verschillende moeilijkheden bestaan, welke overwonnen dienen te worden, om deze rekenmethode weten-schappelijk gefundeerd te kunnen noemen. In de volgende blad-zijden is getracht een weg aan te geven, waarlangs naar de meening van schrijver het gestelde doel te bereiken is. De gevolgde weg heeft tevens het voordeel, dat zij in staat stelt, de verschil-lende tot dusver bekend geworden bewijsmethoden vanuit één gezichtspunt te overzien en hun onderlinge samenhang vast te stellen.

De belangrijkste onderzoekingen op dit gebied zijn verricht door Bromwich, L^) Wagner, L^) Carson, L'') Campbell, L^ Levy, L**) v. d. Pol, U) Jeffries L»).

14

Zoover mij bekend hebben alleen Carson, Campbell, Levy en Jeffries zich met de reeksontwikkelingmethode van Heaviside bezig gehouden.

Geen der onderzoekers is echter gekomen tot een algemeene theorie, waarmede alle moeilijkheden kunnen worden opgehelderd. Bij de bestudeering van dit interessante gebied is het schrijver gebleken, dat, uitgaande van de ideeën van Bromwich en W a g n e r en met behulp van de functietheorie een algemeene theorie kan worden opgesteld waarmede de rekenregels van Heaviside kunnen worden bewezen en uitgebreid.

Het zal blijken, dat speciaal de rekenregels, met behulp waarvan Heaviside de oplossingen van zijn problemen verkreeg in de vorm van reeksen (convergente of divergente), niet algemeen genoeg zijn geformuleerd door de verschillende onderzoekers.

Alvorens hier nader op in te gaan, zal in de volgende hoofd-stukken een korte beschouwing worden gegeven van de belang-rijkste methoden, waarmede men getracht heeft de rekenregels van Heaviside te bewijzen.

De te behandelen stof is als volgt ingedeeld.

In het eerste hoofdstuk vindt een bespreking plaats van de door Bromwich gegeven methode. Deze methode stelt ons in staat om, met behulp van contourintegratie en de residuen methode uit de functietheorie, een oplossing te geven van die problemen, welke aanleiding geven tot lineaire differentiaalverge-lijkingen. Met behulp van de zoo verkregen resultaten kan dan het z.g. „Expansietheorema" van Heaviside worden bewezen.

Verder zij hier nog gewezen op de publicatie en de ideeën van Wagner, die met die van Bromwich groote overeenkomst vertoonen.

Het tweede hoofdstuk is gewijd aan de operatorvergelijkingen, voor de behandeling waarvan verschillende theorema's worden vermeld en besproken.

V a n groot belang zijn de z.g. impulsfuncties, met behulp waar-van het integraaltheorema waar-van Fourier wordt afgeleid. Het aan-gegeven theorema is niet het theorema van Fourier zelf, doch is er zeer nauw mee verwant. Door dit integraaltheorcma wordt het verband gelegd tusschen de methode van Bromwich en W a g n e r eenerzijds en die van Carson anderzijds. Verder wordt ook het

15

theorema van Borel behandeld, dat van buitengewoon groote beteekenis is.

De door Levy gevolgde methode wordt in het derde hoofdstuk behandeld.

Levy maakt gebruik van het z.g. „produit de composition"^ ingevoerd door Volterra. Met behulp van het theorema van Borel wordt aangetoond, dat ook deze theorie nauwe samenhang ver-toont met die van Bromwich en Wagner.

In het vierde hoofdstuk volgt een overzicht van de opvattingen en bewijzen van B. v. d. Pol.

Het vijfde hoofdstuk behandelt de asymptotische reeksontwik-keling. Een algemeene regel voor het behandelen van operator-vergelijkingen wordt gegeven. Aan de hand van voorbeelden wordt toegelicht, dat de tot dusver bekende uitzonderingen, waar-voor de regels van Heaviside niet opgingen, slechts schijnbaar waren en geen moeilijkheden opleveren bij de meer algemeene formuleering.

In het zesde en laatste hoofdstuk wordt een toepassing op een speciaal probleem gegeven.

Het probleem van Heaviside kan in 't algemeen als volgt worden geformuleerd.

Kunnen de in een systeem optredende verschijnselen door lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten worden beschreven en treedt in zoo'n systeem plotseling een uitwendige kracht op, welke verder een constante waarde behoudt en bestudeert men het verloop van een of meer van de tijd afhankelijke coördinaten of grootheden, die het systeem mede beschrijven, dan is hiervan de oplossing op te schrijven op de volgende wijze.

Heeft de plotseling optredende kracht de waarde K, dan zoekt men eerst een oplossing der differentiaalvergelijkingen, overeen-komende met een verloop van de kracht:

Ke^' (1)

waarin z een willekeurig complex getal voorstelt. W e zoeken een oplossing van de gedaante:

16

Een dergelijke oplossing is steeds te vinden. De functie <p(z) is de zoogenaamde stamfunctie.

i'^ Het werkelijk verloop van de gezochte grootheid x bij de /^ sprong K wordt dan gevonden u i t :

^ = 4 ^ + / r ^ - ^ , (3)

waarin a, de wortels zijn van 95 (z), welke enkelvoudig worden verondersteld te zijn. Ook het geval, dat de wortels meervoudig zijn, is betrekkelijk eenvoudig te behandelen (L^).

Uitdrukking (3) stelt het beroemde „Expansietheorema" van Heaviside voor. Dit theorema is op vele manieren bewezen, zij het niet door Heaviside zelf.

Uit (2) is echter het werkelijk verloop van x nog op andere

^ wijze te verkrijgen.

« 1

/ Daartoe ontwikkelt men de functie —7-r in een reeks naar

op-/ • 95(2)

klimmende of afdalende geheele of gebroken machten van 2. Uit deze reeks in z verkreeg Heaviside het werkelijk verloop

t~"

van X door z" te vervangen door jf- r , waarin / / (— n) de

11 (— n)

//-functie van Gauss voorstelt voor reëele waarden van n. Heaviside zelf heeft een dergelijke algemeene formuleering niet uitgesproken, doch bij al zijn berekeningen kwam het daar toch op neer. Voor zoover mij bekend, is zij het eerst uitgesproken door Levy. L*).

In de volgende hoofdstukken zal blijken, dat deze wijze van

d"

doen neerkomt op het vervangen van de operator -j— door z", waarna de berekening van x plaats heeft langs operatorische weg, waarbij formeel slechts algebraïsche herleidingen behoeven te worden uitgevoerd.

m,t'-j'"V''mu!v. ijui—juww^.yiii-i • • i ' w - ;jww.-iw*w'^iw PW^ 1,11111 niipi 1 •Lipwmjpn.wiiiiiH-j -• I imi^n. •- -^ umi.^T^iJM'iiH^jxi , iinpn|| tUWHqilHiqmipipir"

H O O F D S T U K L D e methode van Bromwich. § 1. Algemeen.

De methode van Bromwich kan het eenvoudigst worden gede-monstreerd aan de hand van een gewone lineaire differentiaal-vergelijking van de n ' o r d e met constante coëfficiënten met tweede lid. Later zal blijken, dat de rekenwijze zonder meer kan worden toegepast op simultane lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten en op lineaire partieele differentiaalverge-lijkingen.

In analogie met de integratiemethode van Laplace kunnen ook lineaire vergelijkingen behandeld worden, waarvan de coëfficiënten functies zijn van de onafhankelijk veranderlijke.

O p die wijze komt men b.v. tot een operatieve behandeling van de vergelijking van Bessel. Hierop is reeds gewezen door B. v. d. Pol I.e., Carson e.a. .' y

§ 2. Behandeling van een gewone lineaire differentiaalvergelijking

van de n' orde.

W e beschouwen een lineaire differentiaalvergelijking van de

n' orde met constante coëfficiënten,

a„ «/''"+ a„_, y f - » + . . . . + a, y' + ao y =: P e ^ ' . (4) Hierin is t de onafhankelijk veranderlijke en P en n zijn constanten evenals a^ (j = O n). Als beginvoorwaarden stellen we

voor t = 0, y = yo y ' = y'o . . . . y'"-" = yo'""". (5) Bromwich tracht nu, (4) op te lossen door middel van een contourintegraal in het complexe z-vlak, In deze integraal treedt

t als parameter op. Bromwich stelt:

y = ^lf(z)e^'dz. (6)

c . •

-.J

.18

Hierbij wordt verondersteld, dat f(z) een analytische functie is, die in het eindige geen andere singulariteiten vertoont dan polen.

De functie f(z) zullen we verder de „stamfunctie" noemen. Het probleem luidt nu: tracht f(z) en C te bepalen, zoodanig, dat door (6) aan de differentiaalvergelijking (4) en de beginvoor-waarden (5) wordt voldaan.

Om dit probleem op te lossen, merken we in de eerste pliiats op, dat in (6) y naar t gedifferentieerd kan worden door differen-tiatie onder het integraalteeken. Ten tweede is het duidelijk, dat C minstens één der polen van f(z) moet omvatten, daar anders volgens het theorema van Cauchy (6) nul zou opleveren. W e veronderstellen, dat het mogelijk is C zoodanig te kiezen, dat ^lle polen van f{z) binnen C zijn gelegen. Wanneer f(z) een-maal is gevonden, kan y uit (6) met behulp van de residuenmethode worden bepaald.

Uit (6) volgt:

y(« = - ^ f z* e^' ƒ (z) dz (k = 1.2 n ) .

2711 J c

en substitutie hiervan in (4) levert:

2 ^ ^ ƒ e^' f(z) ja„ z" + a„_, z - ' +••••+a, z + ao\dz = Pe'^'.{7)

c

De functie e'" kan ook door een contourintegraal worden voor-gesteld. Zooals gemakkelijk is in te zien, is:

e'" = ^ f-^^dz. (8)

2511 J z—fji

c

wanneer C ook het punt z=^ fi omvat. , N a substitutie hiervan in (7) vinden w e : ^ ƒ e ^ ' } f ( z ) (an ^^ + a „ _ , z " - ' + • • • • +

c

+ a;, z^ + a, z + ao) - ^ ^ { cfz = 0 . (9)

19

Uit (9) blijkt, dat f{z) door de differentiaalvergelijking alleen niet ondubbelzinnig is bepaald. Men ziet dit onmiddellijk in, wan-neer men bedenkt, dat de integraal langs C van een op en binnen C analytische functie krachtens het integraaltheorema van Cauchy nul oplevert.

Hieruit volgt, dat aan (9) kan worden voldaan door te stellen:

p

f(z) (a„ z" + a„_i z"-' H h aj z^ + a, z + ao) = W (z). Z — fl

(10)

Hierin is y (z) een willekeurige binnen en op C analytische functie.

W c zullen nu trachten ip (z) te vinden. Daarbij moeten we bedenken, dat ook aan de beginvoorwaarden (5) moet worden voldaan. W e kiezen voor C een cirkel met z = O als middelpunt en straal R, waarbinnen alle polen van f(z) en z^ /u liggen. Dit lukt steeds, wanneer f{z) een eindig aantal polen heeft. Dat dit het geval is, blijkt uit (10). Immers, de polen van f(z) zijn de wortels van :

(z — /u) {an z" + a„_i z"-' H + a2 z^ + a, z + ao) = O. Stellen we ter afkorting :

a„ z" + a„_i z"-' H h aj z^ + a, z + ao = ƒ/ (z), dan is n.l.:

f^'^-{z-,u)H(z)+HW ^^*^

Hieruit blijkt, dat de polen van f(z) samenvallen met die waarden van z, waarvoor

{z-fA.)H(z) = 0.

Dit zijn dus de wortels van de vergelijking :

(z — //) (a„ z" + a„-i z"-' + + 32 z^ + a, z H- ao) = 0. Zooals bekend is uit de hoogere algebra, zijn er hoogstens n verschillende wortels, (behalve de waarde z := /i) die alle eindig zijn. W e behoeven dus R slechts grooter te kiezen dan de modulus

20

van de grootste wortel, als deze modulus grooter is dan die van

z=^(A, of anders kiezen we R grooter dan fi.

Daar buiten C geen singulariteiten van f{z) meer voorkomen, ligt C geheel in een gebied, waarvoor de reeksontwikkeling om z : = o o van f(z) geldt. Deze reeks is een Laurentreeks en van de algemeene gedaante:

f{z) = l - è.z" + l - fc_. \ • (12)

D e coëfficiënten &_,, b-2 . . . b—„ zijn nu te bepalen uit de beginvoorwaarden. Men kan dit inzien als volgt.

Voor de k' afgeleide van y geldt;

y<*' = 2 ^ f f (2)- 2^ e^' dz. (13) c

De waarde yo'*' moeten we vinden uit (13), door daarin t = O te stellen. Dit levert de betrekking:

é^lfiz)^<iz. (14)

c

Substitueeren we in (14) voor f(z) de door (12) gegeven reeks-ontwikkeling, dan komt e r :

^^ — 2:

i/o'*' = ^ fz" (-Y-n b„ z-) c/z + - ^ fz" {I- 6_„ i-„) dz .

2nt J o 2ni j i zï'

Met behulp van bekende theorema's uit de functietheorie vinden we hieruit:

y / ) = 6 _ „ + . , . (15) Daar de beginwaarden y^, y^, y^" yo'*' J/o'"~"

gegeven zijn, vinden we uit (15) de coëfficiënten fe_,, b—i t—(*+i) b—„ .

Vullen we de gevonden waarden van 6_|. . . . , 6_„ in (12) in, dan komt e r :

nz) = -".fc.z-+f+ ^ + ....|l^+....+

I ij,«i.iim Kjiyiii .il,llini»;mi|).ll,.l.,il nppipi|»p»p|)iiii iiiii imnn.Lfpj^iiwi'iiy

21

Wanneer we (11) en (16) met elkaar vergelijken, dan zien we, dat in het gebied, waar (16) geldt, eveneens geldt:

(z-,AH{z) ' H(z)-o ""•' ' z ' z^

p

Voor 7 . „ . • geldt in het beschouwde gebied een

reeks-(z — fj)Hreeks-(z) "

ontwikkeling van de gedaante: ( Z - | * ) H ( 2 ) ~ Z-+' zoodat:

H R - T " "

^ ^ ^ ^ ^ +z*+'+ + z" +

, b-{n+l) — C| . 6-(n+l) ~ ^2 ~ r ^B+1 "l ^n+2 is. en dus ook:

y,(z) = H{z)(Lb„z'") + g o ^ + yo'^'+--- +

+ .o-§# + - - + i / i - ^ )

+ //(z)j^-'"-;,r^'+^.^+••••(• (17)

Daar xp (z) een functie is van z, die in het beschouwde gebied geen singulariteiten vertoont, moet voor yj (z) een reeksontwikke-ling gelden, waarin alleen positieve machten van z voorkomen, (de exponent nul inbegrepen). Dan is aan (17) alleen te voldoen, als wc y} (z) gelijk stellen aan dat gedeelte van het tweede lid, dat slechts positieve machten van z bevat. Dit kan worden be-reikt door de keuze der coëfficiënten fe—(n+i) enz.

W e vinden dan :

>•?'..,

*

22 xp (z) -H{z)\ ^<n 6,„ z" o yo H{z) + yo' H ( z )

₊

+

De stamfunctie /"(z) luidt dus, als we (18) in (11) substitueeren:

f(z)

=

₊

₊

₊

Deze uitdrukking voor f(z), gesubstitueerd in (6), geeft ons de oplossing van de differentiaalvergelijking (4) als contourintegraal. De oplossing luidt dus:

1 n>(z)l

n I Uz-^)H{z) ^ H(z)S c

27ii I Hz-

+

wanneer we voor ^'{z) de door (18) gedefinieerde functie nemen. Dat (20) aan de differentiaalvergelijking (4) en aan de begin-voorwaarden (5) voldoet, kan worden bewezen door substitutie van (20) in (4) en het berekenen van y^, y^, y^' etc. uit (14). Om ons inzicht in de verkregen oplossing te verdiepen, zullen we dit in extenso uitvoeren.

W e merken op, dat de integrand van (20) analytisch is in z en f en differentiatie onder het integraalteeken geoorloofd is. Hieruit leiden we af:

' 2ni]\{. + ^ L ( ^ ^ ; . e - d z (20a) A — 1 . 2 n.

W^W^^^|W^^^lTyB.'II^.P'i-i, ii>.H-'!"W-^^i|P-imnwi|«WPi"Ii»WHWWL-lL'i-iJiw^"ii..ii'|fV'w-'. •'.'—•^1 >•! UJ.ii •ll->M.i,UHi;iLWIWPp|piipü

23 Substitutie hiervan in (4) geeft:

c

2 c 2

c

Daar v(z) in het integratiegebied krachtens (18) door een reeks kan worden voorgesteld, die slechts positieve machten van z bevat, is:

jwiz)

en dus voldoet (20) inderdaad aan de differentiaalvergelijking (4).

Wat de beginvoorwaarden betreft, leiden we uit (20a) af:

C

fc=l,2 ( n - l ) .

De integrand in (22) kan in twee stukken worden gesplitst. In de eerste plaats beschouwen we:

P.z''.dz

1 /• P.2

\ni J (z — i

2ni J {z-^i.)H{zy c

Om de waarde van deze integraal te bepalen, zullen wc de integrand om z = 00 in een Laurentreeks ontwikkelen.

Nu is:' z - A i ~ z - j _ ^ ~ z \ ^ z " ^ z ^ ' ^ z ^ ^ " " " r z 1 i H(z) "" a„ z" -f a„_i z"-* -\ ^- a, z + ao

_ J 1

=i=(^'.+^+^+ •)•

24

Daarbij is weer toegepast, dat in het gebied, waar we een ontwikkeling verlangen, geen wortels van H (z) meer liggen.

Dientengevolge is:

( z - / * ) H{z) z"+'-* - V ^ z ^ z ^ ^

b\ +

-:-+^^+

Na vermenigvuldiging van beide reeksen krijgen we een reeks, waarin de laagste exponent van — , (n -|- 1 — k) bedraagt.

z

Voor k = l, 2 (n — 1) is de laagste exponent dus 2. Bij integratie leveren alle termen dus O op. W c komen dus tot het resultaat:

J _ f zKP _

2niJ H

Met behulp van (18) is hiervoor te schrijven: -.(« : 271

m

+

+

H(z)

_jcfz,

Vergelijking (25) kan wederom worden gesplitst en wel in n dcelcn. De (m — 1)^ term geeft de bijdrage:

i _ f y^

hjy^""''"

27riV ^''^ " z^^'{a„z-^an-^z"-^^ + a„+, z^+'H + a , , z + a o ) c

dz

25

1 /• , , z*

27it j ^ o " Z-+' c

't j a,n z" + a,n-i z"~' -I a, z + ap ) ^^ __

( a„ z"-!- a„_i z"-' H h a„+, z^+i -\ -f a, z + ao )

1 r yo'""' dz _

2 71 i J z^-^+i

!I J Z—^+I

' - , 4 - ^"—' 4_ ^"--^ 1 ^1 I __?»_

2ni J z"-*+i a„_i a^+i a, , a,

c a„ + - ^ H -_„.+, + • • dz-Z 2'^~"'^^ dz-Z"~ 1_ f yo""' cfz 1 /• 1 / , I c - / ^,- J ^m-k+l 27ti J 2"-*^+» r " ^ 2 ^ c

(

De tweede integraal geeft de bijdrage nul, daar de laagste exponent van — nooit kleiner kan zijn dan 2 voor k^\,2, . . . , ( n - l ) .

De eerste integraal geeft ook nul, tenzij m=^k. De waarde is dan met behulp van de residuenstelling te berekenen. W e vinden, zooals onmiddellijk is in te zien, de waarde yo'*'. Hieruit zien we dus, dat y'*' voor f = O inderdaad de voorgeschreven waarde yo'*' aanneemt.

W e zijn nu dus in staat een lineaire differentiaalvergelijking op te lossen met behulp van contourintegralen, die verder met de residuenmethode kunnen worden behandeld, wanneer de begin-voorwaarden zijn van de vorm (5).

§ 3. Het expansietheorema.

Met behulp van de tot dusver verkregen resultaten kunnen we het beroemde „expansietheorema" van Heaviside bewijzen.

26

y 1 voor f > O

a„ y'"' + a„_. y ' - » + . . . . a, y = ( (26) ^ 0 voor t < 0 ,

op te lossen, wanneer y = O voor f < 0.

Om de oplossing te verkrijgen voor ^ > O, kunnen wc het voorafgaande toepassen, wanneer wc de beginvoorwaarden:

yo = yo' = y." = yo'" -^ • •. • = yo<"-" = o (27) invoeren. Uit (27) en (15) volgt, dat we voor dit geval i/'(z) = O

mogen stellen. Verder moeten we dan stellen: P = 1 en ,« = 0.

De functie Pef* krijgt dan de waarde 1. Daar we de oplossing alleen willen kennen, voor f > Ois dit geoorloofd.

Met behulp van (19) vinden we dan:

^ = 2 ^ / -^)'^' v o o r d o (28) c

Is het tweede lid van (26) voor ^ > O niet 1 maar K, dan wordt de oplossing vanzelfsprekend: ,

y-2^i

]

^Hjz)

W c vooronderstellen, dat H (z) van O verschillende, enkel-voudige wortels heeft:

H (z) := O voor z ^^ pj, y := 1 , . . . . , n.

De integrand van (22) heeft dan (n-(- 1) polen en wel voor: z .= O en z ^ p, 7 = 1 n.

Om y uit (29) te berekenen, hebben wc dus de som der residuen in deze polen te berekenen.

Voor z ^= O vinden we het residu „ . ., voor het residu in

1-1(0}

gpjt

de pool z = PJ vinden wc

27

Nemen we de som van alle residuen tezamen, dan vinden we dus:

Uit (26) en (27) volgt, dat y = O voor t < 0.

Hiermede is het reeds in het eerste hoofdstuk genoemde expansie-theorema bewezen.

Vele toepassingen zijn van (30) te geven.

Ook kan het theorema gemakkelijk worden uitgebreid voor het geval, dat het tweede lid van de differentiaalvergelijking een wille-keurige functie van t is. Een behandeling hiervan heeft op het moment geen zin, daar de resultaten veel eenvoudiger te verkrijgen zijn uit een algemeener theorie van de operatorenrekening.

§ 4. Simultaan stelsel van lineaire differentiaalvergelijkingen. W e willen daarom liever laten zien, dat de gevolgde weg ook van toepassing is op stelsels van simultane lineaire differentiaal-vergelijkingen en eveneens op randwaardeproblemen bij lineaire partieele differentiaalvergelijkingen.

Om niet te wijdloopig te worden, beperken we ons tot een simultaan stelsel, waarin de vergelijkingen hoogstens van de tweede orde zijn. Hiermede wordt niet aan de algemeenheid te kort gedaan, daar de gevolgde methode zonder meer op vergelijkingen van hoogere orde toepasselijk is. De onafhankelijk variabele zij t, de afhankelijk variabelen JC,, X2, x„.

De vergelijkingen zijn:

(aii Xf -(- 0 | | X | + Cii JC|) -f- (a,2 X2 - j - 0|2 X2 -f- 0,2 X2) - ( - • • • • -|-+ (ain x„ -|-+ bin x„ -|-+ ci„ x„) = Pe^t. (^21 Xi -\- 021 jfi -|- C21 JC|) + (a22 X2 -f- O22 X2 -r C22 -^^2) + • • • • + \(%i\

\ + (a2n X„ + b2n X„ + C2„ Xn) — 0 .

(a„, jc, -f- b„i Xj + c„, Xj) 4- (a„2 Xt + bnjXi + CjXs) + •• •• + + (a„„ Xn + bnn X„ + C„„ Xn) = 0.

28

Als beginvoorwaarden nemen wc a a n : Voor t — O

x=^Xj° , j =^l,2 , n x, = x/>.

(32)

In aansluiting aan het voorafgaande trachten we, (31) op te lossen door te stellen:

xj = ~ r je^'%(z)dz. y = l , 2 n. (33)

Substitutie van (33) in (31) geeft:

711 J dz

\7lt J dz

(a,,z2 + 6i, z + Cu)<P\ + (ai2 z^ + b^2 z+Cia)q)2-\ h

1 P r e^'

+ (ai,n z^ + bi.n z + ci.n) (f „ = -=—: / dz.

J 2711 J z—|U

c

(a2i z^ + b2iZ + C2,) (p, + {a22Z^ + ^22 ^ + C22)9'2 H 1-+ (a2„ Z^ 1-+ b2n Z 1-+ C2n) <Pn = 0.

! ^ . / ' e^'dz (a„i Z^-|-&„iZ + C„i)9?, + ( a „ 2 z ' + tn2Z + C„2)9'2H h 4- (a„„ Z^ + bnnZ + Cn.n) <Pn = 0.

Aan (34) kan worden voldaan, door de integrand in 't eerste lid van ieder der vergelijkingen gelijk te stellen aan een functie van z, e^'1/Jj (z), die op en binnen C analytisch is. De functies y'j(z) kunnen we dan zoo kiezen, dat ook aan de beginvoorwaarden wordt voldaan. Vooronderstellen we, dat de functies V'; bekend zijn. dan hebben w e (p,,(p2. • • • • <Pn te bepalen uit de vergelijkingen:

29

(a„ z^ + bit z + Cn) <P, + (a,2 z* + ^tz-z: + 0,2) q'2 H

(-p

+ (ai„ z^ + 6i„ z -f ci„) <p„ = —-^ -I- y<, (z)

(32, Z' + b2jZ + C2,) 95, + (322 Z' + ba Z + C22) (Pz ^ + + (a2„ z^ + Z>2„ z -h C2„) <Pn =n'2 (z).

(a„i z* -h ini z + c„i) 95, + (a„2 z^ + fe„2 z + c„2) 952 + +

+ (3„„ z^ 4- &„„ z - f C„„ ) 9?„ = V n (z). O m Vj' y =^ 1 ' " te bepalen, merken wc op, dat q>j om z = 00 een ontwikkeling moet hebben, waarin de coëfficiënten van — en - j respectievelijk Xj" en xf bedragen.

Voor q>j geldt dus:

,,, = i " cf,„ z" + " ^ + ^ + • • • • (36)

Een dergelijke eisch voor 9?; is te vervullen, door voor y>j het deel met positieve machten van z (nul inbegrepen) te nemen uit het eerste lid van de overeenkomstige vergelijking (35), waarin

Xj en Xj° tot uiting komen.

O p die wijze vinden wc uit (35):

flO

yjj — 2'" d„ z" = (aj i z + bj i) x,° + (ay2 z + bj2) Xa" +

o

+ . . . +{aj„z + bj„)x„'' + a,, x," + a,-2X2'' H h aj„x„°. (37) In analogie met het geval van één differentiaalvergelijking is direct te bewijzen, dat de langs dezen weg verkregen oplossing aan alle voorwaarden voldoet. Daartoe heeft men dus uit (35) en (37) 93, te bepalen en daarna deze uitdrukkingen in (33) te sub-stitueeren.

Om Xj als functie van t te vinden, heeft men tenslotte de inte-gralen (33) te berekenen. Door dit te doen op dezelfde wijze, als bij (29) is toegepast, vindt men een uitbreiding van het expansie-theorema voor dit geval, Voorwaarde voor het toepassen hiervan is, dat de stamfunctie op polen na in het eindige analytisch is.

Dat de verkregen oplossingen werkelijk de juiste zijn, blijkt

30

daaruit, dat (33) aan de vergelijkingen voldoet. Voorwaarde daar-voor is. dat in (33) onder het integraalteeken gedifferentieerd mag worden. Daar de stamfunctie in het beschouwde integratiegebied analytisch is, is dit geoorloofd.

Het bewijs, dat de oplossing, verkregen door (33) verder uit te rekenen, aan de beginvoorwaarden en de differentiaalvergelijking voldoet, verloopt analoog aan het in § 2 behandelde.

Tenslotte is het duidelijk, dat de verkregen stamfuncties bij gewone differentiaalvergelijkingen (één onafhankelijk veranderlijke) steeds rationale functies van z zullen zijn, indien de vergelijkingen lineair zijn en constante coëfficiënten hebben.

§ 5. Operatorvergelijkingen.

Uit het tot dusver behandelde is nog niet zonder meer duidelijk, dat de gevolgde weg een belangrijke vereenvoudiging oplevert. In een volgend hoofdstuk zullen we echter zien, dat verschillende eenvoudige regels zijn op te stellen, om integralen van de vorm:

' ' ( ^ ) = 9 ^ f —fiz)dz (38)

Z 711 I Z

c

te berekenen. Voor een met (38) in vele gevallen aequivalente vergelijking heeft v. d. Pol een verkorte notatie ingevoerd en wel:

h(t) = f(z). (39)

Een dergelijke vergelijking noemen we een operatorvergelijking. Deze notatie zal in 't vervolg worden gebruikt, om vergelijkingen van het type (38) aan te geven. O p het verband tusschen de vergelijking, welke aan de definitie van v. d. Pol ten grondslag ligt, en vergelijking (38) komen we uitvoerig terug. Bedoelde rekenregels stellen dan in staat, om uit ƒ (2) de correspondeerende

h (i) te vinden.

W e zullen verder laten zien, dat ook bij partieele differentiaal-vergelijkingen oplossingen kunnen worden verkregen van boven-staande vorm (38). De daarbij optredende functies van z zijn echter vaak transcendent en ook niet meer eenwaardig. In het laatste geval kan dan het expansietheorema, zooals dat door (30) wordt gegeven, niet worden gebruikt.

" v n n v i i i a i q ^ <• n <•»« i

31

Is n.l. de stamfunctie meerwaardig, dan zal het bij deze functie behoorende Riemannvlak één of meer vcrtakkingspunten vertoonen. Leggen we de integratieweg C in een blad van het Riemann-vlak. zóó dat vcrtakkingspunten worden omvat, evenals de eventueel voorkomende polen, dan is de integraal, genomen langs C niet meer gelijk aan de som der residuen in de polen.

Dit punt is voor de theorie van groot belang en zal in het vijfde hoofdstuk uitvoerig worden besproken.

Het is misschien niet ongewenscht op te merken, dat de eigenlijke opcratorenrekening slechts omvat het bepalen van integralen van de vorm (38) en het opstellen van eenvoudige regels hiervoor. Er zijn natuurlijk gevallen denkbaar, waarin het opstellen van de operatorvcrgelijking uit de gegevens van een bepaald probleem groote moeilijkheden met zich mede brengt, hoewel dit doorgaans niet het geval schijnt te zijn. Neemt men echter kennis van het werk van Heavfside, dan wordt men geïmponeerd door de ver-bluffende kortheid van de berekeningen en de correctheid van de resultaten. Er zijn zelfs gevallen bekend, waarin men met behulp van de operatorvergclijkingen een Oplossing kan vinden, waarvan men achteraf de correctheid kan bewijzen, doch waarvan een op-lossing langs de gewone weg op onoverkomelijke bezwaren stuit.

§ 6. Partieele differentiaalvergelijkingen.

Thans komende tot de toepassing van de ideeën van Bromwich op de partieele differentiaalvergelijkingen, beperken we ons tot een vergelijking van de tweede orde met twee onafhankelijk ver-anderlijken. De vergelijking wordt verder voorondersteld lineair te zijn.

Als voorbeeld kiezen we de vergelijking van een lange leiding met gelijkmatig verdeelde zelfinductie, waarvan de weerstand en afleiding worden verwaarloosd, en beschouwen het geval, dat in de leiding een uitwendige electrische kracht werkt.

Zooals bekend, gelden voor de spanning, de lading per eenheid van lengte en de stroom vergelijkingen van de vorm:

^ - c ^ ^ = k{x.t). (40)

32

Hierin is c^ = j — ^ ^ , waarin L en C respectievelijk de zelf-inductie en de capaciteit per eenheid van lengte voorstellen. De lengte van de leiding zij /.

De grootheid y kan een spanning, stroom of lading per eenheid van lengte voorstellen.

De functie k (x, t) hangt af van de uitwendige electrische kracht. Om de gedachte te bepalen, nemen we aan, dat y de lading per eenheid van lengte voorstelt.

Om het probleem verder te kunnen behandelen, moeten begin-en randvoorwaardbegin-en gegevbegin-en zijn.

W e nemen aan, dat de beginvoorwaarden luiden: y = h(x).

|f = M«).

Uit het probleem volgen verder de randvoorwaarden. W e zoeken naar de functie, y ^ y (x, t) die aan (40), (41) en de rand-voorwaarden voldoet. Als randrand-voorwaarden stellen w e :

y = O, voor x =: O, voor iedere waarde van t ) , ., y =; O, voor x ^= l, voor iedere waarde van t )

Dit komt neer op een kortsluiting van de leiding aan begin en einde.

Wanneer we weer trachten, de oplossing te vinden in de vorm van een contourintegraal, dan zal nu de stamfunctie behalve van 2 ook van x afhankelijk zijn.

W e kunnen dus stellen:

^ ' f{x, z)e'' dz, (43)

^ 2 7ri

c

waarbij C alle polen en eventueele vertakkingspunten van f{x, z) omvat, zoodat:

d x 27ii / ö x ^ ' c

d ^ _ L / - y / ( ^ . z ) ^ ,45.

.1 l|.i-l>iMlfqt>MWK> nu>lilllUH^ll.!M!?^in«*nK«"*^^|p|fl|(!n^|if1Pr 33 c (46) (47) c

Wij zullen verder vooronderstellen, dat er een functie fc, (z, x) is aan te geven zóó, dat:

k(x,t) = ~ f fc, (2JÉ) e^' dz. (48)

ZTTI J

C

Dit komt neer op het bepalen van een operatorfunctie, als de functie in t gegeven is. Zooals we later zullen zien, is dit in vele gevallen mogelijk. Dan geven (45), (47) en (48), gesubstitueerd in (40):

r - ^ f e'' dz z^ f- d" 1^1 = ^ fk, (2, x) e" dz. (49) 2 7ti j ' ax^J 2 7ri j ' ^ ' ^ '

c c

Hieraan is te voldoen, door te stellen:

^ V - ^ = fc.(z.^) + r(z). (49)

Hierin stelt ip (2) een op en binnen C analytische functie van 2 voor, die de x als parameter kan bevatten. De opgave is ook hier weer, w (2) zoodanig te bepalen, dat aan de beginvoorwaarden is voldaan. Uit (41), (43) en (46) volgt:

/i (x) = ^ /V(x, z) cfz, ""^ (50) ^ 7 1 1 J c en hAx)-^^ lzf(x.z)dz. (51) c

Hieruit zien we, dat in de Laurentontwikkeling om z =^ 00 an ƒ (x. z) de coëfficiënten van — en - j - re

hi{x) zijn en dus voor groote z zal gelden:

' 3 4

dus

^(2) = ^ + ^ - h - . . (52)

^f _h"{x) h,"(x)

Uit (49), (52) en (53) leiden we verder af, dat aan alle voor-waarden voldaan wordt, wanneer we stellen:

v(z)^zh(x) + hAx), (54) f(x, z) moet dus worden bepaald uit:

z' f-<'' ^ = ^1 iZ' x) + zh{x) + ft, (x) (55)

en uit de randwaarden (42).

Uit (42) en (43) leiden we af, dat aan de randvoorwaarden kan worden voldaan, door te stellen:

f{0.z) = f(l,z) = 0. (56)

Het bepalen van f uit (55) en (56) is een opgave, die zeer veel overeenkomst vertoont met het reeds behandelde probleem n.l. het oplossen van een gewone lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten en met tweede lid. Men kan dus deze ver-gelijking ook weer op dezelfde wijze trachten te behandelen als vergelijking (4). Het verschil met de gegeven behandeling van deze vergelijking is, dat hier de randvoorwaarden (beginvoor-waarden) anders zijn gesteld. De analogie zou volkomen zijn, wanneer gegeven was f (O, z) en ^ (O, z).

Men kan dan, daar alleen ƒ (O, z) gegeven is, voor — ~ — een willekeurige waarde kiezen en deze later zoo bepalen, dat f(l, z) de voorgeschreven waarde aanneemt. Het spreekt wel vanzelf dat men (55) en (56) ook langs gewone weg kan oplossen. Heaviside doet dit laatste meestal in zijn werk: „Electromagnetic Theory", De met de partieele differentiaalvergelijking correspondeerende gewone vergelijking noemt hij meestal de „characteristic." Het kan in sommige gevallen van voordeel zijn, een vergelijking zooals (55), weer met behulp van de operator-methode te behandelen.

' » » » W ^ "^•"1 •• •f^mtnw^-'m^M iPi<i..ipw.Lip ^ B ^ p p j p H i v p q u p f m i i K i ^

35

Men krijgt in een dergelijk geval te maken met twee soorten operatoren. O p het nut van een dergelijke wijze van handelen is reeds door verschillende auteurs gewezen o.a. door Jeffreys (L*) pag. 42 e.v. en B. v. d. Pol (L*).

Wanneer voor f(x, z) een functie gevonden is. die aan (55) en (56) voldoet, dan is ook nu weer onmiddellijk te bewijzen, dat de uitdrukking voor y, die men verkrijgt door de f in (43) te substi-tueeren aan (40), (41) en (42) voldoet.

§ 7. Verandering van de integratieweg.

Bij de tot dusver optredende integralen van de vorm:

h(t)^j^, f^f(z)dz (57)

171 t J 2

C

hebben we als integratieweg steeds gekozen een cirkel met O als middelpunt en een straal van zoodanige grootte (R), dat alle polen van de integrand er binnen lagen. Heeft men eenmaal een dergelijke cirkel gevonden, dan verandert de integraal (57) niet meer van waarde, wanneer men de integratieweg vervangt door een grootere cirkel C,, die de cirkel C geheel omvat. Men kan dus de straal van de cirkel tot oo laten naderen zonder dat de integraal (57) van waarde verandert.

Volgens Bromwich is nu de integraal langs deze onbepaald aangroeiende cirkel te vervangen door de integraal langs een lijn evenwijdig met de imaginaire as, op een afstand c ervan ver-wijderd, wanneer aan de volgende voorwaarden voldaan is:

f > O, f{z) is in het oneindige begrensd, en alle polen van de integrand liggen links van de lijn x = c.

"Dat dit zoo is, is als volgt in te zien (zie fig. 1).

Beschouwen we eerst eens een cirkel met eindige straal R, dan is krachtens de gemaakte vooronderstellingen de integraal langs C, te vervangen door

l^f(z)dz, (58)

36

omdat

l^f(z)dz = l^f(z)dz.

Dit laatste is juist, omdat in het door GABHG omsloten gebied geen polen van de integrand liggen. Verder nadert de integraal van B over D, E en F naar G tot de limiet nul voor

U

Flg. 1. Dit kan als volgt worden bewezen.

Dat f(z) in het oneindige begrensd is, beteekent, dat, hoe groot we R ook kiezen, steeds

l f ( z ) | < M ,

waarin M een eindig positief getal voorstelt. .?, Op de cirkel geldt:

^ = Re'f, dz — iRe'f dep. '

Substitueeren we dit in onze integraal, dan komt er 3JT %^-: ^~• + « f(z) , _ f . ^ ( c o , y + .,my) ƒ ( / ? € • > )

I-'-f"'-!

37

Dat deze integraal tot O nadert voor /? —»• oo, bewijzen we met de methode van het majoreeren. Uit het bovenstaande leiden we af:

3 K

- + «

/ | < M J e'^'^'^dcp.

-^-i

Voeren we een nieuwe integratievariabele in door de substitutie:

<p — 71 =: 99', dan vinden we

^ + a

•Rt cos f'

\I\<M j e-"''"'"' dq>' = 2M j e-"'"'" d<p'

• a, . + <>

= 2 M

2 M

2M

\2

+ e

(ö,

-+'" ('• + i

Laten we nu R tot =« naderen en ^1 tot nul, zóó dat e-^'"'"*' tot nul nadert, dan nadert de laatste uitdrukking tot nul, waar-mede het gestelde is aangetoond. Dan zal dus (58) kunnen worden voorgesteld door:

c + i<e

f^f{z)dz (59)

voor t > 0. ' * Voor f < O wordt / niet meer nul. Wel is dan aan te toonen.

BDEFG

dat dan:

lim f ^ f(z) dz = 0 is. GAB

38

Daar echter binnen GABH geen polen liggen, moet dan ook:

c 4- ioo

/' — ƒ (z) ciz = 0. (60)

z c — i 00

W e komen zoo dus tot het resultaat:

c+ioo

- ^ / • ^ ^ ( z ) c / z = / ^ ( ^ ) ^ > 0 - ₍₆₁₎

De door de integraal (61) voorgestelde functie vertoont voor ^ ^ 0 een discontinuïteit. Wanneer we f{z)= 1 kiezen, gaat (61) over in : c+io» 1 re^' i—; / — dz = 1, voor t > O, '.71 l ! Z 2-C ÏOO en C+«Oi 2 1 /"C^' - ^ / — dz = O, voor t < 0. Tlt I z c—i 00 (61a)

Dit is de z.g. „Unitfunction" van Heaviside. W e merken op, dat in de tot dusver behandelde gevallen (f(z) eenwaardig) dezelfde resultaten zullen worden verkregen, wanneer we trachten, de diffe-rentiaalvergelijkingen op te lossen met behulp van integralen van de vorm (59) inplaats van met integralen van de vorm (57) voor f ^ O wanneer we afspreken dat, wanneer

y(t) = ^f~f{z)dz

ZTÏI J z

C—1 0 0

is, voor y(0) de waarde genomen wordt, waartoe'de integraal nadert, wanneer we t door positieve waarden tot nul laten naderen.

Deze afspraak is noodig, omdat integralen van de vorm (59) bij ^ = O een discontinuïteit vertoonen, zoodat de limietwaarde ver-schillend kan zijn van de waarde, die men vindt door in (59) eenvoudig f = 0 te stellen.

Bij de eenige toepassing, die tot dusver is uitgewerkt (blz. 26)

39

is deze afspraak feitelijk niet noodig, omdat daar de beginvoor-waarden zoodanig waren, dat lim h(t)=^0 en de integraal dus

f—» o

geen discontinuïteit vertoont. Zelfs zou dit voorbeeld kunnen suggereeren, dat het altijd wel zoo gaan zal, ook al schrijft men in het tweede lid der differentiaalvergelijking een integraal, die een discontinue functie voorstelt, zooals b.v. (61a). Dit alles neemt echter niet weg, dat er wel degelijk gevallen denkbaar zijn, waarbij het een verschil maakt, of men voor de integraal de waarde neemt, welke men verkrijgt door daarin ^ == O te stellen of die, welke men vindt, wanneer we t door positieve waarden tot O laten naderen. Een voorbeeld daarvan zien we in (61a). Immers

c+ix

Um -L^fe"^=l,

1 fdz^_±_

pro-blemen te behandelen, waarbij de optredende stamfuncties niet meer eenwaardig zijn, wanneer slechts de vertakkingspunten links van x = c liggen.

In het vijfde en zesde hoofdstuk komen we hierop uitvoerig terug. W e merken op, dat onder een operatorvergelijking

h (t) == f(z)

voortaan ook zal worden verstaan:

C + I 00

h(t)-=~ [^ f(z)dz. (62)

Z Til J Z

ƒ

Dit is aequivalent met de definitie van (38) voor f > O zoolang de limiet nul heeft voor R —*• oo.

BDEFG

In het bijzonder is dus, zooals reeds vermeld:

C + f 00

1 re"' j _ / 1. voor ^ > 0 . ,,.,

^ • J T ' ^ ^ - X O , voor f < 0 . ^^^)

40

§ 8. Beschouwing van het geval, dat de storingsfunctie een

willekeurige functie van de tijd is.

Deze bij t = O discontinue functie speelt een groote rol in de beschouwingen van Heaviside. De in (63) tot uiting komende eigenschap maakt de operatorenrekening bij uitstek geschikt voor het bestudeeren van z.g. overgangsverschijnselen. Heeft men n.l. een of ander systeem (mechanisch, electrisch), dat in een station-naire toestand verkeert en treedt daarin een storing op, doordat plotseling een kracht optreedt, een e.m.k. wordt ingeschakeld of iets dergelijks, dan is zooals we gezien hebben, het verloop van deze storing met de tijd meestal voor te stellen door een integraal van de vorm:

c + i oo

ZTT t J z c — i w

In het volgende hoofdstuk zullen we bij de behandeling van het z.g. Fourierintegraaltheorema ingaan op de voorwaarden, welke vervuld moeten zijn, opdat (64) geldt.

In deze uitdrukking is het plotseling optreden van de kracht ten tijde t = O reeds verwerkt.

Men bewijst nu zonder moeite, dat het verloop van een systeemgrootheid in afhankelijkheid van t wordt gegeven d o o r :

c + i o o

y^S;j i^^g{z).f{z).dz. (65)

Z 7Ï l J Z

C—I 00

wanneer f{z) de stamfunctie is, die het verloop van y aangeeft, wanneer de storingsfunctie de z.g. unitfunction (63) is.

Zoeken we b.v. de oplossing van de vergelijking:

c+ioo

a„ y<"' + 3„_, y"--" + •••• +a, y'+ a^ y = : ^ . f ^-f g(z)dz (66)

Z 71 t J Z c—ioo in de vorm: C + ïOO

^=2k/^'^<^)^^' • -^

^ • B i ^ U M i

WWïflfJlff-41

c + ioc

2

C—(00

-^ i e"F (z) a„ z" 4- a„_, z"-' H h a, z + So j dz =

Tlt J { > c + i o o

Hieraan wordt voldaan door te stellen: F(z) =^ — „ , . ,

zH(z)

waarin H (z) = Sn z" + a„_i z"~' + . . . . a, z + 3o, zoodat:

- C + too

_ i f e"9(z) . ,,-.

y-2^iJ77m'^' . ^^^^

c — i oo

aan de differentiaalvergelijking voldoet.

In verband met (61) is y ^= O voor f < O, zoodat (67) een op-lossing is, die aan alle voorwaarden voldoet. In de laatste para-graaf van het volgende hoofdstuk komen we hierop nog nader terug.

I .' •?-•

'• '- - . ! - 1 /• V .

H O O F D S T U K II. Operatorvergelijkingen. § 1. Inleiding.

Beschouwen we een operatorvergelijking:

h (t) = f{z)

dus het verband tusschen h (t) en ƒ (z), gegeven door

c 4- i 00

h(t)^ -^. [ ^ f{z) dz . voor t > O

Z.7lt J Z c — i oo

waarin c een positief getal voorstelt, zoo gekozen, dat rechts van de lijn x = c geen singuliere punten van f{z) liggen. Overigens is c willekeurig.

De vraag, waar we ons in dit hoofdstuk mee bezig zullen houden is, hoe bij een gegeven f(z) de correspondeerende h {{) kan worden berekend en of hiervoor eenvoudige regels zijn op te stellen. W a n n e e r f(z) eenwaardig is en in het eindige op polen na analytisch, dan kan bedoelde integraal met behulp van de residuen-methode worden berekend.

W e krijgen dan het „expansietheorema " tot resultaat. Hierop is reeds in het voorafgaande hoofdstuk gewezen.

Men kan echter nog een andere weg volgen door n.l. de macht-reeksontwikkclingen van f(z) te beschouwen. Aangezien dergelijke reeksontwikkelingen slechts geldig zijn binnen een bepaald gebied, zal men, wanneer men f(z) door z o o n reeks vervangt, slechts dan term voor term mogen integreeren, wanneer de integratieweg geheel in het convergentiegebied ligt.

Dit zal in 't algemeen niet het geval zijn, behalve voor de ont-wikkeling van f(z) om z = oo. Om z = oo zal f(z) in 't algemeen een ontwikkelling in een Laurentreeks toelaten van de algemeene gedaante:

ƒ (z) = i n a„ z" + l - ^ • (68) o 1 z

43

W e beperken ons tot functies f(z), die in het oneindige hoogstens een pool van de orde p hebben en sluiten dus essentieele singula-riteiten uitdrukkelijk uit. Doen we dit niet, dan stuiten we op practisch onoverkomelijke moeilijkheden, wanneer we (68) term voor term willen gaan integreeren langs de integratieweg x = c. De reden hiervan is, zooals uit het verdere betoog zal blijken, hoofdzakelijk gelegen in de moeilijkheid voor integralen van de vorm:

f é^'z" dz,

halve cirkels te vinden, waarlangs de integraal de limiet nul heeft. Deze moeilijkheid trad in het vorige hoofdstuk niet op, omdat daar d e integratieweg reeds een gesloten cirkel was.

Stellen we 2 = — , dan komt (68) overeen met de ontwikkeling

w

van ƒ f —) om tv = O in een Laurentreeks. Deze reeks vinden we uit (58) door daarin 2 = — te stellen.

w

Deze reeks zal in het ir-vlak convergeeren in een ringvormig gebied tusschen twee concentrische cirkels met w ^ O als middel-punt en met stralen r, en r2 . (r, < fj). Vooronderstellen we, dat de eenige singulariteit van fi —) binnen de cirkel met straal r, in u> = : O is gelegen, dan kunnen we r, zoo klein kiezen, als we willen. Het overeenkomstige convergentiegebied van (68) in het 2-vlak is dus een ringvormig gebied tusschen twee concentrische cirkels met z =: O als middelpunt en de stralen — en — .

Aange-r2 Tl

zien we r, zoo klein kunnen kiezen, als we willen, zal — grooter gemaakt kunnen worden dan een willekeurig van te voren ge-geven getal.

W a n n e e r we nu in de operatorvergelijking c grooter kiezen dan —, zal dus de integratieweg geheel in het convergentiegebied

^2 *

van (68) kunnen worden gelegd. In dat geval is dus het integreeren van de reeks term voor term geoorloofd. (L 10).

44

Met behulp van (68) vinden we dan voor de operatorvergelijking:

c + i 00 c + i so

, , . 1 £ Ce' z" , , 1 ?. f e" ,

h {t) = ,r— I" an / —— dz + ;^—. 2 " a-n / ^ n r ^^•

2711 o J z 2711 X J z " * '

c — i 00 c — i oo

Om deze uitdrukking voor h (t) verder te bepalen, zullen we de afzonderlijke termen der reeks, dus de integralen

c + i 00

f e''

/ 2" ci2

J z c — i oo

berekenen. Klaarblijkelijk is deze integraal gedeeld door 27ii de oplossing der operatorvergelijking

h(t) = z\ (69)

§ 2. Hoofdstelling van de operatorenrekening. ' W e zullen bewijzen, dat de oplossing van vergelijking (69) luidt

M^) = ^ - (70)

Hierin stelt 77(—n) de /7-functie van Gauss voor. In de notatie van v. d. Pol luidt onze stelling

z" = „ p - ^ voor t>0. (71)

W e zullen aantoonen. dat (71) geldt voor alle reëele wéiarden van n. Wanneer n geheel en positief is, is het argument van de optredende //-functie geheel en negatief. Dan is echter

IJ (—n) = oo of =; : = 0. zoodat dan z" 4= O, tenzij f = O,

//(—n) f"

daar dan de waarde van „ . , onbepaald is.

//(—n)

Vergelijking (71) geeft een uitermate vruchtbaar theorema en formuleert de hoofdregel van de operatorenrekening.

W e zullen het bewijs van (71) in meerdere etappen leveren. In de eerste plaats zullen we bewijzen, dat:

+ i oo

z" e^*

dz =: O voor ^ < O, voor alle reëele waarden van n.

I

45

Daartoe is het voldoende te bewijzen, dat de integraal langs GAB (fig. 1) de limiet nul heeft, wanneer we R tot oo laten naderen.

Wanneer n niet geheel is, is de functie z" niet meer eenwaardig. Om deze moeilijkheid te ontgaan, brengen we langs de negatieve reëele as een snede aan, die de beide vertakkingspunten O en oo verbindt. Het argument van z is dan steeds gelegen tusschen — 71 en -{-71. In het gebied dat op die wijze ontstaat is z" dan eenwaardig. De integratieweg GABG ligt dan geheel in een gebied waarin de integrand van de beschouwde integraal een-waardig en analytisch is. Hieruit volgt onmiddellijk krachtens het integraaltheorema van Cauchy, dat

nf en dus tenslotte

ƒ

f

z"^'

= i z ^^

R"

'j

Langs de integratieweg GAB is z =:= Re"'', dz := Re'f id<p, zoodat we kunnen schrijven:

cos w i (Rt sin <p + nfp) j

^ e dq)

= lim R" i / e' "''' > cos (Rt sin 9? + n 93) 4"' sin {Rtsin (p-\-nqci)\d(p. JÏ-^oO J

Daar het reëele deel van de integrand een even functie van <p is en het imaginaire deel een oneven functie, terwijl de grenzen symmetrisch liggen t. o. v. 9? = O, is voor / te schrijven:

2

46 Beschouwen we eerst eens nader

/ = jR" ' J"^""" 1' _{cos {tR sin 95 + n 9p) d(p. (72)}

W c zullen bewijzen, dat (72) tot nul nadert voor R—* 00, zoo lang n < 1.

Daartoe stellen we 'P ^^ ~ö '''' zoo'lat:

I^^ R" I e' '""'' cos {t R cos'p-'r n— nyj) dy>

e n :

/, I ^ /?" f e'^""''' dy^R" I

e-'yRv. - ^ d V'.

waarin f = — ^, is gesteld. Vervangen we sin V'

*P door de kleinste

in 't interval O — ^ aangenomen waarde, d. i. —, dan vinden we

|/,| < / ? " / e-^*'""' d

_R"

De limiet van deze uitdrukking voor /? —^ 00 is nul, wanneer n < 1.

De gevolgde methode schiet te kort voor het geval n > 1. W e merken echter op, dat ook in dit geval waarden van R zijn aan te geven, die onbepaald toenemen, zóó, dat (72) de limiet nul heeft indien R deze reeks waarden doorloopt. Daartoe gaan we als volgt te werk:

f z" e^'

47

Kiezen we voor de grenzen de waarden (c -}- iy^) en (c — iy,) met de bedoeling y, later tot oo te laten naderen, dan is:

c + i jri

ƒ z"-' e« dz = ?^^^' ~| - ^^^^^ ƒ z"-^ e^ dz

GAB c —ijii GAB

e'»'' (c 4- I y,)"-' — e-'"'' (c — i y,)"-' — ^"~ ' ƒ z"-^ e^' dz. GAB

Stellen we c 4- «yi ^= ^i e .

r. - I T - * )

dan is tevens c — l y , =: /?, e ^^ ' . Voor de geïntegreerde term vinden we dan:

- ^ / ? , ' - > 5 « n | y , f 4 - ( n - l ) ( f - < 5 ) j .

Kiezen we y, zóó, dat

y, f 4- (" — 1) ( ^ ~ '^j ^ — m7i, (m geheel en pos.) (73) dan wordt dus de geïntegreerde term O en we vinden:

ƒ 2»-i e"dz = — ^" 7 / z""^ e"

''•2-GAB ''•2-GAB

Laten wij nu het geheele getal m onbepaald toenemen, dan doorloopt y, een reeks waarden, die onbepaald toenemen. Verstaan wij nu onder

c + ioo

/?^-

c + ij/i

de limiet, waartoe / — z" dz nadert, indien y, deze reeks waarden

c — i yi

doorloopt, dan vinden wij daarvoor

— Lim. / z"~^ e" dz.

R_».oo t J GAB

48

Voor n < 2, is blijkens het voorgaande deze limiet O, immers de laatste integraal nadert tot nul, onverschillig hoe de punten G en 5 zich naar 't oneindige begeven.

Voor n = 1 wordt (73):

y, t:= — m7i. (73a) Dit geval is belangrijk voor de Fourierintegraal. W e komen

hierop nader terug.

Voor c = O, is (5 =; O en wordt (73)

y , f + ( n - l ) y = - m 7 r . (74) Ligt n tusschen 2 en 3 dan is de integraal, door nog een keer

partieel integreeren, weer terug te brengen tot het reeds behan-delde geval, waarbij de grenzen moeten voldoen aan een met (73) overeenkomende vergelijking.

Beschouwen we eenvoudigheidshalve het geval c = O, dan is

ffat^n+i _dz

+'91 +"*1 2"+! e-' [ — (n— 1) , /

t [ e ^ ^ .

GAB —iyi —i/l

, (n — l)(n — 2) f , , , + ^ I z"-3 e"' dz =

CAB

^ y . - ' s m j y , t + ( n - l ) y ( - | ' ' ( n - l ) y , " - ^ s m j y , ? 4 - ( n - 2 ) ~ { .

GAB

De voorwaarde voor het nul zijn van het geïntegreerde deel is te herleiden tot:

!,, anji,, ( + (,.-l)|j + i-^«»J!,,f + (n-l)-|| = 0.

49

Men slciagt er dus in cirkels te vinden, waarvoor de integraal langs GAB tot nul nadert, wanneer men de grenzen tot oo laat naderen, zóó dat steeds aan (75) voldaan is. Het is gemakkelijk in te zien, dat y, f + (" — 1) "T steeds dichter komt te liggen in de buurt van heele veelvouden van 7i. Men overtuigt zich hier-van het snelst, wanneer men tracht deze vergelijking grafisch op te lossen. Het tweede lid van (75) geeft, als functie van y, opgevat, een hyperbool. De snijpunten hiervan met de, het eerste lid voorstellende tangenslijn, geven de oplossingen van (75). Deze snijpunten komen steeds dichter bij de yi-as te liggen.

Men kan zoo doorgaan en aantoonen, dat ook voor waarden van n gelegen tusschen 3 en 4 cirkels te vinden zijn, die aan de gestelde eischen voldoen. Men ziet in, dat men op die manier kan aantoonen, dat voor iedere positieve en eindige waarde van n dergelijke cirkels zijn te vinden. Men vindt steeds met (75) over-eenkomende voorwaarden, wanneer men de eisch stelt, dat het door partieele integratie afgesplitste deel nul oplevert. In het algemeen wordt het tweede lid een gebroken rationale functie van y,. Er is dan altijd een grens voor y, aan te geven, waarboven deze functie niet meer van teeken verandert, terwijl zij de y,-as tot asymptoot heeft. Daar gelden dan dezelfde beschouwingen als voor het eenvoudiger geval van (75). Dezelfde overwegingen gelden voor het geval dat t positief is. Dan zijn er steeds, in het tweede en derde quadrant gelegen, halve cirkels aan te wijzen, waarlangs, wanneer de straal steeds grooter wordt gekozen, de integraal tot nul nadert.

In verband met het bovenstaande spreken we af. dat we

c + ioo

voortaan onder het symbool / zullen verstaan de integraal,

ge-c—ioo

nomen langs de lijn x ^ c tusschen symmetrisch ten opzichte van y ^ O gelegen grenzen, die men steeds laat aangroeien, doch waarbij alleen die waarden zijn toegelaten, waarvoor de integralen langs de correspondeerende halve cirkels in het le en 4e kwadrant voor negatieve waarden van t, respectievelijk in het 2e en 3e kwadrant voor positieve waarden van t, nul zijn. Men komt tot analoge resultaten voor het geval c ^ 0. Daar de berekeningen, waarmede 4

50

men zich van deze resultaten overtuigt, geheel anoloog zijn aan die, welke tot (73) en (75) hebben geleid, moge met deze aandui-ding worden volstaan.

In de hier omschreven beteekenis is dus: '

c z" e"'

d z = 0, f < 0 .

De integratieweg, waarvan we in het tweede hoofdstuk zijn uit-gegaan, was een cirkel met O als middelpunt en een straal R, b.v. de cirkel FHAMBGC van fig. 2. waarbij we R oneindig

[c + i o o ] Z-VLAK

Flg. 2.

groot laten worden. N u zal voor f > O deze weg alleen dan door

AB vervangen mogen worden, wanneer de som der integralen

langs de stukken 5 G C en FHA nul is of tot nul nadert. W a n n e e r dit nu slechts lukt voor bepaalde cirkels, dan spreekt het wel van zelf, dat we alleen de met die cirkels correspondeerende wegen AB mogen gebruiken. Daar in het beschouwde geval de stamfunctie meerwaardig is met een vertakkingspunt in z = O

51

en het z — vlak langs de as van de negatieve reëele getallen is opengesneden, is bovengenoemde cirkel niet gesloten.

Daar verder de integraal langs de weg ABGCDEFHA krachtens het theorema van Cauchy nul is, kunnen we voor die cirkels, waarvoor de stukken BC en F A nul opleveren de integraal langs AB vervangen door die langs de weg FEDC.

De waarde van de integraal langs FEDC voor /? ѥ oo dus 1 ĥz"e'

- 2^i J

z" e ^ ^

lim. ^r-~- I dz is bekend PBDC

Volgens een formule van Hankel (L 12) is

1 rz-'"edz _ 1

lim

FEDC

waarin in 't algemeen m complex is verondersteld, doch ook reëele waarden van m zijn toegelaten, positieve zoowel als negatieve.

Stellen we in (76) z =^ z't en m = — n dan komt er:

^/"e^'^dz' t-" lim. ^r—. /

R_>« 2711 J

z' n{-ny

FEDC

W a n n e e r we rekening houden met de afspraak van pag. 49, dan is dus c-^i oo z^e^dz ,. 1 fz''e"dz f" , „ -= hm. ;r ; I -= -= ^ -, [77] z R—^-o 2711 J z II (—n) « FEDC >7ti J

voor f > O, terwijl voor f < O

c+i 00

Ifz^e^z^^ (78)

2711 j z

Hiermede is het aan het begin van deze paragraaf gestelde bewezen. W e merken nog op, dat Jeffreys in zijn boek "Operational Methods in Mathematical Physics " (77) alleen bewijst voor het geval, dat — 1 <C n < + 1 • Voor andere waarden van n kan men de integraal tot het bewezen geval terug brengen door meerdere malen naar t te differentieeren of te integreeren tusschen O en t. Men stuit dan echter daar op, dat de integralen voor n > 1 niet