Over de berekening van momenten van willekeurige orde voor een veelhoek

In de voetnoten op blz. 129 en 131 van HERO N 1966 nr. 3 werd het bestaan vermeld van de nadere mathematische afleiding der oorspronkelijk door R. Soerjadi in het desbetreffende artikel langs inductieve weg gevonden algemene formule voor het berekenen van de momenten van veelhoeksfiguren uit hun

hoekpuntscoordinaten.

Gaarne wordt in het hiernavolgende plaats verleend aan Dr.

J.

H. ]. Al-mering, instructeur bij de Onderafdeling der wiskunde der T.H. De?ft, auteur van de in die noten bedoelde afleiding, voor zijn beschouwingen die aan de betreJfende formule de mathematische grondslag verschaffen. Hoewel ajkomstig uit een sfeer, niet rechtstreeks betrokken bij een der laboratoria waarvan HERO N het orgaan pleegt te zijn, wordt deze bijdrage op grond van haar aanvullend en afrondend karakter hierbij als sluitstuk op de eerdere beschouwingen van R. Soerjadi over deze formule aan de lezer voorgelegd.

Redactie

Dr.]. H.]. ALMERING

OVER DE BEREKENING VAN MOMENTEN V AN

WILLEKEURIGE ORDE VOOR EEN VEELHOEK

U.D.C. 624.043

o

Inleiding

Wij beschouwen een vlakke veelhoek, waarvan de hoekpunten voorgesteld worden door PI, P2, ... , Ph, z6 dat de omloopszin PIP2 ... PhPI positief is.

Voor deze veelhoek willen wij het moment Mp,q berekenen, waarbij

Mp,q =

If

xpyqdxdy

met

p

:>

0, q

:>

0, terwijl de tweevoudige integraal wordt genomen over het binnengebied van de veelhoek.

Uitgaande van een idee van R. SOERJADI (Heron, 1966, no. 3) beschouwen

wij N/p,q als de algebralsche som van h deelintegralen Di ,i+1 die verkregen

worden door xPyq te integreren over het binnengebied van de driehoek OPiPi+1

en de uitkomst van een

+

of - teken te voorzien al naar gelang de omloops-zin van de driehoek OPiPi+1 positief dan wel negatiefis. Wij zullen in het

vol-gende gemakshalve spreken over DI , 2, wat aan de algemeenheid geen afbreuk

doet.

In bovenbedoeld artikel wordt voor DI • 2 een gebroken functie van Xl,YI, X2

enY2 afgeleid. Hierin zijn Xi enYi de coordinaten van Pi (i = 1, 2). De teller van die gebroken functie is een veelterm in deze vier grootheden, de noe-mer is (X2-XI)q+I. Er is door de auteur opgemerkt dat de deling door

(X2-XI)q+1 steeds opgaat, zodat in feite DI . 2 in eenvoudigste gedaante een

veelterm (gehele rationale functie) is in Xl, X2, YI en Y2.

ver-schillende waarden van

P

en q deze veelterm berekend, en op grond daarvan stelde hij de volgende uitdrukking op:

p q

D

1 ,2 =

p!q!

I (XlY2- X2Yl)

I I

(itj)(P+q=;-J.)

XIP-ix2jYIQ-jY2j

(1)

(p+q+2) .

i~O j~O

P

(zie t.a.p. bIz. 131, voetnoot; wij hebben echter hier de letters m resp. n ver-vangen door

p+l

resp.

q+l).

Het blijkt dat de uitdrukking (1) die in de aangehaalde voetnoot zonder nader bewijs wordt vermeld, voor berekeningen met de computer verkieslijker is dan de aanvankelijk gevonden gebroken uitdrukking.

In het navolgende wordt een algemeen bewijs van de formule (1) gegeven, voora(gegaan door een kort expose van de hierbij gebruikte mathematische hulpmiddelen.

1 De gamma- en betafuncties

Voor t

>

0 definieert men de gamma-functie door middel van de oneigenlijke integraal

r( t) =

J

e-

1_xt-ldx.

o

De r-functie is een positieve, continue en differentieerbare functie van t die voor tt-0 en voor t -+

=

naar

=

gaat en tussen t = 1 en t = 2 een minimum

vertoont.

Door partieIe integra tie kan men bewijzen dat

rrt)

=

(t-1)

r

(t-l) (t> 1)

waaruit voIgt:

r(t) = (t-l)! (t = 1,2, ... ) (2)

Hierbij moet O! = 1 genom en worden.

In nauw verband met de gammafunctie staat de betafunctie B(p,

q),

die voor positieve waarden van

p

en q gedefinieerd wordt ais

1

B(p, q) =

f

XP-l(l-X)q-1dx • • • . . . • • (3)

()

Men kan de betafunctie in de gammafunctie uitdrukken door middel van de betrekking:

B(p, q)

rrp)

r(q)

r(p+q)

. . . (4)

2 Transformatie van een tweevoudige integraal

Wij gaan uit van de integraal

.fJ

f(x,y) dxdy

Hierin is f een continue functie en de integraal wordt uitgestrekt over een in het eindige liggend gebied G van het (x,y)-vlak.

Laat

x

=

rp(~, rJ)

l

y = 1p(~, rJ)

f . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5)

een een-eenduidige transformatie zijn van het (x,y)-vlak in het (~,rJ)-vlak. Dit wil zeggen dat bij elk punt (x,y) een punt (~,rJ) behoort, en omgekeerd. De functies rp en 1p hebben continue eerste afgeleiden. Laat het gebied G van het (x,y)-vlak corresponderen met het gebied H van het (~,rJ)-vlak. Wij onderstel-len verder dat de functionaaldeterminant

Orp orp

o (x,y) o~orJ

D=~-=

o(~, rJ) o1p o1p o ~ orJ

in het gebied H niet

°

is. Dan is

If

f(x,y)dxdy = f f{ rp(~,rJ), 1p(~,rJ)}'IDld~drJ

G H

3 Berekening van D1,2 voor een speciale driehoek

Wij nemen PI (1,0; P2 (0, 1) (zie fig. 1). Door de driehoek "in verticale strookjes te verdelen" vinden wij hier:

1 l~x 1 1

fJ

xpyqdxdy = f xpdx fyqdy = f xP . - -(l-x)HI_dx

o 0 0

q+1

Deze laatste integraal is volgens (3) gelijk aan 1

q+

1

B(p+

1,

q+2)

en wij vinden zodoende wegens (4) en (2) :

P'q'

If

xpyqdxdy

=

..

(p+q+2)

!

Deze uitkomst geldt dus voor het speciale geval dat de driehoek OPIP2 gelijkbenig rechthoekig is, met de rechthoekszijden langs de coordinaatassen.

4 Berekening van D1,2 in het algernene geval

y

P, (0. 1)

(x.1~x)

(x. 0) P, (1. 0) X

Fig. 1.

Wij gaan thans over naar het algemene geval, een driehoek 0 PIP2 met PI

(XI,YI)

en P

2(X2,Y2)

willekeurig. Wij bepalen een lineaire coordinatentransformatie,

y

P, (x" y,) P,' (0,,1)

O~---x P,'(1,0)

Fig. 2.

die de oorsprong in zichzelf Iaat overgaan, en waardoor PI(XI,YI) overgaat in PI'(I, 0), en P2(X2,Y2) overgaat in P2'(0, 1) (fig. 2). De bedoelde

transformatie-formuIes hebben de aIgemene vorm

J x = all~+aI217

\Y = a21~+a2217

Hieruit voIgt op eenvoudige wijze all = Xl;

waarmede de gezochte transformatie wordt:

f

X = xI~+x2rl

\ Y = YI~+Y217

. . . (6)

Hierdoor gaat het binnengebied van driehoek OPIP2 over in het binnengebied

van driehoek OPI'P2'.

Verder is voor deze transformatie (6):

D

=

o(x,y)

=

I Xl X21

=

XIY2-X2YI o( ~,fJ) YI Y2

Door de transformatie (6) gaat D1 ,2 over in

Laat men hierin de strepen ter aanduiding van de absolute waarde weg, dan krijgt DI ,2 het juiste teken.

Wij werken de machten uit volgens het binomium van Newton:

p

(Xl~+X217)P

=

I

(f)(Xl~)P-i(X217)i

z=o q

(Yl~+Y2fJ)q

=

I

(j)(Yl~)q-j(Y217)j

]~o

waarbij de integraal over het binnengebied van driehoek OPl'P2' genomen wordt. Aldus is het algemene geval teruggebracht tot het bijzondere geval onder 3.

Volgens het daar behandelde is de laatstgenoemde tweevoudige integraal gelijk aan

B(p+q-i-J+

1,

i+J+ 1)

Hierin zijn

p,

q,

i enJ gehele, niet negatieve get allen, zodat deze betafunctie is te schrijven als

(p+q-i-J)! (i+J)!

(p+q+2)

!

hetgeen tenslotte leidt tot

D

p!q!

(

)

I

P

I

ql

_{(i+j)(P+q-i-J)}

_{. .}

_{. .}

1 2 = XlY2-X2Yl . . X1P-'X2JYIQ-'Y2 J

,

(p+q+2)

! . ' 1

P-l

,~O J~O

Deze uitkomst is identiek met de formule (1), welke hiermede dus algemeen bewezen is.