Beginselen der elasticiteit

ELASTICITEIT

NAAR DE COLLEGES VAN

Bèginselen=der Elasticiteitstheorie.

Hoofdstuk I Inl~i~ing. biz.

1. Terreinafbakening 1

2. Experimentele basis 2

3.

Grondbe_grippen der theorie

5

4. Fundamentele stellingen

a. Superpositie 10

b. Gelijkheid van

schuifspan-.. ningscomponenten 11 c. Betrekking tussen E,G enµ

~3

a.

Grens voorµ 14

e. Belemmering van zijdelingse contractie

f. Alzijdige druk

5.

Karakteristieke grootheden voor doorsneden (traagheidsmomenten)

15 15

a. Definities en voorbeelden 16 b, Verschuiving van assen 19 c. Draaiing van assen 21 d, Onregelmatige doorsneden _{. . .. . .. .} 30 Hoofdstuk II EnkelvQudige_geyallen_van_yeerkracht

-=---

-

-

---voor _rechte_staven. -. -

-

---

-1. Zuivere lengte-verandering 33 2. Zuivere buiging a, Symmetrische doorsneden 34 b, Willekeurige doorsneden

39

c. Vormverandering door buiging 43 d, Bepaling van elastische lijn-. _ en uit het momentenvlak 51 c, Sterkte en stijfheid 56 f. Invloed van de

dwarscon-tractie

3,

Afschuiving van symmetrische door-sneden.

a. Verband tussen afschuiving en 57

buiging 59

a. afstand - zijde regelmatige veelhoek b. breedte - lijnstuk

c. veerconstante

d. differentiaalteken - dikte e. excentriciteit

f. pijl van een boog g. gewicht

h. hoogte

1. traagheidsstraal k. kernstraal

m. massa - grootste afstand tot neutrale lijn n. veiligheidscoëfficient

p. ~chuifkracht per lengte-eenheid q. verdeelde belasting

r. afstand tot oorsprong s. booglengte

t, tijd

u. verplaatsing volgens X-as

v.

verplaatsing volgens Y-as

x.

coördinaat (in lengterichting staaf) y. coördinaat (volgens de krachtlijn)

z. coördinaat (volgens de neutrale lijn)

c.

integratie constanten

D.

dwarskracht

E.

elasticiteitsmodulus

F.

oppervlakte van de doorsnede G. glijdingsmodulus

H.

poolaafstand

I. traagheidsmoment van een do-orsnede

(IP= polair traagheidsmoment, Ic= centrifugaalmoment)

J.

massatraagheilsmoment

L. lengte

M. buigend moment N. normale kracht

Q. kracht in verbindingsmiddel

R.

straal of kromtestraal

s.

statisch moment van een doorsnede

T.

wringend moment

w.

weerstandsmoment

-al~ko.. a.. hoek met as

b'~~ ~. hoek - temperatuuruitzettingsooëfficient ,~...., ... y. hoekverdraaiing door schuifkracht

c!<tH·o.. 6. zakking

'<.fS~ lo.., e:. specifieke verlenging

-zè.-¼= Q.

t.

alternatieve z coördinaat ~ è.t& T). alternatieve y coördinaat tl--'è. t.o.. 8 • temperatuur

;;f

h-1

µ.

contractie-coëfficient ... v V• ongelijkmatigheidscoëfficient bij pi _{n. 3,1416}

""'

p. spanning s,·~..,... cr. normale spanning 't'O.~ ,:

.

se huif spanning

~\..~ cp. hoekverdraaiing door buiging

1:)üb 1:,.. kleine toeneming van een grootheid

~~,-a..

E. som van een aantal termen

t. io-te2; K

_ka.r

lo°'-~ lo.bdo... )(.1 u _{Ufi't>Ï la...,}

X

ch~

\.V

rsi w ()OM@.. _Cl,. dwarskracht

InleidiM._. 1 • J~r.r.e.ip._af p_a_ke_n_i.n,& •.

De tp._e_o.r.e_tj._s_c.h_e_ID:e.9µ_ap.j._c_a behandelt o.a. het evenwicht (stati-ca) en de beweging ( dynami(stati-ca) van vaste lichamen. Deze li-chamen worden daar beschouwd als absoluut vast, d.w.z • ..Q.!!.:: v~randerlijk van vorm.

D~ toegepaste mechanica onderzoekt juist, öf de lichamen hun vorm behouden, vervormen dan wel breken, en stelt de vraag, hoe sterk men de lichamen moet maken als waarborg tegen bre-ken of tegen excessieve vervorming. In de bouw- en waterbouw-kundige techniek gaat het da3rbij overwegend om lichamen, die in rust zijn -in elk geval vóór ze brekenJ

De dynam:j.ca is hierbij dus van ondergeschikte betekenis; daar-entegen komt het zeer aan op de statica of leer van het even-wicht.

In vele gevallen (statisch bepaalde construc~ie~) is de leer van het evenwicht voldoende voor het leren kennen van alle uitwendige krachten en reacties, die op een constructie wer-ken en ook van de krachten, die

m

de constructie werken. Men denkt daartoe de c·onstructie volgens verschillende vlak-ken do~rgesneden en bepaalt de krachten, die deze

gppJ.'fiP.~9~P.

moeten overbrengen, wil. het evenwicht zijn gewaarborg~ •. ~ nit wordt behandeld in het leen 2e jaarscollege over statisch bepaalde constructies.

De elasti~iteitstheorie houdt zich in de eerste plaats bezig met de gevolgen, die het over'l;,rengen van krachten meebre.ngt, en in het bijzonder met de vormveranderingen. Dit geschiedt mede als eerste stap ter beantwoording van de hoofdvraag:

eP.:

de doorsnede de krachten overbrengen, dan wel zal de

con-structie bezwijken? Deze vraag naar de sterkte van construc-ties is één der hoofdvragen van de toegepaste mechanica; de anderé is die naar de stijfheid: de constructie zou - zonder te breken of te bezwijken - zo sterk kunnen vervormen, dat dit uit practisch oogpunt ontoelaatbaar is. De §,.i.ayjp~ der statisch bepaalde constructies is vrijwel wiskundig van aard; men hanteer~ krachten en koppels met de zekerheid van het

ab-stracte denken en heeft met de concrete eigenschappen der con-structies en materialen feitelijk nauwelijks te maken.

Indien thans wordt gevraagd, welke vormveranderingen in de constructie het gevolg zijn van de krachten, brengt abstracte redenering geen oplossing; het experiment moet uitsluitsel _geven.

2 • Jg.].§]'.'~ n te 1 e basis •

De eenvoudigste proef is de trekproef op een staaf, d.w.z.

een constructie-element met relatief kleine dwarsafmetingen. Ge-zorgd wordt, dat de kracht voldoende gelijkmatig verdeeld is over de staafdoorsnede, zodat alle vezels in gelijke conditie verkeren.

Dè grootte van de kracht

P

wordt geleidelijk vergroot. De staaf wordt langer,

Als

de verlenging óL wordt uitgezet als functie van

P

ontstaat het trekdiagram. Aanvankelijk groeit bL evenredig met

P;

doch na overschrijding van een bepaalde waarde: de evenredigJ:leidsgrens (proportionaliteits-grens) neemt óL sneller dan evenredig toe: de lijn krijgt een kromming naar de óL-as.

p _D ' ' 1 1 1 " 1 , ; 1 I ~ 1 /: A: evenredigheidsgrbns / 1 B:bovenste vloeigrens

/

l

C: onderste ,, ! / 1 D:breekgrens , ' lr.,I 1 ' 1 ti

J ~ 0₁:verkorting bij opt as ng / \00:blijvende vormverandering : ' 1 ,' ~ : ,' ; ! 1 : 1 I : ! 1 ! ' ! i !Breuk , ! ~ ,' i : ,' : : I t 1

!

i

1

o---.,...---

01 E' t.L

Bij bepaalde·materialen, zoals vloeistaal, verandert de kromme bij een hogere waarde van P sterk van gedaante; de verlengingen worden groter zonder dat P groeit. Dit is de vloeiBrens.

Men kan op dat moment P zelfs verminderen zonder dat het vloeien ophoudt. Bij de meeste trekm.achines ziet men de wijzer, die de kracht aangeeft, teruglopen. De kracht wordt dan geleverd door de oliedruk in een cylinder, waarvan de

zuiger aan het proefstuk is verbonden.

Men pompt langzaam olie bij; de oliedruk en de verplaatsing van de zuiger worden gemeten of geregistreerd, Bij het over-schrijden van de vloeigrens verplaatst de zuiger zich zo snel, dat ondanks bijpompen de druk in de cylinder terugloo?t.

HoeJ@.tl deze terugloopt hangt mede af van de constructie der machine. Het is echter mogelijk, een bovenste en onderste vloeigrens te bepalen.

Op een gegeven ogenblik gaat de verlenging niet verder zonder

h

vergroting van dekrachthet materiaal is ,,verstevigd. Door een kleine vergroting van de kracht neemt eohter de verleng-ing sterk toe. Plotselverleng-ing gaat de verlengverleng-ing weer door zonder vergroting of zelfs onder verlaging van de kracht en onmiddel-lijk daarna breekt de staaf ( breekgrens ).

Wat gebeurt, indien men de vergroting van de last op een ge-geven ogenblik staakt en de belasting vermindert?

Is men beneden A, dan krijgt de staaf -zijn oude lengte terug. Het materiaal gedraagt zich volkomen elastisc~. Daarom heet A (of een wàarde in de buurt: de evenredigheidsgrens en is moeilijk nauwkeurig te bepalen) ook elasticiteitsgrens.

Indien men op een ander punt van de kromme de belastin5 gaat verminderen, .vermindert de lengte volgens een lijn EO' / / OA. Als P = 0 is er een blijvende yormverandering 001

overgebleven. De vormveranderingen tussen de P-as en de lijn OA met zijn verlengde zijn elastisch; voor zover de verlengingen groter zijn, zijn ze plastisch. De totale verlenging bij breuk is een maat van de taaiheid.

Bij opnieuw belasten verloopt óL volgens 01

E tot de kracht, waartoe voorheen is belast; en volgt dan de krQnmie;

ae

vloe±~ grens is verhoogd. Het bovenstaandegeldt voor vloeistaal. De juiste vorm van de kromme tussen A en D hangt van vele

omstandigheden af: snelheid van belastingtoeneming, lengte van de proefstaaf. De verlenging van de staaf gaat gepaard met een verkleining van de dwarsafmetingen, doch bij het naderen van de vl?eigrens vertoont de staaf ergens een duidelijke insnoering; hier ter plaatse treedt de grote verlenging op tijdens het vloeien en later de breuk. De plaats van de in-snoering hangt af van toevallige verzwakkingen.

Een vloeigrens betekent een schcrpG overgang tussen

p

Vaak is d·e overgang geleidelijker, b.v. hard staal,koper1 aluminium. Deze zijn veelal minder taai.

"B ' ' : 1 ' : 1 ' 1 ' : ' ,' , ' ' , , , 1 ' 1 , 1 ' 1 / A: evenr~digheids-' 1 : grens :

f

B: ( convs,ntion:ele) ,' V 'r S, '--1.

0,2%

l\L

Soms definie·ert IJ.èri bij élere;e li jke materialen acn conventionele_.vloei-grens; d.w.z. de kracht, waarbij de plastische ( blijvende ) verlenging b.v. 0.2% van de lengte bedraagt. De oppervlakte tussen de kromm0 en

de ~L- ao coeft de nrbeid, die de belasting heeft ~itgeoefend ( tot de breuk ) • Daarom wordt het trekdiagram soms arbeidsdiac~am genoemd.

Voor metalen e.d. lijkt het drukdia-gram veel op het trekdiadrukdia-gram. De dwars afmetingen worden gro+,er. Steenachtige materialen ( ook oeton) hebbGn een geringe trekweerstand en bij opvo0ren van een drukkracht springen veelal zijdelings stul;:ken af. Bij wringproeven met metalen cylindcrs krijgt men, als men de hoekverdraá.iing uitzet tegen het wringend koppel, over-eenkomstige verschijnselen als bij de trekiiroef.

Met het bovenstaande zijn de voor ons doel belangl'ijkete verschijnselen beschreven. Er zijn nog meer verschijnselen, b.v. vermoeidheidsbreulç: breulc bij herhaald ·be- en ontlasten krui_p:

elastische nawerking:

-bij lagere kracI'-t dan de breekgrens. het op lange duur vergroten der vorm-veranderingen bij constante belas-ting.

bij opbrengen of af~emeu van de belasting treedt een de2l van de vormverandering direct op, een ander deel echter met de tijd.

opbrengen belastin₆

a ne·men

3.Grondbegrippen der theorie.

Het opbouwen vaneentheorie is: uit de ervaring de voor een verschijnsel essentiële kenmerken afleiden, die voor vele omstandigheden hun geldigheid behouden.

Van eenzelfde materiaal zijn trekstaven te ma.ken van verschil-lende doorsnede en lengte. Indi~n men enkele staven van ge-lijke doorsnede samenvoegt en als één staaf beschouwt, ziet men in, dat, zolang alle vezels in gelijke omstandigheden ver-keren, maatgevend is de waarde van

J.

V~ór de staaf vloeit, zal verder de verlenging 6L evenredig zijn aan

L.

Inplaats van de voor lén staaf geldende betrekking tussen Pen M. kan men dus met voordeel gebruiken de betrekking tussen

J

en

~t ,

die voor het materiaal ge~dt.

J (

dimensie k 1- 2 , b.v. kg/cm2 ) heet spanning a. àL (dimensieloos) heat specifieke verlenginE E.

L

Door steeds het a - € diagram te tekenen, worden de

experimen-tele krommen wel niet gelijk ( secundaire invloeden als lengte van de staaf en snelheid van belasten veroorzaken verschillen) maar wel ongeveer gelijk. Beneden de elasticiteitsgrens zijn ze practisch geheel gelijk,

In onze constructies wordt het materiaal niet tot de breuk be-last. Gezorgd wordt, dat de spanningen beneden de breukspan-ning

aB

of de vloeigrens crv blijven ( bij het bereiken van de vloeigrens zouden reeds zeer onaangename verschijnselen optreden) en wel met een zekere veiligheidscoëfficient tl.

ov crB De toegelaten spanning

ä

is dus

n

of

nï.

De grootte van av, °Een nis veelal zo, dat

ä (

°E,

m.a.w. in onze constructies blijven de toestanden op de rechte OA; waarbij cr en E evenredig aan elkaar zijn.

De verhouding van a en E, dus de helling van. OA is een

be--langrijke materiaaleigenschap. Men stelt: a =

E.t.

(1)

E

= elasticite:blmodulus van het materiaal.

De evenredigheid van cr en E, of meer algemeen van spanningen

en vormveranderingen heet de wet van Hooke ( R. Hooke#l660). Ook waar het diagram direct gekromd is, benadert men dit tQch door een rechte.

De elasticiteitstheorie in engere zin gaat er van uit, dat de wet van Hooke onbeperkt geldig is.

In veel gevallen is dit een voldoende benadering van de wer-kelijkheid.

Zij leidt tot onjuiste resultaten vooral indien spannings-ophopingen ontstaan bij groeven, inkepingen, gate~. Van ouds her heeft men zich van de resultaten, die de elasticiteits-theorie hiervan opleverde weinig aangetrokken en gebruik ge-maakt van ervaringsregels. Pogingen om een beter inzicht hier-in te krijgen moeten uitgaan van de eigenschappen van het

ma-teriaal voor cr) aE.

De plasticiteitst~...Q.rië·· onderstelt veelal dat het materiaal

voor cr(&v elastisch is en voor a = av onbeperkt plastisch

blijft ( bijzondere onderwerpen in het 5e jaar).

elasticiteits-theorie.

Hier derhalve verder de elastici-teitstheorie. E heeft de dimensie van een spanning: kL~ 2•

plastici tei ts.,-·

Daar voor E = 1 a ::: E betekent

0v ······"··-··/ · the orl: e ·---·--·--···

E de spanning, .die een staaf tot

zijn dubbele lengte zou uitrekken. Dit is uiteraard fictief, want lang voordien geldt de wet van Hoeke niet meer en i's de staaf gebroken. Het doet inzien dat bij de

gebrui-I

I

kelijke materialen E van groter orde is dan de vloei- of breuk grens.Rubber vormt een uitzonder~ng. Hoe groter E, hoe

stij-ver het materiaal₁hoe kleiner vervormingen.

E-.stijf~ sl~p ( hard: zacht heeft te ma.ken met opp.

max. blijvende rek

Voorbeelden van ₁

hardheid:

indrukken van een kogel in opp. en het krassen van een materiaal door een andert

(horizontale afst. A-DJ~stug: taai.

-r9k E3) _bi· µ3) _G materiaaleigenschappen. (J V aB . J bi'euk vloeista2l (st.37) 2.100.000 >2200

>

3700 >22% 0,3 810.000 hoogw.staal (draden2 : 2.100.000

--

12000 4% 0,3 zacht aluminium2 ) _{660.000 250 1100 45%} hard aluminium2 ) 720.000 2000 2300 2% zacht koper 2 ) 1.200.000 2200 _45%

!Hek

naaldhout.l.vezel 100.000 _400-8001_{/ resp.} druk

Vö8r"riié1~en van

-

E3) --~e.k p3)

materiaaleigenschappen, a V c;B _bre

bii

G

naaldhout //vezel 5.000 50-3if

baksteen (klinker) 350

2 _~alleen

beton (vb) 300.000 300 _{0.2 druk}

gietijzer 800.000 1200~ 2 ~

oc

_v<l.%

rubber 40 250 600%

0.5 13

2) slechts een voorbeeld. Er zijn vele soorten en kwaliteiten.

3) de waarden voor Eenµ gelden bij kleine vervornängen.

De veranderingen in dwarsaf'meting zijn altijd tegengesteld aan die in de richting van de kracht.

Samentrekking (.ç.Q!ltracjj..e.)bij een trckproef. Uitzetting (.Q.j.J...a~..a~j..§l_}bij e.an drukproef.

Men spreekt van zi jd_eJJll.gse_,.9_011J.rAç_t_i~ of p.:Uata.t~-~.!.

De lineaire specifieke contractie zij aangeduid met e:'.

De ve.rhouding e:' : e: wordt aangeduid met µ , de

.9gp.j;}'!i_cj;3-~-.9.9..ë.f.fi"Qá.s1...P..i~- (

van P..9iss_9.n ). e:1

= µe:~ (2) ( Vroeger veel

...

-

·

....

gcb:f-uik~ ·m ·e.=-

l.

:..f 1: de contractieverhouding.)

. µ e:

Bij trek en druk staan de krachten_Lde beschouwde norm.ale

doorsne~envan de staaf; het zijn_p..QrE!..~J~-k~.iiSÈ-~~n en de er~

door veroorzaakte .spanningen zijn _p.z-~l.e spa~j.-~p.

In het algemene geval zal de kracht scheef op de doorsnede

staan.

We

kunnen deze kracht P dan ontbinden.in een normale

kracht N _J_ae doorsnede en een ,IDY.13-}'_êfil'.ê-..Qht. D in het vlak

van de doorsnede. Indien deze laatste ook gelijkmatig over

de doorsnede verdeeld kan worden geacht, wordt gedefin~eerd:

schui~,np.j..n~ t

= ~.

( In het algemeen 1s noçh N, noch D gelijkmatig over de

door-snede verdeeld. Toch wordt dan het begrip spanning ingevoerd, doch dit geldt nu niet voor de doorsnede, maar voor een

be-paald :punt ( of eigenli~k een elem:ntair vlakje) er van, dus:

~N ~D

a

=

1F

ent=

1F •

Spanningen worden nimmer direct gemeten; het zijn

hulpgroot-heden, .:Waar -te;·nelllen zi~n..d'a'..>gàvol.gen

van

spanningent b.~v.

v.a:t.m.Yé.r.änd~ringen, maar ook b.v. het dubbel bekend worden

Daar alle waargenomen gevolgen goed kloppen, mag het begrip spanning als een toelaatbare en practisch bruikbare abstrac-tie worden beschouwd.)

De bestudering v2n de invloed Vp.n schuifspannin&,en kan men zich denken aan een schijf. In de practijk geschiedt dit door wringproeven, waarbij de schuifspanningen niet

gelijk-IZZZZIIZ//Z////171

_{matig over de doorsnede zijn}

verdeeld. Bij het gedachten► experiment _{zou men als gevol6}

van de schuifspanning zien optreden een verandering van de hoeken tussen de doorsneden en langs~là.kken.ABCD wordt AJ3C1_D1

• D~ hoek C1_{AC is de hoekverdraaiing} ,: C

-~.---

c'

:>:- D D'"

....

, A

.

, , ! , ' : , ' , ' 1 E i , 1 ' I ' : : : ! ' 1 I 1 : : ' ' .B

.:J..:_ Tussen yen t besta2n aneloge

betrekkingen als tussen Een a~

uitgedrukt door: ,1.:_WG_y (3)

waarbij G de glijdingsmodulus is ( zelfde dimensie als E: kL-2 ) Spanningen hebben grootte, rich-ting en zin (teken). Brengt men een doorsnede aan,dan ontstaan 2

vlakken. De spanningen hierop ( in een bepaald :punt )_zijn gelijk van grootte en richting, doch tegengesteld van zin ( actie = reactie ) •.

Om

een spanping volgens een bepaalde richting vast te leggen dient waarde en te.ken, te worden gegeven. Om het teken te doen

I bepalen door de zin heeft het nadeel, dat men steeds tussen de 2, door een doorsnede ontstaande vlakken moet onderscheiden. Bij normale spanningen is er een physisch veTschil tussen

trek_en druk. Gebruikelijke afspraak omtrekspanningen

+ en drukspanningen - te nemen. Men kan daar zond::r bezwaar wel eens van afwijken ( b.v. als overwegend drukspanningen voorkomen ) , mits dit in de behe.ndeling consequent volgehoudtin

wordt.

î

l

!

î

+

Bij schuifspanningen treedt geen essentieel verschil op bij omkering van de spanningsrichting. Afspraak: positief als de schuifspanningen aan weerszijden van een dunne schijf een

draaiing volgens de klok bepalen. Het niet--easentie1e

van

deze afspraak blijkt, omdat ze afhangt van de richting, waarin men kijkt ( van achterkant bezien tegenge.steld. teken).

Bij normale spanningen is het standpunt van de beschouwer niet van belang. Het teken der schuifspanningen is wel inva-riant t.o.v. draaiingen in het vlak van tekening.

Voor spanningen in een punt heeft slechts betekenis het

onder-scheid tussen normale- en schuifspanningen.

Beschouwt men een doorsnede, dan is bovendien de vraag, _of de

spanningen gelijkmatig zijn verdeeld of niet. Bij gelijkmatige verdeling van normale spanningen, die steeds onderling// zijn, gaat de re sul tante van de spanningen door het -~w.a~r.t~_p_µ_nJ

van de doorsnede. Is dit niet het geval, dan gaat de resultante niet door het zwaartepunt; deze is dan te ontbinden in een

kracht door het zwaartepunt en een koppel (moment).

Een ander bijzonder geval is, wanneer de resultante van alle spanningskrachtjes crdF gelijk aan O is, doch er wel een mo-ment om het zwaartepunt is ( z.g. buigend momo-ment ).

Elk willekeurig geval k~n worden opgebouwd uit de 2 grensge-vallen.

Voor schui.f~paJ:llling~nis de zaak iets ingewikkelder, omdat deze

verschillende richting kunnen hebben. Later wordt hierop

uit-voeriger teruggekomen. Er blijft echter gelden, dat men de

re-sultante van de··.,.s:ohuifspanningen kan opbouwen uit 2

grensge-vallen: een zuivere dwarskracht en een wringend mom.ent. In eenvoudige gevallen ( symmetrische doorsneden) kan dit moment ten opzichte van het zwaartepunt worden genomen. Hieruit de volgende verdeling van de belasting van een doorsnede:

Enkelvoudige gevallen van veerkracht. Kracht. veerkracht

s-g-eval.Vervorm~

I. alleen normale spanningen

1. resultante door norm.ale kracht lengte

ver-zwaartepunt. ( N ) andering

2. resultante al-leen o.oIJ.ent om zwaartepunt

(rek of stuik buigend moment buiging

-,

~pkelvoudige gevallen van veerkracht, Kracht Veerkrachts-,ç:eval. Vervorn II. alleen

schuif-spanningen.

3.

resultante doQr zwaartepunt a;

1warskracht afschuiving

( D )

4.

resultante alleen wringend momeit om zwaarte moment

punt) ( T )

wringin₆ ( torsie )

a) deze definitie geldt slechts voor symmetrische doorsneden Ook hier weer aan te geven grootte en· tekenoTekenafspraken weer zo, dat beide vlakken van de doorsnede zelfde teken hebben.

N en D

.

.

dezelfde afspraak als voor cr en 't.

T: +, wanneer draaiingszin met klok als men naar de vrijgemaakte doorsnede-vlakken kijkt •

. M : een consistente afspraak is niet te maken.

·-.

Voor horizontale liggers neemt men: + wanneer het kromte middelpunt boven ligt en aan de

onderzijde van de doorsnede trek optreedto Bij een samenstel van horizontale en verticale staven moeten dan anomalieën (tekenwisselingen) optreden.

De voo!'naamste acteurs zijn nu geintroduceerd. Het

a, 't ' E,

y.

E, µ,

G.

N, M,

D,

T.

+

-zijn:

Eerst volgen nu enkele algemene stellingen; daarna komt de behandeling van de enkelvoudige

4.

Fundamentele stellingen. a. Superpositie.

gevallen van veerkracht.

De elasticiteitstheorie gaat uit van de wet van Hoeke, dus van de lineariteit van de betrekking tussen spanning en vormverandering. D::_•t 11etekent· dat men de vormveranderini.:,en tengevolge van verschillende spanningen mag

auparna,ru;-~Jl,

.

- cr1 a2 . ( cr1 + cr2)

e:1 =

E

~2 ==

E

e:1

+

2 == E == e:1 + e:2 °

cr geeft geen yen t geen E.

Deze laatste uitspraken berusten erop, dat de vormveranderingen klein zijn. Is b.v. y groot₇ dan naderen de 2 doorsneden elkaar.

( Ey = 1 - cosy= 2 sin . 2

7,

1..., ~ 1 2 d kl .

2 y , us ein

van hoger orde ). Dus bij rubber voorzichtig zijn.

Bij vloeistaal voor i = 1000 y :=îfO(r· 1 en Ey =

__ j___ X

= 1600

_{"8o6 '}

1 terwijl voor a

1 = 1000: E = 20wOd• Dit superpositiebeginsel in het klein brengt in het algemeen mee het superpositiebeginsel in het groot. Een kracht P~ op een constructie geeft een vervorming 6

1 ; een kracht P2 een vervorming 6₂, dan ( P₁ + P₂ )---":::>ó~ + 6₂ •

Want P~o- + -t __,_ E + y -.... 6 sup. beg. in klein

Dit gaat echter slech~s op als het verband tussen Pen cr niet afhangt van P. Dit is slechts het geval als de vervormingen zo klein ~ijn, dat de constructie, waarop P

2 ( na P1 ) komt te werken, practisch dezelfde is als die waarop P₁ werkte. Zijn de vormveranderingen zo groot, dat zij van .invloed zijn op de krachtverdeling, dan geldt het superpositiebeginsel niet.

Triviale voorbeelden zijn aJ.s, de constructie door de vormver~ andering op een nieuw steunpunt komt te dragen.

Later hiervan belangrijker voorbeelden.

Het superpositiebeginsel berust dus op 2 voorwaarden. 1. geldigheid van de wet van Hooke,

2. vormveranderingen zo klein, dat zij geen invloed uitoefenen op de krachtverdeling.

b. Gelijkheid van schuifsP§:nningscomponenten in loodrechte vlakken.

Denk een kubusje materiaal4 Krachtop elR vlakje= pdF.

Deze ontbinden in een normaalkracht ~dF en 2 schi:u..~6_po.Al..'.lings componenten...l.de ribben. Indien kubus klein genoeg is, ver-schillen overeenkomstige spanningen in tegenoverstaande zij-vlakken steeds mindar b.v. ~

'bä

a~ = ax +

s.Z-

dx.i.

,I'

De kubus

1s

in evenwicht, dus er bestaan

6

evenwichtsbetrek-kingen tussen de spanningscomponenten.

z

Indien men de resultanten volgens de asrichtingen

= 0 stelt, vallen alle ter-men van de orde pdF tegen elkaar weg;en de betrek-king wordt gevonden

tus-sen de afgeleiden: ècrx

bx-

·

enz.

Indien echter de momenten worden genomen ten

opzich-te van 3 assen door het centrum van de kubus, blij-ven termen van de orde pdF over. E.v. een as// X-as als momenten-as: crx

i s ( / as, ay_en crz snijden de as, evenals een eventuele

masse.kracht,

"'zx en

tyx zijn//

de as; ,;xz

en ,;xy snijden de

as.

Doch de

2 kra.chte.n "'zy•dy.dx vormen samen een koppel, ter grootte "'zy•fö::.dy .dz ( van rechts gezien positief ) ; en de 2 kracht-en ,;yz•dx.dz .. vormen een koppel ,:yz•dx.dy.dz ( van rechts gezien positief ).

DUSJ

"'zy•dx.dy.dz + ,;yz•dx.dy.dz = 0 of:

,; !!! - , ; = ,:

. zy yz x ( 4 )

M.a.w. deze beide spanningen zijn

of

beide naar een bepaalde ribbe dx gericht of er van af.

Als in Jén van 2 onderling loodrechte vlakken een schuif-spanningscomponente aanwezig is, die loodrecht op de snij-lijn staat en er ~:~raioe is gericht, dan is er ook in het andere vlak een schuifspanningscomponente

i

snijlijn en er naar toe

van af gericht.

De schuifspanningen worden steeds beide of naar of van de ribbe afgericht onder-steld; dan kan men dus zeggen,; =,;

zy yz

en hiervoor schrijven i: .. r ( naar de as, .A

/ /

De tekenafspraak komt dan maar voor een van. beide uit. Dit brengt in het algemeen geen moeilijkheden.

Gevolgen: a) In een doorsnede _J_ vrije rand kan bij de rand de schuifspanning geen componente hebben J_ rand.

b) Komt in de rand van een doorsnede een knik voor, dan is ter plaatse de schuifspanning = 0 ( noch componente.l.AB, noch componente J_ AC

A B

o.~..tr~J..nB....,Bl_s_S~JlJ.;,_.Q. ilP. p.. C

Deze materiaalconstanten zijn niet anafhankelijk van elkaar. Twee ervan bepalen de derde.

Denk het eenvoudigste s:panningsgeval: een trekstaaf.

A

4li--l

~ ~ ~ ~ (j ~ 4 ' -~ + -~ ~ B C ' \1 ·----···. ..,J'----·---- --•.•• -_{__ ... -C"}

---·

..

----··

.---·· D ' Il

----

_,.. -... ---

----

--

---

.. --· ·---·---... E In de normale doorsne-den en de J_ daarop staan-de langsvlakken trestaan-den geen schuifspanningen op en kan G zich dus niet uiten. Breng daarom 2

willekeurige onderling J_vlakken aan, b.v. CDE ( de snijlijn door Dl.staaf-as; vlak van tekening door staaf-as en.l..snijlijn ). Breng door D de normale doorsnede AB. Nu wordt de belasting aangebracht, die een normale spanning a in de normale door-snede veroorzaakt. Beschouw vervormingen t.o.v. assenkruis

AB en DD' • Noem AD = a,

L

ADC = a ;

L

BDE =

f3 • (

a + f3 = ~ )

Specifieke verlenging e:: =

f.

Specifieke tie E 1= µ

f

= µe::. Door verlenging komt C

tractie in C" • CC' == e:. AC = E.a. tg a.

Projecteer C II op DC in C 111 _• zijdelingse contrac-in C1 . , door

con-c'c"

= µ. e:, AD -- µ. e:.a.. C''.c"'= C1C11 _{sin a +}

CC1cos a = µ.e:.a.. sin a + e::.a.tg a. cos a =

( 1 + µ )~e::.a.sin a.

L

CDC 11

~ .9''

c_

111

~

i.J_.±_.J.l_j __ e::.,!_ -~~_ê_ip._~ = ( 1 + µ). e:. sin a. cos a

. DC 111 _{a . •}

Dus onafhankelijk voor a = 0 en 90°

cosa

+ e.a. sin a

van a, doch afhankelijk van a, en wel= 0 (normale doorsnede van het langsvlak) en

1 450 •

maximaa voor a =

Op dezelfde ~ijze:

LEDE 11

= (

_{1 + µ ).e:.sin /3.cos}

_f3

= (

_{·1 + µ ).e:.cos a.sin}

_a:

Dus hoekverdraaiing y van de hoek CD

E (

oorspronkelijk recht):

y = 2 ( 1 + µ ).e:.sin a.cos

a.

Be schouw nu het evenwicht van moot A.DC. O:p AC en op de

zij--vlakken geen spanningen. OJ

AD

een kracht a X

b (

breedte )x cr

in..,de richting van .de .sta,'lf".as • .

Dus ook op DC. Dit vlak is groot

c-0-:-

ëi

b , d11s. d~ spapning

p (//staaf-as ) wordt : p =

a

cos

a.

pis te ontbinden in een normale spanning cr en een

schuif-spanning,: volgens DC. ,: = p sin

a,

dus~= cr sin a cos c.

( van D af. ) •

Op DB: ,: =asin~ cos~= asin a cos a ( van D af ), dus zoals het behoort, gelijk.

ten y ~oren bijaen, dus geldt: ,: = Gy, of

,: a sina. • cos o.

.E:...

=

y

=

2C

·1-+"'µ·

-r.·i·.~sln-

a·.ë~os-c

:

·

=

d .Qr~M-Y9.0"J;_;v.. •.

Beziet men een kubusje µi t een trekstaaf·₁ dan wordt

~én

zijde

langer in verhouding ( 1. + E ) ; de beide andere worde:'1 korter

in de verhouding (

l -

e:1 _{) .}

He.t volume wordt dus groter in de verhouding (

1

+ e: ) (

l -

e:1

)2= = 1 7 ( e: - 2e:1 ) + termen van hoger orde ( e: is klein, b.v.

0,001 ) ..

Het is niet denkbaar, dat door aan een materiaal te trekken,

( moleculen uit elkaar) het volume kleiner zou worden.

(Voor ~ubber isµ practisch = 0,5;dus geen volume verandering door trek of druk).

µ meestal>,0rl.5

à.

0,20,in elk geval µ)-0; veelal 0,25(µ(0,35.

Voor vloeistaal valtµ globaal op

0,3

te stellen.

.. . - • _. . . - -•- - - _._.._ - • .,... - - .. - - .,... • - - r • - • •• - .,... - .. ..., - - - .._ • • • ~ - - - ... - -.. ..- • •• .. • •- - • ... - - • _ . _ ... µ ₌₌

_0,5

_0,4

_0,3

0,2?

0

G

0,33

0,36

0,38

0,42 0,50 E Ev1) C'.)

E

1,67

o,84

0,56

0,33

-

---...--

-

--

-

---

---

---

-

-

·

-

·

---

.,.

-

-

..

..,._

-

--

..

-

--

-

--

...

-

... .

-

...

-

... . 1 ) zie onder f ( 8)

Nog overtuigender blijkt de grens voorµ uit het volgende. e. 13.?.J..e~_e,r_ipg_y_~Jl.-z;j._j_d_~_lj.p_g_s~ . ..Q.9P.JiF.ê&:tJ.e_ ( dilatatie )

Druk op opgesloten materiaal.

a Door de neiging tot dilatatie ontstaan

zijdelingse krachten a~ die de dila-tatie verhinderen.

I I

Als dilatatie slechts in een richting belemmerd is~

. 1

~

- ffa = o,

dus cr1

=

µa.

Vormverandering indrukrichting: . . .

a 11a1_{_ a 2 a ,}

- E

+

E - -

Ë ( 1 - µ ) = Ê• waarbij E de _s_e_hij}:lb~re. I I

elasticiteitsmodulus bij verhinderde contractie in een richting voorstelt.

. E

E 1 =

₁

-:.-µ'2'"-

(

dus)E: voor staal b.v. l.~ 1.0 E ) ( 6 )

Indien contractie in alle richtingen is verhinderd: ( index~ voor drukrichting,; index₂_

3 van 2

-1.

daarop staande richtingGn: e:, =

_{- E.}

01 + -µa2 -Ê-· + _E

~~.l

-. . a _{2 2 <J1} . 1 ₍ ::i:-

E- .

1

- -:1»--

-

)

= - E

Il

)

. ~ µ µcr1 0"2

µa

e:2 = ;;;-·

-

E.

+

__ J_

=

o.

.w E µ 0'2

=

a =---.a

µa1 _a2 a 3 ·1 - µ 1 e:3

=

,-·

+

~y-

-

-

-

î

=

o.

E Il = _____ 1 -!1 .,a:;:,r::. _ _ _ _,, · E ( voor staal

1 - µ - 2µ2

= 1, 35 E ) (7)

Voorµ)

0,5

wordt

E

II

negatief, wat in

elk

geval absurd is.

f. Aizj.~~ige dr~.

Indien een lichaam onder alzijdige druk komt, wordt de spe-cifieke lengteverandering in elke richting:

De specifieke volumeverandering wordt: 3E=[( 1 - E )3], dus:

Indien men de .Q.9JP..P..r~§.§.tbJ)._i_t_eJ.:t_sJll.9.9-,Y-]..Q.ê. Ev definieert door

E

V

, dan blijkt, dat

( voor staal: ·E

1~

( 8)

Men kan Ev - met E, Genµ - als materiaal constante beschouwen, waarbij dus geldt dat 2 van. de 4 onaf'h.ankelijk zijn, doch de beide andere uit de 2 gegeven constanten kunnen worden afgeleid. Voor µ ,

=

0,'5 wordt E

=

C/.J:, dus voor onsamendrukbare ( vloei ) ·· stof wordt µ = 0,5.~·oor µ>0,5 wordt Ev negatief,wa:t· abemk'd is. Rubber gedraagt zich min of meer als vloeistof.

5. !{_§._r~j;.9.r.t§.:ti.e}c_L.&t.,C?_9jh.e_g.en_ Y..O.QP. _d_o_Q.!'.§.n~_de~.

à.. J@.fi ni_ti~_._.

In de elasticiteitstheorie treden voortdurend

~2..9.J'~P.~§~n

op en een essentieel vraagstuk is om uit de op een doorsnede werken-de krachten werken-de ~panningen in verschillenwerken-de punten van werken-de door-snede te bepalen. Daarbij moet gebruik worden gema.:~kt van en-kele, voor de doorsnede karakteristieke grootheden. Het is nodig, deze grootheden te leren bepalen, waartoe verschillende eigenschappen ervan moeten worden gekend. Samen te vatten als j;y~eids_Kro_oth_§lde.n.

In de eerste plaats is dit de .9.lill..~1'.YJ.~~--.Y.a.!Lii.§_.§._0.9..r_s.:i;i_e_d~_ F of•i.n .analogie-..met wat verd.er· komt· - p dF. D1mens1e: . . 12 • De volgende· grootheden gelden t.o.v. een bepaalde lijn

L.

Indien met y de afstand van een punt van de doorsnede tot deze lijn wordt ·aangeduid, geldt .bij definitie:

§__tati s .. 91LJP...9J!lên~ SI, =

✓/

Y·d.F. ( S ) Dimensie: 13 •

Tr__§!.agh..§J.li_~.9.ffe~l)..:t._ I₁ = /Y2dF. ( .I ) Dimensie: L4 •

De termen vans, en dus

s,

kunnen~ of - zijn; I is altijd+.

(X-as volgens staaf-as). Dan geldt dus:

..

Iz == /y 2dF en Iy = fz2dF.

y ( let op verwisseling van letters: dit

0

Tenslotte nog

•· .

=

.f

r2dF (IP) §.i§_t_ap.§,_ van de

werkt soms verwarrend).

Bovendien d.efini eert men dan :

.9..1?Jl.Ji.F..iJ.u_ga_}.lm_orn.?11J: I

=

fyzdF ( I ) ,

yz C

dit kan weer

~

-.

o

of negatief worden. ( dient alleen

àls

hulpgrootheid, ter bepaling van

I;

heeft gaen zelfstandige betekenis.)

t.o.v"een punt: .P..Q.1§1,,;i.}:'_ .:tP.§l.!3,,gtl..~j.§_sw_oP.1_ep.j;: I O =

.ê

=

.{_y_q.J __

_

(

verg

~

) geeft de gemiddelde

F -

f

dF - • Eg

doorsnede t.o.v. de as.

i

=~

-

~

-

vfi-v-

gee:ft de middelbare a:f tand tot de as,

~

i heet de .:t..t.~a_g~J..4_s_s.:tF.!l~.+-•.

zwaartelijn ~ l i j n ten opzichte waarvan S:::: O.

Alle grootheden kunnen ook op gede·e 1 ten van doorsneden worden toegepast.

s,

I, Ic

en

I

worden ter afkorting gebezigd.

:p

f.o.v.

S = 0 ( I = 0 (

C

een symmetrie-as ( de Y-as in steeds naast ydF ook -ydF )

steeds naast yzdF

-·-·- y

ook ..:.yzd]')

b

= 3

y 1 + j h ----+---, 2 ~ZZZ~~ dF-= bdy 1 y h · ·-·-·-η- -·- --·Z 0

- 1

h 'l_l

_ib

_

_J

2

-

~

/ lh

7,

i b i ./' , .................... ,r '.~

,h-y

~,:~':· ....

~- ··+

··F·

1

h

0. · 'ic ~~---·-Z ~ ... b ... {

Rechthoek_ t.o.v._. zi_jde.

-

.

S

=

1

b ( h2- 0 )

=

1

bh2 = = bh . 4\ { h. ( F X gemidd. afstand I _-3

--

i

b ( h3- 0

) i-1.

~~~

.

:

\

-

·-

...

-

-., = bh ♦ (~· h\f3

)2.

Jll3-_rj3.lej._l_Ofil'.§t_rrl_.1_.!_Q.gy_._

~.i..19-~

.

•

verandert niet, als het wordt ver-schoven tot rechthoek bh.

s

z =

1

bh 2 • I z =

l

bh3 Driehoek _t_. o. v. __ zijde. S = bh .:.. { h =

j

bh 2 = o/1by3 =

_J.

bh3 12 • p,;r-_i_e_b._q_~}c_j;_._o_!_"IG_._zyvi3-.?J'_t_e _p_µp.3. 1 Stel I z •

.

1

-I

_z + . . . Iz' =.

d

bh3-

.

r¾

bh3

a

bh~ t 10) )

.Qáik₂)._j;_,...9J_y_._J.Jjp. __ do..9..r-=~aj..§§..e)._p.:µp._½.. I = fby2dy, waarbij y. = R sin a

r

.. ·-•>i.:·-en b = R cos a Eenvoudiger IP =

j

r 2dF = = 0 ) r2, 2n , r, dr = 2n

t

=

~

R4, ( 11 ) Daar r 2 = y2 + ; 2 geldt:

IP= f(y2

+

z2)

dF =

=

j

y

2

dF +

/z

2

dF

=

Iz

+ Iy • ( geldt algemeen )

In ~it geval is Iy =

Iz,

dus

Iz

=

1

I

J21

R4 } ( 1 2 )

2 p ~

b. Verschuiving van assen.

Voor meer ingewikkelde gevallen is het nodig, te weten hoe de traagheidsgrootheden van een oppervlak veranderen bij transformatie van de assen (F verandert niet). Eerst voor verschuiving van de assen.

, dF , :< • :< : : 1 ly,

y;

l

,

t·-··-·4--· --;.---·--·Z

!

ie,

~-

-

---·-·-~----·-Z

Gegeven de traagheidsgrootheden t.o.v. as

z.

Gevraagd die t.o.v. as

Z

1

op af-stand a en// aan

Z

Dus.: y 1 = y - a

sz,=

f

y'dF = /ydF

Iz,=

jyfdF = j y

2

dF 2 = Iz - 2aSz + a

F.

j

adF = Sz - aF. 2a / ydF + a2/ dF = Omgekeerd: _. S _z = S _z 1+ _-aF. 2

I

_z =

I

_z 1+

2aS

_z ,+

a F.

(S _z en S , _z kunnen negatief zijn, dus tekenwisseling geen princ. betekenis).

Men kan zich afvragen: wanneer is Sz* =

o,

dus

Z

1-as een zwaartelijn.

s

0 = Sz -

aF,

dus a

=

y₀

=

-j.

(13)

Indien de Z~asäen zwaartelijn is ( Z

0

-as )

• wordende trans

formatieformules naar de Z--as:

S = aF. ( teken hangt af van richting van a t.o.v. 90s.

z

Y-as ) ( 14)

fiz

= Iz

0

+

a~.

J

belangrijke formule ) . (.15)

Indien men moet transformeren tussen

--L"

Î

zo

1 1 1 a2 2 willekeurige assen

z

₁ en

z

2 kan men dit.doen door: 2 I ₂ = I ₁ + 2aS 1 + a F,

--- " ·--

-

--·!-

-

·

..

·1---

·

-·--·-·

z1

l

ia

---~

.

.

. --~--- ----··· z

_{. 2} doch beter via de zwaa~telijn

Z

0 •

2 · 2 0

r

₂

=

I 0 + a2 F. en I 1·

=

I 0 + a1 F · 2 2 I2 = I1 + (a2 - a1 ) F. ( Y₀- -en Z 0 - as beide zwaartelijnen, Zo

.ffe,:ç__t}.'~a.&.l:+.~á-.~-sJil_Offe.9P.J I "j",.,!_o_._v_.~ .e.e.n_ .z.w_a§l;-_t&.l.i_j_n __ i_s. Jf~~~ dan het traagheidsmoment volgens elke hieraan// lijn. Voor

het

centrifugaalmoment geldt

dit

piet.

1 3 · 1 3

1

_z=

_Ï2

_{aoh +}

_l2

_{b1a1 +}

( 1 1 )2

+ a2b2

-2

h -

2

a2 • ·

Voorbeeld: Gevraagd de tra3gheids-grootheden t.o.v. horizontale en verticale as door hart lijf • .. Verdeel profiel in _. 3 rech~hoekcn.

, 1 1 · Sz = 0 + a1b1

(2

h 2 a1) + + a2b2 (-

1

h +

1

a2)~

sy

= O + a_{2b 2} ({a 0 + { b2) - a 1 b1 (l a . 2 . o +

.1.

2 b. 1. ) • · 1 1 · 2 1 3

a1b1 (2 h -

2

a,) + 12b2a2 +

I - -_j_ a 3h +

-J

.

a· b 3 + a b (

.1

a + 1 b. ) 2 + 1 a b 3 +

y - ·· 12 0. 12. 1 1 1 1

2

0 2 1

12

2 2

Iyz

0 0+a1b1 ( 1 1 _{) ( l a} 1 ₎ 0 + = + _2h - -₂ · a ₁ X - _{2 0} + -_{. 2} · b _{1 _} + + ~2b2 X

-( ·2

1 h _{- 2}

.J.

a ₁ ) ( -- a 1 _{2 0} + -1 ₂ · b ) • _{2 .} b.v. h ==

20,

b1 == b ₂

=

8, a~ == a2

=

a ==

3

0 . ) X

203

(

§_JC_

.

J?

1

2

)

₂

2000 +

36

3468

I

=

12 __

_

__

-

+ +

3.8.82

X ₌₌ + z

12

=

5504,

~

)~Je~

_2_0

J __

x _

_e}

1

2

I + ( +

3.8. 5-

·

) X 2 ₌₌

45

₊

256

+

1452

y

-

12

12 =

1753,

F

=

60 + 2

x 24

=

108, i z iy

Y'

~ ~

22..Q!

-=

7,14,

- 108

-

_~

_~

=

-

4,03.

p ►, '1 ,, ' 1 · ! \Y' Y ~ 1 \ 1 1 ' . P" Evenzo: S = S cos a y• y Dus: als de Z en Y -2

De assen worden gedraaid over een

La ;

de nieuwe coördinaten zijn uit te drukken in de oude:

z•~ z

cos a + y sin a ~

y'=-z

sin a +

y

cos a)

Hiermede: __ Sz'

=/y

1 dF

=/y

cos a dF

- fz

sin

a

dF •

sz,=

.

Sz

~os

a •

SY sin

a.

+ Sz sin a. as zwaartelijnen zijn ( S = S = 0 ), z y ==

dan is.elke lijn door O een zwaartelijn en Q het zwaartepunt.

Uit S = aF bij verschuiving a t.o.v. zwaartelijn volgt dan,

dat een lijn niet door O nimmer een zwaartelijn kan zijn.

Dus om zwaartelijn te zijn is het nodig en

ioldoende

dat de

lijn door het zwaartepunt gaat.

t

Dat het snijpunt van 2 willekeurige ( niet-1.) zwaartelijnen het zwaartepunt is, volgt .. ook uit bovenstaandefarm.ules. Als

Sz en S

2 , =

o,

is ook SY =

o.

Voorts:

Izt

~

Ia

~!

yfdF __

~

jy~ cos2a aF - 2 / yz sin a. cos a dF + _

+

J

z

2 sin2 a dF I = I cos2a + I sin2

a. -

2 I sin a cos a.

a. _$!•·---Y---··--·--··--·ZY. -· .... -· _____ _

(17)

-- · I

_{J_2 __}

+ I

_{_}

_{'3 +}

_J2

I - I

_{__}

_,.X cos 2a - I _zy sin 2a. (17a)

Evenzo:

Iy,· = _{I 90o} + a = IY cos2a + Iz sin2a + 2 Izy sin a cos a =

1 r~ rr

a positief te rekenen als de Z-as van de

VZ-

as naar deiJ-as draait.

Iz,

+ Iy, = Iz + Iy.

_Vo_o.~ _oentri~ugaal ~oment: _..

Ia;90° + a

-/z

2

sin a

=

Iz'y•= fy•z'dF

=/y

2

sin a cos a dF

-cos

a

dF

+foz (

cos2a -

ain

2a ) dF.

I

_a,

_{90° +}

_a

₌ I _z §in _ ₂ _?~ - I _y ,êJ_:çi_ -~ ₂ + I _{zy cos} 2

_a.

I - I

r

₀ ,

90

a + a =

Izy cos 2a.

+

_z

2

---Y

sin 2a.

Neem

a.

= 90'0 . I +

I

I - I

I 90

o = I _y = .J __

2 __

3. + _g,__2 __

.x

X - 1 I _zy• 0 . I + I I

_{- I}

1_180°

=

I

_z

=

_y2 __

z.

- __ 1[_ __ 2_J.. X - 1

- I

_zy

•

=

0 Iy

=

Iz

I

_ZY

•

(18 )

Dus niet de oorspronkelijke waarden, want Ic verandert van teken.

Bij 90° draaien krijgt men immers niet hetzelfde assenkruis, doch een assenkruis, waarbij de Z-as van richting is om-gedraaid, dus z wisselt van teken Gn

I

ook.

C

Bekend is,dat

I

steeds positief is. Van belang is, wanneer

I

een maximum of minimum passeert. Uit de uitdrukking voor

I

als functie van a dus de extreme waarden bepalen.

dia

-d,.-·· = 0 == - (I: ---I) sin 2a - ·2 I cos 2a, dus voorwaarde:

" Z-· ·· y zy tg 2ct 0

____

,..,,... ..

________

.

---·-·---..

·

---·

(19)

Hieraan voldoen waarden van

2~

0 , dien uit elkaar liggen,

dus waarden van a

0 , die ~ uit elkaar liggen; dus 2

J_

el-kaar staande assen.

l

dI

De waardedà.,g_ blijkt te zijn= - 2

Ia,

₉₀0 +

a,

dus als

dia

-_{da ~--}·- - - 0 ( extreme waarden van I ), is het centrifugaal.moment

( 20)

Om na te gaan of de eJ:treme waarde max. of min. is, bepa:ü t

Iy) 2

cos 2a +

2

I ~sin 2a. zy

I I

Als voor een der waarden a

0, die aan de voorwaarde voldoen,

deze uitdrukking een bepaal~ teken heeft, zullen voor de andere waarde a₁ == a

0 + 90° de tekens van cos 2a en van sin2a

juist tegengesteld teken hebben, dus ook het teken van d2I

(l

dä-

keert om,

Dit betekent, dat Ia Y9..9'$_d~~-..S.J).!? __ l l . .. !!Jl_yim_xp.JW!: -

!tn_ ..

v.9.9J.

j\el .JYNe.:re_~~'.. j}_§)Jl_.!Dim!ll~ Vertoont 0

Deze 2 assen heten p_q_o.J9.,ir.,ê,_~~eJA§..:-M...ê~E• Ze staan lood-recht ·op elkaar; het centrifugaalmoment =

o,

en terwijl

de ene as het grootste traagheidsmoment van alle door het punt te trekken assen vertoont, bezit de andere het kleinste traagheidsmoment. Meestal zijn alleen de assen door het zwaartepunt, de centrale

hoofdtraagheids-M..ê~ van belang. Overigens maakt dit voor het vervolg

geen verschil.

In het vervolg worden de bij de assen behorende

hoofd-traagheidsmomenten aangeduid met

r

1 en

r

2, waarbij I 1 het

grootst is.

Om

r

₁ en I ₂ te bepalen, wordt

gesubstitueerd. Eerst sin 2a

0

- I

sin 2a = + _ _ _ z __ y _ _ _ _

- o

~

(.1

z 2 - Iy/ + I

z/ '

(bovenste tekens voor I1)

Oo. in de transformatieformules en cos 2a 0 afleiden uit tg 2a0• I - I 2 z y cos a 0 = +

i

,_.;=:::::::===;.:====-\ 1 f I - I~,. \ 2 I 2 ~

~

~

½4

..:t..../. + zy

I

~ zy

Als men uitgaat van de hoofdassen worden de transformatie-formules eenvoudiger: Ia = I~ cos2a- +

r

_{2 sin}2a. I .. I1 I2

«,

90° + a = 2 2 1 ·· I1+I2 _{I1 -}

_3

2a ( 22 ) =

-~

·

2--·

+

_{- 2}

_-

cos

sin 2a = ( _I1

-

_I2

) sin a cos

aC

?3. )

Opm. 1 • Als

r

₁ = I2, wordt

_-

Ia =

I

1 =--I2

-en Ia

_90°

=

o.

'

+ (l

Dit betekent, dat elke as als hoofd-as kan worden beschouwd.

0

Dit is vaak gemakkelijk;. b.v. voor een vierkant. is .r

1 =

j_ 4 · 1 4

=

r

₂

=

1

₂

a , doch dan is dus ook IA en IB =

₁₂

a

2.Twee assen, die eenzelfde hoek a met een hoofd-as maken, doch in tegengestelde richting, hebben gelijke I, doch hun 1

0 is gelijk maar tegengesteld van teken. _

3.Als

I

₁

t

r

₂ is

Ic

alleen=

0

voor een hoofd-as,

P.llJL.ê~~-~-tl'J.~J:l-..?.,..l ti_j_d .. ..êJU.t hoof d,:.,.M4.

I I B Dus geldt:

LcMD

= 2tt

~. r

1 + I2 , OM = -

_{2 -}

.

Dus: ~. I1 + I2 OD = - - - - · + 2 .. I 1 - I 2· CD ·= .. -- 2 De transformatieformu-'. les zijn vatbaar voor

een nuttige ,grafisshe !_nt~.J'.P1'.ê..tatie met be-hulp van de ~1',!3,~,ghei.s.s=. cirkel van Mohr·.

____,,_,_

______

----

·

-

-·

Men construeert een

cirkel en een middel-lijn, waarop een punt

0 buiten de cirkel, zodat:

OA

= I₁_, OB = _{I 2 ,}

LcBA

=

La.

1

Dus: elk punt van de cirkel stelt een as voor. De abscis geeft

I, d~

ordinaat

Ic(

.

t.o.v. de as en een andere, die hieruit door 90°. draaiing tegen

d.i.

klok uit ontstaat ). Punt A stelt de 1-as voor; punt B de 2-as.

Bij JL vindt men de

La

met de 1-as; bij A de

L

90

°

-a

met de

De as OZ wordt voorgesteld door

c.

2 z1 De as _door

_o

oz

1 1• wordt voorgesteld De As

oz

2 wordt voorgesteld . Z3

z

door

o

2 . De as

oz

3 wordt voorgesteld 1

z

1 3 door

c

3

De cirkel kan ook gecon-strueerd worden, als IY,

Iz en Iyz zijn gegeven, men vincl, dan in figuur

I

1 , I 2 en a.

Heeft men in de doorsnede de twee assen OZ en OY ( met Iz, IY en Izy ) getekend, dan zijne~ nog 4 mogelijkheden voor de ligging der hoofd-assen. De 01- as~ met grootste I ) kan lopen volgens

OA, OB,

OC en OD.

y D C Geval I: _Izy +, II: ) / +, III: Il

'

IV: I l

'

Welk

geval zich voordoet hangt af van

de tekens van Izy en van

Iz -

IY. Izy valt hier niet te beschouwen als behorende bij een assenkruis, doch bij een as, waarbij de bijbehorende as ont-staat door draaien over

90°

tegen de klok.

Ook a ~m~et zo warden gemeten, dat+

be-tekent, dat draaiing van de hoofdas na~r de beschouwde as tegen de draairichting van de wijzers van de klok gaat.

I _z

>

I _y afb. Z-as in

o.

>I

<

J'I

,,

,1.1

u

>

n Il JI

"

<

Il IJ

,,,

Il

Men kan deze₁₁formele" bepaling van de ligging van de hoofd-assen steunen door een meer aanschouwelijke redenering, berustende op:

b. ngrootste" hoofd-as als materiaal er ver vandaan ligt. Als bAv. I + als materiaal overwegend in het leen 3e

C

kwadrant ligt, dan zal de grootste hoofd-as door het

:2e en 4e kwa::irant .gaan.

In onderstaande tabel zijn voor alle 4 gevallen bei-·

de bepalingen toegepast.

Afleiding ligging grootste hoof-as, als grootte en richtingshoek bekend zijn.

--Gegevens Afleiding uit Resultaat Afleiding door

traagheidscirkel aanschouwing ,- _:t-1 ~ N Ot-1 b,- ..p H H t--1 0 0 Cll r--1 0

s::

s::

11) s:: _{' ..p:} ro 1

.

.

ro H ro H cd ·rl ~ t> >. ,0 ,0

>

ro

>

cd 1 o·n Ci) _N N ct-l ~ <tl ro ,- ,- ,- ·rl·rl t.!, _H H

<

<

t:::S i::: :t:::S

s::

0 0 o ro.o I + + D C -,300

-30°

OA 2e en 4e

oz

.II +

-

D' c1 _~ ..,60° _·=-· ::-60° OD 2e en 4e OY I I I

-

+ D

C3

---30° +30° OB 1e en

38

03

IV

-

-

D'

c

₂

·

"'!-60° +60° _-

oc

1e en 3e OY Een andere grafische weergeving der formules is de

~~ppg-h..ej._d_s§JJ.j.~. H.et prac.tisoh,: belang hiervan is kleiner dan van de traagheidscirkel van Mohr~ doch bij theoretische

be-schouwingen kan deze interpretatie nuttig zijn. Uitgegaan wordt van de formule 15a.

- 11 + 1 2 I1 - I2 2 2

I ex = _{2 --} + - - -

_{2 · •}

·

·

cos 2a = Iz cos

a

+ Iy sin

a.

( coördinaat-assen volgens hoofdtraagheids-assen ). Voer de traagheidsstraal in door delen door

F:

ia* = iz

~

cos2a + iy

~

sin2a. i stelt voor de middelbare afstand tot de betreffende as; het ligt dus voor de hand i als vector _L de as af. te zetten. De meetkundige plaats van

1

de uiteinden van deze vectoren zou een goede weergeving bete-kenen, doch deze meetkundige plaats is een onhandelbare 48 graadskromme

( y2 + z2 )2 = iz2 :Y2 + îy2z2.

van de vectoren een lijn.1-vector wordt getrokken en de omhullende van deze lijnen wordt bepaald~

Y De vergelijking van een dergelijke

lijn is:+z sin a - y

+

\I

_~ i 2 . cos2a + i 2 • z . y met tg a = p cos (l + . 2 s1.n a. =

=

0

=

O

of F(z,y,p). ( a ) Om omhullende te bepalen:

stel~!= 0 en elimineer p tussen

deze vergelijking en ( a) . 2 2 · 1.y p = -2 i .p

-i-·

i

~

p Dit i fl a: z p - y - -

Y% .

..

= ·

O ( C ) of : P = · --

r-

2 l.y z -

i

i 2 + z z2

+

-:--2'

= 1. Vergelijking der traagheidsellips. 1y

( 24 )

Kent men dus de hoofd~assen .en~de hoofdtraagheidsmomenten,

dan kan men de traagheidsellips tekenen. Het traagheids-moment t.o.v. een willekeurige as wordt gevonden door

raaklijnen aan de ellips te trekken// deze as:,de afstand van deze raaklijnen tot de oorsprong is de gezochte

traag-y

heidsstraal (voor ITmerieke bepaling of constructie .is dit uiteraard wei-nig geschikt),

I I

Een stelling is nog van belang: deze heeft betrekking op 2 toegevoegde middellijnen van de traagheidsellips en op het scheefhoekig crentrifugaal-moment, dat als volgt wordt

gedefini-eerd:.

I;

=

fe,-qdF •

Als de scheefhoekige assen re s:p.

L L

a

1 en a2 maken met de hoofd-a~sen, g~ld~:

~-as z = ~cos~,+

n

cos ~₂ ~ y =

~

sin a₁ + T) sin ~ 2

i

- z sin a₂ - y cos a₂

~

=

---sln

·c·a.·

2• ·:..·

·a·~,-

--

en

--""':;::::;.._...,_~:....----Z

_{'tl =}

_-sl

y cos

_it

_-C

a.

_·a.·

1, - z sin

a.

1

2· ·_-

a·

1 -

T .

-( f)

+

yz (

sin a

1 cos a2 + cos a1 sin a2 {vervolg van de teller)

---·· - - - · ---·-· dF =

· 2 · 2 ·

= -

:~J __ :~ __

aj_:~~-~g_:_!:2..__~-~-L~in a2 , (g)

sin ( a 2 - a _{1 )} 2

Voor toegevoegde middellijnen in de traagheidsellips geldt:

-

..

_1,

. 4

tg cx₁• tg cx₂ = - ----·· • (h)

122

Dit i~~evuld in (g) maakt van de teller:

I

T)e; -

l -

F · 2 (

₁ t . t

2 · g a1 g a 2 cos a1 cos a 2 = 0

(25)

Dus het~~heve centrifugaalmoment t.o.v. 2 toegevoegde middel-lijnen is nul; en alleen in dit geval.

De assen z1Jn toegevoegde middellijnen, die _L elkaar staan; het centrifugaalmoment is hier rechthoekig doch blijft=

o.

Het is gemakkelijk te bewijzen, dat voor lijnen, die niet aan elkaar zijn toegevoegd, het centrifugaalmoment niet= 0 kan zijn. ... M ... ... I _z

r,

Voorbeeld: zie .. fig. op blz. 20

I =

5504

I =

1753

I _{= -}

₂₂₄₄

z y yz Iz I _y =

3751

Iz + I _y =

7257

formule: tg 2a 0 = + 224..i

'ï876

= 1,195 2~0 =

50°

I

+-

1 =

3628

~

18762 + 2244 2 = 3628

±

2893.

~2

±.

I I 2

=

735

(

_{I 1} + I 2

=

7257 )

F

=

108

i2

_60,3

i2 2

6,80

= = 1 1, =

7,78

_i2 = 2,61 e. Onregelmati~2.Q!'§J.led~.,n.

Het vorensta2nde stelt in staat, de hoofd-assen e.k. te bepalen van

door-sneden met grenzen, die in formules kunnen worden weergegeven.

dit niet mogelijk en vaak

Bij empirisch gegeven doorsneden is ook te bewerkelijk. Dan is het

noodzakelijk, de doorsnede in kleine stukken te verdelen,

waarvan men de oppervlakte en de afstand van het zwaartepunt

y tot de as(sen) moet opmeten. Het

een-""'r-""

,__--t-____ \

y.

i

voudigst is, deze stukken te ma.ken als stroken// de as van constante, met kleine dikte a. Op te meten is de breedte van de strook en de afstand tot de as. Dan is

Iz

=

r

(ï{

ba3 + ab.

y

2 ).

Als a klein is, valt de eerste term al gauw te verwaarlozen en kan men

stellen: I =

r

aby2, z

Moet men I _{z -}en I _{y -}en I _zy hebben, dan b.v. toch stroken nemen//. de as met grootste I. _{. .}

(26)

Iy =_E

(1

2ab3 + abz 2 ) (eerste term nu niet verwaarlozen)(27) Iyz =

r

abyz. (eigen Ic der stroken=

o.)

(28) Gaat het alleen om I _z en I _y (omdat de hoofd-assen direct zijn aan te wijzen), dan kan men ook 2 x in stroken ver-delen resp.// aan beide assen.

Een dergelijke bepaling is sneller en nauwkeuriger dan een grafische bepaling. Deze is mogelijk, als men de oppervlakten van de stroken als "krachten" opvat. Met poolfiguur en stangen-kromme kan men het statisch moment van elke strook t.o.v. de as bepalen; zij verschijr-en als lijnstukken op deze as (lees-lijn). Denkt men deze statische momenten

weer

in de zwaarte-punten der stroken aangrijpen dan valt een 2e stangenkromme

te tekenen, waarvan de uiterste stangen op de as het traagheids-moment afsnijden. Bij de bepaling van de schaal valt &et 2

poolsafstanden H te rekenen. Het is echter mogelijk met

I I l .

Gevraagd: I t.o.v. as I-I f> CPQ ,,.; t, Opq_ ~ dus CC 1 .6S = 6.F . CC I AS H =

H •

H = llS

.6I

=

.6F . y2

=

.6S.y = llS.y.H = 2 x opp • .6 CQP x H •

(2S)

H stelt op.9. voor op schaal van de poolfiguur. Gearce~rd ~DP• mct0n op schaal van de figuur.

Deze methode is Glcgant, maar van weinig practisch nut. ( aan hot einde van het jaar wordt ze toegepast op een inge

-wikkelder vra.:.gstuk~ waar ze wel onig reëel voord2•2l kan hebben )

, p

AF

q 1 J,. H 1 1 1 1 1 1 1

.

-

-r

0