£ O pewnych szeregach nieskończonych związanych z funkcjami Bessela

M. Krakowski (Łódź)

O pew n ych szeregach nieskończonych związanych z funkcjami Bessela

Obliczymy sumę kilku szeregów nieskończonych, dotyczących pier­ wiastków równania J 0(s) — 0 oraz J x{z) = 0. Zagadnienie to rozwią­ żemy przy pomocy rachunku operatorowego w oparciu o całkę Laplace’a- Carsona.

Przekształcenie Laplace’a-Oarsona funkcji zmiennej rzeczywistej

j(t) ma postać

oo

£ {/(« )} = ?Cp) = pJ т < Г * Щ 0

w równaniu powyższym p = oĄ-ir jest zmienną zespoloną. Funkcja zmiennej rzeczywistej f{t) wyra­ ża się przy pomocy przekształce­ nia odwrotnego

_ i _ rf m Ł

2 -кг J. V y— too

dp; całkujemy w tym -przypadku wzdłuż linii L (rys. 1) leżącej w półpłaszczyźnie Be(p) > or0 > 0, gdzie funkcja /(p ) jest holomor­ ficzna (у > Oj).

w półpłaszczyźnie Be(p) > <r0 > 0. Oznaczając kolejne pierwiastki do­ datnie równania J0(z) = 0 przez Л2, . .., A*, ... (tworzą one ciąg liczb dążących do nieskończoności), stwierdzamy, że funkcja podcałkowa ma bieguny pierwszego rzędu w punktach pk = — Ą ujemnej osi liczb rzeczywistych, a ponadto punkt pQ = 0 jest biegunem (w + l)-go rzędu.

Wykażemy istnienie całki (1). Obierzmy dużą wartość y, aby linia całkowania L przebiegała daleko od początku układu współrzędnych. Funkcję J0{iVp) = I 0(Vp) można przedstawić za pomocą wyrażenia asymptotycznego

(2) J0{iVp) = I 0(1!p) ~ =-^-=r (e Vp + ie~Vp), ~ ^ r < argltp < - т с ,

V2iiVp J 2

otrzymanego z wzoru ogólnego ([4], str. 354, wzór 6.461.5) przez pomi­ nięcie dalszych wyrazów. W naszym przypadku —nr/2 < argp < тс/2, czyli — 7Г/4 < argV^p < тс/4, a więc założenia wzoru (2) są spełnione.

Zamiast całki w (1) rozważymy całkę

(3)

X

Ч-*” f f o n V j й

р*+ ,( « ^ +й- л_) p’

n ₀,1,2,

powstałą przez zastąpienie J0{iVp) przez wyrażenie asymptotyczne (2). W punktach prostej całkowania mamy zatem

V 2u^ p _II 1 <M 1 _к e-Vv 1

pfi+3li

1 + ге-*л

Jeśli napiszemy, że

(₄)

y-fV y2+ r2

to Vp = Vy + гт = a ± ib , przy czym bierzemy znak plus, gdy т > 0, natomiast znak minus, gdy r < 0, a zatem

|l + ie_2,/^| == |lrhe“ 2asin2&-f óe“ 2acos2&| =

= Vl + e-4a=h2<r'2asin2& > l — e~2a, ponieważ ± s i n 2& > —1, czyli

VznVp

^ V2n

\V\№+3/4 (5)

Łatwo wykazać na podstawie pierwszej zależności (4), że jeśli

y > Ł < t0 a > I , a następnie

l i

1

— е~га <

Г"

Jeżeli podstawimy ostatnią nierówność do (5) i uwzględnimy ponadto, że a > |/1t| /2, to otrzymamy iAjtc Vp pn+1 (eVń + ie-VP) Istnienie całki oc

/

< V2tz 1 -1 (y2+ T 2)ny2+3/8-Ve ,-Vrli e r e udu ( r 2 + T 2)*V2 + 3 /8 ^ T = 4 J ( r 2 + 4 w 4)n/2 + 3 /8 ’

gdy тг ^ 0, dowodzi istnienia całki (3); wynika stąd, że istnieje również całka (1).

Całka (1) równa się sumie residuów funkcji podcałkowej, jeśli

(6)

r t*

lim --- dp = 0

R~*00cB Pn+lJoi.rtp)

([1], str. 54), przy czym CR oznacza łuk okręgu o promieniu В zatoczony z początku układu współrzędnych (rys. 1) i przecinający ujemną oś liczb rzeczywistych między dwoma sąsiednimi biegunami pk i pk+i.

Udowodnimy teraz zależność (6). Pierwiastki Xk równania J0{z) = 0 przy dużych wartościach Jc można przedstawić za pomocą wzoru asympto­ tycznego ([4], str. 372, wzór 6.557)

(7) Xk~n7c — — + oj£7tfc— —j J,

a zatem рк~ — (nh —7r/4)2, tzn. Bk~ (u lc —7t/4)2 oraz ę>fc = 7t. Przyjmijmy (w celu „wyminięcia” biegunów pk i p*+1), że łuk okręgu CB przecina ujemną oś rzeczywistych w punkcie A (rys. 1) odległym od początku układu współrzędnych о (7г& +тт:/4)2.

Wykażemy na wstępie, że w punktach łuków CB funkcję J0( —iVp) — = Jo(rfp) można przedstawić wzorem asymptotycznym

J M

okażemy zatem, że w sumie mnogościowej łuków CR (9) lim P-+00 </„(*)

i

_{I /} / 2---COS I z ---I

1

W tzZ \ 4 / z —

W dalszych rozważaniach będziemy się posługiwać oznaczeniem —iVp.

Rozpatrzmy wyrażenie

(₁₀)

Jeżeli |arg2| < тг, to ([4], str. 353, wzór 6.461.1)

(11) J0(z) ^ , | / ~ { c o s ( * - 2) ] - s i n | 3- ~ - j - 0 (s *)J. W naszym przypadku założenia wzoru (11) są spełnione, ponieważ —7r/2 < arg( — i]/p) < 7c/2, gdy 0 < argp < 27r. Podstawiając (11) do (10) i przechodząc do granicy p -> oo mamy

(12) lim-A = lim O (s“ 1) 2>—и» 2J—>oo • / 'K\ in|z— — I V 4 / 08

Ьт

Na łuku CR jest Vp = VRez<Pl2, a więc

przy czym M oznacza liczbę stalą, niezależną od <p i od R dla dostatecznie dużych R.

Bozważmy górną połówkę luku CR, tzn. luk ABC (rys. 1). Pizyj- mijmy stałą wartość 2s < 1 (np. e = ioj); niech kąt <£ АО В = 2 ejVR. Na luku BG mamy cosę>/2 > cos(71:/2 — e [ V R ) = sine{ V R > e j 2 V R , a więc

ch2( ^ c o S| ) > c h 2( ^ . - ^ ) = c h S( | ) ;

uwzględniając, że — sin2(V/,i2 s in ^ — £71:) > —1 otrzymamy, że na luku BG ---- - -гг. ^ - --- - < ---- ' =.:

| / c h * ^ . B c o s - | ) — sin2 I^ K s in -^ - — | / <sh2 (^ -)

Jeżeli R -> 00, to długość luku AB również dąży do nie­ skończoności (ponieważ A B =

= R -2e[/ R 00, gdy R -> 00). Położenie punktu D na łuku A B będzie określone kątem 2dlVR, przy czym 0 < d < s (rys. 2). Dla punktu D będzie (R = (7i& + 7t/4)2;

<p= г: — 2d/V R)

1

1

< - = < 2

V l - d 4l4:R

dla dostatecznie dużych R.

Beasumując wyniki stwierdzamy ograniczoność rozważanego wy­ rażenia na luku ABG. Analogiczne rozważania można p r z e p r o w a d z ić dla dolnej połówki łuku CR. Wnioskujemy przeto, że istnieje liczba Ж, niezależna od argp = 9?, dla której jest spełniona nierówność (14).

Z (13) i (14) wynika zatem, że u a łuku CR sin

cos

< Vi+ m ,

czyli na podstawie (12) stwierdzamy, że lim+ł = 0 ,

P—X»

a więc zależność (9) jest spełniona w punktach łuku CR. Łatwo teraz udowodnić, że

(15) lim

.R—*oo

/

cVt CR pn+1

dp — O

(wyrażenie (15) powstaje z (6) przez zastąpienie J0{iVp) = J9( —iVp) wyrażeniem asymptotycznym (8)). Istotnie, przy wykorzystaniu (14) mamy

gdy В —> oo przy n > O jednostajnie względem argp = q>, a zatem na podstawie twierdzenia Jordana spełniona jest zależność (15). Wyrażenie (15) pociąga za sobą spełnienie zależności (6).

Całka (1) równa się przeto sumie residuów w biegunach pk {Tc =

— 1 , 2 , 3 , ...) oraz w biegunie p0, tzn. (16) £

i

i - _ - i p^J^iy/p)) = 4*4*) + °° (- и t Y re8 [ ---p=-i\\-vn+1J A riv )

przy czym rP (t) oznacza residuum w biegunie p0 = 0 rzędu (w + l)-go. Ponieważ bieguny Pi,p%, Pin ••• pierwszego rzędu, więc

gdyż — [Jr0(2)] = —J i(s)- podstawie (16) mamy zatem

dz

(17) Ц = 4 = r ' “> ( f ) - 2 ( - l ) '

VpnJ0(iVp)\

e V

Granicę prawostronną funkcji

£ ~ l \— i —— •>

gdy 0 < t-> 0, otrzymamy jako granicę transformaty przy p -> oo. Zakładając, że p oddala się do nieskończoności wzdłuż dodatniej osi rzeczywistych, mamy

lim £ 11---} = lim --- — o<*-*o [ p n J 0 ( i V p ] ) Р —ХХЗ p n J Q( i V p )

Vziz^p

= lim

---7=---=-p->oo pn(e^p ie~^p)

wykorzystany jest przy tym wzór asymptotyczny (2).

Jeżeli w wyrażeniu (17) przejdziemy do granicy O < t ->• O, to otrzy­ mamy

m ( - 1Г

2 r<">(0),

ponieważ z dalszych rozważań wynika, że funkcje rtf1* (t) są ciągłe. Szereg

2_{k= 1}

e~lt‘

4 ” +‘ <M 4)

jest przemienny, ponieważ ^(A*) przyjmuje kolejno wartości dodatnie i ujemne. Istotnie, przy dużych wartościach h (por. [4], str. 353, wzór 6.461.1) mamy

Ji (4) ~ j / ~ ~ [sin ~ -J ) + 0 ( & l) * cos j ,

przy czym 7c/4; zatem

Szereg

Ji(h) 2 - ( - 1Г 1., ,

jest zbieżny jako szereg przemienny o wyrazach dążących do zera, gdy

Tc -> oo. Ponieważ e~xk* ^ 1, gdy t ^ 0, więc na podstawie kryterium

Abela ([2], str. 451) stwierdzamy, że szereg

1

A=1 4 n+1^ i (4 )

jest jednostajnie zbieżny względem t, gdy t > 0. W wyrażeniu (18) można zatem przejść do granicy pod znakiem sumy (por. [2], str. 456), a więc

(19) °° 1

Z V +1J i ( ; y

( - 1)"

2 4 n)(0).

Pozostaje do obliczenia residuum rj,n) (0) w biegunie p0 = 0 rzędu (w-j-l)-go. Najłatwiej oblicza się to residuum jako współczynnik a_x przy wyrazie 1/p w rozwinięciu funkcji podcałkowej (1) na szereg Laurenta w otoczeniu punktu p = 0 ; otrzymamy w wyniku elementarnych ra­ chunków

(20) epł

pn+lJQ{i}/p) = у й т {x ~ [ j + 0l w ] P + [^1 + ° 2 {t)]p *~

- Г—i ?

— h

o 3(<)l

pz+ f — ^ —

f-o 4w |

1.2304 J L 147 45 6 41 .1

w powyższym wyrażeniu Ok(t) oznacza wielomian fc-tego stopnia zmien­ nej t, nie zawierający wolnego wyrazu.

Na podstawie wyrażenia (20) obliczamy residua rj,n)(0), uwzglę­ dniając, że Ok(t) -> 0, gdy t -> 0 ; otrzyma się

r f ( 0) = 1 ; »i4 (0) = -^ ( 0) - J r £ V 4 3,( 0) = rP( 0) = 19 ~ 2304 1 211 147456 '

Podstawiając obliczone wartości r{,n)(0) do wyrażenia (19), otrzymu­ jemy sumy szeregów następujących:

W dalszym ciągu rozważymy jeszcze inne funkcje zmiennej zespo­ lonej f(p). Pominiemy jednak długie dowody istnienia przekształcenia odwrotnego i? - 1{/(p )} oraz dowody zanikania całki wzdłuż łuku koła CR (rys. 1); dowody te przeprowadza się podobnie jak w przypadku rozwa­ żonym powyżej. Wszystkie rozważane w dalszym ciągu funkcje zmiennej zespolonej f(p ) są jedno wartościowe, mimo występowania w nich wy­ razu Vp.

1. Niech

m =

pnV p'J0(iV'p)

przy czym w = 0 , l , 2 , . . . Przekształcenie odwrotne równa się У+t°° J x{iV p)evtdp n l ( \ 1 c

(

22

)

£ T X\

--V

\

=

TT-^-l p V p J 0(tVp)J 2 ™ yJ ioo pn+1VpJ0{iYp) ,(») (0 +

Ź „:[■

k=1 P=~*k J x{i}[p)evt pn+1\/pJ0{iVp) ]■

ponieważ funkcja podcałkowa ma biegun (n + l)-g o rzędu w punkcie

p0 — 0 oraz bieguny pierwszego rzędu w punktach pk = — A* (Au Aa, ...

oznaczają jak poprzednio dodatnie pierwiastki równania

J0(z) = 0); rjn)(<) oznacza w dalszym ciągu residuum w biegunie p0 = 0.

Eesiduum w biegunie pk = —Aj równa się Г Ji{iVp)d* res --- —=---t=t -p=_A2Lp” +Y p j 0(^i/p) -Afj [рп+1>/р]. j 0(*Y p )+ p n+V p * [ — 7= dp 2 Vp A?.< - 2 t ( - l ) * e * a więc z wyrażenia (22) otrzymamy

jest jednostajnie zbieżny względem t > 0, gdy w = 0 , 1 , 2 , . . . , ponieważ wyrazy tego szeregu spełniają nierówność

natomiast szereg

1

2

1

л1{п+1)

jest zbieżny, gdy n = 0 ,1 , 2 , . . . Oznacza to, że możemy przejść pod zna­ kiem sumy do granicy prawostronnej 0 < t 0. Uwzględniając nastę­ pnie, że lim JS 1 0<<—>0 J Ą r iy ) \ = 0 pnV yJ0{iVp)> otrzymujemy ostatecznie z (23) oo

(24)

Iw *

o.i n w,(0). ft= l

Wartości residuum r ^ ( 0) w biegunie p0 = 0 obliczymy — jak po­ przednio — przy pomocy rozwinięcia funkcji

J 1{iVy)epł pn+1]/pj0(i^p)

na szereg Laurenta w otoczeniu punktu p = 0 ; otrzyma się

J 1(iV'p)epł

pn+1VpJ0{iVp)

=

P

- [ie+0iW

]v+ Ув+°a(0] p,‘

— Г—i i — l- 0 3(<)

_L

6144 ] P* + [ 19

61440 + 0 4(m p — K**r ■

>]

Waitości rj^(0) równają się zatem

* Podstawiając powyższe wartości do wzoru (24), otrzymujemy sumy następujących szeregów: 1 1 2 j ~ę =

g i

1 = 32 ’ ■yyi 1 1 2 j Xi ~ 192 ’ łC—•X <26) 00

S i

-&=i к u _{у 1} 19 .12288 ’ Z j 4 ° k=l * ~ 122880 ’ 2. Niech f(P) -1 pnVpJ1{iVp)

przy czym n = 0 , 1 , 2 , . . . Przekształcenie odwrotne przyjmuje postać

y+i0° oPt. (26) £ - ' \ --- ---- — 1 = - ^ C \pnY p J S ^ P V 2ш Л (f“ dp у —гоо = rP (t) pn+lY pJ1{iYp) У re8 Г f _ I itzi р= - ^ рп+1^р^л^ р) ^

ponieważ funkcja podcałkowa ma biegun (n + 2)-go rzędu w punkcie

p0 = o, bieguny zaś pierwszego rzędu w punktach pk — —pi, przy czym pk, ... są kolejnymi pierwiastkami dodatnimi równania

Ji(z) = 0; zbiór liczb pk stanowi ciąg liczb wzrastających nieograniczenie.

Eesiduum w biegunie pk = — pl równa się

Szereg

1 k= 1

jest przemienny, ponieważ J0{iuk) zmienia znak, przyjmując kolejno war­ tości ujemne i dodatnie (pierwszy wyraz szeregu jest ujemny, gdyż

J M < 0). Wykażemy tę własność dla dużych Tc. Przy dużych Tc war­

tość fik można obliczyć w sposób przybliżony z wzoru asymptotycznego ([4], str. 372, wzór 6.657)

у ) + о ( [ т с ^ + — ] j . W takim razie

co dowodzi, że rozważany szereg jest przemienny. Z wyrażenia (27) wnio­ skujemy na podstawie kryterium Abela, że powyższy szereg jest jedno­ stajnie zbieżny względem t > 0, gdy n = 0 , 1 , 2 , . . . Stwierdzamy zatem, że dozwolone jest przejście pod znakiem sumy do granicy prawostronnej 0 < t -> 0, a jeśli uwzględnimy ponadto, że

lim £ ' . ,

o<<-^.o Урп\р J^iYp) to z (27) otrzymamy

00

(28) 2

Wartość wyrażenia rj,n)(0) otrzymujemy — jak poprzednio — z sze­ regu Laurenta w otoczeniu punktu p — 0

0vt pn+1VpJ

;Ш "^ Н т +И ’+[г+<Ч '‘

[■ + 0 3(<)] p 3+ [ -39 + 04(i)] / - + ...}■ 4608 \T L 368640

Otrzymujemy więc dla początkowych wartości n : , r (0) = - f i ; rO.(0) = f i ; =

r?>(0) = - 39

Podstawiając te wyrażenia do wzoru (28), otrzymujemy OO no V 1 (29) 39 1 . V 1 1 _ 1 . Мк^о(Рк) 8 ’ fĄJoi^k) 9 6 ’ OO 00 NH 1 7 y i 1 fŁfcJn(llb) J0(,iVp) j~ ( PkJoiPk) 9216 7 PkJoiftk) 737280 3. Niech f(p) pnV p J 1(iV p ) ’

przy czym n = 0 , 1 , 2 , . . . Przekształcenie odwrotne równa się (30) £ ~ x ( Jo (^ P ) ] = _ J _ T ° ° Jo(iVp)evłdp =

\pnV p J 1(iV p )i 2™ yJ ioo pn+1V p J 1(iVp)

J0(iVp)evł 1

pn+1] / p j 1(i\/p)y

rfHt) +

Ir.I

fc=i z>=-^fc 1 przy zachowaniu poprzednich oznaczeń.

Eesiduum w biegunie pk = —pl obliczamy jak w ustępie 2 : J , w « **** Г J c(rip )evt ] res --- 7=--- =r- = — v= - ftl'-p n+1V pJ1{iVp) J £ a więc na podstawie (30) . •</„(&j/p) —%-j= г 2Vp 2 ( - 1)7 e~4ł (3 1) £ _1{ V Szereg ____________ . _ ,<”)(*) _ 2 ( - 1>" _{J °(fl/p) Д = rr>(i)} v j l _ i z i 2 " fc=i e-4*

jest jednostajnie zbieżny względem t > O, jeśli w > O, a więc przechodząc do granicy O < t - » O pod znakiem sumy i uwzględniając łatwą do wypro­ wadzenia zależność

lim jS' 0<t—>0

" b

otrzymamy (32)

Jeżeli rozwiniemy funkcję w

4 - 1 ) ’

•in)(o).

J,{iVp)ć*

pnhly/p J 1(iV/p)

na szereg Laurenta w otoczeniu punktu p = 0, to otrzymamy

W * {2

+ [ i +0i(()]

v ~

[ w +0,(ł)]

p s +

[ i i +0,(ł)]

p3~ [

230

S

0

г>4+ a więc

*P(

0) = -1 1

_i

_{4 ’} 4 J)(0) = 1 1 7 ’ 96~’ 42)(0) = --i 1636 ’ r(3)(0) = ---i 23040

Podstawiając te wyrażenia do zależności (32), otrzymujemy:

OO OO 00 00

(33)

y ±

=

L

V J L = _ L . V i _ = _ J _ . V — = —

А/

m

I

S’ A

j

ni

192 ’

A

j p6k 3072 ’

A

j

ul

lA 46046080 4. Niektóre z powyżej omawianych szeregów znajdują zastosowanie w zagadnieniach fizycznych; omówimy dwa przykłady:

a. Strata mocy Joule’a w pręcie nieferromagnetycznym o długości l, do końców którego załączono w chwili t = 0 napięcie stałe, wyraża się [3] wzorem

i

'A i

r

; 2

(34)

1

przy czym r0 oznacza promień pręta, у — jego przewodność właściwą oraz /л — przenikalność magnetyczną, natomiast Лх, Л2, Л3, ... oznaczają dodatnie pierwiastki równania J0(z) = 0; pu oznacza stratę mocy w pręcie po ustaleniu się zjawisk w polu elektromagnetycznym, czyli

i2J

Pu

— 2

,

gdzie iu oznacza prąd ustalony w pręcie. Zmniejszenie ilości energii wskutek stanu nieustalonego wyraża się wzorem

(35) A W = w w o fc=l 1 lś r exp Лк

[

I dt = y i i tu ^ 4

(zamiana kolejności całkowania i sumowania jest dozwolona z uwagi na ciągłość wyrazów szeregu oraz na jednostajną zbieżność tego szeregu względem t, gdy t > 0). Podstawiając do (35) drugi szereg z (25), otrzy­ mamy prosty wzór

A W

87t

b. Obliczymy ilość ciepła, jaka wpłynie do bardzo długiego pręta o promieniu r0, jeśli na powierzchni pręta utrzymuje się stałą tempera­ turę щ, natomiast w chwili t = 0 temperatura pręta wynosiła 0.

Temperaturę u (r ,t) pręta w chwili t otrzyma>my rozwiązując równanie różniczkowe cząstkowe (36) d2u dr2 1 du H--- — r dr — a2 du Jt

przy warunku początkowym i brzegowym u{r, 0) = 0 ; u(r0,t) — uQ. W równaniu (36) а = ]/дс/Тс, przy czym Ti oznacza współczynnik przewodnictwa cieplnego, c — ciepło właściwe, q — gęstość mate­ riału.

Przekształcając równanie (36) za pomocą przekształcenia Laplace’a- Carsona oraz uwzględniając warunek początkowy i brzegowy, otrzy­ mamy u {r,t) = £ i ---J0{iar} l J0{iarQ J0(iarVp) \ vV)J = un 2 k=l

r°(i4)exp[ -S

Strumień ciepła wpływający z otoczenia do wnętrza walca o długości l w czasie At równa się

A Q = Tc‘ 2 i z r 0 l - A t

du

dr r=n>= 4:itu0 T d ‘ A t ’ V exp Г — irV I

Ilość ciepła potrzebna do nagrzania pręta do ustalonej temperatury щ wynosi

oo oo ^2 ^ °° 1

ф = Д-кщЫ J ^ exp I --- I dt = 4:пи0Ы2Ą l ^ - j p = uro^^o,

o *=i *- й roJ *=i *

a więc wykorzystując pierwszą zależność (25) otrzymujemy znany wzór empiryczny dla ilości ciepła potrzebnej do nagrzania ciała o masie m do temperatury u0 (jeśli temperatura początkowa równała się zeru):

Q = mcu0. Prace cytowane s [1] В. А. Д и т к и н и П. И. К у з н е ц о в , Справочник по операционному исчислению, Москва - Ленинград 1951. [2] Г. М* Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Москва-Ленинград 1948.

[3] М. K r a k o w s k i, Pole elektromagnetyczne w pręcie przewodzącym po włą­ czeniu do jego końców napięcia stałego, Zeszyty Naukowe Politechniki Łódzkiej, Elektryka 2(1957). [4] И. M. Р ы ж и к и И. G. Гр ад ш т е й н , Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва - Ленинград 1951. М. Краковский (Лодзь) О Н Е К О Т О Р Ы Х Б Е С К О Н Е Ч Н Ы Х Р Я Д А Х С В Я З А Н Н Ы Х С Ф У Н К Ц И Я М И БЕССЕЛЯ РЕЗЮМЕ Вычислено суммы бесконечных рядов содержащих положительные корни А1 , А 2 , . . . уравнения J0(z)

=

0 и положительные корни у х, у г , . . . уравнения J x(z) — 0. Эти вичисления произведено при помощи операционного исчисления опираясь на трансформацию Лапласа-Карсона. Вычислено суммы рядов типа _ L у 1 4 * ’ & Я -г о Ш Ę X f + ' j x(Xk) ’ _fc=1I М. Kbakowski (Łódź) ON IN F IN IT E S E R IE S C O N N EC TE D W I T H B ESSEL FU N CTIO N S S UMMARY

In the paper are computed sums of infinite series containing positive roots Xx, A2, . . . of the equation J0 (z) = 0 and positive roots yx, , . . . of the equation J x (z) = 0. The computations were performed by the aid of the operational calculus basing on Laplace-Carson transformation. One deals with series of the following typ e: