• Nie Znaleziono Wyników

Całka podwójna 5 - zastosowania fizyczne

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całka podwójna 5 - zastosowania fizyczne"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

1 x y O D Rys. 23 2

.

y=x C x C y C

Całka podwójna - wybrane zastosowania fizyczne

Niech obszar płaski D będzie płytką materialną o gęstości powierzchniowej ρ( , )x y . Możemy wówczas zapisać następujące wzory:

Masa obszaru D:

(10) ( , )

D

m=

∫∫

ρ x y dxdy.

Momenty statyczne obszaru D:

 względem osi Ox:

(11) x ( , )

D

M =

∫∫

yρ x y dxdy.

 względem osi Oy:

(12) y ( , )

D

M =

∫∫

xρ x y dxdy.

Współrzędne środka ciężkości C obszaru D:

(13) xC My m = , x C M y m = .

Momenty bezwładności obszaru D:

 względem osi Ox:

(14) x 2 ( , )

D

I =

∫∫

y ρ x y dxdy.  względem osi Oy:

(15) y 2 ( , )

D

I =

∫∫

x ρ x y dxdy.  względem początku układu współrzędnych:

(16) O ( 2 2) ( , )

D

I =

∫∫

x +y ρ x y dxdy.

Przykład. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości ćwiartki koła o promieniu R= i gęstości 2 ( , )x y 1

ρ = .

Rozwiązanie. Umieśćmy nasz obszar D w układzie współrzędnych tak, jak na rysunku 23. Ponieważ obszar ten ma stałą gęstość powierzchniową (jest jednorodny) i jest symetryczny względem prostej y= , więc obie x

współrzędne środka ciężkości będą równe (yC =xC). Współrzędną xC wyznaczymy ze wzoru: y C M x m = .

Wymagane całki obliczymy wprowadzając współrzędne biegunowe. Zauważmy, że współrzędne biegunowe dowolnego punktu obszaru D spełniają następujące nierówności:

( , ) : 0 , 0 2 2 D′ = r ϕ ≤ ϕ ≤π ≤ ≤r       .

(2)

2 x y O Rys. 24 2 D 2 Obliczamy: 2 2 0 0 ( , ) D D D m x y dxdy dxdy r drd rdr d π ′    = ρ = = ϕ = ϕ =   

∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

[ ]

2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 2r d d π π π     = ϕ = ϕ = ϕ = π    

, ( , ) cos y D D D M x x y dxdy x dxdy r r drd ′ =

∫∫

ρ =

∫∫

=

∫∫

ϕ⋅ ϕ = 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 1 8

cos cos cos

3 3 r dr d r d d π π π      = ϕ  ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ =      

∫ ∫

[

]

2 0 8 8 8

sin sin sin 0

3 3 2 3 π π  = ϕ =  − = . Zatem 8 8 3 3 y C M x m = = = π π.

Ostatecznie środek ciężkości C obszaru D ma współrzędne: 8 , 8

3 3



 π π.

Przykład. Znaleźć moment bezwładności kwadratu D o boku równym 2 i gęstości ( , )ρ x y =3y

względem jednego z wierzchołków.

Rozwiązanie. Umieśćmy nasz kwadrat w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znalazł się w początku układu współrzędnych, a dwa boki leżały na osiach układu (rys. 24).

Wówczas obszar D można zapisać w postaci: D={( , ): 0x y ≤ ≤x 2, 0≤ ≤y 2}

Szukany moment bezwładności obszaru D obliczamy ze wzoru (16):

2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )3 O D D I =

∫∫

x +y ρ x y dxdy=

∫∫

x +y ydxdy= 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 4 0 0 0 0 1 1 3 ( ) 3 ( ) 3 2 4 D x y y dxdy x y y dy dx x y y dx     = + = + = + =        

∫∫

∫ ∫

(

)

2 2 2 3 0 0 2 16 3 2 4 3 4 3 8 16 24 40 3 3 x dx  x x   = + = + =  + = + =  

Zadania do samodzielnego rozwiązania

34. Obliczyć masę obszaru płaskiego D o gęstości ( , )ρ x y = + , ograniczonego krzywymi: x y

2, 2

y=x x=y .

35. Znaleźć współrzędne środka ciężkości płyty o gęstości ( , )ρ x y = ograniczonej krzywymi: 1

2

(3)

3

36. Wyznaczyć moment bezwładności ćwiartki koła o promieniu R= i gęstości ( , ) 12 ρ x y =

względem środka koła.

37. Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Ox trójkąta o wierzchołkach: A(0,0), (1,0)

B , (0,1)C i gęstości powierzchniowej ( , )ρ x y =2x.

Opracowanie: dr Igor Kierkosz

Cytaty

Powiązane dokumenty

c tu sprawa jest prosta, współczynnik c przesuwa linię w górę/w dół, ale zauważmy dodatkowo, że ten współczynnik odpowiada miejscu, w którym nasza linia przecina oś

Wyobrazimy sobie teraz, że w każdym punkcie, gdzie przecinają się pręty miernicze, znajduje się malutki zegar, którego wskazanie obserwator może odczytać dzięki światłu,

Jednym ze znanych ci sposobów opisywania funkcji jest jej wykres, czyli zbiór punktów postaci (x,y). Wykresy funkcji rysujemy w układzie współrzędnych. Jednak czy każdy

Pierwsza z nich v r , odpowiada za zbliżanie się lub oddalanie obiektu od centrum układu współrzednych, zaś druga v  , odpowiada za przemieszczanie się prostopadle do

• nie obracający się względem orbity okołosłonecznej Ziemi układ współrzędnych z początkiem w środku

W następstwie możliwe staje się użycie polecenia WPD, które dokonuje transformacji na podstawie uzyskanych wcześniej wektorów oraz realizuje kon- trolę przeprowadzonej

Temat: Długość i środek odcinka w układzie współrzędnych.. Dla chętnych zadanie

Zapoznaj się z filmem, z którego dowiesz się jak obliczyć długość dowolnego boku trójkąta prostokątnego znając długości dwóch pozostałych. 232 i prześlij zadanie do