RUCH WŁASNY GWIAZD

(1)

Astronomia sferyczna Wykład 11: RUCH WŁASNY GWIAZD

Tadeusz Jan Jopek

Obserwatorium Astronomiczne, UAM

Semestr II

(Uaktualniono 2015.05.26)

Wst ˛ep Poj ˛ecia, definicje

Cz ˛e´s´c I

RUCH WŁASNY GWIAZD

1 Wst ˛ep Historia

Gwiazdy o du˙zym ruchu własnym Znaczenie ruchów własnych

2 Poj ˛ecia, definicje

Poj ˛ecia podstawowe i definicje Rucj własny w rektascensji i deklinacji

Historia

Wg pracy (Podobed 1975), astronom chi ´nski I. Sin ˙zyj ˛acy w latach AD 683–727, porównuj ˛ac swoje obserwacje wzgl ˛ednych poło˙ze ´n gwiazd z gwiazdozbioru Strzelca z obserwacjami swych poprzedników, sformułował hipotez ˛e o zmianie z czasem k ˛atowych odległo´sci pomi ˛edzy gwiazdami.

W Europie ruchy własne gwiazd po raz pierwszy zauwa˙zył E. Halley, który w roku 1718 porównał współczesne mu poło˙zenia Syriusza, Procjona i Arktura z ich poło˙zeniami podanymi w Almage´scie Ptolemeusza.

W roku 1742 Bradley sformułował przypuszczenie, ˙ze ruchy gwiazd odzwierciedlaj ˛a ruch Sło ´nca w przestrzeni.

Trzydzie´sci trzy lata pó´zniej Mayer opublikował pierwszy katalog zawieraj ˛acy ruchy własne ponad stu gwiazd.

Nast ˛epne katalogi opracowane przez Argelandera, Bessel’a pozwoliły na wyci ˛agni ˛ecie wniosku, ˙ze istniej ˛a składowe ruchu własnego gwiazd wynikaj ˛ace wył ˛acznie z ich ruchów w przestrzeni.

Gwiazdy o du˙zym ruchu własnym, przykłady

Ze wzrostem dokładno´sci pomiarów astrometrycznych okazało si ˛e, ˙ze ruchy własne gwiazd s ˛a bardzo małe, ich wielko´s´c rzadko przekracza 0.⁰⁰1/rok.

Bliska Sło ´nca gwiazda α Centaura ma ruch własny 3.⁰⁰682/rok.

αMałej Nied´zwiedzicy ma ruch własny 1.⁰⁰242/rok Ruch ruczny gwiazdy 61 Łab ˛edzia wynosi 5.⁰⁰234/rok.

Gwiazda α Liry przemieszcza si ˛e 0.⁰⁰343/rok.

Najwi ˛ekszy ruch własny wykazuje gwiazda Barnarda, wynosi on 10.⁰⁰27rok.

Jest to słaba gwiazda o jasno´sci 9.7^m.

Gwiazda Barnarda w latach 1950-2008

Zmiany poło˙zenia gwiazdy Barnarda

[http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/motion/proper.html]

Poło˙zenia gwiazdy Barnarda uzyskane teleskopem amatorskim z powierzchni Ziemi.

Falista trajektoria to efekt rocznej paralaksy, ma roczn ˛a okresowo´s´c. Linia prosta jest u´srednionym torem w przestrzeni, uzyskanym przez satelit ˛e Hipparcos.

Zaastosowania ruchów własnych gwiazd

W czasach współczesnych znane s ˛a ruchy własne ponad 2.5 miliona gwiazd.

Tak ˛a liczb ˛e gwiazd zawiera katalog gwiazd Tycho 2.

Ruchy własne gwiazd maj ˛a du˙ze znaczenie:

do niedawna astronomiczne układy odniesienia konstruowano w opiarciu o obserwacje gwiazd, zatem znajomo´s´c k ˛atowych przesuni ˛e´c w czasie tych reperów jest konieczna,

słu˙z ˛a do okre´slenia przestrzennych pr ˛edko´sci gwiazd; do badania kinematyki gwiazd; oceny zbli˙ze ´n gwiazd do Układu Słonecznego, wykorzystywane s ˛a oszacowania masy i odległo´sci gromad kulistych, ich analiza potwierdza hipotez ˛e o obecno´sci supermasywnych czarnych dziur w centrum Galaktyki.

(2)

Ruchy własne, definicja.

Ruchami własnymigwiazd nazywamy ich widome przemieszczenia na sferze niebieskiej, które zaszły w trakcie roku.

Wielko´s´c tych zmian wyznacza si ˛e porównanuj ˛ac poło˙zenia gwiazd z ró˙znych epok, oczywi´scie po uwzgl ˛ednieniu wpływu powodu precesji, aberracji, . . . . Wyznaczaj ˛ac ruchy własne niemal zawsze zakłada si ˛e, ˙ze gwiazdy w przestrzeni poruszaj ˛a si ˛e prostoliniowo. Oznacza to, ˙ze rzuty trajektorii gwiazd na sferze niebieskiej s ˛a kołami wielkimi.

Odst ˛epstwa od tego zało˙zenia s ˛a rzadkim zjawiskiem. Powodem s ˛a ogromne odległo´sci gwiazd od Układu Słonecznego. Dokładno´s´c pomiarów ruchów własnych jest na tyle niska, ˙ze najcz ˛e´sciej uniemo˙zliwia wykrycie odst ˛epstwa od prostoliniowo´sci trajektorii ruchu.

Ruch własny nie jest rezultatem przemieszczania si ˛e samej gwiazdy w przestrzeni. Odzwierciedla on równie˙z ruch Układu Słonecznego objawiaj ˛acy si ˛e rozbieganiem i skupianiem si ˛e gwiazd w kierunku apeksu i antyapeksu ruchu Sło ´nca. Zmiany poło˙ze ´n gwiazdy okresowej natury, b ˛ed ˛ace efektem np. paralaksy rocznej nie s ˛a wł ˛aczane do ruchu własnego.

Ruch własne, definicja cd1

θ

S θ V V_T

Vr

V

X

S θ A

r

Ruch własny opisujemy wzgl ˛edem układu o pocz ˛atku w centrum Sło ´nca.

Niech gwiazda X ma pr ˛edko´sćV a jej poło˙zenie okre´sla wersor s (kierunek SX na rysunku). Pr ˛edko´sćV mo˙zemy rozło˙zyć na składow ˛a radialn ˛a Vri transwersaln ˛aVT

V = Vrs + VT (1)

Ze znanych zale˙zno´sci wektorowych mamy (patrz Kara´skiewicz 1971) V_r=V · s

V_T=s × (V × s) (2)

θ

S θ V VT

Vr

V

X

S θ A

r

Warto´s´c składowej radialnejVrwyznaczana jest za po´srednictwem zjawiska Dopplera, przesuni ˛ecia linii widmowych gwiazdy.

Składow ˛a transwersaln ˛aV_Tnie zawsze daje si ˛e w pełi wyznaczy´c.

Jej kierunek jest ustalony w oparciu o pomiary przesuni ˛ecia gwiazdy, czyli z obserwacji jej ruchu własnego.

Jednak długo´sć wektoraVTmo˙zna wyznaczyć tylko wówczas gdy znana jest odległo´sć gwiazdy od Sło ńca.

θ

S θ V VT

Vr

V

X

S θ A

r

Na rysunku, X oznacza poło˙zenie gwiazdy, które z upływem czasu powoli ulega zmianie. Skala czasowa tych zmian jest rz ˛edu okresu rotacji Galaktyki (∼ 2 · 10⁸lat). Dlatego w interwałach czasu wyra´znie krótszych, zupełnie uzasadnionym jest zało˙zenie o stało´sci wektora pr ˛edko´sciV gwiazdy wzgl ˛edem Sło ´nca.

Przy takim zało˙zeniu trajektoria gwiazdy jest lini ˛a prost ˛a AX , a para θ, r pełni rol ˛e współrz ˛ednych biegunowych gwiazdy wzgl ˛edem bieguna (Sło ´nca) i linii pocz ˛atkowej SA.

Przyjmijmy, ˙ze odległo´sć r mierzona jest w kilometrach, k ˛at θ w radianach natomiast czas t w latach zwrotnikowych. Pr ˛edko´sć tradycyjnie okre´slana jest w km/s. W takich jednostkach składowe pr ˛edko´sci maj ˛a postać:

V_r=V sin θ =1 n dr

dt (3)

VT=V cos θ =1 nrd θ

dt (4)

Skoro t ma by´c latach zwrotnikowych a pr ˛edko´s´c w km/s, st ˛ad stała n = 24 ∗ 3600 ∗ 365.2224 jest liczb ˛a sekund w roku zwrotnikowym.

Roczny ruch własny µ jest to warto´s´c k ˛atowego przemieszczenia gwiazdy na sferze wzgl ˛edem nieruchomego równika i równonocy, które miało miejsce w interwale jednego roku.

Tradycyjnie µ mierzone jest w sekundach łuku na rok zwrotnikowy i dlatego w tych jednostkach ruch własny okre´slony jest formuł ˛a

µ =d θ

dtcsc 1⁰⁰ (5)

Podaj ˛ac odległo´s´c r do gwiazdy za pomoc ˛a paralaksy π (warto´s´c w⁰⁰):

r =1 π[pc],

przechodz ˛ac do jednostek astronomicznych, a nast ˛epnie do kilometrów:

r =1

π· 206265 [AU] = 1

πsin 1⁰⁰· 1.496108 · 10⁸[km]

r = aπ⁻¹csc 1⁰⁰ (6)

gdzie a jest jednostk ˛a astronomiczn ˛a w km (a = 1.496108 · 10⁸km).

Mamy wi ˛ec now ˛a posta´c równania (4):

VT=a n µ

π (7)

a po podstawieniu warto´sci liczbowych:

VT=4.74µ

π [km/sek ] (8)

Ruch własny w rektascensji i deklinacji

φ

µ δ

α δ

δ

φ

’

dt d

d cos 90−

X X’

U P

V

X

X’

U

Roczny ruch własny µ rozkładany jest na składowe µαoraz µδw rektascensji i deklinacji, odpowiednio. Składowe reprezentuj ˛a roczne tempo zmiany rektascensji i deklinacji.

Na rysunku mamy dwa poło˙zenia X i X⁰gwiazdy odpowiadaj ˛ace momentom czasu ró˙zni ˛acym si ˛e o dt. Czyli XX⁰= µdt. Poniewa˙z P oznacza północny biegun ´swiata, st ˛ad k ˛at PXX⁰= φjest k ˛atem pozycyjnym ruchu własnego.

Jego dziedzin ˛a jest przedział [0, 360^◦], k ˛at narasta w kierunku zegarowym.

Ruch własny w rektascensji i deklinacji cd1

φ

µ δ

α δ

δ

φ

’

dt d

d cos 90−

X X’

U P

V

X

X’

U

Małe koło o biegunie w P, przechodz ˛ace przez X przecina koło wielkie PX⁰w punkcie U. (α, δ) s ˛a równikowymi współrz ˛ednymi gwiazdy X , natomiast (α + d α, δ + d δ) s ˛a współrz ˛ednymi gwiazdy X⁰. Łatwo przekona´c si ˛e, ˙ze

UX = d α cos δ UX⁰=d δ

Traktuj ˛ac mały trójk ˛at UXX⁰jako płaski, w pierwszym przybli˙zeniu b ˛edzie d α cos δ = µdt sin φ d δ = µdt cos φ (9) Składowe ruchu własnego µ s ˛a pochodnymi d α/dt oraz d δ/dt a zatem mo˙zemy je otrzyma´c dziel ˛ac obie strony równania (9) przez dt.

(3)

φ

µ δ

α δ

δ

φ

’

dt d

d cos 90−

X X’

U P

V

X

X’

U

W praktyce składow ˛a µαpodajemy w sekundach czasu na rok, składow ˛a µδ

w sekundach łuku na rok

µα=₁₅¹µsin φ sec δ

µδ= µcos φ (10)

Na razie zało˙zenie o stało´sci wektoraV nie było nam potrzebne. Jedn ˛a z konsekwencji prostoliniowego ruchu gwiazdy jest to, ˙ze projekcja centralna trajektorii gwiazdy na sfer ˛e jest fragmentem koła wielkiego.

Warto te˙z zapami ˛eta´c, ˙ze stało´s´c w czasie wektora pr ˛edko´sciV gwiazdynie poci ˛aga stało´sci składowych µα, µδ.

φ

µ δ

α δ

δ

φ

’

dt d

d cos 90−

X X’

U P

V

X

X’

U

Niech punkt V z rysunku b ˛edzie punktem na sferze wyznaczonym przez kierunek wektora pr ˛edko´sci gwiazdy. Punkt ten le˙zy oczywi´scie na kole wielkim XX⁰.

Oznaczmy k ˛at PX⁰V przez φ⁰, jest to k ˛at pozycyjny ruchu własnego gwiazdy w momencie t + dt, mamy oczywisty zwi ˛azek

φ⁰=PX⁰V = φ + d φ (11)

K ˛at ten zmiania si ˛e w czasie.

Zmiany składowych ruchu własnego µ Podej´scie wektorowe Zmiany precesyjne ruchu własnego

Cz ˛e´s´c II

ZMIANY SKŁADOWYCH RUCHU WŁASNEGO

3 Zmiany składowych ruchu własnego µ Wewn ˛etrzne zmiany składowych µα, µδ

4 Podej´scie wektorowe Notacja wektorowa

5 Zmiany precesyjne ruchu własnego Ruch własny i wpływ precesji

Wewn ˛etrzne zmiany składowych µα, µδ

Zmiany współrz ˛ednych poło˙zenia gwiazdy w interwale t okre´slone jedynie jako (µαt, µδt) jest równowa˙zne rozwini ˛eciu wyra˙ze ´n (α(t), δ(t)) w szeregi Taylora i obci ˛eciu szeregów na wyrazach pierwszego rz ˛edu.

Dla gwiazd o du˙zym ruchu własnym nale˙zy doł ˛aczy´c przynajmniej wyrazy rz ˛edu drugiego. Te za´s okre´slone s ˛a poprzez pochodne z µαi µδ.

α⁰= α +h

µα+¹₂t^{d µ}_dt^αi

· t δ⁰= δ +

h µδ+¹₂t^{d µ}^δ

dt

i

· t (12)

Wyprowadzimy wyra˙zenia na te pochodne przyjmuj ˛ac, ˙ze równik i punkt równonocy s ˛a nieruchome (co oznacza, ˙ze chwilwo wył ˛aczamy z rozwa˙za ´n zmiany precesyjne), czyli rozpatrujemy zmiany w µαi µδ, które s ˛a wył ˛acznie efektem ruchu gwiazdy na sferze niebieskiej.

O takich zmianach mówimy, ˙ze s ˛a towewn ˛etrzne zmianyskładowych (µαt, µδt) ruchu własnego.

Pochodne składowych µα, µδ

Obliczaj ˛ac pochodne równa ´n (10) otrzymamy:

d µα dt = ¹

15 d µ

dtsin φ sec δ + ¹

15µcos φ sec δ^{d φ}

dt+¹

15µsin φ sec δ tan δ^{d δ}

d µδ dt

dt =^{d µ}_dtcos φ − µ sin φ^{d φ}_dt (13)

Pochodne z φ i δ s ˛a wyra˙zone w mierze kołowej, o pozostałych wielko´sciach zakłada si ˛e, ˙ze s ˛a w jednostkach praktycznych. Pami ˛etaj ˛ac o definicji

d δ

dt= µδsin 1⁰⁰ (14)

a tak˙ze dokonuj ˛ac w równaniu (13) stosownych podstawie ´n lewych stron równa ´n (10) dostaniemy:

d µα

dt =₁₅¹^{d µ}_dtsin φ sec δ +₁₅¹µδsec δ^{d φ}_dt + µαµδtan δ sin 1⁰⁰

d µδ

dt =^{d µ}_dtcos φ − 15µαcos δ^{d φ}_dt (15) By wykorzysta´c te wzory trzeba dysponowa´c pochodn ˛a k ˛ata pozycyjnego φ oraz pochodn ˛a k ˛atowego ruchu własnego µ.

Pochodna k ˛ata pozycujnego φ

φ

µ δ

α δ

δ

φ

’

dt d

d cos 90−

X X’

U P

V

X

X’

U

Je´sli (α⁰, δ⁰) s ˛a współrz ˛ednymi punktu X⁰, to w trójk ˛acie PXX⁰mamy:

PX = 90ô− δ, PX⁰=90ô− δ⁰, PXX⁰= φ, PX⁰X = 180ô− φ⁰ A wówczas z twierdzenia sinusów:

cos δ sin φ = cos δ⁰sin φ⁰

co oznacza, ˙ze podczas przemieszczania si ˛e gwiazdy po kole wielkim XX⁰V , wielko´s´c cos δ sin φ jest zachowana, a wi ˛ec:

d

dt(cos δ sin φ) = 0 (16)

Pochodna k ˛ata pozycujnego φ

Obliczaj ˛ac pochodn ˛a (16) dostaniemy d φ

dt =tan φ tan δd δ dt. A za pomoc ˛a równa ´n (10)

d φ

dt=15µαsin δ µcos φ

d δ dt.

Ponownie wykorzystuj ˛ac (10), bior ˛ac jeszcze (14), ostatecznie mamy d φ

dt =15µαsin δ sin 1⁰⁰ (17)

(4)

Pochodna ruchu własnego µ

Tempo zmian µ nazywane jestprzyspieszeniem perspektywicznym.

Otrzymamy je ró˙zniczkuj ˛ac obie strony równania (4)

−V sin θd θ dt=1

n dr dt

d θ dt+r

n d²θ dt²

Pochodne k ˛ata θ mo˙zna wyeliminowa´c za pomoc ˛a równania (5) i jego pierwszej pochodnej, w rezultacie otrzymamy

−V sin θµ sin 1⁰⁰=1 n dr dtµsin 1⁰⁰+r

n d µ

dtsin 1⁰⁰

Za pomoc ˛a równania (3), po uproszczeniach, b ˛edzie w efekcie otrzymamy d µ

dt= −2nµVr

r

Podstawiaj ˛ac r praw ˛a stron ˛e równania r = aπ⁻¹csc 1⁰⁰(równanie (6)) mamy,

˙ze przyspieszenie perspektywiczne d µ

dt= −2n

aVrµπsin 1⁰⁰ (18)

Pochodne składowych ruchu własnego µ

Po podstawieniu stałych liczbowych ostatecznie b ˛edzie:

d µ

dt= −0.422Vrµπsin 1⁰⁰. (19) Z pochodnymi k ˛ata pozycyjnego i ruchu własnego wracamy do równa ´n (15)

d µα

dt =^−0.422₁₅ Vrµπsin 1⁰⁰sin φ sec δ +₁₅¹µδsec δ · 15µαsin δ sin 1⁰⁰+ +µαµδtan δ sin 1⁰⁰

d µδ

dt = −0.422Vrµπsin 1⁰⁰cos φ − 15µαcos δ · 15µαsin δ sin 1⁰⁰. .

Robi ˛ac u˙zytek z (10), wewn ˛etrzne zmiany ruchu własnego otrzymaj ˛a posta´c

d µα

dt = −0.422Vrµαπsin 1⁰⁰+2µαµδtan δ sin 1⁰⁰

d µδ

dt = −0.422Vrµδπsin 1⁰⁰− 225µ²αsin δ cos δ sin 1⁰⁰,, (20) gdzie: składowa µαwyra˙zona jest w [sek /rok ], składowa µδw [⁰⁰/rok ], paralaksa π w [⁰⁰], a pr ˛edko´s´c radialna Vrw [km/s].

Zmiany poło˙zenia gwiazdy z powodu ruchu własnego

Pochodne (20) s ˛a konieczne jedynie w przypadkach szczególnie du˙zego ruchu własnego. Sytuacje takie maj ˛a miejsce dla gwiazd bliskich i szybkich.

W takich wypadkach wyra˙zenia (20) umo˙zliwiaj ˛a obliczenie przemieszczenia gwiazdy z du˙z ˛a precyzj ˛a.

Niech gwiazda ma współrz ˛edne (α, δ) a składowe jej ruchu własnego (µα, µδ) znane s ˛a w pewnej epoce pocz ˛atkowej. Po upływie t współrz ˛edne gwiazdy wynosz ˛a (α⁰, δ⁰) i zgodnie z naszymi wywodami obliczymy je za pomoc ˛a formuł:

α⁰= α + h

µα+¹₂t^{d µ}^α

dt

i

· t δ⁰= δ +h

µδ+¹₂t^{d µ}_dt^δi

· t. (21)

Równanie (21) jest wystarczaj ˛aco dokładne dla niemal wszystkich gwiazd w interwale czasu rz ˛edu 100 lat lub mniej. Drugie pochodne ruchu własnego potrzebne s ˛a jedynie w przypadkach "patologicznych".

Ruch własny, notacja wektorowa

Przedstawiona analiza wymagała zało˙zenia stało´sci pr ˛edko´sci gwiazdy wzgl ˛edem Sło ´nca. Zało˙zenie to je´sli jest adekwatne do rzeczywisto´sci pozwala na dokładne rozwi ˛azanie problemu ruchu własnego gwiazdy.

Wykorzystamy je jeszcze raz poszukuj ˛ac rozwi ˛azania w formali´zmie wektorowym. Przypu´s´cmy, ˙zes = (x , y , z) jest wektorem jednostkowym kierunku gwiazdy, wówczas ruch własny czyli zmian ˛e tego kierunku, mo˙zemy okre´sli´c za pomoc ˛a wektora:

µ = ˙s =d

dt(cos α cos δ, sin α cos δ, sin δ) . (22) Trzy składowe wektora µ daj ˛a si ˛e łatwo wyrazi´c za pomoc ˛a µαi µδ, w sekundach łuku wynosz ˛a one:

µx= −15 sin α cos δµα− cos α sin δµδ

µy=15 cos α cos δµα− sin α sin δµδ

µz=cos δµδ

(23)

Ruch własny, notacja wektorowa

WektorVTwi ˛a˙ze si ˛e z wektorem µ wektorowym odpowiednikiem rów. (7) VT= a

nπµ (24)

St ˛ad pełny wektor pr ˛edko´sci przestrzennej gwiazdy ma posta´c V = Vrs + a

nπµ (25)

(25) wykorzystamy do obliczenia bie˙z ˛acego poło˙zenia gwiazdy. Je´slir = r s b ˛edzie pocz ˛atkowym wektorem poło˙zenia gwiazdy, natomiastr⁰okre´sla poło˙zenie po upływie t lat, to poniewa˙zV jest wektorem stałym mamy, ˙ze:

r⁰=rs + Vnt,

n — współczynnik zamiany jednostek czasu. Korzystaj ˛ac z(6), (25):

r⁰=aπ⁻¹csc 1⁰⁰s + Vrsnt + na nπµt r⁰=aπ⁻¹csc 1⁰⁰

s + Vrπnt

a csc 1⁰⁰s + 1 csc 1⁰⁰µt

. (26)

Ruch własny, notacja wektorowa cdn1

Po podstawieniu:

k =a πcsc 1⁰⁰ s^∗=s

1 +V_r πnt

a csc 1⁰⁰

+ µt sin 1⁰⁰. i po wprowadzeniu warto´sci liczbowych za a i n:

s^∗=s

1 +Vr

πt 4.74sin 1⁰⁰

+ µt sin 1⁰⁰. (27) Ostatecznie równanie (26) w postaci skompresowanej:

r⁰=ks^∗ (28)

s^∗jest wektorem bliskim jednostkowemu, po jego normalizacji do jedno´sci, b ˛edziemy dysponowali jednostkowym wektorem kierunku gwiazdy na now ˛a epok˛e.

Ruch własny i precesja

Jak dot ˛ad w trakcie w ˛edrówki gwiazdy po sferze układ odniesienia był traktowany jako nieruchomy. Czyli α, δ, µα, µδbyły okre´slone wzgl ˛edem tego samego nieruchomego równika i równonocy. Nie brano w rachub ˛e ˙zadnych wpływów precesyjnych.

Wpływ precesji na składowe µα, µδjest analogiczny do wpływu precesji na współrz ˛edne gwiazd α, δ. Pytamy o to w jaki sposób transformowa´c składowe ruchu własnego z jednej epoki do drugiej?

Niech µ0b ˛edzie wektorem ruchu własnego wyznaczonym wzgl ˛edem równika i równonocy z epoki t₀. Wektor µ b ˛edzie tym samym wektorem wzgl ˛edem równika i równonocy z epoki t. W celu przej´scia od epoki t₀do epoki t, analogicznie jak to było dla wersora poło˙zenia gwiazd, mo˙zemy stosowa´c znan ˛a wektorow ˛a transformacj ˛e obrotu

µ =P µ0 (29)

gdzieP jest precesyjn ˛a macierz ˛a obrotu wi ˛a˙z ˛ac ˛a obie epoki.

Ruch własny i precesja cd1

Wektory µ0, µmaj ˛a składowe okre´slone za pomoc ˛a równa ´n (23), natomiast nowe warto´sci składowych µα, µδotrzymamy z równa ´n odwrotnych do (23)

µα=₁₅¹(1 − z²)⁻¹(x µy− y µx)

µδ= (1 − z²)^−1/2µz) (30)

gdzie x , y , z s ˛a składowymi wersora poło˙zenia gwiazdy w epoce t.

Powy˙zsze podej´scie rozwi ˛azuje postawiony problem w pełni.

Ale gdyby´smy skusili si ˛e na rachunki r ˛eczne warto mie´c na podor ˛edziu formuły nie wymagaj ˛ace a˙z tylu oblicze ´n.

(5)

Ruch własny i precesja cd2

Dlatego rzu´cmy okiem na równania (13) podane tu poni˙zej:

d µα

dt =₁₅¹^{d µ}_dtsin φ sec δ +₁₅¹µcos φ sec δ^{d φ}_dt+₁₅¹µsin φ sec δ tan δ^{d δ}_dt

d µδ

dt =^{d µ}_dtcos φ − µ sin φ^{d φ}

dt

(31)

S ˛a to pochodne z równa ´n definiuj ˛acych składowe ruchu własnego.

Pochodne te nic nie ”wiedz ˛a” o przyczynie zmian składowych µα, µδi mo˙zna je wykorzysta´c równie˙z wtedy gdy zmiany spowodowała precesja.

Musimy jedynie podstawi´c wła´sciwe wyra˙zenia na pochodne w prawych stronach równa ´n (31). Np. gdy interesuje nas precesja to pochodna

d µ

dt =0 (32)

gdy˙z precesja nie mo˙ze wpłyn ˛a´c na długo´s´c łuku ruchu własnego µ a jedynie na jego składowe.

Zmiany precesyjne składowych µα, µδ

φ µ ε

α

γ d

ψdt

X P

V

K P’

K

P’

P

X

Deklinacja gwiazdy zmienia si ˛e wskutek precesji, dlatego jej pochodna po czasie nie b ˛edzie równa zeru. I tu, szcz ˛e´sliwie, mo˙zemy si ˛egn ˛a´c do wykładu, w którym była mowa o precesji L-S i odszuka´c w nim tej oto przybli˙zonej formuły

d δ

dt=n cos α sin 1⁰⁰ (33)

gdzie precesyjna stała n = ψ sin ε, natomiast ψ jest stał ˛a precesji rocznej w długo´sci ekliptycznej, obie stałe wyra˙zone s ˛a w sekundach łuku.

Zmiany precesyjne składowych µα, µδcd1

φ µ ε

α

γ d

ψdt

X P

V

K P’

K

P’

P

X

Pozostaje do oszacowania wpływ zmian precesyjnych na k ˛at pozycyjny φ.

Punkty P i P⁰oznaczaj ˛a dwa poło˙zenia bieguna ´swiata w epokach odległych o dt. W momencie wyj´sciowym gwiazda znajdowała si ˛e w miejscu X a jej ruch własny przebiegał wzdłu˙z koła wielkiego XV .

Widzimy, ˙ze przyrost k ˛ata pozycyjnego, spowodowany precesj ˛a za okres dt wynosi d φ = P⁰XP.

φ µ ε

α

γ d

ψdt

X P

V

K P’

K

P’

P

X

Niech α, δ i α⁰, δ⁰b ˛ed ˛a współrz ˛ednymi gwiazdy X okre´slonymi wzgl ˛edem biegunów P i P⁰i odpowiadaj ˛acych im punktów równonocy.

K ˛at P⁰X = 90^o− δ⁰, natomiast długo´s´c łuku PP⁰wynosi PP⁰= ψdt sin ε = ndt

Jest to łuk koła małego, po którym z powodu prececji przemieszcza si ˛e ´sredni biegun ´swiata P wokół bieguna ekliptyki K .

φ µ ε

α

γ d

ψdt

X P

V

K P’

K

P’

P

X

W trójk ˛acie KPP⁰mamy, ˙ze k ˛at KPP⁰=90^o, k ˛at P⁰PX = α bowiem jest to k ˛at równy rektascensji gwiazdy w momencie epoki pocz ˛atkowej.

Ignoruj ˛ac niewielk ˛a ró˙znic ˛e pomi ˛edzy łukiem koła wielkiego i koła małego ł ˛acz ˛acego P i P⁰, ze wzoru sinusów dostaniemy:

sin d φ cos δ⁰=sin (ndt) sin α Gdy dt jest małe (d ˛a˙zy do zera), mo˙zemy napisa´c:

d φ

dt =n sin α sec δ sin 1⁰⁰ (34)

φ µ ε

α

γ d

ψdt

X P

V

K P’

K

P’

P

X

Podstawiaj ˛ac prawe strony w (32), (33) i (34) za pochodne w (13), szybko´sci precesyjnych zmian składowych µα,uδokre´slone b ˛ed ˛a formułami

d µα

dt =nµαcos α tan δ +^µ₁₅^δsin αsec²δ sin 1⁰⁰

d µδ

dt = −15nµαsin α sin 1⁰⁰, (35)

gdzie µαw sekundach czasowych, µδoraz n w sekundach k ˛atowych.

Omówione wpywy dotyczyły jedynie precesji L-S. Precesja planetarna nie wpływa na deklinacja gwiazdy i k ˛at pozycyjny kierunku ruchu własnego.

Zmiany ł ˛aczne w µαi µδ: wewn ˛etrzne i precesyjne

Gdy wymagana jest znajomo´sć składowych ruchu własnego gwiazdy na pewn ˛a epok˛e t koniecznym jest uwzgl ˛ednienie obu zmian: wewn ˛etrznych i precesyjnych. Całkowite zmiany mo˙zemy zatem policzyć sumuj ˛ac prawe strony równa ń (20) i (35).

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze stała precesyjna n wyst ˛epuj ˛aca w równaniach (35) wynosi około 20⁰⁰, jest wi ˛ec znacznie wi ˛eksza od typowego ruchu własnego gwiazd.

Oznacza to, ˙ze je´sli zachodzi konieczno´sć uwzgl ˛ednienia obu wpływów, wpływ precesji b ˛edzie bardziej znacz ˛acy. Dlatego w przypadku długich interwałów czasu po˙z ˛adanym jest ulepszenie dokładno´sci formuł (35), co mo˙zna uzyskać podstawiaj ˛ac w nich warto´sć stałej n na ´srodkowy moment wchodz ˛acego w gr ˛e interwału czasu.

Jednak w takich przypadkach wła´sciwszym jest zastosowanie podej´scia wektorowego.

Wyznaczanie ruchów własnych Metod fotograficzna References

Cz ˛e´s´c III

WYZNACZANIE RUCHÓW WŁASNYCH

(6)

Zasada wyznaczenia µαi µδ

Historycznie ruchy własne wyznaczano najpierw przez porównanie wizualnych poło˙ze ´n gwiazdy z dwóch ró˙znych epok t₁,t₂.

Epoki te powinny by´c mo˙zliwie od siebie odległe, a to oznacza, ˙ze najcz ˛e´sciej ruch własny wyprowadzany był z obserwacji wykonanych na ró˙znych instrumentach, porównywano współrz ˛edne gwiazd wzi ˛ete z ró˙znych katalogów zestawionych w ró˙znych obserwatoriach.

Przed porównaniem, poprzez uwzgl ˛ednienie precesji współrz ˛edne gwiazd sprowadzono do identycznego układu odniesienia. Je´sli było to mo˙zliwe uwzgl ˛edniano te˙z systematyczne ró˙znice mi ˛edzy katalogami.

Po czym, dla ka˙zdej gwiazdy składowe rocznego ruchu własnego obliczano za pomoc ˛a równa ´n:

µα=α₂− α1

t2− t1

µδ=δ₂− δ1

t2− t1

(36) Otrzymane tak ˛a drog ˛a ruchy własne miały charakter przybli˙zony i okre´slone były w systemie katalogu, do którego sprowadzono obie obserwacje.

Dokładne wyznaczenie µαi µδ

W tzw. dokładnych sposobach wyznaczania ruchów własnych gwiazd, wyprowadza si ˛e je za pomoc ˛awielukatalogów o epokach obserwacyjnych oddalonych o mo˙zliwie długi interwał czasu. Takie podej´scie zmniejsza wpływ na rezultaty zarówno niepewno´sci przypadkowych jak i systematycznych.

Niech na epoki obserwacyjne t1,t2, · · · ,tndane b ˛ed ˛a współrz ˛edne gwiazd zawarte w n wej´sciowych katalogach K1,K2, · · · ,Knzestawionych na równonoce T1,T2, · · · ,Tn.

Przed przyst ˛apieniem do wła´sciwego zadania, poszczególne katalogi trzeba sprowadzi´c do wspólnej równonocy odpowiadaj ˛acej momentowi T₀. Uwzgl ˛edniamy precesj ˛e za interwał T_i− T0.

T0mo˙ze by´c epok ˛a jednego z katalogów Ki, albo lepiej któr ˛a´s z epok standardowych np. B1950.0

Ponadto ze wzgl ˛edu na ró˙znice w dokładno´sci, wszystkim katalogom nale˙zy przypisa´c stosowne wagi. Je´sli tego nie uczynimi, nara˙zamy si ˛e na degradacj ˛e precyzji rezultatów powodowan ˛a słabsz ˛a dokładno´sci ˛a cz ˛e´sci katalogów wej´sciowych.

Dokładne wyznaczenie µαi µδcd1

Na epok˛eT0wyznaczymy waro´s´c współrz ˛ednej α0gwiazdy i składowej µα. Dla ka˙zdej gwiazdy do dyspozycji mamy n warto´sci rektascensji α1, · · · , αn, odpowiadaj ˛acych epokom obserwacyjnym t1, · · · ,tn.

Wszystkie α_is ˛a okre´slone w tym samym układzie odniesienia z epoki T₀, bo uwzgl ˛ednili´smy precesj ˛e.

Współrz ˛edne α1, · · · , αnró˙zni ˛a si ˛e od siebie o niewielkie warto´sci, przyczyn ˛a ró˙znic s ˛a ruch własny i niepewno´sci pomiarowe.

Zatem dla ka˙zdej gwiazdy mo˙zemy napisa´c nast ˛epuj ˛ace równanie warunkowe, analogiczne do jednego z równa ´n (36)

αi= α0+ µα(t_i− t0) +d µα

dt (ti− t0)²

2 i = 1, n.

Identyczne równania mo˙zemy zestawi´c ze wzgl ˛edu na deklinacj ˛e.

δi= δ0+ µδ(t_i− t0) +d µδ

dt (ti− t0)²

2 i = 1, n.

Dokładne wyznaczenie µαi µδcd1

αi= α0+ µα(t_i− t0) +d µα

dt (ti− t0)²

2 i = 1, n.

δi= δ0+ µδ(ti− t0) +d µδ

dt (ti− t0)²

2 i = 1, n.

Dla ka˙zdej gwiazdy osobno, rozwi ˛azanie tych równa ´n metod ˛a najmniejszych kwadratów daje wszystkie poszukiwane niewiadome

α₀, δ₀, µα, µδ,d µα/dt, d µδ/dt

czyli — współrz ˛edne gwiazdy, składowe ruchu własnego oraz wewn ˛etrzne zmiany składowych ruchu własnego.

Przedstawiona metoda daje dobre rezultaty dla wszystkich gwiazd oprócz tych, które znajduj ˛a si ˛e w okolicach podbiegunowych. Dla takich gwiazd w równaniach obserwacyjnych musimy wprowadzi´c wyrazy wy˙zszych rz ˛edów.

Współczesne metody wyznaczenia µαi µδ

Obecnie ruchy własne niemal wył ˛acznie wyznacza si ˛e metodami astrometrii fotograficznej lub ró˙znych wariantów astrometrii CDD i astrometrii satelitarnej (Hipparchos, Gaja).

Sposób fotograficzny z natury rzeczy pozwala na bezpo´srednie wyznaczenie jedynie wzgl ˛ednych ruchów gwiazd, tzn. badamy ruchy pewnej wybranej grupy gwiazd wzgl ˛edem innej grupy gwiazd, równie˙z b ˛ed ˛acych w ruchu, tyle

˙ze niewielkim, co pozwala na traktowanie ich jako nieruchomych. Obie grupy gwiazd powinny zajmowa´c niewielki obszar sfery ograniczony do pola widzenia pojedynczej lub kilku cz ˛e´sciowo pokrywaj ˛acych si ˛e klisz.

Przy takim podej´sciu naturalnym jest pytanie o standaryzacj ˛e rezultatów tj. o sprowadzenie obliczonych wzgl ˛ednych ruchów gwiazd do okre´slonego układu odniesienia np. do systemu katalogu fundamentalnego.

Jest to zadanie trudniejsze od samego wyznaczania wzgl ˛ednych ruchów własnych. Mo˙zna je rozpatrywa´c za pomoc ˛a tzw. gwiazd kontrolnych, czyli takich, których ruchy własne s ˛a znane w dwóch systemach, obserwowanym i drugim przyj ˛etym jako standardowy.

Opracowanie dwóch płyt z obrazami gwiazd

S₁ S₂

S

K₁ K

2

R₁

R₃ R₂ K

3 3

S4 R4

K

P1 S₁

S2

S

K1 K₂

R1

R₃ R2 K

3 3

S₄ R4

K

P2

Na płytach P1 i P2 w epokach t1, t2 sfotografowano ten sam fragment sfery.

Na płytach identyfikujemy z katalogiem i mierzymy poło˙zenie wielu gwiazd.

W´sród nich ustalamy te, których ruchy własne chcemy wyznaczy´c — ˙zółte punkty Ss, s = 1, 2, ...M.

Gwiazdy oporowe i kontrolne

S₁ S2

S

K₁ K₂

R₁

R₃ R2 K

3 3

S₄ R4

K

P1 S₁

S2

S

K1 K₂

R₁

R₃ R2 K

3 3

S₄ R4

K

P2

Dalej wbieramy N gwiazd odniesienia (oporowych), kolor czerwony, Sr, r = 1, 2, ...N oraz K gwiazd kontrolnych, kolor zielony, Sk, k = 1, 2, ...K . Badane gwiazdy typu Ssb ˛ed ˛a gwiazdami ruchomymi, natomiast gwiazdy odniesienia b ˛edziemy traktowali jako nieruchome.

Gwiazdy kontrolne S_ks ˛a to obiekty, o których ruchach własnych posiadamy pełn ˛a informacj ˛e, ich ruchy znamy w jakim´s systemie odniesienia.

Współrz ˛edne prostok ˛atne gwiazd

(x , y ) oznaczaj ˛a współrz ˛edne mierzone gwiazd na kliszy P1,

(x⁰,y⁰)oznaczaja współrz ˛edne mierzone gwiazd z kliszy P2.

Umówimy si ˛e jeszcze, ˙ze na obu płytach współrz ˛edne zostały sprowadzone do centroidu systemu gwiazd oporowych, tzn., ˙ze warto´sci współrz ˛ednych gwiazd podane s ˛a wzgl ˛edem punktów o współrz ˛ednych:

xr=_N¹PN

r =1xr, y_r=_N¹PN r =1yr

x⁰r=_N¹PN

r =1xr⁰, y⁰_r=_N¹PN r =1yr⁰

(37)

Natomiast ró˙znic ˛e (t2 − t1) wyrazimy w latach i oznaczymy przez τ .

(7)

Transformacja poło˙ze ´n gwiazd z płyty P2 do łyty P1

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ruchów własnych gwiazd Ssprzy danym wyborze gwiazd Sr.

Rozwi ˛azanie problemu opiera si ˛e o ogólne zasady astrometrycznej redukcji fotografii pola gwiazdowego z t ˛a ró˙znic ˛a, ˙ze zamiast współrz ˛ednych tangencjalnych ξ, η, do których normalnie dopasowujemy współrz ˛edne mierzone, tym razem bierzemy współrz ˛edne mierzone np. z kliszy P1.

Model dopasowania dobierany jest w zale˙zno´sci od konkretnej sytuacji obserwacyjnej. Je´sli płyty P1 i P2 otrzymano na tym samym narz ˛edziu, w tym samym miejscu, w podobnych warunkach, je´sli centra optyczne obu płyt s ˛a sobie bliskie, wówczas w pełni wystarczaj ˛acym okazuje si ˛e by´c model liniowy.

W takim przypadku stałe kliszy wyznaczamy metod ˛a najmniejszych kwadratów z równa ´n obserwacyjnych postaci:

c1+a1x_r⁰+b1y_r⁰=xr

c2+a2xr⁰+b2yr⁰=yr

(38)

Niewiadome współczynniki a1,a2,b1,b2,c1,c2wyznaczamy metod ˛a najmniejszych kwadratów.

Obliczenie przemieszczenia gwiazd na płycie

Za pomoc ˛a wyznaczonych współczynników a1,b1, · · ·mo˙zemy obliczy´c współrz ˛edne gwiazd badanych Ssna epok˛e t2, w systemie współrz ˛ednych kliszy P1, mianowicie:

xs⁽²⁾=c1+a1xs⁰+b1ys⁰

y_s⁽²⁾=c2+a2x_s⁰+b2y_s⁰ (39) Współrz ˛edne zmierzone badanych gwiazd z epoki t1, w systemie kliszy P1, dla symetrii oznaczymy je jako x_s⁽¹⁾,y_s⁽¹⁾, porównujemy ze współrz ˛ednymi obliczonymi z równania (39), czyli znajdujemy przemieszczenie obrazów gwiazd na kliszy P1 z powodu ruchu własnego w interwale τ . St ˛ad, poszukiwany ruch własny gwiazd obliczymy jako:

µsx=x_s⁽²⁾− xs⁽¹⁾

τ Mx µsy=y_s⁽²⁾− ys⁽¹⁾

τ My (40)

gdzie Mx,Mys ˛a skalami odwzorowania na kliszy P1 w kierunkach osi X i Y.

Obliczone z formuł (40) µsx, µsypowinny by´c wyra˙zone w sekundach na rok.

Wyznaczenie µαi µδ

Je˙zeli osie układów współrz ˛ednych mierzonych zorientowano w sposób standardowy, tzn. tak jak zorientowane s ˛a osie układu (ξ, η),¹wówczas przej´scia od pary µx, µydo pary µα, µδmo˙zemy dokona´c za pomoc ˛a wzorów:

µα=₁₅¹sec δh µx+^{x −x}_f^T

0 tan δ µy

i µδ= µy−^{x −x}_f₀^T tan δ µx

(41)

gdzie xTjest współrz ˛edn ˛a mierzon ˛a centrum optycznego. Wyra˙zenie (x − xT)/f0jest odległo´sci ˛a badanej gwizady od centralnego południka płyty, wyra˙zon ˛a w jednostkach ogniskowej f0teleskopu.

Przedstawiona metodyka wyznaczania ruchów własnych nie jest jedyn ˛a jak ˛a mamy do dyspozycji. Np. zamiast równa ´n obserwacyjnych postaci (38) mo˙zna było wzi ˛a´c równania:

c + ax + by = x⁽²⁾− x⁽¹⁾. (42) Po prawej stronie mamy ró˙znic ˛e współrz ˛ednych gwiazd z płyty P2 i P1, natomiast po lewej mamy współrz ˛edne mierzone gwiazd z płyty P2 b ˛ad´z P1.

1O´s ξ wzdłu˙z równole˙znika w kierunku narastania rektascensji, o´s η wzdłu˙z koła deklinacyjnego ku biegunowi północnemu sfery.

Literatura

Kara´skiewicz, E. (1971). Zarys teorii wektorów i tensorów. Ed. by PWN.

2nd ed. PWN Warszawa.

Podobed V. V., Nesterov V.V. (1975). Obschtschaja Astrometrija. Ed. by Nauka. Nauka Moskva.

Rysunek:Ruch własny gwiazd z konstelacji UMa w interwale 10⁵BC – 10⁵AD.

[http:

//www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Movies/proper.html]

Poczatek wykładu