O funkcjach harmonicznych ...
Rozważmy funkcje postaci h = u + iv, gdzie u, v są rzeczywistymi funkcjami harmonicznymi w kole jednostkowym ∆. Funkcje takie nazywamy zespolonymi funkcjami harmonicznymi w kole ∆. Funkcję h możemy zapisać w postaci h = f + ¯g, gdzie f, g są funkcjami holomorficznymi w kole jednostkowym. Badania geometrycznych własności tych funkcji podjęli w 1984 roku J. Clunie i T. Sheil- Small ([CS-S]). Badania te były i są kontynuowane przez wielu matematyków.
W pewnych pracach autorzy zakładają spełnienie odpowiedniego warunku przez współczynniki rozwinięcia funkcji f , g, np. [AZ], [S], [G].
Niech h będzie funkcją harmoniczną w ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} postaci
(1) h = f + g, f (z) = z +
∞
X
n=2
anzn, g(z) =
∞
X
n=1
bnzn, z ∈ ∆, |b1| < 1.
Definicja 1 Dla ustalonego α ∈ h0, 1i przez HS(α) oznaczamy klasę funkcji h postaci (1) spełniających warunek
(2) |b1| +
∞
X
n=2
αn + (1 − α)n2 (|an| + |bn|) ¬ 1.
Twierdzenie 1 Niech α ∈ h0, 1i. Jeśli h ∈ HS(α), to funkcje
z 7→ r−1h(rz), z 7→ e−ith(eitz), z ∈ ∆, r ∈ (0, 1), t ∈ R, także należą do klasy HS(α).
Twierdzenie 1 pomaga wykazywać szereg innych własności omawianej klasy.
Ponadto zachodzi
Twierdzenie 2 Jeżeli α1, α2∈ h0, 1i, α1¬ α2, to
HS(α1) ⊂ HS(α2), HS0(α1) ⊂ HS0(α2).
Literatura
[AZ] Y. Avci, E. Złotkiewicz, On harmonic univalent mappings, Ann. Univ.
Mariae Curie-Skłodowska, Sec. A, XLIV (1) (1990), 1-7.
[CS-S] J. Clunie, T. Sheil-Small, Harmonic univalent mappings, Ann. Acad. Sci.
Fenn., Ser. A. I. Math., 9 (1984), 3-25.
[G] A. Ganczar, On harmonic univalent functions with small coefficients, Demonstratio Math., XXXIV (3) (2001), 549-558.
[S] H. Silverman, Harmonic univalent mappings with negative coefficients, J. Math. Anal. Appl., 220 (1998), 283-289.
1
