Zadanie 1 (za 7 punktów, ok. 20min):
Belka na podłoŜu Winklera jest obciąŜona w środku pionową siłą skupioną P.
Bezwymiarowa odległość końców A, B belki od jej środka wynosi ξo = xo/LW = π/2.
1) Wyznaczyć siły fikcyjne w metodzie Bleicha (jest symetria!), 2) Obliczyć osiadanie końca belki.
Wykorzystać rozwiązania dla belki nieskończenie długiej (dla ξ≥ 0):
y P
BCL e P BCL e
Q P
e
M PL
e
w
w
w
( ) (cos sin )
( ) ( sin )
( ) cos
( ) (cos sin )
ξ ξ ξ
ϕ ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
= +
= −
= −
= −
−
−
−
−
2
2 2
2
4
2
Rozwiązanie:
Symetria zadania zapewnia, Ŝe siły fikcyjne są parami sobie równe, tj. T3 =T1 oraz T4 =T2, jak na rysunku obok.
[ Na pewno nie wynika stąd, Ŝe wystarczy rozpatrywać połowę belki tylko z dwoma siłami ]
Siły fikcyjne moŜna ustawić w dowolnym miejscu na belce przedłuŜonej do nieskończoności, ale wygodnie zrobić to symetrycznie w odległościach π/4 i π/2 od przekrojów A,B – - oczywiście tylko na fikcyjnym przedłuŜeniu belki.
[ DuŜym błędem jest stawianie ich na odcinku AB, bo spowoduje to np. skok na wykresie siły poprzecznej Q w tych przekrojach, którego fizycznie tam być nie moŜe ]
Warunki brzegowe dla swobodnych końców belki:
• MA = 0 i stąd:
0 ) 1 0 ( 4 e
L 0 T 4 e
L 0 T 4 e
L ) T 1 0 ( 4 e
L ) T 1 0 ( 4 e
PLw /2 2 w /2 1 w /4 1 w 5 /4 2 w 3 /2
= + +
⋅ +
⋅ +
−
⋅ +
−
⋅ −π −π − π −π
π
−
czyli:
π
− −
= − e 1 T2 P .
• A takŜe QA = 0 i stąd:
0 0 2 e
) T 2 ( 2 2 e
T 2 e 2
2 0 T 2 e
0 T 2e
P /2 2 /2 1 /4 1 5 /4 2 3 /2
=
⋅ +
−
⋅ +
⋅
−
⋅
−
⋅
+ −π −π −π − π − π
czyli: T1=0
Osiadanie końca belki wynosi: e (0 1) 0
BCL 2 ) T 1 0 ( BCL e
2 ) T 1 0 ( BCL e
2
y P 3 /2
w 2 2
/ w 2 2
/ w
A = −π + + −π + + −π − = .
[ Ciekawe, Ŝe wychodzi 0 niezaleŜnie od tego, jak duŜa jest siła P … ]
KOLOKWIUM Z FUNDAMENTOWANIA II
Zad. 1 (20 minut, max 7p.)
Zad. 2 (10 minut, max 4p.) DATA KOLOKWIUM:
Pyt. 1 (5 minut, max 3p.)
Pyt. 2 (5 minut, max 3p.) imię i nazwisko:
Pyt. 3 (5 minut, max 3p.) numer albumu:
RAZEM (45 minut, max 20p.) KOŃCOWY WYNIK KOLOKWIUM:
Uwaga: ewentualna odpowiedź wykazująca zupełną nieznajomość zagadnienia moŜe zostać oceniona punktami ujemnymi !
B A
P
C
π2
y(ξ)
ξ 0
π2
B A
P
C
π2 y(ξ)
ξ 0
π2 T1
T2 T1 T2
Zadanie 2 (za 4 punkty, ok. 10 min):
Pod duŜą i bardzo sztywną płytą fundamentową zalegają kolejno dwie cienkie warstwy gruntów, a pod nimi nieodkształcalna skała:
• górna warstwa: piasek gruby, Mo1 = 100 MPa, grubość warstwy H1 = 1,0m,
• dolna warstwa: piasek drobny, Mo2 = 25 MPa, grubość warstwy H2 = 0,5m.
Modelem podłoŜa jest ośrodek Winklera (uwarstwiony).
Obliczyć stałą C [MPa/m] tego podłoŜa z warunku równych osiadań enometrycznych obu warstw i osiadań winklerowskich. (Nie potrzeba stosować Ŝadnych stablicowanych współczynników).
Rozwiązanie:
Górna warstwa osiada
100 q 1 M q H w
1 o 1
1= ⋅ = ⋅ a dolna warstwa osiada
100 q 2 25
5 , q 0 M q H w
2 o
2
2= ⋅ = ⋅ = ⋅ .
Osiadanie łączne obu warstw gruntu w warunkach edometrycznych wynosi
100 q 3 w w
w= 1+ 2 = ⋅ . Osiadanie w modelu Winklera wynosi
C q 1
w= ⋅ . Porównując: C = 100/3 MPa/m.
Pytanie 1 (za 3 punkty, ok. 5min):
Na pewnym terenie geodeta górniczy prognozuje pierwszą kategorię górniczą terenu (KGT I).
To dobrze, czy źle dla zabudowy terenu?
To bardzo dobrze, wpływy górnicze są bardzo małe, nieszkodliwe niemal dla wszystkich budowli, a w szczególności dla budynków (KOB ≥ KGT=1).
Jakie parametry deformacji terenu wpłynęły najprawdopodobniej na taką prognozę (spośród w, T, u, ε, R)?
KGT określa się na podstawie T, ε, R - przy czym wszystkie z nich nie mogą przekraczać pewnych umownych wartości (z tabelki). Np ε =1,5 mm/m jest taką górną granicą.
Przemieszczenia w oraz u nie mają tutaj bezpośredniego znaczenia.
Pytanie 2 (za 3 punkty, ok. 5min):
Rozwiązanie zagadnienia stanu granicznego dla klina gruntu (przypadek 2D, spójność zerowa) wymaga w ogólnym przypadku stosowania równań róŜniczkowych cząstkowych. Prandtl wprowadził jednak dwa załoŜenia
upraszczające i rozwiązał zagadnienie za pomocą równań róŜniczkowych zwyczajnych.
Wymienić te dwa załoŜenia:
1.
Ośrodek jest niewaŜki γ = 0.
2.
NapręŜenia we współrzędnych biegunowych nie zaleŜą od promienia ρ wychodzącego z naroŜa ”O” klina gruntu, czyli zaleŜą wyłącznie od współrzędnej kątowej. Wtedy zerują się wszystkie pochodne ∂/∂ρ, w równaniach róŜniczkowych pozostają więc wyłącznie pochodne względem tego kąta.
Pytanie 3 (za 3 punkty, ok. 5min):
Z jakiego powodu w Polskiej Normie wprowadza się współczynnik η korygujący odpór gruntu wg Ponceleta?
Zazwyczaj współczynniki Kp wg Ponceleta mają za duŜe wartości. Wynika to z obliczeniowego uproszczenia, Ŝe powierzchnia ścięcia jest płaszczyzną (a klin odłamu jest trójkątem), co czasem znacznie odbiega od rzeczywistości – jeśli warunki są znacznie odbiegające od zagadnienia Coulomba.
Czy współczynnik ten dotyczy tylko Kpγ , czy równieŜ Kpq ? Dotyczy obu współczynników. Skoro Kpq = Kpγ /cos(ε-β), to kaŜda korekta Kpγ przenosi się automatycznie na Kpq .
Czy jest to współczynnik zwiększający ? Nie, nie jest zwiększający, 0 ≤ η ≤ 1.
Korekta nie jest wymagana (η=1) w zagadnieniu Coulomba, gdzie oba rozwiązania pokrywają się.
Kolo_08_2
