Organizacja obliczeń numerycznych dla potrzeb prognozowania zapotrzebowania na wodę w oparciu o proste łańcuchy Markowa

(1)

WYZSZA SZKOŁA INZYNIERSKA W ZIELONEJ GOHZE + ZESZYTY NAUKOWE NR H

NH 3 INZYNIEHIA SHODOWISKA 1984

Emil Michta

Janusz Stanisławski

ORGANIZACJA OBLICZEN NUMERYCZNYCH

DLA POTRZEB PROGNOZOWANIA ZAPOTRZEBOWANIA NA WODĘ

W OPARCIU O PROSTE ŁANCUCHY MARKOWA

Streszczenie

W pracy wskazano na celowość stosowania metod numcryczr:y;h do bu~?~Y modeLu prognostycznego w oparciu o macierz prawdopodoblenstw prze1scw.

Przedstawiono algorytm programu komputerowego automatycznie przepro- wadzającego programowanie Ztlżycia wody na podstawie pomiarów rzeczy- wistych.

l. Wprowadzenie

W ostatnich la t ach do określania chaTalk terystyk losowych różnych

sz.eregów czasowych z coraz wię~kszym powodzeniem stosuje się modele stochaslycz•ne. Wynika to z dużej uciążliwości, a czasami wręcz niemo-

żlliwości wykonania ilośeiowcj i jakościowej oceny zjawisk fizycznych opisywanych modelami deterministycznymi i probabilistycznymi lub me- todami raohunku kocelacyjnego. W hydrologi•i znane są i wykorzySitywa- 111e do prognozy zdarzeń, modele stochastyczne uwzględniające determri.- nistyczno-losowy charakter analizowanych zjawisk.

W badaniach procesów aprolksymujących lub gE'nerujących empirycz- ne szeregi czasowe wylkorzystuje się stochastyczne równania różniczko

we lub schematy współzaleŻ!Jlości zdarzeń, konstruowane w oparciu o roz- pozname właściwoś.ci losowe zmiennej.

Dla ~krótkoterminowego pr<>gnozowania zapotrzebowania na wodę do celów sterowania systemami zaopaLrzenia w wodę aglomeracj-i miejsko-

-przemysłowych można wykorzystywać łańcuchy Ma~rkowa, będące naj- prostszymi uogólnrieniami zdarzeń zależnych. Model zjawisika wżycia wody w oparciu o prooty proces Marko.wa został zaprezentowany w pracach [3, 4, 5]. Zgod1r1ie z zawartymi tam postula1ami prognozowanie prowadzi się na p<>dstawie macierzy prawdopodol:Yieństw przejścia (tzw. TPM).

Wielikością wejściową jest zaohsc'fwowana w pierwszym odcinku okre- su prognozowanego wartość zużycia wody transformowana w L - wy- llliarowy wektor !l; (O) o jednej współlrzędnej równej l i pozostałych ró- wnych zero. Wymiar wektora f!; (O) jest równy liczbie wierszy w TPM.

Mgr inż. Emil Michta - Wyższa Szkoła In<i:ynierska w Zielonej Górze Dr in:. Janusz Stanisławski - Wy<i:sza Szkoła Iu<i:ynierska w Zielonej Górze

3

(2)

4

^EMiLMlCH'l'A, JANUSZ STANISŁAWSKi

2. Podstawy matematyczne prognozowania zdarzeń z wykorzysta- niem macierzy prawdopodobieństw przejścia (TPM)

MacietrZ TPM jest konstruowana w talki 51posób, ^że poszczegóLnym wie.rsz·om przypoDządkowywane są stany ^we^j^ściowe "i" w postaci prze-

działów Złużycia wody o ^szerof^koś^ci IDELTA. W an.alogic~ny sposó-b ko- l·uunnom rnacie,rzy pTrzyporząd!kowuje się sta:ny '\YyjśdO'\ve "j" o tej sa- mej szerokości przedziałów.

Prawdopodobieństwa przejścia Pu (n) obliczatne ^sąze wtzoru Bayesa ^[2]:

- dla procesów jednorodnych:

_ P (X = i, Y ⁼ j)

p i j - P (X = i)

dla procesów iiliejednorodnych:

(; ) = P.(Xt-1 =i, Yt = j)

Pij\n P (X t- ₁ ⁼ i)

gdZlie:

t odcinelk czasu w okresie prognozowanym n - kolejny numer m:ade.rzy TPM

Xt__1, Yt - zaobserw,o·wane sekwencje wartości zużycia w ody w ( t -1)

- szym

i ^{t -} tym odci111k u czas u

Pra·wdopodobri·eństwa pij(rn) lu·b ^Pîj uzyskiwatne ^sąna podstawJi,e ohser - wacji ^z^dâîi'·zeńzaobserwowanych

w

r·olku popnzedzającym Ollm-.es progno- zowa,ny. Z

tyeh

powodów 1kotn.ieczne ^jes~t ustalenie współczy.nll1ika CR

transponującego wautości zużyci;a wody z roiku poprzedruiego n a bieżący.

Zgodn\ie z tl,

21

wy;n.~ilkl:em progtnozoow.ania jest wekt01r ^wyjścio^wy

~lj(.n), stanowiący r-ozkład prawdopodobieństwa sttanów wyjściowych "j".

Wg

t

4] przyjmuje LSię, że przew~dywane zużycie wody jest równe Śiredrnej arytmetyoz~nej !końców przedziału o największyn-l prawrdop<Jdobieństwie wystąpienia. PtPocedUira ^obliczeń wektorów ^~tj(n⁾ wynika z ^wła^ściwości pro1Stego łańcucha MaTiknwa i polega na kolejny1n ^~n1^nożeniuwektorów

wejściowych l-!i(Jn-1) przez odpowiednią mac:ierz TPM ·wg t<:;chematu:

h_ C o)] 1xL • ~ij ( l )J Lx K

^• ^[AcDJ ^1xK

{[ ~ ( i)J 1 x K

^:a

~i. ( l)] l xK}

^•·- ^[^Pij ⁽²^)] KxK":a [J-ijC ²^)] ^1xK'

{( Jlj C n-1)]

^{lXKn-1 •}

()J

₁^Cn-1^)]^lxKn-1^} ^• ^[Pil ⁽ ⁿ^)] ^Kn·1xK." •

• (;Aj

⁽ⁿ⁾ ^{] 1xKn}

(3)

Organizacja obLtczeń numerycznych dta potrzeb prognozowania ... 5

- w ek'tolfy, ^rozkł'adyst,anów prognozowanych (wyj~ciJawych) po ^każdym k<rok1u ôblicze^ń(np. prognoza ^zużycⁱâwody po ûpływiejednej doby lub

jedlnej godziny).

Dynamika talk zdefiniowanego procesu ^umożliwia jego start, z.atrzy- 111anó.e ^ó. ^cią,głąweryfikację obliczeń w dowolnym odci:nku czasu. Jednak-

że z właściwości algebry macierzy stochastycznych ^wy.ni1^kajądwa istotne warrurnki:

- we.krtor ^·^wejściowy!-li(n-1) musi ^liczyć tyle kolum n (współlrzędnych)

ile 'Wierszy posiada odpowiadająea

mu

macierz TPM,

- suma wyrazów w oposzczegó1nych wiensL?a·Ch macierzy TPM oraz w wektorach wejściowych ri wyjśdowych

musi

być równa 1.

3. Algorytm obliczeń prognozowanego zużycia wody z zastosowaniem ETO

Realizacj1a ôbliczêń przytoC!zonych w pkt. ² jest ^moż^lî,wa jedyn~ie

przy użyci!U EMC. W tym celu opracow any zost-ał program MSO l w

języku F ORTRAN 1900 dla maszyn cyfrowych seri\i Odra 1300. Dane

wejściowe dostarczane przez operatora ^stanowią:

- N - elen1entawy ^ciąg liczb X, odpowiadający warrtościom zużycia

wody w ⁽^·^t-1) -SZY111 odcinku czasu,

- N - elementowy ^dąg liczb Y, odpowiadający wa!ftościom

wo'dy w ^{1t -}

tYJ.n

odeliiliku czasu, ^(ciągi

X

i

Y

^muszą

w:noliczne),

• •

zuzyc1a

być ró-

- deklarowana, dowolna szerolk.ość przedziałów wejściowych i wyjścio

wych (!DELTA) ·w macierzy TPM, która powinna być powiązama

z wi~kościami chalfalkrt:erystycznyrni dla analizowanego systernru zao- patrzenjia w wodę (np. wydajności źTódeł zasilania),

- predy!ktor Q, czyli czynillik pTognozujący, tj. za,obserwoW8Jna w plie- rw·szym odciniku oku.' esu prognozowalnego wartość zuży;cia

wod y .

Program wykonuje następujące operacje:

- ·wyznacza auto!llatycz·nie skrajne ^wartości^zużycia wody w przedzia-

łach wejściowych i wyjśctowych ma crienzy TPM na podstawie wyzma- czonych ma'ksym,alnych WYJrazów w ^cią^ga,^chX i Y,

- ·przyporządkoWJuje wa·rtości X ^li Y poszczególnym ^pnzedzliałom i obli-

cza prawdopodobieństwa przejścia Pij(n) wg wzoTU Bayesa (1), (2),

- sprawdza iLStnienie waru1n1ków wyinikających z właściwości algebry ma- ci·erzy stochastycznych i w razie potrzeby wprowadza odpowiednie korekty,

- wyznacza wspókzędne wektora wejściowego ~i(o),

(4)

6 EMIL MICH T A, JANUSZ STANISŁAWSKI

- obl

'icza współrzędne

w

ektora ^wyjśc1iowego ~j(n) :i

automartycznie poda-

je

^prog1^nozo·waną^wartość^zużycia

wody po ka:hdym

^k'rOłk^u,

koryg

uje

wektor

^wejściowy^IJ.i(n-1)

do postaci

^odpowiada^j^ącej

prz

e-

działom wejściowym w

\kolejnej macierzy TPM,

wstrzymuje

^działania

w wypadku

wystąpielllia

wyrazów róWli1ych ze-

irO

w dowolnym z wierszy m

acie

rzy TPM oraz w trazie

ni

ezrni.eszcze

-

n!ia

^S'^ię ^wartości

pr

edykt

ora w jakim

ko

lwiek z

przedziałów wejścio

w

ych macierzy TPM

.

N a rys.

l

przedstawion

o 01gó

lny schemat programu

MS

<D l, nato1niast na rys. 2 do 7 przedstaw i ono

szczegółowe

a

l

gorytmy

^obliczeń

realizowa

-

nych w kolejnych segmentach. Wykonywane tu ob1iczemia numeryczne

. '

START

CZYTANIE DANYCH

'---..,..---

BUOOWA MACIERZY

PRAWDO~ODOD:E~STW

L

l

^_

^..

____

^PRZEJSCl^A^{_ _ ,}

^_

^____.

---~---

SPR A WDZ E NIE \>.'ARUNKL!

KONIECZNEGO MACIERZY STOCH ASTYCZNEJ

0 BUC Z ANI E WSPÓLRZ~ONY(H

WEKTOR/, WCJ5CIO\'JIGU Al Ol

--

' ^·^-

-

^...^- ^.

013LICZ/\Nif ¹1/SPótR⁷~ 0tiYCH

L_:-.'EKTORA WY;~CIOWEUJ ..«. ^((l)

~~YBÓR PRZE OZ ! A~U

^PROGNOZOWANEGO

l

^w^W^E^KT^C^RZ^E

. W YJŚC I OWYM

l

^DRUKO^WA^NIE ^DANYC ^H

STOP

' - - - -

Rys. l. OgóLny schemat obliczeń re- aLizowanych przez program MSOl

) i. ~' t

o . - ..'

w ^~ o

1-- - - 4 / _l' _1---.

'

^/

OANE

N 10ELTA X Y

' .

Rys. 2. Schemat bLokowy se- gmentu "Czytanie da.nyc;h/ l

(5)

7

-

-=

1

Z' = 1

M X ( 1 ) = 1 00 00

⁺

Z 1 D E L T A

M Y ( 1 )

=

1 0000

⁺

z' · ^{I O E} ^L ^{T A}

^f

M _{. /\} A

^v

X ' _<

_j_1,

' ( (

^{1 )}_.

~

,..."..., __ _,. _

^H

_,.._

- ---....J ^,·

'T

- ~ -·~

1= 2 . K=2 ·

~..__...

..

^~

. , ... _,. J

~

. ^· ^- ^- ^.,

: l

- ...-erotar

t~ X { l )= M X ( 1- ~ ) - I D E L T A l

i

MY( K) ::: MY · ( K - 1)- ! D EL i A ·

...,.....,._,___"_ ... _ .. ~ ~ ^...~-w.tAtiiO"'*"""""'-""-l•J

X ( J ) > i · 1 X ( l }

, Y ( J } > i "l Y ( h.)

"-.. , Y

ł - ·

. l

l .

fr-- , - ,· -\' : - · - ."- J

^--!^-

ł x

^Y(-¹

Y. -~ J

¹

l

^A ¹^{,J ,}^h ^- ^{, ,} ^.,1 • + . l

~--··-~---· ^{- -,}^- ^{• . l} ...---- -· .... -- · J

l

l ł

SW{J) ::

S\vU) +

XYU

_,i\)

l

S\vU)= o

N

X Y I U, K) = X YU, K ) l S W( J }

•

... l

...

^~

..

-• ...

-

^{. .}

. . _.

K - _K

₊₁

•

-

I - _- _I

₊ ₁

. .

•

N

-

_l

STOP

Rys. 3. Schemat blokowy segmentu " Budo-

.

^,

.

^, ^.

,,

wa macierzy prawdopodobtenstw prze3scta

(6)

8 ^EMILMICHTA, JANUSZ STANISŁAWSKI

T

Rys. 4. Schemat blokowy segmentu ,.Spra- wdzanie warunku koniecznego macierzy

stochastycznej"

T

Rvs. 5. Schemat blokowy segmentu ,.Obliczanie wsp6lrzę dnlfch wektora wejściowego ftl (o)"

(7)

Orgllnizocja oo!lrzeń numerycznych ul<t potrzeb prognozowania ... 9

l= 1 . J = 1

N

Rys. 6. Schemat blokowy segmentu "Obliczanie współrzę

dnych wektora wyjściowego ~~~ (n)"

nie wymagają stosowania specjalnych procedur ani podprogramów. Jego prostota sprawia, że może być kodowany również w innych niż FORTRAN

językach k01nwersacyjlnych. Poniżej zestawiono WY'kaz użytych w sche- matach oznaczeń:

N DX

OBJASNIENIA SYMBOLI UZYTYCH NA RYS. 2 DO 7

liczba obserwacji zużycia wody w ciągu X i w

ciągu Y,

liczba wierszy w macierzy XY (J,K) lub XYI(J,K),

(8)

lO

^EMI^L ^MICHTA, ^JANUSZ STANISł-AWSKI

__ _

^,

_ _____

^~-----~---~---

DY

Q

LZ

LW

MAXX MAXY

SW(J)

XYI(J, K)

K

l

K = 1

\'f\K H~AX :-: W l Ą}

.

-

f ¹

" ^L ⁼ ^~ J

'

^./

T ^{' -}^{. 1\} ^::: ^c ^"⁽

>

^~

r

l

1

^l

l

w :::

⁹ ^~ ¹

~ _~\-_~_·l:_l_1\1~·" M_,_,·' _._,,,'(c:~~!"_._{_}_,_;._,.'<) · ! ^J

f • i_ ··~

ILZ.:o: Lz-:J·

b 1 -

~_/ ⁾

L.. ----.-.!~ . ._._,_ , - ~__1

L ... ~--- -· -~...-, . .,

Rys. 7.

l

t

(

r····- - -· "~'---.

l • . v .;<. ." ·-- ! ~··~;V.t ' L ) - r...: lt^V&· T ,ł-t.s• ) l , .., i r:

' ł:--.Jd"' ,.. - .. ' . -

f". "'"

; URU KUJ : r~X(l) , MY( Kl , b /(1'\)MAX, X

}.'~-~l· ~~. J

l . ---<

Schemat blokowy segmentu "Wybór przedziału pro-

gnozowego w w ektorze wyjściowym''

- liczba kolu·mn

w

macierzy XY(J,K) lub XYI(J,K),

··- predy\ktor,

- za:deklarowana liczba zadań,

- stała oZJnaczająca występowanie wektoTa progno-

tzo~wanego,

- wyraz

o wa,rtości maksymalnej w ciągu X, - wyraz

o

^wartoś·cimaksymalnej w C'iągu Y,

- suma wyrazów w wierszu J 1na·cierzy XY (J, K), - prarwdopodobieństwo pnejścia PiJ(n),

- }icznrl.k kolumn,

•

(9)

Orgn.niutcja obUrzeń nnmeryc·znyclt u ^ta potrzeb prognozowctnia . .. 11

L

W(L), W(K), W(I) W(K) MIN

W(K) MAX XYIMIN

MY(L), MY(L + l)

w s

licznJk 'wierszy,

welktor wejściowy,

wSlpółrzędna wektma W(K) o wa1rtości minimal- tneJ, .

- współrzędJna wektora W(K) o waTtości maksymalnej,

- wyraz Pij(n) o wa!"tości minimalnej w J tym

-

. .

w ierszu mac1e'r:zy,

wartości slkrajne rw przedzi•ale ·o największym pra•wdopodoblieństWTie zużycia wody,

prognozowana warr-tość zużyoia wody.

4. Podsumowanie

Nowoczesne m etody predykcji zdarzeń losowych narzucają stosowa- 111ie coraz efektywniejszych i ba.rdziej wyrafiiilOWalllych technik oblicze-

niowych. Zaprezentowana rv.r niniejszej pracy metoda jest jedną spośród możliwych do stosowania przy prognozowaniu godzinowego lub dobow e-

go zapotrzebowa,nlia •na wodę. Jej atrakcyjność .polega .na automatycznym wybo!f'ze wartośc,i p1rzewidytwanej i nńewielkiej liczbie łatwo dostępnych

danych będących podstawą prognozowania. Zdaniem autorów na1leży w dalszym cią@u adaptować i rozwijać różne n1etody prognozowania, r o-

zumiane jako przcw'idywa,nie wartoś'Cii zmiennej ~w 1przyszłości lila podstawie obserwacji i statystycznej obróbki danych pochodzących z m inao- nych okresów czasu.

LITERATURA

l. B e n ja m i n J. R. C o m e 11 C. A. - Rachunek prawdopodobieństwa, sta- tystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów. Wydawnictwo Naukowo- -Techniczne, Warszawa. 1977.

2. K u s h ner H. - W prowadzenie do teorii sterowania stochastycznego. PWN, Warszawa, 1983.

3. S i _wońZ. S t a n i s ł a w ski J. B o g a c z e w i c z S. - _W_st_ępnewyniki ba- da1i nad zastosowaniem stochastycznego procesu Markowa do matematycznego

modelowania zapotrzebowania na wodę w miastach. Materiały z Konferencji Na- ukowo-Technkznej .. Współczesne problemy gospodarki wodno-ściekowej", Kolo- brzeg, 1983

4. S i woń Z., S t a n i s l a w s ki J. - Podstawy stochastycznego m odelowania godzinowego zużycia wody w miastach dla potrzeb sterowania systemem jej dystrybucji. Materiały z seminarium w ramach PR-07 Zużycie ^wody wodocią

gowej - Wielkość, Zmienność i Racjonalizacja, Białystok. 1984.

5. S i woń Z, S t a n i s l a w ski J. - O możliwości wykorzystania stochastyczne- go procesu M arkowa do prognozowania godzinowego zapotrzebowania na wodę.

Zeszyty Karkonoskiego Towarz,vstwa Naukowego,