O szeregach doskonale zbieżnych w pew nych przestrzeniach funkcyjnych
1. W pracy niniejszej zajmiemy się badaniem szeregów postaci gdzie xn są elementami przestrzeni Banacha X 1), a r)n należą do pewnej klasy ciągów zerojedynkowych, tzn. przyjmujących wartości 0, 1 . Szeregi ]?r)nxn będziemy nazywali szeregami częściowymi szeregu ]?%n.
Badania te pozostają w łączności z pojęciem doskonałej zbieżności, wpro
wadzonym przez autora w związku z pewnymi zagadnieniami z teorii szeregów ortogonalnych; pojęcie to okazało się użyteczne w analizie funkcjonalnej (np. przy reprezentacjach operacji liniowych, w teorii addytywnych operacji zbioru i w teorii całki funkcji wektorowych).
Szereg 2^xn, którego każdy szereg częściowy jest zbieżny, nazywamy doskonale zbieżnym. Łatwo można wykazać, że szereg doskonale zbieżny jest komutatywnie zbieżny2) (bezwarunkowo zbieżny), to znaczy, że każdy szereg powstający z niego przez permutację wyrazów jest zbieżny. Pra
wdziwe jest również twierdzenie odwrotne.
Jeżeli X jest przestrzenią skończenie wymiarową, to zbieżność komu- tatywna szeregu pociąga za sobą zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu ]?\\xn\\. Ponieważ, jak wiadomo, ze zbieżności bezwzględnej wynika zbieżność komutatywna lub doskonała, więc w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej równoważne są trzy rodzaje zbieżności: doskonała, komutatywna i bezwzględna. Sytuacja jest zasadniczo odmienna w przy
padku przestrzeni Banacha nieskończenie wielowymiarowych. Kilka lat temu matematycy amerykańscy D v o r e t z k y i E o g er s [3] wykazali, że w każdej przestrzeni Banacha nieskończenie wielowymiarowej istnieją szeregi doskonale zbieżne, które nie są zbieżne bezwzględnie, rozwiązując w ten sposób zagadnienie stawiane przez matematyków lwowskich jeszcze w roku 1929. Dowód Dvoretzky’ego i Bogersa nie jest elemen
tarny. Warto jednak zauważyć, że podanie przykładów szeregów o wspo- r) Co do zasadniczych pojęć analizy funkcjonalnej, patrz monografia Banacha [2 j.
2) Szeregi komutatywne zbieżne w przestrzeniach Banacha występują po raz pierwszy w pracy [4], a równoważne z nimi szeregi doskonale zbieżne wprowadził autor w komunikacie wygłoszonym w czasie Zjazdu Kół Matematyczno-Fizycznych Studentów Uniwersytetów, we Lwowie w 1931 r.; por. też [2], sir. 240.
W . Orlicz (Poznań)
394 W . O r l i c z
mniariej ostatnio własności nie przedstawia w niektórych przypadkach trudności (na przykład w przestrzeni L2), a przy tym jest instruktywne.
Niech j9on(t)} oznacza dowolny nieskończony okład ortonormalny w <a,&>. Jeżeli obierzemy liczby an w ten sposób, by JTa^Coo, to również dla dowolnego ciągu zerojedynkowego {^} jest ^ i f na2n< oo, a więc na mocy twierdzenia Riesza-Fischera istnieje taka funkcja całkowalna z kwadratem x (t), że
b m
lim / K(<) - 2 Vn<(n<Pn(t)¥ dt = 0,
m —yoo a n = l
ożyli że w przestrzeni L2 szeregi ortogonalne
oo
(^-) 2
П—1
są doskonale zbieżne, jeżeli szereg współczynników jest zbieżny z kwa
dratem. Oczywiście zbieżność rozumiemy tutaj w sensie przeciętnej zbie
żności z kwadratem, to znaczy według normy obowiązującej w /Л Po
nieważ
b 1/2
K ! = / (an<pn(t)Y dt\ = \K<pn\\,
xa '
więc jeżeli dobierzemy an w ten sposób, by 2 \ an\ = oo, to szereg (1 ) będzie bezwzględnie rozbieżny w L2. Powyższy przykład wyjaśnia dobrze uży
teczność pojęcia doskonałej zbieżności w przestrzeniach nieskończenie wielowymiarowych.
W paragrafie 2 tej pracy podajemy kilka twierdzeń związanych z pojęciem doskonałej zbieżności w dowolnych przestrzeniach Banacha, w paragrafie 3 zajmujemy się doskonałą zbieżnością szeregów w pewnych przestrzeniach, których elementami są funkcje, oraz podajemy pewne zastosowania.
W paragrafie 3 będą występowały następujące przestrzenie Banacha, których elementami są funkcje określone w przedziale <«,&>, a w których podstawowe działania dodawania elementów i mnożenia przez liczbę określone są w zwykły sposób:
C przestrzeń funkcji ciągłych, przy definicji normy ||ж||=тах|аг(<)|;
M przestrzeń funkcji mierzalnych ograniczonych, przy definicji normy ЦжЦ=sup* \x(t)\;
La przestrzeń funkcji całkowalnych z wykładnikiem «> 1 , przy definicji normy ||ю|| = Ш®(«)|в<Ш ;/ b
'a f
V przestrzeń funkcji równoważnych z funkcjami o wariacji ograni
czonej, przy definicji normy ||a?||=sup* |#(£)|-f-var*a?(tf)3).
3) Por. praco [6], str. 21-22, [6], str. 218-219.
O szeregach doskonale zbieżnych 395
Oznaczamy zawsze przez sup*x(t) tak zwane istotne supremum funkcji x{t) w przedziale <«,&>, to znaczy najmniejszą, liczbę k, dla której zbiór Jj\x(t)>lĄ ma miarę 0.
Jeżeli x(t)<oOj to funkcję x{t) nazywamy istotnie ograniczoną w <a ,b>.
*
2. Przez r) oznaczamy ciągi zerojedynkowe, to znaczy ciągi {rin\ 1 gdzie r}n~ 0,1; przez H oznaczamy zbiór wszystkich ciągów tego rodzaju, przez H* zbiór ciągów zerojedynkowych, dla których spełniony jest warunek
0n(*l) = V
1 + V2 + + V n
n • > 0 przy n-+oot
czyli (Cl)-limesowalnych do zera. ''
W H można wprowadzić metrykę określając odległość elementów
= j, ^ 2) = ( ^ } za pomocą wzoru
00 .
n = 1 "
Podobnie w H* można wprowadzić metrykę za pomocą wzoru
= max I on(y(1)) - an(rj{2))\.
П
Przy tak określonej odległości zbiory H względnie H* stanowią przestrzeń metryczną zupełną (łatwe dowody pomijamy). Zauważymy, że jeśli — {?]$}, v/0) = i d{rfk) , г Р ) ^ 0 względnie d* (rfk), rf0)) >0 dla Tc~>0 0, to dla n = 1 ,2 ,...
Z ostatniej uwagi wynika, że funkcjonał postaci T(rj) — J? an Vn
71=1
jest ciągły w H względnie H*, jeżeli
OO
Z K I < ° ° * 1
W dalszym ciągu potrzebne nam będą następujące własności prze
strzeni H.*:
1° Jeżeli {)|й}еЯ*, max ап(у ) < д i dany jest dowolny element {v$\ t //*, to istnieją takie ciągi {rj'n\, (K| w przestrzeni H*, że
Пп=Пп— Vn, Я*(r)', < q, d*{rf, »7(0)) < Q.
Dla dowodu wystarczy określić następujące ciągi zerojedynkowe:
Vn = Vn] + (Пп — Vn Vn) t Vn= Пп — Vn Vn-
396 W . О г 1 i c z
2° Jeżeli q jest z góry daną liczbą dodatnią, s ^ [ 2 / q]J-1, to każdy ciąg z H*, którego s początkowych wyrazów równa się O, daje się rozłożyć na sumę s takich ciągów y^eH*, że тахо'й(»](1))< q.
Oznaczmy przez H* zbiór ciągów z //*, mających s początkowych wyrazów równych 0 i dla których yn—0 dla wszystkich wskaźników z przedziału m s < n ^ ( m - \ - l) s , z wyjątkiem co najwyżej jednego (przy m = 1, 2,. .. ). Ponieważ dla {yn) e H* jest
<*Лу) Уг + Уг + n
• • • + Уп 2
< ~ < Q , s
a każdy ciąg z H*, dla którego yn — 0, gdy n — l , 2 , . . . , s , daje się w oczy
wisty sposób przedstawić jako suma s ciągów z H*, więc własność 2°
jest udowodniona.
3° Dla ciągu |ąrj] eH * określmy ciągi y (k)\ r}i,y2 • jVk»0? 0>• • •; wówczas, d*(y,yk)->0, gdy >oo.
Wynika to z nierówności
d* ( у, у max У к+ 1 + У к + 2 + • » • + У к +i
kĄ-r ■- maxVi + + • • • ~f Ук+r k + r < e zachodzącej dla dostatecznie dużego к.
Dla przestrzeni H są spełnione analogiczne własności, przy czym w podanych sformułowaniach należy zastąpić maxcr?l(ą) przez ^ ( y nl2n) i wziąć właściwą definicję odległości. Własność 3° można w tym przypadku uzupełnić uwagą, że y ^ - > y w H jednostajnie względem y.
L em a t 1. Niech macierz liczbowa (ain) spełnia następujący warunek: (a) lim ain — an dla n —1 ,2 ,...
г—>0o
Dla ciągów zerojedynkowych utwórzmy transformaty
OG
(2) Ti(y) = 2 ’ ynain-
n=1
Jeżeli istnieje taki zbiór drugiej kategorii H 0C H względnie H*CH*, że dla y e H Q względnie dla y e H 0 ciąg transformat (2) jest ograniczony, wówczas (aj) ciąg \Т{ (у)\ jest ograniczony w • całej przestrzeni H względnie H*,
OO
(Pi) sumy Tj \ain\ są jednostajnie ograniczone ze względu na i.
П=1
Dowód. Eozpatrzymy przypadek przestrzeni H*. Załóżmy najpierw, że macierz (ain) jest wierszami skończona, to znaczy przy każdym i jest ain= O dla prawie wszystkich n. Mech przy fc = l , 2 , . . .
n
O szeregach doskonale zbieżnych 397
Ponieważ macierz (ain) jest wierszami skończona, więc T^rj) są funkcjo
nałami ciągłymi w H*, a więc zbiory H'l są domknięte. Ponieważ H l jest drugiej kategorii, a z założenia i f * C + # * + • • • > więc wynika stąd, że jeden ze zbiorów Щ zawiera kulę. Niech będzie nim zbiór H l i niech kula K{r}(0),Q) o środku — {^ J i promieniu q zawiera się w tym zbiorze. Na mocy 1° każdy ciąg z FI*, dla którego max a n(r])<Q, daje się przedstawić w postaci
?! = v)'— rf'i gdzie rj' ,ц eK(rj°, q), skąd
OO 0 0 OO
j Щ Ц п Щ п i ^ I Щ 'Ч п Щ п '■ H - j J ij V n ® in \ ^ 2r.
n = l n = 1 n = \
Jeżeli obierzemy s dostatecznie duże, to na mocy własności 2° każdy ciąg z H*, postaci r/s): 0,0, . . . ,rj8+1, r}s + 2 daje się przedstawić w po
staci s takich ciągów rf^eH*, że maxcrn(i](t))< g ; zatem z poprzedniego rozumowania wynika, że
OO
| ^ Цп®>%п | ^ 2iTS, n = s+ 1
a stąd
00
(3) j Ц 4n<4n \ <ńTs+ 2rs, i = 1 , 2 , . . . , {r)n\ eH*, 71=1
gdzie
,S'
K s = sup ( 21 Ы ) ,
i n = 1
czyli teza (ax) jest spełniona. Ponieważ z (3) wynika bezpośrednio
00
Z knl < 2 (Ks + 2rs) = M,
n = 1
więc spełniona jest również teza (J^).
Odrzućmy obecnie założenie, że (ain) jest macierzą wierszami skoń
czoną. Przy ustalonym i transformacje
71 = 1
są zbieżne w H l , więc na mocy poprzedniego rozumowania dla у = 1 ,2 , . . . ,
П — 1
przy pewnym czyli ]?\ain\< o o dla każdego i. Obierzmy wskaźniki n(i) w ten sposób, by
^j \^in\
п —п(г) + 1 < 1 dla i —1 ,2,...
398 W . О г 1 i c z
Transformaty TJrj) odpowiadające macierzy ain= a in dla n —l , 2 , . . . , n (i), ain= 0 , gdy n > n (i), spełniają oczywiście założenia lematu 1 , zatem na mocy poprzedniego rozumowania sumy l®ml są jednostajnie ograniczone ze względu na i, a stąd wynikają ((Зх) i (ax) w przypadku ogólnym.
W przypadku przestrzeni H dowód przebiega analogicznie.
L ema t 2. Niech macierz (ain) spełnia warunek (a). Jeżeli istnieje taki zbiór drugiej kategorii H0C H względnie H*CH*, że dla rjeH0 względnie 7] eH* ciąg transformat (2) jest zbieżny, wówczas
(a2) ciąg {T{(r})] jest zbieżny w całej przestrzeni H względnie II* do
o o
granicy У у пап,
n = l
CO
(p2) w przypadku przestrzeni H reszty rik = У} \ain\ dążą przy k~>oo do o
n = k
jednostajnie ze względu na wskaźniki i 4’).
Dowód. Dowód przeprowadzimy najpierw w przypadku przestrze
ni II*. Na mocy lematu 1 szeregi £ \ain\ są zbieżne dla i = 1 , 2 , . . . , a więc transformaty 1\{у) są funkcjonałami ciągłymi w H*. Oznaczmy
я; = е {№(ч) — =
n ^
Eozumując analogicznie, jak w dowodzie lematu 1, stwierdzamy naj
pierw, że pewien zbiór H* zawiera jakąś kulę К q). Stosując, jak w dowodzie poprzedniego lematu, własność 1° wykażemy przez analo
giczne rozumowanie, że
\2 Уп{<Ьп—tyn)\ < 2 *t =_o ,
jeżeli max an(y)<Q. Mech у będzie dowolnym ciągiem z # * ; na mocy własności 3° dla ciągu rfk)\ у1}г]2,...,г]к, 0 , 0 , . . . jest m axоп(г)— rfk))<Q dla к dostatecznie dużego. Uwzględniając jeszcze (a) otrzymujemy
o o к
( 4 ) Tj(f])\ = | ^ v}n{ain а^ п ) j ^ j Уп(®т Щп)\ " b
n= i n = i
“ I Е Е
~ b | 'ĄnfaiTb % n ) I ^ I X- = = £
n = k + l ^ Л
dla wszystkich i ^ j ^ l j ^ l . Tutaj \ zależne jest od y. * i
4) W związku z lematami 1 i 2 zauważmy co następuje: Część (ax) lematu 1 i ((Зг) lematu 2 można w zasadzie uważać za znane, chociaż autor nie umie wskazać pracy, w której występowałyby twierdzenia przy założeniach identycznych; por. [1], str. 21-24, [7], str. 48.
O szeregach, doskonale zbieżnych 399
W przypadku przestrzeni H dowód do tego miejsca przebiega analo
gicznie, z tą różnicą, że &, a więc i Zx można przyjąć niezależnie od rj.
Dlatego w tym ostatnim jnzypadku wzór (4) pociąga za sobą oo
У i l^in &jn\ gdy i ^ ,
n = l
a stąd dalej
oo
JE\ai n ~ a n\ < 2e, gdy
n = l
Ponieważ według lematu 1 jest X\an\<oo, więc obierając Jc dostatecznie duże otrzymamy dla wszystkich i
OO OO OO
У ! \® in \ l^ i» ® n \ K | <'*
n = k n = k n = k
co pociąga za sobą (p2). Z (4) wynika zbieżność ciągu {T^?;)} w przy
padku zarówno przestrzeni H* jak i H. Ponieważ z (f32) i (a) wynika nie
równość
OO OO
j i v ) V n ®n | ^5 I® in ®'n\ ®
n = 1 n = l
dla i dostatecznie dużych, więc udowodniliśmy w przestrzeni H
v OO
lim Tiirj) = £ Vnan.
i-+oo n= 1
Ostatnia równość słuszna jest również w H*. Wystarczy zauważyć, że jeżeli [r\n}eH*, \yn)€H, to jrjnyn}eH* i zastosować poprzedni wynik, od
powiadający przestrzeni H, do transformacji odpowiadających macie- rzy t]n щп .
Lematy 1 i 2 można by uogólnić zastępując przestrzeń ciągów zero
jedynkowych (Cl)-limesowalnych do 0, przez przestrzeń ciągów zero
jedynkowych limesowalnych do 0 pewną metodą Toeplitza, o wyrazach nieujemnych. Z pomocą uogólnionego lematu 2 można wykazać pewne twierdzenia o zgodności metod limesowalnych w zakresie ciągów zero
jedynkowych. Do tych zastosowań uogólnień lematu 2 powrócimy w innej pracy.
Mech X będzie przestrzenią Banacha; przez E będziemy oznaczali przestrzeń sprzężoną z X , to znaczy przestrzeń Banacha, którą stanowią funkcjonały liniowe | = £(ж) w X przy zwykłych definicjach działań i przy normie ||£|| = sup ||(ж)|. Zbiór E0CE nazywamy zbiorem normującym funkcjonałów, jeżeli istnieją takie dodatnie stałe O i o, że ||||KCł, gdy
E0 oraz sup |£(a?)|^c||a?|| dla dowolnego x.
f e s0
W . O r l i c / 400
Zbiór 3 Q nazywamy słabo zwartym (ze względu na X), jeżeli z każdego ciągu £ne 3 0 można wyrwać ciąg częściowy £щ = £щ(х) zbieżny dla dowol
nego oo.
Ciąg elementów \xn], xne X , nazywamy słabo zbieżnym do elementu x, jeżeli dla każdego £eE zachodzi £(<rj->£(&).
Przestrzeń X nazywa się słabo zupełną, jeżeli ze zbieżności ciągu {£(жп)}, przy każdym ĘeB, wynika słaba zbieżność ciągu do pewnego elementu. Zauważmy, że C nie jest przestrzenią słabo zupełną, natomiast przestrzenie La, V są przestrzeniami słabo zupełnymi.
Twierdzenie 1. Następujące warunłci są wystarczające na to, aby szereg
CO
(5) Z
n = 1
był doskonale zbieżny w przestrzeni X :
(oc3) istnieje zbiór normujący funkcjonałów S 0 oraz taki zbiór H0 drugiej kategorii w przestrzeni H, że dla p — [rj)eH0 oraz £еЯ0
OO
■X* "On £ ip ^n )
w П— 1
gdzie xn jest elementem z X zależnym od r\, lecz niezależnym od i;
(p3) zbiór 3 0 jest słabo zwarty.
Dowód. Wykażemy najpierw, że
OO
Z \ i ( x n) \ ^ 0 , gdy k->oo, n= к
jednostajnie w' zbiorze Gdyby tak nie było, istniałyby takie rosnące ciągi wskaźników &•<&", że przy pewnym e0> 0 zachodziłaby nierówność (6)
п=Ц
dla pewnego ^ z 3 0 przy i —1 , 2 , — Korzystając z założeń (a3),((33) można założyć, że istnieją granice
Ит^ж^) dla wszystkich xn,
i —> oo
lim £i(xn) dla n = 1 ,2 ,...
г—>-oo
Jeżeli przyjmiemy аы = ^(хп), to warunek (a) z lematu 1 jest spełniony oraz ciąg transformat
oo OO
~ ^ P n ^ i n JL V n
n = 1 n = 1
O szeregach doskonale zbieżnych 401
jest zbieżny dla y e H 0. Zatem na mocy lematu 2, gdy &->oo, to
00
I {Я'п) I b n=k
jednostajnie w zbiorze ( i=1 ,2 ,...); dochodzimy więc do sprzeczności z nierównością, (6).
ШесЬ к będzie z góry danym wskaźnikiem, niech p > k i niech {rjn\
będzie z góry danym ciągiem zerojedynkowym. Ea mocy definicji zbioru normującego funkcjonałów, dla pewnego £0еЕ0 spełniona jest nierówność
p 2 p 2 00
11 ^n | ^ | Vn^0 (*^n) | I i^n) IJ
n=k C n—k 0 n=k
więc na mocy poprzedniego rozumowania wynika stąd przy danym e >0, dla dostatecznie dużych k, nierówność
p
|| 'E Vn^nW < E dla p = k ,k + 1 , . . . , n=k
czyli zbieżność szeregu ]?r)nxn.
Eozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie twierdzenia 1, lecz oparte również o lemat 1 , prowadzi do następujących twierdzeń:
Twierdzenie 2. Jeżeli dla ciągów zerojedynkowych łj = {ąn) należących do zbioru H*CH* drugiej kategorii zachodzi relacja (a3) dla | należących do zbioru normującego S 0, gdzie element xn jest od £ niezależny, a nadto spełniony jest warunek ((33), wówczas:
1° dla dowolnego ciągu rj e H* szereg OO
(^) Vtl'X'n
n= 1 jest zbieżny.
2° istnieje taka stała K >0, że
к
(8) \ \ £ r ) nxn\ \ ^ K przy k = 1 , 2 , . . . , oraz р = {уп}еН.
П~ 1
Twierdzenie 2'. Gdy sumy częściowe szeregu (7) są ograniczone dla yeH*CH* względnie г}бН0СН, gdzie H* względnie H0 jest zbiorem drugiej kategorii, to spełniona jest nierówność (8).
Dowód. Z lematu 1 wynika najpierw zbieżność szeregu £ r ) n H x n ) n
dla dowolnego £eE, a stąd ograniczoność sum częściowych £ Vn®n dla i
każdego rje H. Stąd łatwo już wynika (8).
Roczniki P. T. M.-Prace Matematyczne I 26
m W . O r 1 i o 2
Tw ie r d z e n ie 3. A. Jeżeli przy dowolnym ciągu zerojedynkowym szereg częściowy (7) jest słabo zbieżny do pewnego elementu, to szereg (5) jest doskonale zbieżny5).
B. Jeżeli przestrzeń X jest słabo zupełna i przy dowolnym r)eH* sumy częściowe szeregu (7) są ograniczone, to szereg (5) jest doskonale zbieżny.
Dowód. A. Bierzemy za H0 całą przestrzeń H, za 3 0 przestrzeń sprzężoną. Aby móc zastosować twierdzenie 1 wystarczy jeszcze zauważyć, że w tym przypadku jest spełnione ((33). Mianowicie słaba zbieżność do elementu szeregów częściowych pociąga za sobą na mocy znanego twier
dzenia6), że xn dadzą się przybliżyć z dowolną dokładnością kombinacjami liniowymi odpowiednich sum częściowych szeregu (5). Wynika stąd, że x należą do najmniejszej podprzestrzeni liniowej domkniętej X 0, rozpiętej na elementach xn, która jest oczywiście ośrodkowa. Pociąga to za sobą słabą zwartość S 0 (względem X 0).
B. Z twierdzenia 2' wynika, że nierówność (8) zachodzi dla dowolnych ciągów zerojedynkowych. Pociąga to za sobą zbieżność szeregów
przy dowolnym funkcjonale liniowym £, a ze słabej zupełności przestrzeni X wynika, że suma tego szeregu daje się napisać w postaci £(x4), gdzie x nie zależy od £. Wystarczy więc zastosować A.
3. Mech xn(t) oznaczają stale w tym paragrafie funkcje mierzalne w {a ,b }. Ciąg {xn(t)} nazywa się asymptotycznie zbieżny do x(t) w
jeżeli
W przestrzeni funkcji mierzalnych w (a ,b y określmy normę wzorem
Jest to tak zwana norma typu F; spełnia ona zwykłe warunki: ||a?||a= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ® = 0, -|[—а?||а=||я?||а, ||®+у||а<1И1а +11У11а, lecz nie spełnia warunku jednorodności. Zamiast tego ostatniego spełniony jest słabszy warunek ciągłości operacji tx:
Jeżeli liczby tn dążą do t0, a \\xn—xQ\\a->0, to \\tnxn—t0x0\\a->0.
6) Twierdzenie 3.B zostało po raź pierwszy ogłoszone w pracy autora [4] ; część A twierdzenia weszła w skład komunikatu autora, wygłoszonego na zjeździć Kół Naukowych Studentów Matematyki i Fizyki (por. notkę 2)). Główne twierdzenia tego komunikatu podał bez dowodów S. B an ach w swej monografii [2], str. 240.
e) Por. [2], str. 58, twierdzenie 6.
C O
ZVnHXv)
n = 1
\E{\xn{ t) —x ( t ) \ > e}\->0 gdy n -> o o .
O szeregach doskonale zbieżnych 40$
Wykazuje się łatwo, że warunki (a') K - ® ||a-»0,
(b') funkcje xn= x n(t) dążą asymptotycznie do x = x ( t ) 1 są równoważne.
Przez 8 oznaczmy przestrzeń funkcji mierzalnych w <a,&> przy normie || ||a.
Jest jasne, że podobnie jak w przestrzeniach Banacha, możemy mówić o doskonałej zbieżności szeregu £ xn w przestrzeni 8, rozumiejąc zbież
ność w sensie podanej poprzednio normy || ||a, czyli jako zbieżność asym
ptotyczną. W przypadku przestrzeni funkcji mierzalnych zbieżność doskonałą będziemy nazywali doskonalą zbieżnością asymptotyczną.
L e m a t 3. Jeżeli szereg
oo *
(9) =
n=1
jest asymptotycznie zbieżny, gdy y = {yn} należy do zbioru drugiej kategorii II* CII* względnie Щ СН, to
(a) szereg (9) jest zbieżny asymptotycznie dla dowolnego yeH* względnie yeH, ((3) suma x (t) jest operacją ciągłą z H* względnie z H do 8.
D o wód. Rozpatrzmy przypadek przestrzeni II*) w przypadku H rozumowanie przebiega analogicznie. Określamy
i
Уп®т)
n= 1
gdzie I
\ o
gdy n ^ i , gdy n > i ,
dla i =1 , 2 , . . . Do ciągu operacji {T^y)] stosujemy mutatis mutandis rozumowanie analogiczne do użytego przy dowodzie własności (a2) z le
matu 2, zastępując | | przez || ||a. Wykazujemy najpierw dla danego e> 0 istnienie £ > 0 o tej własności, że
(1 0) \\Ti(rj) Tj {r})\\a<C gdy m aio,ft(i))<p,
Stąd wynika, analogicznie jak w dowodzie lematu 2, zbieżność ciągu {J7^ ) } do pewnej operacji T(y) = x n{t) dla dowolnego yeH*. Z (10) wnio
skujemy
||Ti (^ )- T (ły)||a< y , gdy ma x a n(y)<Q, i ^ l x, a stąd wynika
\\T{y)\\a< e , ||Т ^ )||а<е, gdy i =1 ,2 , . . . , т&хоп( у ) < д < д . ШесЬ у będzie dowolnym elementem z H*, niech y [k^ — {y^)e H* i niech d* {y{k) ,y)->0 przy fc-^oo. Łatwo spostrzec, że ciągi у ^ — у^Ум Уп—Уп}Уп
26*
404 W. О г 1 i с 2
należą do H* i że
maxor„(^ — max #„(?? — gdy &->oo.
П П
Ponieważ
V{n — Vn= fan* — V{nVn) — (Vn - *i{nVn), więc
||Ti (»W)- 2 ’i (*))IU<l|I’i (»)(‘,-*iW4)lla+l|I,i (r,- 4w»i)||„<2e
dla i = 1 , 2 , . . . i prawie wszystkich к. Zatem przy i-^oo otrzymujemy
\\Т(д{к))~ Т (у)\\а^ 2 е, a więc ((3) jest udowodnione.
Przez X [a ,b ] oznaczmy jedną z następujących przestrzeni funkcji:
С, M, La (а>1), F, zakładając, że funkcje określone są w <u,&>.
Normę funkcji należącej do X [ a , b] oznaczmy przez \\x\\ba w przy
padkach, gdy zachodzi potrzeba zwrócenia uwagi na przedział definicyjny.
O funkcji x(t) mówimy, że w 'punkcie t0 jest klasy K { X [ t 0 — d,t0-Ą(5]}, jeżeli w <t0—<5,t0-f<5> należy do X [t0 —<5,t0-f-<5]. Mówimy, że x(t) jest w punkcie t0 'klasy K [ X ) , jeżeli przy pewnym <5 jest klasy K { X [ t 0 — 6,
Jeżeli x(t) nie jest w tQ klasy K { M}, to tQ jest punktem istotnej nieogra- niczoności.
Jeżeli w podanych określeniach ograniczymy się do prawostronnego przedziału (t0Л + <5> lub lewostronnego przedziału (t0—6,t0}, to analo
gicznie można zdefiniować: x(t) jest w t0 prawostronnie lub lewostron
nie klasy K { X }.
Tw ie r d z e n ie 4. Jeżeli szereg (9) jest asymptotycznie zbieżny dla у należących do zbioru drugiej kategorii H0C H względnie H*CH*, xne X \a ,b ], i sumy xn odpowiednich szeregów należą do X [a ,b ], wówczas spełniona jest nierówność (8).
Dowód. Eozpatrzymy przypadek przestrzeni H*. Według lematu 3 dla dowolnego yeH* szereg (9) jest asymptotycznie zbieżny. Oznaczmy
H * = E { x v e X [ a , b ] , ||ag|£<fc} przy k =1 , 2 , . . . v
Ponieważ C jest podprzestrzenią M, wystarczy rozpatrzeć przypadek X [ a , b ] = M ,L a,V. Wymienione ostatnio przestrzenie mają tę własność, że asymptotyczna zbieżność xn(t) do x(t) oraz ograniczoność ciągu \\xn\\bn pociąga za sobą, że x e X [ a , b ] oraz
\im\\xn\\ba > M \ ba,
O szeregach doskonale zbieżnych 405
a ponieważ nadto z dt {г^к\ г})->0 wynika na mocy lematu 3 asymptoty
czna zbieżność x {k)(t) do xn(t), więc zbiory Щ są domknięte. Ponieważ H*CH* + / / J + . . . , więc jeden ze zbiorów, na przykład H*, zawiera pewną kulę К {щ ,е). Jest zatem
я?че Х [ а ,Н IK J!a< ^ gdy уеК{ г1о,д).
Z pomocą własności 1° i 2° przestrzeni H* wynika stąd istnienie takiej stałej K > 0 , że
xne X [a ,b ],
dla dowolnego yeti*. Wystarczy jeszcze zastosować twierdzenie 2'.
W podobny sposób udowodnimy
Tw ie r d z e n ie 4'. Jeżeli szereg (9) jest asymptotycznie zbieżny dla у należących do zbioru drugiej kategorii H0CH względnie H*CH*, xn są klasy K { X ) i sumy xn odpowiednich szeregów są w punkcie t0 klasy X [ X \ , to istnieje przedział (t0 — <5,t0-j-ó>, w którym dla y e H względnie yeH* sumy xn są klasy K [ X \ t Q— <M0 + ó]}.
Analogiczne twierdzenie pozostaje w mocy, gdy zastąpimy w po
wyższym sformułowaniu klasę K { X ] przez prawostronną lub lewo
stronną klasę K {X }.
Tw ie r d z e n ie 5. Przy założeniu, że xn(t) są ograniczone dla n =1 , 2 , . . . , warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby szereg
OQ
( 1 1 ) E * „ ( f )
»= 1
był doskonale zbieżny w M, jest, by szereg
oo
(12) z K w i
71—1
był w { a , b } istotnie jednostajnie zbieżny, czyli by jednostajna zbieżność szeregu (1 2) zachodziła po wyłączeniu zbioru o mierze 0.
Analogiczne twierdzenie jest słuszne też dla przestrzeni C, w tym przypadku istotnie jednostajna zbieżność pokrywa się ze zbieżnością jedno
stajną w {a ,b }.
D owód. D o s t a t e c z n o ś ć . Zauważmy najpierw, że istotnie jedno
stajna zbieżność szeregu (1 2) jest równoważna ze zbieżnością a
sup*( 2 M t ) ) ) - > 0 , gdy p ,q -* oo.
n = p
Ponieważ
|| Z »?A(0 ||<sup*( 2 \xn(t)I),
n —p n = p
więc dostateczność jest udowodniona.
406 W . О г 1 i c z
K on i e c z n o ś ć . Łatwo spostrzec, że szeregi doskonale zbieżne w dowol
nej przestrzeni Banacha mają, następującą własność:
Do każdego e> 0 istnieje taki wskaźnik N, że a
n=*p
dla q ^ p ^ N i dla dowolnych r\n—0,1.
Stosując tę uwagę do doskonałej zbieżności w przestrzeni M, widzimy, że ч
sup*j Z r)n0Dn(t)\^e
n = p
dla q ^ p ^ l V i dowolnego ciągu {ąw} zerojedynkowego. Zatem nierówność
(13) |2 Ч А ( г ) | < £
n ~ p
spełniona jest w ( a , b } po wyłączeniu pewnego zbioru Ща o mierze 0. Wyłączmy wszystkie zbiory Dpą odpowiadające 2a~p rozkładom jedynek i zer yp ,r]p+1, . .. ,7]u. W pozostałym zbiorze А ш o mierze b—a spełniona jest nierówność (13) przy dowolnych rozkładach zer i jedynek, co pociąga za sobą
E \ v n(t)\<2e dla te A pa.
71 — p
Jeżeli В oznacza zbiór powstały z ( a ,b } po wyrzuceniu wszystkich zbio
rów A pą odpowiadających e —l/n , (w= 1 , 2 , . . . , p , q =1, 2,...), to szereg (12) jest w В jednostajnie zbieżny7 8).
Podobnie dowodzi się twierdzenia następującego:
Tw ie r d z e n ie 5'. Jeżeli xn(t) są ograniczone dla n= 1 , 2 , . . . , zaś к
sup*| 2 r}nxn(t)\^ K , gdy k =1 , 2 , . . . , r) = {r)n}eH,
n = l
to prawie wszędzie w (a ,b y
OO
łl= l
O funkcji x(t) mierzalnej w ( a ,b ) będziemy mówili, że w punkcie t0 posiada istotną granicę prawostronną gp, jeżeli istnieje zbiór A o mierze b—a taki, że x(t)-^gp , gdy t0< t- ^ t0 (teA). W podobny sposób określamy
7) Część twierdzenia 5 dotycząca funkcji ciągłych nie jest nowa, chociaż trudno byłoby ustalić, kto pierwszy ogłosił twierdzenie tego rodzaju.
8) Twierdzenie 5' występuje już implicite w pewnych badaniach autora doty
czących rozwinięć ortogonalnych; por. [4].
