I. POJĘCIA I ZASADY PODSTAWOWE MECHANIKI

I. POJĘCIA I ZASADY PODSTAWOWE MECHANIKI

Mechanika – dział fizyki zajmujący się badaniem ruchu ciał materialnych.

Mechanika ogólna (mechanika teoretyczna) zajmuje się ustalaniem ogólnych praw ruchu ciał materialnych oraz zastosowaniem tych praw do wyidealizowanych modeli ciał rzeczywistych takich jak punkt materialny oraz ciało doskonale sztywne.

Dzieli się ona na dwa zasadnicze działy: kinematykę i dynamikę.

Kinematyka – zajmuje się badaniem ilościowym ruchu ciała, niezależnie od czynników wywołujących ten ruch, tzn. bez wnikania w związek między ruchem badanego ciała a siłami na to ciało działającymi.

Dynamika – zajmuje się badaniem ruchu ciał materialnych w zależności od siły działających na te ciała.

W szczególnym przypadku działania wywierane przez siły na ciało materialne mogą się wzajemnie znosić, czyli siły mogą się równoważyć, a ciało znajduje się w spoczynku. Część dynamiki dotycząca tych właśnie przypadków nazywa się statyką. Czyli mówiąc inaczej dział mechaniki zajmujący się równowagą ciał materialnych poddanych działaniu sił nazywa się statyką.

Przy takim wydzieleniu statyki mamy podział mechaniki ogólnej na trzy działy:

– statykę, – kinematykę, – dynamikę.

Pierwsze naukowe podstawy mechaniki zawdzięczamy uczonym greckim, w szczególności Arystotelesowi (IV w. p.n.e.), a zwłaszcza Archimedesowi (III w. p.n.e.), który ustalił niektóre prawa statyki. Pierwsze podstawy kinematyki i dynamiki stworzył natomiast Galileusz (1564–

1642). Jednak pełne sformułowanie praw mechaniki zawdzięczamy Newtonowi (1642–1727).

Mechanika opierająca się na prawach Newtona (zwana mechaniką klasyczną) nie stosuje się jednak do ciał poruszających się z bardzo dużymi prędkościami rzędu prędkości światła. Tego rodzaju ruchy podlegają prawom mechaniki relatywistycznej opracowanej przez Einsteina (1879–

1955) i opartej na opracowanej przez niego teorii względności.

Ciało doskonale sztywne jest tylko przybliżonym modelem ciała stałego. Taki model jest wystarczający do rozwiązania tylko niektórych ważnych przypadków ruchu i równowagi, jednakże w całym szeregu innych zagadnień, które występują w rzeczywistości jest on nie do przyjęcia, gdyż muszą być w nich uwzględnione odkształcenia, którym podlegają rozpatrywane ciała rzeczywiste.

Mechaniką ciał odkształcalnych zajmują się takie nauki jak: teoria sprężystości, teoria plastyczności, reologia oraz wytrzymałość materiałów.

1.1. Pojęcia podstawowe mechaniki. Prawa Newtona

Mechanika ogólna zajmuje się badaniem uproszczonych modeli ciał rzeczywistych.

Modelami tymi są:

a) punkt materialny,

b) ciało doskonale sztywne.

Punk materialny – to model ciała o tak małych wymiarach w porównaniu z wymiarami obszaru, w którym się porusza, że można pominąć zmiany położenia tego ciała wywołane przez obrót i traktować to ciało jako punkt geometryczny, któremu przypisujemy pewną skończoną ilość materii.

Ciało doskonale sztywne – wyidealizowane ciało, którego punkty nie zmieniają wzajemnych odległości. Ciało to nie podlega żadnym odkształceniom pod wpływem sił na nie działających.

Ciała rzeczywiste można z wystarczającym przybliżeniem traktować jako ciała doskonale sztywne wówczas, gdy ich odkształcenia są pomijalnie małe.

W mechanice miarą wzajemnego oddziaływania ciał na siebie jest siła.

Oddziaływania te mogą występować przy:

a) bezpośrednim zetknięciu się ciał materialnych,

b) na odległość, jak ma to miejsce w przypadku sił ciężkości, sił elektrostatycznych i sił magnetycznych.

Siła jest wielkością wektorową – ma wartość, kierunek i zwrot.

Do pełnego scharakteryzowania siły należy podać:

– jej wartość,

– jej kierunek i zwrot,

– punkt przyłożenia do ciała, na które działa.

Wektor posiada: wartość, kierunek, zwrot i najczęściej punkt zaczepienia (np.: siła, pęd, prędkość, przyspieszenie). Skalar posiada: wartość (np.: temperatura, masa).

Rozróżnia się:

1. a) siły zewnętrzne – czynne

– bierne (reakcje)

b) siły wewnętrzne (np. siły międzycząsteczkowe) 2. a) siły skupione

b) siły powierzchniowe c) siły objętościowe (masowe) 3. a) siły działające w sposób statyczny

b) siły działające w sposób dynamiczny

Jednostki siły

Jednostką siły w układzie SI jest niuton (oznaczenie: 1N)

s2

1m kg 1 N

1  

Siła równa jednemu niutonowi jest to więc taka siła, która ciału o masie 1 kg nadaje przyspieszenia 1 m/s².

Siłę z jaką Ziemia przyciąga dane ciało materialne nazywamy siłą ciężkości, a jej wartość liczbową ciężarem ciała. Siła ta oznaczona jest symbolem G i skierowana jest pionowo w dół:

g m G  gdzie: m – masa ciała, kg

g – przyspieszenie ziemskie, m/s²

W układzie SI można posługiwać się również wielokrotnościami jednostki miary siły:

N 10 daN

1 

N 10 kN

1  ³

N 10 MN

1  ⁶

Związek między jednostkami siły w układzie SI i układzie technicznym:

s2

81 m . 9 kg 1 kG

1  

Siła równa jednemu kilogramowi siły jest to więc taka siła, która ciału o masie 1 kg nadaje przyspieszenie ziemskie.

N 81 . 9 kG

1 

Tak więc jeden kilogram-siła równy jest 9.81 niutonom.

1 kg – kilogram (masa) 1 kG – kilogram-siła (ciężar)

Prawa Newtona

Podstawą, na której opiera się mechanika są prawa sformułowane przez Newtona. Prawa te odnoszące się do punktu materialnego poruszającego się pod działaniem siły mają postać:

I prawo. Punkt materialny, na który nie działa żadna siła, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

II prawo. Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek tej siły.

F a m  gdzie: m – masa

a – przyspieszenie

F– siła działająca na punkt materialny

III prawo. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych są równe co do wartości i są przeciwnie skierowane wzdłuż prostej łączącej oba punkty.

1 , 2 2 ,

1 F

F 

1 , 2 2 ,

1 F

F 

gdzie: F_1,2 – siła z którą punkt m2 działa na punkt m1

1 ,

F2 – siła z którą punkt m1 działa na punkt m2

Wartość bezwzględna wektora nazywa się modułem wektora ^F ^F

1.2. Zasady statyki

Statyka zajmuje się równowagą ciał materialnych poddanych działaniu sił. Pod terminem równowaga ciała należy tu rozumieć stan spoczynku ciała względem innych ciał, przyjętych jako nieruchome.

Jeżeli ciało, do którego przyłożone są siły znajduje się w spoczynku, to siły te muszą się wzajemnie znosić, czyli muszą znajdować się w równowadze. Zadaniem statyki jest ustalenie warunków równowagi sił.

Statyka opiera się na pewnych prostych zasadach będących wynikiem obserwacji zjawisk zachodzących w otaczającym świecie. Przyjmuje się je jako tzw. aksjomaty – pewniki. Nazywamy je zasadami statyki.

Zasada pierwsza – zasada równoległoboku. Dwie dowolne siły

F

₁ i

F

₂ przyłożone do jednego punktu możemy zastąpić siłą wypadkową R, przyłożoną do tego punktu i przedstawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach tych sił.

Wartość liczbowa wypadkowej R wynosi:

 cos 2 _{1 2}

2 2 2

1   

 F F FF

R

Wyjaśnienie powyższego wzoru:

 cos

2 2

2

2 a b  ab c

 cos 2 _{1 2}

2 2 2 1

2 F F  FF 

R

) 180 cos(

2 _{1 2}

2 2 2 1

2 F F  FF  ^o

R

 cos 2 _{1 2}

2 2 2 1

2 F F  FF 

R

 cos 2 _{1 2}

2 2 2

1   

 F F FF

R

360o

2 2  

180o









 180^o



) cos 180

cos( ^o 

Zasada druga. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te sam wartości liczbowe.

F

F   FF F

F  FF

Zasada trzecia. Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie gdy do układu tego dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił, czyli tzw. układ zerowy.

F

F   FF F

F  FF

Z zasady tej wynika wniosek: Każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesuwać dowolnie wzdłuż jej linii działania. Siła działająca na ciało sztywne jest wektorem posuwnym.

Zasada czwarta – zasada zesztywnienia. Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała.

Na podstawie tej zasady można stwierdzić, że warunki równowagi jakie muszą spełniać siły działające na ciało sztywne, obowiązują również dla ciała odkształcalnego. Jednakże warunki, które w przypadku ciała sztywnego mogą być warunkami wystarczającymi, w przypadku ciała odkształcalnego mogą wymagać uzupełnień zależnych od rodzaju ciała.

Na przykład obliczając moment na wsporniku przyjmujemy model obliczeniowy nieuwzględniający skrócenia ramienia działania siły spowodowanego przemieszczeniem nieutwierdzonego końca - punkt przyłożenia siły nie ulega przesunięciu mimo odkształcenia konstrukcji (równania statyki przed i po odkształceniu są takie same).

Zasada piąta – zasada działania i przeciwdziałania. Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie. Jest to III prawo Newtona zdefiniowane dla dowolnego ciała materialnego.

Zasada szósta – zasada oswobodzenia od więzów. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej rozpatrywać można ciało tak jak ciało swobodne, podlegające działaniu sił czynnych oraz sił reakcji więzów.

Więzy – ograniczenia ruchu nakładane na to ciało przez inne ciała. Siły oddziaływania więzów na podlegające im ciała, nazywa się siłami reakcji więzów lub krócej – reakcjami.

1.3. Więzy i ich reakcje

1. Styk dwóch ciał

Gdy jedno ciało opiera się o powierzchnię innego ciała, to w punkcie zetknięcia się tych ciał, działa na to ciało reakcja R . Siła ta rozkłada się na dwie składowe: składową N i składową T .

N – składowa normalna (prostopadła) do powierzchni; reakcja noralna T – składowa styczna do powierzchni; reakcja styczna – siła tarcia

W przypadku gdy powierzchnie styku są idealnie gładkie, siła tarcia jest równa zeru i działanie więzów na ciało sprowadza się jedynie do reakcji normalnej N (są to tzw. więzy bez tarcia albo więzy idealne).

2. Przegub walcowy

Przegub taki występuje w przypadku, gdy ciało osadzone jest na walcowym sworzniu przechodzącym przez otwór kołowy wykonany w tym ciele.Przy pominięciu siły tarcia, reakcja R sworznia na ciało będzie miała kierunek normalny do powierzchni styku i wobec tego linia jej działania będzie przechodziła przez oś sworznia.

3. Przegub kulisty

W tym przypadku zakończenie pręta jest w kształcie kuli, która osadzona jest w łożysku kulistym.

Przy pominięciu siły tarcia, reakcja R w przegubie przechodzi przez środek kuli O.

4. Podpora przegubowa przesuwna (rolkowa) i podpora przegubowa stała

A–podpora przegubowa stała (zakładamy, że w przegubie nie ma tercja, a linia działania reakcji R przechodzi przez punkt A – jej kierunek jest nieznany). A

B – podpora przegubowa przesuwna (linia działania reakcji R przechodzi przez punkt B i jest _B prostopadła do płaszczyzny po której toczą się rolki).

5. Cięgno

Cięgno pracuje na rozciąganie – reakcja cięgna na ciało skierowana jest wzdłuż tego cięgna.

G

S   SG

6. Pręty przegubowe

Jeżeli w przegubach nie ma tarcia i jeżeli pominiemy ciężary prętów, to reakcje na ciało skierowane są wzdłuż osi pręta. Pręty przegubowe mogą być zarówno ściskane, jak i rozciągane.

7. Utwierdzenie całkowite

Utwierdzenie całkowite polega na zupełnym unieruchomieniu ciała, np.: belki przez wmurowanie jej końca w ścianę, przyspawanie lub przykręcenie do ściany. Ciało sztywne na płaszczyźnie ma trzy stopnie swobody, a więc wystąpi reakcja R o dwóch składowych R i _x R oraz moment _y utwierdzenia M . W przestrzeni ciało sztywne ma sześć stopni swobody, a więc wystąpi reakcja R o trzech składowych R , _x R i _y R oraz moment utwierdzenia _z M o trzech składowych M , _x M i _y

z. M