O pewnych iizwarcenićich przestrzeni topologicznych*

(1)

R O C Z N I K I P O L S K I E G O T O W A R Z Y S T W A M A T E M A T Y C Z N E G O S e ria I : P R A C E M A T E M A T Y C Z N E V I I I (1963)

R. Engelking (Warszawa)

W stęp. Uzwarceniem przestrzeni topologicznej X.C) nazywamy każdą przestrzeń zwartą X , taką że X jest homeomorficzne z jej gęstym pod

zbiorem. Zagadnienie nzwarcania przestrzeni topologicznych powstało w sposób naturalny po ogłoszeniu przez P. S. Aleksandrowa i P. 8. Ury- sohna ich znakomitej pracy Memoire sur les espaces topologiques compacts, w której wprowadzone zostało pojęcie przestrzeni zwartej (dwuzwartej w dawnej terminologii). W pracy tej udowodniono bowiem, że dla prze

strzeni regularnych zwartość jest równoważna absolutnej zamkniętości (zamkniętości w każdej nadprzestrzeni): każde uzwarcenie okazało się więc być niejako dodaniem do przestrzeni brakujących punktów. Ti- ohonow udowodnił wkrótce potem, że każdą przestrzeń całkowicie regu

larną można uzwarcić; twierdzenie to stanowiło uogólnienie znanych twierdzeń o uzwarceniu przestrzeni metrycznych i uzwarceniu przestrzeni lokalnie zwartych przez dodanie jednego punktu. Odkrycie Tichonowa stworzyło podstawy do rozważania klasy wszystkich uzwarceń danej przestrzeni całkowicie regularnej X .

Cech i, niezależnie od niego, Stone wykazali, że w klasie wszystkich uzwarceń można wprowadzić w sposób naturalny częściowy porządek, ze względu na który istnieje uzwarcenie maksymalne. Gdy mianowicie vX i juX są dwoma uzwarceniami przestrzeni X , / i g zaś zanurzeniami homeomorficznymi I w t f i p X odpowiednio, to mówimy, że vX > pX, gdy istnieje takie przekształcenie F : v X -> [лХ, że F f = g, tj. gdy można przekształcić vX na p X tak, aby X było zbiorem punktów stałych. Ma

ksymalne uzwarcenie odkryte przez Cecha i Stone’a przyjęto oznaczać symbolem @X. Jak łatwo wykazać, uzwarcenie minimalne istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest lokalnie zwarta. Jest nim uzwarcenie jednopunktowe skonstruowane przez Aleksandrowa.

* Praca niniejsza stanowi fragment pracy doktorskiej autora, której obrona odbyła się 24 V I. 1961 w Instytucie Matematycznym P A N w Warszawie. Po złoże

niu tej pracy do druku ukazała się praca H. de V r ie s a, Compact spaces and compactification, Amsterdam 1962, w której podano również dowody twierdzeń 1 i 2.

(*) Definicje wszystkich użytych w tej pracy pojęć topologii ogólnej czytelnik znajdzie w [3].

P r a c e M a t e m a t y c z n e V I I I . 1 3

(2)

3 4 В. E n g e l k i n g

Następująca prosta konstrukcja pokazuje, że uzwarcenia przestrzeni całkowicie regularnej X tworzą półstrukturę zupełną (tj. że dla każdej rodziny uzwarceń wśród uzwarceń, większych od wszystkich jej elemen

tów, istnieje minimalne). Niech {vaX } aeA będzie rodziną uzwarceń prze

strzeni X i niech f a będzie homeomorfizmem X na podzbiór gęsty vaX . Bozpatrzmy iloczyn kartezjański P — J ] vaX i połóżmy F (x ) = {/„(#)}

а е Л

dla każdego xeX. Łatwo sprawdzić, że F jest zanurzeniem homeomorficz- n y m X w P . Niech vAX — F ( X ) . Oczywiście vAX jest uzwarceniem X . P o  nieważ (p a |vaX ) F — f a, gdzie p a oznacza rzutowanie P na vaX , więc vAX jest większe od wszystkich uzwarceń rodziny {vaX } aeA. Jeśli dla pewnego uzwarcenia /iX istnieją przekształcenia ga: y X -> vaX , takie że gag — f a, gdzie g jest zanurzeniem X w /лХ, to przyjmując G(x) — {gfa(a?)},^mamy G : (лХ vAX i Gg = F . A więc vAX jest uzwarceniem przestrzeni X mini

malnym w rodzinie wszystkich uzwarceń większych od wszystkich vaX , gdzie aeA.

Ponieważ moc uzwarceń ustalonej przestrzeni X jest ograniczona, można rozpatrywać zbiór wszystkich uzwarceń i otrzymać powyższą metodą uzwarcenie /IX.

W art podkreślenia jest fakt, że uzwarceniami operuje się o wiele łatwiej niż samymi wyjściowymi przestrzeniami. Dla uzwarceń można stosunkowo łatwo udowodnić pewne twierdzenia, które potem okazują się prawdziwe dla przestrzeni wyjściowych (np. twierdzenie o zanu

rzaniu przestrzeni metrycznej %-wymiarowej w kostce I 2n+l i wiele in

nych twierdzeń teorii wymiaru). Upraszczają się także pewne konstruk

cje — np. teorię homologii opartą o pokrycia skończone przestrzeni nor

malnej oraz teorię homologii o nośnikach zwartych przestrzeni lokalnie zwartych można traktować (por. książkę Eilenberga i Steenroda, Found

ations of Algebraic Topology) jako zwykłą teorię homologii Cecha dla pewnych uzwarceń danych przestrzeni.

Po odkryciu przestrzeni /IX badania uzwarąeń poszły w dwu kierun

kach. Z jednej strony starano się dokładniej zbadać strukturę zbioru wszystkich uzwarceń danej przestrzeni — kierunek ten reperezentują głównie prace P. S. Aleksandrowa, Ju. M. Smirnowa i ich uczniów.

Z drugiej strony, ponieważ okazało się, że budowa @X jest bardzo skom

plikowana w porównaniu z budową przestrzeni X {(3N, gdzie N jest zbiorem liczb całkowitych, ma moc 2C!), starano się konstruować uzwar

cenia mało odbiegające (w rozmaitym sensie) od wyjściowej przestrzeni. Do tego kierunku należą prace H. Preudenthala, J. de Groota, E. Sklarenki, piękną zaś antycypację stanowi praca W. Hurewicza o możliwości uzwarce

nia przestrzeni metrycznej ośrodkowej bez podniesienia wymiaru.

Niniejsza praca stanowi przyczynek do badań tego ostatniego ro

dzaju. Bozpatruje się w niej uzwarcenia przestrzeni normalnych, na które

(3)

O uzwarceniach przestrzeni topologicznych 35

daje się przedłużyć funkcje pewnej rodziny f t przekształcające l w i . Dodatkowo żądamy, by uzwarcenia te nie podnosiły wymiaru prze

strzeni, ciężar jej zaś podnosiły o tyle tylko, o ile jest to konieczne.

i. Uzwarcenia przestrzeni normalnych z przedłużaniem funkcji.

Badanie uzwarceń, na które dają się przedłużyć funkcje pewnej rodziny, jest interesujące z tego względu, że uzupełniając w sposób naturalny daną przestrzeń, przedłużamy jednocześnie działanie pewnych operato

rów określonych na przestrzeni wyjściowej (przypadek funkcji przekształ

cających X w X ) lub zachowujemy związki łączące daną przestrzeń z innymi przestrzeniami topologicznymi (przypadek funkcji przekształ

cających X w inne przestrzenie). W obu wypadkach otrzymane uzwar

cenia są pod pewnymi względami podobne do przestrzeni, którą uzwar- camy. Badanie uzwarceń z przedłużeniem operatorów jest trudniejsze;

istnienie ich stanowi przedmiot twierdzenia 1. Gdy funkcje przyjmują wartości w innych przestrzeniach, dowód twierdzenia 1 przenosi się niemal mechanicznie (z pewnymi uproszczeniami); z tego powodu ograniczamy się jedynie do sformułowania odpowiedniego twierdzenia (twierdzenie 2).

Mech dana będzie pewna przestrzeń normalna X i rodzina funkcji {ft}t6e przekształcających X w X ( 2). Załóżmy przy tym, że dimJf < п ( г).

Interesują nas uzwarcenia X przestrzeni X , takie że funkcje f t dają się przedłużyć do funkcji f t: X —> X oraz że dim X < n. Obie te własności posiada uzwarcenie fiX (zob. [3], str. 153) przestrzeni X , ma ono jednak ten minus, że podnosi bardzo ciężar (4) przestrzeni; prowadzi ono w szcze

gólności od przestrzeni metrycznych ośrodkowych do przestrzeni nie da

jących się zmetryzować. Tutaj będziemy starali się określić takie uzwar

cenia, które nie będą za bardzo podnosiły ciężaru.

Bozważmy rodzinę ( E a, %a)aeA przestrzeni jednostajnych (5). Jak wia

domo, w iloczynie kartezjańskim f ] E a można wprowadzić strukturę jednostajną, zgodną z topologią Tichonowa, zwaną iloczynem kartezjań

skim struktur °Ua. Strukturę tę określa się jako minimalną wśród takich struktur jednostajnych przestrzeni [ ] E a1 że naturalne projekcje

są jednostajnie ciągłe. Oznaczmy tę strukturę przez <?/.

(2) Zwykle rozważa się uzwarcenia przestrzeni całkowicie regularnych. Ogra

niczenie się tutaj do przestrzeni normalnych wynika z tego, że tylko dla tej klasy przestrzeni można rozwijać teorię wymiaru dim.

(3) Przez d im X rozumiemy wymiar w sensie Lehesgue’ a, tj. dim-ST < n ozna

cza, że w każde pokrycie otwarte i skończone (jedynie takie pokrycia będą rozpatry

wane w tej pracy) można wpisać pokrycie rzędu < w + l .

(4) Ciężarem przestrzeni nazywamy moc najmniej licznej bazy.

(5) Symbolikę i terminologię przestrzeni jednostajnych przyjmujem y za [1].

(4)

и Ё. E n g e l k i n g

Le m a t 1. Bazę struktury i/ tworzą zbiory postaci [ ] V U, ydzie V n e /JUa

a e A

i V a = E ax E a dla prawie wszystkich aeA.

D o w ó d . Zbiory powyższej postaci, gdzie tylko dla jednego aeA, powiedzmy dla a0, zachodzi V„o Ф E aox E a(j, muszą należeć do struktury °łł, są bowiem przeciwmbrazami przy przekształceniu 2p a()(6) elementów struk

tury %a . Ponieważ iloczyn skończonej ilości elementów struktury jedno

stajnej jest elementem struktury, więc wszystkie wyżej opisane zbiory należą do struktury °li. Proste sprawdzenie przekonuje nas, że zbiory tej postaci W orzą bazę struktury jednostajnej zgodnej z topologią Ticho- nowa, co kończy dowód lematu.

Oczywistą jest rzeczą, że bazę struktury otrzymamy również, gdy zbiory V a przebiegać będą tylko pewne bazy struktur jednostajnych %a.

Otoczenie V przekątnej A iloczynu X x X nazywać będziemy oto

czeniem o konstrukcji skończonej, jeśli istnieje takie skończone pokrycie {Gx, ( i 2, ..., Ok} przestrzeni Jf, że

(¹) V = {J(ri-Gi.

i =1

O pokryciu tym będziemy mówili, że wyznacza V. Łatwo spraw

dzimy, że iloczyn dwu otoczeń o konstrukcji skończonej, jrrzeciwobraz oto

czenia o konstrukcji skończonej i przecięcie otoczenia o konstrukcji skończo

nej z podzbiorem iloczynu X х X postaci i x i są otoczeniami o konstrukcji skończonej. Otoczenia o konstrukcji skończonej są oczywiście symetryczne.

Zbiór Z uporządkowany częściowo przez relację i skierowany będziemy nazywać częściowo dobrze uporządkowanym, jeśli dla każdego ele

mentu zeZ istnieje tylko skończona ilość elementów mniejszych od z.

Niech 1 będzie odcinkiem domkniętym [0 ,1 ]. Obierzmy w 1 ustaloną przeliczalną bazę {W } jego jedynej struktury jednostajnej, złożoną ze zbiorów o konstrukcji skończonej i taką, że(7)

(2) 2Vi+1 c V\ dla i = 1,2,...

Oznaczmy tę bazę przez Ф'т. Niech dana będzie kostka Tichonowa n o , аеЛ oznaczmy przez "T bazę struktury jednostajnej — iloczynu struktur generowanych przez E j na odcinkach otrzymaną zgodnie z lematem 1 za pomocą baz j.

Wprowadźmy w porządek częściowy, przyjmując (3) ( U x b u2)^ ( U 2D Ux) dla U x, v2et\

(6) Jeśli / jest przekształceniem X w У, to przez 2/ oznaczamy przekształcenie Х х X w Гх Y określone wzorem 2f ( x x, x2) — ( f ( x x) , f ( x 2)).

(7) Dla V c X x X przez 2V rozumiemy zbiór { { x , y ) e X x X : dla pewnego zeX mamy (x,z)e V oraz {z,y) e V].

(5)

O uzwarceniach 'przestrzeni topologicznych 37

Nietrudno sprawdzić, że baza U jest częściowo dobrze uporządkowana przez relację U określoną wzorem (3).

Uogólnioną strukturą jednostajną będziemy nazywać trójkę (N , X , cp) złożoną ze zbioru częściowo uporządkowanego A, przestrzeni X i funkcji p, przekształcającej monofonicznie A na rodzinę otoczeń przekątnej A ilo

czynu X x X , uporządkowaną częściowo przez relację U określoną wzo

rem (3), taką że {99(A )} stanowi strukturę jednostajną. Pojęcie uogól

nionej bazy struktury jednostajnej określone jest analogicznie. Uogól

nioną bazę nazywać będziemy dobrą, gdy zbiór N będzie częściowo dobrze uporządkowany (8).

Le m a t 2. Każda przestrzeń całkowicie regularna X , ciężaru a ma dobrą uogólnioną bazę struktury jednostajnej (A , X , p ) zgodnej z topologią X , taką że A = a i 99(a) jest dla aeA otoczeniem przekątnej mającym konstruk

cję skończoną.

D o w ó d . Jak wiadomo, każda przestrzeń całkowicie regularna cię

żaru a daje się zanurzyć w sposób homeomorficzny przy pomocy funkcji h w iloczynie a odcinków [ ] Is 1 gdzie S = er.

SeS

N ie c h U" oznacza bazę struktury jednostajnej w ^[j l s skonstruowaną

s eS

jak wyżej i dobrze częściowo uporządkowaną przez relację (3). Przyjm ie

my dla Ve/ '

(4) <p(V) = % - l ( V) .

Trójka (K , X , c p ) stanowi oczywiście uogólnioną bazę struktury jedno

stajnej. Jest ona zgodna z topologią wT X na mocy [1], str. 140, jest zło

żona z otoczeń przekątnej o konstrukcji skończonej i zachodzi oczywiście К = a. Lemat 2 został więc udowodniony.

Udowodnimy obecnie następujące

Tw i e r d z e n i e 1. Niech dana będzie przestrzeń normalna X ciężaru a i taka, że d im X U n. Dla każdej rodziny f unkcji ciągłych {ft}te& przekształ

cających X w X istnieje uzwarcenie X przestrzeni X, takie że

(a) istnieją funkcje f t: X —>X , takie że f ( | X — f t dla każdego tef), (b) ciężar X < m a x (c r ,r ), gdzie % = O,

(c) d im X

D ow ó d . Niech { A ' , X , p ' ) będzie uogólnioną dobrą bazą struktury jednostajnej w X zgodnej z topologią w X , złożoną ze zbiorów o konstruk

cji skończonej, taką że A ' = a. Baza taka istnieje na mocy lematu 2.

(8) Pojęcie uogólnionej ^ dobrej bazy pochodzi w zasadzie od E. Sklarenki [5].

(6)

38 R. E n g e l k i n g

Określimy nową bazę uogólnioną ( A , X , < p ) tej samej struktury jedno

stajnej w X przyjmując

A = A ' x N } 99(01', n) = 99(01'),

(6) [(a ', & ') H « " , Te” )] = [(a' b a” ) oraz (¥ > Te” )],

gdzie X oznacza zbiór liczb naturalnych. Z (6) wynika natychmiast, że baza ( A , X , f ) posiada wszystkie wymienione wyżej własności przysłu

gujące bazie ( A 1, X , 99').

Oznaczmy przez rodzinę wszystkich podzbiorów skończonych zbioru indeksów O uporządkowanych częściowo przez inkluzję:

(7) ( T ^ T ^ ^ i T . c T , ) , dla T l t T t * r . Zauważmy, że

(8) ^ jest częściowo dobrze uporządkowane przez relację

Klasą będziemy nazywać przyporządkowanie każdemu T e T pod

zbioru A ( T ) zbioru częściowo uporządkowanego A i każdemu a e A ( T ) skończonej rodziny funkcji F Ta — {дт>а} fXia przekształcających X w od

cinek domknięty [0,1] w ten sposób, że spełnione są następujące warunki:

N ' T , a

(9) 1 oraz { Я и & А

Ś = 1

gdzie Нт а = (sfr;a)_1((0,1]), stanowi pokrycie rzędu < w + 1 przestrzeni X ; wyznaczone przez to pokrycie otoczenie przekątnej oznaczamy przez 99T (a);

(10) dla każdego a e A ( T ) istnieje takie a ' e A ( T ) , że V r ( a') С <Рт(а);

(11) <Рт(а) C 99(a) dla a e ń L ( T ) i ;

(1 2) jeśli «i в А (Т^), i = 0,1, oraz T0 b ec0 ^ aa, to

(13) dla każdego T, każdej funkcji f t, gdzie żeT i każdego aeń.(T) istnieje at eA{ T) , takie że <pT (at) c ^ O M » ) ) ;

(14) jeżeli T0 Ь- Т г , a0 b- ax oraz а*е.4(Тг) dla i = 0,1, to dla dowolnej funkcji 5fJri ai mamy 9?г0(а0) С ( ^ Ц ^ Г Ч ^ ) , gdzie a0 = (aj, l), a F fe jest elementem wyróżnionej bazy struktury jednostajnej odcinka [0,1];

(15) dla każdego i każdego aeA istnieje T ' T oraz а a takie że а ' е А ( Т ' ) .

(7)

Podklasą nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi T e .T zbioru A ( T ) i rodzin funkcji F T a , określonych dla a e A (T ), takich że spełnione są warunki (9)-(14).

Mech dane będą dwie podklasy P = ( A ( T ) , F T>a) oraz P' ⁼⁼

= ( A ' (T ) , F'Tta). Przyjmiemy :

(16) (P > P') h= ( A ( T ) D A '(T ))(F 'T>a = F T>a dla a e A ’ {T)).

Relacja > porządkuje częściowo rodzinę podklas. Eozważmy rodzinę (P J ses podklas Ps = (A S(T ), F sTa) uporządkowaną liniowo. Przyjm ijm y:

A ( T ) = U A S(T ), F T,a = F Tta, gdy aeAs(T ).

S e S

M e trudno sprawdzić, że [A ( T ) , F T^ jest podklasą większą od wszyst

kich podklas Ps. Na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje więc pod- klasa maksymalna. Pokażemy, że jest ona klasą.

Mech [A ( T ) , F T^ będzie podklasą maksymalną; jeśli nie jest ona klasą, to warunek (15) nie jest spełniony. Istnieje więc takie T e -T i takie a e l , że dla żadnego T ' §- T nie istnieje w A ( T ’) element a' a. P rzyj

mijmy, że a = (a ',& ); pokażemy niżej, jak dodając do zbioru A ( T ) elementy postaci (a', TcĄ-m) = am dla m — 0,1 , . . . i określając dla nich rodziny F Tam, można dojść do sprzeczności z założeniem maksymal- ności danej podklasy.

Mech T = Rozwiążmy otoczenie V * przekątnej A w- iloczynie ,1 x1 określone wzorem

(17) V ; = < p ( a 0) r , f i <Рт,{а')-

T>-% T a 0S-a>eA{T>)

Ze względu na to, że zarówno T , jak i A są częściowo dobrze uporządko

wane, Vq zdefiniowane przez (17) jest iloczynem skończonej ilości otoczeń 0 konstrukcji skończonej, jest więc samo otoczeniem o konstrukcji skoń

czonej. Mech {Ог, G2, ..., Gj} będzie pokryciem generującym У o- Na mocy normalności X w pokrycie to można wpisać punktowo gwiaździś

cie (9) pokrycie {_H'1, # 2 , ..., H t} , a w to ostatnie, na mocy założenia d im X <

< n, pokrycie { К г , K 2, ..., K m} rzędu < n + 1 . Niech { F x, F 2, ..., F m}

będzie pokryciem domkniętym przestrzeni X , takim że F i C K i dla 1 = 1, ..., m (zob. [4], 1 .1, str. 124). Niech дгт>ч będzie układem funkcji, takich że

9т,а0(оо) 0, gdy X e X —K i, 1 , gdy x * F i.

(9) To znaczy tak, że dla każdego x e X istnieje takie s, że (J H f c Gs.

xeHj

(8)

40 R. E i i g e l k i i i g

Mech H iT'<4. = X - ( < j iT'tJ -1(0), * = 1 , Nt

oczywiście pokryciem otwartym rzędu </? + ! przestrzeni X. Połóżmy

(18)

Zauważmy, że (19)

л>.«0 .

F⁰ = U H lT>aox H ^

i=i

2F0 с П.

Istotnie, ponieważ pokrycie {й у >а} jest wjńsane w {Ki }, to ostatnie zaś w {Hi} , więc {H lT a} jest wpisane punktowo gwiaździście w pokrycie {OJ generujące V*. M ech (ж, y )e2V0 — istnieje więc takie z i takie i x, i 2, że ж, z e -й^ац, у , « e йг,а0 j dla pewnego $ zatem mamy ж, у e (J - f f C Os, co koń- czy dowód (19). Otoczenia F?* , FTO oraz funkcje <Jr,am i pokrycia {Н ът>ат}

zdefiniujemy przez indukcję dla m = 1 , 2 , . . . Załóżmy, że dla m <. n wszystko jest już określone, F m ma konstrukcję skończoną oraz że 2F W C F * . Niecli

(20)

F » = ?(<*») П УС1 ( У , ) ' ' П ^ v ( « ) ^ П (*9т.,а) ' ( П -

7 = 1,2,. ,.,Z ' Ж '-ŚT T/-S27

S=0,1 — 1 an %~aeA(T') a)h£ -a eA (T ')

Otoczenie F^ przekątnej X ma konstrukcję skończoną; jest wyznaczone przez pewne pokrycie {Ox, 0 2, ••., OJ. Rozumując tak samo jak w przy

padku a0 określamy funkcje дт,апч pokrycie {H lTaJ ^ ^ an przestrzeni X oraz otoczenie przekątnej F n, takie, że

(21) 2vnc v : .

Rozszerzymy obecnie naszą podklasę przyjmując

(22) FTam = , m = 0 , 1 , . . .

Mamy wówczas oczywiście (рт{ат) = V n. Pokażemy, że otrzymamy nadal podklasę. Warunek (9) jest spełniony na mocy konstrukcji, warunek (10) — na mocy (20) i (2 1), pozostałe zaś warunki — na mocy (20).

Sprzeczność z założeniem maksymalności naszej podklasy prowadzi do wniosku, że istnieje klasa. Niech ( A ( T ) , F T>a) będzie klasą. R oz

ważmy rodzinę 2 otoczeń przekątnej A w X х X określoną wzorem (23) 2 = {(pT { a) : a€A{ T) , T e X } .

Pokażemy, że 2 stanowi bazę struktury jednostajnej w X. Ponieważ ele

menty 2 są symetryczne i dla każdego V * 2 istnieje W e 2 takie, że 2W C F, pozostaje do sprawdzenia, że iloczyn wszystkich elem entów^ jest równy A oraz iloczyn dwu dowolnych elementów z 2 zawiera element należący do 2 ,

(9)

O uzwareeniaeh przestrzeni topologicznych 41

Jeśli (x , y ) i ń , to istnieje takie a, że ( x , y) 4<p(a) ; na mocy więc (15) istnieją takie a' oraz T', że а S- a i a 'e i ( T ') . Mamy więe na mocy (11) i monotoniczności 99:

<Рт/ (°0 С ?>(«') C <p(a), skąd oczywiście

{я,У)4<ртЛа' ) €®-

Weźmy teraz 9?.r (a ^ e S i 9?y2(a2) e^- Ponieważ M i ^ są zbiorami skiero

wanymi, więc istnieją « i T, takie że a b a l7 a2, T Т г , T 2. Na mocy (15) istnieją a ' a oraz T ' ^ T , takie że a 'e i ( T ') , na mocy więc (12) mamy

cpr,(a') Cq>Tl(<L\) ^<PT2( az),

co kończy dowód, że В jest bazą struktury jednostajnej, bo (fT,(a')eB.

Pokażemy obecnie, że struktura °U generowana przez В jest struk

turą zgodną z topologią w X. Zauważmy, że zbiory postaci(10) V (x ), V e B są otoczeniami punktu x w danej w X topologii. Jeśli weźmiemy natomiast jakieś otoczenie G punktu x e X , to ponieważ zbiory 99(a) stanowiły bazę struktury jednostajnej, więc istnieje takie a, że

(24) [<p(a)](x)C G.

Na mocy (15) istnieją a0 i 7’0, takie że a0 e A ( 7’0) i a 0 ^ a. Będziemy więc mieli w oparciu o monotoniczność 99, (1 1) i (24)

®e[? r0( “ o)](®) c 0 ( aо )]И c [?'(«)K ®) с<2, co kończy dowód, ponieważ Фт0( ао)е^-

Pokażemy na koniec, że wszystkie funkcje f t, te&) są jednostajnie ciągłe w strukturze jednostajnej <Ш. Weźmy f e& i <pT (a)€@. Należy wy

kazać istnienie w В takiego F, że

(25) F C 2/ ń V ( a))-

Na mocy (15) istnieją takie T ' i że a 'e i ( T ') , u £>- a oraz T ' T w {£'}.

Będziemy więc mieli na mocy (13)

(26) <Рт'(«") С ^ ((р т Л а ) )

przy pewnym a" e A (T '). Na mocy (12) będziemy mieli (27) <Рт’( а>) C <M «)-

W zory (26) i (27) dają natychmiast (25), gdzie F — <pT,(a ")e B . 1 Zauważmy, że struktura °?/ jest całkowicie ograniczona. Istotnie, pokrycia odpowiadające elementom bazy В są pokryciami skończonymi o dowolnie małej średnicy. Z twierdzenia 3, [1], str. 160 wynika więc,

(10) Dla V c X x X i x e X przez V {x) rozumiemy zbiór {y eX :(x,y ) eF }.

(10)

42 R. E n g e l k i n g

że stosując operację uzupełnienia przestrzeni jednostajnej (X , otrzy

mamy przestrzeń jednostajną (X , %) zwartą. Ponieważ elementy bazy Sń struktury <% odpowiadają elementom są więc ponumerowane przy po

mocy podzbioru A x gdzie — %, bo ЗГ jest rodziną podzbiorów skoń

czonych 6. Struktura jednostajna ^ m a więc bazę mocy < т а х (<7,т ) =

— ar i X jako przestrzeń zwarta ma ten sam ciężar. Istnienie prze

Pokażemy obecnie, że pokrycia są przedłużalne. Zauważmy, najpierw, że funkcje дгТа są przedłużalne na mocy twierdzenia 1, [1], str. 151. Istotnie, są one jednostajnie ciągłe w strukturze °U\ weźmy bo

wiem dowolne к oraz takie (a0, l ) = a0, że Z ^ к i a0el\ , na mocy (15) możemy założyć, że T0 T, oraz a0 а. Na mocy (14) i (2) będziemy więc mieli

9>T0(a0) C (F ‘) С (V

Niech §т;а będzie przedłużeniem g7T>a па X . Połóżmy

И*Т,а = 1 - [ Й , а] _1(0),

Łatwo sprawdzić, że {Н 7Т а} ^ а jest pokryciem otwartym przestrzeni X , ma rząd <?г + 1 oraz że pokrycia tej postaci mają dowolnie małe śred

nice w strukturze °U. Na mocy zwartości X w każde więc pokrycie skoń

czone można wpisać pokrycie rzędu < w-j- 1 i warunek (b) tezy twierdze

nia 1 jest również spełniony.

Metoda dowodu twierdzenia 1 może być również zastosowana do dowodu następującego, ogólniejszego twierdzenia:

Twierdzenie 2. Jeśli do założeń twierdzenia 1 dodamy jeszcze istnienie funkcji F r: X -> X r określonych w X dla reB, gdzie X r jest przestrzenią zwartą ciężaru a, to będzie istniało uzwarcenie X przestrzeni X , spełniające warunki (a) i (c) oraz warunki:

(b') ciężar X < max(<x, т, q), gdzie о — В .

(d) istnieje przedłużenie F r : X —> X r funkcji F r dla reB.

Zauważmy na końcu, że przyjmując jako rodzinę {ft}u& rodzinę pustą, otrzymujemy udowodnione przez Sklarenkę w [5] następujące uogólnione

Twierdzenie Hurewicza. Każda przestrzeń normalna X ciężaru a i wymiaru n ma uzwarcenie X ciężaru o i wymiaru < n .

(11)

2. Uzwarcenia przestrzeni metrycznych.

Twierdzenie udowodnione w części I stanowi uogólnienie twierdzeń udowodnionych poprzednio w [2]. Metoda dowodu jest całkowicie ana

logiczna: dobiera się w X pewną metrykę całkowicie ograniczoną, ze względu na którą funkcje danej rodziny są jednostajnie ciągłe, modyfi

kuje się je w pewien sposób, by zapewnić sobie spełnienie warunku w y

miarowego i następnie przestrzeń X uzupełnia się do przestrzeni X , która jako całkowicie ograniczona i zupełna jest przestrzenią zwartą.

Na możliwości uogólnienia twierdzeń z pracy [2] zwróciłem uwagę po przeczytaniu pracy Sklarenki [5]; użyta tu metoda korzysta w sposób istotny z idei tej pracy.

Na zakończenie sformułujmy twierdzenia metryczne udowodnione w [2], które wynikają z twierdzeń 1, 2, oraz z twierdzenia Urysohna ([4], 1 .1, str. 136) głoszącego, że każda przestrzeń normalna z bazą przeliczalną jest metryzowalna.

Tw i e r d z e n i e 3. Dla każdej przestrzeni metrycznej ośrodkowej X , wymiaru < n i przeliczalnej rodziny funkcji {fi} przekształcających X w X istnieje uzwarcenie metryzowalne X przestrzeni X mające wymiar

^ n i takie, że wszystkie funkcje fi są przedlużalne do funkcji fi'.X^> X . Tw i e r d z e n i e 4. Jeśli do założeń twierdzenia 3 dodamy jeszcze istnienie na X funkcji F j : X -> Xj , gdzie X,- jest przestrzenią metryczną zwartą dla j ^— 1, 2 ,..., to istnieje uzwarcenie X spełniające tezę twierdzenia 3, takie że funkcje F j przedłużają się do funkcji F j : X -> Xj.

Prace cytowane

[1] N. B o u r b a k i, Topologie generale, Ch. 2, Paris 1951.

Г21 R. E n g e lk in д, Sur la compactification des espaces metriques, Fund. Math.

48 (1960), str. 321-324.

[3] J. L. K e lle y , General Topology, New York 1955.

[4] K. K u r a t o w s k i, Topologie, I i I I , Warszawa 1958 i 1961.

[5] E. С к л я р е н к о , О вложении нормальных пространств в бикомпакты того же веса и той же розмерности, Докл. А. Н. СССР 123 (1958), str. 36-39.

IN S T Y T U T M A T E M A T Y C Z N Y PO LS K IE J A K A D E M II N A U K

P. Эн г е л ь к и н г (Баршака)

О Н Е К О Т О Р Ы Х Б И К О М П А К Т Н Ы Х Р А С Ш И Р Е Н И Я Х Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Х П Р О С ТРА Н С ТВ

Р Е З Ю М Е

В работе дается обобщение результатов работы [2] на нормальные топо

логические пространства. Методом: равномерных структур, учитивая работу [5]

доказывается следующие две теоремы:

(12)

44 К. E n g e l k i n g

ТЕОРЕМА I. Пусть X нормальное топологическое пространство веса а такое, что dim A < п, a семейство непрерывных отображений X в X. Существует биком

пактное расширение X пространства X такое, что

(в) dim X < п .

ТЕОРЕМА 2. Если при условиях теоремы 1 даны ещё для reR отображения F r : X Х г пространства X в некоторые бикомпактные пространства Х г веса о, то существует бикомпактное расширение X пространства X удовлетворяющие кроме условий (а) и (в) ещё условиям

(б') в е с А .< т а х ((7 ,т , g), где q — В ;

(г) существуют продолжения F r : X - > X r отображений F r для всех reli.

Е. En g e lk in g (Warszawa)

SUE C E E T A IN E S C O M P A C T IF IC A T IO N S DES ESPACES TOPOLOG IQUES R Ё S U M Ё

Dans ce travail on generalise les resultats du travail [2] et on demontre l ’exis- tence de compactifications d’ un certain type pour les espaces topologiques. A l ’aide des structures uniformes, en s’ appuyant sur certaines idees du travail [5] on у de

montre les deux theoremes suivants:

Theoreme 1. Soit X un espace topologique normal tel que poids X — a et dim A < n et soit {ft}te& une familie de transformations continues de X dans X . I I existe une com- pactification X de X telle que

(a) il existe des transformations f t '.X -> X telles que ft | X — ft pour t e(-).

(b) poids X < m ax(u, г), ой т = 0.

(c) dim A < n.

Тнёовёме 2. Si dans les conditions du theoreme 1, les transformations F r : A X r de A dans les espaces compacts de poids a sont donnees pour reR , il existe une compac- tification A qui satisfait aux conditions (a) et (c) et aux conditions:

(b) poids A < max (и, т , q) , ou q = R,

(d) il existe des transformations F r : X —> X r telles que F r | A = F r pour chaque reR.