R O C Z N I K I F I L O Z O F I C Z N E T o m X L V I I I , z e s z y t 1 - 2 0 0 0 B O Ż E N A C Z E R N E C K A L u b l i n J A N A L U K A S IE W I C Z A U J Ę C I E I N T U I C J O N I S T Y C Z N E G O R A C H U N K U Z D A Ń
Jan L u k asiew ic z pośw ięcił logice intuicjonistycznej dwie prace: D ie L ogik
und das G rund la g en p ro b lem z 1938 r . 1 oraz O in tu ic jo n istyc zn ym rachunku zdań z 1952 r.2 P rzedstaw im y pokrótce wyniki pierw szej z nich, aby zatrzy
m ać się szerzej nad drugą, za w iera ją cą oryginalne pom ysły p o lskiego logika w tej sprawie.
Tak więc we wcześniejszej pracy Ł u k asiew ic za znajdujem y następującą aksjom atykę intuicjonistycznego rachunku zdań:
A ł 1 CpCqp A ł 2 C C p C p q C p q A l 3 C C p q C C q rC p r A l 4 C K pqp A l 5 C Kpqq A l 6 C C p q C C p rC p K q r A ł 7 C pA pq A l 8 C qA pq A l 9 C C p rC C q rC A p q r A ł 1 0 C C p N q C q N p Al 1 1 C N pC pq
1 P o raz p ierw s zy pra ca ta zo s tała o p u b l ik o w a n a w: L e s e n tr e tie n s d e Z ü r ic h s u r les fo n d e m e n ts et la m é th o d e d e s s c ie n c e s m a th é m a tiq u e s 86, Z ü r ic h 1941, s. 82 -1 0 0 . K o r z y s ta m y tu z jej a n g ie ls k ie g o p rz ekładu: L o g ic a n d the P ro b lem o f the F o u n d a tio n s o f M a th e m a tic s , [w:] J. L u k a s i e w i c z , S e le c te d W orks, p o d red. L. B o r k o w s k ie g o , W a r s z a w a 1970, s. 2 7 8 -294.
2 P r a c a ta z o stała z a m i e s z c z o n a w: J. L u k a s i e w i c z , Z z a g a d n ie ń lo g ik i i filo z o fii. P ism a w y b ra n e , pod red. J. S łu p e ck ie g o . W a r s z a w a 1961, s. 2 6 1 -274.
Regułam i dow odzenia są, podobnie ja k w ujęciu Heytinga, reguła p o d staw iania i reguła o d ryw a nia3. M o ż n a udow odnić, że a k sjo m aty k a pow yższa je s t rów n o w ażn a z aksjom atyką Heytinga.
Tak określona intuicjonistyczna logika zdań je s t częścią w łaściw ą kla sycznego rachunku zdań i dlatego je s t istotnie słabsza od niego: istnieją tezy rachunku klasycznego, które nie są tezami rachunku intuicjonistycznego. lecz nie odwrotnie. D odając do aksjom atów A Ł1 - A Ł11 aksjom at:
A Ł12 C C C p N p q C C p q q
otrzym uje się w rezultacie klasyczny rachunek zdań.
Ł uk asiew ic z rozw aża dalej (w om aw ian y m artykule) kw estię m atrycowej charakterystyki zdaniowej logiki intuicjonistycznej. S tw ierdza, iż żaden sy stem istotnie słabszy od klasycznego rachunku zdań nie m oże m ieć a d e k w at nej, norm alnej m atrycy dw uw artościow ej, lecz m atryca taka musi być wielo- w arto ścio w a4. Istotnie m atryca podana przez H eytinga dla logiki intuicjonis tycznej była trójw artościow a, chociaż i ona okazała się później nieadekw atna. W artykule z 1952 r. Ł u kasiew icz zajm uje całkow icie odm ienne stano wisko od zarysow anego powyżej. Intuicjonistyczny rachunek zdań, według niego, zaw iera ja k o sw oją część w łaściw ą klasyczny rachunek zdań. Ta p ro gra m o w a teza polskiego logika je s t osobliwa: odbiega radykalnie nie tylko od je g o w cześniejszego poglądu, lecz także od pow szechnej opinii, wedle której skoro w logice intuicjonistycznej o dpadają niektóre klasyczne prawa, to musi być ona pew nym zaw ężeniem logiki klasycznej, a nie jej roz szerz e niem. P rześledzim y zatem argum entację Ł u k asiew ic za za tak osob liw ą tezą. Polski autor w artykule O intuicjon.istycz.nym [...] w p ro w a d z a odm ienne sym bole na oznaczenie funktorów im plikacji, koniunkcji i alternatyw y w ra chunku klasycznym i w rachunku intuicjonistycznym . Posługuje się swoją b ez n aw iaso w ą notacją; na oznaczenie funktorów implikacji klasycznej i intui cjonistycznej w prow adza odpow iednio sym bole C i F, na oznaczenie k o niunkcji klasycznej i intuicjonistycznej - sym bole K i T, alternatyw y klasycz nej i intuicjonistycznej - A i O, negacji zarów no klasycznej, j a k i intuicjonis tycznej - N 5.
Ł u kasiew icz przyjm uje następujące wzory ja k o aksjom aty intuicjonistycz nego rachunku zdań:
A Ł1 FqFpq
’ L u k a s i e w i c z , L o g ic a n d th e P ro b lem [...], s. 281 n. 4 T a m ż e , s. 285 n.
JANA LUKASIEWICZA UJĘCIE INTUICJONISTYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2 2 5 Ał 2 F F p F q rF F p q F p r Ał 3 FTpqp A ł 4 FTpqq A l 5 FpFqTpq A l 6 FpOpq A l 7 FqOpq A ł 8 F F p rF F q rF O p q r A l 9 F F pN qF qN p A l 10 FpFN pq
P o w yższe aksjom aty, dedukcyjnie ró w n o w ażn e z u k ła d e m aksjom atów podanym przez Heytinga, m ożna pogru p o w a ć na takie, w których:
(1) je d y n y m funktorem je st funktor implikacji: A Łł i A Ł2,
(2) w ystępują je d y n ie funktory implikacji i koniunkcji: A L3, A L4 i A Ł5, (3) w y stępują je d y n ie funktory implikacji i alternatyw y: A L6, A Ł7 i A L8, (4) w ystęp u ją je d y n ie funktory implikacji i negacji: A Ł9 i AŁ10.
W szystkie tezy logiki intuicjonistycznej m o żn a w ypro w ad zić z tych d zie sięciu za po m o cą dw óch reguł w nioskow ania:
(a) R eg u ła podstawiania: jeśli O je s t u znane i VP je s t podstaw ien ie m O, to 'P musi być uznane.
(b) R eguła odryw ania: jeśli FOT7 je s t uznane i O je st uznane, to ¥ musi być u zn a n e6.
W szystkie tezy rachunku intuicjonistycznego, w których je d y n y m fu nkto rem je s t funktor implikacji, dadz ą się w y prow adzić tylko z dw óch a k sjo m a tów im plikacyjnych (zaliczonych wyżej do grupy (1)), czyli tego fragm entu rachunku Heytinga, który Hilbert i B ernays n a z y w ają „logiką p o z y ty w n ą ” . Z kolei w szystkie tezy zaw ierające jed y n ie funktory implikacji i negacji m o ż na w yprow adzić z dw óch aksjom atów im plikacyjnych oraz ak sjo m ató w impli- kac y jno-negacyjnych (grupy (1) i (4)) itd.7
Tak więc w yrażeniam i sensow nym i intuicjonistycznego rachunku zdań są zm ienne zdaniow e oraz w yra żenia z nich utw orzone za p o m o c ą funktorów: N, F, T i O, a także w yrażenia w p row adzone przez skróty definicyjne. W y r a żenia u zna ne tego rachunku to je g o tezy.
Z ak sjo m aty zo w an y zbiór tez, w których nie w ystęp u ją żadne inne funktory pierw otne z w yjątkiem T i N, naz y w a Ł uk asiew ic z „system em
koniunkcyjno-6 T a m ż e , s. 2koniunkcyjno-62.
-n e g a c y jn y m ” . Regułam i w nio sk o w an ia tego system u są reguła podstaw iania (a), ogra n ic zo n a do wyrażeń sensow nych rachunku, oraz reguła odrywania, stw ierdzająca, że
c) jeśli N T O N T ' je st uznane i O jest uznane, to ¥ musi być uznane. Z aksjom atów A Ll-5 i 9 rachunku intuicjonistycznego m ożna w yprow adzić trzy następujące tezy, które Ł u kasiew icz ozn a cza następująco:
58. N T N T N p N p N p 59. N T p N N T N p N q
60. N T N T p N q N N T N T q N rN N T p N r
P ow yższe tezy przyjęte ja k o aksjom aty w raz z regułam i (a) i (c) tw orzą c z ę ś ciow y system koniunkcyjno-negacyjny. Ł u k asiew ic z d ow odzi, że nie w y star czają one je d n a k do zb u d o w an ia całego system u k o n iu n k cy jn o -n e g acy jn eg o logiki intuicjonistycznej. T w orzy w tym celu m atryc ę M,
T 1 2 3 N
1* 1 1 3 3
2 2 2 3 1
3 3 3 3 1
która spraw dza wzory 58-60, lecz nie spraw dza następującej tezy tego syste mu:
61. NTN pp.
gdyż dla p = 2 otrzym ujem y: N T N 22 = N T 12 - NI = 3 . Z daniem Łukasiew i- cz a ten częściow y system k o n iunkcyjno-negacyjny za w iera ja k o sw oją część w łaśc iw ą klasyczny rachunek zdań.
F u n k to r klasycznej implikacji w prow adza Ł u k asiew ic z do system u intuicjo nistycznego za po m o cą definicyjnego skrótu sfo rm u ło w a n eg o ja k o im plikacja
63. F 8 N T p N q 5 C p q , gdzie 8 je st zm ienną p rz eb ieg ają cą funktory. W p ro w a d z o n a przez polskiego logika reguła p o d staw ian ia za zm ienne fun k to ro w e pozw ala na zapisyw anie definicji w postaci im p lik ac ji8, oprócz
8 W p ro to te ty ce L e ś n ie w s k ie g o o b o w i ą z u j e p r a w o e k s t e n s jo n a l n o ś c i 11. C E p q C 8 p 8 q . O z n a c z a m y p rz ez P i Q d w a w y r a ż e n ia z d a n io w e , z k tó ry ch j e d n o j e s t d e f in i e n d u m . a drugie d e f in ie n s e m . Z a k ła d a m y , iż ż a d n a z n ich ni e z a w ie r a 8. P o n i e w a ż p o p r a w n i e z b u d o w a n e d e f in ic je m o ż n a u w a ż a ć za z d a n ia p r a w d z iw e , p r z y jm u j e m y z d an ie 12. E PQ . D o k o n u j ą c p o d sta w ie n ia w 1 1. p/P, q/ Q , o t r z y m u j e m y C E P Q C 8 P S Q . Z tego i 12 za p o m o c ą re g u ły o d r y w a n ia m a m y : 13. C 8 P 8 Q . T o o sta tn ie w y r a ż e n ie j e s t r ó w n o w a ż n e z E P Q , z 13 b o w i e m o tr z y m u je m y z p o w r o te m 12 na p o d s ta w ie p ra w a t o żs am o ś c i 14. Epp. S to su ją c p o d s t a w i e n i e w tej osta tnie j tezie p/P, m a m y 15. E P P . P o n o w n ie p o d s ta w ia ją c , ty m ra ze m w 13. 8 / E P ’ (w m ie js c e ‘ na le ży
JANA LUKASIEWICZA UJĘCIE INTUICJONISTYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2 2 7
tego służy do d o w odz enia twierdzeń. A zatem p o w y ż sz a d efinic ja pozw ala w y e lim inow ać w yrażenie N T p N ą , zastępując j e przez C pq i odwrotnie.
F u n k to r C w prow adzony przez definicję 63 m a w szystkie własności k la sycznej implikacji. Łukasiew icz dow odzi tej tezy następująco. D efinicja 63 pozw ala na otrzym anie z tez 58-60 wzorów:
65. C C N p p p prawo C laviusa
67. C p C N p ą praw o D unsa Szkota
72. C C p q C C q rC p r praw o sylogizm u w aru n k o w eg o
P raw a te wraz z regułami p odstaw iania i o d ryw a nia o postaci:
(d) jeśli CO^P je s t uznane i O je st uznane, to 'F musi być u zna ne w ystarczają do z budow ania całego klasycznego ra chunku z d a ń 9.
R eguła (d) nie je s t w ażna w w ypadku, gdy p rzyjm iem y, że O i T są d o wolnym i sensow nym i w yrażeniam i logiki intuicjonistycznej. Polski logik w ykazuje to za p o m o cą prostego przykładu. N astępujące wzory:
87. C N N O p N p O p N p 86. N N O pN p,
które m ają postać CO^P i O, m o żn a udow odnić w system ie intuicjonistycz- nym, natom iast 'F, tj. OpNp, nie da się w nim dow ieść. T rójw a rto ścio w a m atryca M 2 H eytinga F 1 2 3 N 1 1 2 3 3 2 1 1 3 3 3 1 1 1 1 T 1 2 3 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 0 1 2 3 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 2 3
w s ta w ić a r g u m e n t 8), o t r z y m u j e m y C E P P E P Q . Z kolei z ostatn iej im p lik ac ji i 15 za p o m o cą r e guły o d r y w a n i a u z y s k u je m y 12. E P Q . A zatem z a m ia s t pisa ć d e f in ic je j a k o ró w n o w a ż n o ś c i m o ż e m y u ż y ć do lego celu im p lik acji 13, m ającej z m i e n n ą f u n k t o r o w ą p rz ed d e f in ie n s e m i przed d e f in ien d u m . P o n i e w a ż im p lik ac ja jes t, z d a n i e m Ł u k a s ie w i c z a , n a jd o g o d n i e js z y m te r m in e m p i e r w o tn y m d o w o l n e g o r a c h u n k u zdań, w p r o w a d z e n i e de fin icji w post aci w z o ru 13 nie z w i ę k s z a lic z b y t e r m i n ó w p i erw o tn y c h . P o n a d to u ż y c ie z m i e n n y c h f u n k t o r o w y c h p o z w a la na b e z p o ś re d n i e p r z ek s z tałc an ie d e f in ie n s a na d e f in i e n d u m i o d w r o tn ie . W y ż e j p r z e d s ta w io n a m e t o d a n o to w a n ia de fin icj i j e s t w a ż n a dl a k a ż d e g o fu n k to r a im p lik a c y jn e g o . Por. J. Ł u k a- s i e w i c z, O z m ie n n y c h fu n k lo r a c h o d a rg u m e n tó w z d a n io w y c h , w: t e n ż e, Z za g a d n ie ń [...], s. 253 n.
9 T e trzy o sta tn ie f o rm u ły to d o b r z e z n an e a k s jo m a ty i m p l i k a c y j n o - n e g a c y j n e g o k la s y c z n e g o ra c h u n k u zdań Ł u k a s ie w ic z a .
która spra w d za regułę odryw ania (b) oraz w szystkie aksjom aty A Ł1-10, nie spraw dza O pNp, gdyż dla p = 2 otrzym ujem y: 0 2 N 2 = 0 2 3 = 2.
R eg u ła (d) jed n ak obow iązuje w c z ęścio w y m system ie im plikacyjno-nega- cyjnym . A by to wykazać, wystarczy udow odnić, że re guła ta j e s t ważna, gdy O i *F są w yrażeniam i sensow nym i, w których nie w y stęp u ją żadne inne fun- ktory p ierw otne oprócz C i N. K ażde w yrażenie sensow ne ra chunku implika- c yjno-ne gacyjne go je s t bądź
(I) z m ien n ą zdaniow ą, bądź
(II) negacją (czyli w yrażeniem , w którym głów nym fu n k to re m je s t funktor negacji), bądź
(III) implikacją.
W d ow odz ie korzysta się z trzech tez: 73. F C p q F p N N q
75. F C p N q F p N q 77. F C pC qrF pC qr,
które dadz ą się w yprow adzić z aksjom atów A Ll-5 i 9 za p o m o c ą definicji 6 3 10.
Ad (II). Jeśli uznane są CdFF i <J> oraz 'F je s t postaci N X (tj. głów nym fu n k to re m je s t w nim negacja), pytam y, czy u znane je s t N. D oko n u jem y pod staw ien ia w tezie 75. p/O, q/X, otrzymując:
h F C O N X F O N X teza
i- C O N X założenie
h F<E>NX reguła (b)
i- O założenie
i- NX reguła (b)
N X je st uznane, zatem dla wyrażeń m ających postać negacji re guła (d) zosta ła udow odniona.
Ad (III). Jeśli uznane są CO^F i O oraz 'F jest postaci C X Q , pytam y, czy CX£2 je s t uznane. K orzystam y z o d p ow iedniego p o d staw ien ia tezy 77.
i- F C O C X Q F < D C X n teza h CG>CXQ założenie i- Fd>CXŚ2 reguła (b) h O założenie i- C X Q reguła (b) 10 Ł u k a s i e w i c z, O in tu ic jo n is ty c z n y m [...], s. 264.
JANA LUKAS 1EWICZA UJĘCIE INTUICJONISTYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2 2 9
C X Q je s t uznana, a wiec reguła (d) obow iązuje rów nie ż dla w yra żeń impli- kacyjnych.
Ad (I). Jeśli u zna ne są CO^P i O oraz T7 je st z m ie n n ą zdaniow ą, to nie zm niejszając ogólności rozważań, m o żn a przyjąć, że d> je st q. L ec z C<Fq i O nie m ogą być oba uznane, gdyż w prz eciw n y m razie otrzy m a lib y śm y z tezy 73 w yrażenie NNq: i- FCd>qFONNq teza h C<E>q założenie i- F O N N q reguła (b) i- O założenie i- N N q reguła (b),
a stąd przez podstaw ienie m usielibyśm y uznać rów nie ż N N N q. W wyniku pod staw ien ia p/N N q w aksjom acie A Ł10 m ielibyśm y:
i- F N N q F N N N q q teza
h NNq__________
i- F N N N qq reguła (b)
h N N N q
u q reguła (b)
R eguła (d) byłaby znow u spełniona, lecz oczyw iście nie m ożna by jej zasto sować w tym przypadku. W ażn o ść reguły o d ry w a n ia dla klasycznej implikacji j e s t w ten sposób u d o w o d n io n a dla w szystkich wyrażeń sensow nych rachunku im plikacyjno-negacyjnego. To z kolei kończy dow ód, że intuicjonistyczny ra chunek zdań zaw iera ja k o sw oją część w łaśc iw ą k lasyczny ra chunek zdań.
Łuk asiew ic z zauw aża, że rola aksjom atu A Ł10 je s t w p o w y ż sz y m ro z u m o waniu istotna, stąd np. w rachunku m in im aln y m Jo h an sso n a nie m ożna u d o wodnić reguły o d ryw a nia dla klasycznej im p lik a c ji11.
System im plikacyjno-negacyjny Ł u kasiew icz w z b o g a c a w p row adza ją c do niego zw ykłe definicje koniunkcji i alternatywy:
93. F 8N C pN qSK pq 90. F 5 C N pq8A pq;
otrzym uje w ten sposób w szystkie klasyczne tezy zaw iera ją ce funktory K i A. P onadto p o m iędzy funktoram i klasycznym i: C, K i A a o d p o w iada ją cym i im funktoram i intuicjonistycznym i: F, T i O zachodzi, zdaniem Ł ukasiew icza, prosty zw iązek logiczny: w szystkie funktory klasyczne są słabsze niż o d p o
w iadające im funktory intuicjonistyczne. I tak im plikacja k lasy cz n a je s t słab sza niż intuicjonistyczna, gdyż im plikacja
78. F F pqC pq
je s t w ażna w system ie intuicjonistycznym , n atom iast jej odw rotności, czyli im plikacji FC pqFpq, nie da się w nim dowieść. P odobnie funktor koniunkcji K je st słabszy niż T, gdyż tezę
94. F T pqK pq
da się d ow ieść w logice intuicjonistycznej, lecz jej o d w rotnośc i F K p q T p q nie m ożna w niej udow odnić. P odobnie alternatyw a A je s t słabsza niż O, m ożna bow iem u d ow odnić implikację
91. F O pqA pq,
lecz jej o d w róc enia F A p q O p q nie m o żn a dowieść. W y raże n ia odw rotne do im plikacji 78, 94 i 91 m ożna obalić, jeśli do m atrycy M 2 d o łącz y m y m atrycę M 3 dla C, K i A, skonstruow aną na podstaw ie M , za p o m o c ą definicji 63, 93 i 90.
c
1 2 3 1 1 1 32
1 1 3 3 I I 1 K 1 2 3 1 1 1 3 2 1 1 3 3 3 3 3 A 1 2 3 1 2 1 . , 1 1 1 3 1 1 3M atryce M 2 i M 3 nie spraw dzają w yra żenia F C pqF pq, g dyż dla p = 1, q = 2 mamy: F C 1 2 F 1 2 = F I 2 = 2; podobnie nie spraw dzają ani F K pqT pq, ani F A pqO pq, dla p = 2 i q = 2 bow iem otrzym ujem y w p ierw szy m w ypadku F K 22T 22 = FI 2 = 2, w drugim F A 2 2 0 2 2 = FI 2 = 2.
Z pow y ż sz y ch rozw ażań L uk asiew ic z w yciąga w niosek następujący: w szystkie tezy zaw ierające F, T lub O p ozostają p ra w dziw e, jeśli zastąpim y te silniejsze funktory przez odpow iednie słabsze, n atom iast nie zaw sze teza za w iera ją ca C, K lub A pozostaje praw dziw a, jeśli zastąpim y te słabsze fu n ktory przez o d pow iednie silniejsze. I tak np. „silne” p ra w o C lav iu sa FFNppp, „silne” p ra w o podwójnej negacji (jako im plikacja) FN N pp, „ siln e” praw o w y łąc zonego środka O pN p nie są tezami w logice intuicjonistycznej, podczas gdy odpow iednie słabsze tezy:
65. C C N ppp 80. C N N p p 92. A pN p
JANA ŁUKASIEWICZA UJĘCIE INTUICJON1STYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 231
I 1 m ożna udow odnić w rachunku in tuicjom stycznym
O dnośnie do wyżej zaprezentow anej pracy Ł u k a s ie w ic z a (z 1952 r.) w yp o wiemy teraz kilka uwag. P rzede w szystkim w ydaje się, że Ł u k asiew ic z nie uzasadnił w łaściw ie swoich tez pro g ram o w y ch (w y p o w ie d zian y c h na początku artykułu), a zw łaszcza tej naczelnej, która głosi, iż klasyczny ra chunek zdań m ożna potraktow ać ja k o p odsystem intuicjonistycznego ra chunku zdań. Taka zależność zachodzi dopiero wtedy, gdy p o sze rzy m y ten ostatni rachunek o definicję 63. M o ż n a wobec tego zapytać, czy upra w n io n e je s t takie p o stę powanie. Czy w raz z d o łączeniem do rachunku in tuic jonistycz nego definicji 63 nie zm ienia się ró w nocześnie sens owej definicji w stosunku do an a lo g ic z nej na gruncie logiki klasycznej?
W yda je się, iż taka zm iana faktycznie m a m iejsce, gdyż za zm ienną fun- k to ro w ą we w spom nianej definicji m o żn a podstaw iać, zgodnie z intencją S. Leśniew skiego, od którego Ł uk asiew ic z przejął ten sposób definiowania, wyłącznie funktory praw dziw ościow e. W łączając zatem p o w y ż sz ą definicję do logiki intuicjonistycznej, rozszerzam y tym sam ym zakres zm iennej funkto- rowej 8 w taki sposób, że m o żn a za nią p odstaw iać rów nież funktory tej logiki. Z daniem S. K órnera analiza funktorów logiki intuicjonistycznej zdaje się w skazyw ać, iż nie są to funktory p ra w d z iw o ś c io w e 1'.
Definicję 63 m o żn a także zapisać w postaci: C pq = Df NTpN q,
czyli m ożna na jej podstaw ie wyrazić k lasycz ną im plikację za p o m o c ą intui cjonistycznej koniunkcji i negacji. Z auw ażm y, że p o w y ż sz a fo rm u ła jak o rów no w ażn o ść E C p q N K p N q obow iązuje dla klasycznie rozu m ia n y ch fu nkto rów - j e s t to norm alny sposób defin io w a n ia im plikacji za p o m o c ą koniunkcji (i negacji) na gruncie logiki klasycznej. N a to m iast an a lo g ic z n a fo rm u ła nie
obow iąz u je przy intuicjonistycznym rozum ieniu fun k to ró w (w yrażenie
F N T p N q F p q nie je s t tezą intuicjonistycznego ra chunku zdań). D efinicja 63 nie spełnia więc postulatu n ie tw ó rc z o ś c i14.
12 T a m ż e , s. 265 n.
S. K ó r n e r. W hat is P h ilo so p h y ? O ne P h ilo s o p h e r ’s A n s w e r . L o n d o n 1969. s. 65. P o d s ta w ę do w y s u n ię c ia takiej tez y d aje s e m a n t y k a f o r m a ln a dla in tu i c jo n i s t y c z n e g o ra ch u n k u z d a n i o w e g o s k o n s tr u o w a n a przez K rip k eg o . Z ob. S. K r i p k e, S e m a n tic a l A n a ly s is o f In tu itio n is tic L o g ic 1, [vv:] F o r m a / S y ste m s a n d R e c u rs iv e F u n ctio n s, ed. J. N. C ro ss le y , M. D u m m e t t , A m s t e r d a m 1965, s. 92-130.
14 D e f in ic ja D j e s t t w ó rc za w s y s te m ie S w te d y i ty lk o w te d y , g d y w s y s te m ie S is tnie ją tez y z a p is a n e za p o m o c ą t e r m in ó w p i e r w o tn y c h , d o w o d z o n e na p o d s t a w i e de fin icj i D, k tó ry ch nie m o ż n a u d o w o d n i ć w S b ez o d w o ł y w a n i a się do definicji D. Z ob. L. B o r k o w s k i ,
W łąc zen ie definicji 63 do rachunku in tuicjonistycznego dało naszem u logikowi ja k ą ś m ożliw ość przekładu, a przynajm niej p o ró w n a n ia funktorów obu logik. Ł u kasiew icz porów nuje je pod w z glę dem m ocy (siły), w y p o w ia d a ją c ostatecznie niewiele pod w zględem m erytoryc znym w n o szą cą tezę, że
w szystkie funktory intuicjonistyczne są m ocniejsze niż odp o w ied n ie funktory klasyczne. N ie je s t tu je d n a k naszym celem w y p ro w ad za n ie dalszych k o n sek wencji z definicji 63 ani analiza samej tej definicji, stw ierdzam y tylko tyle, że m a on a d ecydujące znaczenie dla głównej tezy Ł u k a sie w ic z a zawartej w om aw ian y m artykule. M ając bow iem z d e finiow aną im plikację klasyczną na gruncie rachunku intuicjonistycznego, m ożem y za jej p o m o c ą zdefiniow ać pozostałe funktory klasyczne, co faktycznie polski logik czyni, a wobec tego nie m oże dziw ić j e g o na pierw szy rzut oka osob liw a teza. Co więcej, bez pom o cy definicji 63 nie byłoby m ożliw e m ów ienie o tak prostej zależności m iędzy logiką klasyczną a logiką intuicjonistyczną.
P od su m o w u ją c p ow yż sz e w yw ody, m ożna stwierdzić, iż w szystko w sk az u je na to, że przy „m e c h a n ic z n y m ” p o rów nyw aniu ze w nętrz nych kształtów tez
logiki klasycznej i intuicjonistycznej Ł u kasiew icz (z 1952 r.) nie ujął p ra w idłow o relacji między nimi. W aspekcie kształtów (w z orów form alnych) „m n ie j” (nieskończenie wiele) jest bow iem tez w logice intuicjonistycznej. W ten sposób relację m iędzy d w ie m a interesującym i nas tu logikam i scha rak teryzow ał uczeń twórcy intuicjonizm u Arend Heyting. Fakt, iż z biór tez logiki intuicjonistycznej za w iera się w zbiorze tez logiki klasycznej, gdy ro z patruje my tylko ze w nętrz ne kształty tych tez, nie oznacza, że te sam e w zory w obu logikach m uszą posiadać taki sam sens.
Ł u k asiew ic z kończy swoje roz w aża nia na tem at intuicjonistycznego ra chunku zdań pew nym i uw agam i dotyczącym i praw a w y łąc zo n eg o środka jako że jest ono, je g o zdaniem , najbardziej znaną tezą nie p rz y jm o w a n ą przez intuicjonistów . U w aża on, że praw o to je s t oczyw iste, jeśli podajem y p rz y k ła dy typu „P ada teraz tutaj lub nie pad a teraz tutaj” ; lecz o gólnego wzoru „p lub n ie-p ” nie m ożna opierać na przykładach. M usi się go przyjąć j a k o ak sjo m at lub u d ow odnić na podstaw ie innych praw, czyli praw o to musi należeć do system u logicznego. Czy wobec tego należy ono do system u sk o n stru o w a nego przez Ł ukasiew ic za? W cześniej odnotow aliśm y, że form uła 92. ApNp je st tezą logiki intuicjonistycznej, a więc klasyczne p ra w o w y łąc zonego
JANA ŁUKASIEWICZA UJgCIE INTUICJONISTYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2 3 3
ka w niej obow iązuje. N a tom iast intuicjonistyczny odpow ied n ik tego prawa, czyli form uła O pNp, nie m oże zostać udow odniona.
Łuk asiew ic z opisuje następnie system, w którym obow iąz u je praw o w y łą czonego środka. Stwierdza, iż w praw ie tym w ystęp u ją d w a funktory - alter natyw y i negacji i dw a oczyw iste tw ierdzenia są z nimi zw iązane:
(1) A lterna tyw a „p lub q ” je st praw dziw a, jeśli przynajm niej je d e n z jej członów je s t prawdziwy.
(2) N e g acja zdania fałszyw ego je s t praw dziw a.
T w ierd zen ia te są p rz yjm ow a ne zarów no przez intuicjonistów , j a k i logi ków klasycznych. Jeśli do (1) i (2) zostanie d o łącz o n a za sada dw uw artościo- wości:
(3) Każde zdanie jest albo praw dziw e, albo f a łs z y w e 15,
to, zdaniem polskiego logika, otrzym a się praw o w yłączonego środka w je g o ogólnej postaci. Albo p bow iem je s t praw dziw e i w tedy praw o „p lub n ie-p ” je s t praw d ziw e na mocy (1), albo p je st fa łsz yw e i w tedy praw o to je s t p ra w dziw e na m ocy (1), poniew a ż nie-p je st p ra w d ziw e na m ocy (2).
Jed n a k że zasada dw uw artościow ości nie m oże stosow ać się do logiki intui- cjonistycznej z uwagi na jej, ja k sądził Ł u kasiew icz, w ie low a rtościow ość (w 1932 r. Godeł udow odnił, iż ade kw atna m atryc a tej logiki j e s t n ies k o ń cz e nie w ielow artościow a). N iem niej, zdaniem Ł u kasiew ic za, k lasycz ne praw o w yłączonego środka m o żn a udow odnić w in tuicjonistycznym rachunku zdań, j a k o że - dodajm y, po dołączeniu definicji 63 - cały klasyczny rachunek zdań je s t w nim zawarty.
Ł uk asiew ic z po d k re śla także, iż znaczenie o m aw ian e g o p ra w a zależy od zna cze n ia alternatyw y i negacji, których istotne w łasności w yrażają tw ier dzenia (1) i (2), spełnione zarów no w klasycznym , j a k i intuicjonistycznym rachunku. Z tego pow odu jesteśm y uprawnieni do na z y w a n ia ich w obu syste mach „ a lte rn aty w ą” i „ne gacją” . Jednak polski logik zauw aża, że nie w szy st kie własności alternatyw y są takie same w obu s y s t e m a c h 16, co u sp ra w ied li wia w pro w ad ze n ie różnych symboli na oznaczenie alternatyw y klasycznej i alternatyw y intuicjonistycznej. Nie m a więc w fakcie obow iązyw alności klasycznego praw a w yłączonego środka w rachunku in tu ic jonistycz nym żadnej
13 Ł u k a s i e w i c z, O in tu ic jo n is ty c z n y m [...], s. 266. Z a s a d a d w u w a r t o ś c io w o ś c i je s t pr z e z Ł u k a s ie w i c z a w y r a ż o n a n as tęp u jąc o : „ K a ż d e z d a n ie j e s t p r a w d z i w e lub f a ł s z y w e ” , j e d n a k ż e w ła ś c iw s z e w y d a je się j e j s f o r m u ł o w a n ie w postaci a lte rn a ty w y r o złą czn ej.
sprzeczności, skoro nie m a sprzeczności p o m iędzy d w o m a różnym i wzorami: A pN p oraz OpNp. P ierw szy z nich trzeba przyjąć, a drugi odrzucić.
M o ż n a by się zastanow ić, jak ie to własności alternatyw y intuicjonistycznej, których nie m a alternatyw a klasyczna (lub odw rotnie), miał na myśli Łukasie- wicz. W cześniej odnotow aliśm y, że alternatyw a in tuic jonistycz na je s t silniej sza niż alternatyw a klasyczna. Polski uczony w yjaśnia to w ten sposób: jeśli p ra w dziw e je st zdanie alternatyw ne, w którym funktor alternatyw y je st rozu m iany intuicjonistycznie, to p ra w dziw e je s t rów nie ż odpo w ied n ie zdanie alternatyw ne, przy czym funktor alternatyw y rozum iany jest w sposób k la syczny, lecz nie odwrotnie, chociaż Ł uk asiew ic z nie eksplikuje znaczenia ani j e d n eg o , ani drugiego funktora alternatywy. Z naczenie tych funktorów jest w y znaczone jed y n ie przez kontekst, w którym one występują, czyli przez aksjom aty i reguły system u. Zdanie „p lub n ie-p” jest p ra w d ziw e wtedy i ty l ko wtedy, gdy praw dziw y je st przynajm niej jed en ze składników (przy tym nie m usim y wiedzieć, który z nich). T aka je s t klasycz na interpretacja zdania alternatyw nego. N a tom iast za K. G odłem Ł u k asiew ic z sugeruje intuicjonis- tyczną interpretację zdania „p lub nie-p je st p ra w d z iw e ” j a k o „jeden ze skład ników alternatyw y jest praw dziw y i m ożem y w skazać, który z n ic h ” 17.
Logik-intuicjonista m ówi, że m ożem y uznać zdanie postaci „ O v VF” w te
dy i tylko wtedy, gdy m ożem y uznać zdanie O lub m ożem y uznać zdanie H7, czyli, innymi słowy, m ożem y udow odnić O lub m ożem y u d ow odnić T . D la tego, aby uznać zdanie „p lub n ie-p” , nie w ystarczy w iedzieć, że jed en ze składników je st praw dziw y, trzeba nadto m óc w skazać, który z nich jest p r a w d z i w y 18. Inaczej m ówiąc, wyrażenie postaci v VF ” je s t tezą, jeśli je s t tezą lub T jest tezą. M o żn a więc mówić, że alternatyw a intuicjonistyczna
m a efektyw ny czy też konstruktyw ny charakter. W tym sensie należałoby c h y b a rozum ieć stw ierdzenie Ł ukasiew icza, że funktory intuicjonistyczne są silniejsze niż odpow iednie funktory klasyczne.
W praw ie w yłączonego środka w ystępują d w a funktory: alternatyw a i ne gacja, ty m cza sem Ł uk asiew ic z zajm uje się tylko altern aty w ą - tylko dla niej p rzyjm uje odm ienne sym bole dla jej rozum ienia klasy cz n eg o i intuicjonistycz- nego. Czy odrzucenie przez intuicjonistów o m aw ian e g o p ra w a je s t zatem o drz uceniem klasycznej alternatywy, natom iast nega cja pozostaje po za kryty
17 T am że .
ls S k o r o nie w k a ż d y m p rz y p ad k u p o trafim y to u czy n ić, z atem o g ó l n a o b o w i ą z y w a l n o ś ć w z o r u je s t nie do p rzyję cia. Zob. K. G ó d e 1, Z u m in tu itio n is tis c h e n A u s s a g e n k a lk itl, [w:J t e n ż e , C o lle c te d W o rk s, vol. 1: P u b lic a tio n s 1 9 2 9 -1 9 3 6 , O x f o r d 1986, s. 224.
JANA ŁUKASIEWICZA UJĘCIE INTUICJONISTYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2 3 5
ką? W y d a je się, że tak w łaśnie m ożna interpretow ać poglądy Ł uk asiew ic za w tej sprawie, tym bardziej że za odrzucenie tego p ra w a w rachunku intuicjo- nisty czn y m obarcza on o d p ow iedz ia lnością sposób ro z u m ie n ia alternatywy. Inni, j a k np. M ichael Dum m ett, uw ażają, że to w łaśnie odm ienności zn a czen io w e funktora negacji p o n o szą w inę za odrzucenie przez intuicjonistów p ra w a w y łąc zonego ś ro d k a 19. W tym sporze, ja k się wydaje, żaden z nich nie m a racji, gdyż takie rozróżnienie je st nietrafne: „kiedy raz zakłóci się w zajem n e zw iązki operatorów logicznych, m ożna pow iedzieć, że zm ieniło się w szystko [...] nazw y i sym bole negacji i alternatyw y p rz en o s zą się na logikę nieklasyczną, taką j a k intuicjonizm, tylko przez luźną i arbitralną an a lo g ię ”20.
Z atrz y m ajm y się je sz c z e raz nad stw ierdzeniem Ł uk asiew ic za, że funktory intuicjonistyczne są silniejsze, odpow iednie zaś funktory klasycz ne słabsze. Tak np. słabsza im plikacja C N N pp o b ow iąz uje w rachunku intuicjonistycz- nym, natom iast im plikacja m ocniejsza F N N p p nie jest w nim ważna. A nalizu ją c ten pogląd polskiego logika, D um m ett stwierdza, że nie należy tego rozu m ieć w taki sposób, że zdanie Fpp jest m ocniejsze niż zdanie Cpp. Jest tak dlatego, że ju ż sam poprzednik intuicjonistycznego zdania w a ru n k o w eg o jest m ocniejszy niż poprzednik zdania klasycznego. K lasyczny p o prz ednik - zd a nie p je st praw d ziw e niezależnie od tego, czy m o żem y je rozpoznać jak o takie, czy nie. Jest to n iezrozum iale na gruncie intuicjonizm u: intuicjonistycz- ny poprzednik tego zdania rozum ie się w ten sposób, że p je st (intuicjonis- tycznie) dow odliw e, a to je st m ocniejsze założenie. D latego - konkluduje D u m m ett - k lasycz na i intuicjonistyczna im plikacja (jako takie) są n iep o ró w nyw alne pod w zględem siły21 - p o rów nyw ać m o żn a je d y n ie siłę (moc) p o p rz ednika (następnika) odpow iedniego zdania im plikacyjnego. P odobnie m a się rzecz z pozostałym i funktorami.
19 A n ty re a lis ty c zn e s p o jrz e n ie n a ję z y k , m yśl, lo g ik ę i h is to r ię fil o z o f i i a n a lity czn ej. Z M ic h a e le m D u m m e tte m ro zm a w ia F a b rice P a ta u t, „ K w a r ta l n ik F i l o z o f i c z n y " , 26(1 9 9 8 ), z. 1, s. 170.
2(1 W. V, O. Q u i n e, F ilo zo fia lo g ik i, W a r s z a w a 1977, s. 129.
21 M. D u m m e I t. E le m e n ts o f In tu itio n is m , O x f o r d 1977, s. 16 n. W b r e w p o g ląd o m D u m m e t t a w y d a j e się, że istnieje m o ż liw o ś ć p o r ó w n y w a n i a f u n k t o r ó w pod w z g l ę d e m siły d e d u k c y jn e j. Jeśli m a m y r ó w n o k s z ta łtn e fo rm u ły , p o w i e d z m y A, B, w obu r a c h u n k a c h i w j e d n y m da się w y p r o w a d z ić z A B, lecz nie o d w ro tn ie, a w d r u g im w o b ie st ro n y , to fu n k to r w d r u g i m j e s t m o c n ie js z y niż w p ie r w s z y m ; inac ze j ni e m o ż n a by w y p o w ie d z i e ć ż a d n y c h u w a g p o r ó w n a w c z y c h ani usta lić relacji m ię d z y s y s te m am i, w s z c z e g ó ln o ś c i nie m o ż n a by w o góle m ó w i ć o l o g ik a c h pośred n ich .
N a zakończenie swoich w y w o d ó w Ł uk asiew ic z pisze zna m ie n n e słowa o d zw ierciedlające je g o ów czesny (z 1952 r.) pogląd na wielość rachunków logicznych:
„Nie m am y sposobu rozstrzygnięcia, który z n -w a rtościow ych system ów logiki (n > 2) je st praw dziw y. L ogika nie je s t nauką o pra w ach m yślenia lub 0 ja k im ś realnym przedm iocie; je s t ona, w e dług m ego zdania, tylko narzę dziem , które pozw ala nam w yciągnąć uznane wnioski z u zn a n y ch przesłanek. K lasyczny rachunek zdań, który jest spraw dzony przez m atrycę d w uw artościo- wą, jest system em logicznym najstarszym i najprostszym i dlatego najlepiej znanym i szeroko stosow anym . Ale dla p ew nych celów, na przykład w logice m odalnej, n-w artościow y system (n > 2) m oże być bardziej odpowiedni 1 przydatny. Im bardziej przydatny i bogaty je st system logiczny, tym je st on w a rto ścio w szy ”22.
Ł u kasiew icz twierdzi więc wyraźnie, iż w logice je ste śm y skazani na konw e n cjo n alizm i pragm atyzm . Trzeba je d n a k zauw ażyć, że nasz autor prze szedł w tym w zględzie pew ną ew olucję poglądów : od po d k re śla n ia bardzo ścisłych zw iązków m iędzy logiką a d o ś w iadc zeniem (1936 r.), czego w yrazem są słowa:
„W ierzę, że jed en i tylko je d e n z tych system ów logicznych zrealizow any j e st w św iecie rzeczyw istym , czyli je st realny, tak j a k je d e n i tylko jeden system g eom etryczny jest realny. N ie wiem y dziś w praw dzie, który to jest system, ale nie wątpię, że badania em piryczne w ykażą kiedyś [...] czy zw ią zek jed n y ch faktów z drugim i odpow iada logice dw uw a rto ścio w ej, czy jakiejś w ielo w a rto ścio w ej”23
do instrum entalistycznej tezy, w yrażonej najbardziej radykalnie w artykule
S ystem lo g iki m o d a ln ej (1953), iż nigdy nie będziem y w stanie rozstrzygnąć,
który system logiki je s t prawdziwy.
W szczególności nie m ożna więc rozstrzygnąć, czy p o p ra w n a je s t logika klasyczna, czy intuicjonistyczna. Niem niej Ł uk asiew ic z zauw aża, iż wszystkie za stosow ania zdaniow ej logiki klasycznej do m atem atyki o dnoszą się rów nież - ze względu na relację zaw ierania - do stosow ania rachunku intuicjonistycz- nego do m atem atyki, a ponadto w tym ostatnim m ożna rozpatryw ać szereg subtelnych p roblem ów m atem atycznych, które nie dają się sfo rm u ło w a ć w sy stem ie klasycznym . Polski logik nie m ówi jed n ak , ja k ie to subtelne problem y
22 Ł u k a s i e w i c z , O in tu ic jo n isty czn y rn [...], s. 267.
JANA ŁUKASIEW1CZA UJĘCIE INTUICJONISTYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2 3 7
je st w stanie rozw ażać logika intuicjonistyczna, a nie nadaje się do tego celu logika klasyczna. Z tej jednak racji ze w szystkich znanych system ów wielo- w artościow ych Ł u kasiew icz najwyżej ceni logikę in tuic jonistycz ną ja k o rachu nek najbardziej intuicyjny24 i elegancki.
*
R ekapitulując roz w aża nia tego artykułu, m o żn a streścić przedstaw ione w nim poglądy Ł uk asiew ic za odnośnie do logiki intuicjonistycznej w n astępu jący sposób:
1. Polski logik nie je s t konsekw entny w ujm o w an iu relacji k lasycznego ra
chunku zdaniow ego do intuicjonistycznej logiki zdaniow ej. W pracy
z 1938 r. utrzym yw ał, iż ta ostatnia je s t częścią w łaśc iw ą logiki klasycznej, n atom iast w 1952 r. sądził, iż zachodzi zupełnie odw ro tn a zależność.
2. T e z a głosząca, że intuicjonistyczny rachunek zdań za w iera w sobie k la syczny rachunek zdań, lecz nie odw rotnie, je st p ra w d z iw a o tyle, o ile d o łą czymy do tego pierw szego definicję (u Ł u k asiew ic za ozna czo n ą j a k o definicja 63), która pozw ala na zastąpienie w yra żenia zb u d o w an eg o za p o m o c ą negacji i koniunkcji intuicjonistycznej w yrażeniem za pisa nym za p o m o c ą klasycznej im plikacji. D efinicja ta pozw ala więc na w yrażenie funktora klasycznego za po m o cą funktorów intuicjonistycznych.
3. P osłużenie się definicją 63 w rachunku intuicjonistycznym w ydaje się n ieupra w n io n e (jest ona tu definicją twórczą), gdyż za z m ien n ą funktorow ą 8 m ożna p odstaw iać je d y n ie funktory praw d ziw o ścio w e , a funktory intuicjo- n istyczne zdają się posiadać n ie-praw dz iw ośc iow y charakter.
4. W szystkie funktory intuicjonistyczne są, zda nie m Ł u kasiew ic za, m o c niejsze niż odpow iednie funktory klasyczne. T ez a ta w ydaje się być w p e w nym sensie słuszna (przykład interpretacji alternatyw y intuicjonistycznej), aczkolw iek nie wszyscy autorzy się z nią zgadzają (innego zd a n ia je st np. D um m ett).
5. R ów nież w kwestii popraw ności system u logicznego Ł u k a s ie w ic z prz e szedł ew olucję poglądów : od realizm u głoszącego, że o w yborze logiki za d e cyduje zgodność z realnym św iatem (a więc p ra w d ziw o ść tez) do skrajnego
24 P o d o b n i e u w a ż a Z. Z aw irs ki (O lo g ic e L. E. J. B ro u w e ra , „ S p r a w o z d a n i a P o z n a ń s k i e g o T o w a r z y s t w a P rz y jac ió ł N a u k ” , 1931, nr 2, 3, 4), dla k t ó r e g o j e s t o n a b liż s z a intuic ji niż c h o c i a ż b y r ó ż n e sy s te m y lo gik w i e lo w a r t o ś c io w y c h s a m e g o Ł u k a s ie w i c z a c z y n i ą c e „ n ad m iern y w y ł o m w p r a w a c h lo g ik i” .
k o nw encjonalizm u, wedle którego w ybór logiki pody k to w an y je s t względam i p ra gm a tycznym i, przede w szystkim u ży tec znością (logika je st tylko narzę dziem, tym lepszym , im bardziej użytecznym , skutecznym ).
6. Do analizy pew nych p roblem ów na gruncie m atem atyki bardziej u ż y
tecznym narzędziem w ydaje się być, zdaniem Ł u kasiew ic za, logika intuicjo- nistyczna niż klasyczna.
J A N L U K A S I E W I C Z ’S A C C O U N T O F T H E I N T U I T I O N I S T I C P R O P O S I T I O N A L L O G I C
S u m m a r y
T h e a im o f the article w as to s h o w L u k a s i e w i c z ’s p r o g r a m m a t i c th es es that are co n ta in ed m ain ly in his w o r k On the In tu itio n is tic P r o p o s itio n a l L o g ic a n d c o n c e r n in g first o f all the c o n n e c ti o n s b e tw e e n th e in tuitio nistic and class ical s e n ten tial cal culi. It w as als o s h o w n that in the sa m e arti cle L u k a s ie w i c z did not put into e ffe ct th e p r o g r a m m a t i c th es es he p ro c la im e d a lth o u g h he t h o u g h t that he fu lfilled th e task f o rm u la ted in this w ay. M o r e o v e r , an a tte m p t wa s m a d e to c o m p l e m e n t s o m e o f the th es es p r o p o s e d b y th e P olish lo g ic ia n in c o n n e c ti o n with u n d e r s t a n d i n g o f th e p rinciple o f e x c l u d e d m id d le a n d lo gic al c o n s ta n ts o c c u r r i n g in this princi ple.
