Topologia ogólna/Przestrzenie metryczne
< Topologia ogólna
Przestrzenie metryczne Przestrzeń metryczna
Definicja Przykłady Kule
Definicje Przykłady
Ciągi w przestrzeniach metrycznych Definicja
Własności Przykłady
Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia Definicje
Własności Przykłady
Zbiory otwarte i domknięte Definicje
Własności Przykłady Funkcje ciągłe
Definicje Własności Przykłady
Przestrzenie metryczne
W niniejszym rozdziale wprowadzimy pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej, kuli, zbieżności ciągu, punktów wewnętrznych, izolowanych, punktów skupienia, zbiorów otwartych i domkniętych, funkcji ciągłej.
Udowodnimy kilka podstawowych własności związanych z powyższymi pojęciami. Rozdział ten nie jest dogłębnym omówieniem przestrzeni metrycznych, a jedynie krótkim wprowadzeniem. Część istotnych własności przestrzeni metrycznych jest omówiona w dalszej części podręcznika.
Spis treści
Przestrzeń metryczna
Definicja
Odległością (lub: metryką) na zbiorze nazywamy każdą funkcję spełniającą poniższe warunki:
1.
2.
3.
Warunek 3. nosi nazwę nierówności trójkąta.
Zauważmy, że z powyższych warunków wynika, iż . Gdyby bowiem istniały
takie, że , to byłoby: , co jest niemożliwe.
Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną , gdzie jest dowolnym zbiorem, zaś jest metryką na zbiorze .
Ćwiczenie: Pokazać, że jeśli jest metryką na oraz , to jest metryką na zbiorze (gdzie oznacza obcięcie funkcji do zbioru ).
Podprzestrzenią metryczną przestrzeni metrycznej wyznaczaną przez zbiór nazywamy przestrzeń metryczną z powyższego ćwiczenia, tzn. przestrzeń .
Często, dla skrócenia zapisu, przestrzeń metryczną oznaczać będziemy po prostu przez , o ile nie będzie to prowadziło do niejasności.
1. Przestrzenią metryczną jest , gdzie dla dowolnych , zaś oznacza wartość bezwzględną z . Istotnie, dla każdych :
.
2. Rozważmy iloczyn kartezjański kopii prostej rzeczywistej: . Dla dowolnych
definiujemy . W jednym z
zadań do tego rozdziału udowodnimy, iż tak określona funkcja jest odległością. Nazywamy ją metryką euklidesową. Zauważmy, że dla jest to metryka z przykładu 1., gdyż . 3. W możemy określić wiele innych metryk. Przykładowo, metryką maksimum nazywamy
metrykę zadaną wzorem: .
Metryką miejską (taksówkową, Manhattan) nazywamy funkcję określoną .
4. Niech będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy funkcję określoną dla dowolnych . Nietrudno sprawdzić, że jest to metryka, zwana metryką dyskretną (trywialną).
Przykłady
5. Rozważmy zbiór funkcji ciągłych, określonych na odcinku domkniętym , o wartościach rzeczywistych. Dla definiujemy:
. Jest to metryka, zwana metryką supremum.
Więcej przykładów przestrzeni metrycznych Czytelnik znajdzie w zadaniach do tego rozdziału.
Niech będą dane przestrzeń metryczna , i .
Kulą otwartą w przestrzeni o środku i promieniu nazywamy zbiór . Kulą domkniętą w przestrzeni o środku i promieniu nazywamy zbiór
.
1. W z metryką euklidesową pojęcie kuli pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem tego słowa.
W kulą otwartą jest koło, zaś w odcinek otwarty o zadanym środku i promieniu.
2. W przestrzeni metrycznej dyskretnej : .
3. Jednostkowa (tzn. o promieniu 1) kula otwarta o środku w punkcie (0,0) w z metryką taksówkową jest przedstawiona na poniższym rysunku (zauważmy, że brzeg przedstawionej figury do niej nie należy):
Ćwiczenie: Narysować jednostkową kulę otwartą w i z metryką maksimum.
Ćwiczenie: Opisać kule domknięte w przestrzeniach z powyższych przykładów.
Kule
Definicje
Przykłady
Ciągi w przestrzeniach metrycznych
Definicja
Niech będzie dowolną przestrzenią metryczną, zaś dowolnym ciągiem elementów zbioru .
Mówimy, że ciąg jest zbieżny do granicy (co zapisujemy symbolicznie lub
), o ile .
1. Zauważmy, że definicję zbieżności ciągu możemy sformułować równoważnie: Ciąg zbiega w do granicy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego istnieje
takie, że dla mamy: .
2. Co więcej, ponieważ kule otwarte o środku w są wyznaczane jednoznacznie przez swój promień, od ciągu zbieżnego możemy żądać, by dla każdej kuli o środku w istniało
takie, że dla .
• Ćwiczenie: Wykazać, że jeżeli ciąg posiada granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
• Ćwiczenie: Wykazać, że wtedy i tylko wtedy, gdy (tzn. gdy ciąg odległości od zbiega do w ).
1. Jeśli jest ciągiem elementów przestrzeni metrycznej dyskretnej, to jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest od pewnego miejsca ciągiem stałym (tzn. gdy istnieje takie , że dla
każdego zachodzi ).
2. Niech będzie ciągiem w z metryką euklidesową. Przyjmijmy dla każdego
oznaczenie: . Pokażemy, że jest granicą ciągu
dokładnie wtedy, gdy dla każdego zachodzi: , gdzie zbieżność ciągów rozważamy w z metryką euklidesową.
Dowód:
[ ] Przypuśćmy, że dla pewnego , to znaczy
. Zauważmy, że:
.
Zatem: , czyli
[ ] Wykażemy, że zachodzi implikacja w drugą stronę. Przypuśćmy, że dla każdego . Weźmy dowolny . Dla każdego istnieje
takie, że . Niech . Wówczas:
. Wobec dowolności wykazaliśmy, że .
Własności
Przykłady
Niech będzie przestrzenią metryczną, zaś . Mówimy, że jest:
Punktem wewnętrznym zbioru , o ile ;
Punktem skupienia zbioru , o ile ;
Punktem izolowanym zbioru , o ile i nie jest punktem skupienia .
Zauważmy, że z powyższych definicji wynika, iż punkty izolowane i punkty wewnętrzne zbioru są jego elementami. Natomiast punkty skupienia zbioru nie muszą do niego należeć.
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru nazywamy pochodną zbioru i oznaczamy . Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru nazywamy wnętrzem i oznaczamy . Domknięciem zbioru nazywamy zbiór .
Niech będzie przestrzenią metryczną oraz .
1. Zauważmy, że definicję punktu skupienia można sformułować równoważnie: jest
punktem skupienia , jeżeli .
2. Punkt jest zatem punktem izolowanym zbioru , o ile . 3. Fakt, że jest punktem skupienia możemy też wyrazić korzystając z pojęcia zbieżności
ciągu. Mianowicie: jest punktem skupienia zbioru dokładnie wtedy, gdy istnieje ciąg (tzn. ciąg elementów różnych od ) taki, że .
Dowód:
[ ]Załóżmy, że taki ciąg istnieje. Weźmy dowolny . Wówczas istnieje takie,
że dla . Ponieważ , to .
[ ]Załóżmy teraz, że jest punktem skupienia . Zdefiniujmy ciąg
. Z aksjomatu wyboru wynika, iż istnieje ciąg taki, że . Nietrudno zauważyć, że .
4. W związku z powyższym faktem możemy zdefiniować domknięcie zbioru jako zbiór wszystkich granic ciągów zbieżnych w o wyrazach ze zbioru . Istotnie, jeśli
, to i jest granicą ciągu stałego , lub też i z ostatniego faktu istnieje ciąg elementów zbieżny do .
Punkty wewnętrzne, izolowane, skupienia
Definicje
Własności
Przykłady
1. Rozważmy zbiór . , , , zaś jedynym punktem izolowanym w jest .
2. Rozważmy podprzestrzeń wyznaczaną przez zbiór z powyższego przykładu. W tej
przestrzeni , , zaś jest nadal punktem izolowanym.
Zauważmy, że w tym przypadku jest jednocześnie punktem izolowanym i wewnętrznym.
3. Jeśli jest przestrzenią metryczną, to .
4. Rozważmy zbiór jako podzbiór z metryką euklidesową. Nietrudno sprawdzić, że
, .
5. W przestrzeni metrycznej dyskretnej dla każdego mamy: , zaś (tzn. każdy punkt jest izolowany).
Zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej nazywamy każdy taki zbiór , że . Zbiorem domkniętym w przestrzeni metrycznej nazywamy każdy taki zbiór , że .
Niech będzie przestrzenią metryczną oraz .
1. Bezpośrednio z definicji wnętrza wynika, że zbiór jest otwarty dokładnie wtedy, gdy każdy jego element jest jego punktem wewnętrznym.
2. Zbiór jest domknięty dokładnie wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego w
zachodzi: .
Wynika to z (podanej jako własność 4. w poprzednim podrozdziale) równoważnej definicji domknięcia zbioru jako zbioru wszystkich granic ciągów zbieżnych o wyrazach z . 3. jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty.
Dowód:
[ ] Załóżmy, że jest otwarty. Weźmy dowolny . Stąd:
, zatem nie jest prawdą, że , co oznacza, że . Zatem: .
[ ] Załóżmy teraz, że jest domknięty. Weźmy dowolny . Przypuśćmy, że nie jest punktem wewnętrznym . Zatem: dla każdego istnieje taki,
że , tzn. . Wobec tego (ponieważ ) .
Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem . Zatem każdy musi być
punktem wewnętrznym , czyli .
4. Wykażemy teraz trzy istotne własności zbiorów otwartych, które w kolejnym rozdziale posłużą nam do zdefiniowania przestrzeni topologicznej.
Niech oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej . Wykażemy, że:
1.
Zbiory otwarte i domknięte
Definicje
Własności
2.
3. .
Dowód:
[1.] Oczywiste.
[2.] Jeśli , to teza jest prawdziwa (z 1.). Możemy więc założyć, że powyższy iloczyn zbiorów jest niepusty. Niech . Ponieważ każdy ze zbiorów jest otwarty, to istnieją takie, że dla każdego
. Niech . Wówczas
, czyli . Wobec dowolności
teza jest udowodniona.
[3.] Możemy założyć, że . Niech . Wtedy istnieje taki, że .
jest otwarty, więc istnieje takie, że . Zatem .
Wobec dowolności teza jest udowodniona.
5. Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny kul otwartych o promieniach wymiernych.
Dowód:
Niech będzie zbiorem otwartym. Dla każdego istnieje takie, że . Zauważmy, że istnieje takie, że . Mamy zatem dla
każdego : . Wobec tego: . Ale również
. Dowód jest zakończony.
1. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Dowód:
Niech będzie kulą otwartą w przestrzeni o środku i promieniu .
Weźmy dowolny . Niech . Pokażemy, że . Istotnie, z
nierówności trójkąta, dla dowolnego mamy:
. Zatem .
2. Ćwiczenie: Wykazać, że kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
3. W każdej przestrzeni metrycznej zbiory i są jednocześnie otwarte i domknięte.
Zbiory takie nazywamy otwarto-domkniętymi. W z metryką euklidesową są to jedyne takie zbiory. Jednak na przykład w traktowanym jako podprzestrzeń otwarto-domknięty jest zbiór . Każdy podzbiór przestrzeni metrycznej dyskretnej jest otwarto- domknięty.
4. Zbiór nie jest ani otwarty, ani domknięty.
Przykłady
Funkcje ciągłe
Funkcją ciągłą w punkcie z przestrzeni metrycznej do przestrzeni mestrycznej
nazywamy każdą funkcję taką, że: .
Funkcją ciągłą (odwzorowaniem ciągłym) z przestrzeni metrycznej do przestrzeni metrycznej nazywamy funkcję ciągłą w każdym punkcie .
Niech będą przestrzeniami metrycznymi.
1. Zauważmy, że korzystając z pojęcia kuli warunek ciągłości funkcji w punkcie
możemy zapisać: , czy też krócej:
(gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w przestrzeniach ).
2. Definicję ciągłości w punkcie można sformułować korzystając z pojęcia zbieżności ciągu.
Mianowicie, funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego ciągu zbieżnego w do zachodzi: .
Dowód:
[ ] Załóżmy, że spełniony jest powyższy warunek. Przypuśćmy, że nie jest ciągła.
Znajdziemy zatem taki , że dla każdej istnieje takie, że
oraz . Wobec tego możemy wybrać ciąg taki, że dla
każdego : oraz . Zauważmy, że , ale
. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, zatem musi być ciągła.
[ ] Załóżmy teraz, że jest ciągła. Weźmy dowolny ciąg taki, że . Pokażemy, że . Niech będzie dowolne. Z ciągłości istnieje
taka, że dla dowolnego jeśli , to . Ponieważ
, to istnieje takie, że dla wszystkich . Stąd dla . Wobec dowolności teza jest udowodniona.
3. Definicję ciągłości można sformułować także korzystając z pojęcia zbioru otwartego. Fakt ten posłuży nam w rozdziale 3. do uogólnienia pojęcia odwzorowania ciągłego.
Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru otwartego w , jego przeciwobraz jest zbiorem otwartym w .
Dowód:
[ ] Niech funkcja spełnia powyższy warunek. Wybierzmy dowolne . Pokażemy, że jest ciągła w punkcie , co z dowolności jego wyboru oznaczało będzie ciągłość . Ustalmy . Niech . Z początkowego założenia wynika, że jest otwarty jako przeciwobraz kuli otwartej. Ponadto , bo . Z otwartości wynika, że istnieje taka, że . Zauważmy, że jeśli
, to , zatem . Z dowolności
jest ciągła w .
[ ] Niech będzie zbiorem otwartym w . Weźmy dowolny punkt . Ponieważ i jest otwarty, istnieje taki, że . Z ciągłości
Definicje
Własności
wynika, że istnieje taka, że jeśli , to . Zatem
dla każdego , czyli . jest zatem punktem
wewnętrznym , co z dowolności jego wyboru oznacza, że jest otwarty w .
1. Niech będzie przestrzenią metryczną dyskretną, zaś dowolną przestrzenią metryczną.
Każda funkcja jest ciągła.
2. W dowolnej przestrzeni metrycznej funkcja identycznościowa jest ciągła.
3. Dla ustalonej przestrzeni metrycznej i punktu ciągła jest funkcja , jeżeli w przyjmiemy metrykę euklidesową.
4. Jeśli jest punktem izolowanym przestrzeni , jest przestrzenią metryczną, to dowolna funkcja jest ciągła w punkcie .
5. W z metryką euklidesową ciągłe są funkcje:
, ,
.
Ćwiczenie: Udowodnić powyższe stwierdzenia.
>> Zadania
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/w/index.php?title=Topologia_ogólna/Przestrzenie_metryczne&oldid=188270”
Tę stronę ostatnio edytowano 13 sty 2013, 16:41.
Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
