Powiązane zagadnienia

(1)

Toroidalne obiekty i czarne dziury

Andrzej Odrzywołek

Zakład Teorii Względności i Astrofizyki

16.10.2019, 17:15

A. Odrzywołek Konwersatorium SMP

(2)

Mikołaj Kopernik „De Revolutionibus”, Księga I, Rozdział IX:

„Ja w każdym razie mniemam, że ciężkość nie jest niczym innym, jak tylko naturalną dążnością, którą bo- ska opatrzność Stwórcy wszechświata nadała częściom po to, żeby łączyły się w jedność i całość, skupiając razem w kształt kuli. A jest rzeczą godną wiary, że taka dążność istnieje również w Słońcu, Księżycu i innych świecą- cych planetach, po to, by na skutek jej działania trwały w tej krągłości...”

(3)

Prolog: wiadro Newtona

wypadkowa siła działająca na powierzchnię obracającej się z prędkością kątową Ω cieczy musi być do niej prostopadła siła ta jest sumą grawitacji m~g i siły odśrodkowej m~r Ω² powierzchnia swobodna musi być powierzchnią

ekwipotencjalną

potencjał grawitacyjny [z - wysokość nad dnem]:

Φg “ g z

potencjał odśrodkowy [r - odległość od osi obrotu]:

Φc “ ´1 2Ω²r²

Równanie powierzchni rotującej cieczy w polu grawitacyjnym Φ_g ` Φc “ C ùñ g z ´1

2Ω²r² “ C

(4)

~g “ const, Ω “ const

(5)

Wynik: powierzchnia cieczy zadana jest funkcją kwadratową:

z “ 1 2

Ω²

g r²` C {g , co daje równanie paraboloidy obrotowej.

(6)

Powiązane zagadnienia

1 rotacja różnicowa (przypadek Ω ‰ const)

2 paradoks fusów herbacianych

3 cyrkulacja południkowa

4 rotujące wielokąty

5 sześciokąt na biegunie Saturna

6 zasada Macha

7 atraktor: Ω “ const

(7)

Powiązane zagadnienia

6 zasada Macha

(8)

Powiązane zagadnienia

6 zasada Macha

(9)

Model Roche’a

potencjał grawitacyjny [G “ 6.67 ˆ 10^{´11 m}_s2kg³ - stała

grawitacji, M - masa w centrum, R - odległość od centrum]:

Φ_g “ ´GM

R ” ´ GM

?r²` z² potencjał odśrodkowy:

Φ_c “ ´1 2Ω²r²

Równanie powierzchni rotującego płynu w polu grawitacyjnym

Φg ` Φc “ C Ñ ´ GM

?r²` z² ´ 1

2Ω²r²“ C

(10)

~g ‰ const, Ω “ const

(11)

Model z rotacją keplerowską

potencjał grawitacyjny:

Φ_g “ ´GM

R ” ´ GM

?r²` z² potencjał odśrodkowy:

Φ_c“ `Gm

|r |

Równanie rotującej cieczy w polu grawitacyjnym

Φ_g ` Φc “ C Ñ ´ GM

?r²` z² `Gm

|r | “ C

(12)

~g ‰ const, Ω ‰ const

(13)

1 ~g “ const, Ω “ const, kształt=? (kula ziemska)

2 ~g “ const, Ω “ const, kształt=? (wiadro Newtona)

3 ~g ‰ const, Ω “ const, kształt=? (model Roche’a)

4 ~g ‰ const, Ω ‰ const, kształt=? (dysk keplerowski)

5 ~g “?, Ω “ const, kształt=elipsoida (sferoid Maclaurina, elipsoida Jacobiego)

6 ~g “?, Ω ‰ const, kształt=? (samograwitacja + rotacja różnicowa)

7 czarna dziura (Schwarzschilda) w centrum

8 rotująca czarna dziura (Kerra) w centrum

9 rotująca czarna dziura nieznanego typu w nieznanej czasoprzestrzeni + samograwitujący toroid o nieznanym kształcie

10 . . . + pole magnetyczne . . .

(14)

Kluczowe trudności

1 DWIE powierzchnie swobodne: horyzont czarnej dziury i powierzchnia toroidu

2 „równanie Bernoulliego” przechodzi w

hpρq`Φ_g`Φc “ C ùñ ln phq´ln pU^tq`

ż

j pΩq dΩ “ C z dowolną funkcją j pΩq (tzw. „prawo rotacji”)

3 nieznane z góry zakrzywienie czasoprzestrzeni

(15)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Przechwytywanie (capturing) vs śledzenie (tracking) Przykładowe równanie (Burgersa)

Bv px , tq

Bt ` v px , tqBv px , tq Bx “ 0 ma rozwiązanie w postaci uwikłanej:

v px, tq “ v₀px ´ v px , tqtq gdzie v₀px q to warunki początkowe.

(16)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(17)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(18)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(19)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(20)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(21)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(22)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(23)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(24)

Numeryczne podejście do nieciągłości

Bv px , tq

(25)

Dwie kluczowe powierzchnie:

1 horyzont czarnej dziury

2 brzeg toroidu

Każda z nich może być śledzona lub przechwycona na siatce numerycznej.

1 Nishida, Eriguchi, Lanza (1992): both (?) surfaces captured

2 Ansorg & Petroff (2005):

both surfaces tracked

3 Shibata (2008): horizon tracked, toroid captured

(26)

2 brzeg toroidu

3 Shibata (2008): horizon

(27)

2 brzeg toroidu

3 Shibata (2008): horizon tracked, toroid captured

0 5 10 15 20

r sin θ 0

5 10 15 20

r cos θ

(28)

Metoda iteracyjna Self Consistent Field (punktu stałego)

(29)

Metoda iteracyjna Self Consistent Field (punktu stałego)

(30)

Metoda iteracyjna Self Consistent Field (punktu stałego)

(31)

Prawo rotacji „keplerowskiej”

związek prędkości kątowej Ω “ u^ϕ{u^t z właściwym momentem pędu (na jednostkę masy) j “ uϕu^t jest w ogólności dowolną funkcją j pΩq, e.g. j “ const, j “ Ω^δ, . . . rotacją keplerowską nazywamy powyższe prawo w przypadku cząstki próbnej na orbicie kołowej

1 teoria Newtona (III prawo Keplera):

1

j 9 pΩ{pGmq²q¹³

2 Schwarzschild:

1

j 9 pΩ{pGmq²q¹³ ´ 3Ω{c²

3 Kerr:

j 9 `a ` ξ³˘ `a²´ 2aξ ` ξ⁴˘

ξ³p2a ` ξ³´ 3ξq , ξ “ p1{Ω ´ aq^1{3, pm “ 1q

(32)

Hipoteza „atraktora”

Wszystkie realistyczne ogónorelatywistyczne toroidy muszą rotować zgodnie ze wzorem:

j pΩq “ ´1 2

d d Ωln

”

1 ´ pa²Ω²` 3m²³Ω²³p1 ´ aΩq⁴³q ı

, gdzie m, a są dowolnymi parametrami, t.j. niezależnymi od parametrów czarnej dziury w centrum.

Jak sfalsyfikować lub potwierdzić powyższą hipotezę?

Zbadać strukturę toroidu:

prawdziwego, w obserwacjach astronomicznych;

powstałego w symulacjach komputerowych zderzenia gwiazd

(33)

Numerical GR data used for comparison

Data used later is from article: Roberto De Pietri, Alessandra Feo, Francesco Maione, Frank L¨offler, Modeling equal and unequal mass binary neutron star mergers using public codes, Physical Review D, Volume 93, Issue 6, id.064047.

Technically, we used:

1 equatorial plane „XY” slices of full 3D data

2 all 400 timesteps covering from late NS-NS inspiral to toroid stabilization

3 Carpet-HDF5 BSSN fixed mesh-refinemet files for α, g_XX, g_XY, g_YY, g_XZ, g_ZZ, g_YZ, β^X, β^Y, V_X, V_Y, V_Z, ρ

4 G “ c “ 1 Md units

(34)

Zderzenia gwiazd neutronowych (kilonova)

Masy gwiazd neutronowych:

M₁ “ M2 “ 1.6 Md

Czarna dziura:

M_‚ “ 2.83 Md, a » 0.44 Masa toroidu:

MT “

6.2 ˆ 10^´5 M_d

(35)

Zderzenia gwiazd neutronowych (kilonova)

M₁ “ M2 “ 1.6 Md

Czarna dziura:

MT “

6.2 ˆ 10^´5 M_d

(36)

Zderzenia gwiazd neutronowych (kilonova)

M₁ “ M2 “ 1.6 Md

Czarna dziura:

MT “

6.2 ˆ 10^´5 M_d

(37)

Zderzenia gwiazd neutronowych (kilonova)

M₁ “ M2 “ 1.6 Md

Czarna dziura:

MT “

6.2 ˆ 10^´5 M_d

(38)

Zderzenia gwiazd neutronowych (kilonova)

M₁ “ M2 “ 1.6 Md

Czarna dziura:

MT “

6.2 ˆ 10^´5 M_d

(39)

Zderzenia gwiazd neutronowych (kilonova)

M₁ “ M2 “ 1.6 Md

Czarna dziura:

MT “

6.2 ˆ 10^´5 M_d

(40)