2 Geometria analityczna na płaszczyźnie 2

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami

Spis treści

1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 1

2 Geometria analityczna na płaszczyźnie 2

3 Liczby zespolone 3

4 Wielomiany i funkcje wymierne 4

5 Macierze i wyznaczniki 4

6 Układy równań liniowych 5

7 Geometria analityczna w przestrzeni 6

8 Wektory i wartości własne macierzy 7

9 Rozkład Cholesky’ego 7

10 Krzywe stożkowe 7

11 Przykładowe egzaminy 8

12 Odpowiedzi, wskazówki 9

Wyrażenia algebraiczne . . . . 9

Geometria analityczna na płaszczyźnie . . . . 9

Liczby zespolone . . . . 9

Wielomiany i funkcje wymierne . . . . 12

Macierze i wyznaczniki . . . . 12

Układy równań liniowych . . . . 13

Geometria analityczna w przestrzeni . . . . 13

Wektory i wartości własne macierzy . . . . 14

Rozkład Cholesky’ego . . . . 14

Krzywe stożkowe . . . . 15

Przykładowe egzaminy . . . . 15 Oznaczamy: N = {0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb naturalnych, N + = {1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych dodatnich, Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .} – zbiór liczb całkowitych, Q =

n n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N ⁺ o

– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna

1. Uprość wyrażenie (a) a − b

a ² − 2ab + b ²

 a b − 1 

, (b) b − a a ² − b ²

 b a + 1



,

(c) a ⁴ + a ³ b + a ² b ² a ³ − b ³

 b ² a ² − 1



, (d) a ² − b ²

a ⁴ − a ³ b + a ² b ² − ab ³ + b ⁴
a ⁶ − b ⁶ + ab ⁵ − ba ⁵ . 2. Udowodnij następujące własności symbolu Newtona:

(a) n k



=

 n n − k



dla k ¬ n ∈ N, (b) n 0



= n n



= 1 dla n ∈ N,

(c) n 1



=

 n n − 1



= n dla n ∈ N ⁺ , (d) n k

 +

 n k + 1



= n + 1 k + 1



dla k < n ∈ N.

3. Udowodnij wzór dwumianowy Newtona: (a + b) ⁿ =

n

X

k=0

n k



· a ^n−k · b ^k



dla a, b ∈ R, n ∈ N.

4. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznacz współczynnik przy α, jeśli (a) f (x) = (x + sin x) ⁷ , α = x ⁴ sin ³ x, (b) f (x) = (1 − e ^x ) ¹⁰ , α = e ^3x ,

(c) f (x) =

 x ⁴ − 1

x ²

 ⁹

, α = x ²⁴ , (d) f (x) =  1 x + √

³

x

 ⁹⁹

, α = x ⁻⁹⁷⁻

²³

. 5. Zapisz w prostszej postaci liczbę

(a)

n

X

k=0

n k

 3 ^k

 , (b)

n

X

k=0

n k

 (−2) ^k

 ,

(c)

n

X

k=0

n ^k (k + 1)(k + 2) . . . n (n − k)! , (d)

n

X

k=0

(−1) ^k (n − k + 1)(n − k + 2) . . . n

k! · n ^n−k .

6. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że (a) 1 ² + 2 ² + 3 ² + . . . + n ² = n(n + 1)(2n + 1)

6 dla n ∈ N ⁺ , (b) 4 ⁿ⁻¹ ­ n ² dla n ∈ N ⁺ ,

(c) liczba 11 ⁿ⁺² + 12 ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 133 dla n ∈ N, (d) 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + . . . + n ³ = n ² (n + 1) ²

4 dla n ∈ N + .

2 Geometria analityczna na płaszczyźnie

1. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ ∈ [0, π] pomiędzy niezerowymi wektorami u, v (dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów), jeśli

(a) u =  1, √

3  , v = 

−1, √ 3 

, (b) u = 

− √ 3, 1 

, v = 

−1, √ 3 

,

(c) u = √

2, √ 2 

, v = 

−1, − √ 3 

, (d) u = 

− √ 2, − √

2 

, v = √

3, −1  .

2. Wyznacz kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = ( √

3, 2 + √

3), C = (1 + √ 3, 2).

3. Wyprowadź wzór na odległość d (P 0 , l) punktu P 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ R ² od prostej l ⊆ R ² , o równaniu Ax+By +C = 0:

d (P 0 , l) = |Ax 0 + By 0 + C|

√

A ² + B ² .

4. Oblicz wysokość h opuszczoną z punktu B w trójkącie o wierzchołkach A = (3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2).

5. Wyznacz punkt przecięcia S = (x ₀ , y ₀ ) oraz kąt ϕ, pod jakim przecinają się proste, określone parametrycznie

 x = 2 √ 3 − √

3 t y = −5 + t, oraz

 x = s y = −1 − √

3 s, gdzie t, s ∈ R.

6. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (4, 6), B = (5, 5) i C = (−2, −2).

7. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = (1, 2) jest dwa

8. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli

(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4), (b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).

9. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x ² + 2x + y ² − 3 = 0, które przecinają się z prostą

√

3 x − y + 1 = 0 pod kątem π 3 .

3 Liczby zespolone

1. Zapisz w postaci algebraicznej oraz zaznacz na płaszczyźnie liczbę zespoloną (a) z = 1 + i

2 − i , (b) z = 2 + 3i

4 + 5i , (c) z = 5

|4 − 3i| i , (d) z = i − 2 i + |i − √

3| . 2. Udowodnij następujące własności liczb zespolonych:

(a) z · z = |z| ² , (b) |z| = |z|, (c) |z 1 + z 2 | ¬ |z 1 | + |z 2 | (nierówność trójkąta), (d) |z 1 · z 2 | = |z 1 | · |z 2 |, (e) |λ · z| = λ · |z| dla λ ­ 0, (f)

   

z 1

z ₂    

= |z 1 |

|z 2 | przy z 2 6= 0, (g) 0 = 0, (h) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , (i) λ · z = λ · z dla λ ∈ R.

3. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) Re(−2iz + 4) ­ 0, (b) Im(z − i) = Im[(2 − i)z + i], (c) Re z ²
= (Im(iz)) ² − 4, (d) |iz + 2| = |iz − 2i|, (e) 

z · (1 − i) ²   = 

 

√ 3 + i 

  · 

2z + (1 + i) ² i  . 4. Udowodnij, że

(a) z = |z| · [cos(−ϕ) + i · sin(−ϕ)], gdzie ϕ jest argumentem liczby z ∈ C, (b) (z ^k ) = (z) ^k dla z ∈ C, k ∈ N, (c) P (z) = 0 ⇔ P (z) = 0 dla z ∈ C i wielomianu P (z) =

n

X

k=0

a _k · z ^k
o współczynnikach rzeczywistych a k ∈ R.

5. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = (1 + √

3i) ²⁰

(1 − i) ⁴⁰ , (b) z = (1 + i) ⁴⁰ ( √

3 − i) ²⁰ , (c) z = ( √ 3 − i) ²⁴ (1 − √

3i) ¹⁴ (1 − i) ²⁰ , (d) z = (− √

3 + i) ¹²

(1 − i) ²⁴ , (e) z = (1 − i √ 3) ⁷⁰⁰ (−1 + i) ¹⁴⁰⁰ .

6. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2, (b) Im z ⁴
< 0, (c) 0 ¬ arg(2 − iz) ¬ π

2 , (d) Re z ⁴
­ 0.

7. Wyznacz pole P figury

(a) F = z ∈ C : Im z ³
­ 0 ∧ −1 ¬ Im(z) < 0 , (b) F =



z ∈ C : 0 ¬ Im(z) ¬ 1

√

3 Re(z) ∧ |z| ¬ 2

 .

8. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a) z = −1, (b) z = i, (c) z = −2 + 2i, (d) z = 1 + i, (e) z = −2 √

2.

9. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a) z = 81, (b) z = −16, (c) z = −8 + 8 √

3 i. (d) Rozwiąż równanie z ⁴ = (−1 + 2z) ⁴ . 10. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie

(a) z ² − 2z + 4 = 0, (b) z ² + 8z + 25 = 0, (c) z ² + 10z + 34 = 0, (d) z ² + (1 + i)z − 2 + 2i = 0, (e) z ² + (−6 + 2i)z − 8 − 6i = 0, (f) 2 √

3 z ² + 2 √

2 iz + i = 0.

4 Wielomiany i funkcje wymierne

1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli

(a) P (x) = x ⁵ − x ⁴ + 3x ³ + x + 7, Q(x) = x ³ + x + 1, (b) P (x) = x ⁴ + 2x ³ + x ² + x + 1, Q(x) = x ² + x + 3.

2. (a) Udowodnij, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na iloczyn czynników liniowych. Wskazówka: można skorzystać z zasadniczego twierdzenia algebry.

(b) Udowodnij, że każdy wielomian rzeczywisty rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej dwa.

3. Załóżmy, że P (z) =

n

X

k=0

a k · z ^k
jest wielomianem o współczynnikach całkowitych a k ∈ Z.

(a) Udowodnij, że jesli P (r) = 0 dla pewnej liczby wymiernej r = l

m ∈ Q, zapisanej w postaci ułamka nieskracalnego, gdzie l ∈ Z, m ∈ N ⁺ , to l 

a ₀ (licznik l dzieli a 0 ) oraz m  a _n .

(b) Udowodnij, że jeśli a _n = 1, to pierwiastkami wymiernymi wielomianu P mogą być tylko liczby całkowite.

(c) Udowodnij, że jeśli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu P , to jest ona podzielnikiem wyrazu a ₀ . 4. Rozłóż wielomian W (x) na nierozkładalne czynniki rzeczywiste, jeśli

(a) W (x) = x ⁴ + x ³ − 3x ² − 4x − 4, (b) W (x) = x ⁴ + 2x ³ − x − 2.

5. Nie wykonując dzielenia (nie obliczając ilorazu), wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli (a) P (x) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1, Q(x) = x ² − 1, (b) P (x) = x ⁵ + x ⁴ − 2, Q(x) = x ² + 4.

6. Rozłóż wielomian zespolony W (z) na czynniki liniowe, jeśli (a) W (z) = z ³ − 2z ² + 4z − 8, (b) W (z) = z ³ + 5z ² + 8z + 6.

7. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f (x) na sumę rzeczywistych ułamków prostych, jeśli (a) f (x) = x ² + 3

x ³ + 2x ² + 5x + 4 , (b) f (x) = −x + 2 x ³ + 3x ² + 4x + 4 , (c) f (x) = 3x ² + 5x + 1

x ³ + 3x ² + 3x + 2 , (d) f (x) = 2x ³ + 4x ² + 5x + 5 x ⁴ + 3x ³ + 3x ² + 3x + 2 .

8. Rozłóż funkcję wymierną f (x) na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych, jeśli (a) f (x) = x ⁴ − 5x ³ + 5x ² − 19x − 1

x ³ − 5x ² + 4x − 20 , (b) f (x) = x ⁵ − x ⁴ − 5x ³ − 2x ² + 3x − 2 x ³ − x ² − 5x − 3 .

5 Macierze i wyznaczniki

1. Rozwiąż równanie macierzowe

(a) 2A − 3

 1 2 0

0 1 −1



=

 −1 −6 2

0 −1 3

 , (b)





0 0 1 1 0 0 0 1 0



 ·



 1 1 0 1 1 0



 + 2 · A ^T =





1 2

3 3

2 −1



,

(c)





1 2 1

2 1 −1

1 0 1



 · A ^T =



 2 4 0



.

2. Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru, przez rozwinięcie Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik

(a) W =    

1 2 3 5

   

, (b) W =    

−1 7

−2 1    

, (c) W =      

1 1 1 1 2 2 1 2 4

     

, (d) W =      

8 10 7

9 7 9

5 5 5













.

3. Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik

(a) W =        

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

       

, (b) W =        

9 4 4 2 5 3 2 4 4 3 1 3 5 5 0 5

        .

4. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których macierz A jest nieosobliwa, jeśli

(a) A =

 a a 2 a



, (b) A =





a 1 1 1 1 a 1 a 1



 , (c) A =









a 1 1 1 1 a 1 1

1 1 1 a

1 1 a 1







 .

5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razem z ma- cierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy A, jeśli

(a) A =

 1 1

−1 4



, (b) A =





1 1 −1

1 −1 1

−1 1 1



 , (c) A =





1 1 1 1 2 1 1 1 2



, (d) A =





1 2 1 1 3 1 1 2 2



 .

6. Zbadaj, dla jakich parametrów a ∈ R istnieje macierz odwrotna A ⁻¹ do macierzy A, a następnie wyznacz ogólny wzór na A ⁻¹ , jeśli

(a) A =

 a + 1 2 a + 4 a + 4



, (b) A =





1 1 1 1 2 1 1 1 a



.

7. Wyznacz rząd r(A) macierzy A, jeśli

(a) A =



 1 1 2 2 3 4



, (b) A =





1 2 1 4

2 3 2 5

−3 −3 −3 −3



.

8. W zależności od parametru a ∈ R, wyznacz rzędy macierzy z zadania 4.

6 Układy równań liniowych

1. Rozwiąż układ równań

(a)

 x + y = 3

x − 3y = −5, (b)







x + y + z = 0 x − y + z = 0 x + y − z = 2,

(c)



 



 



x + y + z − t = 4 x + y − z + t = −4 x − y + z + t = 2

−x + y + z + t = −2,

(d)







−x − y + z + t = 4 x − y − z + t = 0 x − y − z − t = −8,

(e)







x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 3x + 2y + 3z = 3.

Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa, ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.

2. W zależności od parametru a ∈ R, rozwiąż układ równań

(a)

 2x + 3y = 8

2x − ay = 8, (b)







(a + 6)x + y + 2z = 4 x + (a + 5)y + 2z = 4 x + 2z = 4.

3. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie:

(a)

 2x + 3y = a ²

−8x − 12y = −36, (b)







x + y + 4z = a

4x − 2y − 2z = 5

7x + y + 10z = 8.

4. W zależności od parametru a ∈ R, określ ilość rozwiązań układu

(a)

 x + 2y = 1

7x + ay = a, (b)







x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = −a − 1.

7 Geometria analityczna w przestrzeni

1. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których

(a) równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a ² , 3) i wierzchołku E = (−a − 5, 4, −18) nad A, jest prostopadłościanem,

(b) kąt pomiędzy wektorami u = (a, −16, 4) oraz v = (2a, 1, −4) jest prosty, (c) wektory u = 1, a ² , 1
oraz v = (3, 12, 3) są równoległe.

2. Podaj

(a) równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5), (b) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym







x = 1 + t + s y = 2 + t − s z = 1 + t + s,

(c) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym







x = 1 + t + s y = −t + s z = 1 − t + 2s, (d) równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0,

(e) równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym

 x + y + z − 1 = 0 x + 2y + 3z − 2 = 0,

(f) równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym







x = 1 + t y = 2 − t z = 4 + t,

(g) równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m :







x = −1 + t y = 1 z = 1 + t

oraz l :







x = 3 − s y = s z = 5 − s;

wyznacz punkt przecięcia tych prostych,

(h) równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m :





 x = t y = 1 z = 1 + t,

l :







x = −s y = 2 + s z = 1 − s, w punkcie ich przecięcia.

3. Wyznacz odległość d(P, π) punktu P od płaszczyzny π, jeśli

(a) P = (−2, 1, 3), π : x + 2y + 2z − 3 = 0, (b) P = (1, 2, 1), π :







x = 1 + t + s y = 2 + s z = −1 − t + s.

4. Wyznacz odległość d(P, l) punktu P od prostej l, jeśli

(a) P = (2, 3, 4), l :







x = 1 + t y = 2 + t z = 3 − t,

. (b) P =



− 5 2 , − 1

2 , 1

 , l :

 x + y + z + 5 = 0 x − y − z + 2 = 0.

5. Wyznacz rzut prostopadły P ⁰ punktu P = (2, 2, 1) na

(a) prostą l :







x = 1 + t y = 3 + t z = −1 − 2t,

. (b) prostą l :

 x − 2y − 3z + 1 = 0

x − y + z = 0,

(c) płaszczyznę π : x + 2y − 3z + 4 = 0, (d) płaszczyznę π :







x = 1 + 2t − s y = −11 + t + s z = t.

a następnie odbicia symetryczne P ⁰⁰ punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn.

6. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy

(a) prostymi l :



 



 



x = 1 +

√ 2 2 t y = 2 −

√ 2 2 t z = t

oraz m :



 



 



x = 1 +

√ 2 2 −

√ 2 2 s y = 2 +

√ 2 2 −

√ 2 2 s z = 1 − s,

(b) płaszczyznami π ₁ :







x = 1 + t + s y = t − s z = t + s

oraz π ₂ : y − z − 1 = 0,

(c) prostą l :

 x + y + z + 2 = 0

x − y + z + 3 = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0.

7. Wyznacz pole P

(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),

(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), (c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).

8. Wyznacz objętość V

(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, −2, −2) i D = (−1, 1, −1),

(b) równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (1, 1, 1) , v = (1, 1, 2) oraz w = (−1, −1, 3) × (1, 2, 3).

8 Wektory i wartości własne macierzy

1. Dla macierzy A ∈ M 2 (C), wyznacz wartości własne λ ∈ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v ∈ C ² , jeśli

(a) A =

 2 1 4 5



, (b) A =

 1 3 2 2



, (c) A =

 1 −1 2 −1



, (d) A =

 7 2

−17 −3

 .

9 Rozkład Cholesky’ego

1. Sprawdź, czy poniższe macierze kwadratowe są symetryczne i dodatnio określone:

(a) A ₁ =

 1 1 1 2



, (b) A ₂ =

 4 2 2 5



, (c) A ₃ =





1 1 3

1 2 2

3 2 11



 , (d) A ₄ =





4 4 2 4 5 3 2 3 6



?

2. W przypadku pozytywnej odpowiedzi na pytanie z poprzedniego zadania, za pomocą rozkładu Cholesky’ego A _i = L _i (L _i ) ^T dla i ∈ {1, 2, 3, 4}, gdzie L _i jest macierzą trójkątną dolną o dodatnich wyrazach na głównej przekątnej, oblicz wyznacznik det(A _i ), wyznacz macierz odwrotną A ⁻¹ _i oraz rozwiąż układ A _i X _i = B _i , jeśli

(a) B 1 =

 5 8



, (b) B 2 =

 6

−1



, (c) B 3 =



 7 5 25



 , (d) B 4 =





−10

−12

−19



 .

10 Krzywe stożkowe

1. Wyznacz półosie, półogniskową, mimośród, wierzchołki, ogniska i kierownice elipsy o równaniu 9x ² + 25y ² = 225.

Naszkicuj tę elipsę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A =

 3, 12

5



.

2. Wyznacz półosie, asymptoty, półogniskową, mimośród, parametr, wierzchołki, ogniska i kierownice hiperboli o równaniu x ² − 4y ² = 16. Naszkicuj tę hiperbolę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A = 

4 √ 2, 2 

. 3. Wyznacz wierzchołek, parametr, ognisko i kierownicę paraboli o równaniu y ² − 8x = 0. Naszkicuj tę hiperbolę

oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A = (2, 4).

11 Przykładowe egzaminy

Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.

Zestaw A

1. Rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych równanie z ³ = (1 + 2 z) ³ . Wyniki podaj w postaci algebraicznej.

2. Rozwiąż równanie macierzowe





1 1 0

1 1 −1

1 −1 1



 · A =

 1 −1 −1

1 1 0

 T

.

3. W zależności od parametru a ∈ R, określ ilość rozwiązań układu







x + 2y + z = 1 2x + y = 1

−x + a ² y + z = 1 + a.

4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =





1 1 −1

1 1 −1

1 −1 1



 .

5. Wyznacz rzut prostopadły punktu P = (1, 1, 1) na prostą l :

 x + y + z − 2 = 0 x + z − 1 = 0.

Zestaw B

1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z ³ = (−1 + 2z) ³ . Wyniki podaj w postaci algebraicznej.

2. Rozwiąż równanie macierzowe A ^T ·





1 1 0

1 1 −1

1 −1 1





T

=

 1 −1 −1

1 1 0

 .

3. W zależności od parametru a ∈ R, określ ilość rozwiązań układu







6x + 3y + z = 2 4x + y = 1

−2x + a ² y + z = 1 + a.

4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =





1 1 −1

1 1 −1

1 −1 1



 .

5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = (1, −1, 1) względem płaszczyzny x + y + z + 1 = 0.

Zestaw C

1. Równanie z ² + (1 + i)z + i 2 + 1

4 = 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.

2. Oblicz wysokość czworościanu ABCD o podstawie 4ABC, jeśli A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 2), C = (0, 1, 1), D = (2, 4, 1).

3. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań







y + z = 2 x + y = 2 x + z = 4,

z trzema niewiadomymi x, y, z.

 1 4 

5. W zależności od parametru a ∈ R, określ rząd macierzy D ^a =













a 1 −1 1 1

a 2 1 1 0

2 1 a 1 1

1 0 a 1 0

2 3 0 2 1











 .

12 Odpowiedzi, wskazówki

Wyrażenia algebraiczne

1. (a) 1

b , (b) − 1

a , (c) −a − b, (d) 1.

4. (a) a 4 = 7 3



= 35, (b) a 3 = − 10 3



= −120, (c) a 2 = 9 2



= 36, (d) a 1 = 99 1



= 99.

5. (a) 4 ⁿ , (b) (−1) ⁿ , (c) (1 + n) ⁿ , (d)  1 − n n

 ⁿ .

6. Najpierw, przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1 . Na- stępnie, z prawdziwości twierdzeń T 1 , T 2 , . . . , T n (może wystarczyć użycie tylko T n ), wywnioskuj prawdziwość twierdzenia T n+1 , gdzie n ∈ N ⁺ .

Geometria analityczna na płaszczyźnie

1. (a) ϕ = π

3 , (b) ϕ = π

6 , (c) ϕ = 11

12 π, (d) ϕ = 7 12 π.

2. Kąt ϕ jest prosty, ϕ = π

2 . 4. h = √

10. 5. ϕ = π

6 . 6. (x − 1) ² + (y − 2) ² = 25.

7. Okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x − 5) ² + (y − 6) ² = 8.

8. (a) (x − 1) ² + (y + 3) ² = 19 ²

13 , (b) (x + 2) ² + (y + 1) ² = 12 ² 10 . 9. y = −2, y = 2, y = − √

3 x + √ 3 + √

14, y = − √ 3 x + √

3 − √ 14.

Liczby zespolone

1. (a) z = 1 5 + 3

5 i, (b) z = 23 41 + 2

41 i.

(c) z = −i, (d) z = −1.

3. (a) półpłaszczyzna y ­ −2,

(b) prosta y = 1 3 x − 2

3 ,

(c) zbiór będący sumą prostych prostych y = 2, y = −2,

(d) prosta y = x,

(e) okrąg o środku w punkcie  4 3 , 0



i promieniu 2 3 .

5. (a) z = − 1 2 +

√ 3

2 i, (b) z = − 1 2 −

√ 3

2 i, (c) z = 1 2 −

√ 3

2 i, (d) z = 1, (e) z = − 1 2 +

√ 3 2 i.

6. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, spełniających trzy warunki: Re(z) ­ 0, Im(z) ¬ 1 oraz z 6= i (przesunięta o wektor e ₂ = (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych,

z brzegiem oraz bez punktu (0, 1)),

(b) arg(z) ∈  π 4 , π

2

 ∪  3π 4 , π



∪  5π 4 , 3π

2



∪  7π 4 , 2π



, co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz

czterech kątów.

(c) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz ­ −2 ∧ z 6= −2i}.

(d) arg(z) ∈ 

− π 8 , π

8

 ∪  3π 8 , 5π

8



∪  7π 8 , 9π

8



∪  11π 8 , 13π

8



lub z = 0, co na płaszczyźnie jest sumą czterech kątów, wraz z brzegami.

7. (a) P =

√ 3 3 ,

(b) P = π 3 .

8. (a) w 0 = 1 2 +

√ 3

2 , w 1 = −1, w 2 = 1 2 −

√ 3

2 , (b) w 0 =

√ 3 2 + 1

2 i, w 1 = −

√ 3 2 + 1

2 i, w 2 = −i, (c) w 0 = 1 + i, w 1 = − 1

2 −

√ 3

2 + − 1 2 +

√ 3 2

!

i, w ₂ = − 1 2 +

√ 3

2 + − 1 2 −

√ 3 2

! i,

(d) w 0 = 1 + √ 3 2 √

³

2 +

√ 3 − 1 2 √

³

2 i, w 1 = −1

√

3

2 + 1

√

3

2 i, w 2 = 1 − √ 3 2 √

³

2 − 1 + √ 3 2 √

³

2 i.

Wskazówka: cos π 12 =

s

1 + cos 2 · ₁₂ ^π

2 =

p 2 + √ 3

2 = 1 + √ 3 2 √

2 , sin π 12 =

√ 3 − 1 2 √

2 . (e) w 0 =

√ 2 2 + i

√ 6

2 , w 1 = − √ 2, w 2 =

√ 2 2 − i

√

6

2 .

9. (a) z = 3 ∨ z = 3i ∨ z = −3 ∨ z = −3i, (b) z = √ 2 + √

2i ∨ z = − √ 2 + √

2i ∨ z = − √ 2 − √

2i ∨ z = √ 2 − √

2i, (c) z = √

3 + i ∨ z = −1 + √

3i ∨ z = − √

3 − i ∨ z = 1 − √

3i. (d) z ∈

 1, 2

5 − 1 5 i, 1

3 , 2 5 + 1

5 i

 .

10. (a) z ∈ n 1 + √

3 i, 1 − √ 3 i o

, (b) z ∈ {−4 + 3 i, −4 − 3 i}, (c) z ∈ {−5 + 3 i, −5 − 3 i},

(d) z = 1 − i ∨ z = −2, (e) z = 7 − i ∨ z = −1 − i, (f) z = − √ 3

6 + 3 − √ 6 6 i ∨ z =

√ 3

6 − 3 + √ 6 6 i.

Wielomiany i funkcje wymierne

1. (a) I(x) = x ² − x + 2, R(x) = 5, (b) I(x) = x ² + x − 3, R(x) = x + 10.

4. (a) W (x) = (x + 2)(x − 2) x ² + x + 1
, (b) W (x) = (x − 1)(x + 2)(x ² + x + 1).

5. (a) R(x) = 2x + 3, (b) R(x) = 16x + 14.

6. (a) W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i), (b) W (z) = (z + 3)(z + 1 + i)(z + 1 − i).

7. (a) f (x) = −1

x ² + x + 4 + 1

x + 1 , (b) f (x) = −x

x ² + x + 2 + 1

x + 2 , (c) f (x) = 2x

x ² + x + 1 + 1 x + 2 , (d) f (x) = 1

x + 1 + 1

x + 2 + 1 x ² + 1 . 8. (a) f (x) = x + 1

x − 5 + 1

x ² + 4 , (b) f (x) = x ² + 1

(x + 1) ² + 1 x − 3 .

Macierze i wyznaczniki

1. (a) A =

 1 0 1 0 1 0



, (b) A =

 0 1 1

1 1 −1



, (c) A = 1 1 −1
.

2. (a) W = −1, (b) W = 13, (c) W = 2, (d) W = −10.

3. (a) W = 1, (b) W = −5.

4. (a) a ∈ R \ {0, 2}, (b) a ∈ R \ {−2, 1}, (c) a ∈ R \ {−3, 1}.

5. (a) A ⁻¹ =

4 5 − ¹ ₅

1 5

1 5

!

, (b) A ⁻¹ =









1 2

1

2 0

1 2 0 ¹ ₂ 0 ¹ ₂ ¹ ₂









, (c) A ⁻¹ =





3 −1 −1

−1 1 0

−1 0 1



,

(d) A ⁻¹ =





4 −2 −1

−1 1 0

−1 0 1



 .

6. (a) Macierz odwrotna istnieje dla a ∈ R \ {1, −4}, wtedy A ⁻¹ =

1

a−1 − _(a−1)(a+4) ²

−1 a−1

a+1 (a−1)(a+4)

! ,

(b) macierz odwrotna istnieje dla a ∈ R \ {1}, wtedy A ⁻¹ =









2a−1

a−1 −1 _a−1 ⁻¹

−1 1 0

−1

a−1 0 _a−1 ¹







 .

7. (a) r(A) = 2, (b) r(A) = 2.

8. (a) r(A) = 2 dla a ∈ R \ {0, 2}, r(A) = 1 dla a ∈ {0, 2},

(b) r(B) = 3 dla a ∈ R \ {−2, 1}, r(B) = 2 dla a = −2, r(B) = 1 dla a = 1.

Układy równań liniowych

1. (a) x = 1, y = 2, (b) x = 1, y = 0, z = −1, (c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.

(d) y = 2, t = 4, z = x + 2, z ∈ R – dowolne, (e) układ sprzeczny (brak rozwiązań).

2. (a) Dla a ∈ R \ {−3} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4, y = 0, a dla a = −3 nieskończenie wiele rozwiązań postaci

 x = 4 − ³ ₂ y y ∈ R,

(b) dla a ∈ R \ {−5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0, z = 2, a dla a = −5 nieskończenie wiele rozwiązań postaci







x = 4 − 2z y = 0 z ∈ R.

3. (a) a = −3 lub a = 3, (b) a = 1.

4. (a) Dla a ∈ R \ {14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), (b) dla a ∈ R \ {−2, 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = −2 nieskończenie wiele rozwiązań, a dla

a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

Geometria analityczna w przestrzeni

1. (a) a = −3, (b) a = 4 lub a = −4, (c) a = 2 lub a = −2.

2. (a) x − z + 2 = 0,

(b) x − z = 0,

(c) x + 3y − 2z + 1 = 0,

(d)







x = −1 + t + 2s y = −t

z = −s,

(e)







x = 1 + t y = −1 − 2t z = 1 + t,

(f)

 x + y − 4 = 0 y + z − 6 = 0,

(g) punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1), a płaszczyzna ma równanie x − z + 2 = 0, (h)







x = 1 + t

y = 1

z = 2 − t.

3. (a) d(P, π) = 1, (b) równanie ogólne płaszczyzny to na przykład x − 2y + z + 4 = 0, a odległość d(P, π) = r 2

3 .

4. (a) d(P, l) = 2 √ 6

3 , (b) d(P, l) = √ 3.

5. (a) P ⁰ =  1 3 , 7

3 , 1 3

 , P ⁰⁰ =



− 4 3 , 8

3 , − 1 3



, (b) P ⁰ =  4 3 , 5

3 , − 1 3



, P ⁰⁰ =  2 3 , 4

3 , − 5 3

 ,

(c) P ⁰ =  3 2 , 1, 5

2



, P ⁰⁰ = (1, 0, 4), (d) P ⁰ = (1, 1, 4) , P ⁰⁰ = (0, 0, 7).

6. (a) ϕ = π

3 , (b) ϕ = π

3 , (c) ϕ = π 6 . 7. (a) P = 2 √

6, (b) P = 4 √

6, (c) P = √ 6.

8. (a) V = 1, (b) V = 15.

Wektory i wartości własne macierzy

1. (a) Wartości własnej λ 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci u = (α, −α), na przykład u 1 = (1, −1), wartości własnej λ 1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci v = (α, 4α), na przykład v 1 = (1, 4), gdzie α ∈ C \ {0},

(b) wartości własnej λ ₁ = 4 odpowiadają wektory własne postaci u = (α, α), na przykład u ₁ = (1, 1), wartości własnej λ ₁ = −1 odpowiadają wektory własne postaci v = (3α, −2α), na przykład v ₁ = (3, −2), gdzie α ∈ C \ {0},

(c) wartości własnej λ ₁ = i odpowiadają wektory własne postaci u = (α, (1 − i)α), na przykład u ₁ = (1, 1 − i), wartości własnej λ 2 = −i odpowiadają wektory własne postaci v = (α, (1 + i)α), na przykład v 1 = (1, 1 + i), gdzie α ∈ C \ {0},

(d) wartości własnej λ 1 = 2 + 3i odpowiadają wektory własne postaci u = (2α, (−5 + 3i)α), na przykład u 1 = (2, −5 + 3i), wartości własnej λ 2 = 2 − 3i odpowiadają wektory własne postaci v = (2α, (−5 − 3i)α), na przykład v 1 = (2, −5 − 3i), gdzie α ∈ C \ {0}.

Rozkład Cholesky’ego

1. L 1 =

 1 0 1 1



, det (A 1 ) = 1, A ⁻¹ ₁ =

 2 −1

−1 1

 , X 1 =

 2 3

 ,

2. L 2 =

 2 0 1 2



, det (A 2 ) = 16, A ⁻¹ ₂ =

5 16 − ¹ ₈

− ¹ ₈ ¹ ₄

! , X 2 =

 2

−1

 ,

3. L 3 =





1 0 0

1 1 0

3 −1 1



 , det (A ₃ ) = 1, A ⁻¹ ₃ =





18 −5 −4

−5 2 1

−4 1 1



 , X ₃ =



 1 0 2



,

4. L 4 =





2 0 0 2 1 0 1 1 2



 , det (A 4 ) = 16, A ⁻¹ ₄ =







21

16 − ⁹ ₈ ¹ ₈

− ⁹ ₈ ⁵ ₄ − ¹ ₄

1

8 − ¹ ₄ ¹ ₄





 , X 4 =





−2 1

−3



 .

Krzywe stożkowe

1. Półosie a = 5, b = 3, półogniskowa c = p

a ² − b ² = 4, mimośród e = c a = 4

5 , wierzchołki (5, 0), (0, 3), (−5, 0), (0, −3), ogniska F 1 = (c, 0) = (4, 0), F 2 = (−c, 0) = (−4, 0), kierownice x = a ²

c = 25

4 , x = − a ²

c = − 25

4 ; styczna jest określona ogólnie równaniem x 0 (x − x 0 )

a ² + y 0 (y − y 0 )

b ² = 0, co w tym przypadku daje prostą y = − 9 20 x + 15

4 . 2. Półosie a = 4, b = 2, asymptoty y = b

a x = 1

2 x, y = − b

a x = − 1

2 x, półogniskowa c = p

a ² + b ² = 2 √ 5, mimośród e = c

a =

√ 5

2 , parametr 2p = 2 b ²

a = 2, wierzchołki (4, 0), (−4, 0), ogniska F 1 = (c, 0) = (2 √

5, 0), F 2 = (−c, 0) = (−2 √

5, 0), kierownice x = a ² c = 8 √

5

5 , x = − a ²

c = − 8 √ 5

5 ; styczna jest określona ogólnie równaniem x ₀ (x − x ₀ )

a ² − y ₀ (y − y ₀ )

b ² = 0, co w tym przypadku daje prostą y =

√ 2 2 x − 2.

3. Wierzchołek (0, 0), parametr 2p = 8, ognisko F =  p 2 , 0 

= (2, 0), kierownica x = − p

2 = −2; styczna jest określona ogólnie równaniem y ₀ (y − y ₀ ) = 2p(x − x ₀ ), co w tym przypadku daje prostą y = x + 2.

Przykładowe egzaminy

Zestaw A

1. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg, a potem rozwiązać równanie kwadratowe.

Rozwiązaniami są liczby z ₁ = −1, z ₂ = − 5 14 +

√ 3

14 i, z ₃ = − 5 14 −

√ 3 14 i.

2. A =





1 1 0

1 1 −1

1 −1 1





−1

·

 1 −1 −1

1 1 0

 T

=









0 ¹ ₂ ¹ ₂ 1 − ¹ ₂ − ¹ ₂

1 −1 0









·





1 −1

−1 1

−1 0



 =









−1 ¹ ₂ 2 ¹ ₂

2 0







 .

3. Wyznacznik macierzy głównej W = 2a ² − 2, zatem dla a ∈ R \ {−1, 1} układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

„Rozumowanie”: jeśli W = W x = W y = W z = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), jest fałszywe i nie może być punktowane.

Dla a = −1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = λ(λ−1)(2−λ). Wartościami własnymi są λ 1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = 2, a wektory własne są odpowiednio postaci u = (0, α, α) , v = (α, α, α) , w = (α, α, 0), gdzie α ∈ C \ {0}.

5. Równaniem parametrycznym prostej l jest na przykład







x = 1 − t y = 1 z = t,

a jej wektorem kierunkowym u = (−1, 0, 1).

Płaszczyzna, do której należy punkt P i która jest prostopadła do l, ma równanie x − z = 0. Poszukiwanym rzutem jest P ⁰ =  1

2 , 1, 1 2



.

Zestaw B

1. Można było na przykład wykorzystać wzór na różnicę trzecich potęg, a potem rozwiązać równanie kwadratowe.

Rozwiązaniami są liczby z 1 = 1, z 2 = 5 14 +

√ 3

14 i, z 3 = 5 14 −

√ 3 14 i.

2. Można, choć niekoniecznie, wykorzystać wzór (X · Y ) ^T = Y ^T · X ^T .

Wtedy A =





1 1 0

1 1 −1

1 −1 1





−1

·

 1 −1 −1

1 1 0

 T

=









0 ¹ ₂ ¹ ₂ 1 − ¹ ₂ − ¹ ₂

1 −1 0









·





1 −1

−1 1

−1 0



 =









−1 ¹ ₂ 2 ¹ ₂

2 0







 .

3. Wyznacznik macierzy głównej W = 4a ² − 4, zatem dla a ∈ C \ {−1, 1} układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Użycie „rozumowania”: jeśli W = W x = W y = W z = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), dyskwalifikuje dalszą część rozwiązania.

Dla a = −1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = λ(λ−1)(2−λ). Wartościami własnymi są λ 1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = 2, a wektory własne są odpowiednio postaci u = (0, α, α) , v = (α, α, α) , w = (α, α, 0) , gdzie α ∈ C \ {0}.

5. Prosta, do której należy punkt P i która jest prostopadła do danej płaszczyzny, ma na przykład równanie







x = 1 + t y = −1 + t z = t.

Rzutem punktu P na daną płaszczyznę jest P ⁰ =  1 3 , − 5

3 , 1 3



, a poszukiwanym odbiciem sy-

metrycznym P ⁰⁰ =



− 1 3 , − 7

3 , − 1 3



.

Zestaw C 1. ∆ = −1,

√

∆ = {−i, i}. Rozwiązaniami są liczby z 1 = − 1

2 , z 2 = − 1 2 − i.

2. Równaniem płaszczyzny podstawy π jest x − y + 1 = 0. Wysokość h = d(D, π) =

√ 2 2 .

3. Macierz główna A =





0 1 1 1 1 0 1 0 1



, jej odwrotność A ⁻¹ =









− ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂

1 2

1 2 − ¹ ₂

1

2 − ¹ ₂ ¹ ₂







 .

Kolumna niewiadomych X = A ⁻¹ ·



 2 2 4



 =



 2 0 2



. Formułujemy odpowiedź: x = 2, y = 0, z = 2.

4. Wielomian charakterystyczny w(λ) = (λ + 2)(λ − 5), stąd wartościami własnymi są λ 1 = −2, λ 1 = 5. Dla wartości własnej λ 1 wektory własne są postaci u = (−4α, 3α), dla wartości własnej λ 2 wektory własne są postaci v = (α, α), w obu przypadkach α ∈ C \ {0}.

5. Wyznacznik det (D _a ) = 4a ² − 4, zatem dla a ∈ R\{−1, 1} rząd r (D a ) = 5. Oddzielnie sprawdzając, r (D ₋₁ ) = 4,

r (D ₁ ) = 4.