Topologia
Lista zajawkowa
1. Co oznacza sªowo topologia?
2. Czy kwadrat {(x, y) : 0 < x < 1 ∧ 0 < y < 1} mo»na przedstawi¢ w postaci sumy (niesko«czenie wielu) kóª?
3. Czy je±li ci¡g (xn) jest zbie»ny, to z ka»dego jego podci¡gu (xkn) mo»na wybra¢
pod-podci¡g (xkln) zbie»ny?
Czy je±li z ka»dego podci¡gu (xkn) ci¡gu (xn) mo»na wybra¢ pod-podci¡g (xkln) zbie»ny, to ci¡g (xn) jest zbie»ny?
4. Jak okre±li¢ odlegªo±¢ mi¦dzy gurami na pªaszczy¹nie?
Odlegªo±¢ (cz¦±ciej nazywana metryk¡) to taka funkcja d(p, q), która speªnia trzy warunki:
• Te same miejsca dzieli zerowa odlegªo±¢ (d(p, p) = 0), a ró»ne niezerowa (d(p, q) > 0 gdy p 6= q).
• Z miejsca p do miejsca q jest tak samo daleko, jak z miejsca q do miejsca p (d(p, q) = d(q, p)).
• Droga z miejsca p do miejsca q jest krótsza (a przyjamniej nie dªu»sza) ni» droga z p do q przez r (d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)).
Dwa pierwsze pomysªy na odlegªo±¢ mi¦dzy gurami P i Q s¡ nast¦puj¡ce:
• Odlegªo±¢ najbli»szych sobie punktów P i Q,
• Odlegªo±¢ najdalszych sobie punktów P i Q.
Dlaczego s¡ to zªe pomysªy? Jaki jest dobry pomysª?
5. Dla ka»dej podanej pary zbiorów A i B odpowiedzie¢ na pi¦¢ pyta«:
Czy istnieje bijekcja mi¦dzy A i B ci¡gªa w obie strony?
Czy istnieje funkcja ci¡gªa ze zbioru A na zbiór B?
Czy istnieje funkcja ci¡gªa ze zbioru B na zbiór A?
Czy istnieje ró»nowarto±ciowa funkcja ci¡gªa z A w B?
Czy istnieje ró»nowarto±ciowa funkcja ci¡gªa z B w A?
Pary zbiorów A i B to:
(a) odcinek (0, 1) i odcinek [0, 1], (b) odcinek (0, 1) i R,
(c) odcinek [0, 1] i R,
(d) zbiór liczb rzeczywistych i zbiór liczb niewymiernych, (e) koªo i kwadrat (obie gury z brzegiem),
(f) koªo z dziur¡ (pier±cie«) i koªo bez dziury, (g) kwadrat i odcinek,
(h) odcinek i kwadrat, (i) d¦tka i piªka,
(j) logo Mercedesa i logo Hondy, (k) rajstopy i obrus,
(l) rajstopy i leginsy (podpowied¹ dla facetów: kalesony bez rozporka), (m) kobieta i m¦»czyzna (tzn. znaczki ♂ i ♀).
Agata i Mateusz Kwa±niccy
