8.4. Tosamoci trygonometryczne.pdf

(1)

8. 4. TOśSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE

Przykład 8.4.1.Sprowadź podane wyraŜenie do najprostszej postaci

a)

α

cos

1 sin

2

−

Rozwiązanie

Komentarz

α

cos

1 sin

2

−

=

α

cos

1 cos

1

2

−

=

Wykorzystując wzór

1 cos

sin

2

α

+

2

α

=

stosujemy podstawienie :

sin

2

α

=

1 −

cos

2

α

=

(

)(

)

α

cos

1 cos

1 −

+

−

=

WyraŜenie

1 −

cos

2

α

rozkładamy na

czynniki stosując wzór skróconego mnoŜenia

a

2

−

b

2

=

(

a

−

b

)(

a

+

b

)

=

1 +

cos

α

Skracamy wyraŜenie

1 −

cos

α

b)

α

ctg

tg

+

1

1 Rozwiązanie

Komentarz

α

ctg

tg

+

1

1 =

=

α

ctg

tg

ctg

tg

+

⋅

1 =

α

ctg

tg

=

1

w liczniku stosujemy podstawienie:

α

ctg

tg

⋅

=

1 =

(

)

1

1 +

+

α

ctg

tg

=

W liczniku wyciągamy

tg

α

przed nawias.

=

tg

α

Skracamy wyraŜenie

ctg

α

+

1 ToŜsamością trygonometryczną nazywamy równość zawierającą funkcję trygonometryczną,

która jest prawdziwa dla kaŜdej wartości kąta (kątów)

Sprawdzenie toŜsamości trygonometrycznej polega na doprowadzeniu jej do równości w

której z lewej i prawej strony mamy to samo wyraŜenie.

Korzysta się przy tym ze wzorów trygonometrycznych, praw działań arytmetycznych oraz

wzorów skróconego mnoŜenia.

(2)

Przykład 8.4.2. Sprawdź , czy podana równość jest toŜsamością trygonometryczną;

a)

(

sin

α

+

cos

α

) (

2

+

sin

α

−

cos

α

)

2

=

2 Rozwiązanie

Komentarz

(

sin

α

+

cos

α

) (

2

+

sin

α

−

cos

α

)

2

=

2

2 cos

cos

sin

2 sin

cos

sin

2 sin

2

α

+

α

+

2

α

+

2

α

−

α

+

2

α

=

Przekształcamy lewą stronę równości stosując wzory skróconego

mnoŜenia:

(

)

2 2 2

2 ab

b

a

b

a

+

=

+

(

)

2 2 2

2 ab

b

a

b

a

−

=

−

+

2 cos

2 sin

2

α

+

2

α

=

Wykonujemy redukcję wyrazów _podobnych.

(

sin

cos

)

2

α

+

2

α

=

Z lewej strony równości wyciągamy _{2 przed nawias.}

2

1

2 =

=

⋅

Stosujemy wzór

1 cos

sin

2

α

+

2

α

=

Po przekształceniach , z lewej i prawej strony równości otrzymujemy 2 , w ten sposób wykazaliśmy, Ŝe dana równość jest toŜsamością.

b)

α

2 3 2

1 sin

tg

ctg

tg

₌

+

⋅

Rozwiązanie

Komentarz

α

tg

ctg

tg

₌

_⋅

+

⋅

1 /

sin

3 2 2

(

α

)

α

+

tg

2

=

tg

3

⋅

ctg

2

₁

sin

Obie strony równości mnoŜymy przez

ctg

α

sin

cos

sin

cos

sin

1 sin

3 3 2 2 2

₌

_⋅













+

Wykonujemy podstawienia stosując wzory:

α

cos

sin

=

tg

α

sin

cos

=

ctg

α

2 2 2 4 2

cos

sin

cos

sin

+

=

Z lewej strony równości wykonujemy mnoŜenie.

Z prawej strony równości skracamy wyraŜenia

α

,

cos

sin

α

2 2 2 2 4 2

_/

_cos

cos

sin

cos

sin

+

=

⋅

α

2 4 2

2

_cos

_sin

sin

⋅

+

=

Obie strony równości mnoŜymy przez

cos

2

α

2 4 2 2

2

_cos

_sin

_/

_:

_sin

sin

⋅

+

=

1 sin

cos

2

α

+

2

α

=

1

1 =

Obie strony równości dzielimy przez

sin

2

α

sin

2

α

+

cos

2

α

=

1

otrzymujemy z lewej i prawej strony równości 1 , w ten sposób wykazaliśmy, Ŝe dana równość jest toŜsamością

(3)

c)

α

cos

1 sin

1 cos

sin

+

=

−

tg

ctg

Rozwiązanie

Komentarz

α α

α

sin / cos /

cos

1 sin

1 cos

sin

+

=

_⋅

−

_⋅

−

tg

ctg

α

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

+

=

−

tg

ctg

α

cos

sin

cos

sin

−

=

+

−

tg

ctg

Z prawej stromy równości wykonujemy odejmowanie , sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.

(

α

) (

α

)(

α

)

α

cos

sin

cos

sin

ctg

−

tg

=

+

−

Otrzymana równość jest

proporcją. MnoŜymy „ na krzyŜ” liczniki z mianownikami.

(

α

)(

α

)

α

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin



=

+

−











−

Wykonujemy podstawienia stosując wzory:

α

cos

sin

=

tg

α

sin

cos

=

ctg

(

α

)(

α

)

α

cos

sin

cos

sin

cos

sin

sin / cos /

−

+

=













−

⋅ ⋅

(

α

)(

α

)

α

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

2 2

−

+

=

−

Wykonujemy odejmowanie

α

cos

sin

cos

₋

, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika

(

α

)(

α

)

α

sin

cos

sin

cos

sin

cos

2

−

2

=

+

−

Skracamy wyraŜenia

_α

cos

sin

α

2 2 2 2

sin

cos

sin

cos

−

=

−

Z prawej strony równości _{stosujemy wzór skróconego}

mnoŜenia:

(

a

b

)(

a

b

)

b

a

2

−

2

=

−

+

Po przekształceniach , z lewej i prawej strony równości otrzymujemy

α

2 2

sin

cos

−

, w ten sposób wykazaliśmy,

Ŝe dana równość jest toŜsamością.

(4)

Ć

_WICZENIA

Ć

wiczenie 8.4.1. (1pkt.) Sprowadź podane wyraŜenie do najprostszej postaci

1 sin

2 cos

2

1

2 2

−

α

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wyraŜenia w najprostszej postaci.

1 Ć

wiczenie 8.4.2. Sprawdź , czy podana równość jest toŜsamością trygonometryczną;