View of Przykłady zagadnień z różnych działów matematyki niezbędnych do studiowania teorii miary

 !"#$#%&(')+*-,./,/&01+324 50".+6&+"7

8:9!;1<=>?>%<(@A=<B>%CD9D=CE>"FHGI>9!J1KLFM>9D=CE>%KONPKLQ79D=R1KLRP9D=>TSUWV7XZY\[PX ]

^L_a`cbd_fe!g!hfi&bd_ab:j\kmlDenaodpfeqf_ferdjtsab:jvuDwxl5y

zv{}|!~$€‚\ƒ~(|f"„"\ƒ†…$‡ˆ$‰(|Š{x‹$Œ…1~B%Žƒ$|‡1€‚‹v‘“’” •Eˆ$’” •5~$"‡ …$‡ˆB|–˜—ƒ†…1~B%ŽMƒ$™IšE•a›vƒA‡™v‘v…$‡T•Eˆ\™{5‡‡"’œ‡v{~

∗∗∗

žaŸm ¢¡c£¤¥¡c¦"§¨†©ª5«\«­¬¯®5°­±‚©²³m¨³´µ$±‚©ª5«7µ$±‚©²°7²±¨5¶7·E²¨5°7¸®D¬¯²¨5¹$©«­±°ºª5«&»¶"³´µ$±‚©ª5«&¼ µ$±‚©²°7¶7·a©ª5«vµv«­±¶c®¯»«˜©ª5«7³»c½/¾5¸±7½¯¶\±¨²µv¾!³»c©º±¨}©L»³m¸«m¿À¯»³mµ©ª5«v«&Á¯¾!«&»²«7¨5°7« ²¨±¨D¬/»«7¶c«­±‚»°ºª³m¨6©«­±°ºª5²¨5¹†©ª5«$µv«­±¶c®¯»«v©ª5«7³»c½6²©\´Â³m¸¸³­Ã%¶˜©ªD±‚©³m¨5«-³´%©ª5« ²µv¾!³»c©º±¨}©P»«­±¶c³m¨5¶ZÃ%ª}½$¶©®D¬¯«7¨}©¶Z«7¨5°7³m®5¨}©«&»%¬¯²Äv°7®5¸©²«7¶%²¨-©ª5«1¶c®5ÅÇÆ«7°&© ²¶P©ª5«7²» ²¨5¶c®¯Äv°7²«7¨}©"±Å5²¸²©½A©³-±¾5¾5¸½A©ª5«7²»1ÈǨ5³­Ã%¸«­¬¯¹m«³´³©ª5«&»"ů»º±¨5°ºª5«7¶1³´µ$±‚©ª5«7µ$±‚¼ ©²°7¶7·5«7¶c¾!«7°7²±¸¸½A³´É©ª5«"¶c«&©%©ª5«7³»c½)±¨D¬$©³m¾!³m¸³m¹½}¿

§¨L©ª5²¶a±‚»c©²°7¸«ÃP«¾¯»³m¾!³m¶c«P±%¶c«&»²«7¶a³´D¾¯»³mÅ5¸«7µT±¨D±¸½¯¶c«7¶É±¨D¬B«&Á¯«&»°7²¶c«7¶É±²µv«­¬ ±‚©Z¾¯»«7¾D±‚»²¨5¹\¶©®D¬¯«7¨}©¶©³\¶©®D¬Ç½˜©ª5«1µv«­±¶c®¯»«%©ª5«7³»c½}·Ç«7¶c¾!«7°7²±¸¸½$©³\®5¨D¬¯«&»¶©º±¨D¬ ©ª5« ¾¯»³}³´Â¶Z³´d©ª5«7³»«7µv¶³m¨-¾¯»³m¾!«&»c©²«7¶P³´f©ª5« µv«­±¶c®¯»«m·Ç²¨5°7¸®D¬¯²¨5¹B©ª5«1Êd«7Å!«7¶c¹m®5« µv«­±¶c®¯»«m¿Ë)³m¶©Z³´E©ª5«7¶c« ¾¯»³mÅ5¸«7µv¶±¨D¬v«&Á¯«&»°7²¶c«7¶P±‚»«1¾¯»«7¶c«7¨}©«­¬Ã%²©ª$¶c³m¸®¯©²³m¨5¶7· ³m®¯©¸²¨5«7¶%³´É¶c³m¸®¯©²³m¨5¶7·!ª5²¨}©¶7·5¬¯²¬5±°&©²°"»«7µ$±‚»ÈǶ%±¨D¬-°7³mµvµv«7¨}©¶7¿

§¨A©ª5²¶ ¾D±¾!«&» ÃP«B¾!³m²¨}©1³m®¯©­·!²¨±˜¾¯»º±°&©²°­±¸fÃZ±7½}·D©ª5«L¶c²¹m¨5²ÌD°­±¨5°7«\³´±°&©²Íx« »«­±m¬¯²¨5¹6³´Bµ$±‚©ª5«7µ$±‚©²°­±¸%©«&ÁÇ©¶$±¨D¬Î¶cÈDz¸´Â®5¸1®5¶c«†³´Bµ$±‚©ª5«7µ$±‚©²°­±¸%¸²©«&»º±‚©®¯»«m¿ Ï ª5²¶±‚»c©²°7¸«%²¶¬¯«­¬¯²°­±‚©«­¬B©³"Å!³©ª¶©®D¬¯«7¨}©¶É³´!µ$±‚©ª5«7µ$±‚©²°7¶:±¨D¬B©ª5«7²»±°­±m¬¯«7µv²° ©«­±°ºª5«&»¶7¿ ÐaÑÓÒMԂՂÖ× ØٝگÛ&ÜÂÝßÞAÜÂÝÇÛ&àâádÝÇãٝäàOå!ÚTæfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}éLà!ê7ëtå!ìÜÂÝDíïî}éœÞ†Ý}è&ٝކÝ}èàDðDÜéLàDämçºìÙñ‚òWófádÝ}ô ñÚ¯ÞAÚ5õ&ö)è&Ùñ˜è&ٝگÛ&ÜÜÉñÙmçè-é"ÝÇäáDàDÞ÷ٝãٝÞAٝá5è&ٝÞ÷éLàDð!çºì‚è7ÝDíê‚ٝáEÜÂÝ/ádÝÇødê‚ìà!ê‚ÜٝãÂÝ6ކÝ}è&ٝކÝ}èàDðDÜ

ù¢ú

Ý}ñÚ¯Ûmû!üPÚ}é"ýÇìð}ÝEûEþÇÿ¯ÿ
5üPÚ}é"ýÇìð}ÝEûEþÇÿ¯ÿ
øEáÝ 5ÝEûEøEãÜٝÛmû%ÜÂçºÙáEކÝÇáEá:ûfþÇÿ¯ÿ
 ­ò \Ú/ñÙñAçè&ødå!ÜÚ}é"ÝÇáEÜÂÝáEÜٝìmå!ádÝ+ñÙmçè†éLÜÙmå!ìmÝÎìmå!Ú
DàDé"ÝÇádÝæEÛ&ìÙì6çè&ødå!ٝá5è&î}é æfÚ!åDô ê‚ìmݯçAÛ&ÙmÝÇãÜìmݯêcñÜ1è7ÝÇðDÜÂê7ëTæEÛ&ìÙmå!ÞAÜÚÇè&î}évû:ñºÝÇðŠáEæ:òâè&ٝگÛ&ÜÂÝÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ܐû%è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜÂÝEû ÝÇádÝÇãÜìmÝ Þ†Ý}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìádÝEòOÜٝãÚ¯ãقè&áEÜÙÚ
dçºÙÛ&é"ݯêcñÙ/ìmÝ}ñmö/æEÛ&Ú}é"ݯå!ìÚ¯áDà!ê7ëŠìÙçè&ødå!ٝá5è7ÝÇÞAÜ\çè&ø!ô å!Üî}étކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìáDà!ê7ëø}ñºÝxéLáEÜÂÝ}ñºý-å!øEäÙè&Û&ødå!áEÚ5õ&ê‚ÜÉçè&ødå!ٝá5è&î}étæEÛ&ìàAÚ¯ædÝÇáEÚ}é"ÝÇáEÜø†è&Ù¯Ú å!ìÜÂÝDíïø†Þ†Ý}è&ٝކÝ}èàDðDܐò\Ý$áEÜٝð5è&î¯Û&ÙLì\áEÜÂê7ë†éBçºð}ÝÇìmÝÇáEÚvéOæEÛ7ݯê‚à

ù

üPÚ}é"ýÇìð}ÝEû5þÇÿxþ
­ò¯Ùmå!ádý ì1ÜÂê7ë$æEÛ&ìà!ê‚ìàDáLñÙmçèáEÜٝéLà!çè7ÝÇÛ7ê‚ìmÝ}ñºý¯êÝ"øEÞAÜÙñ‚è&áEÚ5õ&ö çè&ødå!ٝá5è&î}é?éßæfÚ5ç­íïø¯Üé"ÝÇáEÜø$çºÜ æfÚÇô è&Û&ìÙEáDàDÞAÜ¢ÝÇð5è7ÝÇÞAÜdìLÜáEáDà!ê7ëå!ìÜÂÝDíïî}éŠÞ†Ý}è&ٝކÝ}èàDðDܐò\Ú!åEÝ}è&ð¯Ú}éLàDޏæfÚ}é1Ú!å!ٝÞtñÙmçè áEÜقô éLÜٝãð}Ý)ãÜÂê‚ìdÝ-ìEÜÚ¯Û&î}éOìmݯåEÝ +ìè&ٝگÛ&ÜÜaÞAÜÂÝÇÛ&à†æEÛ&ٝìÙá5è&ø}ñºý¯ê‚à!ê7ë+Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂÝvæEÛ&ìàDðdíݯå!ÚÇô éLà!ê7ë+ìmݯåEÝ :òÎàDáEÜð}Ý)çè7ý¯åÉûDäÙ˜ìmݯÝxé"ÝÇádçºÚ}é"ÝÇádÝ\è&ٝگÛ&ÜÂÝ$ކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìádÝEû5áEÜٝÚ
Eødå!Ú}é"ÝÇádÝ

∗

 "!$# %&')("*# +,(.- %&!$'/*+,(.!10 23
&+,&4657- +8"4 9;: &'7("*!<=58: &!<=5829'/24 0 2'8# &4 ';"- %&58(>58: &?',58@ 0BAC("* 58: &D!$&E"'8@ +,&58: &(.+FA

G.HBIEHKJ

=58: &!<=5829'L@ -BM,&9N5?OP%"'8'82QR9E=582(.4ST+,2!<"+FAVU6W"X/Y HBZ

L&9(.4 0R"+FA G.["\]IEG

^

æfÚÇè&Û&ìÙEáDàDÞAÜ\ކÝ}è&ٝÛ&ÜÂÝDíÝÇÞAÜ\å!à!åEÝÇð5èà!ê‚ìáDàDÞAܐûLçè7ÝxéLÜÂÝ?çè&ødå!ٝá5è&Ú¯Þ éLàDìé"ÝÇáEÜÂÝEû"ð5è&î¯Û&àDÞ ééLÜٝãø4æEÛ&ìàDædݯå!ð}ݯê7ëáEÜÙAæfÚÇè&Û7ÝR{fý/çºæEÛ&Ú5çè7ݯöÇò}|DéLÜÂݯå!Ú¯ÞAÜPèà!ê7ëÎæEÛ&ìà!ê‚ìàDá:û:æEÛ7Ý ¯áEÜٝÞ-à éTèàDÞÝÇÛºèàDðDøEãÙLéBçºð}ÝÇìmݯö1æEÛ&ìàDðdíݯå!à-ìmÝ 5ݯå!áEÜÙAìLè&ٝگÛ&ÜÜEÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ܐû}è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜÜEÜfÝÇádÝÇãÜìà ކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìáEÙñ‚ûð5è&î¯Û&à!ê7ëÎìádÝ}ñÚ¯ÞAÚ5õ&öÇû:ádݯçºìàDÞ÷ìmåEÝÇáEÜٝÞ6ûÞAÚ¯äÙ†øaíÝ}èéLÜÂöAìÛ&Ú¯ìøEÞAÜٝáEÜÙ æfÚ!åEçè7Ýxé4è&ٝگÛ&ÜÜ5ÞAÜÂÝÇÛ&à¯ò7BÜÙ Ú
¯Û7ÝÇáEÜÂê‚ìàDÞ-àçºÜ éLàdíý¯ê‚ìáEÜÙ1å!ÚçÚ¯Û&Þ-øaíïÚ}é"ÝÇáEÜÂÝLçè&Ú5çºÚ}éLáEÙ¯Ú ìÙmçè7ÝxéLøvè&ٝކÝ}è&î}évûÇÝÇãÙ æfÚ!å!ÙñÞ-ø}ñٝÞ-à$æEÛ&î
1çèé1Ú¯Û&ìÙáEÜÂÝLãÜÂçèàvìmݯåEÝ -å!ژç&ÝÇÞAÚ!å!ìÜٝãáEÙ¯Ú Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂÝ$æEÛ&ìÙìvçè&ødå!ٝá5è&î}étÜ:æEÛ&ìÙmå!à!çºðDø!è&Ú}é"ÝÇáEÜÂÝvádÝAö‚éLÜÂê‚ìÙáEÜÂݯê7ë+æfÚ¯æEÛ&ìÙmå!ìmÝ}ñºý¯ê‚à!ê7ë éLàDðdíݯå/ì˜è&ٝگÛ&ÜÜÉÞAÜÂÝÇÛ&à¯ò"óaݯåEÝÇáEÜÂÝ-è&Ù¯ûEádݯçºìàDޔìmåEÝÇáEÜٝÞ6ûEéÜÂçè&ÚÇè&áDà/çºæfÚ5çºî
/æEÛ&ìà!ê‚ìàDáEÜÂý çºÜ$å!ÚAãٝædçºìÙ¯ÚAìÛ&Ú¯ìøEÞAÜٝáEÜÂÝ-æEÛ&ٝìÙá5è&Ú}é"ÝÇáDà!ê7ëæEÛ&ìÙì˜éLàDðdíݯå!Ú}é"ê6ìmÝ 5ݯå!áEÜÙ+é è&Û7ÝÇð5ô ê‚ÜÙ-éLàDðdíݯå!ø:òLüPÚ}éBçºìÙmê7ëEáDàDÞ ø}ñmê‚ÜÙÞ Þ†Ý}è&ٝÛ&ÜÂÝDíïøìvè&ٝگÛ&ÜÜÞAÜÂÝÇÛ&à-ñÙmçè˜ç&ê7ëEٝކÝ}è\Ú¯ædÝÇÛºèà ád݆گæEÛ7ݯê‚Ú}é"ÝÇáEÜÂݯê7ëAèà!ê7ëìmÝ 5ݯå!áEÜÙ/éMð!çºÜÂýÇäð}ݯê7ë)~?(ò\Ú!íïÚ!å!ìÜÙñ

ù

þÇÿmÿ Ü7€vòPDÜð¯Ú¯Û7çºðDÜ

ù

B
‚
 ­ò üPÚ¯áEÜämçºìÙ˜ìmݯåEÝÇáEÜÂ݆çè7ÝÇáEÚ}éLÜÂý)Üá5è&Ù¯Û7ÝÇãádýAê‚ìmõ&ö\èà!ê7ëéLàDðdíݯå!î}évòD4ê‚ìÙmõºáEÜÙñºçºìmÝ ìádÝ}ñÚ¯ÞAÚ5õ&ö]¢ÝÇð5è&î}éTéLà!çè=æEø}ñºý¯ê‚à!ê7ëAéTæEÛ&ٝìÙá5è&Ú}é"ÝÇáDà!ê7ë-ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë)æfÚ¯ìé1Ú¯ãÜdçè&ødå!ٝá5è&Ú¯Þ ð¯Ú¯ádê‚ٝá5è&Û&Ú}é"ݯövçºÜ)ád݃!íïî}éLáDà!ê7ëìmÝ 5ݯå!áEÜٝáEÜÂݯê7ëì-è&ٝگÛ&ÜÜPÞAÜÂÝÇÛ&à¯ò$ØÛ&ødå!áEÜÙñºçºìÙ)ìmݯåEÝÇáEÜÂÝ ç&ý\Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÙ ãø)éLàDæfÚ5ç&ÝÇäÚ¯áEÙ éßÚ!å!æfÚ}éLÜÙmå!áEÜÙ1éBçºð}ÝÇìî}éLðDܐòü%Û&ìàvÚ¯ð}ÝÇìñÜDگކÝxéLÜÂÝÇáDà!ê7ë ìmݯåEÝ $æEÛ&ìÙmåEçè7ÝxéLÜÂÝÇÞ-à\Û&î}éLáEÜٝä%æfٝéLáEÙ1øDé"Ý ¯Ü5å!à!åEÝÇð5èà!ê‚ìáEÙ ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÙ%ì ìmÝ 5ݯå!áEÜٝáEÜÂÝÇÞAÜ ÞAٝÛ&à5è&Ú¯Û&à!ê‚ìáDàDÞAÜaéLà!çè=æEø}ñºý¯ê‚àDÞAÜÉé èà!ê7ë/ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë:ò

 øDé"Ý 5ݯê7ëÜZð¯Ú¯ÞAٝá5è7ÝÇÛ&ìmݯê7ë:ûÉð5è&î¯Û&نç&ý/ìmÝÇÞAÜÙmçºìmê‚ìÚ¯áEÙ)æfÚéLÜٝãø4ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë:ûÉæEÛ&ÚÇô æfÚ¯áDø}ñٝÞ-à-çè&ødå!ٝá5è&Ú¯Þødå!ìÜٝãٝáEÜÙLÚ!å!æfÚ}éLÜÙmå!ìÜ!ádÝæfÚ5çè7ÝxéLÜÚ¯áEÙ1æDà5è7ÝÇáEÜÂÝEû¯çÚ¯Û&Þ-øaíïÚ}é"ÝÇáEÜÙ çè&Ú5çºÚ}éLáDà!ê7ëAèéLÜٝÛ7å!ìÙ:ûDéLà!çºìøEð}ÝÇáEÜÙétãÜè&ٝÛ7Ý}è&øEÛ&ìÙ\ކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìáEÙñ Ú!å!æfÚ}éLÜÙmå!áEÜÂê7ë+å!قô {dáEÜÂêcñÜ:ÜfèéLÜٝÛ7å!ìÙ+éLàDð¯Ú¯Û&ìà!çèàDé"ÝÇáDà!ê7ëAé Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂݯê7ë†ìmݯåEÝ :òÎàDÞAÜٝáEÜÚ¯áEÙæEÛ&Ú¯æfÚÇô ìà!êcñÙå!à!åEÝÇð5èà!ê‚ìáEÙBކÝ}ñºývádÝ-ê‚ٝãøð!çºì‚è7ÝDíÂè&Ú}é"ÝÇáEÜÙBÝÇð5èàDéLáEÚ5õ&ê‚ÜEކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìáDà!ê7ë:û¯ð5è&î¯Û&Ù çè&ødå!ٝá5è$æfÚ}éLÜáEÜٝáÎçè&Ú5çºÚ}é"ݯö$æfÚ!åEê‚ìmݯç˜ÝÇádÝÇãÜìàè&ٝð!çè&î}éÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝ ìmÝÇæEÛ&Ú¯æfÚ¯áEÚ}é"ÝÇáDà!ê7ë ìmݯåEÝ :ò

OÜÙmå!ìmý¯êÇû\äÙ4æEÛ&ìÙmåEçè7ÝxéLÜÚ¯áEÙæEÛ&Ú
EãٝÞ-àâé÷æfÚ¯áEÜämçºìà!ê7ëtìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë ç&ýŠé÷çºæfÚ5çºî
 ÜÂçè&ÚÇè&áDà?æfÚÇè&Û&ìÙEáEÙ/ádÝéLàDðdíݯåEݯê7ëßì+è&ٝگÛ&ÜÜ"ÞAÜÂÝÇÛ&à¯ûZé"ÝÇÛºè&Úìmݯçè7ÝÇáEÚ}éLÜÂö+çºÜ/ádݯåßé"ê‚ìÙ‚ô õºáEÜÙñºçºìmý4Û&ÙmÝÇãÜìmݯêcñºýÎáEÜٝð5è&î¯Û&à!ê7ëTìèà!ê7ëâìmÝ 5ݯå!áEÜÙâéWÛ7ÝÇކݯê7ëOö‚éLÜÂê‚ìÙâìéBçè=æEøOå!Ú è&ٝگÛ&ÜÜÉÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ÜaÜÉè&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯Üܐò

„ ÛºèàDðDøaí éçºé1ÚÇñÙñê‚ìmõ&ê‚Ü%ìmݯåEÝÇáEÜÚ}é1Ùñ‚ûíý¯ê‚ìáEÜÙAìAæfٝéLáDàDÞAÜ%æEÛ&Ú¯æfÚ¯ìà!êcñºÝÇÞAÜZÜZøDé"Ý}ô 5ÝÇÞAÜfå!à!åEÝÇð5èà!ê‚ìáDàDÞAÜdå!ÚÇèà!ê‚ìmý¯ê‚àDÞAÜEìmݯåEÝ :û‚ñÙmçè1ádÝÇæEÜÂç&ÝÇáDà-æEÛ&ìÙmå!ÙBéBçºìà!çè&ðDÜÞ ñºÝÇð¯ÚvæfÚÇô ÞAÚ!ê\å!à!åEÝÇð5èà!ê‚ìádÝvå!ãÂÝ$çè&ødå!ٝá5è&î}éâéOæEÛ&ìàn¯ÚÇè&Ú}é"ÝÇáEÜøAçºÜ\å!Ú$Û&ÙmÝÇãÜìmݯêcñÜEè&ٝކÝ}èàDðDÜdÞAÜÂÝÇÛ&à …:ÙfÙmçE¯øEÙ
†ÝEò‡\ãÂÝBádÝÇødê‚ìà!ê‚ÜٝãÜ5ÝÇð}ݯå!ٝÞAÜÂê7ðDÜÂê7ë˜æEÛ&Ú}é"ݯå!ìmý¯ê‚à!ê7ëðDøEÛ7çÝÇádÝÇãÜìà\ކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ì‚ô áEÙñ$ÝÇÛºèàDðDøaí%è&ٝá4ÞAÚ¯äÙçè7ÝÇáEÚ}éLÜÂö)æfٝéLádý6æEÛ&Ú¯æfÚ¯ìà!êcñå!à!åEÝÇð5èà!ê‚ìádý+éæEÛ&ìàn¯ÚÇè&Ú}é"ÝÇáEÜø ö‚éLÜÂê‚ìÙ6étè7ÝÇðDÜ:çºæfÚ5çºî
:ûEÝ Dà+çè7ÝÇáEÚ}éLÜíïà†Ú¯áEÙvçºæfîÇñádýAêÝDíïÚ5õ&ö\ìvéLàDðdíݯå!ٝÞ6ò

\Ý}ñæEÜٝÛ&éÎæEÛ&ìàmñÞ-ø}ñٝÞ-à\æfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}é1ÙPÚ¯ìádݯê‚ìÙáEÜÂÝ1ìEÜÚ¯Û&î}éãÜÂê‚ìfÚ}éLà!ê7ë:ûð5è&î¯Û&Ù?måEý çè&Ú5çºÚ}é"ÝÇáEÙ\é èàDÞWÝÇÛºèàDðDøEãÙ
~

N

ˆ ìEÜî¯ÛLãÜÂê‚ì6ádÝ}è&øEÛ7ÝÇãáDà!ê7ë ù fٝìvìÙÛ7Ý ­û

Z

ˆ ìEÜî¯ÛLãÜÂê‚ì6êÝDíïð¯Ú}éLÜèà!ê7ë:û

R

ˆ ìEÜî¯ÛLãÜÂê‚ì6Û&ìÙmê‚ìàDéLÜÂçèà!ê7ë:ò ‰ыŠ‡ŒEŽ‡8‘/’7“)”–•— ‘˜‘/’?™‡š•‡™‡š‘›LÕ6•/“?Œ"šcšœ‡š“?ŒE)” ž/Ÿ ŽdÕ6•/  ™)•×7ŒEŽ/Ô‚Õ ž ’š“)”›‘‡™‡š ž Õ6•/“?Œ"šcš/¡¢š‘‡ŒNŽ

ÎàDðdíݯå6ìvè&ٝگÛ&ÜÜÞAÜÂÝÇÛ&à/Û&Ú¯ìæfÚ!ê‚ìàDádÝAçºÜ-Ú!å6ìmå!Ù6{dáEÜÚ}é"ÝÇáEÜÂ݆ê‚ÜÂÝDíÝAÜ

σ

ôcê‚ÜÂÝDíÝ

S

æfÚ!åDô ìEÜÚ¯Û&î}éWæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

X

ò£\ݯçè=æEáEÜÙéLæEÛ&Ú}é"ݯå!ìmÝ4çºÜÚ¯ðDÛ&ÙmõºãٝáEÜÙÞAÜÂÝÇÛ&àTÜÞAÜÂÝÇÛ&àTìÙ‚ô éLá‚è&Û&ìáEÙñ‚ò¥¤\å!Ú}é"ݯå!áEÜÂÝßçºÜÎé"è&Ùmå!àOÛ&î¯äáEÙéíݯçºáEÚ5õ&ê‚Ü\èà!ê7ëtæfÚÇñmöÇû˜Ýßé÷çºìmê‚ìÙ¯î¯ãáEÚÇô

õ&ê‚Ü%æfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}é1نå!ãÂÝ/è&Ù¯Ú—Û7Ý ¯ÞAٝá5è&øÎè&ٝگÛ&ÜÜPèéLÜٝÛ7å!ìÙáEÜٗ°1ÝÇÛ7Ý}è&뱝Ú!å!Ú¯Û&àP†Ù¯Údò²\ÝÇãٝäà éèàDÞ ê‚ٝãøßæfÚ5ç­íïøEäà!ö+çºÜ+Û&î¯äáDàDÞAÜ%éíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜÂÝÇÞAÜ1å!ìÜÂÝDíÝ ?ÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ÜÚ}éLà!ê7ëÎádÝìEÜÚÇô Û7ݯê7ëßÚ¯Û7ÝÇìéíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜÂÝÇÞAÜ Û&Ú!å!ìÜáßÜádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáDà!ê7ë:ò³ Ú
fÙmê‚áDàDÞ æEÛ&Ú
¯Û7ÝÇÞAÜنè&Û&Ùmõ&ê‚Ü è&Ù æfÚÇñºÝxéLÜÂÝ}ñºý)çºÜ˜ádÝAìmÝ}ñmê‚ÜÂݯê7ë+ì˜ãÚ
¯ÜðDÜÉÜÉè&ٝگÛ&ÜÜÉÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ܐò

ü%Û&ìÙmå†éLàDðdíݯåEÝÇÞAÜfìBè&ٝگÛ&ÜÜfÞAÜÂÝÇÛ&à)ÜaÞAÜÂÝÇÛ&àAìÙéLá‚è&Û&ìáEÙñ%é"ÝÇÛºè&Ú$ìmÝÇæEÛ&Ú¯æfÚ¯áEÚ}é"ݯö"çè&ø!ô å!ٝá5è&Ú¯Þ ç&ÝÇÞAÚ!å!ìÜٝãáEÙ6Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÙ/ádݯçè=æEø}ñºý¯ê‚à!ê7ëŠè&Û&ìÙmê7ëTìmݯåEÝ :û]5å!àDä6éLàDÞAÜٝáEÜÚ¯áEÙ éOèà!ê7ë+ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë†éíݯçºáEÚ5õ&ê‚Üaå!ìÜÂÝDíÝ ádÝ-ìEÜÚ¯Û7ݯê7ë²måEý-éLàDð¯Ú¯Û&ìà!çè7ÝÇáEÙBéOè&Û7ÝÇð5ê‚ÜÙ\éLà5ô ðdíݯå!î}évò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾ ¿<ÀFÁBÂÃ

A

À

B

ÄÅBÆnǃÆÈ
ÉDÈ ÊË
ÌÍ ÀÎ ÈÆ
ÏÄ À È Ð.ÑRÍ À ÏÄ À È ÐBÒ

X

ÓVÔÖÕ
É Â Ï Ñ ×

X

_{\ A = B ⇐⇒ X \ B = A.}

ù  Ø Ï.̛Ð6Õ
É?ËPÈ
É?ÑRÙËPÈRÚ6Û

(

Ü

)

Ý Á ×Þ Î Ð.ÑÉKÆ
Ï À É?ѲÆ
ʺÑßÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ ÏÄ À È Ð6Õ
É

X

à

A

À

B

á ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½» ¿<ÀFÁBÂÃ

A

À

B

ÄÅBÆnǃÆÈ
ÉDÈ ÊË
ÌÍ ÀÎ ÈÆ
ÏÄ À È Ð.ÑRÍ À ÏÄ À È ÐBÒ

X

ÓVÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a) A

_{∩ B = A \ (X \ B) = B \ (X \ A)}

à

(b) A

_{\ B = A ∩ (X \ B)}

Ó Ø Ï.̛Ð6Õ
É?ËPÈRÚ Â=À

(a)

È Ð.ÑRÏ

(b)

×"Ç Î Ð.ÑÉKÆ
Ï À É Á Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ ÏÄ À È Ð6Õ
É

X

à

A

À

B

á ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½å ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ Á Æ
ʺÑßÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ ÏÄ À È Ð6Õ
É

A

à

B

À

C

ä

(a) A

\ (A \ B) = B ⇐⇒ B ⊆ A

à

(b) [A

∩ (B ∪ C)] \ C = A ∩ B ⇐⇒ A ∩ B ∩ C = ∅

à

(c) (A

∩ B ∩ C) ∪ ((A ∩ B) \ C) ∪ ((A \ B) ∩ C) = A ∩ (B ∪ C)

Ó

æcádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáEÙÛ&Ú!å!ìÜáDàÎìEÜÚ¯Û&î}éÜLå!ìÜÂÝDíÝÇáEÜÂÝÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ÜÚ}é1نádÝèà!ê7ëßÛ&Ú!å!ìÜádݯê7ëŠç&ý éLæEÛ7ÝxéBå!ìÜنéè&Û&Ùmõ&ê‚ÜÂݯê7ëÎæEÛ&Ú
¯Û7ÝÇÞAÚ}éLà!ê7ëðDøEÛ7çºø4ãÚ
¯ÜðDÜ%Ü%è&ٝگÛ&ÜÜ ÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ܐûÝÇãÙçè&Ú¯æEÜÙ è&Û&ødå!áEÚ5õ&ê‚ÜLèà!ê7ëOìmÝ 5ݯå!áEÜÙâå!ãÂÝ?æfÚ!ê‚ìmý}è&ðDø}ñºý¯ê‚à!ê7ëOçè&ødå!ٝá5è&î}éñÙmçè/å!øEäàTÜå!Ú!åEÝ}è&ð¯Ú}é1Ú Þ†ÝDíÝ+ãÜÂê‚ìd݃¯Ú!å!ìÜáÎæEÛ&ìÙìádݯê‚ìÚ¯áDà!ê7ëádÝ/ö‚éLÜÂê‚ìÙáEÜÂÝ/å!Ú/è&Ù¯Ú/ðDøEÛ7çºøæfÚ}é1Ú!å!ø}ñÙ¯ûÉäÙAìmÝ}ô 5ݯå!áEÜٝáEÜÂÝ/è&Ù+ç&ý6æEÛ&ٝìÙá5è&Ú}é"ÝÇáEÙ)Û7ݯê‚ìÙñ˜ÜáÚ¯Û&ކݯê‚àmñáEÜÙ¯ò+üPÚ¯áEÜٝé"ÝÇä†éè&ٝگÛ&ÜÜ%ÞAÜÂÝÇÛ&àÜá!ô å!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáEÙvÛ&Ú!å!ìÜáDà+ìEÜÚ¯Û&î}éÜå!ìÜÂÝDíÝÇáEÜÂÝAÞAáEÚ
¯Ú5õ&ê‚ÜÚ}é1٘ádÝAèà!ê7ëÛ&Ú!å!ìÜádݯê7ëç&ý}dÝÇÛ7å!ìÚ é"ÝÇäáEÙ¯ûéLÜmêAæEÛ&Ú¯æfÚ¯áDø}ñٝÞ-à¯ûÝ DàÎçè&ødå!ٝádê‚Ü éÛ7ÝÇކݯê7ë4ç&ÝÇÞAÚ!å!ìÜٝãáEÙñ˜æEÛ7ݯê‚àæEÛ&ìàn¯ÚÇè&ÚÇô é"ÝÇãÜçºÜé ìmÝÇðDÛ&ÙmçºÜÙ/è&Ùñ†è&ٝކÝ}èàDðDܐòç\ãÂÝ?øaíÝ}èéLÜٝáEÜÂÝ?ÞAÚ¯äádÝ4ødå!Ú5çè=æEáEÜÂöçè&ødå!ٝá5è&Ú¯Þ æfÚ¯áEÜämçºìÙBކÝ}è&ٝÛ&ÜÂÝDíïà$ìmÝxéLÜٝÛ7Ý}ñºý¯ê‚Ù1æfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}é1ÙLå!Ù6{dáEÜÂêcñÙBÜdéíݯçºáEÚ5õ&ê‚Üdå!ìÜÂÝDíÝ AádݘÜádå!ٝð5ô çºÚ}é"ÝÇáDà!ê7ë+Û&Ú!å!ìÜádݯê7ë+ìEÜÚ¯Û&î}évò1óaÝ 5ݯå!áEÜٝáEÜÂÝ$è&ÙvÞAÚ¯äádÝ)ìádÝÇãÙèmö˜Û&î}éLáEÜٝäéMð!çºÜÂýÇäð}ݯê7ë)~ „ òP° ëEÛ&Ú¯áEÚ}éBçºðDÜ ùþÇÿ¯ÿ¯ÿEþÇÿ¯ÿ én ­ò

\Ý}ñæEÜٝÛ&é Ú¯ðDÛ&ÙmõºãÜÞ-à†Üádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇádý$Û&Ú!å!ìÜá˜ìEÜÚ¯Û&î}évò óaÝÇðdíݯåEÝÇÞ-à¯û:äÙ

T

ñÙmçè-áEÜٝæEødçèàDÞ÷ìEÜÚ¯Û&ٝÞ÷Ü

X

ñÙmçè-áEÜٝæEødçè7ý6Û&Ú!å!ìÜádý6ìEÜÚ¯Û&î}évò BÜÙmê7ë

F

: T

_{−→ X}

må!ìÜÙ)å!Ú}é1Ú¯ãádýâøEáEð5êcñºýEò\óaÝÇÞAÜÂݯçè

X

= F (t)

må!ìÜٝÞ-à/Û&î}éLáEÜٝä æEÜÂç&ݯö

X

t

å!ãÂÝ

t

_{∈ T}

Ü

X

_{∈ X}

ò¢êê‚ìàDéLÜÂõ&ê‚ÜÙ

X

t

∈ X

å!ãÂÝð}ÝÇämå!Ù¯Ú

t

_{∈ T}

òëEøEáEð5êcñ

F

må!ìÜٝÞ-àÎé1î}é"ê‚ìmݯç˜ìmÝÇæEÜÂçºàDé"ݯöAéIæfÚ5çè7ݯê‚Ü

F

= (X

t

)

t

∈T

ò³EøEáEð5êcñ

F

= (X

t

)

t

∈T

ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à¢ìºíPî
ï"ð ñòRó]ôRíPõëö=òBîB÷6ìºíPõ›÷Bø6ì,òRö=ùRó

X

t

å!ãÂÝ

t

_{∈ T}

ò+óEÜî¯Û

T

ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à¼÷Bø6ì,òRú ö=ï6ûüìºíPî
ï"ð ñùRóÎÛ&Ú!å!ìÜáDà

(X

t

)

t

∈T

ò ú

î}éLÜÂý¯êLÚ)Üádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáEÙñZÛ&Ú!å!ìÜáEÜÙìEÜÚ¯Û&î}é

(X

t

)

t

∈T

û

ê‚ìmçè&Ú+áEÜÙýmå!ìÜٝÞ-à6éLàDÞAÜٝáEÜÂݯö$Ù6þ!æEãÜÂê‚Üè&Ù)ìEÜÚ¯Û&ø

X

ûað5è&î¯Û&Ù¯ÚٝãٝÞAٝá5è7ÝÇÞAÜPç&ýìEÜÚ¯Û&à

X

t

å!ãÂÝ

t

_{∈ T}

òV¯ÙäÙãÜ

T

_{⊆ N}

ûaè&Ú+Üádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇádýAÛ&Ú!å!ìÜá-ìEÜÚ¯Û&î}é

(X

t

)

t

∈T

ì,õ
ì,ï6û ÷Bø6ì,òRö=ùRóZò ° ÜÂý

(X

t

)

t

∈T

ñÙmçè˜çºð¯Ú
dê‚ìÚ¯áDàãøáEÜÙmçºð¯Ú
dê‚ìÚ¯áDàìmÝÇãٝäáEÜÙvÚ!å6è&Ù¯Údû ê‚ìàìEÜî¯Û

T

ñÙmçè\çºð¯Ú
dê‚ìÚ¯áDà¯ûDê‚ìà+áEÜÙmçºð¯Ú
dê‚ìÚ¯áDà¯ò }¹n¸º·)¸ "µ »/½,¾

 û²õ-Üádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáEÙñBÛ&Ú!å!ìÜáDàìEÜÚ¯Û&î}é

(X

t

)

t

∈T

ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à6ìEÜî¯Û

S

t

∈T

X

t

Ú¯ðDÛ&ÙmõºãÚ¯áDà ádݯçè=æEø}ñºý¯ê‚Ú~

x

_∈

[

t

_∈T

X

t

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

].

¯ÙäÙãÜ

T

=

_{{1, 2, ..., n}}

û5è&Ú

[

t

∈T

X

t

=

n

[

m=1

X

m

= X

1

∪ X

2

∪ ... ∪ X

n

.

¯ÙäÙãÜ

T

=

N

û!è&Ú

[

n

∈N

X

n

=

∞

[

n=1

X

n

.

}¹n¸º·)¸ "µ »/½»

 ò ÷RíPï6û Üádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáEÙñBÛ&Ú!å!ìÜáDàìEÜÚ¯Û&î}é

(X

t

)

t

∈T

ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à6ìEÜî¯Û

T

t

∈T

X

t

Ú¯ðDÛ&قô õºãÚ¯áDàádݯçè=æEø}ñºý¯ê‚Ú~

x

_∈

\

t

∈T

X

t

⇐⇒ ∀ t ∈ T [x ∈ X

t

].

¯ÙäÙãÜ

T

=

_{{1, 2, ..., n}}

û5è&Ú

\

t

∈T

X

t

=

n

\

m=1

X

m

= X

1

∩ X

2

∩ ... ∩ X

n

.

¯ÙäÙãÜ

T

=

N

û!è&Ú

\

n

_∈N

X

n

=

∞

\

n=1

X

n

.

 ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë?þ!òéfôxþ!òæfÚ!åEÝ}ñٝÞ-àìéLàDðDãنæEÛ&ìàDðdíݯå!Ú}é1Ù)Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÙñÙmå!áEÙ¯ÚìmÝ 5ݯåDô áEÜٝáEÜÂÝEò®€LÚ¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂÝæEÛ&Ú
EãٝÞAî}éIé æfÚ¯ìÚ5çè7ÝDíïà!ê7ë?æEÛ&ìàDædݯå!ð}ݯê7ëŠç&ýÝÇádÝÇãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙ

ù

ádÝ Ú
¯î!í:Û&î¯äáEÜÂýAçºÜ˜éLàDð¯Ú¯Û&ìà!çè7ÝÇáEÜٝÞÜáEáDà!ê7ë/æEÛ7Ýxé ãÚ
¯ÜÂê‚ìáDà!ê7ë ­ò

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½ ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛà/Ù Á Æ
ʺћÆÈ
ÉDÈ ÊË Á ÈâÏÄ À È ÐBÒ

X

À Æ
ʺћÆÈ
ÉDÈ ÊË Á Ý

(

Ë ÀFÁÎ Ò
×Þ Á Ý

)

À Ë/Æ Á ã×.È
É?ÑRË Á ÝCÐ6È Æ
Ï À Ë
̛ÏÄ À È Ð6Õ
É

(X

t

)

t

∈T

× ÎÁ Ë À È Ë Á ×"ÇâÐ6Õ
É?ËPÈRÚ Â=À;ä

(a) X

_∪

[

t

∈T

X

t

=

[

t

∈T

(X

_{∪ X}

t

),

(b) X

_∩

[

t

∈T

X

t

=

[

t

∈T

(X

_{∩ X}

t

),

(c) X

∪

\

t

∈T

X

t

=

\

t

∈T

(X

∪ X

t

),

(d) X

∩

\

t

∈T

X

t

=

\

t

∈T

(X

∩ X

t

).

 ! #"$%!&fò ù Ý ?\Ú¯Û&ìà!çè7Ý}ñºý¯ê ìBæEÛ7Ýxé"ÝéLàdíý¯ê‚ìmÝÇáEÜÂÝðDé"ÝÇá5èà{dð}Ý}è&Ú¯Û7Ýçºìmê‚ìÙ¯î!íïÚ}é1Ù¯Ú å!ãÂ݆ÝÇãè&ٝÛ&ádÝ}èàDéLà†ÚÇè&Û&ìàDÞ-ø}ñٝÞ-àP~

x

_{∈ X ∪}

[

t

∈T

X

t

⇐⇒ (x ∈ X ∨ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

])

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X ∨ x ∈ X

t

]

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X ∪ X

t

]

⇐⇒ x ∈

[

t

∈T

(X

_{∪ X}

t

).

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½' ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ Á Æ
ʺѳÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ

(

Ë ÀFÁÎ Ò
×ÞÌ ÂÃ

)

À Ë/Æ Á ã×.È
É?ÑRË
Ì ÂÃ Ð6ÈÆ
Ï À ËÖÏÄ À È Ð6Õ
É

(X

t

)

t

∈T

À

(Y

t

)

t

∈T

Ï Ñ ÂÃ ÈÆ
Ï Ç Ð6Õ
É?ËPÈRÚ Â=À;ä

(a)

[

t

∈T

X

t

∪

[

t

∈T

Y

t

=

[

t

∈T

(X

t

∪ Y

t

),

(b)

\

t

∈T

X

t

∩

\

t

∈T

Y

t

=

\

t

∈T

(X

t

∩ Y

t

).

 ! #"$%!&fò ùÝ \Ú¯Û&ìà!çè7Ý}ñºý¯ê)ì+æEÛ7Ýxé"Ý6Û&Ú¯ìmå!ìÜٝãáEÚ5õ&ê‚Ü%ðDé"ÝÇá5èà{dð}Ý}è&Ú¯Û7Ýçºìmê‚ìÙ¯î!íïÚÇô é1Ù¯Ú)éLì¯ãmå!ٝÞWÝÇãè&ٝÛ&ádÝ}èàDéLà†ÚÇè&Û&ìàDÞ-ø}ñٝÞ-àP~

x

_∈

[

t

∈T

X

t

∪

[

t

∈T

Y

t

⇐⇒ (x ∈

[

t

∈T

X

t

∨ x ∈

[

t

∈T

Y

t

⇐⇒ ( ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

]

∨ ∃ t ∈ T [x ∈ Y

t

])

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

∨ x ∈ Y

t

]

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

∪ Y

t

]

⇐⇒ x ∈

[

t

∈T

(X

t

∪ Y

t

).

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½( ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ Á Æ
ʺѳÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ

(

Ë ÀFÁÎ Ò
×ÞÌ ÂÃ

)

À Ë/Æ Á ã×.È
É?ÑRË
Ì ÂÃ Ð6ÈÆ
Ï À ËÖÏÄ À È Ð6Õ
É

(X

t

)

t

∈T

À

(Y

t

)

t

∈T

× ÎÁ Ë À È Ë Á ×"Ç À ËãnÊ8Ò Ï;Ý ÁRä

(a)

[

t

∈T

(X

t

∩ Y

t

)

⊆

[

t

∈T

X

t

∩

[

t

∈T

Y

t

,

(b)

\

t

∈T

X

t

∪

\

t

∈T

Y

t

⊆

\

t

∈T

(X

t

∪ Y

t

),

(c)

[

t

∈T

X

t

\

[

t

∈T

Y

t

⊆

[

t

∈T

(X

t

\ Y

t

)

Ó Ø Ï.Ì Î ÈÆnÑRË ÁCÀ ËãnÊ8Ò Ï;Ý Á ÍƒÈ ÙËÑâÏ Ñ ×Þ;Ç ÎPÀ ÛKÐ6Õ
É?ËPÈRÚ Â=À ÑRÍ À á

 ! #"$%!&fò ù Ý \Ú¯Û&ìà!çè7Ý}ñºý¯ê)ì+æEÛ7Ýxé"Ý6Û&Ú¯ìmå!ìÜٝãáEÚ5õ&ê‚Ü%ðDé"ÝÇá5èà{dð}Ý}è&Ú¯Û7Ýçºìmê‚ìÙ¯î!íïÚÇô é1Ù¯Ú)éLì¯ãmå!ٝޔð¯Ú¯áEÜøEáEð5êcñÜaÚÇè&Û&ìàDÞ-ø}ñٝÞ-àP~

x

_∈

[

t

∈T

(X

t

∩ Y

t

)

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

∩ Y

t

]

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

∧ x ∈ Y

t

]

=

_{⇒ ( ∃ t ∈ T [x ∈ X}

t

]

∧ ∃ t ∈ T [x ∈ Y

t

])

⇐⇒ (x ∈

[

t

∈T

X

t

∧ x ∈

[

t

∈T

Y

t

)

⇐⇒ x ∈

[

t

∈T

X

t

∩

[

t

∈T

Y

t

.

ù êB ú ÝÇÞ-àP~

x

_∈

[

t

∈T

X

t

\

[

t

∈T

Y

t

⇐⇒ [x ∈

[

t

∈T

X

t

∧ x 6∈

[

t

∈T

Y

t

]

⇐⇒ [ ∃ t ∈ T (x ∈ X

t

)

∧ ∀ t ∈ T (x 6∈ Y

t

)]

=

_{⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X}

t

∧ x 6∈ Y

t

]

⇐⇒ ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

\ Y

t

]

⇐⇒ x ∈

[

t

_∈T

(X

t

\ Y

t

).

üPÚ!åEÝÇáDà!ê7ë6ÜáEðDãøEìñÜáEÜÙ$ÞAÚ¯äádÝ)ìmݯçè7ý5æEÜÂö˜Û&î}éLáEÚ5õ&ê‚ÜÂÝÇÞAÜ:å!ãÂ݆å!Ú}é1Ú¯ãáDà!ê7ë/Üádå!ٝð!çºÚ}é"ÝÇáDà!ê7ë Û&Ú!å!ìÜáìEÜÚ¯Û&î}évò¯DæEÛ7ÝxéBå!ìÜÂöÇûfäÙAå!ãÂÝÛ&Ú!å!ìÜáìEÜÚ¯Û&î}é ~

X

n

=

{x ∈ R : x 6 n}

Ú¯Û7ÝÇì

Y

n

=

{x ∈ R : x > n},

5å!ìÜÙ

n

_{∈ N}

ûaáEÜÙ)ìmݯê7ëEÚ!å!ìmý†Û&î}éLáEÚ5õ&ê‚ÜéæEÛ&ìàDædݯå!ð}ݯê7ë ù Ý ­û ù  "Ü ù êB *+", -/.  01&2$435"768#&~

•

üPÚ!åEݯöZçè&Ú5çºÚ}éLáEÙPð¯Ú¯á5è&Û&æEÛ&ìàDðdíݯå!à"é4ìmݯåEÝÇáEÜøvþ!ò‚"ìmÝ"æfÚ¯ÞAÚ!êýLçºð¯Ú
dê‚ìÚ¯áDà!ê7ëBÛ&Ú!å!ìÜá ìEÜÚ¯Û&î}é çºð¯Ú
dê‚ìÚ¯áDà!ê7ë:ò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½:9 ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛà/Ù Á Æ
ʺћÆÈ
ÉDÈ ÊË Á ÈâÏÄ À È ÐBÒ

X

À Æ
ʺћÆÈ
ÉDÈ ÊË Á Ý

(

Ë ÀFÁÎ Ò
×Þ Á Ý

)

À Ë/Æ Á ã×.È
É?ÑRË Á ÝCÐ6È Æ
Ï À Ë
̛ÏÄ À È Ð6Õ
É

(X

t

)

t

∈T

× ÎÁ Ë À È Ë Á ×"ÇâÐ6Õ
É?ËPÈRÚ Â=À;ä

(a) X

\

[

t

_∈T

X

t

=

\

t

_∈T

(X

\ X

t

),

(b) X

_\

\

t

∈T

X

t

=

[

t

∈T

(X

_{\ X}

t

).

 ! #"$%!&fò ù Ý 7\Ú¯Û&ìà!çè7Ý}ñºý¯êZì"æEÛ7ÝxéßìmÝÇæEÛ&ìÙmê‚ìmÝÇáEÜÂÝBÜ!éLàdíý¯ê‚ìmÝÇáEÜÂÝBðDé"ÝÇá5èà{dð}Ý}è&Ú¯Û&î}é ÚÇè&Û&ìàDÞ-ø}ñٝÞ-àP~

x

_{∈ X \}

[

t

∈T

X

t

⇐⇒ (x ∈ X ∧ x 6∈

[

t

∈T

X

t

)

⇐⇒ (x ∈ X∧ ∼ (x ∈

[

t

∈T

X

t

))

⇐⇒ (x ∈ X∧ ∼ ( ∃ t ∈ T [x ∈ X

t

]))

⇐⇒ (x ∈ X ∧ ∀ t ∈ T [x 6∈ X

t

])

⇐⇒ ∀ t ∈ T [x ∈ X ∧ x 6∈ X

t

]

⇐⇒ ∀ t ∈ T [x ∈ X \ X

t

]

⇐⇒ x ∈

\

t

_∈T

(X

\ X

t

).

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½< ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ Á Æ
ʺѳÆÈ
ÉDÈ ÊË Á Ý

(

Ë ÀFÁÎ Ò
×Þ Á Ý

)

À Ë/Æ Á ã×.È
É?ÑRË Á Ý Ð6ÈÆ
Ï À Ë
Ì Î ÈÆ
ÏÄ À È Ð6Õ
É

(X

t

)

t

∈T

ÏÄ À È ÐBÒ

X

× ÎÁ Ë À È Ë Á ×"ÇâÐ6Õ
É?ËPÈ
É?ÑRÙËPÈRÚ Â=À;ä

(a) X

\

[

t

∈T

X

t

=

\

t

∈T

(X

\ X

t

)

⇐⇒

[

t

∈T

X

t

= X

\

\

t

∈T

(X

\ X

t

),

(b) X

_\

\

t

∈T

X

t

=

[

t

∈T

(X

_{\ X}

t

)

⇐⇒

\

t

∈T

X

t

= X

\

[

t

∈T

(X

_{\ X}

t

).

=?>."#@2A."/~ Îà!çè7ÝÇÛ7ê‚ìà†ìmݯçè&Ú5çºÚ}é"ݯöBÛ&î}éLáEÚ}é"ÝÇäáEÚ5õ&ö ù  ­ò ü%Û&ìàmñÞ-ø}ñٝÞ-à+ádݯçè=æEø}ñºý¯ê‚Ù˜Ú¯ìádݯê‚ìÙáEÜÙ
~

m

O

i=1

X

i

= X

1

× X

2

× ... × X

m

å!ãÂ݆å!Ú}é1Ú¯ãáDà!ê7ëìEÜÚ¯Û&î}é

X

1

, X

2

, ..., X

m

ò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½B ¿<ÀFÁBÂÃ

A

1

, ..., A

m

À

B

1

, ..., B

m

ÄÅBÆnÇßÆÈ
ÉDÈ ÊË
ÌÍ À Ë ÀFÁÎ Ò
×ÞÌÍ À ÏÄ À È Ð.ÑRÍ À Ó<ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a)

m

O

i=1

A

i

⊆

m

O

i=1

B

i

⇐⇒ ∀ i ∈ {1, ..., m}[A

i

⊆ B

i

]

à

(b)

m

O

i=1

A

i

=

m

O

i=1

B

i

⇐⇒ ∀ i ∈ {1, ..., m}[A

i

= B

i

]

à

(c) (

m

O

i=1

A

i

)

∩ (

m

O

i=1

B

i

) =

m

O

i=1

(A

i

∩ B

i

)

Ó Ø Ï.Ì—Ï Ñ  È Ù Á Ë ÀFÁ Ë ÀFÁÎ Ò
×ÞNÈRÚ Â=À ÏÄ À È Ð6Õ
É—Ý Á ×Þ À ×ÞNÈnÞ,Ë Á É É?ÑRÐBÒ Ëã Ñ ÂÃ

(

Ñ

)

à

(

Ä

)

À

(

Â

)

á

 ! #"$%!&fò ù êB ú ÝÇÞ-àP~

(x

1

, ..., x

m

)

∈ (

m

O

i=1

A

i

)

∩ (

m

O

i=1

B

i

)

⇐⇒ ((x

1

, ..., x

m

)

∈

m

O

i=1

A

i

∧ (x

1

, ..., x

m

)

∈

m

O

i=1

B

i

)

⇐⇒ ( ∀ i ∈ {1, ..., m}[x

i

∈ A

i

]

∧ ∀ i ∈ {1, ..., m}[x

i

∈ B

i

])

⇐⇒ ∀ i ∈ {1, ..., m}[x

i

∈ A

i

∧ x

i

∈ B

i

]

⇐⇒ ∀ i ∈ {1, ..., m}[x

i

∈ A

i

∩ B

i

]

⇐⇒ (x

1

, ..., x

m

)

∈

m

O

i=1

(A

i

∩ B

i

).

*+", -/.  01&2$435"768#&~

•

5ÝÇðDÜÙBæEÛ7Ýxé1Ú$ãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙå!ãÂÝ$ðDé"ÝÇá5èà{dð}Ý}è&Ú¯Û&î}éTìÚ5çè7ÝDíïÚ$éLàDð¯Ú¯Û&ìà!çè7ÝÇáEÙLéOÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝ}ô áEÜø6ìmݯåEÝÇáEÜÂÝAþ!ò ù êB ED

üZÝÇÛ7Ý ¯Û7ÝRÇè&ٝávð¯Ú
dê‚ìàDÞ-àBìmݯåEÝÇáEÜÂÝÇÞAÜÇæfÚ5õºéLÜmê‚Ú¯áDàDÞAÜÇê‚ÜÂý¯Ú¯ÞtæfÚ!å!ìEÜÚ¯Û&î}évò) å!Ú}é1ÚÇô åEݯê7ëèéLÜٝÛ7å!ìÙ4å!ÚÇèà!ê‚ìmý¯ê‚à!ê7ëæfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}éLà!ê7ëéíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜPÞAÜÂÝÇÛ&àÜZÞAÜÂÝÇÛ&àìÙéLá‚è&Û&ìáEÙñ å!øEäÙ/ìádݯê‚ìÙáEÜÙ/ކÝ}ñºýÛ&î¯äáEÙ+éíݯçºáEÚ5õ&ê‚Ü"çºæfÙmêcñºÝÇãáDà!ê7ëŠê‚ÜÂý¯î}éIìEÜÚ¯Û&î}évò

„

Dà?øaíÝ}èéLÜÂö çè&ødå!ٝá5è&Ú¯Þ ìÛ&Ú¯ìøEÞAÜٝáEÜÙ6èà!ê7ëOå!Ú}é1Ú!å!î}é æEÛ&Ú¯æfÚ¯áDø}ñٝÞ-àßÜÞ6û"äÙDàŠæEÛ&ìàn¯ÚÇè&Ú}é"ÝÇãÜ1Û&Ú¯ì‚ô éLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂÝ/æfÚ!åEÝÇáDà!ê7ëÎáEÜäÙñ˜ìmݯåEÝ :òüPٝéLáEنÜÂçè&ÚÇè&áEÙ}Û7Ý ¯ÞAٝá5èàÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝ èà!ê7ë4ìmݯåEÝ  æfÚ}éLÜáEáDà›Dà!ö$æEÛ&ìÙmå!à!çºðDø!è&Ú}é"ÝÇáEÙ$ádÝ+ö‚éLÜÂê‚ìÙáEÜÂݯê7ëæfÚ¯æEÛ&ìÙmå!ìmÝ}ñºý¯ê‚à!ê7ë6Ú!å!æfÚ}éLÜÙmå!áEÜÙ)éLà5ô ðdíݯå!à¯ò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾F ¿<ÀFÁBÂà ÆnÑRË
ÌçÄÅBÆ
Ï ÀFÁ¼Â=À Ç 

(A

n

)

n

∈N

ÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ ÏÄ À È Ð6Õ
É<ÓHG>ãnÐ Á ÚEʺÑRÍ Ì Â=À Ç  ÏÄ À È Ð6Õ
É

(B

n

)

n

∈N

ËÑ ×ÞNÅ Î Ò=Ý.Ç Â È ä

B

n

= A

1

∪ ... ∪ A

n

Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË Á È

n

∈ N

Ó ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a) B

n

⊆ B

n+1

Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË Á È

n

∈ N

I

(b)

∞

[

n=1

A

n

=

∞

[

n=1

B

n

Ó ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾¾ ¿<ÀFÁBÂà ÆnÑRË
ÌçÄÅBÆ
Ï ÀFÁ¼Â=À Ç 

(A

n

)

n

∈N

ÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ ÏÄ À È Ð6Õ
É<ÓHG>ãnÐ Á ÚEʺÑRÍ Ì Â=À Ç  ÏÄ À È Ð6Õ
É

(B

n

)

n

∈N

ËÑ ×ÞNÅ Î Ò=Ý.Ç Â È ä

B

n

= A

1

∩ ... ∩ A

n

Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË Á È

n

∈ N

Ó ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a) B

n+1

⊆ B

n

Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË Á È

n

∈ N

I

(b)

∞

\

n=1

A

n

=

∞

\

n=1

B

n

Ó

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾
» ¿<ÀFÁBÂÃ ÆnÑRË
ÌçÄÅBÆ
Ï ÀFÁ¼Â=À Ç 

(A

n

)

n

∈N

ÆÈ
ÉDÈ ÊË
Ì ÂÃ ÏÄ À È Ð6Õ
É<ÓHG>ãnÐ Á ÚEʺÑRÍ Ì Â=À Ç  ÏÄ À È Ð6Õ
É

(B

n

)

n

∈N

ËÑ ×ÞNÅ Î Ò=Ý.Ç Â È ä

B

1

= A

1

,

B

n

= A

n

\ (A

1

∪ ... ∪ A

n

−1

)

Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË Á È

n >

2

Ó ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a)

∞

[

n=1

A

n

=

∞

[

n=1

B

n

à

(b) A

1

∪ ... ∪ A

m

= B

1

∪ ... ∪ B

m

Æ
漄

m

∈ N

à

(c)

∀ i, j ∈ N [i 6= j =⇒ B

i

∩ B

j

=

∅]

à

(d)

Ý Á Ù Á Ê À

(A

n

)

n

∈N

Ý Á ×Þ Â=À Ç ÀFÁ Í Î ÈÆ
ÏÄ À È Ð6Õ
ÉçÏÄ À È ÐBÒ

X

àVÞNÈ

B

1

= A

1

È Ð.ÑRÏ

B

n

=

A

n

∩ (X \ (A

1

∪ ... ∪ A

n

−1

)) = X

\ ((X \ A

n

)

∪ (A

1

∪ ... ∪ A

n

−1

))

Æ
漄

n >

2

Ó  ! #"$%!&fò ù Ý >æcáEðDãøEìñºÝ

∞

[

n=1

B

n

⊆

∞

[

n=1

A

n

ñÙmçèBÚ!ê‚ìàDéLÜÂçè7ÝEò?¤Bìmݯç&ݯå!áEÜÞ-à†ìmÝ}è&ٝÞ6ûEäÙ

∞

[

n=1

A

n

⊆

∞

[

n=1

B

n

.

BÜÙmê7ë

x

_∈

S

∞

n=1

A

n

ò]5è7ý¯å

x

_{∈ A}

n

å!ãÂÝAæfٝéLáEÙ¯Ú

n

_{∈ N}

òD€LÚ¯ìé"ÝÇäÞ-à†ìEÜî¯Û

I

=

_{{k ∈ N : x ∈ A}

k

}.

üPÚ¯áEÜٝé"ÝÇä

n

_{∈ I}

ûéLÜmê

I

_{6= ∅}

ò›BÜÙmê7ë

k

0

∈ I

må!ìÜÙádÝ}ñÞAáEÜÙñºçºìmý6ãÜÂê‚ìdý6éìEÜÚ¯Û&ìÙ

I

ò ¯ÙäÙãÜ

k

0

= 1

ûfè&Ú

x

_{∈ A}

1

ûÉê‚ìàDãÜ

x

_{∈ B}

1

û:ÝéLÜmê

x

_∈

S

∞

n=1

B

n

ò¯¯ÙäÙãÜ

k

0

>

1

ûfè&Ú

x

_{∈ A}

k

0

\ (A

1

∪ ... ∪ A

k

0

−1

) = B

k

0

ò]5è7ý¯å

x

_∈

S

∞

n=1

B

n

ò1óaÝ}è&ٝÞ

∞

[

n=1

A

n

⊆

∞

[

n=1

B

n

.

ù  ßBÜÙmê7ë

m

_{∈ N}

må!ìÜÙÎå!Ú}é1Ú¯ãáEÜÙødçè7ÝÇãÚ¯ádý4ãÜÂê‚ìdý?ádÝ}è&øEÛ7ÝÇãádýEò €LÚ¯ìé"ÝÇäÞ-àTê‚ÜÂý

(C

n

)

n

∈N

è7ÝÇðDܐû äÙ

C

1

= A

1

, ..., C

m

= A

m

û

C

i

=

∅

å!ãÂÝ

i > m

ò ê\ðDÛ&ÙmõºãÂÝÇÞ-à?ê‚ÜÂý

(D

n

)

n

∈N

ádݯçè=æEø}ñºý¯ê‚Ú~

D

1

= C

1

,

D

n

= C

n

\ (C

1

∪ ... ∪ C

n

−1

)

å!ãÂÝ

n >

2

ò\óaÝÇøDé"ÝÇäÞ-à¯ûEäÙ

D

1

= B

1

, ..., D

m

= B

m

, D

i

=

∅

å!ãÂÝ

i > m

ò$ÎÚ
fÙmêvè&Ù¯Ú ádÝ)æfÚ!åEçè7ÝxéLÜÙvÛ&î}éLáEÚ5õ&ê‚Ü ù Ý 1ކÝÇÞ-àP~

A

1

∪ ... ∪ A

m

= C

1

∪ ... ∪ C

m

=

∞

[

n=1

C

n

=

∞

[

n=1

D

n

= D

1

∪ ... ∪ D

m

= B

1

∪ ... ∪ B

m

.

ù êB ¯BÜÙmê7ë

i, j

_{∈ N}

Ú¯Û7ÝÇì

i

_{6= j}

ò†ü%Û&ìàDæEødõ&ö‚Þ-à¯û:äÙAÜÂçè&áEÜÙñنٝãٝÞAٝá5è

x

0

è7ÝÇðDܐûäÙ

x

0

∈

B

i

∩ B

j

òD€LÚ¯ìé"ÝÇäÞ-à†æEÛ&ìàDædݯå!ٝðaûn5å!à

i < j

ò?OÜٝÞ-à¯û!äÙ
~

B

i

= A

i

\ (A

1

∪ ... ∪ A

i

−1

), B

j

= A

j

\ (A

1

∪ ... ∪ A

j

−1

).

üPÚ¯áEÜٝé"ÝÇä

x

0

∈ B

i

ûEéLÜmê

x

0

∈ A

i

òD¯Ùmå!ádÝÇð

1 6 i 6 j

− 1

ûEê‚ìàDãÜ

x

0

∈ A

1

∪ ... ∪ A

j

−1

û Ý\éLÜmê

x

0

6∈ B

j

ò?êBè&Û&ìàDކÝÇãÜÂõºÞ-àvçºæEÛ&ìÙmê‚ìáEÚ5õ&öÇò:ü%Û&ìàDædݯå!ٝðaû 5å!à

j < i

ñÙmçèZÝÇádÝÇãÚ
¯ÜÂê‚ìáDà¯ò óaÝ}è&ٝÞ

B

i

∩ B

j

=

∅

ò ù å }Îà!çè7ÝÇÛ7ê‚ìàŠå!Ú?ìEÜÚ¯Û&ø

B

n

å!ãÂÝ

n >

2

ìmݯçè&Ú5çºÚ}é"ݯöÛ&î}éLáEÚ5õ&ö ù  AììmݯåEÝÇáEÜÂÝ?þ!òþDû Ý)ádݯçè=æEáEÜÙvæEÛ7Ýxé"Ý-å!Ù ú Ú¯Û=5ÝÇádÝ-å!ãÂÝAìEÜÚ¯Û&î}évò *+", -/.  01&2$435"768#&~

•

ó+ñºÝÇðDÜÙ¯ÚAèéLÜٝÛ7å!ìÙáEÜÂ݆Ú+øEæfÚ¯Û&ìmý¯å!ð¯Ú}é"ÝÇáEÜø/ìEÜÚ¯Û&ø

N

ãÜÂê‚ìádÝ}è&øEÛ7ÝÇãáDà!ê7ë6ð¯Ú¯Û&ìà5ô çè7ÝÇãÜÂõºÞ-à†éÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜø+ìmݯåEÝÇáEÜÂÝAþ!òxþ ù Ý ED ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾
å ¿<ÀFÁBÂÃ ÆnÑRË
ÌÖÄÅBÆ
Ï ÀFÁ Â=À Ç 

(A

n

)

n

∈N

ÏÄ À È Ð6Õ
ÉÞ;ÑRã À,ÂÃ àÙ Á

∀ n ∈ N [A

n

⊆ A

n+1

].

G>ãnÐ Á ÚEʺÑRÍ Ì Â=À Ç  ÏÄ À È Ð6Õ
É

(B

n

)

n

∈N

ËÑ ×ÞNÅ Î Ò=Ý.Ç Â È ä

B

1

= A

1

, B

n

= A

n

\ A

n

−1

Æ
ʺуÆÈ
ÉDÈ ÊË Á È

n >

2

Ó ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a)

∞

[

n=1

A

n

=

∞

[

n=1

B

n

I

(b)

_{∀ n ∈ N [A}

n

= B

1

∪ ... ∪ B

n

]

I

(c)

∀ i, j ∈ N [i 6= j =⇒ B

i

∩ B

j

=

∅]

Ó =?>."#@2A."/~  Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂݯê7ë ù Ý Ü ù

êB ˜éìmݯåEÝÇáEÜøßþ!ò5L/ÞAÚ¯äádÝ6çºð¯Ú¯Û&ìà!çè7ݯö-Ú!å!æfÚ}éLÜÙmå!áEÜÚ6ìÙ ç&ê7ëEٝކÝ}è&î}é4Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝ 

ù

Ý ÉÜ

ù

êB :é?ìmݯåEÝÇáEÜø)þ!òxþ5ò€LÚ¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÙ%ìmݯåEÝÇáEÜÂÝ\þ!ò5L

ù  :ÞAÚ¯äádÝ æEÛ&ìÙæEÛ&Ú}é"ݯå!ìÜÂö\çè&Ú5çºø}ñºý¯êÜádå!øEð5êcñvކÝ}è&ٝކÝ}èà!ê‚ìádýEò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾8 ¿<ÀFÁBÂà ÆnÑRË
ÌÖÄÅBÆ
Ï ÀFÁ Â=À Ç 

(A

n

)

n

∈N

ÏÄ À È Ð6Õ
ÉÞ;ÑRã À,ÂÃ àÙ Á

∀ n ∈ N [A

n+1

⊆ A

n

].

ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

∞

\

n=1

A

n

= A

1

\

∞

[

n=1

(A

1

\ A

n

).

 ! #"$%!&fò1óÛ&î}éLáEÚ5õ&ê‚Ü ù

Ý 1é ìmݯåEÝÇáEÜøþ!òM$éLàDáEÜð}ÝEû!äÙ

A

1

\

∞

[

n=1

(A

1

\ A

n

) =

∞

\

n=1

(A

1

\ (A

1

\ A

n

)) =

∞

\

n=1

A

n

,

fÚ

A

n

⊆ A

1

å!ãÂÝ)ð}ÝÇämå!Ù¯Ú

n

_{∈ N}

ò

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼»/½,¾#' ¿<ÀFÁBÂÃ

A, A

1

, ..., A

n

à  Æ
Ï ÀFÁ

n >

2

à)ÄÅBÆnÇ}ÆÈ
ÉDÈ ÊË
ÌÍ À ÏÄ À È Ð.ÑRÍ À Þ;ÑRã À Í À àÙ Á

A

n

∩ A

i

=

∅

Æ
漄

i

= 1, ..., n

− 1

ÓCÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

[A

_{∩ (A}

1

∪ ... ∪ A

n

−1

∪ A

n

)]

\ A

n

= A

∩ (A

1

∪ ... ∪ A

n

−1

).

=?>."#@2A."/~

 Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜø˜ìmݯåEÝÇáEÜÂÝþ!òQP"éLà!çè7ÝÇÛ7ê‚ìàìmݯçè&Ú5çºÚ}é"ݯöÛ&î}éLáEÚ}é"ÝÇäáEÚ5õ&ö

ù  :ì ìmݯåEÝÇáEÜÂÝ þ!òL!ò RÑTS×)•”¼™ŽP 2U}”—8‘ÉÔ
™)“%VR š‘/ 2U/×7ŒE •/’‡
š‘;)” ž/Ÿ ŽdÕ6•/  ™ŽP 2U/×7ŒEŽ†Ô‚Õ ž ’š“)”›‘‡™‡š ž Õ6•/“?Œ"šcšP¡¢š‘‡ŒNŽ  è&Ùñ\ê‚ìmõ&ê‚ÜÝÇÛºèàDðDøaíïøçºàDÞâfÚ¯ãٝÞ

R

m

û5å!ìÜÙ

m

_{∈ N}

ûmå!ìÜٝÞ-à6Ú¯ìádݯê‚ìmݯöæEÛ&ìÙ‚ô çè&Û&ìÙ/ð}ÝÇÛºè&ٝìñºÝ dçºð}ý

m

ôéLàDÞAÜÂÝÇÛ&Ú}é"ýEò

üPÚÇñmê‚ÜÙ/æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïøñÙmçèvñÙmå!áDàDÞ ì6æfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}éLà!ê7ë?æfÚÇñmö/é è&ٝگÛ&ÜÜ"ÞAÜÂÝÇÛ&அ:Ùfقô çW5øEÙ
†ÝéIæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

m

ò³ æfÚ}éBçºìÙmê7ëEáEÜÙéLàDð¯Ú¯Û&ìà!çèàDé"ÝÇáEÙñádÝéLàDðdíݯåEݯê7ë4ìè&Ùñ è&ٝކÝ}èàDðDÜBãÜè&ٝÛ7Ý}è&øEÛ&ìÙ ù áEæ:ò>\Ú!íïÚ!å!ìÜÙñ‚û þÇÿmÿ]DÜð¯Ú¯Û7çºðDܐû$B
‚
 -éLÜٝãÙéíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜLæEÛ&ìÙ‚ô å!ìÜÂÝDíïî}é é

R

m

ñÙmçè†æEÛ&ìàmñ‚èà!ê7ë1fٝìå!Ú}é1Ú!å!ø:û%Û7ݯê‚ìÙñ-ì/Ú!å!é1Ú!íÝÇáEÜÙÞ çºÜ6å!ÚÎÜá5è&øEÜÂêcñÜ éTèàDÞìmÝÇðDÛ&ÙmçºÜÙ¯ò7¤Bé"ÝÇämÝÇÞ-à¯ûÇäÙ\Ý Dà)çè&ødå!ٝádê‚ÜfãٝæEÜÙñZÞAÚ
¯ãÜdìÛ&Ú¯ìøEÞAÜÙmöLçè&ødå!ÜÚ}é"ÝÇáDà-ކÝ}ô è&ٝÛ&ÜÂÝDí1ìAè&Ù¯ÚìmÝÇðDÛ&Ùmçºø:û:æfÚ}éLÜáEáEÜ é"ê‚ìÙmõºáEÜÙñ˜éÛ7ÝÇކݯê7ë4ö‚éLÜÂê‚ìÙ4Ü1ç&ÝÇÞAÚ!å!ìÜٝãáEÙñ˜æEÛ7ݯê‚à éíݯçºáEÙñ éLàDð¯Ú¯ádݯöBæEÛ&ìÙmåEçè7ÝxéLÜÚ¯áEÙ\áEÜäÙñ ìmݯåEÝÇáEÜÂÝEûn5å!àDäéBçºìà!çè&ðDÜÙ\éíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜfæEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝ}ô íïî}é ìmÝxé"ÝÇÛºè&Ùé èà!ê7ëOìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ëOç&ý?éLàDð¯Ú¯Û&ìà!çèàDé"ÝÇáEÙ6æEÛ&ìàâÝÇádÝÇãÜìÜÙæfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}éLà!ê7ë éíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜEÞAÜÂÝÇÛ&àý…:ÙfÙmçW5øEÙ
†ÝEò%óaÝÇæEÛ&Ú¯æfÚ¯áEÚ}é"ÝÇáEÙ"Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂÝ\ìmݯåEÝ †ãøìmÝÇÞAÜÙmçºìmê‚ìÚ¯áEÙ éBçºð}ÝÇìî}éLðDܯå!ÚLèà!ê7ë$ìmݯåEÝ vç&ýLÞAÚ¯äãÜéLÜÙ%ٝãٝÞAٝá5è7ÝÇÛ&áEÙ¯ûmè&ìá:òøEáEÜð}ÝÇÞ-à˜ð¯Ú¯Û&ìà!çè7ÝÇáEÜÂÝ1ìDdÝÇÛºô å!ìÜÙñìmݯÝxé"ÝÇádçºÚ}é"ÝÇáDà!ê7ë\æfÚÇñmö%Ü5èéLÜٝÛ7å!ìÙ$ìádÝÇáDà!ê7ë$é4è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯Üܐû 5å!àDä ì"å!Ú5õºéLÜÂݯåEê‚ìÙáEÜÂÝ éLÜٝÞ-à¯û5äÙÝÇãfÚvèà!ê7ë†æfÚÇñmöBÜdèéLÜٝÛ7å!ìÙçè&ødå!ٝádê‚ÜfáEÜÙBÛ&ÙmÝÇãÜìÚ}é"ÝÇãÜEéâÛ7ÝÇކݯê7ëAðDøEÛ7çºø†Ùãقô ÞAٝá5è&î}é è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜܐûEÝÇãfچáEÜÙ$æfÚÇè&Û7ÝR{fý)ìváEÜÂê7ë6Ù6ٝð5èàDéLáEÜÙ-çºð¯Ú¯Û&ìà!çè7ݯöÇò]êê‚ìàDéLÜÂõ&ê‚Ü٘áEÜقô ð5è&î¯Û&Ù1æfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}é1Ù%æfÚÇñmê‚ÜÂÝBÜDèéLÜٝÛ7å!ìÙáEÜÂÝBì è&ٝگÛ&ÜÜDæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ5ÞAقè&Û&à!ê‚ìáDà!ê7ë$Þ-ødçºìmý<Dà!ö øEäàDé"ÝÇáEÙLéTÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂݯê7ë-ìmݯåEÝ AìLìmÝÇðDÛ&Ùmçºø)éíݯçºáEÚ5õ&ê‚Ü!æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïî}éŠé

R

m

ò\ݯçè=æEø!ô ñºý¯ê‚ÙAæfÚÇñmê‚ÜÂÝ/å!ÚÇèà!ê‚ìmý¯ê‚Ù)æEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜPÞAقè&Û&à!ê‚ìáDà!ê7ëç&ý6çè&Ú5çºÚ}é"ÝÇáEÙ$éçÚ¯Û&Þ-øaíïÚ}é"ÝÇáEÜÂݯê7ë Ü:Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂݯê7ëæfÚ¯áEÜämçºìà!ê7ë/ìmݯåEÝ )~  +ü%Û&ìÙmçè&Û&ìÙ/ÞAقè&Û&à!ê‚ìádÝ

(X, d)

û5å!ìÜÙ

d

ñÙmçèBÞAقè&Û&àDð}ý)éìEÜÚ¯Û&ìÙ

X

ò þ
+ü%Û&ìÙmçè&Û&ìÙ/ð}ÝÇÛºè&ٝìñºÝ dçºð}Ý

m

ôéLàDÞAÜÂÝÇÛ&Ú}é"Ý

R

m

ì˜ÞAقè&Û&àDð}ý~

||a − b|| =

v

u

u

t

m

X

i=1

(a

i

− b

i

)

2

å!ãÂÝ

a

= (a

1

, ..., a

m

)

∈ R

m

Ü

b

= (b

1

, ..., b

m

)

∈ R

m

ò]êê‚ìàDéLÜÂõ&ê‚ÜÙ¯ûmñÙmõºãÜ

a, b

_{∈ R}

û è&ÚAæEÛ&ìàmñÞ-ø}ñٝÞ-à

||a − b|| = |a − b|

ò L ›|DÛ&Ùmå!áEÜÂêÝAå!ÜÂÝÇÞ

A

ìEÜÚ¯Û&ø

A

ò én —˜øEãÂÝ)ÚÇèé"ÝÇÛºè7Ý

K(x

0

, r)

Ü:ðDøEãÂÝAå!Ú¯ÞAðDáEÜ‚è7Ý

¯

K(x

0

, r)

ò

P
óEÜÚ¯Û&à†ÚÇèé"ÝÇÛºè&ÙÜå!Ú¯ÞAðDáEÜ‚è&Ù¯ò ‚ ƒÎá‚è&Û&ìÙ˜Üá5è

A

ìEÜÚ¯Û&ø

M —\Ú¯ÞAðDáEÜmê‚ÜÙvê‚ã

A

ìEÜÚ¯Û&ø

A

Ü!ñÙ¯Ú)æfÚ!åEçè7Ýxé1Ú}é1ÙéíݯçºáEÚ5õ&ê‚ܐò  óEÜٝäáEÚ5õ&öê‚ÜÂý¯î}étéæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜÂݯê7ë+ÞAقè&Û&à!ê‚ìáDà!ê7ë:ò  ú

قè&Û&àDð}Ý6Ü1ìEÜٝäáEÚ5õ&ö†ê‚ÜÂý¯î}ééÜãÚ!ê‚ìàDáEÜÙÞAقè&Û&à!ê‚ìáDàDÞ

ù

ð}ÝÇÛºè&ٝìñºÝ dçºðDÜÞß ˜æEÛ&ìÙ‚ô çè&Û&ìÙáEÜdÞAقè&Û&à!ê‚ìáDà!ê7ë

ù

éLàDÞAÜٝáEÜÚ¯áEÙBéâèàDÞæEøEáEð5ê‚ÜÙ\ìmÝ 5ݯå!áEÜٝáEÜÂÝÞAÚ¯äádÝvÚ
¯Û7ÝÇáEÜô ê‚ìà!ö˜å!ÚAæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜÉð}ÝÇÛºè&ٝìñºÝ dçºðDÜÙñ

R

m

­ò

óaÝÇøDé"ÝÇäÞ-à¯û}äÙ"ádÝxé1قèZٝãٝÞAٝá5è7ÝÇÛ&áEÙ"æfÚ!å!Ùñºõ&ê‚ÜÙBå!ÚvÛ&Ú¯ìé"ÝÇämÝÇáDà!ê7ëvìmÝ 5ݯå!áEÜÙ)éŠè&ٝگÛ&ÜÜ ÞAÜÂÝÇÛ&àV…:ÙfÙmçE¯øEÙ
†Ý1éLàDÞ†Ý 5Ý1Ú!åvçè&ødå!ٝá5è7Ý"æfٝéLáEÙ¯ÚLæEÛ&ìàn¯ÚÇè&Ú}é"ÝÇáEÜÂÝ%ìZìmÝÇðDÛ&Ùmçºø\è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯Üܐò 5è&ødå!ٝá5è&گޏãٝæEÜÙñæEÛ&ìàn¯ÚÇè&Ú}é"ÝÇáDàDÞì è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜÜDÜDìmÝÇÜá5è&ٝÛ&ÙmçºÚ}é"ÝÇáDàDÞ èàDÞ(æEÛ&ìÙmå!ÞAÜÚÇè&ٝÞ6û æEÛ&Ú¯æfÚ¯áDø}ñٝÞ-àAÝÇãè&ٝÛ&ádÝ}èàDéLáDàAçºæfÚ5çºî
†Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂݘáEÜٝð5è&î¯Û&à!ê7ëAìmݯåEÝ ì\ìmݯçè&Ú5çºÚ}é"ÝÇáEÜÙÞ dÝÇÛ7å!ìÜÙñ1ìmݯÝxé"ÝÇádçºÚ}é"ÝÇáEÙ¯Ú$ÝÇædÝÇÛ7Ý}è&øè&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙ¯Údò

4ÝÇÛºè&ÚÎçè&ødå!ٝá5è&Ú¯Þ ìmÝÇæEÛ&Ú¯æfÚ¯áEÚ}é"ݯöAçºìmê‚ìÙ¯î!íïÚ}é1نÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÂÝ6æEÛ&Ú
EãٝÞAî}éIìmÝxé"ÝÇÛºô èà!ê7ë-éßæfÚ¯áEÜämçºìà!ê7ë$ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ë:ûxádÝxé1قèé?èà!ê7ë-æEÛ&ìàDædݯå!ð}ݯê7ë:û 5å!à˜ìmݯåEÝÇáEÜÂÝ\ç&ý\Ú!ê‚ìàDéLÜÂçè&Ù Üá5è&øEÜÂê‚àmñáEÜÙ¯ûn5å!àDä\ì\æEÛ7ÝÇð5èàDðDÜdéLÜÂݯå!Ú¯ÞAÚdû5äÙçè&ødå!ٝádê‚ÜfކÝ}ñºý-å!øEäÙBè&Û&ødå!áEÚ5õ&ê‚ÜdétæfÚ¯æEÛ7Ýxé"ô áDàDޔÞAٝÛ&à5è&Ú¯Û&à!ê‚ìáEÜÙÜÉÛ&ÙmåEÝÇð5ê‚àmñáEÜ٘ìmÝÇæEÜÂçºÜ٘æEÛ&Ú}é"ݯå!ìÚ¯áDà!ê7ë†Û&Ú¯ìøEÞAÚ}é"Ý :ò

}¹n¸º·)¸ "µ å/½å X>ö=÷Bï"îB÷6ì,ôYEï6ûé æEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

m

ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-àå!Ú}é1Ú¯ãáDà†ÜãÚ!ê‚ìàDá/ð}ÝÇÛºè&ٝìñºÝ dçºðDÜ

P

= I

1

× ... × I

m

=

m

O

i=1

I

i

æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïî}é

I

1

, ..., I

m

é æEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

ò êC¯î¯ãádýŠå!Ù6{dáEÜÂêcñ4æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïøté3æEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

ÞAÚ¯äádÝßìádÝÇãÙèmöáEæ:òLé3ð!çºÜÂýÇämê‚Ù
~ (ò=\Ú!íïÚ!å!ìÜÙñ ù þÇÿmÿ ­ò }¹n¸º·)¸ "µ å/½ BÜÙmê7ë

a

1

, ..., a

m

, b

1

, ..., b

m

∈ R

måEý†ãÜÂê‚ìdÝÇÞAÜ:Û&ìÙmê‚ìàDéLÜÂçèàDÞAÜaè7ÝÇðDÜÞAܐûEäÙ

a

i

6

b

i

å!ãÂÝ ð}ÝÇämå!Ù¯Ú

i

= 1, ..., m

ò ü%Û&ìÙmå!ìÜÂÝDíæfÚ5çè7ݯê‚Ü

P

=

m

O

i=1

[a

i

, b

i

]

ùþ
ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à†æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïÙÞ î
òRû ðRíì!Z[\Rû)ûdÝ)æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíæfÚ5çè7ݯê‚Ü

P

=

m

O

i=1

(a

i

, b

i

)

ù L ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à†æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïÙÞ ò8[8ó]ôRö[\Rû)ò ü%Û&ìÙmå!ìÜÂÝDíïà

P

=

m

O

i=1

(a

i

, b

i

] i P =

m

O

i=1

[a

i

, b

i

)

ù én ádÝÇìàDé"ÝÇÞ-à˜Ú!å!æfÚ}éLÜÙmå!áEÜÚæEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïٝÞ^]Pö=ôRó]ò ñ[8ö=òRííì,ïVî
òRû ðRíì!Z[\RûtÜ_ ï6ó]ò ñ[8ö=òRííì,ïVî
òRú û ðRíì!Z[\Rû)ò

ü%Û&ìàmñÞ-ø}ñٝÞ-à¯û:äÙƒ÷Bø6ì,ùRö`]  ñ[\BñÙmçèvæEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïٝޜìmÝÇÛ&î}éLáEÚ+å!Ú¯ÞAðDáEÜ‚èàDÞ6û!ñºÝÇðÜZÚÇèé"ÝÇÛºô èàDÞ6ò

}¹n¸º·)¸ "µ å/½' ¯ÙäÙãÜ

P

ñÙmçè1æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïٝÞæfÚ5çè7ݯê‚Ü ùþ
­û ùL Zãø ùé ­û5è&ڛò
øaZ[NòQb ì,õæEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïø

P

ádÝÇìà5ô é"ÝÇÞ-àãÜÂê‚ì

volP = (b

1

− a

1

)(b

2

− a

2

)...(b

m

− a

m

) =

m

Y

i=1

(b

i

− a

i

).

\Ú!åEÝ}è&ð¯Ú}é1Ú)æEÛ&ìàmñÞ-ø}ñٝÞ-à¯û!äÙ

vol

∅ = 0

ò óaݯåEÝÇáEÜÂÝvÚ-æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíݯê7ë†étæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

m

Û&Ú¯ìæfÚ!ê‚ìáEÜٝÞ-à)Ú!å+å!é1î!ê7ëìmݯåEÝ  ù LEòÇû LEòþ "å!ÚÇèà!ê‚ìmý¯ê‚à!ê7ë+ٝãٝÞAٝá5è7ÝÇÛ&áDà!ê7ë+éíݯçºáEÚ5õ&ê‚ÜaæEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïî}évò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼å/½,¾ ¿<ÀFÁBÂÃ

P

=

m

O

i=1

[a

i

, b

i

] oraz P

0

=

m

O

i=1

[a

0

i

, b

0

i

]

ÄÅBÆnÇ Î Ð=Ï Á Æ
Ï À Ñ  ÑRÍ À ÆÈ Í}ãnË À Å ÞÌÍ À É

R

m

Ó ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ Á

P

_{⊆ P}

0

_{⇐⇒ [a}

i

, b

i

]

⊆ [a

0

i

, b

0

i

]

Æ
漄

i

= 1, ..., m

Ó =?>."#@2A."/~ ú Ú¯äádÝAçºð¯Ú¯Û&ìà!çè7ݯöBì˜ìmݯåEÝÇáEÜÂ݆þ!ò ù Ý ­ò *+", -/.  01&2$435"768#&~

•

Ú¯Û&Þ-øaíïÚ}é"ݯö†ÜLÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmݯöÝÇádÝÇãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙ+ìmݯåEÝÇáEÜÙ/å!Ú4ìmݯåEÝÇáEÜÂÝcLEò6å!ãÂÝÛ&î}éLáEÚ5õ&ê‚Ü æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïî}étå!Ú¯ÞAðDáEÜ‚èà!ê7ë

P

Ü

P

0

ò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼å/½» ¿<ÀFÁBÂÃ

Q

=

m

O

i=1

(a

i

, b

i

) oraz Q

0

=

m

O

i=1

(a

0

i

, b

0

i

)

ÄÅBÆnÇ Î Ð=Ï Á Æ
Ï À Ñ  ÑRÍ À ÈnÞNÉ?ÑRÐBÞÌÍ À É

R

m

Ó d È Ï
É?ÑRÙÍ ÌƒÐ6Õ
É?ËPÈ
É?ÑRÙËPÈRÚ6Û ä

Q

_{⊆ Q}

0

_{⇐⇒ (a}

i

, b

i

)

⊆ (a

0

i

, b

0

i

)

ù P
Æ
漄

i

= 1, ..., m

Ó e Ð=Ï ÁÎ Ð6È
É?ÑnÆ
Ï À Û7ÆRÌ×EãPÒ
×cÝ6Å

(

È Â Ï.Ì)É À Ú Â=ÀFÁ Ï$Ò Ï Ñ ×"ÑnÆ
Ë ÀFÁ Ë ÀFÁ Í

)

ËÑnÆ$ËÑ ×ÞNÅ Î Ò=Ý.Ç Â ÌÍ À ×ÞNÉ ÀFÁ Ð Æ
Ï Á Ë À ÑRÍ À;ä

(a)

d Õ
É?ËPÈ
É?ÑRÙËPÈRÚ6Û

(

f

)

Ý Á ×ÞD× ÎÁ Ë À È ËÑÓ

(b)

d Õ
É?ËPÈ
É?ÑRÙËPÈRÚ6Û

(

f

)

Ë ÀFÁ Ý Á ×Þ?× ÎÁ Ë À È ËÑÓ

(c)

d Õ
É?ËPÈ
É?ÑRÙËPÈRÚ6Û

(

f

)

Ý Á ×Þ]× ÎÁ Ë À È ËÑ Î Ð=Ï.Ìë×ÞNÈR×.È
É?Ë
Ì ÂÃ Ï Ñ  È Ù Á Ë À Ñ ÂÃ È Î Ð=Ï Á Æ
Ï À Ñ  Ñ ÂÃ ÈnÞNÉ?ÑRÐBÞÌ ÂÃ

Q

À

Q

0

Ó

*+", -g.  01&2$435"768#&~

•

Ú¯Û&Þ-øaíïÚ}é"ݯö†ÜLÛ&Ú¯ìéLÜÂýÇìmݯöÝÇádÝÇãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙ+ìmݯåEÝÇáEÜÙ/å!Ú4ìmݯåEÝÇáEÜÂÝcLEòþå!ãÂÝÛ&î}éLáEÚ5õ&ê‚Ü æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïî}éOÚÇèé"ÝÇÛºèà!ê7ë

Q

Ü

Q

0

ò

 ìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ëhLEòLxôiLEò5L må!ìÜٝÞ-à dݯåEݯö4è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙßéíݯçºáEÚ5õ&ê‚Ü-æEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDíïî}é éæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

m

ûað5è&î¯Û&Ù)ç&ýéLàDð¯Ú¯Û&ìà!çèàDé"ÝÇáE٘æEÛ&ìà6Ú¯æEÛ7ݯê‚Ú}é"ÝÇáEÜø/ÞAÜÂÝÇÛ&à–…:ÙfÙmçE¯øEÙ
†Ý éIæEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEÜ

R

m

ù

ìÚ
:òÎáEæ:ò\Ú!íïÚ!å!ìÜÙñ‚ûZþÇÿmÿ ­ò¼$íïî}éLáDàDÞAÜ æfÚÇñmê‚ÜÂÝÇÞAÜ è&Ú¯æfÚ¯ãÚ
¯ÜÂê‚ì‚ô áDàDÞAÜÉçè&Ú5çºÚ}é"ÝÇáDàDÞAÜEéâèà!ê7ëìmݯåEÝÇáEÜÂݯê7ëç&ý~ðDøEãÙÚÇèé"ÝÇÛºè7ݘÜÉå!Ú¯ÞAðDáEÜ‚è7ÝEûDìEÜÚ¯Û&à)ÚÇèé"ÝÇÛºèà Üå!Ú¯ÞAðDáEÜ‚èà¯û!éLá‚è&Û&ìÙ˜ìEÜÚ¯Û&ø:ûEå!Ú¯ÞAðDáEÜmê‚Ü٘ìEÜÚ¯Û&ø:ûEõºÛ&Ùmå!áEÜÂêÝ)ìEÜÚ¯Û&ø:ò

´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼å/½å j Ï Ñ ×"ÑnÆ
Ë À ÛàÙ Á É Î Ð=Ï Á ×Þ,Ð=Ï Á Ë À Í Á Þ,ÐÌ Â ÏË Á Ý

R

Ê À, ÏÄýÐ=Ï ÁB Ï.Ì)É À ×ÞÌ ÂÃ Ï Á Ï
É7Ìã  ÇýÍ Á Þ,ÐÌã Ç × ÎÁ Ë À È Ë Á ×"ǃÉ?ÑRÐBÒ Ëã À;ä

(a) K(x

0

, r) = (x

0

− r, x

0

+ r),

(b) ¯

K(x

0

, r) = [x

0

− r, x

0

+ r],

 Æ
Ï ÀFÁ

x

0

∈ R

À

r >

0

Ó ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼å/½ ¿<ÀFÁBÂÃ

a

À

b

ÄÅBÆnÇýÊ À, ÏÄ
ÑRÍ À Ð=Ï ÁBÂ Ï.Ì)É À ×ÞÌÍ À Þ;ÑRã À Í À àÙ Á

a < b

ÓVÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàÙ ÁRä

(a) (a, b) = K(

a+b

2

,

b

−a

2

)

à

(b) [a, b] = ¯

K(

a+b

2

,

b

−a

2

)

Ó  ! #"$%!&fò ùÝ 7\ãÂݘå!Ú}é1Ú¯ãáEÙ¯Ú

x

_{∈ R}

ކÝÇÞ-àP~

x

_{∈ K(}

a+b

2

,

b

−a

2

)

⇐⇒ |x−

a+b

2

| <

b

_−a

2

⇐⇒ −

b

_−a

2

< x

−

a+b

2

<

b

_−a

2

⇐⇒ a < x < b ⇐⇒ x ∈ (a, b)

ò

¤Bìmݯç&ݯå!áEÜٝáEÜ٘é æEÛ&ìàDædݯå!ðDø

ù  ñÙmçè\ÝÇádÝÇãÚ
¯ÜÂê‚ìáEÙ¯ò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼å/½' ¿<ÀFÁBÂÃ

a

À

b

ÄÅBÆnÇ²Ê À, ÏÄ
ÑRÍ À Ð=Ï ÁBÂ Ï.Ì)É À ×ÞÌÍ À Þ;ÑRã À Í À à/Ù Á

a 6 b

Ó}ÔâÌã ÑRÏ ÑnÛàPÙ Á<Î Ð=Ï Á Æ
Ï À Ñ  ÈnÞNÉ?ÑRÐBÞÌ

(a, b)

Ý Á ×Þ?ÏÄ À È Ð Á Í ÈnÞNÉ?ÑRÐBÞÌÍ É

R

Ó  ! #"$%!&fò֯ٝäÙãÜ

a

= b

ûPè&Ú

(a, b) =

_∅

û ÝéLÜmê

(a, b)

ñÙmçè)ìEÜÚ¯Û&ÙÞ ÚÇèé"ÝÇÛºèàDÞ

é

R

òß\ݯçè=æEáEÜÙAìmÝÇðdíݯåEÝÇÞ-à¯ûÉäÙ

a < b

ò²BÜÙmê7ë

c

_{∈ (a, b)}

ò}ÎÙèÞ-àãÜÂê‚ì†å!Ú!åEÝ}è&áEÜÂý

s <

min

_{{c−a, b−c}}

òêê‚ìàDéLÜÂõ&ê‚ÜÙ

c

_{∈ (c−s, c+s)}

òüPÚ¯ð}ÝÇäÙÞ-à¯ûmäÙ

(c

_{−s, c+s) ⊆ (a, b)}

ò BÜÙmê7ë

x

_{∈ (c − s, c + s)}

û5é"è&Ùmå!à

c

_{− s < x < c + s}

òüPÚ¯áEÜٝé"ÝÇä

s < c

_{− a}

Ú¯Û7ÝÇì

s < b

_{− c}

û éLÜmê

a < c

_{− s}

Ú¯Û7ÝÇì

c

+ s < b

ò óaÝ}è&ٝÞ

a < x < b

û\ê‚ìàDãÜ

x

_{∈ (a, b)}

û\ÝßéLÜmê

(c

_{− s, c + s) ⊆ (a, b)}

ò \Ú¯Û&ìà!çè7Ý}ñºý¯ê+ììmݯåEÝÇáEÜÂÝ1LEòé ù Ý ­ûBçèéLÜٝÛ7å!ìmÝÇÞ-à¯û"äÙæEÛ&ìÙmå!ìÜÂÝDí ÚÇèé"ÝÇÛºèà

(a, b)

ñÙmçèBìEÜÚ¯Û&ÙÞ ÚÇèé"ÝÇÛºèàDÞIé

R

ò *+", -/.  01&2$435"768#&~

•

\Ú¯Û&ìà!çè7Ý}ñºý¯êì%ìmݯåEÝÇáEÜÂÝkLEòé ù Ý ÉÜ5ìD¢ÝÇð5è&ø:û}äÙ ðDøEãÂÝLÚÇèé"ÝÇÛºè7Ý"é?æEÛ&ìÙmçè&Û&ìÙáEܯÞAقè&Û&à!ê‚ì‚ô áEÙñDñÙmçèìEÜÚ¯Û&ÙÞ ÚÇèé"ÝÇÛºèàDÞ ù ìÚ
:ò:áEæ:òB%á¯ÙãðDÜádûRDÜٝðDãødê7ðDܐû B

‚ dÚÇè&Û&ìàDÞ-ø}ñٝÞ-à ádÝ}èà!ê7ëEÞAÜÂݯçè"Û&Ú¯ìéLÜÂýÇìmÝÇáEÜÙìmݯåEÝÇáEÜÂÝlLEòPDò ´7µ‡¶Pµ‡·)¸º¹¼å/½( m ÑRË Á ×"ÇƒÊ À, ÏÄ6ÌÖÐ=Ï ÁB Ï.Ì)É À ×Þ Á

a

1

, ..., a

m

, b

1

, ..., b

m

Þ;ÑRã ÀFÁ à7Ù Á

a

i

6

b

i

Æ
漄

i

= 1, ..., m

Ó j ÆÈ
ÉDÈÆ
Ë À ÛàÙ ÁKÎ Ð=Ï Á Æ
Ï À Ñ  ÈnÞNÉ?ÑRÐBÞÌ

Q

=

m

O

i=1

(a

i

, b

i

)