R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E Tom XLVI-XLVII, zeszyt 1-1 9 9 8 -1 9 9 9
BOŻENA CZERNECKA Lublin
Z A G A D N IE N IE N IE O B O W IĄ Z Y W A L N O Ś C I P R A W A W Y Ł Ą C Z O N E G O Ś R O D K A W IN T U IC JO N IS T Y C Z N Y M R A C H U N K U Z D A Ń
W 1952 r. holenderski uczony L. E. J. B rouw er napisał, że dogm at o ogól nej w ażności zasady w yłączonego środka jest swoistym fenom enem w historii cyw ilizacji, podobnie jak dawne wierzenie w w ym iem ość liczby n lub w ruch firm am entu wokół Z iem i1. N iew ątpliw ie praw o w yłączonego środka jest uw ażane przez w spółczesnych logików za bodajże najbardziej problem atyczne ze w szystkich logicznych praw. Obiekcje pod jego adresem zgłaszają zarówno zw olennicy tzw. logik w ielow artościow ych, w których to logikach przyjm uje ono trzecią wartość logiczną, różną od praw dy i fałszu, jak i teoretycy m e chaniki kw antow ej pow ołujący się na paradoksalną zasadę nieoznaczoności H eisenberga, w edług której pewne w ielkości w m echanice kwantowej nie m ogą być łącznie określone.
Jednakże wydaje się, że najbardziej pow ażna i chyba najbardziej znana krytyka zasady w yłączonego środka zw iązana jest z intuicjonizm em . Zasada ta nie obow iązuje w intuicjonistycznym rachunku zdań. N asuw a się natych m iast pytanie: dlaczego prawo, które m a niekw estionow aną pozycję w kla sycznym rachunku logicznym , jest przedm iotem tak zaw ziętych ataków ze strony przedstaw icieli logiki intuicjonistycznej? Co w łaściw ie oni krytykują?
W zw iązku z analizam i oraz porządkow aniem różnych stanow isk dotyczą cych nieobow iązyw alności praw a w yłączonego środka podejm ie się w tym artykule także próbę poszukiw ania głównych pytań, które im plicite stawia
1 H is to r ic a l B ack g ro u n d , P rin c ip le s a n d M eth o d s o f In tu itio n ism , „South A frican Journal o f S c ie n c e ”, 4 9 (1 9 5 2 ) 141 n.
przedstaw iciel logiki intuicjonistycznej. Tego typu dociekań nie m ożna zna leźć w literaturze. Niektórzy autorzy w ypow iedzieli tylko uw agi dotyczące głównych pytań, związanych z tym i typam i wiedzy teoretycznej, gdzie z po w odzeniem m oże być stosow any klasyczny rachunek zdań. W końcow ej partii w ypow iedziane będą rów nież uwagi dotyczące rozum ienia przez intuicjoni- stów pojęcia konstruow alności.
D obrze będzie zatem na początku przyjrzeć się pokrótce przedm iotow i owego sporu - praw u w yłączonego środka. Form alny zapis praw a p v ~ p m oże być interpretow any m etalogicznie (sem antycznie): z dwóch zdań sprzecznych co najm niej jedno jest praw dziw e; albo ontologicznie (logicznie): z dwóch sprzecznych stanów rzeczy przynajm niej jeden istnieje (zachodzi). „Świat jest taki, że p, lub nie jest taki, że p . A więc świat jest taki, że: p lub nie-p. Św iat jest więc taki, że spełnione jest w nim praw o w yłączonego środ k a” - pisze A. G rzegorczyk2. Zdaniem polskiego autora obow iązyw alność analizow anego tu praw a oraz innych praw klasycznego rachunku zdań m ożna uzasadnić w rozw ażaniach zw iązanych z ontologicznym podejściem do rze czyw istości, tj. takim , że poszukuje się odpow iedzi na pytanie: „Jaki jest św iat?” W uzasadnieniu tego rodzaju nie interesują nas m etody i m ożliw ości naszego poznania. „Przyjm ujem y, że świat jest jakiś bez względu na to, czy mamy m ożliw ości się o tym przekonać, czy nie. «Platon był w Indiach lub nie był w Indiach» uznajem y za prawdę, chociaż nie m ożem y się przekonać o praw dziw ości zdań składow ych w ystępujących w tym zdaniu złożonym ”3.
W zw iązku z tego typu rozum ieniem praw a w yłączonego środka w yłaniają się pew ne trudności. Autorem jednej z nich jest B. Russell: „D zięki prawu
2 N ie k la syc zn e rachu nki zd a ń a m eto d o lo g ic zn e sc h e m a ty b a d a n ia n a u k o w eg o i defin icje p o ję ć a se rty w n y ch , „Studia L o g ic a ”, 2 0 (1 9 6 7 ) 118.
3 T am że. W arto dod ać, że zasada w y łą c z o n eg o środka jest jed n ą z najw ażn iejszych zasad og ó ln ej teorii bytu. W przybliżen iu m ożna ją sform u łow ać następująco: „K ażdy byt istnieje lub n ie istn ieje” oraz „K ażdy byt je st ok reślon ą treścią istn ieją cą lub n ie jest ok reślon ą treścią istn iejącą”. Zasada ta stw ierdza, że każdy byt jest czy m ś ok reślon ym , odrębnym od d rugiego bytu oraz ż e m ięd zy bytem a niebytem n ie ma n ic p o śred n ieg o . Ponadto o n to lo g iczn e (m eta fiz y c z n e ) rozu m ienie tej zasady oraz zasady n iesp rzeczn o ści daje pod staw y do w y d o b y c ia treści sem io ty czn ej d otyczącej funktorów negacji, koniunkcji i alternatyw y. Jest to rozu m ien ie kla sy czn e, na którym oparte są sform u łow an ia od p ow ied n ich praw klasyczn ej lo g ik i zdań. K rótko m ó w ią c, istn ieje m o ż liw o ść filo z o fic z n e g o uzasad nien ia o b o w ią z y w a ln o ści k la sy czn eg o rachun ku zdań na p od staw ie zw ią zk ó w zach o d zą cy ch w r ze cz y w isto ś c i. Por. S. K i c z u k, Z a g a d n ien ie o b o w ią z y w a ln o ś c i k la sy c zn e g o rachunku zdań , „R oczn ik i F ilo z o fic z n e ”, 3 6 (1 9 8 8 ), z. 1, s. 3 9 -5 6 . A rtykuł ten (a dokładniej m ów ią c - je g o tytuł) b y ł inspiracją do nadania tytułu n in iejszej pracy.
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 11 3
w yłączonego środka albo «A jest B», albo «A nie jest B» musi być praw dzi we. Stąd albo «Obecny król Francji jest łysy», albo «Obecny król Francji nie jest łysy» musi być praw dziw e. A zatem jeśli sporządzim y wykaz rzeczy, które są łyse i rzeczy, które nie są łyse, to nie pow inniśm y znaleźć króla Francji na żadnej liście. H egliści, którzy m ają upodobanie do syntez, praw do podobnie skonkludow aliby, że on nosi perukę”4. Trudność polega na tym, że tak odm ienne przypadki, ja k niebycie żadnym królem Francji oraz bycie królem Francji z bujn ą czupryną są zaklasyfikow ane razem. Dw ie w yklu czające się bowiem alternatywy: „Obecny król Francji jest łysy” i „Obecny król Francji nie jest łysy” zdają się nie wyczerpyw ać w szystkich m ożliw ości, nie dopełniają się wzajem nie. Obecny król Francji nie jest łysy, bo go nie ma. M ożna chyba pow iedzieć, że mamy naturalną tendencję do podziałów dychotom icznych. Tam , gdzie takie dychotom izow anie dzieli całe uniw ersum , praw o w yłączonego środka stosuje się z pow odzeniem 5, ale faktem jest, że zwykle jesteśm y zainteresow ani tylko określoną częścią uniwersum . M ożna wtedy „napraw ić” brak adekw atności w jakim ś alternatywnym zdaniu przez w prow adzenie okresu w arunkow ego, np. „Jeśli istnieje taka osoba, jak król Francji, to jest on łysy albo nie jest on łysy”. Zazwyczaj jednak taki tryb w arunkowy nie jest w prost w ypow iedziany, lecz implicite zakładany. Do zagadnień, które są rozw ażane w jakim ś ograniczonym uniwersum , prawo w yłączonego środka stosuje się w ram ach tego ograniczonego pola i nie jest to bynajm niej argum ent przeciw ko ogólnej ważności klasycznego praw a6.
D rugą spraw ą zw iązaną z praw em w yłączonego środka jest spraw a definio wania pojęć. W edle G. Fregego om aw iane praw o jest inną postacią wym ogu, aby pojęcia m iały ostre zakresy. W przeciw nym razie, kiedy pojęcia są niew yraźne i niejasne, istnieje w ątpliw ość, czy stosują się do niego czy nie. Zatem stosow anie m ętnych pojęć byłoby pogw ałceniem praw a w yłączonego środka (a także praw a niesprzeczności)7.
4 O n D en o tin g , [w:] L o g ic a n d K n o w le d g e: E ss a y s 1 9 0 1 -1 9 5 0 , ed. R. C. M arsh, London 1955, s. 48.
5 N asu w a się od razu analogia d o pod ziału lo g ic z n e g o , którego form alnym i warunkam i pop raw n ości są adekw atność i ro złą czn o ść. U w aża się, że w pod ziałach d y ch o to m iczn y ch warunki te są zagw arantow ane przez prawa logiki: adekw atność gwarantuje praw o w y łą c z o n eg o środka, a ro złączn ość - praw o n iesp rz ec zn o śc i.
6 Por. N . C o o p e r , The L a w o f E x c lu d ed M id d le, „M ind”, 8 7 (1 9 7 8 ), N o . 3 4 6 , s. 1 61-164.
7 Por. F r e g e ’s P h ilo s o p h ic a l W ritin g s, ed. P. T . G each, M . B lack s, O xford 1970, s. 159. T e i im pod obn e problem y zw ią za n e z prawem w y łą c z o n e g o środka - j e g o rozu m ieniem
Obydw ie te trudności, które N. C ooper nazyw a TN D -niedostatkam i (ter-
tium non daturs), m ożna w pew ien sposób przezw yciężyć, a co w ażniejsze,
nie dotykają one bezpośrednio sam ego praw a, lecz jego zastosow ań. I podob nie jak nie krytykujem y praw a arytm etyki, np. 2 + 2 = 4, za to, że nie stosu ją się do niego położone obok siebie kulki cieczy, tak nie m a powodów do odrzucania praw a w yłączonego środka na podstaw ie faktu posługiw ania się niejasno określonym i pojęciam i czy ograniczonym uniwersum .
Pojaw iają się też opinie, iż klasyczne praw o w yłączonego środka prowadzi do paradoksów , jak chociażby paradoks zdania sam oreferencjalnego „To zdanie jest fałszyw e”. Jeśli założym y, że spełnia ono om aw iane praw o, to jest zarów no praw dziw e, jak i fałszyw e9. W zw iązku z tym zarzutem F. B. Fitch argum entuje, że w yrażenia typu „To zdanie jest fałszyw e” nie m ogą być uważane za zdania w sensie logicznym , gdyż nie są ani praw dziw e, ani fał szywe. Są one pozbaw ione znaczenia. Tym samym nie m ogą figurow ać w podstaw ieniow ych przykładach logicznych praw . Sam a zew nętrzna form a nie wystarczy, aby traktow ać jakieś zdanie jako podstaw ienie TND. I tak przy kład Russella „Poczw óm ość pije zw łokę lub poczw órność nie pije zw łoki” nie jest popraw nym podstaw ieniem praw a, ale bezsensow nym w yrażeniem .
Pow yżej zarysow ane trudności pojaw iające się w związku z klasycznym , TN D (KTND) nie w ydają się aż tak pow ażne, aby m ogły zdyskredytow ać samo to praw o. W ogniu krytyki naukow ej znalazło się ono dopiero za spra w ą intuicjonistów . S. H aack10 ujm uje strukturę intuicjonistycznej krytyki logiki klasycznej następująco:
(1) subiektyw istyczne, konstruktyw istyczne spojrzenie na m atem atykę podtrzym uje tezę, że
(2) pew ne części m atem atyki klasycznej są nieakceptow alne,
i (3) to, że logika jest deskrypcją ogólnie ważnych form m atem atycznego rozum ow ania, podtrzym uje tezę, iż
(4) pew ne części logiki klasycznej są błędne.
i o b o w ią z y w a ln o ścią - poruszali w sw o ic h pracach rów n ież p o lscy autorzy, jak np. J. L u k asie w ic z, Z. Z aw irski, K. A jd u k iew icz, T. C zeżo w sk i, T. K otarbiński oraz z bardziej w s p ó łc z e s nych Z. K raszew sk i i M . P rzełęck i.
8 W d alszej c z ę śc i artykułu na o zn a c ze n ie prawa w y łą c zo n eg o środka będę używ ać skrótu T N D .
9 P odob n ie je st z paradoksem R u ssella k lasy w szy stk ich klas, które n ie są sw o im i elem en tam i.
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 115
Jeśli ten schem at jest popraw ny, to odrzucenie pew nych klasycznych praw ma głębsze podstaw y, sięgające rew izji ujęcia stosunku logiki do innych dyscy plin, głów nie do m atem atyki11.
Tw órca intuicjonizm u L. E. J. B rouw er argum entuje, że w dziedzinie m ate m atyki m ożna znaleźć kontrprzykłady dla praw a w yłączonego środka. D efi niuje on pew ną w łasność F taką, że
(a) dla każdej liczby naturalnej m ożna wykazać, iż posiada ona F, lub m ożna wykazać, iż nie m oże ona posiadać F,
lecz (b) nie jest znana żadna m etoda służąca do skonstruow ania liczby posia dającej F
i (c) nie udow odniono, iż założenie, że taka liczba istnieje, prow adzi do sprzeczności.
Zatem w edług B rouw era
(d) liczba naturalna posiadająca F istnieje lub nie m oże istnieć, które to w yrażenie, będące odczytaniem form alnego zapisu (3x)Fx v -i(3x)Fx, nie m oże być praw dziw e. Jest tak dlatego, iż m oże nie być m ożliw e ani skon struow anie liczby posiadającej F, ani udow odnienie, że taka liczba nie może być skonstruow ana. W yprow adzenie sprzeczności z założenia, że liczba z F nie m oże być skonstruow ana, nie byłoby jeszcze dow odem na to, iż ta liczba istnieje, gdyż dowieść istnienia liczby posiadającej F to tyle, co skonstruow ać (obliczyć) taką liczbę. A więc obalenie zdania ~>(3x)Fx nie jest jeszcze uza sadnieniem tezy (3 x )F x 12. O statecznie nie jest praw dą, że liczba posiadająca F istnieje lub nie istnieje. Nie jest przy tym jasne, czy TND jest uważane jako fałszyw e, czy też pozbaw ione w artości praw dy. A rgum entacja Brouw era sugeruje, że obydw a składniki: (3x)Fx i -i(3x)Fx są fałszyw e i stąd m ożna wyprow adzić fałszyw ość całej alternatyw y.
Prześledźm y jeszcze argum entację A. H eytinga, który był najw ybitniejszym uczniem Brouwera, twórczo rozw ijającym idee intuicjonizm u. H eyting w ycho dzi od porów nania dw óch definicji liczb naturalnych:
I. k jest najw iększą liczbą pierw szą taką, że k - 1 jest także liczbą pierw szą lub k = 1, jeżeli taka liczba nie istnieje;
n A n g ielsk a autorka w ią ż e lo g ik ę in tu icjon istyczn ą z taką w ła śn ie strategią p ow odu jącą zm ian ę sy stem u lo g ic z n e g o . Por. S. H a a c k, P h ilo s o p h y o f L o g ic s , Cam bridge 1978, s. 152- 156.
12 Jak w yn ik a z te g o przykładu, w intu icjon istyczn ym rachunku zdań n ie ob ow iązu je ró w n ież m o cn e praw o p o d w ó jn eg o p rzeczenia -> -ip —> p. Ta spraw a b ęd zie je s z c z e szerzej om ów ion a.
II. I jest najw iększą liczbą pierw szą taką, że l - 2 jest także liczbą pierw szą lub 1 = 1 , jeżeli taka liczba nie istnieje.
M atem atyka klasyczna nie dostrzega różnic pom iędzy tym i definicjam i, natom iast dla intuicjonistów w ażne jest to, że k może być w yliczona (k = 3), podczas gdy nie m am y żadnej m etody w yliczenia l. Nie wiadom o bowiem , czy ciąg liczb pierw szych bliźniaczych p, p + 2 jest skończony czy nie. W zw iązku z tym intuicjoniści odrzucają drugą jako definicję liczby natural nej, gdyż uw ażają, że liczba naturalna jest dobrze zdefiniow ana tylko wtedy, gdy dana jest m etoda jej w yliczenia. W ten sposób dochodzi do odrzucenia TND; gdyby bowiem ciąg liczb pierw szych bliźniaczych był skończony lub nie był skończony, wtedy druga definicja definiow ałaby liczbę naturalną. Zdaniem H eytinga logik klasyczny zw róciłby uwagę, że nasza w iedza o ist nieniu czy nieistnieniu ostatniej pary liczb pierw szych bliźniaczych zależy od wielu przypadkow ych okoliczności i nie m a wpływu na praw dę m atem atycz ną. Albo istnieje nieskończenie w iele takich par i wtedy 1 = 1 , albo ich liczba jest skończona i wtedy l jest rów ne najw iększej liczbie pierw szej takiej, że
l - 2 jest też liczbą pierw szą. W każdym m ożliw ym do pom yślenia przypad
ku l je s t zdefiniow ana, nie m a więc znaczenia, czy potrafim y tę liczbę w yli czyć czy też n ie 13.
Z intuicjonistycznego punktu w idzenia definicja druga stałaby się popraw na, gdyby został rozw iązany problem liczb pierw szych bliźniaczych W zw iąz ku z tym K. M enger14 proponuje następujący eksperym ent myślowy: załóż my, iż udowodniono, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierw szych bliźnia czych. Czy - pyta dalej M enger - przed m om entem udow odnienia / = 1, czy nie? Aby wyjaśnić sens tego rzekom o kłopotliw ego pytania, trzeba, zdaniem H eytinga, odwołać się do istniejącego niezależnie od naszej w iedzy świata przedm iotów m atem atycznych, w którym „l = 1” jest praw dziw e w pewnym absolutnym sensie. Jednakże intuicjonista zdecydow anie odrzuca tego typu m etafizyczne założenia, ograniczając się do badania m yślowych konstrukcji m atem atycznych jako takich. Tw ierdzenie m atem atyczne jest tylko stw ierdze niem , że została w ykonana pew na konstrukcja m atem atyczna, natom iast przed wykonaniem konstrukcji nie ma jeszcze tw ierdzenia. Z uwagi na pow yższe ustalenia m ożna w ięc pow iedzieć, że intuicjonista staw ia pytanie następujące: Czy została w ykonana w m oim um yśle określona konstrukcja m atem atyczna?
13 A . H e y t i n g, In tu ition ism : A n In tro d u ctio n , Am sterdam 1966, s. 1 n. 14 D e r In tu ition ism u s, „B lätter deutscher P h ilo s o p h ie ”, 4 (1 9 3 0 ) 3 1 1 -3 2 5 .
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 1 1 7
W iele przykładów (podobnych do powyższego) podają intuicjoniści jako argum ent przeciw ko ogólnej obow iązyw alności praw a w yłączonego środka. Rodzi się jedn ak w tym m iejscu pytanie - czy praw o w yłączonego środka odrzucone przez zw olenników logiki intuicjonistycznej jest tym samym pra wem, które obow iązuje w logice klasycznej? Inaczej mówiąc: czy odrzucane TND jest identyczne z KTND? Gdyby tak faktycznie było, należałoby docie kać przyczyn takiego stanu rzeczy. Z pew nością m ożna by wtedy pow iedzieć, że system y te są konkurencyjne, choć wydaje się, iż rachunek intuicjonistycz- ny byłby konkurentem nie zasługującym na to, aby go pow ażnie traktow ać. W szystko w skazuje jednak na to, że tak nie jest. Form uły praw a, choć m ają taki sam zapis, przypuszczalnie m ają różne znaczenia, stw ierdzają co innego. A przecież praw o logiki to nie tyle jego sym boliczny zapis, co treść prawa.
Znaczenie praw a w yłączonego środka zależy od znaczenia dwóch w ystę pujących w nim stałych logicznych: funktorów negacji i alternatyw y. D ocie kania zw iązane z rozum ieniem tych funktorów w logice intuicjonistycznej przedstaw im y na podstaw ie deklaratyw nych w ypow iedzi różnych autorów na ten tem at, a także analizy kontekstów w ystąpienia tych stałych logicznych.
W arto na początku zauważyć, że według stanow iska intuicjonistów tw ier dzenie logiczne nie jest niczym innym, jak tylko tw ierdzeniem m atem atycz nym o najw yższym stopniu ogólności. Za zm ienne zdaniow e logiki intuicjo nistycznej m ożna podstaw iać w yłącznie zdania m atem atyczne. Pytanie, czy logika ta znajduje zastosow anie poza m atem atyką, pozostaje poza obszarem zainteresow ań intuicjonistów .
Ponadto intuicjoniści odróżniają zdania i asercje. A sercja jest uznaniem zdania. Z danie m atem atyczne w yraża pew ne oczekiw anie, np. zdanie „Stała Eulera C jest w ym ierna” w yraża oczekiw anie, że potrafim y znaleźć dw ie liczby całkow ite a i b takie, że C = a/b. Być może - jak sugeruje H eyting - bardziej odpow iednie byłoby tu słowo „intencja”, stosow ane przez fenom e nologów . Intuicjoniści używ ają słow a „zdanie” na oznaczenie intencji w yraża nej językow o przez zdanie. Intencja natom iast odnosi się nie tylko do stanu rzeczy uw ażanego za istniejący niezależnie od nas, lecz także do d o św iad czenia, uw ażanego za m ożliw e15. Uznanie zdania oznacza w ypełnienie inten cji, np. asercja „C jest w ym ierne” oznaczałaby, że faktycznie znaleziono w ym agane liczby. Asercję od odpow iadającego jej zdania odróżnia się za pom ocą znaku „ w prow adzonego przez Fregego. U znanie zdania nie jest
15 Por. A . H e y t i n g, In tu icjo n istyczn e p o d s ta w y m a tem a tyk i, [w:] F ilo z o fia m atem atyki. A n to lo g ia tek stó w , red. J. M isiek , K raków 1986, s. 33.
w ięc samo zdaniem , lecz stw ierdzeniem em pirycznego faktu, m ianow icie w ypełnienia intencji w yrażonej przez zdanie.
W świetle pow yższych uw ag łatwiej będzie uchw ycić sens funktorów służących do tw orzenia z pew nych zdań - zdań (bardziej) złożonych. Przede w szystkim zostanie poddany analizie funktor negacji, którego idiosynkryzje znaczeniow e - zdaniem M. D um m etta - ponoszą w inę za odrzucenie przez intuicjonistów T N D 16. W przeciw ieństw ie do niego J. Ł ukasiew icz za ten fakt obarcza odpow iedzialnością sposób rozum ienia alternatyw y17. Intuicjo- nistyczna interpretacja negacji różni się od zwykłego je j rozum ienia. Po pierw sze - wedle intuicjonistów - należy odróżnić użycie słow a „nie” w m a tem atyce (a tym sam ym i w logice) od stosow ania go w w yjaśnieniach nie- m atem atycznych, w yrażonych w języku potocznym . W tw ierdzeniach m atem a tycznych niejasności nie m ogą powstać: „nie” zawsze m a ścisły sens. „Zdanie
p nie jest praw dziw e” lub „zdanie p jest fałszyw e” oznacza: „jeśli założym y
praw dziw ość p, dojdziem y do sprzeczności”. Gdy jednak m ów im y, że genera tor liczby ę 18 nie jest w ym ierny, nie uważa się tego za tw ierdzenie m atem a tyczne, lecz za w ypow iedź na tem at stanu rzeczy; rozum ie się przez to, że, jak dotąd, nie podano dowodu w ym iem ości ę. Poniew aż nie zaw sze łatwo widać, czy zdanie uw aża się za tw ierdzenie m atem atyczne, czy za wypow iedź na tem at aktualnego stanu naszej wiedzy, Heyting przestrzega, aby być ostrożnym w form ułow aniu takich zdań. Tam , gdzie pojaw ia się niebezpie czeństw o niejasności, m atem atyczną negację wyraża się mówiąc: „niem ożliw e jest, że ...”, „fałszem jest, że ...”, „nie m oże być, aby ...” itp., podczas gdy faktualną negację w yraża się przez: „nie m am y praw a tw ierdzić, że ...”, „nikt nie wie, że ...” itd.
Po drugie, zgodnie z ogólną tendencją panującą wśród intuicjonistów do oczyszczania m atem atyki (tym samym logiki) od negatyw nych m yśli, negacja w ujęciu intuicjonistycznym jest czymś w pełni pozytyw nym 19. M ożna po
16 Por. A n ty re a listy c z n e s p o jrz e n ie na ję z y k , m yśl, lo g ik ę i h isto r ię f ilo z o f ii a n a lityc zn ej. Z M ich a elem D u m m ettem ro z m a w ia F a b r ic e P a ta u t, „K wartalnik F ilo z o fic z n y ”, 2 6 (1 9 9 8 ), z. 1, s. 170.
17 Por. J. Ł u k a s i e w i c z , O in tu icjo n istyczn ym rachu nku zd a ń , [w:] t e n ż e , Z za g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii, pod red. J. S łu p eck ieg o , W arszaw a 1961, s. 2 6 7 .
18 J e że li 9 z p ierw szeg o ciągu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 w liczb ie 7t je st k -tą cy frą p o przecinku,
19 Z daniem H ossack a w takim stanow isk u m ożna się dopatrzyć w p ły w u L o c k e ’a, w ed łu g którego asercja jest p o łą czen ie m d w ó ch id ei, negacja zaś ich separacją. L ock e traktow ał zatem ro zd zielen ie jak o p o zy ty w n y c zy n z e strony c zło w iek a , a tym sam ym u w o ln ił n egację od
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 1 1 9
w iedzieć, że negacja jest intencją sprzeczności zaw artą w intencji pierw otnej. H eyting podaje taką oto nieform alną definicję negacji: Zdanie „C nie jest w ym ierne” oznacza oczekiw anie, że z założenia o w ym iem ości C m ożna wyprowadzić sprzeczność. W arto zauw ażyć, iż negacja zdania odsyła zawsze do procedury dow odow ej, prow adzącej do sprzeczności, nawet jeśli zdanie wyjściow e nie sugeruje żadnej procedury dow odow ej20. Trzeba jednak na chw ilę zatrzym ać się na kw estii rozum ienia sprzeczności. W stosunku do pow yższej definicji w ydaje się bowiem , że m ożna postaw ić zarzut cyrkular- ności, gdyż naturalny sposób rozum ienia sprzeczności jest taki, iż wym aga asercji i negacji tego sam ego zdania. H eyting proponuje, aby pojęcie sprzecz ności uznać za pojęcie pierw otne, jako że „zredukow ać je do pojęć prostszych byłoby niezm iernie trudno, natom iast łatw o jest rozpoznać sprzeczność jako taką. W e w szystkich praktycznie przypadkach da się ona sprow adzić do p o staci 1 = 2 ”21. H eyting stoi więc na stanow isku, że pojęcie sprzeczności jest w ystarczająco jasne i że negacji na niej opartej m ożna w m atem atyce używać.
Nie wszyscy autorzy podzielają jednak ten ostatni pogląd H eytinga. Prze ciw ko w ykorzystyw aniu sprzeczności w m atem atyce najw yraźniej opow iedział się G. F. C. G riss22. Skonstruow ał on intuicjonistyczny rachunek logiczny bez pojęcia negacji, w którym to rachunku w szystkie w yrażenia są albo praw dziw e, albo źle zbudow ane. Podobnie M. D um m ett nie przyjm uje rozw iązania H eytinga w odniesieniu do pojęcia sprzeczności i dlatego proponuje odm ienne rozum ienie negacji. W edle niego mamy dow ód negacji zdania p, jeśli m amy dowód zdania p —> 0 = 1. Lecz pow yższej definicji D um m etta zarzucono, że nie zapew nia ona jednoznacznego sensu negacji23. Jakkolw iek nie wszyscy
czy stej n egatyw n ości. Por. K. G. H o s s a c k, A P ro b lem a b o u t th e M ea n in g o f In tu itio n ist N e g a tio n , „M ind”, 4 9 (1 9 9 0 ), N o . 3 9 4 , s. 2 0 7 -2 0 9 .
20 Por. H e y t i n g , In tu ic jo n isty czn e p o d s ta w y m a tem a tyk i, s. 33.
21 T e n ż e, In tu itio n ism _ [...], s. 98. O statnią tezę H eyting ilustruje następującym p rzy kładem . R o zw ażm y zd anie „V2 je st lic z b ą w ym iern ą” . W ym aga on o konstrukcji liczb ca łk o w i tych a , b takich, ż e a2 = 2 b 2. N a p od staw ie zn an ego m atem atycznie rozu m ow ania m ożna przypuścić, ż e a i b są w z g lęd n ie p ierw sze. Z drugiej strony a je st parzyste, zatem 4 d z ieli a2, a stąd 4 d z ie li 2b2 i b je s t parzyste; a i b m ają w ię c w sp óln y p od zieln ik 2. P rzeczy to z a ło ż e niu, że a i b są w zg lęd n ie p ierw sze. S p rzeczn ość (w rozum ieniu H eytinga) m ożna w yrazić w takiej oto formie: n a jw ięk szy w sp ó ln y p o d zieln ik dla a i b w y n o si ró w n o cześn ie 1 i 2. Z tego przykładu m ożna w n io sk o w a ć, ż e H eytin g uznaje za sp rzeczn ość u tożsam ien ie (ró w n o ść) d w óch różnych (n ieid en ty czn y ch ) p rzed m iotów .
22 N e g a tio n le ss In tu itio n istic M a th e m a tic s, p. I-IV , „Indagationes M athem aticae”, 8 (1 9 4 6 ) 6 7 5 -6 8 1 ; 1 2 (1950) 108-115; 1 3 (1 9 5 1 ) 1 9 3 - 1 9 9 ,4 5 2 - 4 7 1 .
logicy i m atem atycy zgadzają się z Heytingiem w kw estii rozum ienia funktora negacji, decydujem y się na kontynuację niniejszych rozw ażań tokiem jego m yślenia jako prow adzącym dla intuicjonizm u.
K ażdą m atem atyczną asercję m ożna wyrazić w takiej oto postaci: „W yko nałem w swoim um yśle konstrukcję A ”. M atem atyczną negację tej asercji m ożna w ypow iedzieć jako: „W ykonałem w swoim um yśle konstrukcję B, któ ra w yprow adza sprzeczność z założenia, że konstrukcję A doprow adzono do końca”. N atom iast zaprzeczenie m atem atycznej asercji, czyli faktualna negacja pierw szej asercji brzmi: „Nie wykonałem w swoim um yśle konstrukcji A ” . Ostatnia w ypow iedź nie ma jednak charakteru m atem atycznego tw ierdzenia, lecz jest em pirycznym stw ierdzeniem , które m oże być praw dziw e lub fałszy we w zależności od tego, czy wykonałem konstrukcję czy nie24.
W św ietle uw ag zaw artych w powyższym akapicie wydaje się, że na grun cie logiki intuicjonistycznej dla m atem atycznej negacji nie będzie popraw ne pytanie, czy w swoim um yśle w ykonałem , czy nie w ykonałem konstrukcji A. W związku ze zdaniam i przeczącym i popraw na w ersja pytania będzie nastę pująca: czy wykonałem w swoim um yśle konstrukcję B, która wyprowadza sprzeczność z założenia, że inna konstrukcja (A) została doprow adzona do końca?
W intuicjonistycznym rachunku zdań funkcjonuje więc m ocna m atem atycz na negacja, oznaczana symbolem „-i”. Heyting mówi, że osobliw ością intui cjonistycznej negacji jest to, iż dotyczy ona tylko fałszu de iure, podczas gdy zazw yczaj negacja dotyczy fałszu de fa cto (negacja faktualna). „W m atem aty ce intuicjonistycznej jedynie fałsz de iure odgryw a rolę; w prow adzenie zw y kłego fałszu de fa c to w eszłoby w konflikt z zasadą konstruow alności”25.
W toku dotychczasow ych wywodów ustalono, że zdanie m atem atyczne p zawsze w ym aga konstrukcji m atem atycznej (o samej konstrukcji będzie mowa później) o pew nych danych w łasnościach; m ożna zdanie to uznać dopiero po dokonaniu takiej konstrukcji. Ponadto - w edług intuicjonistów - konstrukcja d o w o d z i zdania p (nazyw a się ją d o w o d e m p ) 26.
Dowód zdania jest więc konstrukcją m atem atyczną, która z kolei sama może być traktow ana m atem atycznie. Intencja takiego dowodu rodzi zatem nowe zdanie: „Zdanie p jest dow odliw e”. Jeśli oznaczym y je przez „+p”, to
24 Por. C o o p e r , art. c y t., s. 167. 25 H e y t i n g, In tu itio n ism [...], s. 18. 26 Por. tam że, s. 98.
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 121
„+” będzie funkcją logiczną, m ianow icie funkcją „dow odliw ości”. A sercje (- p i |- +p m ają dokładnie to samo znaczenie. Jeśli bowiem p zostaje dow iedzio ne, dow odliw ość p jest także dow iedziona, a jeśli +p zostaje dow iedzione, to w ypełnia się intencja dowodu p , tzn. p zostaje dow iedzione. Niem niej zdania
p i +p nie są identyczne. H eyting w yjaśnia to na następującym przykładzie.
W obliczeniu stałej E ulera C m oże się zdarzyć, iż jakaś wartość w ym ierna, powiedzm y A, jest zaw arta przez niezm iernie długi czas w przedziałach, którym i coraz ciaśniej otaczam y C, tak że ostatecznie podejrzew am y, iż C = A, tzn. oczekujem y, że kontynuując obliczanie C, stale będziem y znajdo wać A w takich przedziałach. Ale podejrzenie to w żadnym w ypadku nie jest dowodem na to, że tak będzie zawsze. Z danie +(C = A) zawiera zatem więcej treści niż zdanie C = A.
Jeśli natom iast zastosujem y negację do obu tych zdań, to nie tylko otrzy mamy dwa różne zdania -ip i ->+p; także asercje |— p i \— <+p będą różne.
(- -i+p oznacza, że przypuszczenie takiej konstrukcji, jakiej w ym aga +p, jest sprzeczne. Proste oczekiw anie p nie musi jednak prowadzić do sprzeczności. Odnosząc to do przytoczonego wyżej przykładu: załóżmy, że udow odniliśm y sprzeczność założenia, iż istnieje konstrukcja dowodząca, że A leży w ew nątrz każdego przedziału zaw ierającego C ( f- -> +p). Jednakże przypuszczenie, iż w faktycznym obliczaniu C zawsze znajdziem y A wew nątrz naszego przedziału, nie musi prow adzić do sprzeczności. M ożna sobie wyobrazić, że m ożem y dowieść o tym ostatnim założeniu, iż jego sprzeczność jest niedow odliw a, a zatem m ożem y uznaw ać jednocześnie [- ->+p oraz f- -¡-¡p. W takim wypadku problem , czy C = A, byłby z istoty nierozw iązalny.
Rozróżnienie m iędzy p i +p znika, gdy konstrukcja jest zam ierzona w sa mym p , m ożliw ość bowiem konstrukcji da się dowieść tylko przez faktyczne jej dokonanie. Jeśli ograniczym y się do tych zdań, które w ym agają konstruk cji, funkcja logiczna dow odliw ości, ogólnie rzecz biorąc, nie pojaw ia się. M ożna nałożyć tę restrykcję, rozw ażając jedynie zdania postaci: „p jest do- w odliw e” lub, m ówiąc inaczej, traktując w szelką intencję jako w yposażoną w dodaną do niej intencję konstrukcji dla jej w ypełnienia. W takim sensie - stw ierdza Heyting - należy rozum ieć logikę intuicjonistyczną rozw ijaną bez użycia funkcji +. Jego zdaniem w prow adzenie funkcji dow odliw ości do ra chunku logicznego rodzi pow ażne kom plikacje, a jej wartość praktyczna jest m inim alna27.
27 Por. t e n ż e , Sur la lo g iq u e in tu itio n iste, „B u lletin de la C lasse de S c ie n c e ” , 1 4 (1930) 961 n.
W praw ie w yłączonego środka obok negacji w ystępuje jeszcze druga stała logiczna - alternatyw a (lub), „p v q” oznacza intencję w ypełnianą wtedy i tylko w tedy, gdy w ypełniana jest przynajm niej jedna z intencji p i q. Inn y mi słowy, m ożna uznać p v q w tedy i tylko wtedy, gdy m ożna uznać przy najm niej jedn o ze zdań p i q. Przypom nijm y, że - w edług intuicjonistów - zdanie m ożna uznać tylko na podstaw ie (faktycznego) dowodu. W zw iązku z tym m ożna przyjąć TND dla pew nego p wtedy i tylko wtedy, gdy p zostało dow iedzione lub zredukow ane do sprzeczności. Zatem dowód, że TND jest ogólnie ważnym praw em , musi polegać na podaniu m etody, za pom ocą której m ożna dla dowolnego zdania dow ieść samo to zdanie lub jego negację. W ten sposób form uła TND oznacza oczekiw anie na m atem atyczną konstrukcję (m etodę dowodu) spełniającą powyższy w arunek. Form uła ta jest więc zda niem m atem atycznym - kw estia jego słuszności jest problem em m atem atycz nym. M ając pow yższe na uwadze, m ożna pow iedzieć, że zw olennik logiki intuicjonistycznej jest upraw niony do postaw ienia pytania: czy istnieje m eto da, za pom ocą której m ożna dla dowolnego zdania dowieść samo to zdanie lub jeg o negację?
Oto przykłady, jakim i posługują się intuicjoniści, aby rozw iązać powyższy problem : Niech E oznacza zdanie „Liczb pierw szych jest nieskończenie w iele” . W tedy +E znaczyłoby „K onstrukcja będąca dowodem zdania «Liczb pierw szych jest nieskończenie w iele» została w ykonana” . Tak więc alter natyw a
(a) +E v -iE
jest - dzięki Euklidesow i, który udow odnił (w ykonał konstrukcję dowodzącą) zdanie „Liczb pierw szych jest nieskończenie w iele” - praw dziw a, choć praw dziw a w sposób przygodny. N atom iast jeśli G znaczy „K ażda liczba parzysta w iększa niż 2 m a własność G oldbacha28”, to
(b) +G v -iG
jest fałszyw e. Jak dotychczas bow iem , ani nie udow odniono, że każda liczba parzysta w iększa niż 2 ma w łasność G oldbacha, ani nie udow odniono, że istnieje liczba parzysta w iększa niż 2, która nie ma w łasności Goldbacha. N ie jest jednak w ykluczone, że któryś z tych dowodów zostanie w przyszłości wykonany.
28 L iczb a parzysta w ięk sz a niż 2 m a w ła sn o ść G oldbacha w ted y i tylk o w tedy, gd y m oże być przynajm niej w jed en sp osób przed staw iona jak o sum a d w u lic z b p ierw szych .
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 1 2 3
W róćm y jeszcze do definicji liczby naturalnej, podanej przez H eytinga. D laczego definicja druga jest, według niego, argum entem przeciw ko ogólnej w ażności TND? Otóż gdyby była ona popraw na, to albo istniałoby nieskoń czenie wiele liczb pierw szych bliźniaczych, albo ich liczba byłaby skończona. Tym czasem żaden z członów tej alternatyw y nie zachodzi. D zieje się tak dlatego, że „istnieć” w term inologii intuicjonistycznej znaczy „być skonstruo w anym ” (esse = construere)29. K onstrukcja zaś - ja k to ju ż było pow ie dziane - jest dowodem danego tw ierdzenia. Jak dotąd, nie udow odniono ani tw ierdzenia głoszącego, że istnieje nieskończenie w iele liczb pierw szych bliźniaczych, ani tw ierdzenia m ówiącego, że ich liczba jest skończona. Ten fakt jest dla H eytinga oraz innych intuicjonistów powodem do odrzucenia TND. Tylko wtedy bowiem m am y prawo uznać pew ien w zór za ogólnie obo wiązujący, jeśli każde zdanie pow stałe z tego w zoru w wyniku praw idłow ego podstaw ienia jest praw dziw e.
Jak się wydaje, form alnym zapisem odrzuconego praw a byłoby raczej (c) +p v -,p
aniżeli (d) p v ~p.
(c) - zgodnie z interpretacją intuicjonistyczną - wyraża, że dla danego zdania mamy racje przyjąć to zdanie lub mamy racje przyjąć jego negację. Tak zinterpretow ana form uła jest oczyw iście fałszyw a, czego dow odem jest (b) oraz wyżej przytoczony nie rozstrzygnięty problem ilości liczb pierw szych bliźniaczych. M ożna więc podać przykłady zdań m atem atycznych, dla których nie m am y żadnego dowodu ani tych zdań, ani ich negacji, co oznacza, że nie m am y racji ani do ich przyjęcia, ani odrzucenia. U żyw ając nieco odm iennej term inologii, intuicjonistyczne „prawo w yłączonego środka” m ożna sform u łować następująco: „istnieje efektyw na procedura w ykazania, że p , lub istnieje efektyw na procedura w ykazania, że nie-p”30.
Tym czasem klasyczne praw o w yłączonego środka (KTND), którego zapi sem form alnym jest (d), nie w ydaje się zw iązane z żadną efektyw ną proce durą dowodow ą. G łosi ono tylko, że każde zdanie p jest praw dziw e lub praw dziw e jest jego zaprzeczenie. Nie m ożem y natom iast w yw nioskow ać z KTND, że każde zdanie jest dow odliw e lub dow odliw a jest jego negacja. A lternatyw a dow olnego zdania i jego negacji jest zawsze praw dziw a, m im o że nie zawsze
29 Por. H e y t i n g, In tu itio n ism [...], s. 2; M . D u m m e t t, The P h ilo s o p h ic a l B a sis o f In tu itio n istic L o g ic, [w:] t e n ż e , Truth a n d O th er E n igm as, D uckw orth 1978, s. 2 2 8 .
30 E. J. L e m m o n , G. P. H e n d e r s o n , Is T here O n ly O n e C o r r e c t System o f M o d a l L o g ic ? , „A ristotelian S o c iety S u pp lem en t”, 3 3 (1 9 5 9 ) 27.
potrafim y w skazać, który jej składnik jest praw dziw y, a tym bardziej podać jego dowód.
Ogólny w niosek, jaki m ożna wyprowadzić z pow yższych analiz, jest nastę pujący: intuicjonista kiedy odrzuca „prawo w yłączonego środka” , nie odrzuca KTND /(d)/, ale alternatyw ę w yrażoną w intuicjonistycznym języku, tylko zew nętrznie analogiczną do KTND. Odrzucane praw o +p v -ip N. C ooper31 nazyw a „udawanym prawem w yłączonego środka”. N atom iast KTND w ycho dzi nietknięte z całej tej krytyki, a co ciekaw sze - intuicjoniści zdają się nie być nim w ogóle zainteresow ani. Tak np. intuicjoniści nie zaprzeczają ogólnej w ażności podstaw ienia p v ~p
(e) +p v ~+p,
które m ożem y odczytać jako „konstrukcja dow odząca p została w ykonana lub nie została w ykonana”. Nie jest ono jednak zdaniem m atem atycznym , lecz w ypow iedzią na tem at stanu rzeczy i w tym sensie nie interesuje intuicjo- nisty.
W swojej krytyce logiki klasycznej Brouw er i jego następcy interpretują praw o w yłączonego środka - jak starano się to w ykazać - jako stw ierdzające konstruktyw istyczną dow odliw ość p lub jego negacji. Tak zinterpretow ane jest ono tw ierdzeniem , którego rów nie trudno dow ieść, jak je obalić. Heyting mówi, że kw estia jego słuszności jest problem em nierozw iązalnym środkam i m atem atycznym i32. W tej sytuacji w ykluczenie praw a w yłączonego środka z logiki, jako uprzedniego wobec m atem atyki, wydaje się stanow iskiem natu ralnym 33. Innym i słowy, praw dą jest, że intuicjoniści słusznie odrzucają praw o w yłączonego środka, lecz jest to ich w łasne praw o - „intuicjonistyczne TN D ” (ITND), natom iast z pew nością nie odrzucają oni klasycznego prawa w yłączonego środka (KTND).
Ponadto krytykę logiki klasycznej w jej pow iązaniu z konstruktyw istyczną m atem atyką m ożna też traktować jako specjalnego rodzaju dyskusję ogólną dotyczącą tego, co praw dziw e i poznaw alne. Prawo w yłączonego środka w logice klasycznej mówi tylko tyle, że każde zdanie p jest praw dziw e lub jest fałszyw e. N ie m ożna z niego w yw nioskow ać, że każde zdanie lub jego nega cja są poznaw alne, chyba że założylibyśm y poznaw alność wszystkiego, co
31 Art. cy t., s. 170.
32 Por. H e y t i n g , In tu icjo n isty czn e p o d s ta w y m a tem a ty k i, s. 34.
33 N iek tóre inne prawa pozostają przy in tu icjon istyczn ej interpretacji nieproblem atyczn e. N a przykład praw o n iesp rzeczn o ści je st o g ó ln ie w ażn e, g d y ż z a w sz e m ożna d o w ie ść , że dane zdanie nie je st ró w n o c ze śn ie d o w o d liw e i obalalne.
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 125 praw dziw e. „Prawo w yłączonego środka” w logice intuicjonistycznej (ITND), w odróżnieniu od KTND, głosi, że albo w iadom o, iż p , albo w iadom o, że negacja p (skoro m ożna dowieść p lub jego negacji). Innym i słowy, intuicjo- niści utrzym ują, że dowód i praw da są bardzo ściśle pow iązane, a naw et utożsam iają się: zdanie jest praw dziw e tylko w tedy, gdy jest udow odnione. M ówiąc językiem K. A jdukiew icza, intuicjoniści posługują się pojęciem praw dy w taki sposób, iż przez zdanie praw dziw e rozum ieją zdanie czyniące za dość kryterium praw dy34, którym to kryterium byłaby (intuicjonistyczna) dow odliw ość.
Z uw agi na fakt, że w logice intuicjonistycznej za zm ienne zdaniow e m ożna podstaw iać tylko zdania m atem atyczne, ITND wydaje się rów noznacz ne z „zasadą rozw iązalności każdego m atem atycznego problem u”35. Heyting w yjaśnia, że problem w m atem atyce jest staw iany przez intencję, której w y pełnienia się poszukuje. Będzie rozw iązany, gdy intencja zostanie w ypełniona przez konstrukcję albo gdy udowodni się, że ow a intencja prowadzi do sprzeczności. K w estię rozw iązalności m ożna więc zredukow ć do kw estii dow odliw ości36. Jak wyżej wykazano, ITND głosi, że każde zdanie m atem a tyczne jest dow odliw e albo dow odliw a jest jego negacja. W obec faktu istnie nia nierozw iązalnych problem ów w e w spółczesnej m atem atyce jasne jest, że ITND nie m oże być zaakceptow ane.
D otychczasow e analizy doprow adziły do wniosku, że stałe logiczne w lo gice klasycznej i odpow iednie stałe w logice intuicjonistycznej m ają różne znaczenie. Biorąc pod uwagę ten wynik, dla uniknięcia nieporozum ień należa łoby na oznaczenie funktorów negacji i alternatyw y w obu system ach używać różnych symboli. O dnośnie do negacji ten postulat został spełniony, m iano w icie dwa symbole: „~” i i” funkcjonow ały na oznaczenie odpow iednio negacji klasycznej oraz intuicjonistycznej. Czy odrzucenie praw a w yłączonego środka przez intuicjonistów jest zatem odrzuceniem klasycznej negacji, nato m iast alternatyw a pozostaje poza krytyką? A nalizy pow yższe w ydają się
34 K. A j d u k i e w i c z, E p istem o lo g ia i se m io ty k a , [w:] t e n ż e, J ę zy k i p o zn a n ie, t. II, W arszaw a 1985, s. 114.
35 C oop er (art. c y t., s. 171) u w aża, że nurt in tu icjo n isty czn y w m atem atyce m ógłby być kon tynuow any tylko w ó w cz a s, gd yb y każde zdanie w yrażaln e w języ k u lo gik i i m atem atyki b y ło k o n ieczn e albo n ie m o żliw e. Z e w zg lęd u na trudności zw ią za n e z u życiem przez n ieg o n iejed n ozn aczn ych p ojęć m od aln ych i braku w yjaśn ień c o do sp osob u ich rozu m ienia nie podejm u ję tutaj tego zagadnienia.
przem aw iać za tezą W. V. O. Q u in e’a37, że takie rozróżnienie jest nietrafne: „[...] kiedy się raz zakłóci w zajem ne związki operatorów logicznych, m ożna pow iedzieć, że zm ieniło się w szystko [...] nazwy i sym bole negacji i alterna tywy przenoszą się na logikę nieklasyczną, taką jak intuicjonizm , tylko przez luźną i arbitralną analogię”.
Poniew aż, według intuicjonistów , zdanie m ożna uznać tylko w tedy, gdy ma się jego dowód, interpretacja stałych logicznych intuicjonistycznego ra chunku zdań jest podaw ana w term inach dowodu. M ożna uznać alternatyw ę p v q wtedy i tylko wtedy, gdy m ożna uznać (tzn. udow odnić) przynajm niej jedno ze zdań p , q. M ożna uznać koniunkcję p a q w tedy i tylko wtedy, gdy
m ożna uznać (udowodnić) zarów no p , jak i ą. Im plikację p —> q m ożna uznać wtedy i tylko wtedy, gdy dysponujem y konstrukcją A, która dołączona do konstrukcji dowodzącej p (założyw szy, że ta ostatnia daje się zrealizow ać) da autom atycznie konstrukcję dow odzącą ą. (Innym i słowy - dow ód zdania p oraz A tw orzą dowód dla q)M. Przy takiej interpretacji żaden z pow yższych funktorów nie jest funktorem klasycznego rachunku zdań, lecz są one do pewnego stopnia analogiczne.
K ierując się sugestią H eytinga, aby utożsam ić „jest intuicjonistycznie praw dziw y” z „jest (intuicjonistycznie) dow odliw y”, G ódel39 proponuje taką interpretację intuicjonistycznego rachunku zdań, przy której im plicite przyj m owałoby się w nim jeszcze jeden funktor zdaniotw órczy od jednego argu m entu zdaniow ego - oznaczm y go przez D. W logice intuicjonistycznej, jeśli w którym kolw iek m iejscu w ystępuje dow olna zm ienna p lub jej negacja ->p, to faktycznie w ystępow ałoby tam odpow iednio w yrażenie Dp, ~Dp (D~Dp). W yrażenie Dp należałoby odczytyw ać, zgodnie z sugestią Lem m ona, jako „istnieje efektyw na procedura w ykazania, że p " lub krócej: „istnieje dowód dla p ”. Funktor D jest oczyw iście funktorem nieekstensjonalnym (przy praw dziw ości p , Dp m oże być praw dziw e bądź fałszyw e w zależności od tego, czy mamy jego dowód czy nie).
Jak w ynika z dotychczasow ych rozw ażań, kluczow ym elem entem intuicjo nistycznej filozofii jest jej konstruktyw izm . O gólnie rzecz biorąc - zdaniem Q uine’a40 - konstruktyw izm w m atem atyce nie toleruje m etod, które
pozwa-37 F ilo zo fia lo g ik i, tł. [z ję z . ang.] H. M ortim er, W arszaw a 1977, s. 129. 38 Por. H e y t i n g , In tu itio n ism [...], s. 98 n.
39 A n In te rp r eta tio n o f the In tu itio n istic S e n te n tia l L o g ic , [w:] The P h ilo s o p h y o f M a th e m a tic s, ed. J. H intikka, O xford 1969, s. 128 n,
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 127 łają na stw ierdzenie istnienia pew nego rodzaju przedm iotów bez okazania, w jaki sposób m ożna taki przedm iot znaleźć. „Z naleźć” znaczy „obliczyć” w przypadku liczby i „skonstruow ać” w przypadku figury geom etrycznej czy zbioru. N ie m ożna więc tylko postulow ać istnienia obiektów , jak to się na przykład czyni w nie akceptow anej przez niektórych intuicjonistów m etodzie aksjom atycznej, lecz należy je uprzednio skonstruow ać. Podobnie ma się rzecz z w łasnościam i przedm iotów . O biekty m atem atyczne oraz ich własności to konstrukcje m yślow e (idealnego) m atem atyka.
W m atem atyce (logice) istnieje tylko to, co konstruow alne przez myśl. Jednakże w poglądach samych intuicjonistów dotyczących rozum ienia pojęcia konstruow alności (konstrukcji), przede w szystkim jego zakresu, w ystępują znaczne rozbieżności. Nie m ogą oni uzgodnić m iędzy sobą stanow isk, jeśli chodzi o określenie tego, co jest konstruktyw ne, a tym samym ustalenie, jakie metody konstrukcji powinny być jeszcze dopuszczalne w m atem atyce, a jakie należy z niej w yelim inow ać. N iektórzy, jak np. H eyting, postulują niedefinio- walność pojęcia konstrukcji, akcentując jego czysto intuicyjny charakter. Faktycznie w pism ach Brouw era i H eytinga pojęcie to jest notorycznie w ielo znaczne. W ielu intuicjonistów ogranicza się do podania przykładów obiektów uw ażanych za konstruktyw ne oraz takich, których nie m ożna zaliczyć do kon struktywnych. Przyjrzyjm y się różnym propozycjom rozw iązań w tej sprawie.
W edług najbardziej skrajnych ujęć liczba istnieje tylko wtedy, gdy jest aktualnie skonstruow ana przez twórczy podm iot. Funkcjonuje też nieco zm o dyfikow ana w ersja tego stanow iska poprzez w prow adzenie odniesienia tem- poralnego: liczba istnieje, o ile została skonstruow ana przez jakiegoś członka m atem atycznej w spólnoty. Stanow isko H eytinga w tej kw estii jest niejasne. Raz zdaje się on dopuszczać tylko aktualnie dokonane konstrukcje, kiedy udziela negatyw nej odpow iedzi na pytanie M engera czy ,,(3x)Fx” było praw dziwe, zanim liczba m ająca w łasność F została skonstruow ana. Innym razem proponuje on, aby intuicjonista nie ograniczał się do aktualnie w ykonanych konstrukcji, gdyż w tedy m usiałby zredukow ać akceptow alną część m atem atyki do tw ierdzeń dotyczących w zględnie m ałych liczb naturalnych. Faktem jest jednak, iż w iększość intuicjonistów nie akceptuje tak znacznego ograniczenia m atem atyki. Zatem obok (1) aktualnie dokonanych konstrukcji H eyting pro ponuje przyjąć także (2) ogólne m etody konstrukcji oraz (3) hipotetyczne
konstrukcje. Te ostatnie są w ym agane dla dow odu ogólnych lub negatyw nych tw ierdzeń. H eyting41 podaje przykład dow odu tw ierdzenia
b -.(2 + 2) = 5, który przebiegałby następująco:
1. konstrukcja liczby 2, 2. konstrukcja liczby 2 + 2, 3. konstrukcja liczby 5,
4. hipotetyczna konstrukcja 1 - 1 (jedno-jednoznacznej) korespondencji m ię dzy rezultatam i 2. i 3.
5. ogólna m etoda dedukow ania sprzeczności z 4.
Podobnie (2) i (3) byłyby w ym agane do dowodu ogólnego tw ierdzenia, takiego jak np. b a + b = b + a. W zw iązku z tym w kręgu intuicjonistów zrodziło się pytanie, jak i jest właściwy sens „m ożliw ej do w ykonania, lecz aktualnie nie w ykonanej konstrukcji”.
Żadna z prób sprecyzow ania pojęcia konstruow alności, jak dotąd, nie zakończyła się sukcesem 42. D latego H eyting proponuje, aby traktow ać je jako pojęcie pierw otne im plicite zdefiniow ane przez praw a intuicjonistycznej logiki. Ale to rozw iązanie wydaje się co najm niej niesatysfakcjonujące, jeśli nie błędne, gdyż intuicjoniści akceptują w swoim rachunku tylko takie prawa, które stosują się do w ym agań konstruktyw istycznych. A więc zasada kon struow alności zdaje się uprzednia wobec logicznych praw. Tak np. zasada w yłączonego środka (intuicjonistyczne rozum ienie) odpadła, gdyż w niektó rych w ypadkach nie m ożna podać ani konstruktyw istycznego dowodu dla (3x)Fx, ani dla -i(3x)Fx. Na tę trudność m oże już naprow adzić sam kom en tarz H eytinga dotyczący podanych przez niego aksjom atów intuicjonistycznej logiki zdań. H olenderski logik podaje tu uspraw iedliw ienie aksjom atu X.
b
-ip —» (p —» q), który - w edług niego - m oże nie być intuicyjnie jasny. Chociaż Heyting przedstaw ia ten aksjom at jako doprecyzow anie sensu im pli kacji, faktycznie propozycja ta oznacza rozszerzenie sensu konstruow alności. „Załóżm y, że b "HL tzn - iż z założenia o udow odnieniu p w yprow adziliśm y sprzeczność. M ożna to uważać za swego rodzaju konstrukcję, która, dołą czona do dowodu p (który nie m oże istnieć), daje dowód q”43. Tak rozsze41 R e m a rq u e s su r le co n stru ctiv ism e , „L ogiqu e et A n a ly se”, 3 (1 9 6 0 ) 179. Z ob. także je g o artykuł B lic k von d e r in tu itio n istisch en W arte („ D ia léc tic a ”, 1 2 (1 9 5 8 ) 3 3 2 -3 4 5 ).
42 W literaturze najbardziej znane s ą próby S . C. K le e n e ’a oraz A. Churcha. 43 H e y t i n g, In tu ition ism [...], s. 102.
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICIONISTYCZNEJ 1 2 9
rzony sens konstruow alności okazał się nie do przyjęcia przez niektórych intuicjonistów . Pom ijając w aksjom atyce H eytinga kontrow ersyjny aksjom at X, otrzym uje się tzw. m inim alny rachunek zdań, będący form alizacją intuicjo- nistycznie ogólnie ważnych form uł, w którym inaczej jest rozum iane pojęcie konstruow alności (węziej niż u Heytinga). Ta propozycja pochodzi od Johans- sona (1936), natom iast w cześniej rosyjski uczony A. N. K ołm ogorow (1925) skonstruow ał system rów now ażny z m inim alnym rachunkiem . W edług Kołmo- gorowa system ten przedstaw ia w łaściw ą form alizację postulatów intuicjo- nizm u zaw artych w pism ach B rouw era44.
Podsum owując ostatni wyw ód, m ożna pow iedzieć, że pojęcie konstruow al ności jest podatne na szerokie bogactw o interpretacji. Jeśli jest interpretow ane wąsko jako „aktualnie w ykonana konstrukcja”, wówczas znacznie ogranicza się zakres klasycznej m atem atyki, który byłby faktycznie do przyjęcia. To ograniczenie jest jednak zbyt duże, aby m ogło być pow szechnie zaakcepto w ane przez intuicjonistów . Jeśli natom iast jest interpretow ane szeroko, to intuicjonista staje się podatny na krytykę ze strony ścisłego finitysty analo giczną do jego własnej krytyki m atem atyki klasycznej. Pozostaje zatem nadal problem , jak sprecyzować szerszą interpretację „konstruow alności”, czyli jakiego sensu nadać „m ożliw ej do w ykonania konstrukcji” .
W arto zaznaczyć, że zasadniczym pow odem odrzucenia logiki klasycznej przez intuicjonistów jest stosow anie w niej niekonstruktyw nych dowodów tw ierdzeń egzystencjalnych. W klasycznym rachunku logicznym istnieją tezy pozw alające na takie dowody; n ależą do nich np. analizow ane tu praw o w yłą czonego środka oraz prawo podw ójnej negacji — p —» p. Z TND otrzym ujem y tezę: (3x)Fx v ~ (3x)Fx, a stąd oraz z — (3x)Fx za pom ocą reguły opu szczania alternatyw y otrzym ujem y w yrażenie (3x)Fx. U dow odniw szy zatem w yrażenie ~~ (3x)Fx, np. przez w ykazanie, że w yrażenie ~ (3x)Fx prow adzi do sprzeczności, dowodzim y tym samym na podstaw ie TND w yrażenie (3x)Fx, choć nie potrafim y podać przykładu takiego a, że Fa.
44 Z daniem K ołm ogorow a H eyting n ie w ła śc iw ie interpretuje m o ż liw o ść w yk on an ia k on strukcji, k ied y przyjm uje, że konstrukcję B stan ow i w yp row ad zen ie sp rzeczn o ści z założen ia, iż konstrukcja A została dop row adzona do końca. A k sjom at X , od p o w ied zia ln y za tę interpre tację, „nie ma i nie m o że m ieć żadnych in tu icyjn ych podstaw , odkąd tw ierdzi on c o ś o k on sek w en cji c z e g o ś n iem o żliw eg o : m usim y przyjąć B , je ś li p raw d ziw y sąd A je st traktowany jak o fa łsz y w y ” . Z ob. A . N . K o 1 m o g o r o v , On the P rin c ip le o f E x clu d ed M id d le, [w:] F rom F re g e to G o d e ł, ed. J. v. H eijen oort, Harvard U n iversity Press 1967, s. 4 1 4 -4 3 7 (cytat - s. 4 21).
Podobnie z praw a podw ójnego przeczenia — p —> p otrzym ujem y w yraże nie: ~~ (3x)Fx —> (3x)Fx, pozw alające na udow odnienie w yrażenia (3x)Fx na podstaw ie w yrażenia ~~(3x)Fx. Słynny przykład H eytinga z rozw inięciem dziesiętnym liczby n pokazuje, że niem ożność niem ożności pew nej w łasności nie jest jeszcze dow odem tej w łasności. Rozważm y rozw inięcie dziesiętne liczby n i podpisujm y pod nim ułam ek dziesiętny ę = 0,333 ... tak długo, aż w rozw inięciu k pojaw i się po raz pierw szy układ cyfr 0123456789. Jeżeli 9 z pierw szego takiego ciągu w ystąpi na k-tym m iejscu po przecinku, to
ł ° k — ł ę 3 x 10k ‘
M atem atyka klasyczna tw ierdzi, że liczba ę jest w ym ierna. Załóżm y, że 10k - 1
ę nie jest w ym ierne. W tedy rów ność ę = ^ ^ je s t niem ożliw a, a za tem żaden ciąg cyfr 0123456789 nie w ystępuje w rozw inięciu dziesiętnym liczby tt. W tedy jednak ę = 1/3, czyli ę jest liczbą w ym ierną. To jest jednak niem ożliw e, bo sprzeczne z założeniem . A więc ostatecznie liczba ę jest wym ierna.
Rozum ow anie pow yższe jest nie do zaakceptow ania dla H eytinga (intuicjo- nistów ). N a podstaw ie faktu, iż założenie, że liczba ę nie jest w ym ierna, doprow adziło do sprzeczności, nie mamy praw a tw ierdzić, że liczba ę jest w ym ierna. O znaczałoby to bow iem , że potrafim y w yliczyć liczby całkow ite
p i q takie, że ę = p/q, a to w ym aga w skazania ciągu 0123456789 w ro z
w inięciu dziesiętnym n lub udow odnienia, iż taki ciąg nie w ystępuje. Nie potrafim y jednak ani jednego, ani drugiego; a zatem nie m ożem y tw ierdzić, że liczba ę jest w ym ierna45.
Pow yższy przykład przem aw ia za tym, że intuicjoniści przyjm ują inną koncepcję praw logiki. O ile w logice klasycznej praw a logiczne o postaci im plikacyjnej są podstaw ą reguł prow adzących od zdań praw dziw ych do zdania praw dziw ego, o tyle w intuicjonizm ie reguły inferencji m ają prowadzić od zdań udow odnionych do zdania udow odnionego. K onsekw entnie więc praw a logiczne, na podstaw ie których takie reguły inferencji są tworzone, m uszą być m ocniejsze w logice intuicjonistycznej aniżeli w logice klasycznej.
Z. Z aw irski zauw aża także, że intuicjoniści, chcąc być konsekw entni, m u szą odrzucić jednostronną zasadę podw ójnego przeczenia, gdyż w przeciw nym wypadku m usieliby uznać rów nież prawo w yłączonego środka. Jest tak dla
PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA W LOGICE INTUICJONISTYCZNEJ 131
tego, że to ostatnie praw o m ożna wyprowadzić z praw a podw ójnej negacji (o postaci im plikacyjnej). Podstaw iając w praw ie — p —> p za zm ienną p w y rażenie p v ~p, otrzym ujem y — (p v ~p) - > p v ~p; intuicjoniści przyjm ują zasadę absurdalności absurdalności w yłączonego środka /— (p v ~ p )/, dzięki której za pom ocą reguły odryw ania m ożna otrzym ać praw o w yłączonego środka46.
Sum ując rezultaty pow yższych dociekań, m ożna pow iedzieć, że w intuicjo- nistycznym rachunku zdań nie obow iązuje prawo w yłączonego środka, lecz w jego intuicjonistycznym rozum ieniu. N atom iast intuicjoniści nie są w ogóle zainteresow ani klasycznym praw em . Intuicjonistyczna interpretacja praw a w yłączonego środka m oże przybrać postać następującą: „m ożna wykazać (udowodnić), że p , lub m ożna w ykazać (udow odnić), że nie-p” czy też „ist nieje efektyw na procedura wykazania, że p , lub istnieje efektyw na procedura wykazania, że nie-p”. D laczego intuicjoniści przechodzą obojętnie obok inter pretacji klasycznej? Nigdzie w prost nie poruszają oni zagadnienia obowiązy- walności lub nieobow iązyw alności klasycznego praw a w yłączonego środka. W ydaje się, że odpow iedzi na pow yższe pytanie należy szukać na drodze analizy sposobu rozum ienia samej logiki i jej przedm iotu. Logika w ujęciu intuicjonistycznym w yrosła w innym nastaw ieniu badawczym aniżeli logika klasyczna. Logicy klasyczni, form ułując swoje praw a, w zasadzie odpow iadają na podstaw ow e pytanie ukazane w tym artykule, staw iane przez przedstaw i cieli w szystkich typów wiedzy teoretycznej, którzy m ają ontologiczne nasta w ienie w stosunku do badanej przez nich zastanej rzeczyw istości. Logicy intuicjonistyczni nie staw iają ogólnego ontologicznego pytania. Ew entualne pytania naukotw órcze intuicjonistów , których w yraźnego sform ułow ania m.in. poszukiw ano w tym artykule, są zw iązane z osobliw ie pojętą m atem atyką i logiką - która w ich ujęciu - jest tylko najogólniejszą częścią m atem atyki. Tw ierdzenia m atem atyki i logiki intuicjonistów nie przekazują praw d o świę cie zewnętrznym . M ożna o tych tw ierdzeniach pow iedzieć, że kom unikują, iż została w ykonana pew na m yślow a konstrukcja m atem atyczna. D otyczą więc zdolnej do konstruow ania m yśli m atem atycznej.
46 Por. Z. Z a w i r s k i, G e n e za i r o z w ó j lo g ik i in tu icjo n isty czn e j, „Kwartalnik F ilo z o fic z n y ”, 1 6 (1 9 3 9 /4 6 ), z. 2 -4 , s. 188 n.
TH E Q U E ST IO N O F TH E N O N -V A L ID IT Y OF TH E L A W OF E X C L U D E D M ID D L E IN TH E IN T U IT IO N IST IC P R O PO SIT IO N A L C A L C U L U S
S u m m a r y
The paper d iscu sses the problem o f w hether the law o f ex clu d ed m iddle is valid or not, a qu estion that has been p o sed in the in tuition istic proposition al calcu lu s. A cco rd in g ly , the author in v estig a tes h ow the intuitionists understood the law o f exclu d ed m iddle and the reasons for its refutation. T he relationship b etw een the intu ition istic law o f ex clu d ed m id d le and its cla ssica l eq u ivalen t has been estab lished . M oreover, the author sou ght to answ er the m ain qu estion s w h ich the rep resentatives o f intuitionistic lo g ic p o se (and answ er). The final part o f the paper add resses the issu e o f constru ctivism as the k ey elem en t o f intuitionistic p h ilo so p h y .
