1 x y O D Rys. 23 2
.
y=x C x C y CCałka podwójna - wybrane zastosowania fizyczne
Niech obszar płaski D będzie płytką materialną o gęstości powierzchniowej ρ( , )x y . Możemy wówczas zapisać następujące wzory:
Masa obszaru D:
(10) ( , )
D
m=
∫∫
ρ x y dxdy.Momenty statyczne obszaru D:
względem osi Ox:
(11) x ( , )
D
M =
∫∫
yρ x y dxdy. względem osi Oy:
(12) y ( , )
D
M =
∫∫
xρ x y dxdy.Współrzędne środka ciężkości C obszaru D:
(13) xC My m = , x C M y m = .
Momenty bezwładności obszaru D:
względem osi Ox:
(14) x 2 ( , )
D
I =
∫∫
y ρ x y dxdy. względem osi Oy:(15) y 2 ( , )
D
I =
∫∫
x ρ x y dxdy. względem początku układu współrzędnych:(16) O ( 2 2) ( , )
D
I =
∫∫
x +y ρ x y dxdy.Przykład. Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości ćwiartki koła o promieniu R= i gęstości 2 ( , )x y 1
ρ = .
Rozwiązanie. Umieśćmy nasz obszar D w układzie współrzędnych tak, jak na rysunku 23. Ponieważ obszar ten ma stałą gęstość powierzchniową (jest jednorodny) i jest symetryczny względem prostej y= , więc obie x
współrzędne środka ciężkości będą równe (yC =xC). Współrzędną xC wyznaczymy ze wzoru: y C M x m = .
Wymagane całki obliczymy wprowadzając współrzędne biegunowe. Zauważmy, że współrzędne biegunowe dowolnego punktu obszaru D spełniają następujące nierówności:
( , ) : 0 , 0 2 2 D′ = r ϕ ≤ ϕ ≤π ≤ ≤r .
2 x y O Rys. 24 2 D 2 Obliczamy: 2 2 0 0 ( , ) D D D m x y dxdy dxdy r drd rdr d π ′ = ρ = = ϕ = ϕ =
∫∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
[ ]
2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 2 2r d d π π π = ϕ = ϕ = ϕ = π ∫
∫
, ( , ) cos y D D D M x x y dxdy x dxdy r r drd ′ =∫∫
ρ =∫∫
=∫∫
ϕ⋅ ϕ = 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 1 8cos cos cos
3 3 r dr d r d d π π π = ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ϕ =
∫ ∫
∫
∫
[
]
2 0 8 8 8sin sin sin 0
3 3 2 3 π π = ϕ = − = . Zatem 8 8 3 3 y C M x m = = = π π.
Ostatecznie środek ciężkości C obszaru D ma współrzędne: 8 , 8
3 3
π π.
Przykład. Znaleźć moment bezwładności kwadratu D o boku równym 2 i gęstości ( , )ρ x y =3y
względem jednego z wierzchołków.
Rozwiązanie. Umieśćmy nasz kwadrat w układzie współrzędnych tak, aby jeden z wierzchołków znalazł się w początku układu współrzędnych, a dwa boki leżały na osiach układu (rys. 24).
Wówczas obszar D można zapisać w postaci: D={( , ): 0x y ≤ ≤x 2, 0≤ ≤y 2}
Szukany moment bezwładności obszaru D obliczamy ze wzoru (16):
2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )3 O D D I =
∫∫
x +y ρ x y dxdy=∫∫
x +y ydxdy= 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 4 0 0 0 0 1 1 3 ( ) 3 ( ) 3 2 4 D x y y dxdy x y y dy dx x y y dx = + = + = + = ∫∫
∫ ∫
∫
(
)
2 2 2 3 0 0 2 16 3 2 4 3 4 3 8 16 24 40 3 3 x dx x x = + = + = + = + = ∫
Zadania do samodzielnego rozwiązania
34. Obliczyć masę obszaru płaskiego D o gęstości ( , )ρ x y = + , ograniczonego krzywymi: x y
2, 2
y=x x=y .
35. Znaleźć współrzędne środka ciężkości płyty o gęstości ( , )ρ x y = ograniczonej krzywymi: 1
2
3
36. Wyznaczyć moment bezwładności ćwiartki koła o promieniu R= i gęstości ( , ) 12 ρ x y =
względem środka koła.
37. Wyznaczyć moment bezwładności względem osi Ox trójkąta o wierzchołkach: A(0,0), (1,0)
B , (0,1)C i gęstości powierzchniowej ( , )ρ x y =2x.
Opracowanie: dr Igor Kierkosz
