View of ANALYSIS OF ARBITRARILY SMALL RISK PORTFOLIO

Oeco110111ia 3 (2) 2004, 75-83

ANALIZA PORTFELA

O

RYZYKU

DOWOLNIE MAŁYM

Grzegorz

Koszela

Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Dążenie do minimalizacji ryzyka jest naturnlm1 knnccpcj<\ inwcstycyj1ą

W praktyce portfelowej koncepcja ta realizowana.jest przez dol<1czcnic clo skl:1clu port kia papierów wolnych od ryzyka. których najbardziej popularnym rcprczc:ntantc:m ·''\ ohli),:<1 -cjc. W szczególności jest to możliwe nawet wtedy. gdy wyjściowo dysponuje: si.,: skl;1dc111 porllela o minimalnym ryzyku. Ryzyko port fe la po dolączcniu obi ig;1cj i 111oic zmaleć dowolnie. jeśli w portfClu znąjdzic si.,: odpowiednio dużo tych obligacji. Dlatc:go tc:i. 1110

-rzom:: w niniejszej pracy portklc autor nazywa .. portfcla111i o ryzyku clowolnic: malym··. Koncepcja tworzenia takich portfeli jest analogiczna do budowy portlcli '/ linii rynku

kapitałowego (CML - ang.: capital market line).

Słowa kluczowe: portfel. ryzyko. port lei rynkowy. krótka sprzc:cl;1ż

WSTĘP

Praca stanowi bezpośrednią kontynuacjce wcześniejszych publikacji Clut01";1

I

l(osz.cla 20031 i rKoszel<l 2004]. W szczególności w pracy [Koszela '.20041 uzysbno wzory na ryzy

-ko i zysk tzw. portfela rynkowego, co w konsekwencji pozwolilo określić zakres zmian ryzyka i zysku dowolnego portfela z linii rynku kapitalowcgo. tzn. z prostej Jączącej

punkt odpowiadający obligacjo111 z punktem reprezentujący111 portlCI rynkowy (w ukla

-dzie wspólrzędnych ryzyka i zysku, tzn. odpowiednio odchylenia standardowego i oczeki

-wanej stopy zwrotu). Podano też wzory na ski ad, ryzyko i zysk tak i ego port tel a w zależ­

ności od stopni<l awersji do ryzyka bądź równoważnie - od stopnia oczek i wa1i uzyska

-nia odpowiedniego zysku. Niestety, nic ma możliwości przeniesienia tych nowych wy

-ników na przypadek portfeli wieloskladnikowych. Tc możliwości powstają jednak po

wprowadzeniu przez :iutora niniejszej pracy nowego pojęcia „portlela o ryzyku dowol

-nie malym". Wyjściowo dowolne zmniejszanie ryzyka odnosi sice do portfela akcyjnego

o minimalnym ryzyku z możliwością rozważenia portfela o dowolnej ilości akcji. Po dolączeniu obligacji ryzyko portfela może spaść nawet do zera. Możliwe jest równiei., dzięki krótkiej sprzedaży, uzyskanie (przynajmniej teoretycznie) dowolnie dużego zysku. Adres do korespondencji - Corrcsponcling autho1„ Grzegorz Koszela. Katedra [konomctni 1 ln!'o1 ·-mmyki. Szkola Glówna Gospodarstwa Wiejskiego. ul. Nowoursynow~ka 166. 02-787 Warv.aw~1, e-mai I: gkoszcla@mors.sggw. wa w.pl

76 G. Koszela

PORTFEL O RYZYKU DOWOLNIE MAŁYM

Jak zauważono w pracy [Koszela 2004], włączenie instrumentów wolnych od ryzyka

cło portfela oznacza utworzenie portfela dwuskładnikowego zlożonego z instrumentów

wolnych od ryzyka i ryzykownych akcji.

N i ech P oznacza portfel złożony z dwóch rodzajów akcji A i B przynoszących zysk (oczekiwana stopa zwrotu) zA i ZIJ, obarczonych ryzykiem (odchylenie standardowe) sA

i sn oraz powiązanych według wspólczynnika korelacji PAil E (-1, 1). W pracy [Koszela

2003] podano interpretację geometryczną zależności zysku od ryzyka opisaną przez odpowiednie równanie hiperboli.

Niech D oznacza obligację przynoszącą zysk zD. Ponieważ akcje przynoszą na ogól większy zysk niż obligacje, więc można przyjąć, że zD < zA oraz ZD < z0 . Nie zmniejsząjąc ogólności rozważaii, przyjmijmy też, że zA < z13 oraz sA < sn, co jest naturalne, gdyż w praktyce akcje przynoszące większy zysk są na ogół obarczone większym ryzykiem.

I lustracją powyższej sytuacji jest poniższy rysunek.

z

B

M

A D

l\ys. I. Port lei zlożony z obligacji i dwóch rodzajów akcji Fig. I Ponrolio malle rrom bonds and two typcs of cquitics i'.1ódłu. Opi:n:uwanic wlasn~.

Snurcc: Ow11 d:ibor:ition.

Odcinek DP ilustruje wszystkie portfele trójskładnikowe złożone z akcji A, B

i obligacji D, przy czym skrajnie punkt D obrazuje portfel złożony wylącznie z obl

iga-cji. a punkt P - wylącznie z akcji. Przesuwając się po odcinku DP w kierunku od D do P

zwii;:ksza111y w taki111 portfelu udzial akcji kosztem obligacji. Z kolei przesuwając się po hiperboli z punktem P w kierunku B osiągamy minimalne ryzyko portfela złożonego z samych akcji w punkcie M .

.Jak zauważy! autor [Koszela 2004], pojęcie portfela rynkowego rozważa się wy -i<J.cz11ie w odniesieniu do I ortfela zlożonego z dwóch rodzajów akcji i jednego rodzaju

obligacji. Klor oty z przeniesieniem podanej teorii na przypadek portfeli wieloskla dni-kowych polegają na ty111. że począwszy od portfela trójskladnikowego nie istnieje pr

zej-r1ysty oclrowicdnik równania określającego związek między zyskiem a ryzykiem.

\V z:ilciności tej dla portfCla dwuskladnikowego występują stopy zwrotu. odchylenia

Ana/i::a portfela o 1y::yk11do\\lo/11ie111a~y111 77

standardowe i współczynnik korelacji dwóch akcji [Koszela 2003]. W portfelach wiel o-składnikowych występują ponadto udziały wybranych akcji (w trójskladnikowym - jeden

udział, w czteroskładnikowym - dwa udziały, itd.). W portfelu rynkowym zasadnicze

znaczenie ma odpowiednia styczna do hiperboli, jej równanie i punkt styczności z hi

-perbolą. Oznacza to niemożliwość przeniesienia tego zagadnienia na przypadek portfela

zlożonego z wielu rodzajów akcji (co najmniej trzech) i jednego rodzaju obligacji. Okazuje się jednak, że istnieje możliwość rozważenia analogicznego zagadnienia do zagadnienia portfela rynkowego, dającego się bez istotnych kłopotów przenieść n;1 przypadek portfeli złożonych z dowolnie wielu rodzajów akcji i jednego rodzaju papie

-rów wolnych od ryzyka. Tę nową koncepcję nazwiemy zagadnieniem portfela o ryzyku

dowolnie małym. Wyjściowo dysponujemy tu składem portfela akcji o minimalnym ryzyku i jednym rodzajem obligacji. Daje to możliwość dalszego zmniejszania ryzyka w zależności od udziału obligacji w takim portfelu. Skrajnie ryzyko to może być nawet zerowe - gdy ograniczymy się do obligacji, bądź maksymalne (równe minimalnemu ryzyku portfela złożonego z samych akcji) - gdy ograniczymy siQ do samych akcji. Portfele z odcinka łączącego punkty odpowiadające tym „skrajnym'· portfelom nazy

-wamy por(fela111i o l'.J!ZJ!lm dowo/11ie 111a~11111. Poniższy rysunek podaje interpretacjQ geometryczną tego zagadnienia dla portfela złożonego z dwóch rodzajów <tkcji przy PAn E (-1, I) oraz z jednego rodzaju obligacji.

z

Rys. 2. Portfele o ryzyku dowolnie malym Fig. 2. Arbitrarily small risk portfolios ŻrÓdlo: Opracowanie wlasnc.

Solll'cc: Own claboration.

B = (sn, za)

Odcinek DM obrazuje wszystkie portfele o ryzyku dowolnie malym. Przenoszą siQ w sposób analogiczny wzory na udział w portfelu, wyprowadzone dla dowolnego port

-fela z linii CML [Koszela 2004]:

Oznaczmy:

s - ryzyko (odchylenie standardowe) portfela,

z - zysk (oczekiwaną stopę zwrotu) portfela,

s~.₁ - minimalne ryzyko portfela złożonego z samych akcji,

zM - zysk odpowiadający ryzyku s~i,

w0 - udział wartościowy obligacji w portfelu,

78

wA - udział wartościowy akcji A ·w portfelu, we - udzial wartościowy akcji B w portfelu. Dla dowolnego (s, z)E DM otrzymujemy:

s WD = J- -SM \V A =

I

z - w D . z D Z113

I

I- WD _l zlA z -wD. z Dl 1- \VD w 13 = '---~ Odcinek DM ma równanie postaci: ZM - Z!) z= ·s+z0 SM G. Kos:ela ( 1) (2) (3) PRZVl..:LAD I.

Wyemitowano dwa rodzaje akcji: A - przeznaczonych na rozwój agroturystyki, B -przeznaczonych na rozwój infrastruktury. Podać zysk i skład portfela o ryzyku dowolnie

1rn1ly111 wynoszącym 2%, utworzonego w odniesieniu do akcji A i B, obarczonych ryzy -kiem odpowiednio 5%, 8%, przynoszących zysk odpowiednio 6%, 14%, powiązanych

wccllug wspólczynnika korelacji równego 0,5 oraz do obligacji przynoszącej zysk 4%.

S11 = 5% S13 = 8% Z11 = 6% Z13 = 14%

PA11 = 0,5 s = 2% z0 = 4% W pracy [Marshall, Bansal.J podano równanie hiperboli AB. Stąd otrzymujemy:

/\ 13 _s_2 _ _ (z-6.80)2 = 1 (-1.95 )" (5.66 / qd S~1

=

-l,95'K• Z\1 = 6.80%. Ze IVZmu (3) otrzymujemy Z\1- Zn 6.80-4 7.= ·S-1-Zn = ·2+4=5,13 S\I 4.95 IZll. z= 5.13';}

7.:c ll'ZnrÓIV (I) i ('.'.)otrzymujemy:

') \\'Il = I - _-_ = 0.60 -1.95 1 5.13-0.60·4 l-11 l- 0.60 I - - - -= 0.16 \\I i \ = J 6 - 1-1

Anali::n portfela o 1y::yk11 do1volnie maly111 79

\Vll =1- IVo-IVA IV Il= 1- 0.60- 0,36 =O.O.+

tzn.

Wo= 60%, W1\ = 36%, Wll=4%.

Uwaga: Oczywiście można też bylo zadać z góry stopę zwrotu takiego portfela (np. - j"a!)" ' . 6

,s

o

-

4 4 1· ' d . d . k ')I'/ z=) . .) 10 1 z rowna111a z= · s + wy 1czyc o pow1a a1ące mu ryzy ·os= _ m.

4,95 .

Pojęcie portfela dowolnie ma-lego ryzyka można latwo przenieść na przypadek port -fela złożonego z n rodzajów akcji i jednego rodzaju obligacji. Podobnie jak poprze Inio. wyjściowo nieistotna jest znajomość zależności między ryzykiem a zyskiem port l"cla zlożonego z samych akcji. z Rys. 3. Portfek o ryzyku dowolnie malym - przypadek ogólny Fig. 3. Arbitrarily small risk portfolios - gcncral case Żródlo: Opracowanie własne. Source: Own el'1bora1ion.

Odcinek DM obrazuje wszystkie portfele o ryzyku dowolnie 111aly111 . .lego 1·ów11a11ie jest identyczne ze wzorem (3). Oczywiście wzór na uclzial obligacji jest identyczny ze wzorem (I). Wzory na udział akcji znajdujemy rozwiązując uklad równa1i:

{ z=w0 ·Zo +w1 ·z~+ ... +w11 ·7.11 w0 +w1+ ... + w11 - l Ustalając udział n - 2 rodzajów akcji, np. w3 •...• w11 otrzymujemy: { z I . W I + ~2 -~\12 = ~ - \\I~ . z~ ~ \\/ :l . z :l - · · • - 1\111 . z 11 w₁+W2-J Wo W₀ ... \\ ₁₁ Stąd: 1\11 =

I

z - w ₀ ·z _{0 -} w ₃ ·z :i - ... - w 11 ·z 11 J- WD - W: l -···-\V11 Oeco110111ia 3 (2) 2004 (-1) (5) (6)

80 l z 11 z-wD ·ZD -w3 ·Z3 - ... -wn ·Znl l-wD - _{w 3} - ... -wn W2 = - - - -Z1 - Z2 G. Koszela (7)

gdzie ryzyko .1· i zysk

z

portfela o ryzyku dowolnie malym związane są analogicznie jak

poprzednio zależnością (3).

Wartości sM i z~₁ wyznaczamy metodami analizy matematycznej. PllZYKLAD 2.

Wyemitowano trzy rodzaje akcji: A - przeznaczonych na rozwój agroturystyki, B -przeznaczonych na rozwój infrastruktury, C - przeznaczonych na rozwój produkcji cukru. Znaleźć zysk i sklad portfela o ryzyku dowolnie malym wynoszącym I%, zlożo­ nego z akcji A, B, C (obarczonych ryzykiem 3%, 5%, 8%, przynoszących zysk 8%,

I 0%, 15% i powiązanych wedlug wspólczynników korelacji PAB = 0,4, PAC= 0,2, PBc = -0,3) oraz obligacji dającej zysk 5%.

SA= 3% ZA= 8% P111J = 0,4 s= I% SB= 5% Z13 = 10% PAC= 0,2 Zo = 5% Metodami analizy matem:itycznej otrzymujemy:

S~t

=

2,81 o/o Z~t = 9,19% Ze wzoru (1) mamy:

l

\\ID= l- --=0,64. 2.81

Z kolei ze wzoru (3) mamy: z= 9·19 - S ·I+ 5 = 6 49 2,81 , . tzn. tzn. Sc= 8% Ze= 15% Pile= -0,3 Wo= 64% z= 6,49%

Wszystkie trzy akcje obarczone są ryzykiem znacznie większym od oczekiwanego poziomu 1%. Oznacza to. że udzial ich w portfelu musi być minimalny. Szczególnie dotyczy to akcji C (8% > 1%). Dlatego też przyjmiemy we= 2%. Korzystając ze wzoru (6) dla n= 3 mamy: 1 7.- IVl)·Zn -Zc ·Wc Z113l 1- wD - wC' \V t\ = ---,---...,---~

lz

;

1

z

113

1

czyli: W,1=20% 1 6,49 - 0,64. 5 - 15. 0,02 1101 I - 0,64 - O,Q2

---,-

J~-\--,ol---~

=

o.20

,

l\Cla Sci. Pol.

Anali:::a portfela o 1y:yk11 do1110/11ie malym Wreszcie w 13 =I - w D - w A - w c =I - 0,64 - 0,20 - 0,02=O,14, tzn. Wn=14o/o 81

Na zakol1czenie podamy teraz przykład ilustrujący tzw. krótką sprzedaż

w zagadnieniu portfela. Dotyczy to sytuacji, gdy jeden lub ki łka udziałów jest u1

em-nych. W konsekwencji co najmniej jeden udział przyjmuje wartość większą od I.

PRZYKŁAD 3.

Kupiono akcje A, B i obligacje Dz przykładu I, tworząc portfel o ryzyku dowolnie

małym wynoszącym 2%. Portfel ten obrazuje punkt E = (2; 5, 13) na rysunku 4. Po

pewnym czasie zysk z tych obligacji znacznie wzrósł, co spowodowało wzrost ich ceny. Za pieniądze uzyskane z ich sprzedaży zakupiono akcje A i B. Podać skład portfela

o ryzyku dowolnie małym przynoszącego zysk w wysokości 15% oraz to ryzyko. PortfCI

ten obrazuje punkt F leżący na przedłużeniu odcinka DM, po prawej stronic punktu M. Ze wzoru (3) mamy 15 = 6,80 - 4 . s + 4, 4,95 tzn. s = 19,45% z

„

: F ~· 15 :---;...,/ I / I / / I / / M // 6.80 --- / . E 5.13 4 ' ' -+-~~~~---~~---L--~ s 2 4,95 19,45

Rys. 4. Krótka sprzedaż - ilustracja dla przykładu 3 Fig. 4. Short scil - the illustration ror example number 3

Żródlo: Opracowanie wlasnc. Sourcc: Own claboration. Ze wzoru (1) mamy: -1 19,45 - 2 9" Wo - - - -- - ' J , 4,95 tzn. Wo =-293% Oeco110mia 3 (2) 2004

82 Z kolei z (2) mamy: w/\ czyli: 1 15 + 2,93. 4 141 1+2,93 I ~----=354 6- 14 WA= 354% Na koniec w₁₁ =1- (-2,93)-3,54 = 0,39 czyli W11=39% UWAGI KOŃCOWE C. Koszela

W niniejszej pracy wprowadzono pojęcie portfela o ryzyku dowolnie małym. Wy j-ściowo dowolne zmniejszanie ryzyka odnosi się do portfela akcyjnego o minimalnym ryzyku z możliwością rozważenia portfela o dowolnej ilości akcji (co nie było możliwe w przypadku portfeli z linii CML). Po dołączeniu odpowiedniej ilości obligacji ryzyko portfela może zbliżyć siQ nawet do zera. Możliwe jest również, dzięki krótkiej sprzedaży,

z1rncz11e zwiQkszenie zysku.

PIŚMIENNICTWO

Chi:111g 1\.C.. 199-1. Podstawy ekonomii matematycznej. PWE. Warszawa.

Elton [.J .. Gruber M.J .. 1991: Modern portfolio thcory and invcst111cnt analysis. Wilcy. New York.

rr:1ncis .l.C.. 1991. lnvcstrncnts: analysis and management. McGraw-Hill. New York.

Jajuga K .. Ja.juga T. 1999. lm,·cstycjc. PWN. Warszawa.

l(os1cla Ci .. 200 I. 1\naliza gcurnctryczna zależności mii;dzy ryzykic111 a zyskic111 w dwuskla

dni-ko11 v111 ponklu akcji. \\/: Metody ilosciowc w badaniach ekonomicznych - li. Wydm,·.

S iG\\I. \\1:1rsz:1wa.

l(us1L·l:1 Ci .. 2003. /\n:iliza portlcl:1 dwusklaclnikowego. R.oczniki Nauk Rolniczych. Seria G. T. 90. Z. 2. \VyJ:1wnictwo Naukowe PWN. vVarszawa. s. 113-127.

l-.:os1el:i C .. 200-1. 1\n:1liza portkh1 rynkowego. Lkonomika i Organizacja Gospodarki Żywno­

ściowej. /'.cszyty N:1ukO\\C SGCi\\I (w druku).

i\ l:1rkowi11 11.M .. 1959. Pon!"olio sclcction - cf"llcienl diversilic::Hion of invcslmenls. Yale

Univcrsily Press. New I lavcn.

i\lar:-hall .1.F .. 13ans:il V.K .. 1992. Financial engineering. New York Institute or Financc .. 1cw

York.

Analiza portfela o 1y::yk11dowolnie111aly111

ANALYSIS OF ARBITRARILY SMALL RISK PORTFOLIO

Abstract. In the paper there have been given formulac for risk and n.:turn or market portfolio. and, consequently, the range of risk and return variation orany portfolio from the capital market line. Therc have also been given formulae for composition, risk. and return or such a portfolio, depending on the level of risk avcrsion. or. as an cquivalent. 011 the level or

expectations of an adequate return. Unfortunately. it is impossible to apply the new results

to multi-clcment portl'olios. 1-łowevcr. such a possibility arises al'ler the i11troductio11 or a notion of an arbitrarily small risk portfolio in this paper. lnitially. the arhitrary dccrcasc or risk refers to a minimum risk stock portfolio, with a possibility or considering a portfolio with an arbitrary number of stocks. After the inclusion or bonds. the portfolio's risk may

fali even to zero. Due to the short sale, it is also possible (at least. thcoretically) to ohtain arbitrarily big return.

Key worcls: portfolio, risk, risk portrolio. short sale

83

Zaakceptowano do druku - Accepted ror print: I 0.12.2004