Zestaw zada« z teorii miary i caªki

Zestaw zada« z teorii miary i caªki

Katarzyna Lubnauer, Hanna Pods¦dkowska 2012

1 Ciaªa i σ - ciaªa.

1. Zbadaj, czy rodzina A jest ciaªem w przestrzeni X = [0, 2]

a. A = {∅, X, [0, 1), (1, 2]}

b. A = {∅, X, [0, 1], (1, 2]}

c. A = {∅, X, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}

Uzupeªnij w sposób minimalny rodziny nie b¦d¡ce ciaªami do ciaªa.

2. Zbadaj, czy rodzina A jest ciaªem w przestrzeni X = {0, 1, 2}

A = {∅, X, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}

3. Czy nast¦puj¡ce rodziny s¡ σ-ciaªami w przestrzeni X = [0, 3]?

a. R1 = {∅, X, [0, 1), [1, 3]}

b. R² = {∅, X, [0, 2], (2, 3]}

c. R³ = R1 ∪ R₂

Wypisz zbiory nale»¡ce do R3

4. Niech Ω = R. Poda¢ przykªad takich σ -ciaª ,R1, R₂ na Ω, »eby rodzina R₃ = R₁ ∪ R₂ byªa σ - ciaªem w Ω.

5. Rozwa»my X = N oraz A rodzina wszystkich zbiorów sko«czonych lub o sko«czonych dopeªnieniach. Zbadaj czy A jest ciaªem i czy jest σ-ciaªem.

6. Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem nieprzeliczalnym (np X = R) oraz F rodzin¡ zbiorów przeliczalnych lub o przeliczalnym dopeªnieniu. Zbadaj czy F jest σ-ciaªem.

7. Poka», »e w przestrzeni sko«czonej ka»de ciaªo jest σ-ciaªem.

8. Niech X = {X1, X₂, ..., X_n} b¦dzie sko«czon¡ rodzin¡ podzbiorów z Ω pa- rami rozª¡cznych oraz niech Sⁿi=1X_i = Ω. Znajd¹ F najmniejsze σ-ciaªo w przestrzeni Ω zawieraj¡ce rodzin¦ X . Jaka jest liczebno±¢ σ-ciaªa F?

9. Niech Ω = {(a1, a₂, ...) : a_i = 0, 1}(zbiór wszystkich ci¡gów zero-jedynkowych) oraz niech Xⁿ; n = 0, 1, ...b¦dzie sko«czon¡ rodzin¡ zbiorów {X1ⁿ, X₂ⁿ, ..., X₂ⁿⁿ} takich, »e ka»dy ze zbiorów Xiⁿ ∈ Xⁿ skªada si¦ z wszystkich ci¡gów zero- jedynkowych takich samych do n tego miejsca.

Np.:

(n=0) X1⁰ = Ω

(n=1) X1¹ = {(0, a2, ...) : ai = 0, 1}, X₂¹ = {(1, a2, ...) : ai = 0, 1}

(n=2) X1² = {(0, 0, a₃, ...) : a_i = 0, 1}, X₂² = {(0, 1, a₃, ...) : a_i = 0, 1}, X₃² = {(1, 0, a₃, ...) : a_i = 0, 1}, X₄² = {(1, 1, a₃, ...) : a_i = 0, 1}

itd.

Zbadaj σ-ciaªa generowane przez kolejne rodziny Xⁿ; n = 0, 1, .... Które z tych σ-ciaª jest najmniejsze, a które najwi¦ksze? Czy mo»emy je uporz¡d- kowa¢?

10. Zbadaj czy istnieje σ-ciaªo o liczebno±ci n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

11. Udowodnij, »e dowolne sko«czone ciaªo ( σ-ciaªo) zbiorów ma 2ⁿ elementów gdzie n jest pewn¡ liczb¡ naturaln¡.

12. Niech n b¦dzie liczb¡ naturaln¡. Skonstruowa¢ przykªad, zawieraj¡cego 2ⁿ elementów ciaªa podzbiorów zbioru Ω , je»eli

a. Ω = N b. Ω = R

13. Niech dane b¦d¡ dwie przestrzenie X i Y oraz odwzorowanie f X → Y . Niech X b¦dzie σ-ciaªem na przestrzeni X , a Y σ-ciaªem na przestrzeni Y . Zbadaj, w zale»no±ci od wªasno±ci funkcji f, struktur¦ rodzin (czy zawsze s¡ σ-ciaªami?).

a. f⁻¹(Y) b. f(X ).

14. Zbadaj σ-ciaªo w zbiorze Ω generowane przez zbiory jednopunktowe, gdy

a. Ω jest sko«czone lub przeliczalne b. Ω jest nieprzeliczalne.

15. Wyka», »e na to aby rodzina F byªa ciaªem w X potrzeba i wystarcza by X ∈ F i dla ka»dych A, B ∈ F byªy speªnione warunki:

(i) A − B ∈ F (ii) A ∩ B ∈ F.

16. Znajd¹ granic¦ doln¡ i górn¡ nast¦puj¡cych ci¡gów zbiorów:

a. Aⁿ = (−n, n) b. Bⁿ = (−_n¹,_n¹)

c. Cⁿ = [−3, 2 + ⁽⁻¹⁾₂nⁿ) d. Dⁿ = [⁽⁻¹⁾_n ⁿ, 2]

17. Wyka», »e dla dowolnego ci¡gu zbiorów An: lim inf

n A_n ⊂ lim sup

n

A_n

Wyka», »e zawieranie nie musi zachodzi¢ w drug¡ stron¦.

2 Zbiory borelowskie.

1. Udowodnij, »e nast¦puj¡ce zbiory s¡ borelowskie w R (tzn. nale»¡ do B(R)) a. (−∞, a)

b. (−∞, a]

c. (a, ∞) d. [a, ∞)

e. zbiory jednopunktowe f. N

g. Q

h. zbiór liczb niewymiernych i. zbiór Cantora

2. Przyjmuj¡c, »e σ ciaªo zbiorów borelowskich na pªaszczy¹nie jest genero- wany przez prostok¡ty otwarte tzn. zbiory postaci (a1, b₁) × (a₂, b₂), gdzie a1, a2, b1, b2 ∈ R oraz a¹ < b1, a2 < b2, wyka», »e nast¦puj¡ce zbiory nale»¡

do B(R²)

a. zbiór jednopunktowy b. prosta o równaniu y = 2

c. prosta o równaniu y = x d. prosta o równaniu y = 2x + 3

3. Niech (fⁿ)_n∈N b¦dzie rodzin¡ funkcji ci¡gªych na R. Zbadaj czy zbiory A, B, C s¡ borelowskie (nale»¡ do B(R²))

a. A = {x ∈ R : lim

n→∞f_n(x) = ∞}

b. B = {x ∈ R : lim

n→∞fn(x) istnieje i jest sko«czona }, c. C = {x ∈ R : lim

n→∞f_n(x) = c}, c ∈ R

4. Przyjmuj¡c, »e σ ciaªo zbiorów borelowskich na pªaszczy¹nie jest genero- wane przez koªa otwarte, wyka», »e nast¦puj¡ce zbiory nale»¡ do B(R²)

a. prostok¡t otwarty b. zbiór jednopunktowy

c. prosta o równaniu y = ax + b

3 Miara.

1. Wykaza¢, »e µ ≡ 0 jest miar¡ na dowolnym σ-ciele. Zbadaj, czy µ ≡ 1 jest miar¡ na dowolnym σ-ciele.

2. Niech (X, F) przestrze« z σ-ciaªem i niech x⁰ ∈ X , sprawd¹, »e funkcja µ okre±lona na F wzorem

µ(A) =

(1, gdy x⁰ ∈ A 0, gdy x0 ∈ A/ jest miar¡ unormowan¡.

3. Niech X b¦dzie zbiorem niepustym, F σ-ciaªem na X,

∀A ⊆ X : µ(A) =

(0, gdyA = ∅ 1, gdyA 6= ∅ zbadaj czy µ jest miar¡ na F.

4. Niech X = {x¹, ..., x_n} i niech µ b¦dzie odwzorowaniem okre±lonym na F = 2^X o warto±ciach w R⁺ w nast¦puj¡cy sposób:

a. µ({xi1, ..., x_im}) = ^m₃ b. µ({xⁱ1, ..., x_im}) = ^m_n.

Sprawd¹, czy µ jest miar¡ unormowan¡.

5. Niech A = N. Poªó»my

∀A ⊆ N; µ(A) =

(0, gdy A sko«czony

∞, gdy A niesko«czony

Poka», »e µ jest sko«czenie addytywn¡ funkcj¡, ale nie jest miar¡.

6. Niech X b¦dzie zbiorem niesko«czonym, F σ-ciaªem na X,

∀A ⊆ N : µ(A) =

(|A|, gdy A sko«czony

∞, gdy A niesko«czony zbadaj czy µ jest miar¡ na F.

7. Wzór:

∀A ∈ F ; µ(A) = X

n∈A

1 2ⁿ

deniuje miar¦ na F = 2^N. Uzasadnij, »e zbiór warto±ci miary µ pokrywa si¦ z przedziaªem [0, 1]. Czy z tego wynika, »e je±li µ(A) = µ(B) to A = B?

8. Niech (ln), (c_n) b¦d¡ ci¡gami o wyrazach w N i R+ odpowiednio. Sprawd¹,

»e wzór

∀A ⊆ N; µ(A) = X

l_n∈A

c_n deniuje miar¦ na F = 2^N.

9. Niech µ b¦dzie miar¡ sko«czon¡ na przestrzeni (Ω, F). Poka», »e je»eli C jest takim zbiorem, »e µ(C) = µ(Ω), to µ(A) = µ(A ∩ Ω) dla dowolnego A ∈ F. Czy podobna wªasno±¢ jest prawdziwa dla miary niesko«czonej?

10. Niech µ b¦dzie miar¡ sko«czon¡ na przestrzeni (Ω, F). Poka», »e je»eli dla Aj; j = 1, 2, ... mamy, »e µ(A^j) = µ(Ω), to

µ( \

j=1,2,...

A_j) = µ(Ω).

Czy podobna wªasno±¢ jest prawdziwa dla miary niesko«czonej?

11. Wyka», »e dla (A^j)j=1,2,3,... gdzie dla ka»dego j mamy A^j ∈ F zachodzi:

a. µ(lim inf

n→∞ A_n) ≤ lim inf

n→∞ µ(A_n) b. je±li µ( S

j=1,2,...

A_n) < ∞ to µ(lim sup

n→∞

A_n) ≥ lim sup

n→∞

µ(A_n)

12. Niech µ b¦dzie nieujemn¡ sko«czenie addytywn¡ funkcj¡ na σ-ciele F. Za- ªó»my ponadto, »e dla ka»dego ci¡gu zst¦puj¡cego (Aⁿ)zbiorów z F, takiego

»e \

n=1,2,...

A_n = ∅ mamy

n→∞limµ(An) = 0.

Wyka», »e µ jest miar¡ na σ-ciele F.

13. Sprawd¹, czy je±li µ¹, µ2 miary unormowane na σ-ciele F okre±lonym na zbiorze Ω to

a. µ(·) = ¹₂µ₁(·) + ¹₂µ₂(·) b. µ(·) = ²₃µ₁(·) + ²₃µ₂(·)

c. µ(·) = 2 · µ1(·) − 1 d. µ(·) = −¹₂µ₁(·)

s¡ miarami unormowanmi na F.

14. Wyka», »e je±li (µⁿ) jest ci¡giem miar na σ-ciele F okre±lonym na zbiorze Ω to

µ(·) =

∞

X

n=1

µ_n(·) jest miar¡ na F.

15. Niech (µⁿ) b¦dzie miar¡ okre±lon¡ na σ-ciele Fⁿ w przestrzeni Ωⁿ, n = 1, 2, 3, ..., parami rozª¡cznych i daj¡cych w sumie caª¡ przestrze« (Ωⁿ∩Ω_m =

∅ dla m 6= n oraz S^∞n=1Ω_n = Ω). Wyka», »e klasa F wszystkich zbiorów A ⊂ Ω takich, »e A ∩ Ωⁿ ∈ F_njest σ-ciaªem a funkcja µ okre±lona wzorem

µ(A) =

∞

X

n=1

µ_n(A ∩ Ω_n)) jest miar¡ na F.

16. Niech X = [a, b], F σ-ciaªo podzbiorów w X takie, »e ∀^x∈X{x} ∈ F. Niech µ b¦dzie miar¡ sko«czon¡, tak¡ »e

∀_x,y∈Xµ({x}) = µ({y}).

Wykaz, »e µ(Q ∩ [a, b]) = 0 .

17. Niech µ b¦dzie miar¡ sko«czon¡ i A^j, j ∈ J rodzin¡ zbiorów parami roz- ª¡cznych. Wyka», »e zbiór I = {j ∈ J : µ(A^j) 6= 0} jest przeliczalny.

18. Niech Y b¦dzie dowolnym zbiorem za± (X, F, µ) przestrzeni¡ z miar¡, niech funkcja f : X → Y oraz poªó»my

A = {B ⊂ Y : f⁻¹(B) ∈ F } Okre±lmy ν(B) = µ(f⁻¹(B)) . Wyka», »e ν jest miar¡.

19. Niech (X, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ oraz niech F^F oznacza klas¦

wszystkich zbiorów postaci A = B ∪ C , gdzie B ∈ F,a C jest podzbiorem pewnego zbioru mierzalnego miary µ zero. Poka», »e:

a. F^F jest σ-ciaªem

b. ν okre±lone nast¦puj¡co

ν(A) = µ(B),

gdzie A = B ∪ C, B, C okre±lone jak wy»ej, jest miar¡ zupeªn¡.

20. Wykaza¢, »e je»eli A, B s¡ atomami miary µ to (A − B) te» jest atomem miary µ.

4 Miara Lebesgue'a.

1 Wyka», »e miara Lebesgue'a jest niezmiennicza ze wzgl¦du na przesuni¦cie.

2 Wyka», »e zbiór liczb wymiernych ma w B(R²) miar¦ Lebesgua równ¡ 0.

Policz miar¦ Lebesgue'a zbioru

A = {x ∈ R : x /∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1}.

3 Poka», »e prosta l ma w B(R²) miar¦ Lebesgua równ¡ 0.

a. l = {(x, y) ∈ R² : y = a}; a ∈ R b. l = {(x, y) ∈ R² : y = x}

c. l = {(x, y) ∈ R² : y = 2x + 3}

d. l = {(x, y) ∈ R² : y = ax + b}; a > 0, b ∈ R

4 Poka», »e wykres funkcji ci¡gªej okre±lonej na [0, 1] ma w B(R²) miar¦

Lebesgue'a równ¡ 0.

5 Poka», »e wykres funkcji ci¡gªej okre±lonej na R ma w B(R²) miar¦ Lebes- gue'a równ¡ 0.

6 Poka», »e zbiór A ma w B(R²) miar¦ Lebesgue'a równ¡ 0.

a. A = {(x, y) ∈ R² : x − y ∈ Q}

b. A = {(x, y) ∈ R² : x² + y² = r, r ∈ Q}

c. A = {(x, y) ∈ R² : x = r ∈ Q}

7 Policz miar¦ Lebesgua w B(R²) zbioru Cantora.

8 Policz z denicji miar¦ Lebesgue'a zbioru:

a. A = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x}

b. A = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 3x}

c. A = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 4x}

9 Czy istnieje w przedziale (a, b), a < b podzbiór wªa±ciwy domkni¦ty o mierze Lebesgue'a równej b − a. Odpowied¹ uzasadnij.

10 Wyka», »e istniej¡ zbiory E¹ ⊃ E₂ ⊃ E₃ ⊃ E₄ ⊃ ... mierzalne w sensie Lebesgue'a takie, »e

λ(

∞

\

k=1

Ek) 6= lim

k→∞λ(Ek).

11 Poka», ze istnieje zbiór niemierzalny w sensie Lebesgue'a.

Wsk. Zbadaj zbiór Vitaliego.

5 Funkcje mierzalne.

1 Niech M = {∅, [0, 1], [0,¹₂], (¹₂, 1]}, X = [0, 1], które z poni»szych funkcji s¡

mierzalne?

a. f(t) = t, t ∈ [0, 1]

b. g = 2χ[0,³₄] − χ_[¹

4,1], t ∈ [0, 1]

c. h = χ[0,¹₂], t ∈ [0, 1]

2 Niech M = σ({[0,³₄], [¹₄, 1]}), X = [0, 1], które z poni»szych funkcji s¡

mierzalne?

a. f(t) = t, t ∈ [0, 1]

b. g = 2χ[0,³₄] − χ_[¹

4,1], t ∈ [0, 1]

c. h = χ[0,¹₂], t ∈ [0, 1]

3 Poka», »e je»eli f : X → R jest mierzalna w (X, M) oraz A ∈ M, to funkcja h : X → R okre±lona nast¦puj¡co:

h(x) =

(f (x), gdy x ∈ A 0, gdy x ∈ X \ A te» jest mierzalna.

4 Wyka», »e je»eli f i g s¡ mierzalne, to mierzalne s¡ równie» funkcje:

(i) f + g (ii) f · g

(iii) max{f, g}

(iv) min{f, g}

5 Niech X = A1 ∪ A₂ ∪ . . . ∪ A_n oraz Ai ∈ M gdzie M σ-ciaªo okre±lone na X, f : X → R. Zaªó»my, »e dla ka»dego i = 1, 2, . . . , n funkcja f/Aⁱ jest mierzalna. Poka», »e f mierzalna.

6 Wska» wszystkie funkcje mierzalne wzgl¦dem nast¦puj¡cych σ-ciaª okre±lo- nych na X = R:

(a) M1 = {∅, X}

(b) M² = σ{A1, A2, ..., An}, A_i X, S

i=1,2,...,nAi = X (c) M³ = {∅, X}

(d) M⁴, σ -ciaªo generowane przez wszystkie przeliczalne podzbiory prze- strzeni X.

7 Wyka», »e ka»da funkcja ci¡gªa f : Rⁿ → R jest mierzalna - borelowska.

8 Niech f : (X, M) → R jest mierzalna, a g : R → R jest borelowska. Wyka»,

»e g ◦ f : X → R jest mierzalna.

9 Niech f : (X, M) → R jest mierzalna i f 6= 0. Wyka», »e ¹_f : X → R jest mierzalna. item[10]Podaj przykªady funkcji f, g : (X, M) → R nie mierzalnych, takich »e:

(a) |f| mierzalna, (b) f + g mierzalna.

11 Wyka», »e je»eli funkcja f : R → R jest mierzalna - borelowska, to funkcja sgnf te» jest mierzalna.

12 Niech A /∈ M, M− σ-ciaªo okre±lone na X. Poka», »e nast¦puj¡ce funkcje nie s¡ mierzalne:

(a) χ^A, (b) χ(X−A),

(c) aχ^A + bχ_X−A, a 6= b, a, b ∈ R.