Analiza statyczna konstrukcji prętowo-płytowych metodą elementów skończonych, z uwzględnieniem skręcania nieswobodnego

(1)

M ECH AN IKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 19 (1981)

AN ALIZA STATYCZN A KON STRU KCJI PRĘ TOWO- PŁYTOWYCH METODĄ ELEM EN TÓW SKOŃ CZON YCH, Z U WZG LĘ D N IEN IEM

SKRĘ CAN IA N IESWOBOD N EG O

EU G EN IU SZ R U S I Ń S KI (WROCŁAW)

1. Wstę p

Przeprowadzenie analizy wytrzymał oś ciowej cienkoś ciennych konstrukcji prę towo-pł ytowych z uwzglę dnieniem skrę cania nieswobodnego metodami tradycyjnymi [1] przy-sparzał o wiele trudnoś ci natury obliczeniowej pod wzglę dem szybkoś ci jak i zakresu obliczeń. W znanych na ś wiecie i w kraju systemach (np. SEZAM- 69, N ASKA, WAT- KM ) nie uwzglę dnia się technicznej teorii VLASOVA [1]. Ostatnio pojawił o się wiele publikacji dotyczą cych obliczania prę towych konstrukcji cienkoś ciennych z uwzglę dnieniem skrę -cania nieswobodnego, opartych na metodzie sił oraz metodzie elementów skoń czonych

[2, 3] z opracowanymi programami na EM C.

W niniejszej pracy podejmuje się próbę moż liwie ogólnego okreś lenia macierzy sztywno-ś ci prostoką tnego elementu (superelementu) prę towo- pł ytowego. Wyznaczenie macierzy sztywnoś ci takiego elementu jest przydatne w konstrukcjach powtarzalnych oraz zmniejsza efektywny czas obliczeń EM C . Zagadnienie rozważ ane jest jako liniowe. Rozważ ania szczegół owe opierają się na metodzie elementów skoń czonych, z uwzglę dnieniem technicz-nej teorii WLASOVA [1].

2. Okreś lenie macierzy sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towo- pł ytowego

Macierz sztywnoś ci elementu prę towo- pł ytowego wyznaczamy analogicznie jak w pracy [4], metodą superpozycji. Okreś la się macierz sztywnoś ci pł yty, a nastę pnie rusztu, poka-zanego na rys. 1, skł adają cego się z czterech prę tów cienkoś ciennych. M acierz sztywnoś ci elementu prę towo- pł ytowego wyznacza się w ogólnej postaci jako

(2- 1.) [/ c„_P]= [Kl+[kp],

gdzie: [ku] — macierz sztywnoś ci rusztu jednoobwodowego ramy obcią ż onej przestrzennie,

[kp] — macierz sztywnoś ci elementu pł yty.

Prostoką tny element pł yty poł ą czony jest z dowolnymi elementami prę towymi n, p, r, s wzdł uż krawę dzi pł yty w sposób cią gł y (rys; 1). Wielkoś ci wę zł owe odniesione są do osi prę tów i powierzchni ś rodkowej pł yty, pominię to mimoś ród prę tów.

(2)

576 E. RUSIŃ SKI .

Rys. i. Konstrukcja rusztowo- płytowa jako zbiór elementów prostoką tnych prę towo- powłokowych. 2.1. Macierz sztywnoś ci prostoką tnego elementu płyty. Analizujemy prostoką tny element pł y-ty o wę zł ach i, j , k, 1, gdzie począ tek ukł adu współ rzę dnych przyję to w wę ź le „ i ", jak p o kazan o n a rys. 2. W każ dym wę ź le zadan e są przemieszczenia {V„}. Mają one trzy skł adowe: przemieszczenie liniowe uzn w kierunku osi z, oraz dwa obroty ax„, a,„ wokół osi x i y. Przemieszczenia wę zł ów m oż na zatem przedstawić w postaci:

(2.1.1.)

(3)

AN ALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 577

U ogólnione sił y wę zł owe odpowiadają ce tym przemieszczeniom m oż na in terpretować jako jedną sił ę i dwa m om enty.

P, (2.1.2.)

F unkcję kształ tu przyję to w postaci wielomianu [5], w którym wystę puje 12 p aram et ró w:

uz = otx + a (2.1.3.) + cc₈x2 y + <x.₉xy2 + u_l0y3 + u₁₁x3 y + a_l2xy3

M acierz sztywnoś ci, wią ż ą ca sił y wę zł owe z odpowiednim i im przemieszczeniami wę-zł ów, dla tak przyję tej funkcji kształ tu, okreś la się n a podstawie kin em atyczn ego pola przemieszczeń wg [6] w postaci:

a b

(2.1.4.) ' fc, - / / [b]T

[D][b]dxdy o o

P o wyznaczeniu elementów skł adowych powyż szego równania i scał kowaniu otrzy-m an o kowaniu otrzy-macierz sztywnoś ci prostoką tn ego elementu pł yty, którą przedstawion o w tablicy I .

2.2. Macierz sztywnoś ci rusztu jednoobwodowego. Rozważ any ruszt jest zbudowan y z czterech prę tów cienkoś ciennych n, p, r, s poł ą czonych ze sobą sztywno (rys. 1). P rzy poł ą czen iu sztywnym zginanie prę tów jedn ego kierunku powoduje zginanie i skrę can ie prę tów dru-giego kierunku. W zwią zku z tym w wę zł ach mogą wystą pić trzy róż ne wielkoś ci statyczn e: sił a poprzeczna i dwie skł adowe m om en tów. N atom iast w rusztach z prę tów cienkoś cien-nych przy nieswobodnym skrę caniu powstaje spaczenie przekroju [1], w wyn iku czego w wę ź le wystę puje czwarta skł adowa- bim om ent. P rzedstawiony n a rys. 1 ruszt jest opisa-ny wę zł ami /, j , k, I z począ tkiem ukł adu współ rzę dnych w wę ź le „ i " .

W celu wyznaczania macierzy sztywnoś ci cienkoś

ciennego elementu (rys. 3) wykorzy-/

y

z

— L - /

i

/

y

u * k

s)

Rys. 3. Wydzielony element prę ta cienkoś ciennego.

stuje się zamieszczone w pracy [1] równanie róż niczkowe ką tów obrotu przekroju przy nieswobodnym skrę caniu w postaci :

(4)

O H N

I _ l

i

, i TH I N • • i- i — ,- . & *t i* -t

L j ^ J O ^ J H) O Cu <4j O <U ^) <i> <U 1 - 1 f Ol *t 00 O 1 1 r~- Vj rt t ł \0 w I I I I 11 ! "* N *-< N \D -sł i i . _j ' " Qj O ^ ^J < ^ (j| ^ j ^) 4) f ^ ^*" " ^. » « i ! i » 'ia « « . . ^ t' . "-< | "Q „ „

i ^. - _ 1 3 1 ? 1

• a S «

B

» «

•a - > « | ^ — ^ to S J ^ - ^ .

**| 1 _ ^ "* 5s**

I % . ^ _ ^ J^ i

2 , 0 0 , 2 « M S w ^ T " ^ 1 • - " " I ^- ^ S ^ | « oo . , " 1 "-1 <3 « -* <3 « -* ^ a 2 - lx " ^ ^ -"? ^ ^

**a * »i » « « ^ ^ „**

^ ^ u ii

C ff " ^ - « 1 a " to »> t« » •* n | N 1 M 1 M « - •

**•3 + * |2 - 3 + ^ "**

•« + ^

i | i § i % i 2

s

c "i

+

.

T

+

A

+ + +

„

2 i « u

II

u

II

u

II II II

u

« _ ^ ff « <? ff, c « s

_W

3 5 |

1" 1

II

1

(5)

EI

y

z = - Mg

oraz równanie osi ugię cia prę ta

(2.2.2.)

gdzie: E — moduł Youn ga,

G — moduł Kirchhoffa,

Id — m om en t bezwł adnoś ci przekroju n a skrę canie,

Jm — gł ówny wycinkowy m om en t bezwł adnoś ci przekroju,

Iy —• m om ent bezwł adnoś ci przekroju na zginanie.

Z przedstawionych powyż szych równań róż niczkowych wyznaczono macierz sztywnoś ci dla prę ta cienkoś ciennego (rys. 3), którą zamieszczono w tablicy 2.

T a b l i c a 2.

Macierz sztywnoś ci cienkoś ciennego elementu prę ta. 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 [*,] = A = 5 = F = ~k2 = A 12237, L3 6EIy L2 AEIy L Gh EJm 0 M S 1 0 - P S Y 2EI, L - B 0 0 F M Ą 0 0 B A E 0 R - P 0 0 M T 0 P S 0 0 p

s

- B 0 0 T B 0 0 F M = ——- [k • £cosh(Ł L)- sinh(fcZ,)], gk

- [cosh(/ ti)- l],

—~[sinh(,kL)- kL], qk Z"1 T k- siDh{kL), q = 2+ H ,sinh(H / )- 2cosh(fcL) gdzie: L przyjmuje wartoś ci a lub b.

P o okreś leniu macierzy sztywnoś ci prę ta, okreś lamy macierz sztywnoś ci rusztu jedn o-obwodowego wedł ug nastę pują cej zależ noś ci:

(2.2.11.)

gdzie: [C] — macierz transformacji z ukł adu rusztu jedn oobwodowego d o u kł ad u lokal-nego prę ta.

(6)

580 E. RUSIŃ SKI

M acierz tran sform acji przedstawia zależ ność

J[CJ 1

[ [C_E]\ '

(2.2.12.) [C] gdzie:

(2.2.13.)

K ą t y w tym przypadku przyjmuje dwie wartoś ci, zależ nie od poł oż enia prę ta, w ruszcie jed n o o bwo d o wym : 0 lu b jt/ 2. M acierz sztywnoś ci elementarnego rusztu jednoobwodowego

[ku] przedstawion o w tablicy 3.

2.3. Macierz sztywnoś ci elementu prostoką tnego prę towo- płytowego. Znają c macierze sztywnoś ci elem en tów, pł yty [ku] (tabl. 1) oraz jednoobwodowego rusztu [kp] (tabl. 3) wyznacza się

1 0

0

0 0

1

0 0

0

0 cosy — sin y 0 0 sin y cosy

Rys." 4. Prostoką tny element prę towo- pł ytowy.

m acierz sztywnoś ci elem entu prę towo- pł ytowego [fc„_p] n a zasadzie superpozycji jak to pokazan o n a rys. 4.

Z agadn ien ie sprowadza się d o dodan ia odpowiednich skł adników do siebie. D oda-wan ia tego nie m oż na zrobić wprost, gdyż macierz sztywnoś ci [ku] ma w wę ź le 4 skł adowe

(uZf, xt, aXl, ay, ) n atom iast macierz sztywnoś ci pł yty m a w wę ź le p o 3 skł adowe (uZl, <xXl, ay,) W m acierzy sztywnoś ci pł yty brakują ce wiersze i kolum ny pochodzą ce od deplanacji przekroju prę ta uzupeł n ia się zerami, w wyniku czego otrzymuje się nową macierz [k*].

Wówczas równ an ie (2.1) przyjmuje postać:

(2.3.1.) [ fc

_H

_j = [ jy+[ f c ji,

gdzie: [k%] — macierz sztywnoś ci elementu pł yty z zerową deplanacją przekroju. Z e wzglę du n a wymiary macierzy sztywnoś ci [ku_p] przedstawia sieją w formie:

(2.3.2.)

_{[*»- J =}

Odpowiedn ie podm acierze [kt], [k2] i [k3] zamieszczone są w kolejnych tablicach 4, 5 i 6.

3. Program PPLY

P owyż ej przedstawion a m acierz sztywnoś ci cienkoś ciennego elementu prę towo- pł y-towego, posł uż yła do zbudowan ia program u PPLY. opartego na metodzie elementów skoń czon ych z uwzglę dnieniem skrę cania nieswobodnego. P rogram ten n apisan o w ję zyku

(7)

„ „ ^ „ xĄ ^ o O - i O ^ O O O O ^ O O ^ C ą 0 - ! © 1 i ^ a J - o t - ł o o o o o o ^ t o o c J o T + "" 1 1 Ł J L. . !

" - 5?

• n ba < s o o o o o n , o Y | c C o + ^> _ą > §f o. - *- *Ą o>

? Se

S

^ ~*

**i * &**

i - • ^ - ^ ^

s a s o o o o j ' O c q - o + o ^ v

I . f o - o

_h

- „y f o J », 1

| , o < 4 o f C | «,

@ M

|

**• o < f © o + ' ^ ] | J |**

1 * v; °

- "5 f + ^ i

. ""i 35 ^ 3 " M o + NT ' "3 • X . ^ 1

2 . ' ^

u 1

3 - + II EC 1

1 I

II [581]

(8)

1

0

<?

ft

s

E

ft?

B?

J

h

05°

1 M

N

3

0

1 [582]

(9)

iH (S m *t ir\ *J5

I

fu o

i

O CO

I

!

I

o

+

F OR TR AN 1900 i uruch om ion o go n a maszynie cyfrowej serii O D R A 1300. Obliczać moż na dowolne konstrukcje pł askie obcią ż one przestrzennie, skł adają ce się z elem en tów:

prę towo- pł ytowych (o elementach prostoką tnych), — prę towych (ruszty),

— pł ytowych.

Prę ty mogą być o dowolnym, lecz stał ym przekroju, a w poł ą czeniu z pł ytą stanowią jej oż ebrowanie lub wzmocnienie brzegów. Obcią ż enie zewnę trzne może być stał e cią gł e lub skupione — przykł adane w wę zł ach elementów. W danym do program u należy p o d ać dyskretne wielkoś ci geometryczne prę tów i pł yty. Jako wyniki otrzymuje się przemieszcze-nia wę zł ów konstrukcji (uz,x, ax, ay) oraz sił y wewnę trzne w elementach prę towych i pł y-towych. P on adto program P P LY liczby w każ dym elemencie prę towym n aprę ż en ia: — gną ce (er9),

— normalne wycinkowe (am — pochodzą ce od bim om en tu), — styczne do San- Venanta (T„ ),

— styczne wycinkowe ( rm) ,

— zredukowane (<r2 — wg hipotezy H ubera),

oraz w elemencie pł yty naprę ż enia ax, ay, rxy i zredukowane az.

4. Przykł ady liczbowe

N a podstawie opracowanego program u rozwią zano szereg prostych przykł adów liczbowych. Jako pierwszy przedstawiono przykł ad ramy pł askiej (rys. 5) obcią ż onej przestrzen -nie, której wytrzymał ość obliczono dwiema m etodam i, powyż szą z uwzglę dnieniem skrę -cania nieswobodnego (P P LY) oraz bez skrę cania nieswobodnego (WAT- KM ). Wyniki obliczeń wedł ug m etod został y przedstawione w tablicach 7 i 8.

Analiza naprę ż eń stycznych (tabl. 7) wykazał a, że system WAT- KM daje zawyż one wartoś ci naprę ż eń stycznych (w tym przypadku o 61,5%) przy jedn akowym lu b mniejszym momencie skrę cają cym w porówn an iu z przedstawioną metodą obliczeń. R ozbież n ość

Q rodzaj profilu I I nr prę ta

(12)

T a b e l a 7.

Zestawienie wewnę trznycli momentów skrę cają cych i naprę ż eń stycznych w poszczególnych elementach ramy (porównanie z nieswobodnym skrę caniem). N r prę ta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PPLY [kG cm] - 798, 0 —798,0 959,1 959,1 - 798, 0 - 798, 0 959,1 959,1 - 489, 3 [kG cm] - 1600, 5 - 1600, 5 1920,6 1920,6 - 1600, 5 - 1600, 5 1920,6 1920,6 - 3193, 6 M* [kG cm] - 2398, 6 - 2398, 6 2879,8 2879,8 - 2398, 6 - 2398, 6 2879,8 2879,8 - 3683, 0 KM - WAT Ms • [kG cm] - 1129, 5 - 1129, 5 2882,9 2882,9 - 1129, 5 - 1129, 5 2882,9 2882,9 PPLY [MPa] 40,59 40,59 23,50 23,50 40,59 40,59 23,50 23,50 23,0 [M Pa] 8,3 8,3 3,68 3,68 8,3 8,3 3,68 3,68 [MPa] 48,9 48,9 27,18 27,18 48,9 48,9' 27,18 27,18 KM- WAT [MPa] 58,9 58,9 70,6 70,6 58,9 58,9 70,6 - 70,6 — [%] - 16, 9 - 16, 9 - 61, 5 - 61, 5 - 16, 9 - 16, 9 - 61, 5 —61,5 *M, = - • 1 0 0 ;

P P LY — system oparty na m etodzie elementów skoń czonych z uwzglę dnieniem skrę cania nieswobodnego,

K M — system oparty na metodzie elementów skoń czonych (bez skrę cania nieswobodnego) opracowany przez KM S i Wytrz. M at . WAT.

T a b e l a 8.

Zestawienie maksymalnych naprę ż eń normalnych i zastę pczych w elementach ramy skrę tnej (porównanie z nieswobodnym skrę caniem). N r p rę t a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M P a 7,389 7,389 1,99 1,99 7,389 7,389 1,99 1,99 0,00 PPLY M P a 237,1 237,1 75,39 75,39 237,1 237,1 75,39 75,39 276,87

K

M Pa 244,5 244,5 77,38 77,38 244,5 244,5 77,38 77,38 276,87 KM- WAT <y, — o„ M P a 7,397 7,397 2,576 2,576 7,397 7,397 2,576 2,576 0,0 ^ ( P - K ) ii / o 96,9 96,9 96,7 96,7 96,9 96,9 96,7 96,7 100 P P LY M P a 258,7 258,7 90,57 90,57 258,7 258,7 90,57 90,57 KM - WAT M P a 102,3 102,3 122,4 122,4 102,3 102,3 122,4 122,4 — / o 152,8 152,8 - 26, 0 - 26, 0 152,8 152,8 - 26, 0 - 26, 0 100; 100; a„ =

<fg — n aprę ż en ia gn ą ce, tfw — n orm aln e naprę ż enia wycinkowe (pochodzą ce od nieswobodnego skrę cania), at—naprę ż enia

zastę pcze wg hipotezy H ubara.

(13)

I

ta wynika stą d, że przy skrę caniu nieswobodnym prę tów cienkoś ciennych cał kowity m o -ment skrę cają cy jest równy

(4.1.) Afs =

momentowi de San Ven an ta (Mv) i m om en towi gię tno- skrę tnemu (Ma), n at o m iast w m e

-todzie bez skrę cania nieswobodnego (system WAT- KM ) przyjmuje się , że m o m e n t cał ko-wity skrę cają cy

(4.2) Ms= Mv,

jest równy m om entowi de San Ven an ta, w wyniku czego otrzymuje się n ieadekwatn e n a -prę ż enia styczne. Z porówn an ia n a-prę ż eń n orm aln ych (<r„) obu m etod w tabl. 8 wynikają duże rozbież noś ci, ponieważ w m etodzie z uwzglę dnieniem skrę cania n ieswobodn ego są one równe

(4.3.) an=og+am,

tzn. sumie naprę ż eń gną cych (crg) i wycinkowych (<rm) — pochodzą cych od bim om en t u .

W metodzie (WAT- KM ) bez skrę cania nieswobodnego n aprę ż en ia n orm aln e są równe naprę ż eniom gną cym

(4.4) an = og?

Z porównania naprę ż eń zastę pczych (tabl. 8) wynika, że bł ą d w obliczeniach prowa-dzonych bez uwzglę dnienia teorii prę tów cienkoś ciennych jest znaczny i osią ga w tym wypadku 152,8%. Oprócz tego należy zwrócić uwagę n a m aksym aln e n aprę ż en ia (prze-krój niebezpieczny), które wedł ug obu m etod są w róż nych przekrojach ram y (rys. 5).

D rugim przykł adem jest p ł y t a k w a d r a t o w a i z o t r o p o w a (rys. 6), podparta w n aroż ach i obcią ż ona równomiernie (q). W tabl. 9 porówn an o wyn iki analizy

.

Rys. 6. Pł yta kwadratowa izotropowa obcią ż ona równomiernie.

metodą elementów skoń czonych otrzymane program em P P LY z przykł adem Z ien kie-wicza [7] i innymi rozwią zaniami przybliż onymi. W tym przypadku, gdzie kon cen tracja sił w naroż ach komplikuje zagadnienie, uzyskano dosyć dobrą zgodn ość zarówn o prze-mieszczeń, jak i naprę ż eń. P rzy bardziej zagę szczonej siatce podział u n a elem enty uzyskują się wię kszą dokł adn ość i zbież ność wyników. • x

T r z e c i m p r z y k ł a d e m l i c z b o w y m jest konstrukcja prę towo- pł ytowa skrę cana asymetrycznie. Przedstawioną konstrukcję n a rys. 7 podzielon o n a trzy elem en ty

(14)

588 E . RUSIŃ SKI

T a b l i c a 9.

Zestawienie przemieszczeń kwadratowej pł yty liczone róż nymi metodami.

P P LY Zienkiewicz M arcus Lee i Ballesteras PPLY Obcią ż enie Siatka 2 x 2 4 x 4 2 x2 4x4 Dbcią ż enie 2 x 2 4 x 4 cią gł e (g) uz (ugię cie) Punkt 1 0,0145 0,01677 0,0126 0,0165 0,0180 0,0170 siłą skupioną 0,07695 0,09066 Punkt 2 0,0217 0,0249 0,0176 . 0,0232 0,0281 0,0265 Mnoż nik : " ' (P) 0,14662 0,15977 P1

Punkt 1 — ś rodek boku, punkt 2 — ś rodek ptyty, D i — sztywność płyty.

P= 98,6 N

Rys. 7. Konstrukcja prę towo- pł ytowa skrę cana asymetrycznie.

prę towo- pł ytowe (2.3.2.) Analizę wytrzymał oś ciow

ą przeprowadzono MES z uwzglę

-dnieniem skrę cania nieswobodnego programem PPLY. Ze wzglę

du na brak w litera-turze podobnej analizy cienkoś ciennej konstrukcji prę towo- pł

ytowej, w tabl. 10 porów-nano wyniki przemieszczeń wę zła pod siłą skupioną

dla trzech przypadków konstrukcji: pły-towej, ramowej i ramowo- pł ytowej.

Przeprowadzona analiza trzech przykł adów wykazał

a, że przedstawiona metoda obli-czeń cienkoś ciennych konstrukcji prę towo- pł ytowych daje wyniki zadawalają ce. Uwzglę

d-nienie dodatkowego stopnia swobody x (deplanacja przekroju prę ta cienkoś ciennego),

pozwala na osią gnię cie wyników zbliż onych, odpowiadają cych rzeczywistym w stosunku

do tradycyjnej MES (tabl. 7, 8). Ponadto wyprowadzona macierz sztywnoś ci pł yty (tabl. 1)

w porównaniu z wynikami np. Zienkiewicza (tabl. 9) przy tej samej siatce podział u daje

wyniki dokł adniejsze. D la podział u na elementy 2 x2 róż nica wyników wynosi 18%,

a przy 4 x 4 już 6,8% (tabl. 9). Róż nice wyników maleją przy wzroś cie liczby elementów,

na jaką konstrukcja został a podzielona. N atomiast jest bardzo waż ne

, że program PPLY

(15)

ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 589 T a b l i c a 10. Maksymalne przemieszczenia trzech typów konstrukcji. Przemieszczenia w wę ź ie nr 8 x [l/ m] a*[rad] a, [rad] konstrukcja ramowa - 0,33685 - 0,00000233 - 0,00420937 0,0011192 pł ytowa - 33,01587299 0,0 - 0,31269841 0,11005291 ramowo- pł ytowa - 0,33344 - 0,00000231 - 0,00416688 0,0011079 M noż nik

io-

2 102 — —

dla duż yc

h elementów daje wyniki dokł

adniejsze od innych metod, a tym samym po-twierdza moż liwoś

ć stosowania programu do analizy wytrzymał oś ciowej cienkoś ciennych

konstrukcji z podział em na elementy prę towo- pł ytowe. Taki podział dla konstrukcji

powtarzalnych pozwala w znaczny sposób skrócić efektywny czas liczenia i nie zajmuje

tyle pamię ci EMC, jak przy uż yci

u systemu ASKA, SEZAM- 69 lub KM- W AT, w których

oddzielnie są liczone macierze sztywnoś ci poszczególnych prę tów i pł yt.

- Literatura cytowana w tekś cie

1. Y. Z. VLASOV, Tonkostennye uprugie sterzhni. G osud. izdat. fiziko- matem. literatury, M oskva 1959. 2. J. H . AROYRIS, D . RADAJ, Steifigkeitsmatrizen diinnwandiger Stobe undStabsysteme. Ingenieur — Archity,

N r 40/ 1971.

3. E. RUSIŃ SKI, Obliczanie ram samochodowych wedł ug metody elementów skoń czonych i teorii prę tów cienkoś ciennych, Technika Motoryzacyjna n r 1 i 2/ 78.

4. E. RUSIŃ SKI, Analiza konstrukcji prę towo- tarczowych metodą elementów skoń czonych. M TiS, zeszyt 2/ 1981.

5. J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of Matrix Structural Analysis. McG raw- H ill 1968. 6 O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych. Arkady, Warszawa 1972.

7. O. C. ZIENKIEWICZ, Y. K. CHEUN G

, The finite element method for analysis of elastic isotropic and ortho-tropic slabs, Proc. Inst. Civ. Eng., 28, s. 471 - 88, 1964.

P e 3 M M e

CTATIMECKHH AH AJIH 3 CTEPJKHE- IIAHEJILHfclX KOH CTPYKirH fi METOflOM KOHE^HBIX 3JIEMEH TOB C Y^IETOM CTECH fiH H OrO

B pa6oTe orracaH ycoBepnieHCTBOBaiiHBiH n o cpaBH emno c npiiMeHHeiwbiM flo CHX n o p DJieiweHioB fljia anajneraa TOHKOCTCHHLIX cTep>KHenaHejiLHŁix KOHcrpyKipiH.

cnoco6 noflpa3fleneHHH KOHCTPYKIIHH Ha crepacH e — naHenBHBie ajieM embij co cT o am ae H3 H crepH m en Ha K paax, a TaioKe onpefleneH a M acrpima JKeTKocTH TaKoro snemesxa c yqeioM CTec-He'HHoro KpjmeHHH. On peflen en a TaioKe M aipima HanpSDKemnb H BHeiUHaa cruionraaH H arpy3Ka 3JienaHejiH. Pa3pa6oTaH a nporpaMMa Ha H3Bn<e O O P T P A H 1900 flJin pac^ieia TOHKOcreHHtK KOH

-naH ejitH tix H crrep>KHe- -naHejibHBix. 6 Mech. Teoret. i Stos. 4/81

(16)

590 E. RUSIŃ SKI

S u m m a r y

T H E M ETH OD OF F IN ITE ELEMEN TS I N STATICAL AN ALYSIS OF TH E ROD - SH IELD CON STRU CTION , WITH N ON - FREE TORSION , TAKEN IN TO

ACCOUN T

The existing finite elements method has been improved for the analysis of thin- walled rod- shield constructions. The rod- shield construction consist of a thin panel framed with rods on all sides.

The stiffness matrix of such elements has been determined by taking into account the non- free torsion of the rods. The stress- matrix and external continous loading matrix of an element have been also deter-mined. The program P P LY in F ORTRAN 1900 language for calculations of thin- walled constructions has been worked out. Th e program applies to calculation of rod constructions, rod- shield constructions and panel constructions. The program has been tested on computer Odra 1300. The paper has been illustrated with examples to verify the total procedure.