Edward Nieznański
Dowód Gödla na istnienie summum
bonum
Studia Philosophiae Christianae 25/2, 89-102
Studia Philosophiae Christianae ATK
25(1989)2
EDWARD NIEZNAŃSKI
DOWÓD GÖDLA NA ISTNIENIE SUMMUM BONUM
0. Wstąp. 1. O ryginalna w ersja dowodu. 2. Formalno-logicane in terp re tacje dowodu Godła. 2.1. Dowód Godła w ujęciu Dany Scotta. 2.2. Ko m entarz Hansa Gzenmafca do dowodu Gödla. 2.3. A rgum entacja Godła w opracowaniu W ilhelma Esslera. 2.4. Gödlowski dowód w teoriomno- gościowej in terp retacji Geo Siegwarta. 2.5. Otto Mucka analiza dowodu Godła. 3. Spraw a semantycznej i metafizycznej interpretacji dowodu Godła. L iteratura. Zusammenfassung.
0. WSTĘP
A u striack i m a te m a ty k K u r t Gödel (1906— 1978) najw iększe sukcesy naukow e osiągnął w m etam atem aty ce i teo rii m no gości. W śród m atem aty k ów , a tak że filozofów, zasły nął głów nie sw ym zask akującym odkryciem isto tn ej poznaw czej ogra niczoności m eto dy aksjom atycznej. J a k się jedn ak okazuje, ten geniusz logiki m atem aty czn ej p row adził rów nież, z sobie w łaś ciwą p recyzją, dociekania w sp raw ie istn ien ia Boga — pojętego jako su m m u m bonum , najw yższe dobro i jako su m m a boni, b yt dla nas zdeterm in ow an y sum ą koniecznych k w alifikacji pozytyw nych, w ściśle określonym znaczeniu pojęć sum y i ko nieczności.
.Dowód, o k tó ry m tu m ow a, p ojaw ił się n a osiem la t przed śm iercią Godła, 1.0 lu teg o 1970 r., w postaci dw u stro n ręk o pisu i pozostał w w e rsji roboczej dotąd nie opublikow any. F a k t posiadania kserokopii tego rękopisu zaw dzięczam y prof. Johannesow i Czerniakow i, dyrektorow i Is ty tu tu M atem atycz nego n a un iw ersy tecie w Salzburgu, sek retarzow i — założo nego w ubiegłym rok u (a kierow anego przez prof. Hao W anga) — to w arzy stw a naukow ego „ K u rt Gödel G esellschaft” w W iedniu. N ajw cześniejszy oficjalny sy g nał o istn ien iu ja kiegoś dowodu ontologicznego Gödla zn a jd u jem y w „R uchu Filozoficznym ” 44(1987) s. 107 w info rm acji o odczycie Jerzego Perzanow skiego w K rakow skim O ddziale P T F , dnia 28 III 1985, n a tem a t „Dowód m onizm u? M arginalia do dowodu onto logicznego G ödla”. P ierw szy opublikow any w ykład w raz
z an alizą tego dow odu m a m iejsce dopiero w podręczniku E ssler-B ren d el-M artin ez, G rundzüge d er Logik II, F ra n k fu rt 1987, A n h an g III, s. 309— 319.
5 m aja 1988 r. w K ate d rz e Logiki A T K w W arszaw ie prof. Jo h an n es A loisius C zerniak w ygłosił odczyt n auk o w y p t. „Gö- dels ontologischer G ottesbew eis”. Z tego odczytu, jak też z do starczonego m aszynopisu, p o zn ajem y dw a najw cześniejsze (choć n ie publikow ane) k ry ty c z n e opracow ania dowodu Gödla, a u to rstw a pro f. D any Scotta i sam ego Czerniaka.
R ozw iązania C zerniaka b y ły o p a rte n a in te rp re ta c ji Scotta i są niezależne od bad ań Esslera. K o lejn a n ato m ia st próba, pochodząca od S iegw arta, naw iązy w ała w całości do rozw ażań E sslera nie p ozotając w żadnym zw iązku z rozstrzygnięciam i Czerniaka. W liczącym 110 stro n (przygotow anym do druku) skry p cie „G o tt”, Eine einführungsm ethodologische U n te rs u chung, Essen, N ovem ber 1987 dr Geo S ieg w art p ro p o n u je pew ną teoriom nogościow ą in te rp re ta c ję dow odu Gödla. Naszą uw agę zw raca pew ien odnotow any w ty m sk ry pcie szczegół o losach dow odu Gödla, p rze k a z an y p rzez prof. E sslera w liście z 'dnia 30 czerw ca 1987 r.: „W as Ih re F rag e z u r Q uelle des G ödelsehen G ottesbew eises b e trifft, so k a n n ich Ihn en hierzu n u r folgendes sagen: H e rr P ro f. S tig K a n g e r aus Schw eden h a t m ir vor ca 2 Ja h re n , ..., diesen Bew eis m itg ete ilt, der ih n w ied eru m ü b er D an a Scott e rh a lte n h a t”. Stąd, w kon tekście poprzednich ustaleń , m ożna sądzić, że prof. D ana Scott położył najw ięk sze zasługi w dziele odkrycia i rozpow szech nien ia ontologicznego dow odu Gödla.
O statn im w reszcie dostępnym n a m opracow aniem , k tó re sta now i k ry ty c z n y rozbiór om aw ianego dowodu Godła, jest m a szynopis O tto M ucka, p rofeso ra u n iw e rsy te tu w Innsbruoku, 0 ty tu le „Gödels G ottesbew eis. A nalyse, V ariationen, A nw en d u n g e n ”, In nsbruck, S ep tem b er 1988, s. 10.
1. ORYGINALNA WERSJA DOWODU
Przytoczonego tu tek stu n ie zaliczam y b y n ajm n iej dö czegoś w ro d zaju „ k ry ty czn a ed y cja dzieł G ödla”. P osiad an a odb itka rękopisu jest w w ielu m iejscach nieczytelna. P rz y p isy — in a czej niż się rzecz m a w sam y m oryginale — n u m e ru je m y 1 um ieszczam y u dołu stro n icy . Ze w zględów technicznych sto su je m y też inn e niż u Gödla znaki im plikacji i m ałego k w an - ty fik ato ra.
F rom fold er 06/41 O ntologischer B ew eis Feb. 10, 1970 Ρ(ψ) φ is positive (or φεΡ)
Α χ. 1 Ρ(φ) - Ρ(ψ) -*■ Ρ(φ . ψ ) 1 Α χ 2 Ρ(φ) V 2 Ρ(·~φ)
Df 1 G(x) = (φ) [Ρ(φ -► φ,(χ)] (God)
Df 2 cpEss. x == (ар) [а|л(х) -> N(y) [ф(у)-»· ф{у)'|] (E ssence·3 of x) p ->· N Nq = N(p q) N ecessity
A x .2 Ρ(ψ) -> ΝΡ(φ) \ because it follows from th e n a tu re ~ P(cp) —>- iN ~ Ρ(φ) j of th e p ro p e rty
Th. G(x) G Ess. x
Df. E(x) == (φ) [φ Ess. x Ν(Υχ)φ(χ)] n ecessary E xistence A x 3 P(E)
Th. G(x) -> N (Vy) G(y) hence (Vx) G(x) — N (Vy) G(y)
hence M (Vx) G(x) -> MN (Vy) G(y) M = possibility -> N (V y )G (y )
M (V x) G(x) m eans th e sy stem of all pos. pro p , is com patible. T his is tru e because of:
A x. 4: Ρ(φ) · ψ '-> Νψ: Ρ(ψ) w hich im plies J x = x is positive
1 x Φ x is n egativ e
B u t if a system S of pos. prop, w ere incom p, it w ould m ean th a t the sum prop, s (w hich is positive) w ould be x Φ x 4.
P o sitiv e m eans positive in the m o ral aesthetic sense (inde- p e n d ly of th e accidental s tru c tu re of th e w orld). O nly th en th e ax. tru e . It m ay also m ean p u re „ a ttrib u tio n ” as opposed to ^priv atio n ” 5 (or containing priv atio n). This in te rp re ts sim p le r proof.
2. FORMALNO-LOGICZNE INTERPRETACJE DOWODU GÖDLA 8
W szyscy in te rp re ta to rz y dowodu G odła n a istnienie Boga p rz y jm u ją zgodnie, że dowód ten jest zapisany w języku sfo r m alizow anym S5-m odalnego rac h u n k u p red y k ató w (z identycz
1 and for any num ber of summands. 2 exclusive or.
3 any two essences of x are nec. equivalent.
4 If φ ipos., then not: (x) N ~ φ (x). Otherwise: φ (x) -» Nx ψ x hence x 4= x positive, so x — x neg. contrary Ax. 4 on the exist, of pos. prop.
5 j. e. the diisj. normal form in term s of elern. prop, contains a member w ithout negation.
6 Ponieważ prezentowany m aterial jest przeważnie jeszcze in statu fieri, nie przywiązujem y większej wagi do pojaw iających się błędów
nością) drugiego rzędu. D okładniej rzecz biorąc, chodzi w łaś ciwie o fra g m en t takiego rac h u n k u , zaw ierający jeden tylko rodzaj zm iennych p red y k ato w y ch pierw szego rzęd u, a m iano wicie ty lk o jednoargum entow e zm ienne w spom ianego rodzaju. P rz y jm ijm y m etajęzykow e oznaczenie „Z,” dla zbioru zm ien ny ch logicznych i-tego rzędu. Z0 jest wówczas zbiorem zm ien nych indyw idu owych, a Ζχ — zbiorem zm iennych re p re z e n tu jących jedno argu m n eto w e p re d y k a ty pierw szego rzędu . W ję zyku sform alizow anym , k tó ry opisujem y, będą „ x ”, „y ”, „z” 6 Z0 oraz „ F ”, „G ”, „H ” 6 Ζχ. N iech z kolei „Si” oznacza zbiór stały ch .pozalogicznych rzędu i, dla i = 0, 1, 2. W ówczas „b” 6 S0 (nazw a „Bóg” jest sta łą idyw iduow ą), „B ” i Sx (predy k a t „Bóg” jest sta łą p red y k ato w ą pierw szego rzędu), zaś „ P ” è S2 (pred yk at „po zy ty w ny ” jest stałą p red y k a to w ą d ru giego rzędu). Stałym i logicznym i naszego języka są: (ne gacja), „ Д ” (koniunkcja), (im plikacja), „v ” (altern aty w a),
»” (równoważność), „A ” (k w an ty fik ato r ogólny), „V ” (k w an - ty fik a to r szczegółowy), „ —” (identyczność), „N ” (fu n k to r k o nieczności), „M” (fu n k to r możliwości), (o p erato r a b s tra k cji). N a gruncie tego słow nika m ożem y określić te rm y (w yra żenia nazw ow e) i fo rm u ły prezentow anego języka. N iech „Τχ” oznacza zbiór term ów rzęd u i, dla i = 0, 1, 2. W ówczas Z,
U
Si CI T ä. Jeżeli „z” 6 Z0, a X jest form ułą, to ż{X] jest elem entem zbioru Τχ. Jeżeli t 6 Tb to ( ~ t) , N t, Mt 6 Τχ. Jeżeli t, w 6 Τχ, to (tA w ), (tV w ), ( t- > w ) , (t <—> w) € Τχ. Jeżeli i = 0, 1, zaś t 6 Tj oraz w 6 T i+1, to w(t) jest form ułą. Jeżeli t, w 6 Ti; dla i = 0,1, to t — w jest form u łą. Jeżeli X oraz Y są form ułam i, to są nim i rów nież X, Χ Λ Υ , X V Y , X - > Y , X <-> Y, N X i MX. Jeżeli X jest form ułą, zaś u ( Z , U Ζχ, to fo rm ułam i są Au X i Vu X.2.1. DOWÓD GÖDLA W UJĘCIU DANY SCOTTA
M aszynopis Jo h an n esa C zerm aka p rzy tacza n a stro n ach 5— 7 form aln ą in te rp re ta c ję dowodu Gödla w w yk on aniu D any Scotta. Scott p rz y jm u je n a jp ie rw dw a aksjom aty:
A k sl. P ( ~ F ) ~ P ( F )
Aks2. P(F)
A
N A x [F(x) -> G(x)] -> P(G). Na pod staw ie ty ch aksjom atów dowodziT w l. P(F) -> M Vx P(x).
Z kolei w prow adza definicję pojęcia Boga: D ef. B (x) <-> A F [P(F) F{x)].
i nieścisłości w maszynopisach inter,preitatorów Godła, dążąc raczej do rozwinięcia cennych wątków, niż do wierności słowu.
Dodaje k o lejn e aksjom aty: A>ks3. P(B)
Aks4. P(F) -> N P(F).
P rz y ta c za n a stęp n ie d efin icję isto ty b ytu:
D e l F Ess. x f ^ F(x) Д AG [G(x) N A y [F(y) G{y)]]. W yko rzy stu jąc tę definicję oraz aksjo m aty A ksl i Aks4 dowo dzi założeniow o w logice S5
Tw2. B(x) -> B Ess. x. Dorzuca jeszcze dw ie uw agi:
F Ess. х Д G Ess. x N {F = G) i F Ess. x - ^ N A y [F(y) - * y = x].
N a koniec dołącza d efin icję koniecznego istnienia i aksjo m at p rzy p isu ją c y cechę pozytyw ności tem u rodzajow i by tu :
Def. E(x) A F [F Ess. x -> N V x F(x)] Aks5. P(E).
W yk ład ra c h u n k u Gödla zam yka postępow anie u zasadniające Tw 3.
Tw3. N Vx B(x), bo:
1. B ( x ) -> E(x), z Aks5 i D ef. В
2. E(x) Л B Ess. x —> N V x B(x), z Def. E 3. B(x) N Vx B(x), ho 1, Tw2, 2 4. V x B(x) -> N V x B<x), z 3
5. M Vx B(x) MN Vx B(x), bo 4, reg u ła w niosko w an a Gödla i p raw o N {p -> q) -* (Mp Mq) 6. M Vx B(x) -> N V x B(x), bo 5 i MNrp Np 7. M Vx B;(x), bo T w l i Aks3
8. N V x B(x), bo 6 i 7.
D ana Scott nie k o m en tu je fak tu pojaw ienia się w dowodzie G ödla dw u różnych fo rm u ł pod ty m sam ym oznaczeniem „A x2”. U w aża je jedn ak za d edukcyjnie niezależne, skoro obie w prow adza aksjom atycznie jako A k sl i Aks4. A ksjom at Ax. 1 Gödla upraszcza Scott do postaci Aks3. G ödla d efnicja isto ty b y tu Df2: F Ess. x <-» AG [G (x )- * F ^ NG], gdzie F Z „ G e >
<—> .N A x [F(x) G(x)], jest definicją za szeroką, gdyż w edług
n iej każda p u s ta cecha F b yłaby ju ż istotą dowolnego b y tu x. M usiał dostrzec to D ana Scott, skoro jego definicja isto ty by tu została uzupełniona, kon iu nk cyjnie dodanym do definiensa, ograniczeniem F(x), k tó re nie w ynika z fo rm uły AG [G(x) -> - > F ^ „ G ] .
2.2. KOMENTARZ HANSA CZERMAKA DO DOWODU GÖDLA W sw y m 12-stronieow ym m aszynopisie „Gödels ontologischer G ottesbew eis” Jo h an n es Czerniak zauw aża n a jp ie rw , że dowód
Gödla w sw ej filozoficznej treści jest n a jb a rd zie j z-bliżony do ontologicznego arg u m en tu Leibniza z „M onadologii” 41, 44 i 45, zaś w sw ej w arstw ie fo rm aln ej asym ilu je zw łaszcza Ch. H a rts h o m e ’a (1961), (1962) sform alizow any n a g ru n cie lo giki m odalnej S5 dow ód św. A nzelm a n a istnienie b y tu m ak sy m alnie doskonałego. J. C zerm ak p rzy ją ł w całości, i bez żad n y c h zm ian, in te rp re ta c ję dowodu Godła podaną przez Danę Scotta. U zupełnił ją jedynie szczegółową listą aksjom atów lo gicznych i reg u ł w nioskow ania. J e st ona połączeniem aksjo- m aty k i i reg u ł rac h u n k u p red y k ató w drugiego rzędu (z iden tycznością) oraz zestaw u aksjom atów i reg u ł logiki m odal n e j S5. G dy chodzi o uw agi szczegółowe, C zerm ak pokazuje n a jp ie rw , że ak sjo m atyk ę D an y Scotta m ożna wzm ocnić przez dodanie do każdego aksjom atu X znaku konieczności NX. W ażnym — także ze w zględów filozoficznych — spostrzeże niem C zerniaka jest, w y k azan y n a podstaw ie A k sl fakt, że
B(x) <-> A F [P(F) -> F(x)] <-> <-> A F [ ~ F ( x ) - » ~ P (F )] <—> A F [ ~ F ( x ) -> P ( ~ F ) j <—> <-> A F [F(x) -> P(F)].
Znaczy to, że określenie „Bóg jest b y tem m ający m w szystkie cechy .pozytyw ne” jest rów now ażne definicji „Bóg jest bytem , którego w szystkie cechy sa p o zy ty w n e ”. Wobec w ykazanej rów now ażności B(x) <—> A F [F(x) —> P(F)] — zauw aża Czer m ak — Tw ierdzenie T w l m ożna wzm ocnić do rów now ażności P(B) M V x B<x).
N astępnie prof. C zerm ak w y k azu je n a podstaw ie D el. Ess, p raw a logiki p red y k ató w : F(x) <—> A y [y = x -> Fi(y)] oraz ak sjo m atu ab strak cji, że z jed n ej stro n y :
F Ess. x ->-F = ź (x = z], zaś z drugiej: ż [x = z] Ess. x <—>
«—> A G [G(x) N Ay (x = y G(y))], sk ąd jed n ak nie d aje się w ykazać w p ro sty sposób, że A x V F (F Ess. x).
Na koniec J. C zerm ak zauw aża, że w oparciu o aksjom at ab strak cji i Aks2 u zy sk u jem y tezy w rodzaju: P(F) -> B (F \/G ), P(F) -> P(G -> F), P ( F A G ) -> P ( F ) , zaś z Aks3 i Aks5 — rów nież: P ( F )A B (G )-> P (F A G), P(F) -> P(NF). Oznacza to, że każda cecha „logiczna” jest pozytyw na i ty m sam ym żaden b y t n ie posiada sam ych ty lk o cech n ie-pozytyw nych.
2.3. ARGUMENTACJA GÖDLA W OPRACOWANIU WILHELMA ESSLERA
W ilhelm E ssler uw aża, że zasadniczą ideę G ödla m ożha w y łożyć w języku pozbaw ionym fu n k to ró w m odalnych. P rz e d
staw ia zatem a rg u m e n t Gödla n a dw a sposoby. N ajp ierw w y k ład a go w asertory czn y m rac h u n k u p red y k a tó w z id en tycz nością drugiego rzędu. Rozszerza te n ra c h u n e k jedynie o trz y ak sjo m a ty pozalogiczne i jedn ą d efinicję dla p re d y k a tu „Bóg”.
a l. A F (P (F ) ~ P ( —F)l, gdzie - F ( x ) <-> ~ F (x ). a2. P ( x A F [P (F )-> F { x )]) lu b Р(глР),
gdzie „ r " P ” oznacza „iloczyn po w szystkich cechach p ozytyw n y c h ” .
a3. A F AG [F ^ G A P (F ) -> P(G)], gdzie F G <—> A x [F(x) -> G(x)].
df. B: A x {B{x) <—> A F [P(F) -> F (x )]} hub B = rSP.
Na p rz y ję ty c h podstaw ach W. E ssler dowodzi trzech tw ierdzeń: t l . A F [P(F) V x F(x)], bo:
1. P(F), założenie
2. ~ V x F ( x ) , z. d. n. (założenie dowodu nie w prost) 3. F = O <—> - V x F(x), df. O 4. B(O), bo 1, 2, 3 5. F = U <-> A x F<(x), df. U 6. P{U), bo AxU <x), F ^ U , аЗ, 1 7. ~ P ( - U ) , bo a l, 6 8. ~ P (Q ), bo 7, O = - U sprzeczność: 4, 8. t2. V x B(x), bo: 1. В = r \ P , df. В 2. Р{г>Р), bo a2 3. P(B), bo 1, 2 4. V x B (x ), bo t l , 3.
Zarów no Gödel jak Scott i C zerm ak po p rzestaw ali tylko na w ykazyw an iu tezy, że Bóg istn ieje, p o m ijając sp raw ę Jego je- dyności. Dowód tak i w ich rac h u n k a c h jest jed n ak ła tw y do przeprow adzenia, co pokażem y dla p rzy k ład u w system ie D any Scotta. Tw4. B(x) Д B(y) X == y, bo: 1. B(x), załóż. 2. B(y), załóż. 1.1 ~ P (ż [z = y]>, z d. n. 1.2 B (~ ż [z = yj), z A k sl i 1.1 1.3 ~ ż [ z = y](y), bo 2, Def. B, 1.2 1.4 ~ y = y, too 1.1., aksjom at ab strak cji
sprzecz.: 1.4, y = y.
3. P ( ż [ z = y ] ) , bo z 1.1 w y n ik a sprzecz. 4. x — y, 'bo 1, Def. B, aksjom at ab strakcji.
P ierw szy m jed nak in te rp re ta to re m Gödla, k tó ry dowiódł tezy 0 jedyności Boga, był W. Essłer.
t3. A x A y [B(x) Λ B(y) x = y], bo: 1. B(x), załóż. 2. B(y), załóż. 1.1. ~ P ( { x } ) , z. d. n. 1.2 P ( - { x } ) , bo a l, 1.1 1.3 — (x } (x ), bo df. B, 1, 1.2 1.4 ~ x = x, bo — F(x) ~ F ( x ) i {y}(x) <-» x = y sprzecz.: 1,4 z x = x 3. P ({ x } ), ibo z 1.1 w y n ik a sprzecz. 4. x = y, ibo 2, df. B, 3, {x}(y) x = y.
Z tw ierd zeń t2 i t3 w oparciu o pojęcie k w a n ty fik a to ra jed nostkow ego Vjx... w yprow adza E ssler o sta tn ią tezę:
t4. VjX B(x).
P ro f E ssler — św iadom tego, że n iek tó ry ch pojęć i tez Gödla nie da się odnotow ać w języku n iem odalnym — p rzy ta cz a ró w nież m odalny w y k ład a rg u m e n tu Gödla. W ypow iada jed n ak od raz u n a w stępie sw oje k ry ty c z n e „credo” odnośnie do logik m odalnych. Stosow nie do sem an ty k i K ripkago dla logik mo~ dalnyoh, m ów i o św iatach m ożliw ych i relacji R „w zględnej dostępności św iató w ”. R elacja ta w p rzy p a d k u sy stem u S5 m a być zw rotna, sy m etry czn a i p rzechodnia zarazem , a skoro logika ta jest p raw d ziw a w e w szystkich m odelach z rów no w ażnościow ym i relacjam i R, więc ty m sam ym i w takich, w k tó ry c h R jest identycznością. W ówczas jed n a k p <—> Np
<—> Mp. W zastosow aniu zaś do m odeli „em piryczn ie” w y b ra
nych, logika m odalna — zdaniem E sslera — m iałaby już być niestosow na (m an ben ö tigt d a n n allerdings n ich t m eh r die M odallogik”). Mimo sw ej n e g a ty w n ej oceny przy datn ości logik m odalnych E ssler od tw arza m odalny a rg u m en t Gödla i p rz y j m uje:
A l. A F AG [ F Z KG A P(F) -> P(G)] A2. A F - [P{F) <-> P ( —F)].
Z ty c h dwu aksjom atów w yprow adza tezę T l. A F [P(F) - > F + 0 ], gdzie O = x [x Ф x]. N astęp n ie do d an a zostaje definicja:
D l. В = r \ P 1 k o lejn y aksjom at:
Z A3 i T l u zy sk u je się od razu T2. B + O.
N astępnie dodaje E ssler definicję isto ty bytu:
D2. A F A x {F Ess. x F(x) Д AG [G(x) -> F ^ «G ]}. Pow iększa ak sjo m aty k e o k o lejn y aksjom at:
A4. A F [P(F) -> N P(F)]. i dowodzi tw ierd zen ia
T3. A x [B(x) —> В Ess. x].
Na koniec Essler dodaje jeszcze definicję koniecznego istnienia: D3. A x {Ei(x) <-» A F [F Ess. x -> N(F Ф O)]}
i u zupełnia ak sjo m aty k ę ostatn im aksjom atem : A5. P(E).
Całą p rezen tację m odalnego arg u m en tu Gödla zam yka dowód tezy
T4. Νι(ΒΦΟ).
2.4. GÖDLOWSKI DOWÓD W TEORIOMNOGOSCIOWEJ INTERPRETACJI GEO SIEGWARTA
N a stro n ach 69— 75 swego s k ry p tu d r Geo Siegw art s ta ra się w yłożyć a rg u m en t Gödla „in ein er naiv en M engensprache e rste r S tu fe ”. Z apew ne pod w pływ em k ry ty c z n y ch uw ag E sslera n a tem a t logik m odalnych rezy g n u je z m odalnej w ersji a rg u m e n tu Gödla n a rzecz asertorycznego dowodu Esslera. U siłuje jedn ak dowód ten zapisać w języku n aiw nej teorii mnogości, z jed n y m tylko rodzajem zm iennych. Poniew aż teo ria tak a jest an ty n o m ialna (bo p rz y ję ty przez S iegw arta aksjo m at defin icy jny prow adzi do antynom ii Russella), in te rp re ta cję dowodu Godła (czy raczej Esslera) w w ykonaniu S iegw arta m ożna trak to w ać pow ażnie dopiero po jej g ru n to w n y m p rz e redagow aniu n a język algeb ry zbiorów, w tak iej np. postaci tej algebry, jaką znajidujem y w podręczniku J. Słupeckiego i L. Borkow skiego (1963) s. 125— 136. T rzy aksjo m aty Esslera (a l, a2, a3) i jed n a definicja (df. B) p rz y ję ły b y wówczas ich m nogościowy w yraz:
a l +. ΑΧ (X 6 P ~ X ' 6 P),
gdzie stała „ P ” oznacza rodzinę zbiorów „pozyty w n ych”, zaś x ( X ' e-> ~ x 6 X.
a2+. i(4kP) 6 P.
'(Iloczyn po w szystkich zbiorach rodziny P jest elem entem tej rodziny).
a3+. AX AY (X C Y Λ X 6 P -> Y 6 P). df. B +. В = (глР)
(Zibiór Bogów jest iden ty czny z iloczynem uogólnionym ro dziny w szystkich zbiorów „pozy ty w ny ch ”).
M ożna wów czas udow odnić, że V x ({ x } = r \P ) .
P rz y jm ijm y n a koniec oznaczenia: „ a l” dla Vx A F [P(F) <—> > Fi(x)] i „ a l+” dla Vx ΑΧ (X 6 P <—> x 6 X). W ówczas m ożna także w ykazać w rac h u n k u p red y k ató w (z identycznością) drugiego rzędu, w oparciu o df. B, że
tl. a l <—> al Д a2 Λ a3 i tli. a l -> Vx ({x} = ^ P ) ,
zaś w algebrze zbiorów — z dodaną do n iej definicją df. B + —- t l +. a l+ <-> a l + Д a.2+ Л a3+ i
t l l +. a l + -> Vx ({x} = глР).
M ożliwe jest zatem — co do liczby aksjom atów — dalsze uproszczenie rachunków w w e rsji E sslera i oparcie ich na
jed n y m ty lk o aksjom acie.
2.5. OTTO MUCKA ANALIZA DOWODU GÖDLA
W sw ym opracow aniu prof. O tto M uck pow ołuje się — co do źródeł — n a rękopis Gödla, oraz in te rp re ta c je Esslera i S iegw arta. Nie są m u n atom iast znane analizy Scotta i Czer niaka. Sw oje rozw ażania rozpoczyna od w iernego zreferow ania treści rękopisu Gödla. O dnośnie do dw u różnych fo rm uł ozna czonych przez Gödla tym sam ym n u m ere m „A x2”, prof. Muck tw ierdzi, że są to d w a ak sjo m aty ded u k cy jn ie niezależne i w zw iązku z tym , aksjom at drugi w kolejności w ystępow ania w tekście Gödla oznacza przez ,,A x2'”.
R ozm aite związki w y n ik an ia in feren cyjnego w rozw iniętym przez siebie rac h u n k u Gödla p rzed staw ia O. M uck w postaci trzech czytelnych, choć znacznie skom plikow anych w y k re sów. Zw iązki te, n iek tó re z nich, z re fe ru je m y za pom ocą sche m atów inferencyjnyich, w rod zaju P b P 2 P n : W (n p rze słanek Pj oddzielonych przecinkam i, dw ukropek jako sk ró t spójnika „w ięc”, W — w niosek).
(1) A x l, P(F) Λ P(G) -> B(F. G) : P<F) Λ <PG.) -» -> V H [ H Z F . G A B(H)
λ
ηΦ
O]. (2) Ax4 : Pi(F) Ä F Z G · ^ P(G). (3) P(F) A F Z G ^ · P(G), F Z U , V F F(F) : P(U). (4) A x l, Pi(F) - > F Φ O : ~ [Pi(F) A B (~ F )]· (5) - [B(F)A
P ( —F)], P(U), O = - U : - P(O). (6) P(F) F Φ O : - B(O). (7) P(F) A B(G) VH [ H Z F - G A P(H)Λ
Η Φ O] : - B(O). (8) P(O) A O Z F ^ B(F) : A F P(F)..(9) V F - P(F), P (0 ) A O Z F - ) · P ( F ) : - P(O). (10) Ax2, P(U), O = - U : ~ P(O).
(11) Ax2 : P;(F)
V
P ( - F ) . (12) Ax2 : - [P(F) Д P ( ~ F ) ].(13) ~ [P(F) A P ( —F)], R(F)
V
P ( —F) : - [P(F) P ( - F ) ] . Przytoczone zw iązki stanow ią zaledw ie połow ę ty c h in fe-reneji, k tó re n o tu je pierw szy w y k res M ueka. O ry gin aln ym pom ysłem w dalszych analizach jest p ró b a pokazania ko n sekw encji p rzy jęcia założenia, że „ n ie p o z y ty w n e w łaściw ości d a ją się p rzed staw ić za pom ocą cech p o zyty w n y ch i ich do p e łn ie ń ” : z l. - P(F) - * VG VH [P(G) Л P(H) Д F = G · —Н]. O. M uck stw ierdza: (14) A x4 : V F - P(F) - F (0 ), bo (9). (15) Ax4 : V F P(F) - * P(U), bo (3). (16) z l : V F ~ P(F) -> VG P(G). (17) zl : V F ~ P(F) -> - P(O) Д P(U), bo (14), (15) i (16). (18) A x i, A x2' : ~ P(O) -> VG A F [Pi(F) -> G ^ NF Д N(G Ф O)]. (19) G(x) Д G(y) Д х Ф у , x 4 y ^ V F [F(x) Д - F(y)] : : — V F Vx Vy [Gi(x) Д F(x) Д G(y)Д
~ F(y)][ОД Λ
Λ
G ( y ) - * x = у]. (20) Df. В : P(F) -> В ^ F. (21) Df. В : P(F) ~ Vy [В(у) Д - Р(у)], bo (20). (22) Df. В, zl : - P(F) ~ V y [B(y) Д - F(y)]. (23) А х Г, Α χ4, Def. B, z l : VF - P(F) -> VG (A F [P(F) - + G ^ îA nF] Λ Ax A y [G(x) Д G(y) x = y]).3. SPRAWA SEMANTYCZNEJ I METAFIZYCZNEJ INTERPRETACJI DOWODU GÖDLA
Gödel p rzeprow adza rozum ow anie: (gl) Vx B(x) -> N Vy B(y), sk ąd (g2) M Vx B(x) -> MN Vy B(y), a stą d <g3) M Vx B(x) - ^ N V y B(y).
W sy stem ach logiki m odalnej (budow anych m etodą Gödla) od tw ierd zen ia (g l) o potaci p - > N q , z pom ocą re g u ły in fe re n - cy jnej Gödla (RG: X, zatem NX, dla każdej tezy X) p rz e chodzim y do fo rm u ły o postaci N(p —> Nq). Z pom ocą p raw a L I. Ni(p q) ->■ (Mp -> Mq) u zy śk u jem y n a stę p n ie z (gl) tezę (g2) 0 postaci Mp —> MNq. Jeżeli w y k o rzy stam y teraz p raw o L2. MNp -> Np, otrzy m am y od razu z (g2) w niosek (g3). M ożem y jed n ak zam iast L2 zastosować L3. M N p - > p i w ów czas z (g l) 1 (g2) uzyskam y (g3). Rozum ow anie Gödla m ożna w obec tego przeprow adzić w sy stem ie S5 (iktóry zaw iera tezy L I, L2 i re
-g ulę RG), bądź w lo-gice m odalnej B ro u w era (która posiada L I , L3 i RG, choć nie zaw iera p ra w a L2). S em anty ki K rip - kego, jak ie w ty m p rzy p ad k u są stosow ane, m uszą o rela cji R zachodzącej m iędzy św iatam i m ożliw ym i zakładać, że jest ona zw rotn a i sy m etry czn a w sw ym polu .(dla sy stem u B) i dodat kowo przechodnia (dla S5).
P ew n e -uwagi sem an tyczn e do języka arg u m en tu Gödla po czynił W. Essler. J C zerm ak, k o rzy ta ją e z sem an ty k i K ripkego, .przeprowadził n ato m iast dow ód niesprzecznoścd dla Gödla teo rii sum m um bonum , zgodny z pojęciem niesprzeczności okreś lonym przez P osta. P ró b y ziaś zbudow ania ad ek w atn ej se m an ty k i teorii o p artej n a aksjo m atach Gödla p o d jął się O. Muck.
Niech zbiorem św iatów m ożliw ych będzie rodzina W = = {wi, w 2, w n), gdzie dla każdego Wi i Ç I = (1 ,2 , ...,n } . Z akłada się, że k a żd y św iat m ożliw y w b m a ją c y uniw ensum indyw iduów U b jest algebrą B oole’a pojęć, z a w a rtą w zbiorze potęgow ym 2VK Niech U = U] υ L u ... υ Un. Z akładam y, że re la c ja R —- z a w arta w I2 — jest rela cją rów now ażnościow ą w zbiorze I. Oznacza to w edług M ucba ty le samo co fak t, że R spełnia w arunek: iRj Д iR k - » jRk, dla każdego i, j, к 6 I. Z akład am y w reszcie, że Ai Alk (iR k —> U, = Uk). K orzystając z n iek órych u sta le ń O tto M ucka p rz y jm u je m y dla fo rm u ł języka arg u m en tu Gödla n a stę p u jąc ą in te rp re ta c ję sem an tyczną:
(iNpji e-> Aj (iR j —> Pj), (Mp)i Vj (iR j A р Д (P(a))i <-» a 6 F/Ut 6 w t,
-gdzie F/Ui = ( x é Â : F(x)}.
Fi(a) e - > a ć F ć w b gdzie F = ( x ć U : F (x )} . (V x F(x))i e—> Va (a 6 U ä Д a 6 F/Uj Ç Wl). Vx Fi(x) <-* Va (a 6 U
A
a 6 F 6 w j. (A x F(x))i <—> Aa (a 6 Uj a 6 F/Us Ç Wi). A x Fi(x) Aa ( a 6 U - > a £ F 6 -Wj).W szystkie dalsze w a ru n k i są kom binacjam i przytoczonych u sta le ń in te rp re ta c y jn y c h . Osobnej in te rp re ta c ji w ym aga jesz cze ty lk o p ierw o tn a s ta ła p red y k ato w a d rugiego rzęd u ,,P”. Sp raw ę tę irostrzygnął n a jp ie rw J. C zerm ak, a n a stęp n ie O. M uck. P re d y k a t ,,P” denotuj-e f iltry m aksym alne (u-ltrafiłtry) w św iatach Wi. G ödlow skie ak sjo m aty A x l i A x4 stw ierd zają w łaśnie, że ,,P” d e n o tu je filtry , zaś p ierw szy z aksjom atów Ax2 przesądza 'dodatkowo, że chodzi w yłącznie o filtry m ak sy m alne. N ależy w ty m m iejscu zauw ażyć, że j-edonelemeptowość pojęcia Boga d a je się dowieść jedynie wówczas, gdy nie n a
k ład am y żadnych ograniczeń n a reg u łę (podstawiania za zm ienne pred y k ato w e, co w języku sem an ty k i znaczy, że k a żd y św iat m ożliw y Wi m a być najw ięk szą z a lg e b r B oole’a dającą się u tw o rzy ć z u n iw e rsu m indyw iduów и ь czyli każde Wł = 2üi. Oznacza to niezw ykłe u tru d n ie n ie dla poszukiw ań sem an tyk i G ödlow skiej teorii sum m um bonum , zgodnej ró w nocześnie z oczekiw aniam i m etafizycznym i. M oglibyśm y np. w m iejsce p rzy jęteg o przez O. M ucka zbioru indeksów n a tu raln y c h I w prow adzić zbiór p u n k tó w czasow ych T. K ażdy w ów czas św iat m ożliw y w t byłby św iatem ak tu a ln y m w czasie i 6 T. R elacja „dostępności św iatów ” R m ogłaby zachodzić m ię dzy Wi oraz Wj, pow iedzm y wówczas, gdy św iaty te podle gałyby ty m sam ym praw o m n a tu ry . K ażde u n iw ersu m Ui byłoby zbiorem b y tó w a k tu a ln y c h w chw ili i, zaś U — ogó łem b y tó w realny ch. Znalezienie wówczas w algebrach pojęć 2ui u ltra filtru w spólnego w szystkim tak p o jęty m św iatom m oż liw ym , złożonego z pojęć „p o zytyw nych” i p rz y ty m w jakim ś u g ru n to w an y m sensie „re a ln y c h ”, w y d aje się być przed się w zięciem karkołom nym , k tó re w ym aga ziapewne długich jesz cze i w ielce skom plikow anych dociekań sem an tyczn o-m etafi- zycznych.
LITERATURA
J. A. Czerniak, Gödels antologischer Gottesbeweis, Salzburg, maszynopis, 12 stron.
Essfer-Bremdel-Martimez, Grundzüge der Logik II, F ran k fu rt 1987. K. Gödel, Ontologicher Beweis, from folder 06/41, F ebruar 1970, ksero
kopia rękopisu, 2 stromy.
Ch. H artshorne, The Logic of the Ontological Argum ent, Journal of Philosophy 58(1961), s. 471—473.
Ch. H artshorne, The Logic of Perfection, Lasalle 1962.
O. Muck, Gödels Gottesbeweis. Analyse, Variationen, Anwendungen, Innsbruck, Septem ber 1988, maszynopis, 10 stron.
D. Scott, Gödel’s Ontological Proof, (w:) J. A. Czerniak, s. 5—7. G. Siegwart, 'Gott'. Eine einführungsmethodologische Untersuchung,
Essen, November 1987, maszynopis, 110 stron.
J. Słupecki, L. Borkowisfci, Elem enty logiki m atem atycznej i teorii m no
gości, W arszawa 1963.
GÖDELS BEWEIS FtlR DIE EXISTENZ DES SUMMUM BONUM Zus amme nf ass ung
In diesem Aufsatz w ird am Anfang die Gödels Originalversiom (Handschrift) des o n t o l o g i s c h e n Gottesbeweises dargestelüt. Danach treten die Interpretationen dieses Beweises von Dana Scott, Johannes Czermak,
Wilhelm Essler, Geo Siegwart und Otto Muck hervor. Alle Ü berle gungen führen zum Schluss, dass jede Sem antik vom Kriipke’s Typ fü r das Gödalseben System als die möglichen W elten n u r die Booleschen Algebren Wi enthält, die bei dam Iinddvi'duenfoereieh Ui m it der Potenz- menge 2ui gleich sind. Nur in diesem Fall k ann die „G öttlichkeit” als D urchschnitt aller positiven Eigenschaften; d. h. dar D urchschnitt aller Elemente des Uitrafiliters in der A lgebra wi, die ainelementige Menge sein.
