Fizyka I (Me hanika)
Wykad X:
Transforma ja Lorentza
Wzgledno
´
s
´
równo zesno
´
s i i przy zynowo
´
s
´
Dylata ja zasu i skró enie Lorentza
Paradoks blizni´ at
Efekt Dopplera
W roku 1905 Einstein opublikowa pra e O elektrodynami e ia w ru hu.
Zawar w niej dwa postulaty, które wystar zaja do podania prostej, wolnej od
sprze znos i´ elektrodynamiki ia w ru hu, opartej na teorii Maxwella...
prawa zyki saidenty zne w ukada h bed a y h wzgledem siebie
w ru hu jednostajnym prostoliniowym (zasada wzgledno s i)´
predko s´ ´ swiata´ w prózni, , jest jednakowa w kazdym kierunku we wszystki h
iner jalny h ukada h odniesienia, niezaleznie od wzajemnego ru hu obserwatora i
´
zróda (uniwersalnos´ ´ predko s i´ swiata)´
Drugi postulat ozna za odrzu enie uniwersalnos i´ zasu i transforma ji Galileusza.
Transforma ja Galileusza nie jest jedyna transforma ja, która zgodna jest
z zasadawzgledno
´
s i. Z zasada ta zgodna jest te
z transforma ja Lorentza.
Czy istnieje wie ej taki h transforma ji?
Transforma ja Lorentza ma bardzo sz zególne wasno
´
s i,
nie jest jednym z wielu mozliwy h przekszta en.´
Korzystaja tylko z:
deni ji (iner jalnego) ukladu odniesienia (zasady bezwadnos i)´
zasady wzgledno s i´ (równoprawnos i´ ukadów odniesienia)
mo
zna pokaza
´
,
ze zwiazek miedzy wspórzednymi zdarzenia w dwó h ukada h
odniesienia musi mie ´ posta :´
8
>
>
>
<
>
>
>
:
t = t
0
+ E V x 0
p
1 E V 2
x =
V t 0
+ x 0
p
1 E V 2
y = y 0
z = z 0
v
v x
0 1 2
x’
O t
t’
0 1 2 3
O’
3
Gdzie nieznana pozostaje jedynie staa E
Przyje ie E = 0 odpowiada transforma ji Galileusza
8
>
>
>
<
>
>
>
:
t = t 0
x = x 0
+ V t 0
y = y 0
z = z 0
albo:
0
B
B
B
t
x
y
z 1
C
C
C
A
= 0
B
B
B
1 0 0 0
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
C
A
0
B
B
B
t
0
x 0
y 0
z 0
1
C
C
C
A
gdzie = V
Konsekwen jami transforma ji Galileusza jest:
uniwersalnos´ ´ zasu
wzgledno
´
s
´
predko
´
s i v = v 0
+ V
W transforma ji Galileusza zas jest wyrózniony!
Nie ma symetrii miedzy wymiarami przestrzennymi i zasem.
Postulat Einsteina staos i´ predko s i´ swiata´ ozna za przyje ie E = 1
2
.
Wprowadzaja tzw. zynnik Lorentza:
=
1
q
1 E V 2
=
1
r
1
V 2
2
=
1
q
1 2
Otrzymujemy wzory na transforma je Lorentza
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
t = t 0
+ x 0
x = t 0
+ x 0
y = y
0
z = z
0
0
B
B
B
B
B
t
x
y
z 1
C
C
C
C
C
A
= 0
B
B
B
B
B
0 0
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
t 0
x 0
y 0
z 0
1
C
C
C
C
C
A
Pena symetria miedzy t (wspórzedna zasowa) i x (wspórzedn aprzestrzenna)!!!
Dla wygody zesto przyjmuje sie konwen je 1 i pomija we wzora h.
Wyra
zenia na Transforma je Lorentza uzyskali
´
smy przy zao
zeniu,
ze po zatki ukadów mijaja sie w hwili t = t 0
= 0.
) zdarzenie to ma w obu ukada h wspórzedne (0;0;0; 0)
wspólne zdarzenie odniesienia
W ogólnos i´ Transforma je Lorentza opisuje transforma je rózni y wspórzedny h
dwó h wybrany h zdarzen´ A i B: t = t
B
t
A
; x = x
B
x
A :::
Przyjmuja 1:
0
B
B
B
B
B
t
x
y
z 1
C
C
C
C
C
A
= 0
B
B
B
B
B
t 0
+ x 0
t 0
+ x 0
y 0
z 0
1
C
C
C
C
C
A
= 0
B
B
B
B
B
0 0
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
t 0
x 0
y 0
z 0
1
C
C
C
C
C
A
Jesli´ przyjmiemy, ze w obu ukada h A = (0;0; 0; 0) ) transforma ja wspórzedny h.
Wykres Minkowskiego
Gra zna reprezenta ja
transforma ji Lorentza
Osie ukadu O' na hylone sa
do osi O pod katem
tan = = V
Dugos i´ jednostek osi
ukadu O' widziane w
ukadzie O sa wyduzone o
zynnik
Ale takze obserwator O' widzi
wydu
zenie osi ukadu O !
x
x’
ct ct’
Wzgledno
´
s
´
zasu
Obserwator O' odmierza zas przy pomo y
zegara swietlnego:´ takt t 0
= 2l
Dla obserwatora O swiato´ pokonuje duzsz a
droge ) t =
2l
p
2
v 2
Dylata ja zasu: t = t 0
v
c c
O’
L
O
Dla obserwatora O zegar w O' hodzi wolniej !
Wynika to tez wprost ze wzoru na transforma je Lorentza:
t = t 0
+ x 0
W ukadzie O' zegar spo zywa, zyli x 0
0
) w kazdym innym ukadzie zegar bedzie hodzi wolniej! t t 0
Wybór zegara, który obserwujemy amie symetrie miedzy ukadami.
Zegar ukadu O' obserwowany z ukladu O
x
x’
ct ct’
,
ct ct’
x’
x
Problem nie jest symetry zny: zegar spo zywa w O',
obserwator O porównuje jego wskazania z róznymi zegarami swojej siatki
Obserwator O stwierdzi, ze zegar w O' hodzi wolniej: t = t 0
Obserwator O' stwierdzi, ze pomiar by zle´ wykonany, bo zegary w O
nie sa zsyn hronizowane, hodza za wolno.
Pomiar
Eksperyment z zegarami atomowymi w samolo ie (Hafele i Keating, 1972)
Przewidywania [ns℄ Lot na ws hód Lot na za hód
efekt kinematy zny 184 18 96 10
efekt grawita yjny 144 14 179 18
suma 40 23 275 21
Wyniki eksperymentów
zegar 1 57 277
zegar 2 74 284
zegar 3 55 266
zegar 4 51 266
´
Srednia 59 10 273 7
Czas
zy ia zastek
Czas
zy ia mionu (w spo zynku): = 2.2 s
Gdyby nie byo dylata ji zasu: sredni´ zasieg 659 m
Miony produkowane w górny h warstwa h atmosfery maja
jednak bardzo duze energie: hEi 3 GeV ) 30
Bez problemu do ierajado powierzni Ziemi: 20 km
Wzgledno
´
s
´
równo zesno
´
s i
A
x
x’
ct ct’
B
,
ct ct’
x’
x
B
A
Dwa zdarzenia równo zesne w ukadzie O nie sarówno zesne w ukadzie O'
Kolejnos´ ´ w jakiej zaobserwuje je obserwator O' zalezy od poozenia zdarzen´
w stosunku do kierunku ru hu wzglednego.
Interwa
Interwa zasoprzestrzenny miedzy dwoma zdarzeniami deniujemy jako:
s
AB
= ( t) 2
(x) 2
(y) 2
(z) 2
Interwa jest niezmiennikiem transforma ji Lorentza ! odlegos´ ´ w zasoprzestrzeni
Nie zalezy od ukadu odniesienia, w którym go mierzymy.
Przy zynowo
´
s
´
Jesli´ s
AB
> 0 to mozna znalez´ ´ taki ukad odniesienia,
w którym zdarzenia A i B bed a za hodzi ´ w tym samym miejs u.
p
s
AB
okresla´ odstep zasu miedzy zdarzeniami w tym ukadzie
Jesli´ zdarzenia A i B zwiazane sa z ru hem jakiejs´ zastki ) zas wasny
s
AB
> 0 - interwa zasopodobny
) Zdarzenia A i B moga by
´
powiazane przy zynowo.
I h kolejnos´ ´ jest zawsze ta sama.
Przy zynowos´ ´
Jesli´ s
AB
< 0 to mozna znalez´ ´ taki ukad odniesienia,
w którym zdarzenia A i B bed a za hodzi ´ w tej samej hwili.
p
s
AB
okresla´ odlegos´ ´ przestrzenna miedzy zdarzeniami w tym ukadzie
np. mierzona dugos´ ´ iaa ( A i B - pomiary poozenia kon ów)´
s
AB
< 0 - interwa przestrzeniopodobny
) Zdarzenia A i B NIE moga by ´ powiazane przy zynowo !
Kolejnos´ ´ zdarzen´ zalezy od ukadu odniesienia.
Jesli´ s
AB
= 0 to w zadnym ukadzie odniesienia
zdarzenia A i B nie bed aza hodzi
´
w tej samej hwili ani w tym samym miejs u
s
AB
= 0 - interwa zerowy
Zdarzenia A i B moze poa zy ´ przy zynowo jedynie impuls swietlny´
Przy zynowo
´
s
´
O - tu i teraz
s
OA
> 0 i t
A
> 0
bezwzgledna przyszos´ :´ zdarzenia
na które mo
zemy mie
´
s wpyw
s
OA
< 0
zdarzenia bez zwiazku przy zynowego
s
OA
> 0 i t
A
< 0
bezwzgledna przeszo
´
s
´
: zdarzenia
które mogy mies´ wpyw na nas
O' - ukad zwiazany z rakieta
o dugos i´ L
0 .
Pomiar dugos i:´
równo zesny pomiar
poozenia obu kon ów.´
Pomiar AB w ukadzie O:
x
AB
= L
t
AB
0 (!)
W ukadzie O':
L
0
x 0
AB
= x
AB
= L
) L =
1
L
0
x
x’
ct ct’
linie swiata
L o
A L B
skró enie Lorentza t 0
AB
6= 0 !!!
Skró enie Lorentza ma zwiazek ze wzgledno
´
s ia równo zesno
´
s i:
Obserwator O uwaza, ze równo zesnie´
zmierzy poozenie obu kon ów´ rakiety
(zdarzenia A i B):
x
x’
ct ct’
L o
A B
L
Obserwator O' stwierdzi, ze w zesniej´
zmierzono poozenie przodu niz tyu rakiety
) rakieta przesunea sie ) zy pomiar
x’
ct’
x
ct
B
A
Paradoks ty zki w stodole
L
L
o
o
V
O
O’
Obserwator O powie, ze ty zka sie skó ia i zmies ia´ w stodole. (L = L
Æ
< L
Æ )
Biega z O' stwierdzi, ze to stodoa sie skró ia. Ty zka nie moga sie w niej zmies i´ .´
Obaj maja ra je !!!
Rózni i h zdanie na temat kolejnos i´ zdarzen:´ minie ia wrót stodoy przez kon e´ ty zki.
Zdarzenia te sa rozdzielone przestrzennie (s < 0) - kolejno
´
s
´
zale
zy od ukadu...
Paradoks ty zki w stodole
Obserwator O zmierzy równo ze
´
snie
poozenie obu kon ów´ ty zki (zdarzenia A
i B): bya krótsza od stodoy (L < L
Æ )
x
x’
ct ct’
o
L o
A B
L
L
Obserwator O' zarejestrowa równo zesne
zdarzenia C i D i ty zka z obu stron wys-
tawaa ze stodoy (o dugos i´ L < L
Æ ).
x’
ct’
o
x
L
L o
ct
C D
L
Kosmonauta wyrusza w podró
z na Cen, jego brat blizniak´ zostaje na Ziemi.
Obaj bra ia - obserwatorzy mierza zas pomiedzy dwoma zdarzeniami:
wylotem rakiety powrotem na Ziemie
Poruszaja sie wzgledem siebie z predko s i´ a porównywalna z predko s i´ a swiata´
) kazdy z ni h stwierdzi, ze jego brat powinien by ´ modszy (dylata ja zasu)
Ale dla obu z ni h oba zdarzenia zaszy
tez w tym samym miejs u
) powinni by ´ w tym samym wieku !
(z niezmienni zos i´ interwau)
Jak rozstrzygna zy i który z bra i bedzie modszy ?
α Cen
x
ct
1
0 1
1
ct’
Przyjmijmy, ze podróz odbywa sie z
predko s i´ a v = 0:745 ( = 1:5)
Wedug obserwatora na Ziemi podróz
zajmie
2 4:3
0:745
11:5 lat
Dzieki dylata ji zasu, mierzony przez
kosmonaute zas podrózy skró i sie do:
11:5 lat
1:5
7:7 lat
Dla kosmonauty odlegos´ ´ skró i sie do
4:3
1:5
2:9 lat swietlny h´ (skró enie Lorentza)
Podróz bedzie jego zdaniem trwaa
2 2:9
0:745
7:7 lat (to samo powiedzia jego brat)
Ale dla kosmonauty bieg zegarów na Ziemi ulega spowolnieniu (dylata ja zasu)
W zasie jego lotu do ukadu -Centaura na Ziemi mija tylko
0:5 7:7 lat
1:5
2:6 lat,
tyle samo zasu mija na Ziemi w zasie jego podró
zy powrotnej.
a znie powinno mina ´
7:7 lat
1:5
5:1 lat, ale brat na Ziemi stwierdzi, ze mineo 11.5 lat
Gdzie znika ponad 6 lat !?
x
ct
ct’
x’
x’’
ct’’
skok czasu
Kosmonauta obserwuje wskazania
zegara na Ziemi.
Na zegarze tym przybywa skokowo
ponad 6 lat w momen ie zmiany przez
kosmonaute ukadu wspórzedny h.
Zegar na Ziemi nie moze by ´ wprost
porównywany z zegarem kosmonauty
) zawsze porównywany jest z najblizszym
zegarem ukadu wspóporuszaja ego sie.
) Istotna jest syn hroniza ja zegarów
Syn hroniza ja zmienia sie przy
zmianie ukadu odniesienia.
x
ct
ct’
x’
x’’
ct’’
Z
Z’
Z’’
Kosmonauta obserwuje wskazania
zegara na Ziemi porównuja go
zawsze z najbli
zszym zegarem
jego ukadu.
W hwili startu (t = t 0
= 0)
jest to jego wasny zegar Z.
Gdy dotrze do elu sato zegary
Z' (przed) i Z (po zawró eniu).
Takze obserwator na Ziemi moze
obserwowa ´ wskazania zegarów
kosmonauty (Z, Z' i Z) porównuja
je ze swoja siatka zegarów.
Czas na Ziemi wedug kosmonauty
8 lat
12 lat
t
t’
Z’
Z
Z’’
Z
Rakieta
Dolatuja do elu, po t 0
4 lata h (wedug swo-
jego zegara Z), kosmonauta stwierdza,
ze na Ziemi
mineo t <3 lata.
Kosmonauta opiera sie na wskazania h zegara Z'
zsyn hronizowanego z Z.
Po zawró eniu informa ja o wskazania h zegara
na Ziemi po hodzi od zegara Z, tez zsyn hroni-
zowanego z Z ale w nowym ukadzie odniesienia.
Wedug zegara Z w hwili zawra ania zegar na
Ziemi wskazywa t >9 lat.
Wskazania zegarów kosmonauty
rejestrowane przez obserwatora na Ziemi
t
t’
12 lat
8 lat
Z’
Z Z’’
Ziemia
Wedug obserwatora na Ziemi bieg
zegara Z kosmonauty jest spowolniony
na skutek dylata ji zasu.
Kosmonauta zle´ o eni bieg zasu
na Ziemi gdy
z:
najpierw u
zy zegara Z'
który spieszy sie wzgledem Z
potem uzy zegara Z
który spóznia´ sie wzgledem Z
Wedug obserwatora nia Ziemi, zawró enie rakiety Z, oraz zdarzenia porównania
zasu na Ziemi z przelatuja ymi zegarami Z' i Z nie byy równo zesne.
W hwili zawra ania zegar Z' dawno mina Ziemie, a zegar Z jesz ze do niej nie dole ia.
Dokonany przez kosmonaute pomiar
zasu jaki upyna na Ziemi jest
nieprawidowy, ze wzgledu na zmiane
ukadu odniesienia.
Na ziemi mineo 11.5 lat.
Obaj obserwatorzy zgadzajasie,
ze dla
kosmonauty mineo 7.7 lat.
Ziemianin kosmonauta
Inna wersja
x
ct
0 2
2
ct’ ct"
P
Jeden z bra i blizniaków´ le i z predko s i´ av
1
= 0:6
do planety odlegej od Ziemi o 12 Ly (mierzonej z Ziemi)
Podróz zajmie mu 20 lat.
Drugi brat buduje lepsza rakiete i po upywie t = 5 lat
wyrusza za nim z predko s i´ av
2
= 0:8 .
Podró
z zajmie mu 15 lat.
Do planety dolatuja równo ze
´
snie!
Na Ziemi upyneo 20 lat (od pierwszego startu).
Który z ni h bedzie modszy?!
Inna wersja
x
ct
0 2
2
ct’ ct"
P
Wedug kontrolera lotów na Ziemi:
pierwszy brat postarza sie o 20=
1
= 16 lat
drugi brat postarza sie o 5 + 15=
2
= 14 lat
To samo powie pierwszy brat!
(dla niego start brata nastapi po 6 1
4
lat, lot trwa 9 3
4
lat)
Drugi brat powie, ze pierwszy brat:
zestarza sie o 4 lata do zasu jego startu
i o kolejne 8.3 lat od jego startu do hwili spotkania
Ale nie zauwaza, ze zestarza sie tez o 3.7 lat w hwili jego
startu - zmiany ukladu odniesienia...
W przypadku fal dzwi´ ekowy h znamy z odziennego do
´
swiad zenia...
Jesli´ zródo´ dzwi´ eku jest nieru home
wzgledem obserwatora, obserwator syszy
dzwi´ ek o niezmienionej zesto
´
s i.
V
Jesli´ zródo´ dzwi´ eku porusza sie wzgledem
obserwatora, obserwator syszy dzwi´ ek o
wy
zszej lub ni
zszej zesto
´
s i
Ru home zródo´
´
zródo dzwi eku o zesto s i´ f poruszaja e sie z predko s i´ a v
wzgledem osrodka´ w którym predko s´ ´ dzwi´ eku wynosi .
Dla uprosz zenia: krótkie impulsy wysyane o t = 1=f:
f
c v
c/f v/f
f’
c/f’
t 1 t 2
t1 - wysanie pierwszego impulsut
2
- wysanie drugiego impulsu
odlegos´ ´ miedzy impulsami:
f 0
= 0
=
f
+ v
f
ru h impulsu ru h ¹ródªa
Czesto s´ ´ dzwi´ eku i dugos´ ´ fali
mierzona przez obserwatora nieru homego wzgledem o
´
srodka:
f 0
=
f
1 + v
0
=
1 + v
Ru homy obserwator
obserwator porusza sie z predko s i´ a v wzgledem osrodka´ i zróda´ dzwi eku
t 1
f
c
f’
v
c/f’
c/f
v/f’
t 2
aby dogoni
´
obserwatora impuls
musi pokona
´
odlego
´
s
´
f 0
=
f
+ v
f 0
odlegªo±¢ ru h
po z¡tkowa obserwatora
Mierzona zesto
´
s
´
:
f 0
= f
1
v
W klasy znym efek ie Dopplera zmiana zesto
´
s i zale
zy nie tylko od wzglednej
predko
´
s i zróda´ i obserwatora ale i ru hu wzgledem o
´
srodka.
Ale swiato´ nie potrzebuje osrodka!!!´ Powinien sie li zy ´ tylko ru h wzgledny !...
´
Zródo i obserwator deniuja dwa ukady odniesienia poruszaja e sie wzgledem siebie!
Jesli´ poruszaja sie z duzymi predko s iami´
nalezy uwzgledni ´ dylata je zasu: =
1
q
1
2
=
1
q
(1 )(1 + )
Ru home zródo´
Z punktu widzenia obserwatora
poruszaja e sie zródo´ drga z
zesto
´
s ia razy mniejsza:
f 0
=
f=
1 +
= f s
1
1 +
Ru homy obserwator
Z punktu widzenia zróda´ zas w ukladzie
poruszaja ego sie obserwatora biegnie wolniej,
dlatego mierzy zesto
´
s
´
razy wieksz a:
f 0
= f (1 ) = f s
1
1 +
) Pena symetria !
Ru h zróda´
Wysanie impulsu w ukadzie O':
A : (T;0; 0; 0)
W ukadzie O: ( = 1)
A : ( T; T;0;0)
Na pokonianie odlegos i´ T
´
swiato potrzebuje T zasu
) dotar ie impulsu
´
swiata do ob-
serwatora O:
B : ( T + T;0;0; 0)
T 0
= (1 + ) T = s
1 +
1
T
x
x’
ct ct’
B
A
Wysanie impulsu w ukadzie O:
A : (T;0; 0; 0)
Dotar ie impulsu do obserwatora O':
B : (T + T;T;0;0)
Predko s´ ´ O' wzgledem O:
=
T
T + T
) T =
1 T
Wspórzedne dotar ia impulsu w O:
B : ( T
1
;
T
1
;0; 0)
) wedug O' (dylata ja zasu)
B : (
T
(1 )
;0; 0;0)
) T 0
=
T
(1 )
= s
1 +
1 T
Ru h obserwatora
x
x’
ct ct’
B
A
Przypadek ogólny
´
Zródo
´
swiata przelatuje w
odlegos i´ h od obserwatora:
A
h
B
v
x’
z’
O’
y’
x
z O
y
t’ l Θ
t - zas wysania impulsu mierzony w ukadzie O':
A : (t;0; h;0)
Wspórzedne tego zdarzenia w ukadzie O:
A : ( t; t; h;0)
) zas dotar ia impulsu do obserwatora O (B):
t 0
= t + l = t + q
( t) 2
+ h 2
Rózni a dt 0
miedzy zasami dotar ia dwó h
impulsów wysany h w odstepie zasu dt
) wspó zynnik przesunie ia dopplerowskiego:
mierzona
emitowana
0
= dt
0
dt
= +
2
2
t
q
( t) 2
+ h 2
=
1 + x
l
= (1 os)
- kat lotu fotonu rejestrowany w O
Przypadek ogólny
A
h
B
v
x’
z’
O’
y’
x
z O
y
t’ l Θ
Przesunie ie dugo
´
s i fali:
mierzona
emitowana
0
= T
0
T
= (1 os )
1
10
0 50 100 150
β = 0.9
β = 0.8
β = 0.6
β = 0.3
Θ [ o ]
λ l / λ
Zmiana zesto s i´ takze dla = 90 Æ
!!!
Klasy znie nie ma zmiany zesto s i...´
Efekt Dopplera obserwowany w warunka h laboratoryjny h dla dla fal elektromagnety-
zny h jest na ogól bardzo niewielki (z wyjatkiem ak eleratorów zastek i ie
zki h jonów).
Duze efekty wido zne w obserwa ja h astronomi zny h
Linie emisyjne
´
Swiato emitowane przez
wzbudzone atomy.
Linie absorp yjne
Wido zne w swietle´ prze-
hodza ym przez gaz.
W obu przypadka h pozy ja linii jest s i´ sle´ okreslona´ (dla danego atomu)
Mierza linie absorp yjne w widmie galaktyk mo
zemy wnioskowa
´
o i h ru hu
i wyzna zy
´
i h predko
´
s
´
wzgledem nas
Dzieki efektowi Dopplera wiemy, ze Wsze hswiat´ sie rozszerza.
W 1929 roku Edwin Hubble jako pierwszy
powiaza obserwowane predko s i´ mgawi z
i h odlegos i´ aod Ziemi.
Zauwazy on, ze predko s´ ´ 'u ie zki' rosnie´ z
odlegos i´ aod Ziemi:
v = H r
r - odlego
´
s
´
, H - staa Hubbla
Obe ne pomiary: H 72 km=s=Mp
1Mp 3 10 22
m
Przykadowe pytania testowe:
1. Dla obserwatora na Ziemi zegarek kosmonauty, w poruszaja ej sie szybko rakie ie, hodzi
A zaleznie od kierunku ru hu rakiety B za wolno C normalnie D za szybko
2. W rakie ie o dugos i´ 20m wahado ma okres T=2s. Jaki jest okres wahan´ tego wahada dla obser-
watora na Ziemi, je
´
sli dla niego rakieta ma 10m dugo
´
s i.
A 1 s B 8 s C 2 s D 4 s
3. Czastki o srednim´ zasie zy ia = 2s poruszajasie z predko s i´ a v = 0:6 .
´
Sredni zas rozpadu
mierzony w laboratorium wynosi
A 2:5s B 5s C 3s D 1:5s
4. Które ze stwierdzen´ zwiazany h z paradoksem blizni´ at jest faszywe
A dla brata w rakie ie, zegar na Ziemi hodzi wolniej
B dla brata w rakie ie aa podróz trwaa kró ej
C zas biegnie szyb iej w ukadzie zwiazanym z Ziemia
D dla brata na Ziemi, zegar w rakie ie hodzi wolniej
5. Dla odlegy h galaktyk prawo Hubbla wia
ze
A predko s´ ´ oddalania z przesunie iem ku zerwieni B odlegos´ ´ od Ziemi z typem widmowym
C predko s´ ´ oddalania z odlegos i´ aod Ziemi D przesunie ie ku zerwieni z masaobiektu
Projekt wspónansowany ze srodków Unii Europejskiej
w rama h Europejskiego Funduszu Spoe znego
![σ ( e e → qq → hadrons ) [pb] _](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)