ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH M

43, s. 211-218, Gliwice 2012

ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

M

M

Katedra Konstrukcji Betonowych, Politechnika Wrocławska e-mail: michal.musial@pwr.wroc.pl

Streszczenie. W pracy opisano metodę obliczania ugięć belek żelbetowych z uwzględnieniem dyskretnego modelu rysy. Prezentowane podejście opiera się na metodzie sztywnych elementów skończonych. Wyprowadzono zależności, pozwalające obliczyć sztywność więzi obrotowej (rotacyjnej) elementów skończonych wmiejscu pojawienia się rysy. Wyniki analiz numerycznych, przeprowadzonych własnym programem obliczeniowym, porównano z wynikami eksperymentu.

1. WSTĘP

Znamiennym zjawiskiem, dotyczącym zginanych belek żelbetowych,jest zarysowanie.

Rysy prostopadłe do osi elementu powstają, gdy naprężenia przekroczą wytrzymałość betonu na rozciąganie. Dla elementu zginanego można określić tzw. moment rysujący Mcr, którego przekroczenie wiąże się z pojawieniem rys. Należy zaznaczyć, że większość zginanych konstrukcji żelbetowych pracuje w stanie zarysowania (zwykle moment rysujący jest nawet kilkakrotnie mniejszy niż nośność elementu). Są to jednak rysy o niewielkiej rozwartości.

Wytyczne normowe nakazują ograniczać je na etapie projektowania do 0,1 –0,3 mm.

Zjawisko występowania rys wiąże się z degradacją sztywności elementu. Wpływa zatem na uogólnione przemieszczenia oraz redystrybucję sił wewnętrznych w ustrojach hiperstatycznych. W związku z tym obliczanie konstrukcji żelbetowych wymaga specjalistycznego podejścia, uwzględniającego interakcję dwóch materiałów (betonu i stali) oraz zarysowanie. Zagadnieniami tymi zajmowało się wielu badaczy w Polsce [4] oraz zagranicą [2]. Można przytoczyć prace, które opisują zjawisko za pomocą sztywności zmiennej liniowo bądź nieliniowo po długości elementu [2, 6]. Istnieją teorie stosujące sztywność stałą odcinkami [10]. Mniej popularny jest natomiast opis zjawiska za pomocą rachunku dystrybucyjnego [1].

W niniejszym artykule zaprezentowano własne podejście do problemu obliczania ugięć belek żelbetowych. Opiera się ono na metodzie sztywnych elementów skończonych [5], która mimo swojej popularności w dziedzinie mechaniki maszyn [3, 8] nie znalazła szerokiego zastosowania w analizie konstrukcji budowlanych. W pracy zastosowano wariant prezentowany przez J. Langera [7] dla konstrukcji jednorodnych. Zaproponowano sposób budowy macierzy transformacji współrzędnych uogólnionych na dyslokacje względne elementów, dający się łatwo zautomatyzować w obliczeniach numerycznych. Ponadto wyprowadzono zależności na sztywność więzi obrotowych w miejscu pojawienia się rys.

2.MODEL KONSTRUKCJI JEDNORODNEJ

W metodzie sztywnych elementów skończonych modelem konstrukcji prętowej są sztywne tarcze masowe połączone więziami sprężystymi. Każdej z tarcz odpowiadają trzy współrzędne uogólnione (dwie przemieszczeniowe/translacyjne i jedna obrotowa/rotacyjna).

Cechy sprężyste ustroju reprezentowane są przez więzi łączące tarcze. Podobnie jak w przypadku współrzędnych uogólnionych są dwie więzi przemieszczeniowe (translacyjne) i jedna obrotowa (rotacyjna). W przypadku zagadnienia zginania statycznego zadanie ogranicza się,nie uwzględnia się bowiem sił bezwładności oraz współrzędnych uogólnionych i więzi sprężystych związanych z odkształcalnością osiową. Równanie statyki w metodzie sztywnych elementów skończonych jest zatem postaci:

P

Kq  , (1)

gdzie: K – macierz sztywności, q – wektor współrzędnych uogólnionych, P – wektor obciążenia.

Na rys. 1 pokazano przykładowy model konstrukcji bez warunków brzegowych. Pręt podzielono na cztery elementy skończone o długości le. Przez qi oznaczono współrzędne uogólnione, odpowiadające poszczególnym masom skupionym. Masy są połączone więziami sprężystymi o sztywności obrotowejk_ oraz przemieszczeniowejk_.

Rys. 1. Schemat i model numeryczny pręta jednorodnego

Sztywności poszczególnych więzi można obliczyć, porównując energię potencjalną elementu sztywnego i elementu sprężystego. Modele elementów pokazano na rys. 2 [7].

Rys. 2. Modele elementarne do wyprowadzenia sztywności więzi [7]

Przez r oraz r oznaczono wzajemne przemieszczenia sąsiednich elementów. W zależności od nich podano wzory na ugięcie elementu w (funkcje kształtu). Tok postępowania przy wyprowadzaniu zależności na sztywności więzi pokazano za [7] równaniami (2) i (3).

3 2

3 0

2

2 12 12

2 ) 1

'' 2 (

1 2

1

e e

l

p l

k EI l r

dx EI w EI r

k

E   





 



 ^{ }



 , (2)

e e

l

p l

k EI l r

dx EI w EI r

k

E   



 



 



 _{   }





0

2 2

2 ) 1

'' 2 (

1 2

1 , (3)

gdzie:EI – sztywność giętna elementu.

Sztywności poszczególnych więzi należy zgrupować w macierz diagonalną {k}. Macierz ta dla pręta, jak na rys. 1, ma postać:

} , , , , , , , { }

{k diag k_ k_ k_ k_ k_ k_ k_ k_ . (4) Energia potencjalna odkształcenia ustroju wyraża się wzorem:

r r { } 2

1 k

E_p  ^T , (5)

gdzie: r – wektor dyslokacji względnych.

Wektor współrzędnych uogólnionych q można transformować na wektor r wg zależności:

q A

r _k , (6)

gdzie: Ak – macierz transformacji.

Na podstawie zależności (5) oraz (6) można zapisać wzór na energię potencjalną całego ustroju w postaci:

Kq q q A A

q^T _k^T _k ^T

p k

E 2

} 1 2 {

1 

 . (7)

Macierz sztywności całego ustroju K ma zatem postać:

k

k A

A

K ^T{k} . (8)

Proces tworzenia macierzy transformacji Akw realizacji numerycznej można zautomatyzować. Wiedząc, że transformacja współrzędnych uogólnionych na dyslokacje względne dla pojedynczego elementu wyraża się wzorem:



































 























 







4 3 2 1

4 3 2 1

2 1 2 1

0 1 0 1

q q q q l

l q

q q q

r r

e kU e

 A , (9)

łatwo jest zbudować macierz transformacji Ak o strukturze pasmowej dla całego ustroju belkowego. Dla schematu, jak na rys. 1, jest ona postaci:

(10)

W celu realizacji numerycznych można zapisać wyrażenie ogólne na niezerowe wartości i- tego wiersza, j-tej kolumny macierzy transformacji Ak o wymiarach 2nel×nq (nel – liczba elementów skończonych, nq – liczba współrzędnych uogólnionych):













































2 4,..., , 2 dla 1 2 ,

2 4,..., , 2 dla 1 2 ,

2 2,..., , 1 dla 2 gdy

, 1

2,...,2 , 1 dla gdy

, 1

,

e el e el

el el

ij k

n i

i l j

n i

i l j

n i

i j

n i

i j

A . (11)

W prezentowanym podejściu warunki brzegowe wprowadzane są przez usunięcie odpowiednich wierszy lub kolumn z macierzy transformacji Ak oraz wektora współrzędnych uogólnionych q. Numery wierszy i kolumn odpowiadają numerowi współrzędnej uogólnionej, w której miejscu wprowadza się więź (obrotowąi/lub przemieszczeniową).

Proces dekompozycji macierzy dla pręta, jak na rys. 1, przedstawiono schematycznie poniżej (12). Zadano podparcie przegubowe na obu końcach.

(12)

3.MODEL BELKI Z RYSAMI 3.1.Podstawy teoretyczne metody

Prezentowana metoda sztywnych elementów skończonych pozwala uwzględnić zarysowanie elementu żelbetowego w sposób dyskretny. Jak pokazano w punkcie 2., jednym z elementów, prowadzących do rozwiązania, jest sformułowanie macierzy diagonalnej {k} wg (4).

W macierzy na diagonali zgrupowane są sztywności więzi, łączących tarcze masowe.

Odpowiedni podział na elementy skończone (taki, aby rysa znajdowała się w połowie odległości między tarczami masowymi) umożliwia wprowadzenie efektu zarysowania do obliczeń poprzez redukcję sztywności więzi obrotowej w miejscu pojawienia się rysy.

Schemat oraz model numeryczny pręta żelbetowego z rysami pokazano na rys. 3.

Wprowadzono następujące oznaczenia: l_eⁱ,l_e^j,...,l_e^m – długości elementów i, j,…, m;

m j

i k k

k_, _,..., _ – sztywności więzi przemieszczeniowych elementów i, j,…, m, obliczone na podstawie sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowanego (w I fazie pracy) – EII; k_^j,k_^m – sztywności więzi obrotowych elementów j, m, obliczone na podstawie sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowanego (w I fazie pracy) – EII;

l cr k cr i

cr k k

k_^, _^ , _^ – sztywności więzi obrotowych elementów i, k, l z uwzględnieniem rysy.

Rys. 3. Schemat i model numeryczny zarysowanego pręta żelbetowego

Odstępy między rysami są różne. Skutkuje to tym, że elementy skończone są różnej długości. W praktyce propagacji rys w konstrukcjach żelbetowych towarzyszy pewna regularność i pojawiają się one w podobnych rozstawach. W dalszych rozważaniach przyjęto uśredniony rozstaw rysy dla całej belki. Pozwala to znacznie uprościć obliczenia. Elementy skończone mają wtedy stałą długość le.

Parametrem pozostającym do określenia jest sztywność obrotowa elementu z rysą. Jeżeli przyjąć, że podatność obrotowa elementu z rysą jest sumą podatności, jaka wynika z odkształcalności giętnej oraz z faktu wystąpienia rysy, to można napisać:

i cr i i

cr d d

d_^  _ , (13)

gdzie: d_^cri – podatność obrotowai-tego elementu z rysą, d_ⁱ – podatność obrotowai-tego elementu w fazie I (bez rysy), d_crⁱ – podatność obrotowa, wynikająca z rysy w i-tym elemencie.

Odwrotnością sztywności jest podatność, a zatem:

 

 ⁱ

i k

d_{ } . (14)

gdzie: k_ⁱ – sztywność więzi obrotowej w i-tym elemencie, obliczona z zależności (5.1), dla sprowadzonej sztywności giętnej w fazie I – EII.

Dla znanej podatności, wynikającej z faktu wystąpienia rysy, można zapisać zależność na sztywność więzi obrotowej elementu, pracującego w fazie II (z rysą):

 

cr

d k k

 _ 



1

1



 . (15)

Obliczona na podstawie zależności (15) sztywność obrotowa może być elementem macierzy diagonalnej {k}, zawierającym wpływ wystąpienia rysy.

3.2.Podatność obrotowa wynikająca z rysy

Podatność obrotową rysy określono na podstawie elementarnych zależności geometrycznych oraz wytrzymałości materiałów. Rozpatrzono schemat jak na rys. 4.

Oznaczenia:

d – wysokość użyteczna przekroju srm – średni rozstaw rys

wk – rozwartość rysy

xII – wysokość strefy ściskanej po zarysowaniu

– kąt rozwarcia rysy

Rys. 4. Schemat do obliczenia podatności obrotowej rysy

Siły działające w przekroju przez rysę (A-A), dla trójkątnego rozkładu naprężeń w betonie, pokazano na rys. 5.

Oznaczenia:

As1 – pole przekroju zbrojenia b– szerokość przekroju belki Fc – siła w betonie, Fs – siła w stali M – moment zginający

c – naprężenia w betonie

s – naprężenia w stali w przekroju przez rysę

Rys. 5. Siły w przekroju przez rysę

Na podstawie rys. 5 zapisano równanie równowagi momentów względem punktu P:

1 1

1 3 3

3





 



 



 

 











 

 









 

 



 _s ^II _{s s} ^II _{s s} x^II

d A x M

d x A

d F

M   . (16)

Wzór na średnią rozwartość rys ma postać:

 

s rm sm sm rm cm sm

k s

s E s

w         , (17)

gdzie:sm – średnie odkształcenie stali między rysami, cm – średnie odkształcenie betonu między rysami, sm – średnie naprężenie w zbrojeniu między rysami, Es – moduł Younga stali.

Średnie naprężenia w stali między rysami z naprężeniami w przekroju przez rysę wiąże współczynnik z – według zależności (18).

M sM^cr

z  31, 

 , (18)

gdzie: s – współczynnik, wynoszący odpowiednio:1,1 – przy obciążeniu krótkotrwałym,0,8 – przy obciążeniu długotrwałym, Mcr – moment rysujący.

Zależność na średnie naprężenie w stali ma zatem postać:

s z

sm  

   . (19)

Na podstawie rys. 4 można zapisać wyrażenie na kąt rozwarcia rysy:

II k

x d

w

 

 . (20)

Zgodnie z wzorami (16) – (20) zapisano poniżej zależność na podatność obrotową, wynikającą z rysy:

) (

3 )

1 ( II II

s s

rm z cr

x x d

d A E d s











  

. (21)

4. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA METODY

W doświadczeniu przebadano trzy serie belek (rys. 6). Strzałkę ugięcia rejestrowano czujnikami indukcyjnymi. Po każdym kroku obciążenia inwentaryzowano makroskopowo rysy w elemencie. Szerszy opis metodologii badań oraz właściwości materiałów (betonu i stali) podano w [9].

Na wykresach poniżej (rys. 7) zestawiono wyniki pomiarów i analiz numerycznych.

Obliczenia przeprowadzono własnym programem numerycznym [11] dla każdego z kroków obciążenia.

Rys. 6. Stanowisko badawcze (a) i przekroje badanych belek (b) – wymiary w mm

a) b)

Rys. 7. Wyniki pomiarów i analiz numerycznych dla poszczególnych serii:

a) B-I, b) B-II, c) B-III

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ugięcie [mm]

M [kNm]

pomiar MSES__

Serie4 B-I-3 Serie6

0 5 10 15 20 25 30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ugięcie [mm]

M [kNm]

pomiar MSES__

Serie4 B-III-3 Serie6

0 10 20 30 40 50 60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ugięcie [mm]

M [kNm]

pomiar MSES__

Serie4 B-IV-3 Serie6

5.PODSUMOWANIE

Uzyskano dużą zgodność wyników, szczególnie w zakresie do 50 % zaawansowania obciążenia w przypadku belek słabo zbrojonych (serie B-I i B-II) oraz do 30 % w przypadku belek silnie zbrojonych (seria B-III). Wyniki spoza tego zakresu charakteryzują się większymi różnicami (około 30 %). Przeszacowania ugięć można upatrywać w tym, że w obliczeniach uwzględniono każdą, makroskopowo zaobserwowaną w trakcie eksperymentu, rysę. Rysy powstałe w wyższych krokach obciążenia (bliżej podpór) nie są tak głębokie jak te, które powstały w początkowych krokach. W prezentowanym modelu numerycznym zakłada się natomiast, że każda rysa sięga osi obojętnej belki.

Wyniki obliczeń potwierdziły zatem przydatność prezentowanej metody do obliczania ugięć zarysowanych belek żelbetowych. Różnice między rezultatami eksperymentu a analizami numerycznymi nie są znaczne. Tym bardziej, że w pracy [4] wykazano, że ugięcia obliczone różnymi metodami mogą różnić się nawet o przeszło 50 %.

LITERATURA

1. Borcz A.: Teoria konstrukcji żelbetowych: wybrane zagadnienia. Cz. I. Wrocław: Wyd.

Pol. Wrocł., 1973.

2. Branson D. E.: Deformations of concrete structures. New York: McGraw-Hill Book Company, 1977.

3. Gancarczyk T., Harlecki A.: Analiza drgań elementów rurowych parownikawywołanych cyklicznymi uderzeniami. „Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 79-86.

4. Kamiński M., Szechiński M., Ubysz A.: Teoretyczne i praktyczne podstawy obliczania ugięć elementów żelbetowych. Wrocław: DWE, 1998.

5. Kruszewski J., Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S.: Metoda sztywnych elementów skończonych. Warszawa: Arkady, 1975.

6. Kuczyński W.: Konstrukcje betonowe : kontynualna teoria zginania żelbetu.Warszawa:

Wyd. Nauk. PWN, 1971.

7. Langer J.: Dynamika budowli. Wrocław: Wyd. Pol. Wrocł., 1980.

8. Lipiński K.: Sztywne elementy skończone w modelowaniu drgań wirującej belki napędzanej silnikiem prądu stałego zasilanym z prostownika tyrystorowego.

„Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 231-220.

9. Musiał M.: Drgania belek żelbetowych z uwzględnieniem dyskretnego modelu rysy.

Praca doktorska. Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 2010.

10. Ryżynski A., Wołowicki W.: Propozycja obliczania ugięć belki żelbetowej z uwzględnieniem niegładkości jej odkształconej. „Archiwum Inżynierii Lądowej” 1968, z. 2, s. 329-347.

11. Wolfram S.: The mathematica book. Champaign: Wolfram Media and Cambridge University Press, 1999.

STATIC ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAMS WITH RIGID FINITE ELEMENTS METHOD

Summary. In the paper the method of calculation of deflections of RC beams with a consideration of discrete crack modelwas presented. Described attitude appliedRFEM. The numerical resultswere compared with the experimental ones.