Przestrzenny opis turbulentnej konwekcji termohalinowej

A ndrzej ICHA

Zakład D ynam iki M orza In s ty tu t Oceanologii

Polska A kadem ia N auk w G dańsku

P R Z E S T R Z E N N Y O PIS T U R B U L E N T N E J K O N W E K C JI T ER M O H A L IN O W E J

Streszczenie. W pracy przedstaw iono statystyczne podejście do problem u tu rb u le n tn e j konwekcji term ohalinow ej przy w ykorzystaniu form alizm u funk­

cjonalnego. O trzym ano funkcjonalne rów nanie ty p u H opfa o p arte na linea- ryzow anym , w sensie O seena, układzie rów nań O berbecka-B oussinesąa. U do­

w odniono tw ierdzenie o istnieniu rozw iązania zagadnienia początkow ego dla tego rów nania.

SPA TIA L D E S C R IP T IO N O F T U R B U L E N T T IIE R M O H A L IN E C O N V EC TIO N

Sum m ary. A statistical approach to turbulence in a th erm ally a n d sa­

lt-stratified m edium is considered on th e basis of functional form alism . T he functional H o p f’s ty p e equation based on th e linearized set of O berbeck-B ou- ssinesq eq u atio n s in th e sense of Oseen is obtained. An existence th eo rem of th e in itia l problem for this equation is given.

I I P O C T P A H C T B E H H O E O I I H C A H H E T y P B y j I E H T H O H T E P M O X A J I H H H O H K O H B E K IJH H

P e3 io M e. B p a ó o T e npe,ącTaBJieHo CTaTHCTHHecKoe ormcaHHe Ty- póyjieHTHOCTH ^b C T p a T H i t H L p i p o B a H H O H no T exm epaT ype ^h c o j i c h o c t h

cp e fle H cnonb3yH <l>yHKi(MOHajibHbm n o /rx o ^ . nonyqeH O OyHKpnoHajib- Hoe ypaBHeHHe THna Xom&a, KOTopoe 6a3H pyeT Ha nnHeapH30BaHHoii, ^b CMbicjie O c c e a a , cHCTeMe ypaBHeHHM 06ep6eK a-B yccH H eci<a. JJoi<a3a-

h o TeopeM y cymecTBOBaHHH pemeHHH HanajiLHoii ripobjieM B i flJia a T o r o

ypaBHeHHH.

132 ^{A. Iclia}

1. W S T Ę P

W ystępow anie naw et słabej stratyfikacji ośrodka znacząco w pływ a na procesy turbu- lentnego tr a n s p o rtu w cieczy i prow adzi do jakościowych różnic w porów naniu z d y ń am ik ą turbulencji w akw enie jednorodnym . D latego m atem atyczny opis przepływów turbulen- tnych w ośrodkach stratyfikow anych (tzn. niejednorodnych gęstościowo przepływów za­

chodzących w polu siły ciężkości g ) w ym aga analizy znacznie bardziej złożonego układu rów nań uw zględniających wpływ pól - te m p e ra tu ry i zasolenia - n a dynam ikę przepływ u.

Podstaw ow ą rolę w tak im opisie odgryw a układ rów nań term ohydrodynam iki zapisany w przybliżeniu O berbecka-B oussinesqa (0 -B ) (zob. np. [1]).

R ozw iązanie problem u tu rb u len tn ej konwekcji term ohalinow ej w ośrodku nieograni­

czonym (D = R 3), przy w ykorzystaniu układu rów nań 0 -B , w ym aga analizy odpow ied­

niego układu rów nań funkcjonalnych spełnianych przez przestrzenno-czasow y funkcjonał ch arak tery sty czn y pól prędkości, te m p e ra tu ry i zasolenia (zo b .[2,3]). Znalezienie pełnego rozw iązania tego zagadnienia napotyka, jak dotąd, nieprzezwyciężone trudności m a te m a ­ tyczne. W zastosow aniach może być użyteczne rozważenie prostszego, niż układ (0 - B ) , układu rów nań zapisanych w przybliżeniu Oseena

- < * t0) + v 9 U '

dui du{

~dt + d j { t ) d ^ 80 1 / \ dO m + d } ( ł ) d ^ = kt-

d s ds

m + d j ( i ) d ^ ⁼ k, duj

= 0 , d x ,

(¹) -r-m -AM . “ ■■'/-r

d x .x _,

d 20 d x j d x j

d 2s d x j d x j

gdzie przyjęliśm y umowę sum acyjną E insteina oraz x = (x i, X2, £ 3) G D C R 3, t £ [f0; 00) ; U{(x, t) - je s t polem prędkości cieczy, x (a;,i) = [p(a;,f) — poJ/Jo1 i 0 ( x , t ) = T { x , t) — T0 ; s ( x , t) = S ( x , t) — so, gdzie p , T , S i p są - odpow iednio - ciśnieniem , tem p e­

ra tu rą , zasoleniem i gęstością cieczy. Indeks “zero” wzkazuje na w artości tych param etrów w stan ie równowagi h ydrostatycznej, przy czym npoPÓ1 1, O^1 -C ^ I- Wielkości - ctt,Ps,i', kt i ks oznaczają - odpow iednio - współczynniki rozszerzalności cieplnej, ściśliwości zasoleniowej, lepkości kinem atycznej, m olekularnego przew odnictw a tem peraturow ego oraz m olekularnej dyfuzji soli. W układzie rów nań (1) d(t) je s t za­

danym , nielosow ym ciągłym polem w ektorowym określonym dla t > 0. Z akładając, że przepływ tu rb u le n tn y m a m iejsce w obszarze D = /i3 oraz przyjm ując, że pole losowe

\ u ( x , t ) , 6 ( x , t ) , s( x ,t) ] spełnia powyższy układ rów nań, sform ułujem y problem konwekcji w ykorzystując przestrzenny funkcjonał charakterystyczny pola [u(x, t) , 0 ( x , i), s(a;, t)].

2. SFO RM U ŁO W A N IE PR O B LEM U K O N W EK C JI

Niech f! = {o;} będzie p rzestrzenią fazową przepływu turb u len tn eg o , tzn . zbiorem , którego elem entam i są pola wektorowe [ u ( x ,f ) ,0(a:, i), s ( x , i)],sp ełn iające układ rów nań ( 1) i określone w arunki brzegowe. Przyjm iem y, że na przestrzeni H0 początkow ych pól we­

ktorow ych [u(a:, to), 0(x , t0) , s ( x , i 0)) zadana jest m iara probabilistyczna po{^o) określająca praw dopodobieństw o, z którym pole [ti(a:, i), 0 ( x , i), s( x, i)] należy do borelowskiego podz­

bioru ujo C fi0. M iarę P (w ) skoncentrow aną na zbiorze rozwiązań układu rów nań (1), tak ą, że jej zwężenie d la to jest równe m ierze fio(u-’o), nazyw am y przestrzenno-czasow ym staty sty czn y m rozw iązaniem układu rów nań (1). W sytuacji, kiedy ro zp atru jem y tylko wartości wielkości term ohydrodynam icznych, odpow iadające tej sam ej chwili czasu, pro­

blem tu rb u len cji sprow adza się do znalezienia jednoparam etrow ej rodziny m iar p(t,u>o), przy czym /i(t,ujo) = P ( [ u ,0 ,s ] : [ n ( i,-),9(t, •)] € a>o) je st zw ężeniem m iary przy ustalonym t 6 [¿0; oo) i k tó ra jest jednoznacznie w yznaczona przez zadany rozkład praw dopodobieństw a p 0 w chwili początkowej [4].

P rzestrzen n e staty sty czn e rozw iązanie układu równań (1) (rodzina rozkładów p(t,ujo)) jest w zupełności w yznaczone przez funkcjonał charakterystyczny pola [ u ( x , t ) , 8 ( x , t ) , s ( x , i)], tzn . przekształcenie Fouriera m iar p(t,ujo)). Taki funkcjonał sp ełn ia pew ne liniowe rów nanie różniczkowe o pochodnych wariacyjnych (funkcjonalnych), którego rozw iązanie byłoby tożsam e z rozw iązaniem problem u konwekcji (w przestrzennym sform ułow aniu).

W prow adzim y zate m do rozw ażań następujący funkcjonał

<fr[a(x),b(x),c(x) : t] = ( e x p ( i { a , b , c ; u , 0 , s : i } ) ) = J e x p ( i { a , b , c \ u , 9 , s : t} ) d p =

= J e x p ^ i J [cij(x)uj(x,t) + b (x ) 0 (x ,t) + c(x)s(x ,t)} clx 'Sj d p , (2 )

gdzie pole [<j(.t), b(x), c(x)] jest ciągłym polem wektorowym na R 3 o nośniku zw artym w R3. W dalszym ciągu, wygodniej jest operować widmową reprezentacją tego funkcjonału, zdefiniowaną następ u jąco [5]:

'¡t[a(k),l3(k),')[(k) : t] = $[('2x)~3 J a ( k ) e x p ( i k x ) d k , (27r)—3 J ¡}( k )e x p (ik x )d k ,

(2ir)~3 J ~l(k) exp (ikx)dk : i], (3)

O trzym am y rów nanie dla funkcjonału ł . W tym celu założymy, że losowe pole [ u ( x , t ) , 9 ( x , t ) , s ( x , t ) ] znika na zew nątrz zw artego obszaru D t [6] i dokonam y transfo­

rm acji Fouriera układu rów nań (1). O znaczając obrazy Fouriera pola [u(a:, i ) , 7r ( x ,i) , 9 ( x , t ) , s ( x , t ) ] - odpow iednio - przez [ v ( k , t ) , q ( k , t ) , d ( k , t ) , a ( k , t ) ] , gdzie, np. u { x , t ) = f e x p ( i k x ) v ( k , t ) d k , otrzym am y w miejsce układu ( 1) następujący układ rów nań:

134 A. Iclia

■ ■■ = — i d j ( t ) k j V i ( k , t ) — i k i < [ ( k , l ) — i / k 2 V i ( k , t ) — a t g i ( t ) i ) ( k , l ) + f 3 , g i ( t ) a ( k , t ) ,

= —i d j ( t ) k j ’0 (k, t) - i k , k 2i ) ( k , t ) , (4) -— ^ = —i d j ( t ) k j a ( k , t ) — i k , k 2a ( k , t ) ,

k j V j ( k , ł ) = 0 .

Ponieważ 'P[a(A:), f3(k),~/(k) : i] = t)-\-f3(k)i9(k, t)+~/(k)cr(k, i)]dA}), to, ja k łatw o zobaczyć, funkcjonał spełnia następujące rów nanie funkcjonalne:

<9'P i ^o 6 $ i ¿ ’P

— = j oci(k)[- id k( t ) k k - v k }— dk + a, J ( j j(t )a i { k )P 'j( k )— d k -

r s y r ¿»p

-1 3 , J Q j(t)a i( k )P '- ( k )— dk - J (3(k)[idk( t ) k k + k , k ] — dk -

~

J

gdzie P ’j ( k ) = —P;j(k) = k ik j k ~ 2 — ¿¡j - je st operatorem rzu tu transw ersalnego (5 oznacza sym bol K roneckera) oraz w ykorzystaliśm y układ równań (4) i w yelim inowaliśmy wyraz odpow iadający ciśnieniu q ( k , t ) za pom ocą rów nania ciągłości.

Niech 'P0[o(A), 0(k),~/(k)] będzie zadanym funkcjonałem charak tery sty czn y m losowego pola [ v ( k ,t 0) , d ( k , ł 0),a ( k,tu )] . Rozważymy funkcjonał,

$[<x(k),p(k),-y(k) : t] = * 0[r(* ), v ( k ) , <j>(k)}, (G) którego arg u m en ty są równe

T,(k, t) = exp[—i k kD k(t) - u k l (t - t 0)\P'] ( k ) a j ( k ) ,

v ( k , t) = e x p [ - i k kD k (t) - i/k2(t - to)]P?j(k)at [ <Ji(L') e x P[{y ~ k t )k 2{l' - t0)]ati(k) +

Jto

+ exp[—i k kD k (t) - k tk 2(i - t0)]l3{k) ,

<j>(k, t) - exp[—i k kD k(t) - i/k2(t - to)]P'j(k)l3s i gj(l')exp[(is - ks k 2(t' - i0)]a,(A-) +

J to

+ e x p [ - i k kD k(t) - ksk 2(t - /o)fr(A-) . (~) gdzie D j(t ) = /¡* dj{t')dt'.

Zachodzi n astęp u jące twierdzenie:

T w i e r d z e n i e 1. Funkcjonał charakterystyczny 'P[q(A ),/3 ( k ) ,^ ( k ) : t], którego argu­

m enty są określone zależnościami (1), spełnia równanie (5) oraz następujący warunek początkowy:

tn[a ( k ) ,0 ( k ) ,- y ( k ) : t0] = <1>0[ a ( k ) , l 3 ( k ) M k )]. (S)

Dowód. M am y

d 9 d l

8 9u0tj 8 9 u d u 6 9 u d<j>'.

Stj d i S u d i s<j> d i

X a t

i i S'iln

= J - Uk2}P~3( k ) c t j ( k ) e x p [ - i k kD k (t) - u k 2(t - t0)} + ($v|/n

+ ~J^~ [ - i d k( ł ) k k - u k 2}P’j( k )e x p [ —ik kD k(t) - i/k2(t - ż0)] x

i g j( t')exp[(v - k ,) k 2(t' - t0)]cti(k)dt' + e x p [ - i k kD k(i) - v k 2(t - i0)] x

Jtn

x P ^ ^ Q i ^ c t t g j e x p K i / - k , ) k 2(t' - ¿0)] + \—idk( t ) k k - k tk 2} x

6 9 0

x 0, [ U j ( t ' ) e x p [ ( J tn

x e x p [ —i k kD k(t) - k , k 2(l - t u ) } 0 ( k )

[- i d k(t)k k - v k 2] P ’j ( k ) e x p [ - i k kD k(t) - v k 2(t - i 0)] x

u — ks )k 2(t‘ — ta))ai(k) dl' + exp[—ik kD k(l) — v k 2(t — f0)] x XP 'j ( k ) a , ( k ) p sgjcxp[(u - k s )k 2(l' - /u)] + [~ id k( l ) k k - ks k 2] X

x exp[—ik kD k(l) - ksk 2(l - i o)]0 (£) dk.

W ykorzystując reguły różniczkowania złożonych funkcjonałów , o trzym am y [7]:

8 9 r

8 ^ , ~ J

8 9 o 8 T j ( k ' , l ' ) 8 9 0 6 v { k ' , i ) ¿ t f u 8 < j > ( k \ t ) 8 T j ( k \ t ' ) 8 c t i ( k ) + 8 v ( k ' , t ) 8 a i ( k ) + 6 < j > { k ' , t ) a , ( k )

dk',

8 0 J 8 v ( k \

S v ( k ' , t ' ) 6_9

t ' ) 6 0 ( k ) ’ ¿7

N astępnie, w ykorzystując (7), otrzym ujem y:

/

(9)

8 9 o , „ r l

^ J v ( k ~ t ) e X ~ ^ _ J (J i ( d ) c x v [ ( u — k t ) k 2 ( l ' — l o ) ] d l ' +

¿i'o i 1

+ 8 ó ( k T ) C X p [ ~ * k k D k { t ) - " P ( i - lo)]p,'j(k)P° J *•(*')«*[(*' - - <0 ) ) d ł ( 1 0 )

< 5 £ 6 9 o

8 0 -faĄfc~Ąe x P[~*kkD k{t) — ktk 2(t — i 0)] ; ^^{6 9 8 9o}

6<t>(k, t)e x p [ — i k j D j ( ł ) — k s k 2 ( t — / 0 ) ] ■

(U)

136 A. Icha

P o d staw iając w yrażenia (10) i (11) do rów nania (5) i porów nując otrzym any rezul­

ta t z (9), widzimy, że funkcjonał (6 ) spełnia rów nanie (5). Zauważm y, że 'if[a(k), /3(k), -/(k) : ¿o] = lifo [ r ( k ,t0) , v ( k , t 0),(t>{k,t0)], gdzie - odpow iednio - r,(fc,i0) = P ’jCtj(k), v ( k , t o ) = 0 ( b ) i 4>(k,ta) = 7 (k). Zatem funkcjonał (6) spełnia w arunek początkow y'(S), co kończy dowód.

3. ZA K O Ń C ZEN IE

Zaprezentow any w pracy form alizm funkcjonalny zastosow any do opisu problem u tu- rbulentnej konwekcji term ohalinow ej (w przestrzennym sform ułow aniu), przy założeniu, że układ rów nań O-B może być linearyzowany w sensie O seena, pozwolił na otrzym anie jaw nych, statystycznych rozw iązań tych rów nań, tzn. tw ierdzenia o istnieniu rozw iązania.

Zakres stosow alności przybliżenia Oseena do analizy problem ów tu rb u len tn eg o tra n sp o r­

tu w cieczach nie je st obecnie znany i w ym aga osobnych rozw ażań (zob. także [8,9]).

W y d aje się, że analizow any układ rów nań (1) odzw iecierdla pew ne cechy rzeczyw istej konwekcji term ohalinow ej (trójw ym iarow ość, niestacjonarność, uw zględnienie procesów nierównowagowych, itp .) i może być traktow any jako jej realistyczne przybliżenie. O trzy ­ m ane wyniki zaw ierają, jako przypadek szczególny, rozw iązania uzyskane w pracach [6,10].

L IT E R A T U R A

[1] Joseph D. D: U stojcziw ost’ dwiżenij żidkosti. Moskwa: M ir, 1981. (tłu m . z j. ang.).

[2] Icha A: F unctional form alism for equations of O berbeck-B oussinesq ty p e of th e de­

veloped th erm o h alin e turbulence. ’’Oceanologia” , N r 20, 1985, ss.17-2S.

[3] Icha A: Solution of therm ohaline tu rb u len t convection eq uations in the Oseen ap p ro ­ xim ation. ’’P hysica S crip ta” . Vol. 42, 1990, ss. 231-234.

[4] Viszik M. I., Fursikov A. W.: M atem aticzeskije zadaczi statisticzeskoj gidrom echaniki.

Moskwa: N auka, 1980.

[5] M onin A. S., Yaglom A. M.: S tatistical fluid mechanics. Vol. I. M assachussets: M IT P ress, 1971. (tłum . z j. ros.).

[6] Szafirski B.: A fu nctional-analytic approach to tu rb u len t convection. ’’A nnales Polo- nici M ath em atici” , Vol. X X III, 1970, ss.7-24.

[7] Rzewuski J.:F ield theory. Vol. II. London: Ililfe Books, 1969.

[8] Icha A.: Solution of a tu rb u le n t heat conductivity equation in th e O seen’s approxi­

m ation. W .: K asprzak W ., W eron A. (eds.):Stochastic m ethods in experim ental scien­

ces. Singapore-N ew Jersey-London-H ong-K ong:W orld Scientific, 1990, s .188-199.

[9] Icha A.: An application of first integrals m ethod in m agnetic diffusion problem .

’’Jo u rn al of M athem atical Physics” , vol. 33(3), 1992, ss. 1216-1220.

Recenzent: Prof. dr hab. inż Eugeniusz Switoński W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.

Abstract

T h e stu d y of th e influence of density stratification on tu rb u len t tra n s p o rt processes in liquids is one of th e most im p o rtan t problem s of Geophysical F luid D ynam ics. It is well known th a t th e ap p earance of even a weak stratification, significantly affects the tu rb u len ce dynam ics in a fluid and leads to q u an titativ e differences when com pared to the tu rb u len ce in density homogeneous m edium . T he above is a consequence of two facts, nam ely: ( 1) th e a p p o rtio n m en t of vertical direction leads to an anisotropy in m otions of all scales, and (2 ) th e set of dim ensional param eters occurring in th e problem is enlarged w ith ad d itio n al q u an tities such as a tg and ftsg (see eqs. ( 1)).

In classical hydrodynam ics m odels, dealing w ith a tw o-com ponent stratified fluid, the O berbeck-B oussinesq approxim ation is com m only employed for th e description .of tu rb u ­ lent convection. As it is well known, this convection necessitates sta tistic a l description which lead to form ulation of the problem in a language of ch aracteristic functionals of th e velocity, te m p e ra tu re and salinity fields. However, adequate functional ecpiations for the general case of th e tu rb u le n t therm ohaline convection are extrem ely com plex. It is well known th a t no general analytical technique for solving th e functional equations in tu rb u len ce th eo ry exists a t present. In this paper we consider the functional form alism for simplified eqs. ( 1), w ith th e assum ption th a t th e basic 0 -B equations can be linearized in the sense of Oseen. U nder this assum ption, it becomes possible to tr e a t th is problem rigorously and o b tain an explicit solution of th e functional differential eq u atio n (5) based on th e linearized set of eqs. (1) (see theorem 1). T h e ideas of co n stru ctin g simplified m ath em atical m odels in th e theory of turbulence possesses g reat trad itio n s; we recall in this place classical p apers of Burgers and Hopf and m ore recent p apers [3,6 ,8 ,9]. It se­

em s th a t th e analysed set ( 1) reflects som e properties of the real therm o h alin e convection (three-dim ensionality, n o n stationarity, taking account of nonequilibrium processes, etc.), and can be tre a te d as a realistic approxim ation of reality. Finally n o te th a t th e problem presented here can be extended to a case when the fluid field velocity dep en d s on aqthis paper indicates a possible direction for such a work, which is physically m o st realistic, b u t needs se p a ra te investigations.