NIEDETERMINISTYCZNY AUTOMAT SKOŃCZONY

NIEDETERMINISTYCZNY AUTOMAT SKOŃCZONY - NAS

Def. Niedeterministycznym automatem skończonym (NAS) nazywamy układ





M  , , ₀, , gdzie

–  jest skończonym alfabetem ()

– Q jest skończonym zbiorem (stanów) (Q) – Q₀ Q (zbiór stanów początkowych)

–  :Q P

 

  



P  :  – zbiór potęgowy zbioru Q – F Q (zbiór stanów końcowych)

● Funkcja przejścia  :Q P

 

 

 zbiór stanów, do których może przejść automat będący w stanie q po wczytaniu symbolu s.

● Funkcję  rozszerzamy do funkcji ~ : P

 

 

    

X q

s q s

X



 ,

~ , 

 .





~ zbiór stanów, do których może dojść automat z funkcją przejścia  po wczytaniu symbolu s, jeżeli stan bieżący jest jakimś stanem ze zbioru X.

● Następnie funkcję ^~ rozszerzamy do funkcji ˆ: P

 

 

 

     











s x X xs

X

X X

, ˆ ,

, ~ ˆ ˆ ,















ˆ = zbiór stanów, do których może dojść automat z funkcją przejścia  po wczytaniu słowa x, jeżeli zaczyna od jakiegoś stanu ze zbioru X.

Def. Niech M 





 









L  : ˆ ₀,

Def. Konfiguracja automatu NAS.

Konfiguracją automatu nazywamy uporządkowaną parę





Q

q - bieżący stan maszyny,

 

w - łańcuch pozostały do wczytania.

Na konfiguracjach określamy funkcję:



 







 ^nd_M :Q  Q

|

służącą do śledzenia obliczeń automatu następująco:



 



nd M

i, | , , q_i,q_j Q, s, w ^

gdzie q_j 





Konfiguracja początkowa:





Konfiguracja końcowa:





lub





 

Konfiguracja akceptująca:





Def. Obliczenie.

Obliczeniem dla łańcucha w a₁a₂a_n jest ciąg konfiguracji:













,

Oznaczenie:









Jeżeli q₀Q₀ i qF, to obliczenie jest akceptujące, tzn.

automat M akceptuje łańcuch w.

---

Def. Język akceptowany przez automat M:

 



L istnieje q₀ Q₀ i istnieje obliczenie akceptujące rozpoczynające się w konfiguracji



 

Równoważność automatów

Def. Automaty M i N są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy akceptują te same języki, tzn. L

   

Przekształcenie automatu NAS w równoważny DAS.

Konstrukcja potęgowa.

NAS: N 







 



gdzie

F~ 





~: P

 

 

    

X q

a q a

X



 ,

~ , 



W praktyce jako zbiór stanów automatu M wybieramy zbiór

 



~ X P Q

Q   stan X jest osiągalny w M ze stanu Q ₀



Def. Stan q_j Q nazywamy nieosiągalnym w M ze stanu q , _i jeżeli nie istnieje słowo x^*, takie że









NIEDETERMINISTYCZNY AUTOMAT SKOŃCZONY Z PUSTYMI PRZEJŚCIAMI - ^NAS

NAS = NAS z funkcją przejścia

 :Q



 



 

Zatem, niektóre instrukcje dopuszczają zmianę stanu bez wczytania symbolu z łańcucha wejściowego.

Dla X Q określamy zbiór X Q jako zbiór tych

wszystkich stanów, do których można dojść od stanów ze zbioru X pewną (może zerową) liczbą pustych przejść.

Definicja indukcyjna:



 











 



Xn

q n

n X q

X

X X



 ,

1 0

Musi istnieć takie n, że X_n  X_n1. Przyjmujemy X  X_n.

Funkcje ^~, ^ˆ dla NAS_ określamy następująco:

    

X q

a q a

X



 ,

~ , 

 ,

 

     











a x X xa

X

X X

, ˆ ,

, ~ ˆ ˆ ,









 .

Język akceptowany przez NAS - M: _

 









L :ˆ ₀, .

NAS równoważny NAS_

NAS :  M 









gdzie ₁

 

 