Index of /rozprawy2/10517

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO – HUTNICZA im. Stanisława Staszica WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOINŻYNIERII KATEDRA GEOMECHANIKI, BUDOWNICTWA I GEOTECHNIKI. Rozprawa doktorska. Badania nad kształtowaniem się wartości współczynnika podatności podłoża dla celów obliczeń statycznych obudowy tuneli. mgr inż. Kornel Frydrych. Promotor: Prof. dr hab. inż. Andrzej Wichur. Kraków 2012 r..

(2) Składam serdeczne podziękowania Promotorowi Panu Profesorowi Andrzejowi Wichurowi, za pomoc, okazaną cierpliwość oraz cenne uwagi przekazane w trakcie pisania pracy..

(3) Spis treści 1. Wstęp ………………………………..………………………………..……………... 14 1.1.. Pojęcie współczynnika podatności podłoża ……………………………..... 14. 1.2.. Teza i cel pracy ………………………………..……………………………. 16. 1.3.. Zakres pracy ………………………………..………………………………. 17. 2. Odpór sprężysty górotworu (podłoża) w projektowaniu budowli oraz obudowy Wyrobisk podziemnych ……………………………..…………………….………... 18 2.1.. Odpór sprężysty w projektowaniu fundamentów …………………………… 18. 2.2.. Odpór sprężysty w projektowaniu obudowy wyrobisk podziemnych ……… 21. 2.3.. Koncepcja badań ……………………………..……………………………... 27. 3. Badania wstępne nad kształtowaniem się wartości współczynnika podatności podłoża w zagadnieniach projektowania obudowy tuneli ..……………………….. 29 3.1.. Cel badań ......…………………………..……………………………………. 29. 3.2.. Wpływ konstrukcji obudowy wyrobiska o przekroju kołowym na wartość współczynnika podatności podłoża ………………………………. 29 Wyrobisko o przekroju kołowym obciążone od wewnątrz ciśnieniem. 3.3.. normalnym p = po + p2 cos 2 ………………………………..……………. 45 Wnioski ………………………………..…………………………………….. 58. 3.4.. 4. Badania kształtowania się wartości współczynnika podatności podłoża w zagadnieniach projektowania tuneli o przekroju kołowym i eliptycznym ………… 59 Obecny zakres stosowania przekrojów poprzecznych kołowych. 4.1.. i eliptycznych w budownictwie podziemnym ………………………………. 59 4.2.. Konstrukcja oraz weryfikacja modelu obliczeniowego dla przekroju kołowego i eliptycznego ………………………………..…………………… 62 Obliczenia współczynnika podatności podłoża dla tarczy z otworem. 4.3.. kołowym i eliptycznym ………………………………..……………………. 68 4.3.1. Obliczenia współczynnika podatności podłoża dla różnych wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej oraz liczby Poissona górotworu ………………………………..……………………………… 68 4.3.2. Obliczenia współczynnika kształtu k dla różnych wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej oraz liczby Poissona górotworu ………………………………..……………………………… 85 4.3.3. Obliczenia współczynnika kształtu k dla różnych stosunków 3.

(4) półosi elipsy ………………………………..………………………….. 103 4.3.3.1.. Dla a/b = 2,0 ………………………………..……………... 107. 4.3.3.2.. Dla a/b = 1,75 ………………………………..……………. 114. 4.3.3.3.. Dla a/b = 1,5 ………………………………..……………... 121. 4.3.3.4.. Dla a/b = 1,25 ………………………………..……………. 128. 4.3.3.5.. Dla a/b = 1,0 ………………………………..……………... 135. 4.3.4. Aproksymacja funkcji współczynnika kształtu k ……………………. 142 4.4.. Przykład zastosowania opracowanej metody wyznaczania wartości współczynnika podatności podłoża dla tunelu o przekroju eliptycznym ………………………………..………………………………. 151. 5. Podsumowanie i wnioski końcowe ………………………………..……………… 156 6. Literatura ………………………………..…………………………………………. 159 7. Załączniki ………………………………..………………………………..……….. 169. 4.

(5) Spis rysunków Rysunek 1.1 Model sprężystego podłoża wg Winklera Rysunek 2.1 Schemat statyczny do obliczeń sił wewnętrznych Rysunek 2.2 Węzły obliczeniowe współpracy obudowy z górotworem Rysunek 2.3 Określenie zasięgu odporu na podstawie przemieszczeń układu podstawowego Rysunek 3.1 Przekrój tunelu w obudowie wielowarstwowej Rysunek 3.2 Szkic do modelu (1) Rysunek 3.3 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 2 mm Rysunek 3.4 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 5 mm Rysunek 3.5 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 10 mm Rysunek 3.6 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 20 mm Rysunek 3.7 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej Rysunek 3.8 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla tunelu bez obudowy wstępnej Rysunek 3.9 Tarcza z pierścieniem kołowym obciążona na brzegach ciśnieniem pz i px Rysunek 3.10 Pierścień kołowy obciążony na obydwóch brzegach Rysunek 3.11 Wykres naprężeń radialnych σr 5.

(6) Rysunek 3.12 Wykres naprężeń obwodowych σt Rysunek 3.13 Wykres naprężeń stycznych τ Rysunek 3.14 Wykres przemieszczeń radialnych u Rysunek 3.15 Tarcza z otworem kołowym obciążonym od wewnątrz obciążeniem normalnym p = p0 + p2 · cos2φ Rysunek 3.16 Wartość współczynnika C(, , ) na obwodzie wyrobiska zależna od parametru  Rysunek 4.1 Przekroje wyrobisk stosowane w budownictwie podziemnym Rysunek 4.2 Tunele szlakowe Metra Warszawskiego Rysunek 4.3 Schemat skrajni dwujezdniowej drogi1) klasy A lub S Rysunek 4.4 Schemat dwóch tuneli eliptycznych dla dwujezdniowej drogi klasy A Rysunek 4.5 Tarcza z otworem kołowym (rw = 6,1 m) – schemat obciążenia Rysunek 4.6 Tarcza z otworem kołowym (rw = 6,1 m) – wymiary Rysunek 4.7 Model tarczy z otworem kołowym (rw = 6,58 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.8 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu kołowego (rw = 6,58 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 5000  15000 MPa,  = 0,15  0,25) Rysunek 4.9 Tarcza z otworem eliptycznym o wymiarach półosi: a = 15,8 m, b = 12,2 m – schemat obciążenia Rysunek 4.10 Tarcza z otworem eliptycznym o wymiarach półosi: a = 15,8 m, b = 12,2 m – wymiary Rysunek 4.11 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m; b = 4,9 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.12 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.13 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25). 6.

(7) Rysunek 4.14 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 100 ÷ 30000 MPa,  = 0,20) Rysunek 4.15 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.16 Model tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.17 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.18 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego (a = 16,5 m; b = 9,8 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.19 Schemat wykorzystany do obliczenia współczynnika kształtu Rysunek 4.20 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25 m, b = 4,9 m) (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.21 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25m, b = 4,9 m) (E = 10000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.22 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 8,25m, b = 4,9m) (E = 100 ÷ 30000 MPa,  = 0,20) Rysunek 4.23 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5m; b = 9,8 m) (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.24 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5m; b = 9,8 m) (E = 10000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.25 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 16,5m; b = 9,8 m) (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,20) Rysunek 4.26 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m) (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.27 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m) (E = 10000 MPa,  = 0,15 ÷ 0,25) Rysunek 4.28 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego (a = 4,9 m; b = 8,25 m) (E = 5000 ÷ 15000 MPa,  = 0,20) 7.

(8) Rysunek 4.29 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.30 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.31 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 ( a = 9,54 m; b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 7.32 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.33 Model tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) obciążonym od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.34 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.35 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) Rysunek 4.36 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.37 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) Rysunek 4.38 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.39 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m) Rysunek 4.40 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa Rysunek 4.41 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) Rysunek 4.42 Rozkład współczynnika podatności podłoża C na obwodzie otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) obciążonego od środka ciśnieniem 1,0 MPa 8.

(9) Rysunek 4.43 Współczynnik kształtu dla otworu eliptycznego o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) Rysunek 4.44 Schemat do aproksymacji funkcji Rysunek 4.45 Kroki aproksymacji funkcji współczynnika kształtu k (przykład dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,25, liczba Poissona g = 0,25) Rysunek 4.46 Rozkład wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska eliptycznego o wymiarach półosi a = 8,0 m, b = 4,65 m; parametry górotworu: moduł sprężystości wzdłużnej Eg = 10000 MPa, liczba Poissona. g = 0,20 Rysunek 4.47 Rozkład wartości współczynnika kształtu k na obwodzie wyrobiska eliptycznego o stosunkach półosi a/b = 1,5 i a/b = 1,75; parametry górotworu: moduł sprężystości wzdłużnej Eg = 10000 MPa, liczba Poissona  = 0,20 Rysunek 4.48 Wyniki obliczeń współczynnika kształtu k przy użyciu wzorów z aproksymacji funkcji f(k). 9.

(10) Spis tabel Tabela 3.1 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 2 mm Tabela 3.2 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 5 mm Tabela 3.3 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 10 mm Tabela 3.4 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 20 mm Tabela 3.5 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej Tabela 3.6 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w bez obudowy wstępnej. Tabela 3.7 Wyniki obliczeń naprężeń i przemieszczeń w tarczy z otworem kołowym obciążonym ciśnienim p = p0 + p2∙cos2 Tabela 4.1 Weryfikacja modelu tarczy w otworem kołowym - zestawienie wyników Tabela 4.2 Porównanie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem kołowym (rw = 6,58 m) Tabela 4.3 Weryfikacja modelu tarczy w otworem kołowym - zestawienie wyników Tabela 4.4 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m, b = 4,9 m) Tabela 4.5 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8m) Tabela 4.6 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m) Tabela 4.7 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 8,25 m, b = 4,9 m) 10.

(11) Tabela 4.8 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 16,5 m; b = 9,8 m) Tabela 4.9 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym (a = 4,9 m; b = 8,25 m) Tabela 4.10 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) Tabela 4.11 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 2,0 (a = 12,72 m; b = 6,36 m) Tabela 4.12 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) Tabela 4.13 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,75 (a = 11,13 m; b = 6,36 m) Tabela 4.14 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m) Tabela 4.15 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,5 (a = 9,54 m; b = 6,36 m) Tabela 4.16 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) Tabela 4.17 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,25 (a = 7,95 m; b = 6,36 m) Tabela 4.18 Zestawienie wyników obliczeń współczynnika podatności podłoża C dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) Tabela 4.19 Zestawienie wyników współczynnika kształtu dla tarczy z otworem eliptycznym o stosunku półosi a/b = 1,0 (a = b = 6,36 m) Tabela 4.20 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,25 Tebela.4.21 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,5 Tabela 4.22 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 1,75 Tabela 4.23 Współczynniki wielomianów aproksymacyjnych funkcji f(k) dla elipsy o stosunku półosi a/b = 2,0. 11.

(12) Tabela 4.24 Średni błąd kwadratowy aproksymacji funkcji współczynnika kształtu f(k) Tabela 4.25 Wyniki obliczenia współczynnika podatności podłoża przy użyciu nomogramów Tabela 4.26 Wyniki obliczenia współczynnika podatności podłoża przy użyciu wzorów uzyskanych z aproksymacji funkcji f(k) Tabela 4.27 Porównanie wartości współczynnika podatności podłoża C na obwodzie wyrobiska eliptycznego uzyskanych na podstawie trzech metod: a) obliczenia programem Robot Structural Analysis, b) obliczenia na podstawie nomogramów, c) obliczenia przy użyciu wzorów aproksymacyjnych funkcji f(k). 12.

(13) Spis załączników Załącznik 1 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,10 (wartość współczynnika k dla kąta = 90 wynosi 43,7250) Załącznik 2 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,15 (wartość współczynnika k dla kąta = 90 wynosi 15,2375) Załącznik 3 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,20 Załącznik 4 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,25 Załącznik 5 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,30 Załącznik 6 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,35 Załącznik 7 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,40 Załącznik 8 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,45 Załącznik 9 Nomogram wartości współczynnika kształtu k na obwodzie obudowy wyrobiska eliptycznego o stosunku półosi 1,0  a/b  2,0 dla liczby Poissona  = 0,50. 13.

(14) 1. Wstęp 1.1.. Pojęcie współczynnika podatności podłoża. Cechą wyróżniającą obudowy wyrobisk podziemnych (w tym tuneli) jest, że obudowy te współpracują z górotworem, tzn. na kontakcie obudowy i górotworu powstają przemieszczenia, powodujące zaistnienie sił, które działają oprócz aktywnego parcia górotworu. Siły te zwane są odporem górotworu (zwykle: odporem sprężystym górotworu) (Wichur 2009). Podstawowym parametrem charakteryzującym ten odpór jest współczynnik podatności podłoża k, zwany w literaturze anglojęzycznej modulus (coefficient) of subgrade reaction (względnie bedding value), a w literaturze rosyjskojęzycznej jako коэффициент постели. W literaturze dotyczącej projektowania tuneli współczynnik ten jest oznaczany symbolem C i nazywany często współczynnikiem podatności podłoża wg Winklera. Spotykane są również inne określenia np.: znamię gruntu (Modliński 1979, Świniański 2003), współczynnik podłoża (Kobiak i Stachurski 1987), współczynnik reakcji podłoża (Wiłun 2000). Wartość tego współczynnika jest uzyskiwana zwykle w badaniach in situ (tzw. plate – bearing test); można je również znaleźć w pracach (Huber 1958, Nowacki 1974, Terzaghi 1955, Winterkorn i Fang 1975). Winkler przyjął ośrodek gruntowy jako układ identycznych wzajemnie niezależnych, zlokalizowanych blisko siebie nieciągłych liniowo elastycznych sprężyn i proporcji pomiędzy obciążeniem nacisku p w każdym badanym punkcie a osiadaniem y pochodzącym od obciążenia w danym punkcie wyrażanym współczynnikiem reakcji podłoża (Winkler 1867) (por. rys 1.1). Ks = p/y. (1.1). W rzeczywistości w tym modelu grunt jest zastępowany sprężynami, których sztywność odpowiada wartości Ks. Przyjmuje się również zależność liniową naprężenieodkształcenie.. 14.

(15) Wyobraźmy sobie belkę podpartą na całej swej długości w małych równych odstępach jednakowymi sprężynami. Gdy taką belkę obciążymy, to podpory sprężyste ugną się, a ich ugięcie, które jest zarazem ugięciem belki w przekroju nad sprężyną, jest proporcjonalne do nacisku na sprężystą podporę, a więc również do reakcji tej podpory. Gdy odstępy podpór maleją, a ich liczba rośnie, przy czym sprężyny nie przestają działać niezależnie, czyli nie zaczepiają o siebie nawzajem, to można je zastąpić ciągłym podłożem sprężystym. Takie podłoże nazywane jest podłożem Winklera (por. Huber 1958). Jest to oczywiście podłoże fikcyjne, gdyż w podłożach rzeczywistych ugięcie każdego obranego przekroju belki jest zależne nie tylko od reakcji podłoża pod tym przekrojem, ale także od reakcji sąsiednich i dalszych części podłoża. Ugięcie bowiem podłoża w pewnym miejscu nie jest możliwe bez odkształceń części sąsiadujących, tak jak przyjęto to w podłożu Winklera (rys. 1.1) (Rossiński 1963).. Rysunek 1.1 Model sprężystego podłoża wg Winklera (Rossiński 1963). Opierając się na rysunku współczynnik podatności podłoża C można wyrazić wzorem: C. px , y  z x , y . (1.2). gdzie: C – współczynnik podatności podłoża, MN/m3 (MPa/m), p(x,y) – obciążenie podłoża, MPa, z(x,y) – ugięcie (przemieszczenie) podłoża, m. 15.

(16) Przy założeniu liniowej sprężystości pomiędzy obciążeniem i przemieszczeniem podłoża. otrzymujemy. stałą. wartość. współczynnika. C.. Przedstawienie. skomplikowanych własności podłoża za pomocą jednego stałego parametru C stanowi duże uproszczenie zagadnienia. Wielu naukowców prowadziło badania. (Biot 1937, Filonenko-Borodich 1940,. Pasternak 1954, Terzaghi 1955, Vesic 1961) w celu udoskonalenia techniki i metody wyznaczenia wartości współczynnika Ks. Badania te wykazały, że geometria, wymiary fundamentów oraz warstwowanie gruntu to najważniejsze parametry wpływające na jego wartość. Generalnie zakłada się że wartości współczynnika reakcji podłoża można uzyskać używając następujących alternatywnych testów (Moayed 2008): 1) testu obciążanej płyty, 2) testu konsolidacji (endometry), 3) testu trójosiowego ściskania, 4) CBR- California Bearing Ratio Test (Kalifornijski wskaźnik nośności gruntu).. 1.2.. Teza i cel pracy. Teza: Wartość współczynnika podatności podłoża C na obwodzie obudowy wyrobiska jest zmienna – w odróżnieniu od dotychczasowych poglądów, które przypisują tej wielkości wartość (liczbę) stałą. Cel: Celem pracy jest zbadanie rozkładu tego współczynnika na obwodzie obudowy wyrobiska oraz wskazanie wytycznych do jego obliczenia. Analizę zmienności wartości współczynnika podatności podłoża na obwodzie obudowy przeprowadzono przez wykonanie odpowiednio zaprogramowanych obliczeń dla płaskiej sprężystej tarczy z 16.

(17) otworem o kształcie przekroju odpowiadającym przekrojom tuneli stosowanym w praktyce. W wyniku obliczeń uzyskano wartości współczynnika podatności podłoża w zależności od parametrów sprężystych obudowy i górotworu jak również od przekroju poprzecznego wyrobiska.. 1.3.. Zakres pracy. Początkowe rozdziały zawierają wprowadzenie do zagadnień ściśle związanych z tematyką opisującą zjawisko odporu sprężystego górotworu, aktualny stan wiedzy z badanej dziedziny oraz jego praktyczne zastosowanie. W rozdziałach tych omówiono udział odporu sprężystego górotworu w projektowaniu fundamentów, a także wpływ na nośność obudowy wyrobiska. W dalszej części pracy przedstawiono wyniki badań dotyczące udziału konstrukcji obudowy w kształtowaniu wartości współczynnika podatności podłoża C. W rozdziale tym przeanalizowano trzy warianty tunelu o przekroju kołowym: tunelu w obudowie wstępnej. z. folią. hydroizolacyjną,. tunelu. w. obudowie. wstępnej. bez. folii. hydroizolacyjnej oraz tunelu bez obudowy wstępnej. Wykonano również badania wpływu nierównomiernego obciążenia uzależnionego od kąta  na przebieg wartości współczynnika C na obwodzie wyrobiska o przekroju kołowym. W rozdziale 4 przed rozpoczęciem badań dotyczących wpływu kształtu wyrobiska na rozkład współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobiska przeprowadzono studium nad najczęściej wykorzystywanymi przekrojami w budownictwie tunelowym. Następnie przy użyciu programu Robot Structural Analysis przeprowadzono badania tuneli o przekroju eliptycznym i kołowym w celu uzyskania wartości współczynnika C na obwodzie wyrobiska dla różnych stosunków półosi elipsy oraz zróżnicowanych parametrów sprężystych górotworu (modułu sprężystości wzdłużnej i liczby Poissona). Na koniec przedstawiono wytyczne do wyznaczenia współczynnika podatności podłoża dla wyrobisk eliptycznych mające na celu usprawnienie obliczeń projektowych dotyczących wymiarowania obudowy wyrobisk podziemnych.. 17.

(18) 2. Odpór sprężysty górotworu (podłoża) w projektowaniu budowli oraz obudowy wyrobisk podziemnych. 2.1.. Odpór sprężysty w projektowaniu fundamentów. Często przyjmowane przez konstruktorów założenie, że współczynnik podatności podłoża jest parametrem zależnym jedynie od stanu i rodzaju gruntu prowadzi do jednakowych odkształceń i przemieszczeń fundamentów niezależnie od ich wymiarów, co jest sprzeczne z podstawowymi zasadami mechaniki gruntów. Niekiedy wręcz oczekuje się od geologów podawania wprost tego parametru w dokumentacji geologicznej (Świniański 2003). Zwraca uwagę znaczna rozbieżność wartości współczynnika podatności podłoża podawana w literaturze przez różnych autorów dla tych samych gruntów (Kuczyński 1980, Kobiak i Stachurski 1987, Wiłun 2000). W fundamentowaniu obliczanie odporu sprężystego górotworu opiera się na teorii belek na sprężystym podłożu (Dąbrowski i Kolendowicz 1983, Grabowski i in. 2005). Model podłoża Winklera jest modelem idealizowanym, dlatego zakres jego stosowalności jest ograniczony. Główną przyczyną rozbieżności pomiędzy podłożem budowlanym jest pominięcie w modelu naprężeń stycznych, które mają istotny wpływ na wielkość spodziewanych osiadań powierzchni posadowienia. Praktyka obliczeniowa wykazała, że dla belek i płyt można stosować ten model statyczny, gdy grubość warstwy ściśliwej nie przekracza połowy szerokości belki lub płyty (Rossiński 1963). W tych przypadkach współczynnik podatności podłoża należy określać na podstawie wartości modułu ściśliwości Es, otrzymanych z badań polowych. Opracowany w 1927 roku test SPT jest najpopularniejszą i najbardziej opłacalną metodą badania właściwości gruntów. Metoda została znormalizowana jako ASTM D1586 (ASTM 1992). SPT (Standard Penetration Test) jest to dynamiczny test penetracyjny in-situ, którego zadaniem jest zebranie informacji na temat właściwości, zaburzenia gruntu, analizy uziarnienia a także jego klasyfikacji. 18.

(19) Zastosowanie wyników badań penetracyjnych (SPT) (Moayed i Naeini 2006) w projektach geotechnicznych może zostać podzielone na sposoby podejścia:  podejście bezpośrednie,  podejście pośrednie. Podejście bezpośrednie daje możliwość przejścia prosto z badań in-situ do stosowania w fundamentowaniu bez potrzeby oceniania jakichkolwiek pośrednich parametrów gruntu. To podejście jest czasami stosowane w ocenie osiadania płytkich fundamentów w niespójnych ośrodkach oraz do oceny stanów granicznych konstrukcji palowych poddanych jednocześnie osiowemu i poziomemu obciążaniu. Podejście to prowadzi do metod empirycznych, których jakość jest ściśle powiązana z ilością i jakością odnotowanych przypadków, na których metoda podejścia bezpośredniego została oparta. Przykłady wyżej opisanej metody możemy znaleźć w pracach (Burland i Burbridge 1984, Bustamante i Gianeselli 1982, Reese i Wright 1977, Reese i O’Neil 1987, Jamiolkowski i in. 1985). Podejście pośrednie, które. prowadzi do metod interpretacji dopuszczającej. szacowanie wartości parametrów sprężystych gruntu. To podejście jest racjonalniejsze od podejścia bezpośredniego. Odkąd pojawiły się testy penetracji, inżynierowie usiłują oceniać właściwości odkształceniowe i osiadania płytkich fundamentów (Terzaghi i Peck 1948). Dla niespójnych ośrodków gruntowych lub tych, gdzie występują nienaruszone partie gruntu, podejście to jest zawodne lub nieopłacalne ekonomicznie (D’Appolonia i in. 1968, Mitchell i Gardner 1975, Parry 1978). W literaturze dotyczącej fundamentowania do wyznaczenia wartości współczynnika podatności podłoża przedstawionych zostało kilka wzorów. Piętkowski podaje następujące zależności (Piętkowski 1957, Piętkowski 1969):  dla stóp fundamentowych i kwadratowych i kołowych (2.1)  dla długich fundamentów taśmowych równomiernie obciążonych (2.2) 19.

(20) gdzie: C – współczynnik podatności podłoża, MN/m3 (MPa/m), Es – moduł podatności gruntu wg PN-B-02480:1986, MPa, b – bok kwadratu, średnica koła lub szerokość fundamentu taśmowego, m. Wzory (2.1) i (2.2) dotyczą podłoża jednolitego i nieuwarstwionego. Według. Gorbunowa-Posadowa. współczynnik. podatności. podłoża. należy. przyjmować wg wzoru (Gorbunow-Posadow 1956): (2.3) gdzie:.  – współczynnik zależny od długości fundamentu l oraz wysokości warstwy ściśliwej h, E0 – moduł pierwotnego (ogólnego) odkształcenia gruntu wg PN-B-02480:1986, MPa,.  – liczba Poissona, b – szerokość fundamentu taśmowego, m. Określenie współczynnika ściśliwości nie jest jednoznaczne, gdyż nie zachodzi liniowa zależność pomiędzy obciążeniem a osiadaniem gruntu. Dlatego do obliczeń należy przyjmować tę wartość Es czy też E0, która odpowiada średniemu obciążeniu wywołanemu przez konstrukcję. Wzory do określania współczynnika podatności podłoża podali też inni autorzy, między innymi Koegler (Koegler i Scheiding 1938), Fłorina (Modliński 1979) oraz Wiłun (Wiłun 2000):.  wg Koeglera: (2.4) gdzie: m – współczynnik zależny od kształtu fundamentu i stosunku wymiarów 20.

(21) fundamentu (b x l lub D) do miąższości h gruntu ściśliwego pod fundamentem, M0 – edometryczny moduł ściśliwości pierwotnej (ogólnej) wg PN-B-02480:1986, MPa, b – szerokość fundamentu, m;  wg Fłorina: (2.5) gdzie: qśr – średni nacisk przekazywany przez fundament na podłoże, MPa, sśr – średnie osiadanie fundamentów budynku obliczone z uwzględnieniem rzeczywistej budowy i ściśliwości M0 warstw podłoża gruntowego, m;  wg Wiłuna: (2.6) gdzie:.  – współczynnik wpływu zależny od kształtu i sztywności fundamentu, E0 – moduł pierwotnego (ogólnego) odkształcenia gruntu wg PN-86/B-02480, MPa,.  – liczba Poissona gruntu ściśliwego, B – szerokość lub średnica obciążonego obszaru/fundamentu, m. Jak wynika z przedstawionych wzorów, współczynnik podatności podłoża nie jest zależny jedynie od parametrów sprężystych gruntu, ale jest ściśle powiązany z rozmiarami fundamentu.. 2.2. Odpór sprężysty w projektowaniu obudowy wyrobisk podziemnych W przypadku projektowania obudowy tuneli zagadnienie odporu sprężystego górotworu stało się w Polsce szerzej znane po ukazaniu się pracy Dawydowa (Dawydow 1954). Odpór ten został wprowadzony do praktyki polskiego budownictwa podziemnego w roku 1973 wraz z ustanowieniem normy branżowej (BN-73/0434-04) i jest stosowany pomimo zmieniających się norm (BN-79/0434-04, PN-G-05020:1997).. 21.

(22) Jak wykazały badania odpór sprężysty górotworu poważnie zwiększa nośność obudowy. Dla obudów łukowych prace nad tym zagadnieniem prowadził ośrodek badawczy OBR BG „Budokop” (Rułka i in. 1983, Mateja 1982). Z badań tych wynika np., że dla wyrobiska o szerokości w świetle obudowy stalowej łukowej V29 równej 5,0 m, obciążonej równomiernie ciśnieniem pionowym, nośność obudowy w zależności od rodzaju wykładki wynosi (Wichur 2009):  w przypadku niestarannej wykładki kamiennej (współczynnik ściśliwości podłoża Ez = 1,5 MPa): ok. 0,07 MPa,  w przypadku dobrej wykładki kamiennej (Ez = 7 MPa): ok. 0,11 MPa,  w przypadku wykładki scalonej zaprawą cementową (Ez = 40 MPa): ok. 0,18 MPa. Badania w tym kierunku przedstawiono również w publikacji (Domańska 2002), a także w pracy (Frydrych 2008), gdzie wykazano dodatni wpływ odporu sprężystego górotworu na nośność odrzwi obudowy ŁP. Jak wskazują przedstawione liczby, istnienie odporu sprężystego górotworu znacznie zwiększa nośność obudowy. Fakt ten powoduje, że nie może być on pominięty w obliczeniach sił wewnętrznych (Wichur i Gruszka 2001, Wichur i in. 2009, Wichur i in. 2010, Sinha 1991, Jendryś i in. 2003), a co za tym idzie, w procesie projektowania obudowy wyrobiska podziemnego. Odpór sprężysty górotworu w ujęciu normy PN-G-05020:1997 opiera się na koncepcji sprężystego podłoża wg Winklera, która jest wykorzystywana w obliczeniach belek na sprężystym podłożu. Zgodnie z tą normą obudowy sklepione należy obliczać jako konstrukcje łukowe, ramowo-łukowe lub pierścieniowe, współpracujące z otaczającym górotworem. Współpracę górotworu z obudową należy uwzględnić, przyjmując w schemacie statycznym ciągłe lub punktowe sprężyste rozparcia (wahacze). Rozparcia te należy przyjmować w odcinkach obwodu obudowy, w których oś odkształcona ustroju podstawowego statycznie wyznaczalnego przemieszcza się pod wpływem działającego obciążenia w stronę górotworu (rys. 2.1). Te dodatkowe reakcje zaleca się modelować za pomocą wahaczy usytuowanych wzdłuż dwusiecznych kątów wierzchołkowych wieloboku lub radialnie do zakrzywionej osi pręta jak na rysunku 2.2.. 22.

(23) Współpracę z górotworem można pominąć w skałach ciekłych (kurzawkowych) i małospoistych (PN-G-05020:1997).. Rysunek 2.1 Schemat statyczny do obliczeń sił wewnętrzych (PN-G-05020:1997). Rysunek 2.2 Węzły obliczeniowe współpracy obudowy z górotworem (Mateja 1982): a) w układzie schematu prętowego z odporem sprężystym b) w układzie schematu łukowego z odporem sprężystym c) w układzie schematu łukowego z odporem poprzez węzły przegubowe. W praktyce projektowej stosowane są dwie metody wyznaczania odporu sprężystego górotworu (Wichur 2009):  w przypadku obliczeń ręcznych stosowana jest metoda podana przez Dawydowa (Dawydow 1954), lecz bez uwzględnienia jego koncepcji tzw. warstwy 23.

(24) sprężystej, a wartość współczynnika podatności podłoża jest wyznaczana w oparciu o rozważania sprężystej tarczy z otworem kołowym,  w przypadku obliczeń numerycznych odkształcalny górotwór zastępuje się słupkami (wahaczami) posadowionymi w nieodkształcalnym górotworze. Wartość sztywności ściskania wahaczy (rys. 2.1) zgodnie z PN-G-05020:1997 należy obliczać wg wzoru: Dw  EF w . Eg lw  ls 1  g rw. (2.7). w którym: Dw - sztywność ściskania wahaczy, MN, Eg. - współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu, MPa,. g. - liczba Poissona górotworu,. rw. - promień wyrobiska w wyłomie, m,. ls. - odległość wahaczy, m,. lw. - długość wahacza, m. W celu wyznaczenia współczynnika sprężystości wahacza najpierw wyznacza się. współczynnik podatności podłoża C p według wzoru:. Cp . Eg (1   g )  rw. ( 2.8 ). w którym:. Cp. - współczynnik podatności podłoża, MN/m3,. Eg. - współczynnik sprężystości górotworu, MPa,. g. - współczynnik Poissona górotworu otaczającego wyrobisko,. rw. - promień wyrobiska w wyłomie, m.. Promień rw oblicza się według wzoru:. 24.

(25) 1  rw    s w   d 0 2 . ( 2.9 ). gdzie: sw - szerokość wyrobiska w świetle obudowy, m, do - grubość obudowy, m. lub przyjmuje równy zewnętrznemu promieniowi sklepienia. Korzystając ze wzorów (2.7) oraz (2.8) można zapisać, że współczynnik sprężystości wzdłużnej wahacza wyraża się wzorem:. E wah . b  S  C p  l wah Fwah. ( 2.10 ). w którym:. E wah. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału wahacza, MPa,. b. -. obliczeniowy wymiar wzdłuż osi wyrobiska, m (zwykle b=1m),. S. -. odległość między poszczególnymi wahaczami, m,. l wah. -. długość wahacza, m,. Fwah. -. pole przekroju poprzecznego wahacza, m2.. Najczęściej przyjmuje się:. Fwah  S  b. ( 2.11 ). E wah C p  l wah. (2. 12 ). wówczas otrzymuje się:. Wahacze należy zamodelować w ustroju statycznym na odcinku przemieszczania się ustroju w stronę górotworu. Wstępnie zasięg można przyjąć na podstawie analizy osi odkształconej ustroju bez odporu biernego jak na rysunku 2.3. Odpór bierny górotworu można pominąć w obudowach sklepionych o dużej sztywności, zlokalizowanych w górotworze o niskich parametrach sprężystych Eg, νg. 25.

(26) lub oddzielonych od górotworu wykładką (warstwą amortyzującą) o niskich parametrach sprężystych.. Rysunek 2.3 Określenie zasięgu odporu na podstawie przemieszczeń układu podstawowego a) w ociosach wyrobiska, b) w stropie wyrobiska (Mateja 1982). Wzór określający sztywność ściskania wahaczy został wyprowadzony na podstawie analizy. tarczy. sprężystej. z. obudowanym. otworem. obciążonym. ciśnieniem. równomiernym na obwodzie otworu (por. Mateja 1982). Sposób zaproponowany przez normę posiada zasadnicze wady: 1) nie uwzględnia wpływu konstrukcji obudowy na wartość współczynnika podatności podłoża, 2) nie uwzględnia zmienności wartości współczynnika podatności podłoża wynikającej ze zmienności promienia wyrobiska w wyłomie (rw). 3) ponieważ wzór zaprezentowany w normie dotyczy wyrobiska o przekroju kołowym, wartość tego współczynnika jest stała na obwodzie wyrobiska i nie uwzględnia jego zmienności pod wpływem zmiany kształtu przekroju. Powyższe fakty skłoniły do dalszych badań nad zagadnieniem kształtowania się wartości współczynnika podatności podłoża na obwodzie wyrobisk o przekroju innym niż kołowy jak również o zróżnicowanej konstrukcji obudowy. Dokładniejsza znajomość własności odporu sprężystego umożliwia zastosowanie w procesie projektowania obudowy opracowanych dla konstrukcji prętowych zasad wymiarowania (w tym: norm), opartych na pogłębionej znajomości własności betonu i żelbetu.. 26.

(27) 2.3.. Koncepcja badań. Wykonanie badań powinno być poprzedzone przyjęciem odpowiednich założeń obliczeniowych, polegających na zastąpieniu rzeczywistego elementu konstrukcyjnego ustrojem idealizowanym (Filcek i in. 1994, Szmelter 1980, Konderla i Kasprzak 1997). Pozwala to na uwzględnienie realistycznego zachowania się konstrukcji pod obciążeniem w zależności od wybranej metody analizy. Należy zatem sformułować teoretyczny model obliczeniowy (analityczny i numeryczny) uwzględniający: . idealizację geometryczną ustroju (model geometryczny),. . idealizację zachowania się materiałów (model materiałowy),. . idealizację obciążeń (model obciążeń).. Koncepcja. modelu. geometrycznego. wynika. z. wymiarów. i. kształtów. geometrycznych oraz z wzajemnego usytuowania w przestrzeni elementów w rozważanym ustroju (Filcek i in. 1994, Walaszczyk i in. 1993, Konderla i Kasprzak 1997). Podstawą idealizacji geometrycznej jest także rodzaj stanu naprężenia w konstrukcji. Wyróżnia się elementy: jednowymiarowe, zwane prętowymi (belki, słupy, łuki), dwuwymiarowe (płyty, tarcze, powłoki) oraz trójwymiarowe (skrzynie). Dla rozpatrywanego. ustroju. niezbędne. są. zatem:. dobór. odpowiedniego. modelu. geometrycznego oraz przyjęcie rzeczywistych bądź zastępczych (obliczeniowych) wymiarów. W badaniach w celu zamodelowania tunelu w otaczającym go górotworze posłużono się modelem nieważkiej, sprężystej tarczy z wydrążonym otworem (kołowym lub eliptycznym). Model materiałowy przyjęty do obliczeń zakłada, że górotwór otaczający wyrobisko (tarcza) jest ciągły pozbawiony szczelin i spękań, izotropowy, jednorodny i sprężysty. W badaniach przeprowadzonych dla tarczy z otworem kołowym przewidziano trzy warianty obciążenia układu :  tarcza z otworem obciążona na krawędziach równomiernym ciśnieniem p0 (obliczenia analityczne), . tarcza z otworem obciążonym od wewnątrz zmiennym ciśnieniem p zależnym od kąta  (obliczenia analityczne), 27.

(28)  tarcza z otworem obciążonym od środka równomiernym ciśnieniem 1,0 MPa (obliczenia numeryczne). Dla tarczy z otworem eliptycznym przeprowadzono badania dla obciążenia równomiernego przyłożonego 1,0 MPa od środka otworu (obliczenia numeryczne). Metody analityczne badań oparto o podstawowe rozwiązania z dziedziny geomechaniki. oraz. wytrzymałości. materiałów. uzyskane. przez. scałkowanie. odpowiednich równań różniczkowych (Huber 1958, Sałustowicz 1955, Timoszenko i Goodier 1962, Sałustowicz 1965), a także z dziedziny projektowania obudowy wyrobisk podziemnych (Wichur 2009, PN-G-05020:1997). Obliczenia analityczne wykonano z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Microsoft Office Excel. W przypadku skomplikowanych obliczeń sięgnięto do metod numerycznych (MES). Badania z tego zakresu wykonane zostały z użyciem program Robot Structural Analysis.. 28.

(29) 3. Badania wstępne nad kształtowaniem się wartości współczynnika podatności podłoża w zagadnieniach projektowania obudowy tuneli. 3.1.. Cel badań. Wzór (2.8) wykorzystywany do obliczanie współczynnika podatności podłoża C nie uwzględnia wpływu konstrukcji obudowy na jego wartość. Celem badań wstępnych było przeprowadzenie analizy zmienności wartości współczynnika podatności podłoża na obwodzie obudowy wyrobiska tunelowego o przekroju kołowym w zależności od rodzaju konstrukcji obudowy. W badaniach tych wykonano obliczenia dla płaskiej sprężystej tarczy z otworem kołowym obciążonej na krawędziach ciśnieniem p0. Obliczenia przeprowadzono dla trzech konstrukcji obudowy tunelu: obudowy wstępnej z folią hydroizolacyjną, obudowy wstępnej bez folii hydroizolacyjnej oraz dla tunelu bez obudowy wstępnej. Wzór ten sugeruje również, iż wartość współczynnika podatności podłoża C na obwodzie obudowy wyrobiska kołowego jest stała. Zależność ta została wyprowadzona dla tarczy z otworem kołowym równomiernie obciążonej na krawędziach i nie uwzględnia wpływu nierównomiernego obciążenia na wartość tego współczynnika (por. Mateja 1982). W celu wykazania zmienności wartości współczynnika C w dalszej części badań przeprowadzono obliczenia dla tarczy z otworem kołowym obciążonym od środka nierównomiernym ciśnieniem p uzależnionym od kąta .. 3.2. Wpływ konstrukcji obudowy wyrobiska o przekroju kołowym na wartość współczynnika podatności podłoża Obudowa tunelu ma zwykle postać obudowy wielowarstwowej (rys.3.1), składającej się z obudowy wstępnej, hydroizolacji i obudowy ostatecznej (Chudek 1986, Wichur et al. 1994, Wichur et al. 2005, Wichur et al. 2006, Wichur 2009, PN-G-05020:1997, PN-G-05600:1998). Przekroje tuneli przybierają postać kołową, eliptyczną lub podkowiastą w zależności od warunków geotechnicznych i użytkowych. 29.

(30) Przy projektowaniu obudowy, konstruktor napotyka problem, w jaki sposób jej konstrukcja wpływa na wartość współczynnika podatności podłoża. Odpowiedź na to pytanie w przypadku obudowy wielowarstwowej można znaleźć w sposób nieskomplikowany jedynie dla przekroju kołowego. Analizę wpływu konstrukcji obudowy tunelu o przekroju kołowym na wartość współczynnika podatności podłoża przeprowadzono dla następujących modeli obudowy: 1. tunelu w obudowie wstępnej z folią hydroizolacyjną, 2. tunelu w obudowie wstępnej bez folii hydroizolacyjnej, 3. tunelu bez obudowy wstępnej.. Rysunek 3.1 Przekrój tunelu w obudowie wielowarstwowej (Frydrych 2005). Rozważono środkowo-symetryczne zadanie teorii sprężystości (rys. 3.2) tarczy z otworem z umieszczonymi w nim bez luzu i wcisku dwoma pierścieniami (Frydrych 2005): -. pierścień wewnętrzny (folia hydroizolacyjna o współczynniku sprężystości wzdłużnej E1 i współczynniku Poissona 1) o promieniach ro, r1 (r1 > ro),. -. pierścień zewnętrzny (obudowa wstępna tunelu wykonana z materiału o współczynniku sprężystości wzdłużnej E2 i współczynniku Poissona 2) o promieniach r1, r2 (r2 > r1).. Brzegi tarczy są wolne od obciążeń, natomiast na wewnętrznej powierzchni pierścienia wewnętrznego działa ciśnienie p (docisk od obudowy ostatecznej), które generuje powstawanie odporu sprężystego górotworu (por. Mateja 1982). Z odporem 30.

(31) tym jest związane używane w dalszej części pracy, pojęcie współczynnika podatności podłoża wg Winklera C lub krótko: współczynnika podatności podłoża. Stan naprężenia w pierścieniach i tarczy charakteryzowany jest następującymi składowymi tensora naprężenia (naprężeniami głównymi): -. naprężenia radialne r o kierunku zgodnym z kierunkiem promienia wychodzącego ze środka tarczy z pierścieniem,. -. naprężenie obwodowe t o kierunku prostopadłym do kierunku promienia wychodzącego ze środka tarczy z pierścieniem,. -. naprężenia podłużne l o kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku (zakłada się płaski stan odkształcenia).. Stan przemieszczenia charakteryzowany jest wektorem przemieszczenia u o kierunku promieniowym. Przy rozwiązywaniu zadania wykorzystano klasyczne rozwiązanie Lamégo dla sprężystego pierścienia kołowego o promieniach (wewnętrznym i zewnętrznym) a < b obciążonego ciśnieniem wewnętrznym pa oraz pb. Rozwiązanie to ma postać (Huber 1958) (naprężenia rozciągające są dodatnie, przemieszczenia u są dodatnie, jeżeli są skierowane od środka na zewnątrz). r . p a  a 2  pb  b 2  p a  pb   a 2 b 2  b2  a2 b2  a2  r 2. (3.1). t . p a  a 2  pb  b 2  p a  pb   a 2 b 2  b2  a2 b2  a2  r 2. (3.2). l . 2   p a  a 2  pb  b 2  b2  a2. (3.3). . . . . . . p a  a 2  pb  b 2  r  p a  pb   a 2 b 2  1     u   1  2    E  b2  a2 b2  a2  r . . . (3.4). Zakładając równość przemieszczeń radialnych na kontaktach pierścieni oraz na kontakcie pierścienia zewnętrznego i tarczy oraz oznaczając reakcje na powierzchniach kontaktowych odpowiednio przez pR1 (kontakt pierścieni) oraz pR2 (kontakt pierścienia zewnętrznego i tarczy) otrzymuje się układ dwóch równań liniowych 31.

(32) u1 ( p R1 ) r r1  u 2 ( p R1 , p R2 ) r r1. (3.5). u2 ( pR1 , pR2 ) r r2  ut ( pR2 ) r r2. (3.6). w których u1 oraz u2 oznaczają przemieszczenia pierścieni, a ut – przemieszczenie tarczy. Z układu tego wyznacza się reakcje na powierzchniach kontaktowych:. p R1  . . . . 2 E2  1  12  p  ro2 r22  r12.   E  1    r  r   E  1    r  1  2   r  E  E  r  r r  r  A 2. 2. 1. 2 2. 3. 3. 2 1. 2 o. 2 1. 2 2. 3. 2. 2 1. 2 2. 2 1. (3.7). p R2  . . . . .    r  r  r   r  1  2. . 4 E2  1  12  1  22  p  ro2  r12  r22  r12 E1  r12  ro2  A. . . . (3.8). przy czym:. . A  4  1   22. 2.  E 2  1   1  E3  1   2. .    1  2   r  E  1     r  r     r  E  E  r  r .  r12  r22  E1  1   2   r12  ro2  r22  1  2 2   r12  2 2. 2 1. 2 1. 2 o 2. 2 1. 1. 2 2. 1. 3. 2. 2 1. 3. 2 o. 2 2. 2 1. (3.9). 1. Po obliczeniu reakcji można wyznaczyć naprężenia i przemieszczenia, korzystając ze wzorów (3.1)  (3.4). Oznaczając przez ua przemieszczenia radialne folii, tj.:. u a  u1. r  ro. otrzymuje się wzór na współczynnik podatności podłoża dla modelu (1).:. C1 . p ua. (3.10). Po wykonaniu odpowiednich obliczeń uzyskano:. C1 . E1. 1  1   ro. . A1 A2. (3.11). 32.

(33) Rysunek 3.2 Szkic do modelu (1). przy czym:.     r  r  E  1     r  1  2   r  E  1    r  E 1     r  r  . A1   E1 1   2   r12  ro2   E 2  1   3   r22  1  2 2   r12  E3  1  2 2   1   2   2 2. 2. 2 1. 2. 3. 1. 2 2. 2 o. 1. 2 1. 3. 2. 2 1.  E3  1  2 2   1   2   r22 . 2 1. (3.12). 33.

(34) . . A2  E3  1   2   E 2  1   3  r12  E 2  1  2 1   1   1   r12  ro2  E1  1  2 2   1   2  .   r.  E  1    E  1  2   1   r  E  1  2   1     1     r  1  2   r .  r  1  2 1   r 2 1 2 1. . 2 o.  r  E1 2 o. 2. 3. 2 1. 2. 3. 2. 2 2. 2. 2. 1. 1. 2 o. 1. (3.13) Analogicznie otrzymano dla modelu (2) i (3). W przypadku modelu (2), zakładając równość przemieszczeń radialnych na kontakcie pierścienia z betonu natryskowego i tarczy górotworu otrzymano równanie liniowe. u2 ( pR2 ) r r2  ut ( pR2 ) r r2. (3.14). z którego uzyskano wzór na wartość współczynnika podatności podłoża:. C2 . A3 1  2   r1 A4 E2. . (3.15). gdzie:. . . . A3  E2  1   3   r22  r12  E3  1   2   1  2 2   r22  r12. . . . . . A4  E2  1   3   1  2 2   r12  r22  E3  1  2  2 22  r22  r12. (3.16). . (3.17). Podobnie przy rozważaniu modelu (3) otrzymuje się dla współczynnika podatności podłoża wg Winklera wzór:. C3 . E3. 1   3   r2. (3.18). W oparciu o wyprowadzone wzory przeprowadzono obliczenia. W pierwszym modelu do obliczeń przyjęto tunel o średnicy w świetle obudowy D = 6,0 m, w obudowie wstępnej grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 (PN-B-03264:2002) z folią hydroizolacyjną o grubości od 2 do 20 mm; wobec braku danych obliczeniowych wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) 34.

(35) przyjęto, że wahają się one w przedziale od 0,01 do 10000 MPa. Zestawienie wszystkich danych do obliczeń przedstawiono poniżej: -. współczynnik Poissona folii: 1 = 0,5,. -. współczynnik Poissona betonu: 2 = 0,2,. -. współczynnik Poissona górotworu: 3 = 0,25,. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej folii: E1 = 0,01  10000 MPa. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej betonu klasy C12/15: E2 = 27000 MPa,. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu: E3 = 7000 MPa. -. promień tunelu w świetle obud. wstępnej wyłożonej folią: r1 = 3 m,. -. grubość folii hydroizolacyjnej: 2; 5; 10; 20 mm,. -. promień tunelu w świetle obud. wstępnej: r2 = 3,002; 3,005; 3,010; 3,020 m,. -. grubość obudowy wstępnej: 15 cm,. -. promień tunelu w wyłomie: r3 = 3,152; 3,155; 3,160; 3,170 m Wyniki obliczeń zestawiono w tabelach (tab. 3.1 ÷ 3.4) oraz przedstawiono. współczynnik podatności podłoża wg Winklera (C), MN/m3. graficzne na wykresach (rys. 3.3  3.6).. 2300 2290 2280 2270 2260 2250 2240 2230 2220 2210 2200 0. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 współczynnik sprężystości wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E 1), MPa. Rysunek 3.3 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 2 mm. 35.

(36) Tabela 3.1 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 2 mm E1 MPa 0,01 0,1 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000. E2 MPa 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000. E3 MPa 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000 7000. 1. 2. 3. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5. 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. ro m 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. r1 m 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002 3,002. r2 m 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152 3,152. C MN/m3 2249,75 2249,75 2249,75 2249,76 2249,76 2249,76 2249,76 2249,77 2249,77 2249,77 2249,78 2249,78 2249,78 2249,81 2249,84 2249,87 2249,90 2249,93 2249,96 2249,99 2250,02 2250,05 2250,34 2250,64 2250,94 2251,23 2251,53 2251,82 2252,12 2252,42 2252,71. 36.

(37) współczynnik podatności podłoża wg Winklera (C), MN/m3. 2300 2290 2280 2270 2260 2250 2240 2230 2220 2210 2200 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. 9000. 10000. 11000. współczynnik sprężystość wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E1), MPa. współczynnik podatności podłoża wg Winklera (C), MN/m3. Rysunek 3.4 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 5 mm. 2300 2290 2280 2270 2260 2250 2240 2230 2220 2210 2200 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. 9000. 10000 11000. współczynnik sprężystość wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E 1), MPa. Rysunek 3.5 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 10 mm. 37.




(41) współczynnik podatności podłoża wg Winklera (C), MN/m3. 2300,00 2290,00 2280,00 2270,00 2260,00 2250,00 2240,00 2230,00 2220,00 2210,00 2200,00 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. 9000 10000 11000. współczynnik sprężystości wzdłużnej folii hydroizolacyjnej (E 1), MPa. Rysunek 3.6 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej folii (E1) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 z folią hydroizolacyjną o grubości 20 mm. Jak wynika z powyższych obliczeń grubość folii jak i jej współczynnik sprężystości wzdłużnej nie wpływają znacząco na wartość współczynnika podatności podłoża wg Winklera. Dla podanych założeń, wartości tego współczynnika lokują się w przedziale od 2220,85 do 2252,71 MN/m3, a zatem różnica wynosi zaledwie 1,41 %. W drugim modelu do obliczeń przyjęto tunel o średnicy w świetle obudowy D = 6,0 m, w obudowie wstępnej grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej. Wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) przyjęte do obliczeń wahały się w przedziale od 1000 do 16000 MPa. Zestawienie wszystkich danych do obliczeń przedstawiono poniżej: -. współczynnik Poissona betonu: 2 = 0,2,. -. współczynnik Poissona górotworu: 3 = 0,25,. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej betonu kasy C12/15: E2 = 27000 MPa,. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu: E3 = 1000 16000 MPa,. -. grubość obudowy wstępnej: 15 cm,. -. promień tunelu w świetle obud. wstępnej: r1 = 3 m,. -. promień tunelu w wyłomie: r2 = 3,15 m. 41.

(42) Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli (tab. 3.5) oraz przedstawiono graficzne na wykresie (rys. 3.7). Tabela 3.5 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej E2 MPa 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000 27000. E3 MPa 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000. 2. 3. 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. r1 m 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. r2 m 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15 3,15. C MN/m3 710,87 969,54 1227,55 1484,89 1741,58 1997,62 2253,00 2507,73 2761,82 3015,26 3268,06 3520,22 3771,75 4022,64 4272,89 4522,52. współczynnik podatności podłoża wg Winklera (C), MN/m3. 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0. 2000. 4000. 6000. 8000. 10000. 12000. 14000. 16000. 18000. współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu (E3), MPa. Rysunek 3.7 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla obudowy wstępnej tunelu o grubości 15 cm z betonu klasy C12/15 bez folii hydroizolacyjnej. 42.

(43) Z otrzymanych wyników obliczeń wynika, że współczynnik sprężystości górotworu znacząco wpływa na wartość współczynnika Winklera (dla przyjętych danych wartość ta waha się od 710,87 do 4522,52 MN/m3). Różnice wartości współczynnika podatności podłoża dla tunelu w obudowie wstępnej z folią hydroizolacyjną o grubości 2  20 mm oraz tunelu w obudowie bez folii hydroizolacyjnej nie przekroczyły 1,42 % (dla górotworu o współczynniku wzdłużnej E3 = 7000 MPa w obudowie wstępnej o grubości 15 cm z betonu C12/15). Trzeci model przyjęty do obliczeń dotyczy tunelu bez obudowy wstępnej o średnicy w wyłomie D = 6,0 m. Wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) przyjęte do obliczeń wahały się w przedziale od 1000 do 28000 MPa, Pozostałe dane do obliczeń przedstawiono poniżej: -. współczynnik Poissona górotworu: 3 = 0,25,. -. promień tunelu w wyłomie: r2 = 3,0 m,. -. współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu: E3 = 1000  28000 MPa.. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli (tab. 3.6) oraz przedstawiono graficzne na. współczynnik podatności podłoża wg Winklera (C), MN/m3. wykresie (rys. 3.8).. 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0. 0. 5000. 10000. 15000. 20000. 25000. 30000. współczynnik sprężystości wzdłużnej górotworu (E3), MPa. Rysunek 3.8 Wykres zależności współczynnika podatności podłoża wg Winklera (C) od współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) dla tunelu bez obudowy wstępnej. 43.

(44) Tabela 3.6 Wyniki obliczeń współczynnika podatności podłoża wg Winklera dla tunelu w bez obudowy wstępnej. E3 MPa 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000 26000 27000 28000. 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. r2 m 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. C MN/m3 266,67 533,33 800,00 1066,67 1333,33 1600,00 1866,67 2133,33 2400,00 2666,67 2933,33 3200,00 3466,67 3733,33 4000,00 4266,67 4533,33 4800,00 5066,67 5333,33 5600,00 5866,67 6133,33 6400,00 6666,67 6933,33 7200,00 7466,67. Przeprowadzone obliczenia wykazały, że brak obudowy wstępnej ma swoje odbicie w otrzymanym wyniku obliczeń współczynnika wg Winklera. Jeśli porówna się wartości otrzymane dla modelu drugiego i trzeciego, można zauważyć, że dla tych samych wartości współczynnika sprężystości wzdłużnej górotworu (E3) wartość współczynnika Winklera jest o ok. 400 MN/m3 większa w przypadku tunelu z obudową wstępną.. 44.

(45) 3.3. Wyrobisko o przekroju kołowym obciążone od wewnątrz ciśnieniem normalnym p = po + p2 cos 2 W rozważaniach przyjęto sprężystą tarczę o dużych wymiarach obciążoną ciśnieniem pz w kierunku osi z oraz ciśnieniem px w kierunku osi x (pz ≠ px) z umieszczonym w niej bez luzu i wcisku sprężystym pierścieniem kołowym (rys. 3.9). Rozważania prowadzono w biegunowym układzie współrzędnych (r, φ) o początku w środku pierścienia i kącie (azymucie) mierzonym zgodnie z ruchem wskazówek zegara od obranego kierunku.. N. pz. r. t r. t. r. . a. px. b. px. pz Rysunek 3.9 Tarcza z pierścieniem kołowym obciążona na brzegach ciśnieniem pz i px. W układzie tym stan naprężenia (odkształcenia) charakteryzowany jest trzema następującymi składowymi naprężenia (odkształcenia): σr(εr) – naprężenie (odkształcenie) radialne, σt(εt) – naprężenie (odkształcenie) obwodowe, τ(γ) – naprężenie styczne (odkształcenie postaciowe), 45.

(46) a stan przemieszczenia – dwoma składowymi wektora przemieszczenia: u – przemieszczenie radialne, v – przemieszczenie obwodowe. Do rozwiązania zadania korzystamy z warunków niepełnego kontaktu, tj. równość naprężeń radialnych i stycznych pierścienia oraz tarczy. rprt. (3.19). p = t = 0. (3.20). a także równość przemieszczeń radialnych pierścienia i tarczy up = ut. (3.21). Najpierw należy rozważyć pomocnicze zadanie rozwiązania stanu naprężenia i przemieszczenia pierścienia kołowego o promieniach rw oraz rz (rys. 3.10) obciążonego na brzegach siłami normalnymi p i stycznymi t zgodnie z równościami: - dla r = rw:. pw  p0w  p2w cos 2. (3.22). tw  t2w sin 2. (3.23). - dla r = rz:. pz  p0z  p2z cos 2. (3.24). tz  t2z sin 2. (3.25). Do rozważań wprowadzono funkcję naprężeń Airy’ego F określoną w następujący sposób (Timoszenko 1962):. r . 1  F 1 2F  r  r r2 2. (3.26). t . 2F  r2. (3.27). 46.