52&=1,., 32/6.,(*2 72:$5=<67:$ 0$7(0$7<&=1(*2
6HULD ,,, 0$7(0$7<.$ 67262:$1$ ;;;
-D F H N .R Z D O V N L
:DUV]DZD
2 SHZQHM URG]LQLH GZXZ\PLDURZ\FK UR]NáDGyZ
] Z\NáDGQLF]\PL UR]NáDGDPL EU]HJRZ\PL
QD PDUJLQHVLH SUDF\ - 7\UFK\
3UDFD ZSá\QĊáD GR 5HGDNFML
: QLQLHMV]\P QXPHU]H 0DWHPDW\NL 6WRVRZDQHM - 7\UFKD UR]ZDĪD UyĪQH
PRGHOHF\NOXNRPyUNRZHJR:SUDF\WHMMHVWPRZDPLĊG]\LQQ\PLRURG]LQLH
UR]NáDGyZ0RUDQD]SDUDPHWUDPLT NMHGQR]QDF]QLHZ\]QDF]DMąF\PLUR]NáDG
] WHM URG]LQ\ > VWU @ 5RG]LQD WD PD SHZQH ZáDVQRĞFL LVWRWQH GOD
UR]ZDĪDQHJR SUREOHPX D PLDQRZLFLHMHĪHOL R]QDF]\P\ SU]H] K [\ JĊVWRĞü
UR]NáDGX 0RUDQD SDU\ ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK ; WR
K^[ \ K \[
OP OP
M K^[\ G[ NH N\ Z\NáDGQLF]H UR]NáDG\ EU]HJRZH R
_
NHa;\ - [K [\ G[ #\ L H OLQLRZD UHJUHVMD ; Z]JOĊGHP <
R ;W
- K [\ G[G\ ²H 9 H Z\NáDGQLF]\UR]NáDG]PLHQQHM ?; ²<_ 1DVXZDVLĊQDWXUDOQHS\WDQLHF]\LVWQLHMąUR]NáDG\VSR]DWHMURG]LQ\NWyUH
PDMą SRZ\ĪV]H ZáDVQRĞFL 2ND]XMH VLĊ ĪH PRĪQD Z VSRVyE LVWRWQ\ ]PRG\IL
NRZDü JĊVWRĞü K^[\ WDN ĪHE\ ZDUXQNL E\á\ VSHáQLRQH
)XQNFMD K [ \ MHVWFLąJáD > VWU @ > VWU @ D]DWHPLVWQLHMHNZDGUDW
& >D U@[ >F GU@ DE F G H O RR E²D G²F U ! WDNL ĪH LQIK [ \ FW !
F
3UREOHP 05
>@
64 J. Kowalski
Możemy założyć, że C leży pod półprostą {y = x}. Niech <p: [a, i
i/j: [c , d]-+R będą takimi funkcjami, że |<p(x)| ^ >/a dla każdego x e[a, h],
|^(x)| ^ ^/a dla każdego xe[c,d]:
b b d d
j (p{x)dx = 0, J xę(x)dx = 0, } i{/{x)dx = 0, f xil/(x)dx = 0.
Rozpatrzmy funkcję g: [0, + co)x[0, + oo)-+R określoną w następujący sposób:
r g(x, y) = i
(p(x)il/(y) -ę(x-r)il/{y—r)
<pG # (x) -ę(y-r)il/(x-r)
0
dladla dladla dla
{x, y)e[a, b)x [c, d), (x, y) e (b, h + r] x (d, d + r], (x, y)e[c, d)x [a, 6), (x, y)e(d, d + r] x(h, b + r], pozostałych (x, y).
Wtedy h(x, y) — g(x, y) ^ 0. Nietrudno zauważyć, że g(x, y) = giy, x), + OOJ g(x, y)dx = 0,
+ OO o
J xg{x, y)dx = 0, J g(x, y)dxdy = 0.
0 |x-y|<t
Zatem h(x, y) — g{x, y) jest gęstością prawdopodobieństwa spełniającą (1) - (4).
Pozostaje wskazać funkcje ę> i i/r, które nie są tożsamościowo równe 0 i spełniają odpowiednie warunki.
Niech {a„}neN, {bn}neN będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że
+ 00 + 0 0
Z kl < >/* i Z Ibn\ < \A;
n= 1 « = 1
(p(x) = Z fl„cos27rn+ 00 n = 1
ijf(x) = Z b„cos2nn+ OO n =1
x - a
--- dla x e [ a , b]
r
x — c --- dla
r
i—iOl___lWX
są, co nietrudno sprawdzić, takimi funkcjami. Funkcja b(x, y) — g(x, y) jest różna od h(x, y) i obydwie gęstości spełniają warunek (3) z tymi samymi g, X, a zatem h(x, y) — g(x, y) nie jest gęstością rozkładu Morana.
Prace cytowane
[1] N. L. Johnson, S. K otz, Distributions in statistics: Continuous multivariate distributions, J. Wiley, Inc., New York 1972.
[2] K. V. M ardia, Families of bivariate distributions, Griffin, London 1970.
