Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i klasycznej teorii pola

###########################################################################

Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i klasycznej teorii pola

(aparat kanoniczny ) E. Schmutzer

VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1973

**************************************************************************

Tłumaczenie rosyjskie : G. M. Iłiczewoj, pod redakcją : S. P. Allilujewa Moskwa „Mir” 1976

***************************************************************************

tłumaczenie z rosyjskiego : R. Waligóra

Pierwsze tłumaczenie 2008

Ostatnia modyfikacja : 2018-11-10 Tłumaczenie całości książki.

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wprowadzenie do tłumaczenia

Prezentowane tłumaczenie książki znanego fizyka teoretyka Ernesta Schmutzera przedstawia w

„skondensowanej” formie podstawy mechaniki analitycznej, wraz z najbardziej reprezentatywnymi przykładami jej zastosowania. Jest to wykład bardzo klarowny i konsekwentnie trzymający się wybranego kierunku tj. mający głównie za zadanie wprowadzenie do klasycznej teorii pola. Przed lekturą dobrze było by „odświeżyć”

wiadomości związane z tematem sięgając np. po książki :

1). W. Rubinowicz , W. Królikowski – „Mechanika teoretyczna” . WN-PWN 1988 2). R. Gutowski – „Mechanika analityczna”. PWN 1971

3). Gantmacher – „Wykłady z mechaniki analitycznej” PWN 1972

Słowo wstępne tłumacza i redaktora

Istotą prezentowanej książki jest wskazanie tego gdzie „kończy się” mechanika teoretyczna i „zaczyna się”

fizyka teoretyczna. Postawienie linii podziału między tymi dyscyplinami jest w znacznym stopniu sprawą umowną, przykładowo autor tej monografii uważa, że w zasadzie jest możliwe rozszerzenie pojęć mechaniki, w taki sposób aby miały one sens również w teorii pola. Obecnie mechanika klasyczna i teoria pola są wykładane oddzielnie i są przedstawiane w różnych książkach. Właśnie dlatego interesującym jest próba jednolitego wyłożenia tych zagadnień z ogólnego punktu widzenia, dokonana w przedstawionej czytelnikowi książce.

Podstawą dla wykładu jest formalizm Lagrange’a – Hamiltona, oraz związane z tym formalizmem koncepcje – tzn. wszystko to, co w skrócie nazywamy „aparatem kanonicznym” lub „formalizmem kanonicznym” - mając to za podstawę, autor daje jednolity wykład mechaniki i teorii pola. Przy każdej sposobności pokazuje on

możliwości „wyjścia” z mechaniki w obszar teorii pola, oraz demonstruje organiczny związek tych dwóch gałęzi fizyki (przykładowo – autor, w niestandardowy sposób formułuje ogólne twierdzenia Noether, stosując je najpierw w teorii pola, a dopiero potem w mechanice )

Wszystko to sprawia, że książka powinna być interesująca dla szerokiego kręgu odbiorców, chociaż nie zdecydowalibyśmy się rekomendować jej dla początkującego w temacie czytelnika.

Profesor Uniwersytetu w Jenie -Ernest Schmutzer specjalizuje się w teorii grawitacji, przewodniczy grupie naukowej zajmującej się aktualnymi problemami relatywistycznej teorii pola. Jest m.in. autorem monumentalnej monografii pt. „Relativistische phisik” (fizyka relatywistyczna – przypis własny) (zobacz spis literatury).

Radzieckiemu (obecnie, oczywiście Rosyjskiemu – przypis własny ) czytelnikowi znany jest przekład jego przeglądowej pracy dotyczącej własności symetrii w mechanice klasycznej (włączając w to relatywistyczną ) i kwantowej. ( E. Schmutzer – „Symetrie i prawa zachowania w fizyce” Mir Moskwa 1974 )

Książkę obecnie prezentowaną można traktować jako, pewnego rodzaju wprowadzenie do książki wyżej wymienionej - napisanej już po jej wydaniu .

Prezentowany w przedstawionej monografii materiał, jest w znacznej mierze odbiciem punktu widzenia autora na przedmiot, stanowiąc jednocześnie wyraz kręgu jego zainteresowań.

W części A - książki przy wykładzie mechaniki dostrzec można wpływ koncepcji Hertza, dosyć powiedzieć, że siły niepotencjalne traktowane są równorzędnie z siłami reakcji więzów nieholonomicznych (rozdział 5.1 i 5.2 – jak wiadomo Hertz w swojej mechanice usunął pojęcie siły, rozumianej w takiej postaci w jakiej było ono przedstawione w mechanice Newtona, a rozpatrywał siły jako efekty obecności ukrytych lub jawnych więzów)

W części B , poświęconej klasycznej teorii pola, wybór konkretnych pól którymi ilustrowana jest ogólna teoria, w pełni podyktowany jest gustem autora. W praktyce są to te same pola, jakie występują w jego pracy „Symetrie i prawa zachowania w fizyce”, przykładów związanych z ruchem środowiska ciągłego autor nie stosuje.

Zarówno ze względu na dobór materiału jak i na sposób jego wyłożenia należy podkreślić dwie okoliczności.

Po pierwsze - w części A, książka daleka jest od tradycjonalnego wykładu materiału mechaniki analitycznej ; poruszane są jedynie te rozdziały, które mogą stanowić pomost między mechaniką i teorią pola.

Po drugie - książka jest opracowanym zapisem wykładów, co często znajduje swoje charakterystyczne odbicie w prezentowanym tekście. W jednych rozdziałach autor w sposób pełny prowadzi swoje wykłady (niekiedy dosyć uciążliwe), w innych szkicuje tylko zarys problemu. Niejednokrotnie wprowadza nie wykorzystywane dalej pojęcia (pochodna Liego, tensor momentu obrotu w teorii pola i inne) – robi to chyba po to aby „wzbogacić”

ogólną wiedzę słuchacza. Miejscami - przyjęte założenia nie są omawiane w sposób dokładny (znane uściślenia dodane są w dopiskach redaktora przekładu i tłumacza, jednak tylko tam gdzie mogłyby wyniknąć

nieporozumienia o zasadniczym charakterze ). Niekiedy autor dokładnie omawia pojęcia wyjściowe, oraz dokładnie rozpisuje sformułowane zależności, a niekiedy traktuje je w sposób ogólny. W takich przypadkach czytelnik może sięgnąć do materiałów źródłowych, których spis dany jest w bibliografii.

Przy przekładzie poprawiono szereg błędów drukarskich, oraz dokonano kilku poprawek zgodnych z sugestiami autora - za co jesteśmy mu wdzięczni.

W ogólności książka ta stanowi cenny wkład do obszernej literatury dotyczącej mechaniki analitycznej i teorii pola. Może być ona wykorzystana zarówno jako podręcznik dla studentów uniwersytetów i szkół

pedagogicznych jak i studentów politechnik. Oprócz tego może ona służyć jako pomoc dla pracowników naukowych oraz dla wszystkich zainteresowanych fizyką teoretyczną.

S. Allilujew G. Iłiczjewa

Słowo wstępne autora

Stały postęp nauki w sposób naturalny prowadzi do koncentracji materiału wykładanego przy nauczaniu fizyki w szkołach wyższych. W szczególności , okazuje się koniecznym - od samego początku wykładać fizykę

eksperymentalną i teoretyczną w ścisłym powiązaniu jedna z drugą. Mając na uwadze jedności teorii i praktyki takie wyłożenie posiada wiele zalet, związanych z tym, że wyniki teoretyczne cały czas muszą mieć oparcie w faktach eksperymentalnych. Jednak rzeczywista realizacja takiego programu nieubłaganie prowadzi do obniżenia roli logiczno-dedukcyjnej w budowie fizyki teoretycznej, a jak wiadomo rola taka jest konieczna w tym, aby student mógł zorientować się w ogólnej koncepcji fizyki teoretycznej, a przez to orientować się w fizyce jako nauce. Dlatego na naszym uniwersytecie został wprowadzony cykl wykładów „Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i klasycznej teorii pola” na którym przedstawiana jest kwintesencja klasycznych rozdziałów fizyki teoretycznej (z wyłączeniem termodynamiki i fizyki statystycznej), w szczególności nacisk położono na aparat kanoniczny. Przygotowałem taki wykład i dwa razy go wygłosiłem. Ważność tego materiału dla podstaw fizyki i brak jednego i spójnego jego wyłożenia w podręcznikach pobudził mnie do redakcji i udostępnienia tego wykładu w formie prezentowanej książki.

Przy przygotowaniu niniejszej publikacji wykorzystałem notatki prowadzone przez studentów , za co chciałbym im podziękować.

E. Schmutzer Jena czerwiec 1973

CZĘŚĆ A

MECHANIKA KLASYCZNA

1. RÓWNANIA LAGRANGE’A PIERWSZEGO RODZAJU

Będziemy rozpatrywali układ N punktów materialnych, przyjmując następujące oznaczenia:

mΩ – masa Ω-go punktu materialnego

xΩ , yΩ , zΩ – współrzędne ortogonalne kartezjańskie, Ω-go punktu materialnego, położenie którego określone jest wektorem wodzącym :

rΩ

( czcionka pogrubiona oznacza wielkość wektorową – przypis własny)

KΩx , KΩy , KΩz – rzuty na osie ortogonalnego kartezjańskiego układu współrzędnych siły aktywnej : KΩ

działającej na Ω-ty punkt materialny.

ZΩx , ZΩy , ZΩz – rzuty na osie ortogonalnego kartezjańskiego układu współrzędnych siły reakcji : ZΩ

działającej na Ω-ty punkt materialny.

Duże greckie litery (Ω, Γ itd.) w indeksach oznaczają numery punktów materialnych.

Jak wiadomo, równanie Newtona (drugie prawo Newtona; Lex secunda, 1687 rok) dotyczące ruchu Ω -go punktu materialnego, na który działa tylko siła aktywna (siła pasywna to siła reakcji więzów – przypis własny ), w inercjalnym układzie odniesienia (IUO – przypis własny ) zapisywane jest w następujący sposób :

mΩ r..Ω = KΩ (gdzie r..Ω - oznacza drugą pochodną po czasie wektora r - przypis własny) (1.1) ( kropka oznacza pochodną po czasie tj. r. ≡ dr/dt – przypis własny )

W całej książce będziemy wykorzystywali tylko IUO i dlatego nie będziemy uwzględniać tak zwanych sił inercji. (tj. sił pozornych – przypis własny)

W charakterze przykładu sił aktywnych można wskazać siły elektromagnetyczne, siły jądrowe, siły grawitacyjne (siły ciążenia - w ramach teorii Newtonowskiej ) i inne tego typu.

Jeśli na rozpatrywany punkt materialny działa oprócz siły aktywnej, siła reakcji – będąca wynikiem pewnych ograniczeń nałożonych na poruszający się punkt (przykładowo przez warunek mówiący, że punkt materialny może się poruszać tylko po pewnej powierzchni), to siła ta wchodzi do równania (1.1) jako dodatkowy składnik : mΩ r..Ω = KΩ + ZΩ (1.2a) lub, przedstawiając je jako rzuty (równanie (1.2a) jest równaniem wektorowym w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa możemy rozpisać go składowe zgodne z osiami wprowadzonego kartezjańskiego układu

współrzędnych :

mΩ x..Ω = KΩx + ZΩx (1.2a) mΩ y..Ω = KΩy + ZΩy (1.2a) mΩ z..Ω = KΩz + ZΩz (1.2a) To rozszerzenie (uwzględniające siły reakcji) równań będziemy nazywali „równaniami Lagrange’a pierwszego rodzaju” (1788 rok) (równaniami Lagrange’a pierwszego rodzaju zwykle nazywa się równania (3.4) – przypis tłumacza )

2. WIĘZY

2.1 RÓWNANIA WIĘZÓW

W tym rozdziale wyprowadzimy zależności między równaniami więzów a siłami reakcji będącymi wynikiem obecności tych więzów (reakcjami więzów). Naśladując podejście G. Hertza zapiszemy dla m-tego

więzu nałożonego na układ N punktów materialnych , równania w postaci różniczkowej : N

duµ ≡ cµ dt + ∑ aµΩ dxΩ + bµΩ dyΩ + cµΩ dzΩ = 0 ; µ = 1,2,3, ..., m (2.1) Ω =1

(małe greckie litery przy indeksach oznaczają numery równań więzów)

Współczynniki formy różniczkowej (2.1) są funkcjami współrzędnych cząstki (pojęcie „cząstka” i „punkt materialny” wykorzystywane są jako synonimy) i czasu.

Wprowadzając następujące wektory :

aµΩ = i aµΩ + j bµΩ + k cµΩ (2.2) równania (2.1) można zapisać w następującej postaci :

N

duµ ≡ cµ dt + ∑ aµΩ drΩ = 0 (2.3) Ω =1

Ponieważ każdy punkt materialny posiada trzy stopnie swobody, liczba stopni swobody dla układu jako całości (na mocy obecności m równań więzów) jest dana równaniem :

f = 3N – m (2.4) Jeśli nie rozpatrywać przypadku równowagi , to należy przyjąć, że spełniona jest nierówność : m < 3N

2.2 KLASYFIKACJA WIĘZÓW

Więzy klasyfikujemy według ich dwóch różnych własności (* Zwykle więzy klasyfikujemy również według innych własności. Dzielą się one na : utrzymujące i nie utrzymujące (przedstawiane są one za pomocą odpowiednio równości i nierówności ). Oprócz tego możemy wyróżnić klasę więzów idealnych , mających tą własność , że suma prac elementarnych sił reakcji tych więzów, na dowolnym wirtualnym przesunięciu (zobacz rozdział 3.1) jest równa zeru. Autor nie wprowadza tych pojęć , ponieważ ogranicza się on w swoich

rozważaniach do więzów utrzymujących , idealnych – przypis tłumacza *)

(W literaturze polskiej więzy utrzymujące nazywane są dwustronnymi a nie utrzymujące jednostronnymi – przypis własny)

a) Zależność (lub nie zależność) odpowiadającej im formy różniczkowej od czasu. Jeśli cµ = 0 i ∂aµΩ /∂t = 0 to więzy nazywamy „skleronomicznymi”. Jeśli współczynniki nie spełniają tych warunków , to forma różniczkowa zależna jest od czasu i więzy nazywamy „reonomicznymi”

b) Całkowalności (lub niecałkowalności) odpowiadającej im formy różniczkowej. Jeśli forma różniczkowa (2.1) jest różniczka zupełną , to więzy nazywamy „holonomicznymi”. Ma to miejsce w przypadku ,

kiedy:

∂aµΩ /∂xΓ = ∂aµΓ /∂xΩ ; ∂cµ /∂xΩ = ∂aµΩ / ∂t ; itd. (2.5) W tym przypadku istnieją funkcje : Fµ (xΩ ,t ) , takie ,że duµ = dFµ = 0 i dlatego równanie więzów

holonomicznych można zapisać w następującej postaci :

Fµ (rΩ ,t ) – const. = 0 (2.6) Wtedy :

cµ = ∂Fµ/∂t i aµΩ = ∂ Fµ/∂rΩ = grad rΩ Fµ (2.7) Jeśli forma (2.1) nie jest różniczką zupełną , jednak istnieje dla niej pewien mnożnik całkujący , to takie więzy, również nazywamy holonomicznymi.

Jeśli forma (2.1) nie jest różniczką zupełną i nie może być w nią przekształcona za pomocą jakiegokolwiek mnożnika całkującego , to więzy nazywamy „nieholonomicznymi”. Więzy takie przed Hertzem rozpatrywał A. Foss (1884 r. )

3. ZASADY RÓŻNICZKOWE 3.1 ZASADA D’ALEMBERTA

Zasada D’Alemberta jest najbardziej znaną ze wszystkich zasad różniczkowych. Aby ją sformułować , konieczne jest wprowadzenie pojęcia „przemieszczenia (przesunięcia) wirtualnego”.

Wirtualne przesunięcie – jest to dopuszczalne przez więzy, nieskończenie małe przemieszczenie punktu w pewnej ustalonej i stałej chwili czasu. Przesunięcie wirtualne Ω-tego punktu materialnego oznaczamy przez : δrΩ (w odróżnieniu od rzeczywistego nieskończenie małego przesunięcia drΩ ,zachodzącego w ciągu pewnej chwili czasu ).

Zasadę D’Alemberta (równanie (3.1) nazywamy również ogólnym równaniem dynamiki – przypis tłumacza) Zapisujemy w następujący sposób :

N

Σ (mΩ – r..ΩKΩ ) δrΩ = 0 (3.1) Ω =1

Na mocy faktu , że przesunięcie wirtualne δrΩ nie jest niezależnym , z równania tego nie wynika równanie ruchu (1.1). Dlatego wynika pytanie - jakie równanie ruchu jest równoważne równości (3.1) ?

Dla wirtualnych przesunięć δrΩ równanie więzów (2.3) przyjmuje postać : N

Σ aµΩ δrΩ = 0 (3.2) Ω =1

Zgodnie z metodą mnożników Lagrange’a , pomnożymy każde z tych równań przez odpowiadający mu mnożnik λµ , a następnie z sumujemy wyniki względem wszystkich m więzów i odejmiemy otrzymaną sumę od równości (3.1). To daje nam :

N m

Σ (mΩ r..Ω – KΩ – Σ λµaµΩ ) δrΩ = 0 (3.3) Ω =1 µ =1

Stąd możemy otrzymać równanie ruchu w następującej formie : m

mΩ r..Ω = KΩ + Σ λµaµΩ (3.4) µ =1

Wybierzmy m mnożników λµ, w taki sposób, że dla m składowych wchodzących do równania (3.3) wielkości stojące w nawiasie staną się równe zeru. Po tej operacji pozostanie suma zawierająca f =3N–m składowych.

Ponieważ rozpatrywany układ ma f stopni swobody, to f z przemieszczeń - δxΩ , δyΩ , δzΩ można wybrać dowolnie, w szczególności można wszystkie, oprócz jednego wybrać równe zeru.

Wtedy współczynnik przy tym niezerowym przemieszczeniu (wielkość stojąca w odpowiednim nawiasie) powinien być równy zeru. Zatem,wszystkie wielkości stojące w nawiasach powinny być równe zeru.

3N równań (3.4) i m równań (2.1) razem przedstawiają układ 3N + m równań określających 3N współrzędnych xΩ , yΩ , zΩ i m nieokreślonych mnożników Lagrange’a – λµ .

Porównując równanie (3.4) i (1.2a) , znajdujemy następujące wyrażenie dla sumarycznej siły reakcji więzów , działającej na Ω-ty punkt materialny :

m

ZΩ = Σ λµaµΩ (3.5) µ =1

Zatem, przedstawiliśmy siły reakcji przez współczynniki wchodzące do równania więzów. Na mocy równości (3.2) z równości (3.5) wynika ,że:

N

Σ ZΩ δrΩ = 0 (3.6) Ω =1

Będziemy interpretować iloczyn skalarny ZΩδrΩ , jako pracę wirtualną, wykonywaną przez siłę reakcji ZΩ działającą na Ω-ty punkt materialny, wtedy równanie (3.6) stanie się równoważne następującemu stwierdzeniu :

„sumaryczna praca wirtualna wszystkich sił reakcji działających na układ mechaniczny jest równa zeru”.

W szczególnym przypadku równowagi ( r..Ω= 0 ) zasada D’Alemberta nazywa się „zasadą wirtualnych przesunięć”. Zasada ta wykorzystywana jest w celu wyprowadzenia równań równowagi.

Aby wyjaśnić powyższe ogólne teoretyczne wywody, wyobraźmy sobie układ składający się z dwóch punktów materialnych o równej masie, na które działa tylko siła ciążenia. Punkty te połączone są między sobą za pomocą nie rozciągliwej nici przerzuconej przez bloczek. Ruch tych punktów nie jest ruchem swobodnym : równania więzów otrzymujemy z warunku połączenia punktów nicią o stałej długości, dlatego

wirtualne przesunięcie jednego z punktów pociąga za sobą wirtualne przesunięcie drugiego z punktów.

Przy tym sumaryczna praca wirtualna będzie równa zeru. W przypadku punktu izolowanego , na ruch którego nałożono jeden holonomiczny więz, wyrażenie (3.5) na reakcje tego więzu przyjmuje postać :

Z = λa = λ(∂F/∂r) = λ grad F (3.7) (zobacz równość (2.7)). Odpowiednio, siła reakcji danego więzu jest prostopadła do powierzchni F= const.

np. do powierzchni stołu. Zatem wyjaśniliśmy, że przy wirtualnym przemieszczeniu punktu po tej powierzchni praca sił reakcji jest równa zeru.

Dla oznaczenia wirtualnego przesunięcia wykorzystaliśmy symbol wariacji δ. Ponieważ czas jest stały (i ustalony) w rzeczywistości chodzi o nieskończenie małą zmianę (wariację) współrzędnych. Dlatego

odpowiadające matematyczne rachunki wykonywane są tak samo jak w rachunku wariacyjnym, w szczególności obliczenie wariacji funkcji prowadzi się analogicznie jak obliczenie różniczki zupełnej.

3.2 RÓWNANIE ZACHOWANIA ENERGII DLA UKŁADU Z WIĘZAMI

Zbadamy zmianę energii układu mechanicznego z nałożonymi więzami, przy jego ruchu rzeczywistym.

Mnożąc równanie Lagrange’a pierwszego rodzaju (3.4) przez drΩ i rozpatrując prace elementarną , wykonywaną przez działającą na Ω-ty punkt materialny siłę aktywną :

dAΩ = KΩdrΩ

oraz energię kinetyczną Ω-tego punktu materialnego :

TΩ = ½ mΩ r..2Ω (3.8) Otrzymamy równanie zachowania energii dla tego układu :

m

dTΩ = dAΩ + Σ λµaµΩdrΩ (3.9) µ =1

W przypadku więzów holonomicznych możemy podstawić do tego równania wyrażenie (2.7) dla aµΩ a następnie przepiszemy go następująco :

m

dTΩ = dAΩ + Σ λµ(∂Fµ / ∂rΩ) drΩ (3.10) µ =1

Z zależności (2.6) mamy : m

dFµ = (∂Fµ /∂t) dt + Σ (∂Fµ / ∂rΩ) drΩ (3.11) µ =1

Sumując równania (3.10) po wszystkich punktach materialnych i przyjmując do wiadomości równości (3.11) oraz zakładając :

N N

dT = Σ TΩ ; dA = Σ dAΩ (3.12) Ω =1 Ω =1

Otrzymamy równanie zachowania dla różniczki sumarycznej energii kinetycznej T i sumarycznej pracy elementarnej A :

m

dT = dA – Σ λµ(∂Fµ / ∂t )dt (3.13) µ =1

Druga składowa w prawej części tego równania przedstawia pracę elementarną , wykonywaną przez siły reakcji więzów reonomicznych (przykładowo – zmiana energii kinetycznej piłeczki tenisowej przy przesunięciu rakiety ,płaszczyznę której przedstawia równanie (2.6), a która obrazuje więzy holonomiczno- reonomiczne ).

Jeśli siły aktywne , działające na układ są siłami potencjalnymi to ma miejsce równość :

dA = – dU (3.14) gdzie : U – jest energią potencjalną.

Zakładając :

dE = dT + dU (3.15) gdzie : E- jest energią całkowitą układu , z równania (3.13) otrzymamy równanie zachowania energii w postaci : m

dE = – Σ λµ(∂Fµ / ∂t )dt (3.16) µ =1

Dla układu z więzami holonomiczno-skleronomicznymi, z zależności tej bezpośrednio wynika prawo zachowania energii :

dE = 0 lub E = const. (3.17) 3.3 PRZYKŁAD WIEZÓW HOLONOMICZNYCH

(RÓWNOWAGA WAHADŁA SFERYCZNEGO)

Wykorzystując zasadę wirtualnych przesunięć, znajdziemy położenie równowagi punktu materialnego , znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym (polu ciążenia) i poruszającego się po sferze.

(wahadło sferyczne). Jeśli promień sfery jest równy R (rysunek nr 1) to równanie więzu holonomiczno- skleronomicznego przyjmuje postać :

F – const. = x2 + y2 + z2 – R2 = 0 (3.18) Energia potencjalna dana jest wyrażeniem :

U = U0 + mgz (3.19) gdzie g – jest przyspieszeniem grawitacyjnym,

oraz :

K = – grad U = – mg k (3.20)

Obecność więzów ogranicza ruch rozpatrywanego punktu i wyklucza jeden z trzech stopni swobody, zatem dysponujemy dwoma niezależnymi współrzędnymi. Położenia równowagi będziemy poszukiwać w następujący sposób : znajdziemy ekstremum energii potencjalnej U(z) uwzględniając ,to że współrzędna z jest wybrana nie w sposób dowolny ,ale spełnia równanie (3.18). W analizie matematycznej wykorzystuje się dwie metody

znajdowania ekstremum funkcji : metoda rugowania i metoda mnożników Lagrange’a.

Rys. 1

Posługując się metodą rugowania (eliminacji ), podstawimy do wyrażenia (3.19) wartość z otrzymaną z równania (3.18), co daje nam :

U = U0 + mg sqrt( R2 – x2 – y2 ) (3.21)

Gdzie x , y – są współrzędnymi niezależnymi. Warunki konieczne na ekstremum są następujące :

∂U/∂x = - mgx / sqrt( R2 – x2 – y2 ) = 0 ; ∂U/∂y = – mgy /sqrt( R2 – x2 – y2 ) = 0 (3.22) z czego wynika, że :

x = 0 ; y = 0 (3.23)

oraz na mocy (3.18) : z = ± R (3.24)

( plus odpowiada położeniu równowagi nietrwałej a minus – położeniu równowagi trwałej )

Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a , poszukujemy ekstremum funkcji :

U’ = U0 + mgz – λ (x2 + y2 + z2 – R2 ) (3.25) Mamy tutaj nową zmienną - mnożnik λ, i dlatego wszystkie współrzędne x, y, z można uważać za niezależne.

Wtedy warunki konieczne na ekstremum zapisujemy w postaci :

∂U’/∂x = – 2λx = 0 ; ∂U’/∂y = –2λy = 0 ; ∂U’/∂z = mg – 2λz = 0 (3.26) skąd wynika, że :

x = 0 ; y = 0 ; λ = mg / 2z (3.27) Na mocy (3.18) otrzymujemy :

z = ± R (3.28)

I dlatego :

λ = ± mg / 2R (3.29)

Wykorzystanie przedstawionej powyżej metody mnożników Lagrange’a jest równoważne wykorzystaniu metody przesunięć możliwych. W istocie bowiem, w przypadku równowagi równanie wektorowe (3.4) sprowadza się do równości :

Kx + λ(∂F/∂x) = 0; Ky + λ(∂F/∂y) = 0; Kz + λ(∂F/∂z) = 0; (3.30) które można przepisać w postaci :

∂U/∂x = λ(∂F/∂x); ∂U/∂y = λ(∂F/∂y); ∂U/∂z = λ(∂F/∂z); (3.31) lub w postaci :

∂U’/∂x = 0 ; ∂U’/∂y = 0 ; ∂U’/∂z = 0 ; (3.32) tj. w postaci równości (3.26).

Siła reakcji określona jest zgodnie z zależnością (3.7) i ma postać :

Z = λ grad F = 2λ(ix + jy + kz) (3.33)

W położeniu równowagi siła ta przyjmuje wartość :

Z = kmg (3.34)

3.4 PRZYKŁAD WIĘZU NIEHOLONOMICZNEGO ( TOCZĄCY SIĘ DYSK )

W charakterze przykładu ruchu układu o więzach nieholonomicznych G. Hamel badał toczący się dysk po powierzchni szorstkiej. Podkreślmy, że teraz rozpatrujemy ruch ciała sztywnego, a nie punktu materialnego.

Wybierzmy układ współrzędnych kartezjańskich w taki sposób aby płaszczyzna x, y pokrywała się z płaszczyzną nieruchomą (rys. 2 )

wtedy współrzędne x, y będą określały położenie punktu P styku dysku ( o promieniu r ) z tą płaszczyzną.

Oznaczmy przez: ζ - kąt między osią obrotu a osią z, przez ψ - kąt między styczną do toru w punkcie styczności a osią x , ϕ - kąt między promieniem przechodzącym przez punkt styczności i pewnym ustalonym promieniem r ,toczącego się okręgu , kąt ten odczytujemy w kierunku obrotu dysku.

Rys. 2

Zatem – położenie dysku określone jest pięcioma współrzędnymi : x, y, ψ, ζ ,ϕ. jednak, ponieważ obrotowi odbywającego się bez poślizgu, konieczne towarzyszy przemieszczenie, powinien być spełniony warunek : ds = a dϕ

Rzutując ten warunek na oś współrzędnych , otrzymujemy dwa równania więzów :

dx = a dϕ cos (ψ) , dy = a dϕ sin (ψ) (3.35) lub :

dF1 = dx – adϕ cos (ψ) = 0 ; dF2 = dy – adϕ sin(ψ) = 0 (3.36) Ponieważ warunki całkowalności nie są tutaj spełnione mamy dwa równania więzów nieholonomicznych, zatem dysk infinitezymalnie ma tylko trzy stopnie swobody. Tę ilość stopni swobody należy odróżniać od liczby współrzędnych niezależnych, które mogą być zadane w charakterze wartości początkowych przy ruchu dysku ( liczby stopni swobody w ogólności)

(* Liczbę stopni swobody układu o więzach nieholonomicznych zwykle określa się jako liczbę niezależnych różniczek ( „liczbę infinitezymalnych stopni swobody” – zgodnie z terminologią autora ), przy tym pojęcia

„liczba stopni swobody w ogólności” zazwyczaj się nie wykorzystuje – przypis tłumacza *) 3.5 ZASADA GAUSSA (ZASADA NAJMNIEJSZEGO PRZYMUSU )

(zobacz [2] str. 107, literatury podanej we wprowadzeniu – przypis własny )

W związku ze swoją metodą najmniejszych kwadratów Gauss ( 1829 rok ) sformułował zasadę najmniejszego przymusu. Według Gaussa miarą przymusu jest wielkość :

N N

Z = Σ mΩ [ r..Ω – (KΩ/mΩ )]2 = Σ mΩ [ x..Ω – (KΩx/mΩ )]2 + [ y..Ω – (KΩy/mΩ )]2 + Ω =1 Ω =1

+ [ z..Ω – (KΩz/mΩ )]2 (3.37) Ponieważ ruch układu mechanicznego przy zdjęciu nałożonych na niego więzów, opisywany byłby przez prawo Newtona (1.1) przymus w istocie przedstawia sobą miarę odchylenia układu od ruchu swobodnego.

Składowe kwadratowe odpowiadają kwadratom błędu w teorii błędów, a masy – wagom.

Zgodnie z Gaussem, ruch rzeczywisty na który nałożono więzy zachodzi tak, aby zdefiniowany powyżej przymus, osiągał minimum, tj. :

δZ = 0 (3.38) Przy tym wariacja δZ brana jest przy ustalonych wartościach współrzędnych i prędkości wszystkich punktów : δrΩ = 0 , δr.Ω = 0 (3.39) Ze wzoru (3.37) wynika, że :

N

δZ = 2 Σ ( mΩ r..Ω – KΩ ) δr..Ω (3.40) Ω =1

Zgodnie z równaniami więzów (2.3) : N

duµ /dt = cµ + 2 Σ aµΩ r.Ω = 0 (3.41) Ω =1

skąd różniczkując w sposób zupełny po czasie znajdujemy :

N N N N

d2uµ /dt2 = Σ (∂cµ /∂rΩ )r.Ω + Σ aµΩ r.Ω + Σ [ ( r.Ω∇Γ ) aµΩ ] r.Ω + (∂cµ /∂t) + Σ (∂aµΩ /∂t)r.Ω = 0 Ω=1 Ω =1 Ω =1 Ω =1

(3.42) Po uwzględnienieniu równości (3.39) otrzymamy :

N

Σ aµΩ δr..Ω = 0 (3.43) Ω=1

Pomnożymy to równanie przez mnożnik Lagrange’a λµ i zsumujemy względem wszystkich więzów : m N

Σ Σ λµ aµΩ δr..Ω = 0 (3.44) µ=1 Ω1

Równość tą pomnożymy przez dwa i człon po członie odejmiemy od zależności (3.40). Po tej operacji warunek (3.38) możemy zapisać w następującej postaci :

N m

δZ = 2 Σ (mΩ r..Ω – KΩ – Σ λµ aµΩ ) δr..Ω = 0 (3.45) Ω =1 µ=1

Stąd można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju (3.4), w sposób podobny jak w rozdziale poświęconym zasadzie d’Alemberta.

Zasada najprostszej trajektorii Hertza (zobacz [2] str.116 literatury podanej we wprowadzeniu – przypis własny ) jest szczególnym przypadkiem zasady Gaussa i wydawać się by mogło, że nie zasługuje na osobne omówienie.

Jednak kryją się w niej głębokie fizyczne idee, pozostające aktualnymi i w chwili obecnej.

H. Hertz dążył do wykluczenia sił ze swojej teorii i rozpatrywał układy na które nie działają siły aktywne.

Przy tym wychodził z pojęcia elementu drogi ds, toru układu w wielowymiarowej przestrzeni :

(ds)2 = Σ (dkk )2 (3.46) k

oraz pojęcia krzywizny √K, tego toru :

K = Σ (d2xk /ds2 )2 (3.47) k

W celu rozwinięcia swojej teorii Hertz przyjmował masy wszystkich punktów jako wielokrotności pewnej masy jednostkowej.

Jego zasada najprostszej trajektorii polega na minimalizacji krzywizny :

δK = 0 (3.48) Od razu widać, że idea ta jest bardzo bliska Einsteinowskiej idei teorii grawitacji , w której jak wiadomo, siła ciążenia pojawia się jako wynik zakrzywienia czterowymiarowej czasoprzestrzeni, co powoduje, to że ruch cząstki odbywa się po geodezyjnej (po najprostszej linii w sensie geometrii Riemanna ).

4. ZASADY CAŁKOWE 4.1 ZASADA HAMILTONA

4.1.1 PODSTAWOWE ZADANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO

Podczas, gdy w zwykłej teorii poszukiwania maksimum i minimum chodzi o określenie wartości ekstremalnej pewnej funkcji, podstawą rachunku wariacyjnego jest pytanie o osiąganie wartości ekstremalnej całki : t1

I =

∫

F(Q, dQ/dt, t ) dt (4.1) t0

W całce tej funkcja F(Q, dQ/dt, t ) jest zadana, ale na rozpatrywanym odcinku „dopuszczamy do współzawodnictwa” dowolnych krzywych Q(t), o ustalonych punktach początkowych i końcowych.

Na zmienność tych krzywych nałożono warunki :

Q( t0) = const. ; Q( t1) = const. (4.2) Na rysunku 3 pokazano krzywe q = q(t) – tak zwane ekstremalne, które spełniają wymagana własność

ekstremalności całki (4.1).

Odpowiadające szukanej funkcji q(t) , funkcje Q(t) nazywamy funkcjami porównawczymi i zakładamy dla nich : Q(t) = q(t) + ε ζ(t) (4.3) zakładając , że ε - jest nieskończenie małym parametrem.

Na mocy warunków (4.2) dowolna funkcja ζ(t) powinna spełniać równości :

ζ(t0) = ζ(t1) = 0 (4.4) Wielkość :

δq(t) = ε ζ(t) (4.5) nazywamy „wariacją funkcji q(t)”.

Podstawiając wyrażenie (4.3) do wzoru (4.1), otrzymamy całkę zależną od parametru ε : t1

I(ε) =

∫

F(q + εζ , q. + ε ζ. , t ) dt (4.6) t0

Zgodnie z definicją całka ta, przyjmuje wartość ekstremalną przy ε =0, zatem rozpatrywane zagadnienie wariacyjne sprowadza się do zadania znalezienia zwykłego ekstremum.

Teraz bowiem warunek konieczny na to, aby I(ε) osiągało ekstremum możemy zapisać następująco :

[ ∂I(ε) /∂ε ]ε =0 = 0 (4.7) Różniczkując I względem ε, otrzymujemy :

t1 t1 t1

[ ∂I(ε) / ∂ε ] =

∫

[ (∂F/∂q)ζ + (∂F/∂q. )ζ. ] dt =

∫

[ (∂F/∂q) – d/dt (∂F/∂q. ) ] ζ dt + (∂F/∂q. )ζ

|

(4.8) t0 t0 t0

Na mocy warunku (4.4) ostatnia składowa staje się zerem.

Ponieważ funkcja ζ (t) może być wybrana w sposób dowolny, wyrażenie w nawiasie kwadratowym powinno tożsamościowo być równe zeru, dochodzimy tym sposobem do „wariacyjnego równania różniczkowego Eulera- Lagrange’a” :

(∂F/∂q) – d/dt (∂F/∂q. ) = 0 (4.9) Równanie to jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu dla funkcji q(t).

Wielkość :

δI = [ ∂I(ε) /∂ε ]ε =0 ε (4.10) nazywamy „wariacją” całki I(ε). Reprezentuje ona liniowy człon rozkładu całki I(ε) w szereg Taylora.

Aby określić charakter ekstremum (minimum lub maksimum) konieczne jest obliczenie wariacji wyższego rzędu. Z definicji wariacji (4.5) wynika, że :

d(δq) = ε dζ (4.11) Na mocy równości (4.3) otrzymujemy :

dQ = dq + εdζ (4.12) I dlatego, zgodnie z definicją wariacji :

δ(dq) = dQ – dq = εdζ (4.13) Stąd otrzymujemy równanie :

d( δq) = δ(dq) (4.14)

oznaczające , że operacja obliczenia wariacji i różniczkowania są przemienne.

Rys. 4

Ponieważ czas przy wariowaniu nie zmienia się, z ostatniego równania wynika zależność :

d/dt (δq) = δ(dq/dt) (4.15) tj. przemienność wariowania i różniczkowania po czasie.

Zależność (4.14) poglądowo przedstawiono na rysunku 4. Zgodnie z nią :

δq + d(q + δq) = dq + δ(q + dq) (4.16) Ponieważ operator wariowania jest liniowy, ma miejsce równość :

δ( q1+ q2 ) = δq1 + δq2 (4.17) Stosując tę równość dochodzimy do równania (4.14) o postaci :

δq + dq + d(δq) = dq + δq + δ(dq)

Powyższe wywody łatwo jest uogólnić na przypadek kilku funkcji qK ( K = 1... p ).

Teraz wyprowadzimy wzór Eulera-Lagrange’a w inny sposób, bez wykorzystywania parametru ε.

Na miejsce całki (4.1) rozpatrzymy całkę : t1

I =

∫

_{F(qK , q}^.K, t )dt (4.18) t0

Koniecznym warunkiem osiągania ekstremum tej całki, jest teraz równość zeru wariacji tej całki.

Na końcach granicy całkowania powinny być spełnione warunki :

δqK( t0) = δqK( t1) = 0 (4.19) Zmieniając kolejność operacji wariowania i całkowania, otrzymujemy :

t1 p

δI =

∫

Σ [ (∂F/∂qK )δqK + (∂F/∂q.K )δq.K ] dt = 0 t0 K=1

Wykorzystując zależności : δq.K = d/dt (δqK )

a następnie całkując przez części, dochodzimy do równania :

t1 p t1 p

δI =

∫

Σ [ (∂F/∂qK )δqK + (∂F/∂q.K ) d/dt (δqK )] dt =

∫

Σ [ (∂F/∂qK ) - d/dt(∂F/∂q.K ) ] δqK dt + t0 K=1 t0 K=1

p t1 + Σ [(∂F/∂q.K) δqK ]

|

= 0 K=1 t0

Całkowane człony stają się równe zeru na mocy warunków (4.19). Wyrażenia w nawiasach okrągłych pod znakiem całki również się zerują, co wynika z dowolności w wyborze wariacji δqK.

W rezultacie otrzymujemy układ p – równań różniczkowych drugiego rzędu Eulera –Lagrange’a :

( ∂F/∂qK ) – d/dt ( ∂F/∂q. K ) = 0 ; K = 1 ... p (4.20) ( Przedstawione wyniki są klasycznymi wynikami rachunku wariacyjnego , zainteresowanego czytelnika

odsyłam do książki pt. : „Rachunek wariacyjny” – I. M. Gelfand, S. W. Fomin. PWN 1972 – przypis własny )

4.1.2 ZASADA HAMILTONA.

Obecny podrozdział poświęcimy zasadzie całkowej, ustanowionej przez R. Hamiltona w 1894 roku, oraz równoważnym jej równaniom ruchu układu mechanicznego. W zasadzie tej kryje się głęboki sens.

Jej znaczenie stanie się w pełni jasne przy uogólnieniu jej sformułowania w teorii pola.

W charakterze punktu wyjściowego weźmiemy równanie (3.3) i scałkujemy go po czasie w granicach od t0 do t1 N t1 m

Σ

∫

[ mΩ r..Ω δrΩ – ( KΩ + Σ λµ aµ Ω ) δrΩ ] dt = 0 Ω=1 t0 µ=1

Dokonamy następnie przekształcenia :

r..Ω δrΩ = d/dt ( r.Ω δrΩ ) – ½ δ( r.2 Ω ) (4.21) oraz wykorzystamy wyrażenie (3.12) dla energii kinetycznej całego układu.

To pozwala otrzymać :

t1 N m N t1

∫

[ δT + Σ ( KΩ + Σ λµ aµ Ω ) δrΩ ] dt – Σ ( r.Ω δrΩ ) | = 0 t0 Ω=1 µ=1 Ω=1 t0 Zakładając, jak zwykle w rachunku wariacyjnym warunki :

δrΩ (t0 ) = δrΩ (t1) = 0 (4.22) otrzymujemy :

t1 N m

∫

[ δT + Σ ( KΩ + Σ λµ aµ Ω ) δrΩ ]dt = 0 (4.23) t0 Ω=1 µ=1

Dalej, wprowadzimy funkcje :

L = L( rΩ, r.Ω, t ) = T – U( rΩ, r.Ω, t ) (4.24) Funkcja ta ma wymiar energii, nazwiemy ją „funkcją Lagrange’a” lub lagranżjanem.

Jeżeli funkcja U zależy od prędkości, to będziemy ją nazywali „potencjałem uogólnionym”.

Jeżeli nie zależy od prędkości, to U jest równe tożsamościowo energii potencjalnej układu ( uwaga. należy rozróżniać pojęcia uogólnionego potencjału i energii potencjalnej ).

Równanie (4.23) przyjmuje teraz postać : t1 N m

∫

[ δL + δU + Σ ( KΩ + Σ λµ aµ Ω ) δrΩ ]dt = 0 t0 Ω=1 µ=1

Wprowadzając pojecie „pochodnej wariacyjnej”, zdefiniowanej dla funkcji f( rΩ, r.Ω, t ) następująco :

δf/δrΩ = ( ∂f/∂rΩ ) – d/dt (∂f/ ∂r.Ω ) (4.25) oraz przyjmując warunki (4.22), ostatnie równanie możemy zapisać w postaci :

t1 N m

∫

{ δL + Σ [ (δU/δrΩ ) + KΩ + Σ λµ aµ Ω ] δrΩ } dt = 0 (4.26) t0 Ω=1 µ=1

Założymy teraz, że siły aktywne KΩ, oraz potencjał uogólniony U, związane są zależnościami :

KΩ = – δU/δrΩ = – [ (∂U/∂rΩ ) – d/dt (∂U/∂r.Ω )] (4.27) ( w szczególnym przypadku, kiedy funkcja U nie zależy od prędkości są to znane wzory wiążące siły i energię potencjalną tj. F = – grad U – przypis własny )

Po takim założeniu równanie (4.26) przyjmuje postać : t1 N m

∫

( δL + Σ Σ λµ aµ Ω δrΩ ) dt = 0 (4.28) t0 Ω=1 µ=1

Jest to zapis zasady Hamiltona dla układu o dowolnych więzach.

Dla układu o więzach holonomicznych na mocy zależności (2.7) mamy : t1 N m

∫

[ δL + Σ Σ λµ (∂Fµ /∂rΩ ) δrΩ ] dt = 0 t0 Ω=1 µ=1

lub

t1 N m

δ

∫

( δL + Σ Σ λµ Fµ ) dt = 0 (4.29) t0 Ω=1 µ=1

Przy braku więzów zasadę Hamiltona zapisujemy jeszcze prościej : t1 t1

δ

∫

δL dt = δ

∫

( T – L) dt = 0 (4.30) t0 t0

Stosując wzory (4.20) rachunku wariacyjnego do zasady Hamiltona w postaci (4.28) otrzymujemy równania Lagrange’a dla układu o dowolnych więzach :

m

d/dt (∂L/ ∂r.Ω ) – (∂L /∂rΩ ) = Σ λµ aµ Ω = ZΩ (4.31) µ =1

które dla układu o więzach holonomicznych przyjmują postać : m

d/dt (∂L/ ∂r.Ω ) – (∂L /∂rΩ) = Σ λµ (∂Fµ/∂rΩ ) = ZΩ (4.32) µ =1

Przy braku więzów równania Lagrange’a upraszczają się do postaci :

δL/δrΩ = (∂L/ ∂rΩ ) – d/dt (∂L/∂r.Ω ) = 0 (4.33) Równania Lagrange’a (4.31) reprezentują oczywiście równania Lagrange’a pierwszego rodzaju (1.2a) lub (3.4) zapisane przez funkcje Lagrange’a L.

Definiując działanie (w sensie Hamiltona ) jako : t1

S =

∫

L( rΩ, r.Ω, t )dt + S0 (4.34) t0

przy braku więzów dochodzimy do następującego sformułowania zasady Hamiltona :

ruch układu mechanicznego w zadanym przedziale czasowym < t0 t1> odbywa się tak aby działanie (4.34) osiągało wartość ekstremalną (nie koniecznie minimalną ).

Zasada Hamiltona jako zasada całkowa, pozwala głębiej niż sformułowanie newtonowskie dynamiki, przeniknąć w istotę procesu ruchu.

Zapis praw przyrody w postaci równań różniczkowych stanowi bezpośrednio naszą wizję przyczynowości, co podkreśla się jeszcze tym faktem, że dany proces rozwija się od pewnego stanu początkowego.

W przeciwieństwie do tegozapisu różniczkowego, w zasadzie Hamiltona mamy pewien skończony odcinek czasu, w którym w jednakowy sposób potraktowano zarówno przeszłość jak i przyszłość.

Dlatego też w literaturze spotykamy się z opiniami – w stylu autora wspomnianej zasady – podobnymi do takiej : „aby osiągnąć swój cel przyroda ze wszystkich możliwych (wymyślonych) ruchów wybiera takie w które odpowiadają działaniu ekstremalnemu”.

4.2 INNE ZASADY CAŁKOWE.

Zasadę Hamiltona poprzedzała zasada Maupertiusa ( 1747 rok ) o priorytet sformułowania, której spierał się Leibnitz. Jednak tylko Euler i Lagrange rozpatrując układ zachowawczy posiadający energię E, zamienili nadzwyczaj bałamutne, pierwotne sformułowanie tej zasady na ścisłe matematyczne twierdzenia.

Mimo tego, że w zasadzie Maupertiusa działanie określone jest jako całka po czasie od energii kinetycznej T – układu (* dokładniej od podwojonej energii kinetycznej układu – przypis tłumacza. *), dopuszcza się w niej jedynie wariacje względem czasu ( δt ≠ 0) pozostawiając ustaloną energię całkowitą ( δE = 0).

Zatem porównuje się tylko drogi na których energia całkowita jest taka sama.

Ponieważ przy braku sił, działanie w zasadzie Maupertiusa, z dokładnością do stałego czynnika przechodzi w całkę po czasie, widać oczywisty związek tej zasady z zasadą Fermata najkrótszej drogi optycznej.

Oczywiście w przypadku rozprzestrzeniania się światła chodzi o ruch czoła fali, która nie podlega zasadom mechaniki.

5. RÓWNANIA LAGRANGE’A

5.1 RÓWNANIA LAGRANGE’A WE WSPÓŁRZĘDNYCH UOGÓLNIONYCH

Przy rozwiązywaniu konkretnych zadań zwykle nie wykorzystujemy współrzędnych kartezjańskich , a wybieramy współrzędne stosowne dla rozwiązywanego zagadnienia , przykładowo - zadanie które posiada symetrię sferyczną rozwiązujemy we współrzędnych sferycznych itp.

Takie indywidualne podejście do budowy równań Lagrange’a stosuje się z powodzeniem w wielu przypadkach.

Przy tym współrzędne nie koniecznie maja wymiar długości (kąt , przykładowo jest wielkością bezwymiarową ) Dlatego też mówimy o „współrzędnych uogólnionych”, współrzędne takie oznaczamy przez : qk.

Rozpatrzmy układ składający się z N punktów materialnych, mających zatem 3N stopni swobody. Jeżeli na ten układ nałożymy tylko więzy holonomiczne, to można wykorzystać równania więzów w celu wykluczenia tylu współrzędnych ile nałożono więzów. Wtedy uwzględniając więzy zasadę Hamiltona (4.30) możemy zapisać w postaci ;

t1

δ

∫

_{L( qk , q}^.k , t )dt = 0 ; k = 1 ... p (5.1) t0

Odpowiednie równania Lagrange’a drugiego rodzaju we współrzędnych uogólnionych mają postać :

δL/∂qk = ∂L/∂qk – d/dt (∂L/∂q.k ) = 0 (5.2) Jeżeli teraz oprócz więzów holonomicznych nałożymy na układ jeszcze więzy nieholonomiczne, to otrzymamy zapis zasady Hamiltona w postaci (4.28), przy czym równania więzów nieholonomicznych powinny być przedstawione we współrzędnych uogólnionych.

(* Autor postępuje tutaj dosyć nietypowo. Na początku uwzględnia tylko więzy holonomiczne i wyprowadza p niezależnych współrzędnych uogólnionych qk. To pozwala mu zapisać zależności (5.4) i (5.5) które nie były by spełnione przy uwzględnieniu więzów nieholonomicznych . Po czym uwzględnia i więzy nieholonomiczne ( wzór (5.7) ) nie mówiąc przy tym, że z p wariacji δqk, niezależnymi pozostają tylko p – n, gdzie n – jest liczbą więzów nieholonomicznych , i że z p równań (5.10) - n spełnionych jest poprzez odpowiedni wybór n

mnożników λµ. Zauważmy oprócz tego, że , zależność (5.4) ma miejsce tylko dla więzów skleronomicznych, w przypadku więzów reonomicznych należy ją zmienić zależnością rΩ = rΩ(qΩ, t ) – przypis tłumacza. *)

Ponieważ liczba p niezależnych współrzędnych uogólnionych spełnia nierówność :

p ≤ 3N (5.3) ma miejsce zależność :

rΩ = rΩ (qk ) (5.4) tak, że współrzędne qk grają teraz rolę parametrów

Z równości (5.4) znajdujemy : p

δrΩ = Σ (∂rΩ / ∂qk ) δqk (5.5) k=1

Jeżeli teraz wprowadzimy dla uproszczenia zapisu wielkość : p

eµk = Σ (∂rΩ / ∂qk ) aµΩ (5.6) Ω=1

to w miejsce (4.28) otrzymamy : t1 p m

∫

( δL + Σ Σ λµ eµ k δqk ) dt = 0 (5.7) t0 k=1 µ=1

lub

p t1 m

Σ

∫

[ (δL/∂qk ) + Σ λµ eµ k ] δqk dt = 0 (5.8) k =1 t0 µ=1

Wielkości : m

Qk = Σ λµ eµ k (5.9) µ=1

wiążące się z reakcjami więzów nieholonomicznych, nazywamy „siłami uogólnionymi”.

Zatem z zależności (5.8) otrzymujemy uogólnione równania Lagrange’a:

d/dt (∂L/∂q.k ) – (∂L/∂qk ) = Qk (5.10)

5.2 RÓWNANIA LAGRANGE’A DLA UKŁADÓW DYSYPATYWNYCH.

W tym rozdziale wyjaśnimy, czy możliwe jest opisanie ruchu układu mechanicznego, na którego punkty działają siły oporu ośrodka, przez uogólnione równania Lagrange’a postaci (5.10) tj. przez równania :

d/dt (∂L/∂q.k ) – (∂L/∂qk ) = Rk (5.11) gdzie : Rk – są uogólnionymi siłami oporu.

W tym celu rozpatrzymy tak zwaną „dysypatywną funkcje Rayleigha” Φ( r.Ω ), zależną jedynie od prędkości r.Ω i z której siły oporu RΩ otrzymujemy za pomocą operatora gradientu działającego w przestrzeni prędkości : RΩ = ∂Φ/∂ r.Ω (5.12) Zatem uogólnione równania Lagrange’a (5.11) możemy zapisać w postaci wektorowej :

d/dt ( ∂L/∂r.Ω ) – ∂L/∂rΩ = ∂Φ/∂ r.Ω = RΩ (5.13) Moc sił oporu (prędkość z jaką energia mechaniczna przechodzi w ciepło) jest dana :

N N N dA(oporu) /dt = Σ RΩ r.

Ω = Σ (∂Φ/∂ r.Ω ) r.Ω = Σ [ (∂Φ/∂ x.Ω ) x.Ω + (∂Φ/∂ y.Ω ) y.Ω + (∂Φ/∂z.Ω )z. Ω ] Ω=1 Ω=1 Ω=1

(5.14) W charakterze przykładu rozpatrzymy przypadek oporu ośrodka liniowego i anizotropowego, dla którego funkcja Rayleigha ma postać :

N

Φ = ½ Σ ( µ1x.2Ω + µ2 y.2Ω + µ3 z.2Ω ) (5.15) Ω=1

W przypadku ośrodka anizotropowego dodatnie współczynniki µ1, µ2, µ3 będą różne tj. wielkość siły oporu zależna będzie od kierunku.

Zgodnie z równaniem (5.12) przez różniczkowanie znajdujemy siłę oporu :

RΩ = i µ1x.Ω + j µ2 y.Ω + k µ3 z.Ω (5.16) wynika z niej jasno , że opór jest liniowy i anizotropowy. Podstawiając to wyrażenie do wzoru (5.14) ,

otrzymujmy : N

dA(oporu) /dt = Σ ( µ1x. 2Ω + µ2 y. 2Ω + µ3 z. 2Ω ) = 2Φ ≥ 0 (5.17) Ω=1

Zatem, funkcja dysypatywna Rayleigha Φ jest miarą prędkości z jaką energia mechaniczna przechodzi w ciepło.

W przypadku oporu ośrodka liniowego i izotropowego wszystkie trzy współczynniki µi są sobie równe :

µ1 = µ2 = µ3 = µ (5.18) Aby ustanowić związek między dwoma postaciami uogólnionych równań Lagrange’a (5.11) i (5.13),

wykorzystamy na początku zależność : p

r.Ω= Σ ( rΩ /∂qk ) q.

k (5.19) k=1

wynikającą z równości (5.4). Ponieważ w formaliźmie Lagrange’a współrzędne uogólnione qk i prędkości uogólnione q.k są zmiennymi niezależnymi, różniczkowanie ostatniej zależności daje nam :

∂r.Ω /∂ q.k = ∂rΩ /∂qk (5.20) Zauważmy, że w rozpatrywanym przypadku liczba współrzędnych kartezjańskich xΩ, yΩ, zΩ, jest równa liczbie współrzędnych uogólnionych qk. Przejścia od równań (5.11) do równań (5.13) dokonujemy w następujący sposób - na początku zgodnie z zasadami różniczkowania funkcji złożonych znajdujemy :

N N

∂L/∂qk = Σ (∂L/∂rΩ ) (∂rΩ /∂qk ) + Σ (∂L/∂ r.Ω ) (∂ r.Ω/∂qk ) (5.21) Ω=1 Ω=1

N

∂L/∂ q.k = Σ (∂L/∂ r.Ω ) (∂ r.Ω/∂q.k ) (5.22) Ω=1

Podstawiając te wyrażenia do równań (5.11) i uwzględniając równość (5.20), otrzymujemy : N N

Σ [ d/dt (∂L/∂ r.Ω ) – (∂L/∂rΩ ) ] (∂rΩ /∂qk ) + Σ (∂L/∂ r.Ω )[d/dt (∂rΩ /∂qk ) – (∂ r.Ω/∂qk )] = Rk (5.23) Ω=1 Ω=1

I dalej zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji złożonej i na mocy zależności (5.19) mamy : p p

d/dt (∂rΩ /∂qk ) – (∂ r.Ω/∂qk ) = Σ (∂2rΩ /∂qL∂qk )q.

L – Σ (∂2rΩ /∂qk∂qL )q.

L = 0 L=1 L=1

zatem : N

Σ [ d/dt (∂L/∂ r.Ω ) – (∂L/∂rΩ ) ] (∂rΩ /∂qk ) = Rk (5.24) Ω=1

Skąd znajdujemy : N

Rk =Σ RΩ (∂rΩ /∂qk ) (5.25) Ω=1

6. RÓWNANIA HAMILTONA

6.1 WYPROWADZENIE RÓWNAŃ HAMILTONA PRZY POMOCY PRZEKSZTAŁCENIA LEGENDRE’A W formaliźmie Legendre’a w charakterze podstawowej funkcji wykorzystujemy funkcje Lagrange’a L, a w charakterze zmiennych niezależnych – współrzędne uogólnione qk i prędkości uogólnione q.

k.

Czas t odgrywa rolę parametru.

W formaliźmie Hamiltona funkcją podstawową jest funkcja Hamiltona (hamiltonian) H, a zmiennymi niezależnymi są -współrzędne uogólnione qk i nie omówione do tej pory, pędy uogólnione pk.

Czas t, podobnie jak wczesniej odgrywa rolę parametru.

Przejście od formalizmu Lagrange’a, w którym uwzględniono już obecność nałożonych na układ więzów (liczba stopni swobody jest równa f ), do formalizmu Hamiltona :

qk , q.

k , L(qk , q.

k , t) → qk , pk , H(qk , pk , t) (6.1) dokonywane jest za pomocą „przekształcenia Legendre’a“ , o postaci :

f H(qk, pk, t) = Σ pk q.

k – L(qk, q.

k, t) (6.2) k =1

Przekształcenia Legendre’a przy których razem ze zmiennymi niezależnymi przekształcają się również zmienne zależne, należą do ogólnej klasy tak zwanych przekształceń stycznościowych (kontaktowych).

Wychodzą one poza ramy zwykłych przekształceń punktowych (przykładowo przekształceń typu przejście od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych ).

Zależność (6.2) jest równaniem definicyjnym omawianego przekształcenia Legendre’a.

Na mocy (6.2) mamy : f

dH = Σ [ pk dq. k + q.

k pk – (∂L/∂dqk )dqk – (∂L/∂q.k )dq.

k ] – (∂L/∂t) dt (6.3) k=1

Zgodnie z definicją funkcja Hamiltona H nie powinna zależeć od q.k. Osiągniemy ten cel, definiując pędy uogólnione w następujący sposób :

pk = ∂L/q.k (6.4) Zatem otrzymujemy :

f

dH = Σ [ q.k dpk – (∂L/∂dqk )dqk ] – (∂L/∂t) dt (6.5) k=1

Podstawienie wielkości (6.4) do równania (5.2) daje :

p.k = ∂L/∂qk (6.6) Zatem (6.5) możemy zapisać następująco :

f

dH = Σ (q.k dpk – p.

kdqk ) – (∂L/∂t) dt (6.7) k=1

A następnie przedstawmy różniczkę zupełną funkcji H = H( qk, pk, t) : f

dH = Σ [ (∂H/∂qk )dqk + (∂H/∂pk) dpk ] + (∂H/∂t) dt (6.8) k=1

Przyrównując współczynniki przy różniczkach zmiennych niezależnych w wyrażeniach (6.7) i (6.8), dochodzimy do „kanonicznych równań różniczkowych Hamiltona” :

q.k = ∂H/∂pk ; p.

k = – ∂H/∂qk (6.9) Równania (6.9) to układ 2f równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, opisują one ruch danego układu mechanicznego. Z matematycznego punktu widzenia jest on ekwiwalentny układowi równań Lagrange’a ,które to – jak wiadomo – są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi drugiego rzędu.

Współrzędne uogólnione i pędy uogólnione figurujące w równaniach kanonicznych Hamiltona nazywane są

„zmiennymi kanonicznie sprzężonymi”. Z równości (6.7) wynika jeszcze jedna, ważna zależność, a mianowicie

∂H/∂t = – ∂L/∂t (6.10) Przy pomocy równania Hamiltona otrzymujemy z (6.8) równość :

f

dH/dt = Σ [ (∂H/∂qk ) dq.

k + (∂H/∂pk) dp.

k ] + (∂H/∂t) = ∂H/∂t (6.11) k=1

Układ mechaniczny będziemy nazywali „układem mechanicznym zachowawczym“ jeżeli dla niego funkcja Lagrange’a nie zależy w sposób jawny od czasu tj. :

∂L/∂t = 0 (6.12) wtedy na mocy (6.10) otrzymamy również :

∂H/∂t = 0 (6.13) zatem , zgodnie z (6.11) :

dH/dt = 0 lub H = E = const. (6.14) Stałą wielkość E będziemy nazywać energią układu zachowawczego.

Wprowadzone w ten sposób pojęcie energii pokrywa się z powszechnie rozumianym pojęciem energii

zachowawczego układu mechanicznego. Dla takiego układu potencjał U nie zależy od prędkości (i przedstawia sobą energię potencjalną ). Wtedy w miejsce równości (4.24) mamy równość :

L = T – U(rΩ ) (6.15) zatem w miejsce (6.4) możemy podstawić :

pk = ∂T/∂q.k (6.16) Na mocy tych zależności wyrażenie (6.2) przyjmuje postać :

f

H = Σ (∂T/∂dq.k ) q.

k – T + U (6.17) k =1

Energia kinetyczna T przedstawia sobą formę kwadratową prędkości :

( We wzorze (6.18) druga równość spełniona jest tylko dla układu konserwatywnego , przy czym współczynniki akL są funkcjami współrzędnych uogólnionych. – przypis tłumacza )

N f

T = ½ Σ mΩ r.Ω2 = Σ akL q.k q.L (6.18) Ω=1 k,L=1

(współczynniki akL są dla nas nie istotne ).

Ponieważ T – jest jednorodną funkcją drugiego rzędu, zgodnie z twierdzeniem Eulera dotyczącym funkcji jednorodnych ma miejsce równość :

f

Σ (∂T/∂dq.k ) q.

k = 2T (6.19) k =1

na mocy której z (6.17) wynika :

H = T + U = E (6.20) Co dowodzi naszego stwierdzenia.

Może się okazać, że do liczby argumentów funkcji Hamiltona nie wchodzi pewna współrzędna uogólniona qk.

Taka współrzędna nazywa się „zmienną cykliczną” (pochodzenie tej nazwy związane jest badaniem ruchu obrotowego ). Istotna cecha, takiej współrzędnej spowodowana jest tym, że na mocy równań Hamiltona (6.9) pęd uogólniony odpowiadający zmiennej cyklicznej jest stałą ruchu :

p. = – ∂H/∂q = ∂L/∂q = 0 tj. p = const.

6.2 PRZYKŁAD FORMALIZMU LAGRANGE’A –HAMILTONA (WAHADŁO MATEMATYCZNE ) Na prostym przykładzie pokaże teraz zasadnicze kroki rozwiązywania zadań mechanicznych w ramach formalizmu Lagrange’a- Hamiltona.

Rozpatrzmy ruch płaski punktu materialnego m , w jednorodnym polu ciążenia (rysunek 5 )

RYS 5

Ponieważ ruch jest ruchem płaskim – załóżmy, że zachodzi on na płaszczyźnie x, z – położenie punktu m będziemy określać za pomocą współrzędnych x, y. Równanie więzów otrzymujemy z warunku , że ruch punktu zachodzi po okręgu K. Dlatego z dwóch stopni swobody ruchu płaskiego zostaje tylko jedna.

Oczywiści taki tok rozumowania nie jest w każdej sytuacji oczywistym. W naszym zadaniu jest jasne, że za współrzędną uogólnioną najlepiej przyjąć kąt odchylenia ϕ, wahadła od pionu.

Ponieważ mówimy o układzie zachowawczym w którym potencjał nie zależy od prędkości, zgodnie z (4.24) mamy :

L = T – U = ½ mL2ϕ. 2 – mgL [1 – cos (ϕ)] (6.21) gdzie L – jest długością wahadła, g- przyspieszeniem wywołanym przez siłę ciążenia.

Dokładne rozwiązanie tego zadania prowadzi do całki eliptycznej. Ponieważ interesuje nas jedynie zasada rozwiązywania podobnych zadań, ograniczymy się do przypadku małych kątów odchylenia | ϕ | << 1 i dlatego zadowolimy się przybliżeniem :

cos(ϕ) = 1 – ½ϕ2 (6.22) Przy takim warunku wyrażenie (6.21) przyjmuje postać :

L = ½ mL2ϕ. 2 – ½ mg Lϕ2 ( 6.23) skąd otrzymujemy :

∂L/∂ϕ = – mgLϕ ; ∂L/∂ϕ. = mL2 ϕ. (6.24) Równanie Lagrange’a (5.2) w naszym przypadku możemy zapisać następująco :

d/dt (∂L/∂ϕ. ) – (∂L/∂ϕ) = 0

Podstawiając do niego wyrażenia (6.24) otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu :

ϕ. . + (g/L) ϕ = 0 (6.25) ogólnym rozwiązaniem tego równania jest funkcja :

ϕ = ϕ0 cos [ sqrt(g/L) + λ0 ] (6.26) gdzie : ϕ0 i λ0 – są stałymi całkowania.

Stąd znajdujemy częstotliwość wychylenia wahadła :

ω = sqrt (g/L) (6.27)

Pokaże teraz, jak rozwiązuje się to zadanie w formaliźmie Hamiltona. W tym celu wprowadzimy zgodnie z (6.4) pęd uogólniony p, wykorzystując drugą równość (6.24) :

p = ∂L/∂ϕ. = mL2 ϕ. (6.28) skąd :

ϕ. = p/ mL2 (6.29) Zatem stosownie do naszego zadania funkcja Hamiltona (6.2) ma postać :

H = pϕ. – L (6.30) Podstawiając do niej wyrażenie (6.23) dla L i wyrażenie (6.29) dla ϕ. otrzymujemy funkcje Hamiltona ,

zapisaną w jej zmiennych istotnych :

H = T + U = p2 / 2mL2 + ½ mgLϕ2 (6.31) Różniczkując ją znajdujemy :

∂H/∂ϕ = mgLϕ , ∂H/∂p = p/ mL2 (6.32) A równania Hamiltona (6.9) przyjmują postać :

ϕ. = ∂H/∂p ; p. = – ∂H/∂ϕ (6.33) Podstawiając wyrażenia (6.32) otrzymamy układ składający się z dwóch równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu :

ϕ. = p/ mL2 ; p. = – mgLϕ (6.34) Teraz musimy rozwiązać ten układ równań.

Możemy w tym celu wykorzystać metodę wykluczania i wykluczyć zmienną p, prowadzi to do równania różniczkowemu drugiego rzędu (6.25).

Ponieważ mamy do czynienia z układem zachowawczym tj. :

∂L/∂t = 0 (6.35) to ,zgodnie z (6.20) spełnione jest prawo zachowania energii :

E = ½ p / mL2 + ½ mgLϕ2 = const. (6.36)

7. ZAPIS FORMALIZMU HAMILTONA PRZEZ NAWIASY POISSONA 7.1 DEFINICJA NAWIASÓW POISSONA

Przestrzeń współrzędnych uogólnionych qk nazywamy „przestrzenią konfiguracyjną”, przestrzeń pędów uogólnionych pk nazywamy „przestrzenią pędów”. Wymiar każdej z tych przestrzeni jest równy f, iloczyn tych dwóch przestrzeni nazywamy „przestrzenią fazową” (dokładniejszą klasyfikacje przestrzeni wprowadza się w mechanice statystycznej ) – przestrzeń fazowa ma wymiar 2f. Przestrzeń ta można powiedzieć jest areną formalizmu Hamiltona. Taki formalizm możemy przenieść również na półklasyczną mechanikę kwantową.

W ściślejszym sformułowaniu mechaniki kwantowej, oraz w kwantowej teorii pola szeroko wykorzystywane jest pojecie „komutatora”. Klasycznym obrazem takich komutatorów są – nawiasy Poissona, które odgrywają istotną rolę przy przejściu od mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej. Z tego względu chciałbym dokładnie omówić te nawiasy.

Dla dwóch dowolnych funkcji : u (qk, pk, t ) i v (qk, pk, t ) zadanych w przestrzeni fazowej nawias(nawiasy) Poissona określone są następująco :

f

[ u, v ] = Σ { (∂u/∂qk)(∂v/∂pk) – (∂v/∂qk) (∂u/∂pk) } (7.1) k=1

Dla nawiasów Poissona spełnione są następujące zależności :

1. [ u, v ] = – [v, u ] (antysymetria ) (7.2) 2. [ u, c ] = 0 jeżeli c = const (7.2) 3. a) [u1+ u2, v ] = [u1, v ] + [u2, v ] (7.2) 3. b) [u1, v1+ v2 ] = [u, v1] + [u, v2 ] (7.2) 4. a) [u1u2, v ] = u1[u2, v ] + [u21, v ] u2 (7.2) 4. b) [u1, v1v2 ] = v1[u, v2] + [u, v1] v2 (7.2) 5. [ u, [v, w ] ] + [ v, [w, u] ] + [ w, [ u, v ] ] = 0 (tożsamość Jakobiego ) (7.2) Słuszność tych zależności wynika z samej definicji (7.1). Zależność 1. możemy wywieść w oczywisty sposób z zależność (7.1). Zależność (7.2) jest również jasna - ponieważ pochodna od stałej jest równa zeru. Zależność 3a.

wynika z tego ,że pochodna od sumy jest równa sumie pochodnych. Zależność 3b. można otrzymać z zależności 3a. na mocy zależności 1. Zależność 4a. jest następstwem zasady Leibniza dla różniczki iloczynu , zależność 4b.

otrzymujemy z 4a. na mocy 1. Zależności 5. (tożsamość Jakobiego ) można dowieść przez bezpośredni rachunek.

Interesujące jest to ,że dla „komutatora” dwóch operatorów kwantowych ℑ, ℜ - zdefiniowanym równością : [ ℑ, ℜ ] = ℑℜ – ℜℑ (7.3) spełnione są takie same formalne zależności postaci (7.2). Dlatego wynikła nadzieja ( która się spełniła ) na otrzymanie równań kwantowych odzwierciedlających zjawiska badane w fizyce kwantowej, poprzez formalną zmianę nawiasów Poissona na komutator :

[ u , v ] → (1/i ħ )[ ℑ, ℜ ] (7.4) do którego wchodzi odpowiedni czynnik wymiarowy.

( i – jest jednostką urojoną ; ħ = h /2π - zmodyfikowana stała Plancka ).

7.2 RÓWNANIA RUCHU I KLASYCZNE ANALOGI KOMUTACYJNYCH ZALEZNOŚCI HEISENBERGA Na mocy równań Hamiltona dla dowolnej funkcji A(qk, pk, t ) spełniona jest zależność :

f f dA/dt = ∂A/∂t + Σ [(∂A/∂qk ) q.

k + (∂A/∂pk) p.

k ] = ∂A/∂t + Σ [(∂A/∂qk ) (∂H/∂pk) – (∂A/∂pk ) (∂H/∂qk)]

k=1 k=1 lub stosując nawiasy Poissona :

dA/dt = ∂A/∂t + [ A, H ] (7.5) Równanie to można rozpatrywać jako ogólne prawo ruchu (zmiany w czasie ) wielkości A.

Jeżeli przyjąć w szczególności A = qk i A = pk, to otrzymamy równania Hamiltona w zupełnie symetrycznej postaci :

q.k = [qk , H ] ; p.

k = [ pk, H ] (7.6) Poniżej obliczymy pewne nawiasy Poissona, które odgrywają ważną rolę przy przejściu do mechaniki

kwantowej.

Ponieważ w formaliźmie Hamiltona qk , pk są zmiennymi niezależnymi, słuszne są zależności :

∂qL / ∂qk = δLk ; ∂pL / ∂pk = δLk ; ∂pL / ∂qk = 0 ; ∂qL / ∂pk = 0 (7.7) gdzie : δLk - jest symbolem Kroneckera;

Podstawiając te wyrażenia do równości : f

[ A, pL ] = Σ {(∂A/∂qk ) (∂pL/ ∂pk ) – (∂A/∂pk)(∂pL/∂qk)}

k=1 Otrzymujemy :

[ A, pL ] = ∂A/∂qL (7.8) Pochodną po pL można zapisać w sposób analogiczny :

[ A, qL ] = – ∂A/∂pL (7.9) Zastosowanie tych wzorów do przypadków szczególnych daje :

zgodnie z (7.8) dla A = qk :

[ qk , pL ] = δkL (7.10) zgodnie z (7.8) dla A = pk :

[ pk , pL ] = 0 (7.11) zgodnie z (7.9) dla A = qk :

[ qk , qL ] = 0 (7.12) Analogi tych trzech ważnych zależności występują w mechanice kwantowej, gdzie służą jako podstawa dla ustanowienia zależności nieoznaczoności Heisenberga.

7.3 PRZYKŁAD (LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY )

Liniowy oscylator harmoniczny jest układem zachowawczym o jednym stopniu swobody.

Przy wyborze – w charakterze współrzędnej uogólnionej zmiennej x, funkcja Lagrange’a może być zapisana w postaci :

L = T – U = ½ mx.2 – ½ kx2 (7.13) ( k- stała sprężystości sprężyny ).

Pęd uogólniony możemy zatem zapisać w postaci :

p = ∂L/∂x. = m x. (7.14) co pokrywa się w tym przypadku ze zwykłym pędem znanym z mechaniki.

Funkcja Hamiltona jest równa :

H = px. – L = p2/2m + ½ kx2 (7.15) Podstawmy tę funkcję do równania Hamiltona (7.6) I wykorzystajmy własności nawiasów Poissona , daje to nam :

x. = [ x, H ] = ∂H/∂p = p/m (7.16) p. = [ p, H ] = – ∂H/∂p = – kx (7.17) Teraz należy rozwiązać ten układ równań różniczkowych.

Różniczkujemy pierwsze równanie względem t i podstawiamy obliczoną zależność na p. , z drugiego równania : x.. + (k/m)x = 0 (7.18) Równanie różniczkowe drugiego rzędu (7.18) ma ogólne rozwiązanie postaci :

x = C sin[ ω ( t – t0 ) + λ ] = C sin ( ωt + λ0 ) (7.19) ( C i λ0 = λ - ωt0 - są stałymi całkowania ).

Stąd otrzymujemy częstotliwość :

ω = sqrt (k/m ) (7.20)

8. TEORIA HAMILTONA-JAKOBIEGO 8.1 RÓWNANIE HAMILTONA -JAKOBIEGO.

Do tej pory spotykaliśmy się z prawami ruchu mechaniki klasycznej, przedstawianymi w postaci równań różniczkowych zwyczajnych, jak również zasad całkowych i różniczkowych. W tym rozdziale wprowadzimy zapis tych praw mechaniki klasycznej w postaci nieliniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych, jest to równanie Hamiltona – Jakobiego. Pierwszy wprowadził to równanie Hamilton (w 1827 roku a w latach 1830 i 1832 uzupełnił je ) podstawą dla ich wyprowadzenia stały się badania nad drogą promienia światła w instrumentach optycznych. Prace Jakobiego związane są z przekształceniami kanonicznymi oraz z dalszym rozwojem formalizmu kanonicznego.

Teoria Hamiltona – Jakobiego ma duże znaczenie dla rozumienia drogi rozwoju fizyki, a ściśle przejścia od mechaniki klasycznej do kwantowej. Przejście to, we współczesnym rozumieniu miało swój analog w rozwoju elektromagnetycznej teorii światła.

Jak wiadomo, koniec sporu miedzy korpuskularną teorią Newtona a falową Huyghensa wiąże się ze współczesną elektrodynamiką kwantową i koncepcją dualizmu korpuskularno-falowego. W mechanice korpuskularna teoria cząstek (punktów materialnych ) nie budziła wątpliwości aż do końca XIX wieku, kiedy to zaczęły się badania zjawisk zachodzących w atomach. W 1924 roku L. de Broglie wysunął idee przypisaniu cząstce klasycznej własności falowych ,wprowadzając dualizm korpuskularno-falowy cząstek.

E. Schrodinger rozwinął tą koncepcje wprowadzając w 1926 roku mechanikę falową , która okazała się równoważna mechanice macierzowej – początki której wiążą się z pracami W. Heisenberga ( 1925 ).

Mechanika falowa i mechanika macierzowa są pod względem matematycznym równoważnymi sposobami sformułowania mechaniki kwantowej.

W jakim stopniu w teorii Hamiltona-Jakobiego jest już obecna mechanika kwantowa ? Na to pytanie odpowiemy w miarę jak będziemy omawiać tą teorie.

W pierwszym kroku wyjdziemy od definicji (4.34) S, przy czym funkcje Lagrange’a zapiszemy we współrzędnych uogólnionych :

t1

S =

∫

_{L(qk, q}^.k, t ) dt + S0 (8.1) t0

Przy tym stała całkowania S0 wybieramy w ten sposób aby : S(t0 ) = S0.

Jak wiadomo, zadanie polega na tym aby scałkować równania ruchu Newtona określając z nich współrzędne w następujący sposób :

qk = qk( t, t0 , q0 L , q.0

L ) ; k , L = 1 ... f (8.2) Jest to parametryczne przedstawienie toru cząstek. Wchodzące w niego stałe całkowania q0L i q.0

k ( L = 1... f) mają sens wartości początkowych odpowiednio współrzędnych i prędkości cząstek.

Chwila początkowa t0 - jest parametrem nie istotnym z fizycznego punktu widzenia. Ponieważ w mechanice newtonowskiej nie wyróżniamy żadnej chwili czasu, problem jest jedynie w ustaleniu punktu początkowego odczytu czasu. Różniczkowanie wyrażeń (8.2) pozwala w sposób parametryczny przedstawić prędkości : q.k = q.

k ( t, t0 , q0 L , q.0

L ) (8.3) Przypuśćmy teraz , że rozwiązaliśmy w ten sposób przedstawione zadanie i znaleźliśmy funkcje (8.2) i (8.3).

A następnie podstawiliśmy te wyrażenia do funkcji Lagrange’a (8.1) i wykonaliśmy całkowanie po czasie. To daje nam następującą strukturę funkcji działania :

S = Ŝ(t, t0 , q0 L , q.0

L ) + S0 ; Ŝ(t, t0 , q0 L , q. 0

) = 0 (8.4) Następny krok będzie polegał na tym aby rozwiązać układ równań (8.2) względem prędkości początkowych.

Przy tym dochodzimy do układu : q.0k = q. 0

k ( t, t0 , qL , q0

L ) (8.5) Teraz podstawmy te wyrażenia do funkcji Ŝ, co daje :

S = S(qk ,t , q0

k , t0 , S0 ) = Ŝ( qk , t , q0

k , t0 ) + S0 (8.6) gdzie

Ŝ(q0k , t0 , q0

k , t0 ) = 0