Harmonogramowanie produkcji przy ograniczonych zapasach międzyoperacyjnych

ZESZYTY HAUKOffE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 84

______ 1986 Nr kol.B94

Tadeusz Sawik

Akademia G<5rnlczo-Hutnicza

HAEHOHOGRAMOWAKIE PRODUKCJI PRZY OGRANICZONYCH ZAPASACh HIF,DZYOPERACY JNYCH

Streszczenie. Rozważa się 3-stadialny proces produkcyjny z maga­

zynem! międzyctadialnymi o ograniczonych pojemnościach. Każde stadium zawiera zbiór identycznych maszyn pracujących równolegle. Należy wy­

znaczyć harmonogram produkcji dla niejednostkowego zlecenia obejmują­

cego wiele wyrobów. Jalco kryterium optymalności przyjmuje się minimum czasu wykonywania zlecenia przy możliwie najniższych kosztach magazy­

nowania półwyrobów. Problem sformułowano jako wielopoziomowe zadanie programowania całkowitoliczbowego, w którym każdy poziom dotyczy in­

nego stadium procesu, a interakcje pomiędzy poziomami uwzględniają dostępność półwyrobów produkowanych we wcześniejszych stadiach proce­

su oraz pojemności magazynów.

IsJŁgiSB

Rozważmy trojstadialny system produkcyjny z dwoma magazynami pomiędzy stadiami 1 x 2 oraz 2 i 3 o ograniczonych pojemnościach, odpowiednio c^ i c W systemie wytwarza się U różnych wyrobów P^ (j=1,... ,fl). Wyprodukowanie wyrobu P.. wymaga wykonania operacji kolejno w stadiach 1,2 i 3, których wy niklem 3ą kolejne półwyroby odpowiednio Pgj ^ wYróó liuo-luj ^3 3* Pół­

wyrób P ^ wytworzony w stadium i (i=1,2) przekazywany jest albo do magazy­

nu pomiędzy stadiami i oraz i+1 albo bezpośrednio do stadium i+1, w którym przetworzony zostaje na wyrób P^+ ^ Horyzont harmonogramowania obejmuje T okresów produkcyjnych o jednakowych długościach (np. zmian roboczych).

W stadium i (i=1,2,3) pracuje równolegle jednakowych maszyn tak, że wy­

rób P. . może być wytwarzany jednocześnie na wielu maszynach z taką samą wy

"7 *

dajnoscią wynoszącą r ^ sztuk/maszyno—okres. Zadane jest zlecenie produk­

cyjne (w1,.. . ,Wjj) , gdzie (j=1,...,N) jest żądaną liczbą maszynookresów produkcji wyrobu finalnego £3^- Należy wyznaczyć harmonogram produkcji dla każdego stadium tak, aby zlecenie produkcyjne wykonać w najkrótszym czasie i przy możliwie najmniejszych zapasach półwyrobów w magazynach międzysta- dialnych.

Zapasy międsyoperacyjne półwyrobów zmagazynowanych pomiędzy kolejnymi stadiami umożliwiają względnie niezależną pracę poszczególnych stadiów. Z drugiej jednak strony ograniczone pojemności magazynów przy różnych jedno­

cześnie wydajnościach kolejnych stadiów powodują, że pełne wykorzystanie mocy produkcyjnych systemu nie zawsze będzie możliwe. Powyższe uwagi wska­

zują na możliwość sformułowania przedstawionego problemu harmonogramowania jako wielopoziomowo zadanie programowania całkowitolicsbowego z różnymi wskaźnikami jakości na poszczególnych poziomach. Pierwszy (najwyższy) po-

193 T.Sawik

zion dotyczyć będzie harmonogramu produkcji dla stadium J (finalnego) za­

pewniającego wykonanie zlecenia w najkrótszym czasie. W rezultacie wyznaczo­

ne »stanie zapotrzebowanie vr kolejnych okresach na półwyroby produkowane we wcześniejszych stadiach. Kolejne zaś poziomy - drugi i trzeci (najniższy) - związane będą ze stadiami 2 1 1 , dla których wyznaczymy harmonogramy pro­

dukcji zapewniające pokrycie zapotrzebowania na półwyroby przy możliwie najniższych poziomach zapasów półwyrobów w magazynach międzystadlalnych.

W zadaniach programowania całkowitoliczbowego każdego poziomu występować będą ograniczenia uwzględniające skończone pojemności odpowiednich magazy­

nów międzystadlalnych oraz wydajności wcześniejszych stadiów produkcji.

Rys,1. Trójstadialny proces produkcyjny z magazynami międzystadialnymi Fig.1. Three-Stage Production Process with Intermediate Buffers

Artykuł niniejszy jest kontynuacją prac [5], [63- Podobny problem szerego­

wania operacji ale w systemie 1-stadislnym przedstawiono w[ł]. System prze­

pływowy wielomaszynowy rozważa się w[4] ,zaś w[l], 3-maszynowy bez magazynów.

2. Sformułowanie problemu

2.1. Założenia

Przedstawione we wstępie zadanie harmonogramowania sformułujemy przy następująoych założeniach dotyczących systemu produkcji i magazynowania:

1. 'S każdym okresie na jednej maszynie można wytwarzać co najwyżej jeden wyrób, przy czym przydzielenie wyrobu p. do maszyny w stadium i oznacza, że na maszynie tej wyprodukowanych zostanie dokładnie

w

2. każdym' okresie przydział wyrobów do maszyn w każdym stadium jest sta- ły, co przy stałej wydajności maszyn powoduje, że zapasy półwyrobów w ma­

gazynach międsystadialnych w ciągu okresu zmieniają się liniowo (Rys.2).

3. »(yrób + ^ (1=1,2) wyprodukowany vr stadium i+1 w okresie t otrzymywa­

ny jest z półwyrobu wytworzonego w stadium i najpóźniej w okresie i—

gdzie jest stałym opóźnieniem czasowym pomiędzy stadiami i oraz 1+1.

4* Jeden maszynookres produkcji każdego z wyrobów (1=1,2) zajmuje taką samą pojemność magazynu pomiędzy stadiami i oraz i+1 tak, że pojemność o., można wyrazić w msszynookresach produkcji v stadium i,

5- magazynach międzystadialnyah nie ma początkowych zapasów półwyrobów.

H a r m o n o g r a m o w a n l e p r o d u kc ji . 199

2.2. Definicje zmiennych

Celem harmonogramowanla jest wyznaczenie wartości całkowitoliczbowej zmiennej (i«1,2,3 j“1,...,N t*>1,...,T), która oznacza liczbę maszyn przydzielonych do produkcji wyrobu Pj w stadium i w okresie t.

Ponadto oznaczmy przez (it>1,2 j=1,...,H t=1,...,T) minimalną, licz­

bę maszynookresów produkcji półwyrobu P ^ w ciągu t pierwszych okresów, konieczną do pokrycia zapotrzebowania na ten półwyrób,

t+t.

Tijt rai+i,ij zi+1,jkl • t ^ ’ri ■ 1 k=1

T

^

ljT , ° rai +1, i j xi + i , j t i “ r * i + i , i j * i + i t j"i “ wi j (2)

1 t=i

gdzie ai+1tlj = ri+11j/rij» w3j ° Ti+1 “ Ti + T i , .

oznacza liczbę okresów koniecznych do wykonania zlecenia w sta­

dium i

fal - najmniejsza .liczba całkowita nie mniejsza niż a.

Biech-bi£rt (i=2,3 s=1,...,i-1 tcTg+.. ,...,T) będzie maksymal;

liczbą maszynookresów produkcji w stadium s, którą można przetworzyć w sta­

dium i (i> s) w ciągu t pierwszych okresów

biat = mox{0, ma (t - ^ T p)} (3)

natomiast c ^ niech oznacza maksymalną liozbę maszynookresów produkcji w stadium i, którą można przetworzyć w stadium i+1 lub zmagazynować pomiędzy stadiami i oraz i+1 w ciągu t pierwszych okresów

°it °i + ai+1,ijxi+1,jkJ {4)

gdzie [aj oznacza największą liozbę całkowitą nie większą niż a.

2.3. Koszty magazynowania półwyrobów

Hiech z ^ będzie poziomem zapasów wyrobu P ^ na końcu okresu t. Mamy

EiJ “ r1 3 ^ i Xi3k " ri + 1 , j ^ 1zi+1,jk * f5) Rysunek 2 ilustruje zmianę zapasu półwyrobu P ^ w ciągu jednego okresu w przypadku, gdy produkcja tego półwyrobu przewyższa jego zużycie w tym okre­

sie. Oczywiście liniowa zmiana zapasów wyrobu P ^ w ciągu okresu jest fun­

kcją liczby maszyn produkujących w stadium i oraz w stadium i+1.

W każdym przypadku średnie zapasy półwyrobu P^j w ciągu okresu t można przyjąć jako równe

200 T.Sawik

5ij

rijxijt ~ ri+i,jxi+i,jt

Rys.2. Zmiana zapasu półwyrobu w ciągu okresu

Fig.2. Semi-Finished Product Inventory Change During a Period

t-1 t-1

l (aij1+ zij) = \ rij(lijt + 2J ^ 3:ijk) " 2 ri+1,j(xi+1,jt+ ^ ¡ ¿ ^ i + l . j ^

Jeżeli przez cC^ > 0 oznaczymy koszty magazynowania jednej sztuki pół­

wyrobu P ^ w ciągu jednego okresu , to całkowite koszty magazynowania pół­

wyrobów w magazynie pomiędzy stadiami i oraz i+1 będą równe

f a t r , - K j ^ 1 + zl j ) = ^ i ^ i j ( r i j | ^ (x i j t + +

Zauważmy, że w poTryższym wyrażeniu mają miejsce następujące uproszczenia

T T

i

t=i ETT " £ l i wprowadźmy oznaczenia

K r ^ i j ( rijwij - ri+

ijt ^{, Z .}

t=1- xijt = ^ij

jt)) . eij - cCijrij

lilożeray teraz całkowite koszty magazynowania półwyrobów pomiędzy stadiami i oraz i+1 zapisać następująco

h - j=1 t=1 10

(6)

gdzie Kh jest stałą, gdyż harmonogram produkcji dla stadium i wyznacza się przy znajomości ustalonego wcześniej harmonogramu -{xi+1 dla stadium i+1.

2.4. Hoael matematyczny zadania harmonogramowacia wielopoziomowego Zadanie pierwszego poziomu związane z wyznaczaniem harmonogramu pro­

dukcji wyrobów finalnych { j=1,... ,K) ma następuja.cą postać

H a r m o n o g r a m o w a n l e produko.1l . 201

■Zminimalizować t

pr z y o g r a n i c z e n i a c h

^ x 3 j t ^ a 3 » t= 1 ,...,T (8)

i ca ł kowite , 3=1,..,,H, t=1,...,T (9 )

^ L . ^ 3 j t “ W^, 3= 1, . .. ,N (10)

^ j ^ s j ^ J k ^ ^ s t ’ a = 1 *2 * t = 1, ...,T (1 1 )

^ ^ a3 2 3 ^ Z33k l^ ° 2 , X - X 2 • ^{T (12)}

Zada ni e d r u g i e g o p o z i o m u związane z h a r m o n o g r a m o w a n i e m produkcji pół­

w y r o b ó w Pgj (J=1,...,N) w stadi um 2 m a postać

<F

Z m i n i m a l i z o w a ć 2 _ e g;j(T2 - t ) x 2Jt (1 3 )

1 t=1 przy o g r a n i c z e n i a c h

¿ . I 2Jt'^ _{m2 ’} (14)

J “ *

z 2 3 t ^ ° 1 ‘l ai ko wi te » 3=1 N, t = 1 , . . . , T 2 (15)

^ 2 3 k V 2 3t ’ t = 1 ,.,. ,-Tg- 1 (1 6 )

i *

i~ ^ z 23t ** ®2 3 * 3 = 1 »**«.s (17)

J5_

^-1a2i:3I2Jk'^b2it’ to1f - » T £

¿ L A - S23k'^02t’ t°1»**‘»T2 (19) Ja I fta1

'» tBl *2 (20)

Z a d a n i e p o z i o m u p i e r w s z e g o (najniższego) związane _z h a r m o n o g ra mo wa n ie n p r o d u k c j i p ó ł w y r o b ó w ( j » 1 f...,H) w s t a di um 1 m a postaó

2 0 Z T.Sawik

Zm i ni m a l i z o w a ć

pr z y o g r a n i c z e n i a c h

3=1 t=1 13 1 13

,B, t=1,

^ x t;Jk ^ I j t * to1i

£

^ x !3t ” w ij*

± ^ n , t = 1 , . . . , T 1

,*

(^{2 1})

(22)

(23)

(24)

(25)

(2 6)

powyższych sformułowaniach ograniczenia (8) i (9), (14) i (15) oraz (22) i (23) zapewniają dopuszczalny przydział maszyn do wyrobów w każdym stadium i w każdym okresie. Ograniczenia (10), (17) i (25) zapewniają wy­

konanie zlecenia produkcyjnego, zaś (1 6) i (24) odpowiednie zaspokojenie zapotrzebowania na półwyroby. Ograniczenia (11) i (18) zabezpieczają przed zużyciem półwyrobów przekraczającym możliwości produkcyjne wcześniejszych stadiów produkcji. Batomiast ograniczenia (12) i (20) oraz (19) i (26) za­

bezpieczają przed przepełnieniem magazynów odpowiednio przed oraz za kolej-

i t=1,•..,H

.

, t - 1 , . . . , T ;

Bys.3. S c h e m a t h a r m o n o g r s m o w a n i a w i e l o p o z i o m o w e g o Fig.3, Scheme lor M u l t i - l e v e l S c h e d u l i n g

Harmonogramowanle produkcji 203

3. W a r un k i I s t n ie n ia h a r m o n o g r a m u d o p u s z c z a l n e g o

A n a l i z u j ą c w i e l o p o z i o m o w y p r o b l e m p r o g r a m o w a n i a c a ł k o w i t o l ic zb ow e go p r z e d s t a w i o n y w r o z d z i a l e 2.4 m o ż n a wykazać, że aby mo g ło istnieć r o z w i ą ­ z an ie d o p u s z c z a l n e h o r y z o n t h a r m o n o g r a m o w a n i a T pow i ni en być n ie krótszy niż

T > ŁB = m a z j Ł B j (27)

g d z i e jest o s z a o o w a n i e m od d o ł u l i cz by o k r e s ó w p r o d u k c y j n y c h w sta­

d i u m 1 (1=1,2,3)

% f * Z % ! } . < » >

P o n a d t o n i e r ó w n o ś c i (14), (17) i 0 9 ) oraz (22), (25) i (26) i mp likują n a ­ s tę pu j ą c e d o d a t k o w e o g r a n i c z e n i e od d o ł u n a liczb ę o k r es ó w T^, i=1,2

W i ' 1* ” - t j * ł rct i ’ « ‘ (i9>

K a t o m i a s t n i e r ó w n o ś c i (16) i (19) oraz (24) i (2 6 ) prowadzą do następują­

c e g o o g r a n i c z e n i a n a m i n i m a l n ą p oj em n o ś ć m a g a z y n u p o m ię d zy stadiami i

o ra z i+1 u t+T.

' 1'/ imin

Xl+ 1»3kl " (30)

K o l e j n e w a r u n k i n a i s t n i e n i e h a r m o n o g r a m ó w d o p u s z c z a l n y c h w s t a di um 1 i 2 w y n i k a j ą z o g r a n i c z e ń (14) i (16), (22) i (24) oraz (16) , (18) i (20)

^ m ^ t , i “ 1 ,2 , t = 1 ,... ,T (31)

¿ a 21j v 2 j t ^ b 2 1 f ^ a 2 1 J T 2 j t < e 1,t-T,v t=»1 T (32)

W a r u n e k (27) m o ż n a tr a kt o w a ć jako o s z a c o w a n i e od d o ł u m i ni ma l ne j w a r ­ t o ś c i - w s k a ź n i k a jakości (7) h a r m o n o g r a m u w s t a d i u m 3.

Ł a t w o r ó w n i e ż w y k a z a ć , że o p t y m a l n e k o s z t y f^, (6), m a g a z y n o w a n i a p ó ł w y r o ­ b ó w p o m i ę d z y s t a d i a m i i oraz i+1 są o g r a n i c z o n e od d o ł u na st ę p u j ą c o

f i ^ £ ^ e i J T lj,t-1 + 4 . (33)

2 (33) w y n i k a j ą zaś o dp ow i e d n i e o g r a n i c z e n i a od do łu n a w a r t o ś c i optymalne

& W

*i “ K i ws!ca^n ^ k,5w jakości (13) i (21.) h a r m o n o g r a m ó w w s t a di a ch 1 1 2 . 4. A l g o r y t m h a r m o n o g r a m o w a n i a w i e l o p o z i o m o w e g o

P r z e d s t a w i m y o b e c n i e 3 a l g o r y t m y A1, A 2 1 A3 dl a w y z n a c z a n i a h a r m o n o g r a ­ m ó w p r o d u k c j i o d p o w i e d n i o u s t a d i a c h 3, 2 i 1, zgo dn i e z 3- po z i o m o w ą struk-

T.Sawik

terą pokazaną na rysunku 3. W algorytmaofc tyoh przydział maszyn do wyrobów w każdym okresie wyznaczany jest tylko raz, przy czym w algorytmie A1 obli­

czenia rozpoczyna się od okresu pierwszego, zaś w A2 i A3 od okresu ostat­

niego, odpowiednio T2 = Tg(3) i T^ = T1(2), (23). W algorytmie A1 przydział maszyn do wyrobów dokonywany jest w kolejności nierosnącycb czasów wykonywa­

nia zadań produkcyjnych, tzn. kolejno rozpatrując wyroby uporządkowane nas­

tępująco: > ^ 2 * 2 > . . . > qHwB , (34)

gdzie mai-fl/ 3 i a32j/al2' a31j/ml} * 3=1,..-,K.

natomiast w algorytmach A2 i A3 odpowiednie półwyroby P^., (1=1,2) rozpatru­

je się w kolejności od E do 1, po uporządkowaniu ich według nierosnących kosztów jednostkowych magazynowania:

eiH ^ SiE-1 ^ • • • ^ e^i , 1=1,2 (35) Algorytmy A1 i A2 są algorytmami przybliżonymi dla rozwiązywanych przez nie zadań, natomiast algorytm A3 jest algorytmem optymalnym [2},£7].

A l g o r y t m A1 (harmonogramowanie produkcji w stadium 3) Krok 0. Ponumeruj wyroby wg.(34). Podstaw t = 0.

Krok 1. Podstaw K

3 « 1 Krok 2. Wyznacz

z3jt 3 wj " ¿ z3jk- “=i|2^ B3st/a3sjJ}> u:az{0 'Lct/a32j ‘ ^ Z3jkJ}|

Podstaw t

m3 = m3 - x3;jt, B3£jt =, 53st - a3sjx3 jt ’ S=1 >2' °t = °t " R3 2j ^ s3 jkl Krok 3 . Podstaw j = j+1. Jeżeli j-^K, to idź do krolm 2.

Krok 4. Jeżeli

= tji V j = 1 , . . . , 5 , to pc4staw I, = t i zakończ

k=1 J 3

obliczenia. Inaczej idź do kroku 1.

A l g o r y t m A2 (harmonogramowanie produkcji u stadium 2) Krok 0. Ponumeruj wyroby wg. (35) dla i=2. Podstaw t = Tg.

Krok 1. Podstaw

Qg =° n 2’ °21r =. ^ I r " ^ ~ a2 1jx2jk] * r=t,...,Tg, 0 7 ^

Harmonogramowanie produkcji . 205

K r o k 2 . W y z n a c z T_

i 2 } t » m i n j m 2 , * 2J - ^ m i n { c2r, L.B2ir/a21¡j J} ^

P o d s t a w 2

n 2 = m g - x 2;jt, t>2 lr “ E 21r " a 21jx 2jt» ° 2r " e 2r ~ x 2jt* i " t »*»T 2 K r o k 3. P o d s t a w j = j-T. J e ż e l i 3 )>, 1, to idź do k r o k u 2.

K r o k 4 . P o d s t a w t = t-1. J e ż e l i t^-1, to idź do k r o k u 1.

K r o k 5 . K o r e k t a h a r mo no gr a mu .

J eż el i o g r a n i c z e n i a (20) są s p e ł ni on e , to z a k o ń c z obliczenia.

W p r z y p a d k u p r z e c i w n y m sko ry gu j h a r m o n o g r a m poprz e z z as tą p i e n i e każ de go z o k r e s ó w p r z e c i ą ż o n y c h (tj. takich, w k t ó r y c h (20) nie jest spełnione) p rz ez d w a k o l ej n e okrey o b e j m u j ą c e ł ą cz ni e p i e r w o t n ą liczb ę m as zy n ookresćw.

O d p o w i e d n i o sk or yg uj h a r m o n o g r a m d l a s t a d i u m 3.

A l g o r y t m A3 ( h a r m o n o g r a m o w a n i e p r o d uk cj i w s t a di um i) K r o k 0 . P o n u m er u j w y r o b y w g (35) d l a 1=1. P o d s t a w t = 5 ^

K r o k 1 . P o d s t a w - N r

m 1 “ B V C1r “ °1r ” p i fot+i*1^ ’ j = H

Kt o k 2 » W y z na c z

x 1jt = “ M 5 1* *1j - T 1 j ,t-1 - _^ <5 1r>}

K r o k 2 . W y z n a c z

W.j - T.j

biz«!.

P o d s t a w

■ “ i ” m 1 “ x 1jt' ° 1 r “ ° 1 r ~ x 1jt»

K r o k 3 . P o d s t a w j = j~1. J e ż e l i j ^ 1, to idź do k r o k u 2.

K r o k 4 . P o d s t a w t = t-1. J e ż e l i t > 1 , to idź do k r o k u 1. Inaczej zakończ ob l iczenia.

5. P r z y k ł a d

E o z w a ż a n y p r o b l e m h a r m o n o g r a m o w a n i a z i l u s t r u j e m y obec n ie p r z y k ł a d e m l i c z b o w y m d l a n a s t ę p u j ą c y c h danyc h, k t ó r e d o t y c z ą r z e c z y w i s t e g o p r o c e s u pr od u kc yj ne g o:

H = 3, T = 15, ■ni1 = 3, m 2 = 2, = 4, c 1 = 4, o 2 = 3, T, ■ ' t 2 = 1, a 211 a 2 ’ a 212 ” ^ 2 * a 213 = 2 ’ a321 c a 322 ° 2 ’ a 323 ** ^ 2 * a3 1 1 “ a 3 12 = a 313 “ W 1 “ v 2 ” w 3 ” ®* eij = ^ » 1=1.2, 3=1,2,3, W p r z y k ł a d z i e n i n i e j s z y m z ł a g o d z o n o p o n a d t o z ał o że ni e 5 z r o z d z i a ł u 2.1 i p r z y j ęt o, że w m a g a z y n a c h m i ę d z y s t a d i a l n y c h z n a j d u j ą się n i e z e r o w e z ap a­

sy p o c z ą t k o w e p ó ł w y r o b ó w z°^ = r ^ (i=1,2, j=1,2,3) i takie same z apasy

■należy w m a g a z y n a c h r ó w n i e ż p o z o s t a w i ć p o w y k o n a n i u z l e ce ni a produkcyjnego.

D l a p o w y ż s z y c h d a n y c h o s z a c o w a n i e od d o ł u c z as u w y z n a c z o n o z (27) i (28), gd zi e w y r a ż e n i e (28) z m o d y f i k o w a n o n a p r z y p a d e k n i e z e r o w y c h zapa­

só w p o c z ą t k o w y c h (por. [6], [7]). O t r z y m a n o LB.,=6, Ł B 2 = LB^ = 9» c z y l i ŁB=9.

H a r m o n o g r a m p r o d u k c j i w y z n a c z o n y pr zy z a s t o s o w a n i u p o d a n y c h a l g o r y t m ó w

206 T.Sawlk

jest następujący (czas wykonania zlecenia T^ » 11):

t 31t X32t x??t 21t 22t 23t 11t 12t 13t

1 2 0 2 0 1 1 0 1 1

2 0 1 2 0 2 0 0 1 0

3 0 0 0 2 0 0 1 0

4 0 1 0 0 2 0 0 1 0

5 0 0 0 2 0 0 0 2

6 0 1 0 0 0 1 0 0 2

7 0 0 2 0 0 1 0 1 0

8 0 0 2 0 2 ⁰ 1 0 0

9 0 1 0 1 0 0 2 0 0

10 1 0 0 1 0 0 0 0 2 .

11 1 A 0 0 0 1 1 1 1 1

Jeśliby pojemności magazynów były ró?me c2 = c2lnin = 3 i o, ' c lrain=6, (30), to zlecenie można by wykonać w ciągu Tj = LB = 9 okresów:

* x3 1t x32t x33t X31t x22t x2?t s 11t x 12t-x 13t

1 2 0 2 0 1 1 0 1 1

2 0 2 0 2 0 0 1 0

3 0 1 0 0 2 0 0 1 0

4 0 1 0 0 2 0 0 1 1

5 0 1 0 0 2 0 0 0 3

6 0 1 0 0 0 2 0 1 0

7 0 0 4 0 2 0 3 0 0

8 0 1 0 2 0 0 0 0 2

9 2 0 0 0 1 1 1 1 1

6. Wnio sk i

Przedstawiony w pracy model i algortym wielopoziomowy harmonogromown- nia produkcji można łatwo uogólnić na przypadek wielostadialnego procesu z wieloma magazynami pośrednimi (por. [6}, [73)* Analizę dokładności zapropo­

nowanego podejścia w ogólnym przypadku procesu wielostadialnego jak i też w pewnych przypadkach szczególnych przedstawiono w pracy[7],

L I T E R A T U R A

[13 Cadambi B.f, Yenkoba Rao T.S.: Eultiproduct, Three-Stage Production In­

ventory System. J.Opł.Res.Soc., vol.35. 1934, pp.105-116.

[2j Dorsey R.C., Hodgson T.J., Ratliff H.D.: A network Approach to a Multi- Facility,. Multi-Product Production Scheduling Problem without Backorder­

ing. Management Sci., vol.21, 1975, pp.813-822.

[3J Dutta 3 * K,, Cunningham A.A.: Sequencing-Two-Machine Flow-Shops with. Fini­

te Intermediate Storage. Management Sci., vol.21 , .1975, pp.989-396.

[4] Papadimitriou C.H. , Kanellakis P.C.: Flowsiiop Scheduling with Limited Temporary Storage, J.Assoc.Coaput.Mach., vol.27, 1980, pp.533-549.

[5jSawik T.: Hierarchical Scheduling Two-Stage, Multi-Machine Production with Finite Intermediate Storage, UMM Scientific Bulletins, Automatics, no 32,

1982, pp.373-383.

[6] Sswik T.: Hierarchical Scheduling Multi-Stage Production with Limited In- Process Inventory.. Proc. 3rd International Conf. on Systems Engg, Dayton, Ohio, Sept.5 - ?, 1984.

f?J Sawik 2.: Hierarchical Scheduling Multi-Stage Production with Limited Intermediate Storages. J.Opl.Ros.Soe. (w druku).

R e c e n z e n t : Dr h a b . i n ż . M i r o s ł a w Z a b o r o w s k i S p ł y n ę ł o d o R e d a k c j i d o 1986.CKt-.30

Hnrnonogramowanle produkc.jl 207

KAJŒHHAPHOE I H A M F O B A H H E HP0H3B0ÆCTBA HPH OrPAHOTEHHHX 3AIIAC0B HA HOJUIIPOJlTKTbl

P 9 3 » U 0

B cTaTie paccvBTpEEaeTCH 3a#aEa Teopaa pacnscaHna jyra MEoroGTajEiilHti­

ro npoH3BOACTBSHHoro npoueoca c MesryonepaEpiOHHHiiH <5y$epaMB c orpassraeHHoS ëMKOCTBO. B saflaw M3Hm£S3HpyDTOa BpSiiE BlinOEHeHHH EpOH3BOBCTBeHHOrO sa?.s- sa h saTpsTii ira oo^epEaHHQ 3anaco3 nojrynposynsos. BanaEa oiopMyjraposaBa xax uaoroypoBHeEaa npotfjiesia iicJiOH2CJiCHHoro nporpassMaposaHHa. HpeECTaBJieE ajiropaia cocTaaneHEH pacnKeamM h npzaep ero npanoaeaiM.

PRODUCTION OCjîèuüIiING WITH LIMITED IN-PROCESS’ I1IVEHT0RÏ

S u m m a r y .

A three-stage, multi-product production scheduling with limited in-pro­

cess buffers between the stage is considered -with the objective of mini­

mizing the total processing time and the in-process inventory holding costs. Esch stage of production is mode up of identical parallel machines.

The problem is modelled by three-level integer programmes each of which is concerned with scheduling of different stage of production. The inter­

actions among the stage are modelled by additional constraints that take into account the semi-finished products availability and limited capaci­

ties of’intermediate storages.

A hierarchical, three-level scheduling algorithm is presented which is made up of three interconnected single pass procedures. Each procedure schedules different stage of production with different scheduling electi­

ve. Remerks are made on generalization of the approach for multi-stage production process with many intermediate storages of United capacity.

A numerical example is given data from a real three-stage production process.