Analyse van een mogelijke methode voor het meten van prestaties en stabiliteits- en besturingseigenschappen van een vliegtuig in niet-stationaire, symmetrische vluchten

¡rt

t;;:

¿J ' C L ) r ,

j

L

?

E-i 4.1 cv r1 j I

r

:t ç:

I

-'

r r ,, 1! , I.-' t

i;i

i

':ii5

4 1 L

:

s ' : ! I-4 (

3LIJ

'

i ,

ji JI

r

.-h .-ti U L i ¡ t I ,j '-i ç

I

t t i ! L ' ' I

"

i

j

w H

ru

"

t

t

- ! Lii

l

;-t L 11 L

r

'

L1 t . 1: G) c

-.

, t L_ i ;fl,I i _

il

j j II t L t j

z o rl .O Cfl

i'

}-. J

___I

__j

__

j

---,

-L t1t I ì j

p

.

N !

:«

r

jIj_

j I :: jj ç

r

-I

.h

t d W ;

Il-'_ t

:

; 1j fr j 1

L:'tt

: 1

-j_j I

LJ.J(,)

J j

j:

r::

::

j 1 r. i

:

I I

z

s:'-i

-, j t

:

t{h

r

cI L

)

. !_

t/

$L , t _! r -: , j t j ti ... j ii

it

4

j.

I LLJ.J I..I.1q1 t t t I _j j I :

-t r fl

i j

)

;t;1

ii

-i1

:

;

:

'

-:

tl) < r

t ;i t I _ j I jt

I

i .-j

:

'

'.,

i t

4_

t I j i

'

' i -4

it

L i I (

-t -i p_

Z

)!'(J

h1 Ii t 4 j I

jj

Q.)

t t

t-iLIJ:it

'

z

<' '

t -i j i ç t j t -I j p i _ I

r-'

-! :

Z

: -t j I _j-t.j 2 i z I1IØi ,1 J jt ; :

''

; I ; I t .i , 4

jt

t j -1 -'

-i

t 'tt% p_... 1L ii j t t ì I

-- t

tç1i q, , t z__ ! ;

i

.j t t j I ., n f1i!

'

jt

I .. j i il

>

i

i

i

il

I I t I j I

i

__ jt t ,i ç

j"

t i

ht

j j t I I I t C P LI.J

I h

. j t t t it i

r

t L 4 ,a t t LJ.J t -. j

t1i

fr

"i

i

L 4 1t i C j L t j j ri

,i

4 I

.j-L

r

C-1L i.

tiil1tt

I I t i t

»lt

li

I

t-;ti

-I

Ii;ILt

t

r

-i

iI

t(j

I

4'<

P I t_; t i T ,

L-1V

:- , :

-' t;

cl i r c

-i't

i

j» t

-I t

9

{f' !r!n

i

ANALYSE VAN EEN MOGELIJKE METHODE VOOR

HET METEN VAN PRESTATIES EN

STABILITEITS- EN

BESTURINGSEIGENSCHAPPEN VAN EEN VLIEGTUIG

IN NIET-STATIONAIRE, SYMMETRISCHE

VLUCHTEN

PROEFSCHRIFT

TER VERKRUGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE

TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE

HOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DE RECTOR

MAGNIFICUS IR. H. J. DE WIJS, HOOGLERAAR IN DE

AFDEL!NG DER MIJNBOUWKUNDEI TE VERDEDIGEN OP

WOENSDAG 4 NOVEMBER 1964, DES NAMIDDAGS TE

4 UUR

door

OTtO HERMANN GERLACH

vliegtuigbouwkundig ingenieur

e

biz. 58 2 regel: het woord "is dient te vervallen.

biz. 78 7e regel: het woord ist dient te vervallen.

biz. 135 Aan het opschrìf t van tabel 37b dient te worden toegevoegd:

o in

/0

biz. 173 De laatste 6 regels dienen te worden vervangen door het

onder-staande:

Dan is:

cii =

Au

i Volgens (A3-2) is

S

=>{Y_(aaiXi+a2X2

+aX'

=

min1

=

I{iY_a

X

-a

X

--a

X

)+(V-a -a -a X2 -a

X

)

11

22

mm

O

11

2

mm

n

Laboratorium voor

Scheepstiydromechanlca

Archlef

Mekeiweg Z 2628 CD DeIft

TeL 015 788873 Fax 015 781838

Aan mijn ouders

Samenvatting.

In dit rapport is een analyse gemaakt van een mogelijke methode voor het verrichten en uitwerken van metingen met een vliegtuig in niet-stationaire,

symmetrische vluchten. De methode heef t tot doel uit n manoeuvre van het

vliegtuig bij veranderende vliegsnelheid gegevens af te leiden, nodig voor het bepalen van vliegprestaties, stabiliteits- en besturingseigenschappen, de symmetrische stabiliteitsafgeleiden en de vliegtuigpolaire. De resultaten zijn alleen geldig voor het gebied van invalshoeken en sneiheden dat in de

manoeuvre werd doorlopen en voor de motorregeling en de zwaartepuntsligging die in de manoeuvre werden gebruikt.

De onderzochte methode berust op het gebruik van z.g. regressieberekeningen, gebaseerd op de methode der kleinste kwadraten. De regressieberekeningen worden

uitgevoerd met behuip van analytische functies voor de aerodynamische

cofficin-ten C, C

en Cm die vóór de uitwerking moeten worden gekozen. Een controle op

de juistheid van de keuze van deze functies blijkt aan de hand van de resultaten der regressieberekeningen mogelijk te zijn.

Bijzondere aandacht is besteed aan de vorm die de manoeuvre waarin de metingen worden verricht, dient te bezitten.

Aan de hand van digitaal nagebootste meetresultaten van een tweetal

manoeuvres met een subsoon schroefvliegtuig, is de bruikbaarheid van de methode voor een dergelijk vliegtuig bestudeerd. Daarbij is onderzocht met welke nauw-keurigheid de uiteindelijk gezochte grootheden, zoals de prestaties en de stabiliteits- en besturingseigenschappen, via regressieberekeningen uit de ge-simuleerde meetresultaten konden worden berekend.

Voor zover dit aan de hand van het uitgevoerde onderzoek kon worden nage-gaan, bleek dat de gezochte grootheden voor het beschouwde vliegtuig vrijwel

alle met grote mauwkeurigheid uit de metingen in niet-stationaire vluchten kunnen worden afgeleid, nits die metingen met een grote, maar wel bereik-bare, nauwkeurigheid worden verricht.

De toepasbaarheid van de methode op enkele andere categorien van

Notaties en assenstelsels VI

Inleiding i

Afleiding van uitdrukkingen voor de aerodynamische cofficirn- 7

ten C, CZ en Cm voor een subsoon schroefvliegtuig

3.1. Algemeen 7

3.2. Uitdrukkingen voor stationaire, rechtlijnige vluchten 8

3.2.1. X-vergelijking 9

3.2.2. Z-vergelijking 12

3.2.3. M-vergelijking 13

3.3. Uitdrukkingen voor niet-stationaire, niet-rechtlijnige 13

vluchten

3.4. Een formule voor een parameter voor de schroefinvloed 14

3.5. Vereenvoudigde uitdrukkingen voor Cx C en Cm 18

3.6. Korte bespreking van de gekozen uitdrukkingen voor 19

C.0 enC

_{X Z}

Bepaling van de aerodynamische afgeleiden door middel van 22

regres sieberekeningen

4.1. Uitwerking van responsiemetingen aan de hand van 22

gelineariseerde bewegingsvergelijkingen 4.1.1. Algemeen 22 4.1.2. Regressieberekeningen 25 4.1.3. X-vergelijking 27 4.1.4. Z-vergelijking 28 4.1.5. M-vergelijking 29

4.2. Uitwerking van responsiemetingen aan de hand van meer 31

volledige, niet-lineaire bewegingsvergelijkingen

4.2.1. Algemeen 31

4.2.2. X-vergelijking 34

4.2.3. Z-vergelijking 35

4.2.4. M-vergelijking 39

Bepaling van combinaties van afgeleiden van Cm

Bepaling der afgeleiden van Cm afzonderlijk 43

4.3. Overzicht van de behandelde methoden van verwerking der 47

7.3.1. Algemeen 109

vluchten, de stabiliteitsafgeleiden en de vliegtuígpolaire

5.1. Algemeen 49

5.2. De vliegprestaties en de stuurstandslijn 49

5.3. De stuurverplaatsing per "g" 51

5.4. De stabiliteitsafgeleiden 52

5.5. De vliegtuigpolaire 60

De vereiste vorm van de manoeuvre 63

6.1. Algemeen 63

6.2. De optimale manoeuvre voor een systeem van de tweede orde 65

6.2.1. Beschrijving van het systeem 65

6.2.2. Periodieke excitatie 66

6.2.3. Aperiodjeke excitatie 71

6.2.4. Resultaten van enkele numerieke berekeningen 74

6.3. De optimale manoeuvre voor een vliegtuig 77

6.3.1. Besehouwing over de hoogste frequentie die in de 77

manoeuvre mag worden opgewekt

6.3.2. De uiteindelijke vorm van de manoeuvre 80

Enkele numerieke resultaten 86

7.1. Algemeen 86

7.2. De eerste manoeuvre 89

7.2.1. X-vergelijking 91

7.2.2. Z-vergelijking 93

Volledige vergelijking; invloed van de nauwkeu- 93

righeid der gesimuleerde metingen en van het tijdsinterval tussen de metingen

Berekening der afgeleiden bij verwaarlozing 96

van C Za

7.2.3. M-vergelijking 100

Rechtstreekse bepaling van de afgeleiden; 100

invloed van de nauwkeurigheid der gesimuleerde metingen en van het tijdsinterval tussen de

met ingen

Berekening van combinaties van afgeleiden van Cm 102

C. Berekening der afgeleiden van C door afzonder- 104

qc

lijke eliminatie van resp, a, en

Berekening der afgeleiden, gebaseerd op de oor- 112

spronkelijk gebruikte formule voor C

Berekening der afgeleiden, gebaseerd op onjuiste 113

formules voor C

7.3.3. Z-vergeli,jking 116

Berekening der afgeleiden, gebaseerd op de 116

volledige formule voor CZ

Berekening der afgeleiden, bij verwaarlozing van 117

CZ

C. Berekening der afgeleiden, gebaseerd op een on- 119

juiste formule voor C

7.3.4. M-vergelijking 121

Berekening der afgeleiden, gebaseerd op de 121

volledige formule voor C

n

Berekening van combinaties van afgeleiden van Cm 122

C. Berekening der afgeleiden vanC afzonderlijk, 123

door eliminatie van resp, a, en

d. Berekening der afgeleiden, gebaseerd op onjuiste 126

formules voor C

7.4. Verschillende berekeningen met behulp van de gevonden 131

aerodynamische afgeleiden

7.4.1. Algemeen 131

7.4.2. De vliegprestaties, de stuurstandslijn en de stuur- 134

verplaatsing per "g"

7.4.3. De stabiliteitsafgeleiden en de dynamische stabili- 136

teit

7.4.4. De vliegtuigpolaire 139

8. De te verwachten bruikbaarheld van de methode voor verschil- 141

lende categorie8n van vliegtuigen

8.1. Algemeen 141

8.2. V/STOL-vliegtuigen 141

8.3. Transsone en supersone straalvliegtuigen 142

8.3.1. Invloed van de straalwerking en van de samendruk- 142

baarheid van de lucht

8,3.2. Invloed van aero8lastische vervormingen van het 145

vliegtuig

Résumé en conclus jes ₁₄₈

Analysis of a possible method for the measurement of 155

performance, stability and control characteristics of an aircraft in non-steady, symmetrical flight. Summary in English

Literatuur 161

Aanhangsel 1. Bespreking van de formule voor een parameter 163

voor de schroefinvloed

Aanhangsel 2. Aanpassing van de uitdrukkirigen voor _{CZ en} 165

Cm aan het geval van een transsoon of supersoon straal-vliegtuig

Aanhangsel 3. De toepassing van regressieberekeningen 169

Aanhangsel 4. Berekening van de vliegtuigbewegingen waarop 179

de numerieke voorbeelden zijn gebaseerd

Aanhangsel 5. De berekening van langsbelling en invalshoek 184

uit metingen In de vlucht

a geluidssnelheid

a constante in (3-11)

a constante in (A2-2)

1. Notaties en assenstelsels.

a. cofficint behorende bij de variabele X. in een regressie-berekening

a normale versnelling

A vleugelslankheid

A determinantwaarde van [A j

Ak determinantwaarde van [Akj

1)

A specifieke kracht in de X-richting

A

specifieke kracht in de Z-richting

[A] matrix in het linker lid der normaalvergelijkingen (A3-9)

-1

[A] inverse van de matrix [A]

[A.,] minor van [A], behorende bu het element in de k-de nj en de

-,-de kolom

b spanwujdte van de vleugel

b constante in (3-18)

b constante in (A2-2)

b.

ooff1cint van x in (A3-17)

c dempingsconstante in (6-2)

c constante in (A2-2)

gemiddelde aerodynamische koorde van de vleugel

-1

c1 element op de hoofddiagonaal van [A]

C stijgsnelheid

CD

weerstandscofficint

C minimale waarde van CD o

CL draagkrachtscofficint

CL waarde van CL aan het begin van de manoeuvre

CL waarde van CL waarbij CD minimaal is

1

L La

1)

Onder de specifieke kracht wordt verstaan de uitwendige kracht die op een lichaam werkt, gedeeld door de massa van het lichaain.

C constante deel van C in (3-14)

a m

o

C ' constante deel van C in (3-10)

m n o C n Pt

a (P/PV2)

Dc n C D

Dc

n C mq D q/V

Dc

n C

-DT

c C s C a u

Du

s òC n C DV

Dc

Dc :ma2

C cofficint van de aerodynamische kracht in de X-richting

C constante deel van C in (3-12)

Cx, constante deel van C in (3-8)

C waarde van C aan het begin van de manoeuvre, in het

stabiliteits-os

assenstelsel

DC n

cx

3 (p /pV)

3 a Cx a) a)

c,

Cx _c5F T C C 1 s 2 u

pVS

a) s a

c

Cxv X

C3

Cx acx

cx'

- ,

als C2 = O

a c,

Cx2

a

'ba

C coÍficint van de aerodynamische kracht in de Z-richting

Z

C ' waarde van C , als = O

Z Z e

C constante deel van CZ in (3-11)

CZ waarde van C aan het begin van de manoeuvre

constante deel van CZ in (3-9)

berekende waarde van C, als in de regressieberekening CZq = O

wordt gesteld, zie (4-21)

C waarde van C aan het begin van de manoeuvre, in het

stabiliteits-O assenstelsel. acZ Cz ₂ a)(p

4pV )

j

CZ

pt

CZ q C ZT C CZ

us

(APt/íPv2)

,Cz

qe/y

bC T 1

s

pV2S . CZ CZv bC

C3

bC CZ CZ

ffÇ

CZ '

berekende waarde van C

,

als in de regressieberekening C

= O

5 5 q

wordt gesteld, zie (4-21)

d

constante in (3-il)

d

constante in (A2-3)

D

schroefdiameter

D

weerstand

e

Oswald factor

e

grondtal der natuurlijke logarithxnen

e

constante in (A2-3)

f

constante in (A2-3)

g

versnelling ten gevolge van de zwaartekracht

hoogteverandering sinds het begin van de manoeuvre

H

overdracht sverhoud ing

i

hoek tussen de totale krachtsverandering ten gevolge van Tc en

de X-as

'1k

component van de verandering van x

bu

de f requentie

in

, CZ

kwadratuur met de verandering van de onafhankelijke variabele

bij Wk5 zie (6-4)

gemiddeld traagheidsrnoment van de schroef en de bewegende delen van de motor, ten opzichte van de schroefas

I traagheidsmoment van het vliegtuig orn de Y-as

1yk component van de verandering van y bij de frequentie k'

kwadratuur met de verandering van de onafhankelijke variabele

bij k zie (6-4)

j constante in (A2-1) k constante in (A2_l) k constante in (A5-12) k evenredigheidsconstante in (A5-12) Pt k p k q ka

k12

evenredigheidsconstanten in (6-2)

K van de frequentie onafhankelijke deel van een

overdrachtsver-houding

K dimensieloze traagheidsstraal langs de Y-as

constante in (A2-1)

- staartlengte

L draagkracht

m massa van het vliegtuig

n massa van een systeem van de tweede orde, zie (6-2)

n aantal bekende variabelen in een regressieberekening

M aerodynanisch moment 0m de Y-as

M getal van Mach

M modulus van een overdrachtsverhouding

n omwentelingssnelheid van de motor

n aantal tijdstïppen waarop de bekende variabelen in een

regressie-berekening gegeven

a

n normale versnellingsfactor,

N aantal malen dat a, of 9 in een gegeven interval liggen

p hoeksnelheid orn de X-as

p statische druk van de ongestoorde stroming

Pt totale druk van de ongestoorde stroming

Pt totale druk in de uitlaatopening van een straalpijp

het schroefvlak

APt _'t

_-Pt

s

P periode van een slingering

P motorvermogen

motorvermogen, benodigd voor het vergroten van de omwentelings-snelheid van de schroef

P effectief motorvermogen, P - P

ef f a

q hoeksnelheid orn de Y-as

Q schroefkoppel

cofficirnt van het schroefkoppel, Q/pV2D3

koppel, benodigd voor het vergroten van de omwentelingssnelheid van de schroef

Q rekengrootheid, zie (A5-10)

rekengrootheid, zie (A5-ll)

r hoeksnelheid 0m de Z-as

enkelvoudige corre1atiecofficint die de correlatie tussen

13

de twee variabelen X. en in een regressieberekening weergeef t

R totale correlatiecofficint

R1 partile correlatiecofficint, behorende bij de variabele X.

Rik component van de verandering van x bu de frequentie Wk in fase

met de verandering van de onafhankelijke variabele bij zie

(6-4)

Rk

component van de verandering van y bu de frequentie _flk in fase

met de verandering van de onafhankelijke variabele bu

11k'

zie (6-4)

s constante in (4-20) en (4-27)

S vleugeloppervlak

S som der kwadraten in een regressieberekening

t evenredigheidsconstante in (4-20) en (4_27)

t tijd

t interval tussen twee opeenvolgende metingen van een variabele

T tijdstip waarop de manoeuvre begint

T equivalente verschuiving im de tijd van het laagfrequente deel

van een signaal, veroorzaakt door een filter

T trekkracht of stuwkracht

u component van de vliegsnelheid V langs de X-as

dimensieloze snelheidsverandering,

V vliegsnelheid

V0 vliegsnelheid aan het begin

_van

de manoeuvre

w component van de vliegsnelheid langs de Z-as

W vliegtuiggewicht

X. bekende variabele in een regressieberekening, X.

-

Ç

X. onafhankelijke veranderlijke in (6-2)

X afhankelijke veranderlijke in (6-2)

verschil tussen de gegeven waarde van x en de waarde b1x., zie

(A3-17)

X aerodynamische kracht in de X-richting

X. de volgens Fourier getransforineerde veranderlijke x

X1 bekende variabele in een regressieberekening

gemiddelde waarde van X. in een regressieberekening

y bekende term in een regressieberekening, y-V

y verschil tussen de gegeven waarde

van

y en a.x1, zie (A3-13)

Y bekende term in een regressieberekening

V gemiddelde waarde

van Y

z aerodynamische kracht in de Z-richting

Z

a

invaishoek

a

gemeten invaishoek m

a

invaishoek waarbij C = O o L

a

invaishoek

van

de X-as aan het begin van de manoeuvre, hoek

tussen de X-as en de X-as tijdens de manoeuvre

a1 invaishoek waarbij CD minimaal is

fout in de jnvalshoek

r

baanhoek

baanhoek aan het begin van de manoeuvre

hoogteroerhoek

E

fasehoek, argument van de overdrachtsverhouding

O langshelling

fout in de langshelling

relatieve dichtheid van het vliegtuig,

C

pSc

p luchtdichtheid

standaard deviatie

verhoudimg van de absolute luchttemperatuur tot de absolute temperatuur in de standaard atmosfeer op O m hoogte

ç roihoek

w

cirkelfrequemtie

cirkeifrequentie waarmee verandert

w

ongedempte eigencirkelfrequentie

In deze studie worden twee assenstelsels gebruikt.

Het vliegtuigassenstelsel. Dit is een reclithoekig, rechtsdraaiend

assen-stelsel, waarvan de oorsprong in het vliegtuigzwaartepunt ugt. Het

XOZ-viak valt samen met het symmetrieXOZ-viak van het vliegtuig. De positieve

X-as wust in de normale vlucht naar voren, de positieve Z-as omlaag

en de positieve Y-as maar S.B. zie fig. 1.1. De assen bezitten onder alle omstandigheden een onveranderlijke richting ten opzichte van het vliegtuig. De Y-as Staat altijd loodrecht op het syminetrievlak, terwijl de richting van de X- of de Z-as nog wullekeurig kan worden gekozen.

Dikwijls wordt n van deze richtingen evenwijdig aan de richting van

én der gevoelige assen der neetinstrumenten in het vliegtuig gekozen.

Het stabiliteitsassenstelSel. Dit assenstelsel wordt slechts gebruikt orn de bewegingen van het vliegtuig orn een bepaalde stationaire symmetrische rechtlijnige vlucht te beschrijven. Het stabiliteitsassenstelsel is evenals

willekeurig tijdstip tijdens de manoeuvre waarop de bekende variabelen gegeven zijn

stuwstraal

grootheden die op het stabiliteitsassenstelsel betrekking hebben

In Aanhangsel 5 duidt een accent ' de eerste benadering van de desbetref fende

grootheid aan. AssenstelselS. Indices. j j s Accent.

stelsel, waarvan de oorsprong in het vliegtuigzwaartepunt ugt. Net XOZ5-viak valt 00k samen met het symmetrieXOZ5-viak van het vliegtuig. De positieve X-as wust in de normale viuclit maar voren, de positieve Z-as omlaag en de positieve Yas naar S.B. De assen bezitten tijdens de niet-stationaire beweging on de

gekozen uitgangstoestand een onveranderuijke richting ten opzichte van het vliegtuig.

Net verschil met het eerder genoende vliegtuigassenstelsel is echter

het volgende. De X-as wordt steeds gelegd in de richtung van de sneiheid van

het vliegtuigzwaartepunt in de evenwichtstoestand, die aan de niet-stationaire

beweging voorat gaat. In die stationaire vlucht is de invaishoek van de X-as

dus gelijk aan nul. Indien de bewegingen orn twee verschullende stationaire

symmetrische rechtlijnige vluchten worden beschouwd, zal de X-as tijdens

die twee bewegingen verschillende richtingen ten opsichte van bet vulegtuig bezitten.

De X-as heef t echter steeds dezeif de richting ten opzichte van het vlieg-tuig. Net X OZ -vlak valt sanen met het XOZ-vlak en de Y -as valt sanen net

s s s

2. Inleiding.

Sinds het begin van de luchtvaart worden in vliegtuigen metingen tijdens de vlucht verricht. Lange tijd berustten de meetmethoden ter bepaling van prestaties en stabiliteits- en besturingseigenschappen vrijwel zonder uitzon-dering op het stationair zijn van de bewegingstoestand van het vliegtuig tijdens de metingen, zie lit. 1, 2, 3 en 4.

Sedert verscheidene jaren zijn evenwel meetmethoden voor de bepaling van prestaties en stabiliteits- en besturingseigenschappen in gebruik, waarbij net opzet in niet-stationaire vliegtoestanden wordt gemeten. Deze methoden kunnen in de onderstaande twee groepen worden onderscheiden.

Responsiemetingen, ter bepaling van de dynamische stabiliteits- en

bestu-ringseigenschappen van een vliegtuig. Bu deze responsiemetingen wordt ann

een roer een, gewoonhijk kort durende, uitslag gegeven. De roeruitsiag en de responsie van het vliegtuig daarop worden gemeten.

Prestatiemetingen in niet-stationaire vluchten, ter bepaling van de prestaties die het vliegtuig in stationaire vluchten bezit. De bedoelde prestaties zijn de stijgsnelheid als functie van de vliegsnelheid en de vliegsnelheid in de horizontale vlucht.

Responsiemetingen in symmetrische vluchten hebben vrijwel steeds tot doel de bepaling van stabiliteits- en besturingseigenschappen die samenhangen met de z.g. snelle slingering van het vliegtuig bij een constant veronderstelde vlieg-sneiheid, zie lit. 5, 6, 7. Metingen die verband houden met de z.g. langzame slingering, waarbij wel veranderingen van de vliegsnelheid optreden, worden veel minder dikwijls verricht. Deze situatie wordt uiteraard bepaald door de verschillende mate waarin tot dusverre behoefte aan gegevens op deze twee gebieden bestaat. Er zijn in de literatuur slechts zeer weinig metingen bekend, die gelijktijdig de langzame en de snelle slingering omvatten, zie lit. 6 en 8, hoewel slechts zulke metingen een volledig overzicht van de dynamischß stabiliteits-en besturingseigstabiliteits-enschappstabiliteits-en zoudstabiliteits-en gevstabiliteits-en.

Prestatiemetingen in niet-stationaire vluchten worden tot dusverre niet op zulk een grote schaal verricht als de responsiemetingen. In de meeste gevallen volgen de prestaties nog als vanouds uit metingen in stationaire vluchten. Het is echter bekend, dat het meten van de prestaties in vluchten die niet volkomen stationair zijn - een passende benaming van deze vliegtoestanden zou quasi-stationair zijn - in vele gevallen zonder verlies aan nauwkeurigheid tot een aanzienlijke ver-korting van de benodigde vliegtijd kan voeren, zie lit. 9, 10 en 11.

De betrekkelijk langzame verandering van de grootheden tijdens pres-tatiemetingen in quasi-stationaire vluchten, doet denken aan de wijze waarop

de veranderlijken tijdens een langzame slingering van het vliegtuig variren.

Dit doet de vraag opkomen, of het wellicht mogelijk zou zijn de

stabiliteits-en besturingseigstabiliteits-enschappstabiliteits-en die samstabiliteits-enhangstabiliteits-en met de langzame slingering in én

meting met de vliegprestaties te bepalen. Een volgende stap is dan de wens, uit diezelfde meting 00k de eigenschappen van de snelle slingering af te leiden.

Indien aan deze wensen kan worden voldaan, zou vrijwel het gehele ge-bied van de metingen die voorheem uitsluitend in stationaire vluchten werden

verricht, nu toegankelijk zijn voor gelijktijdige meting in én niet-stationaire

manoeuvre. Het behoef t geen betoog dat met zulk een, tot dusverre niet toege-paste, methode een aanzienhijke besparing zou kunnen worden verkregen op de vliegduur die nodig is voor het bepalen van de gezochte ei.genschappen van het vliegtuig. Daarnaast zou, dank zij het feit dat deze eigenschappen alle uit

én manoeuvre worden afgeleid, het onderlinge verband tussen de verschillende aspecten van het gedrag van het vliegtuig meer naar varen komen. Op grond van deze overwegingen zou een methode van dergelijke gecombineerde metingen in

niet-stationaire vluchten een bruikbare aanvulling op het gamma der thans reeds ter beschikking staande meetmethoden kunnen zijn.

In het onderstaande is een methode onderzocht, die in principe aan de bovengenoemde wensen voldoet. Uit een reeks van metingen in één symmetrische, niet-stationaire manoeuvre bij constante motorregeling en variabele vliegsnel-heid, kunnen volgens deze methode in principe gegevens worden afgeleid,

betref-fende:

de stijgsnelheid als functie van de vliegsnelheid in stationaire vluchtem, de stuurstandslijn, d.w.z. de voor momentenevenwicht benodigde hoogte-roerhoek als functie van de vliegsnelheid in stationaire, rechtlijnige vluchten,

de stuurverplaatsing per "g", in stationair veronderstelde, niet-recht-lijnige vluchten bij constante vliegsnelheid,

de stabiliteitsafgeleiden voor de verstoorde symmetrische bewegingen, de vliegtuigpolaire, die het verband tussen draagkracht en weerstand van het vliegtuig geef t.

Deze resultaten gelden slechts voor het gebied van invalshoeken en snelheden dat in de manoeuvre werd doorlopen en voor de motorregeling en

zwaartepunts-1iggng die in de manoeuvre werden gekozen.

De vereiste vorm van de manoeuvre waarin de metingen moeten worden ver-richt en de wijze waarop die netingen worden uitgewerkt, zijn de voornaamste

punten van onderzoek in dit rapport. Ten einde de omvang van het onderzoek te beperken is het bepalen van stuurkrachten geheel buiten beschouwing gelaten.

00k het belangrijke aspect van het brandstoverbruik in verschillende

vlieg-toestand is niet beschouwd, aangezien het zieh minder goed leent voor meting in niet-stationaire vluchten. Details van de wi,jze waarop de verschillende groot-heden tijdens de manoeuvre worden bepaald en van de instrumenten die voor deze

rnetirngen benodigd zijn, zijn eveneens zo veel mogelijk buiten beschouwing gelaten. De Studie is in het bijzonder gericht op een toepassing van de methode op een laboratoriumvliegtuig der Technische Hogeschool te Deif t, een De Havilland DHC-2 "Beaver". Dit is een eenjnotorig schroefvliegtuig, waarvan in Aanhangsel 4

enkele gegevens zijn verzameld. De constructie van dit geheel metalen vliegtuig

is zodanig, dat het vliegtuig bu de frequenties die tujdens de manoeuvre

worden opgewekt, als star mag worden beschouwd. De stroming orn het vliegtuig is onder alle omatandigheden subsoon.

De te onderzoeken methode zou uiteraard niet alleen bruikbaar moeten zijn voor starre, subsone schroefvliegtuigern. Daarorn is tevens in het kort nagegaan,

welke problemen kunnen worden verwacht indien de methode op andere categorien

van vliegtuigen darn de zojuist genoernde wordt toegepast.

Hoewel de in dit rapport beschreven analyse een aantal hoopgevende conclusies oplevert, blijkt tevens dat de eisen die aan de meetnauwkeurigheid

moeten worden gesteld hoog zum, hoewel niet onbereikbaar hoog. In hoeverre

inderdaad aan de eisen zal kunnen worden voldaan, vormt thans het onderwerp van een experirnenteel onderzoek, dat mede is gebaseerd op de omderhavige studie.

In het onderstaande wordt de methode zeer in het kort beschreven. Tevens wordt een beknopt overzicht van de inhoud der volgende hoofdstukken gegeven.

Veronderstel, dat in een aantal niet-stationaire vliegtoestanden van een

subsoon schroefvliegtuig de volgende grootheden zijn gemeten, of uit metingen zijn afgeleid:

A, A,

, q, a, pV2, V, p en P

t eff

Gevraagd wordt nu, met behuip van deze grootheden de bu elkaar behorende

waarden van y, a, O en

e

de stuurverplaatsing per "g" te bepalen, voor de vliegtuigtoestand waarin de metingen zijn verricht. Tevens worden de stabiliteitsafgeleiden voor kleine

symmetrische afwijkingen van de desbetreLfende stationaire vliegtoestanden gevraagd en bovendien nog de vliegtuigpolaire.

De gestelde vragen worden als voigt beantwoord. Uit A, A en voigen

met behulp van de bekende massa n en het traagheidsmoment I de aerodynainische

krachten X en Z en het moment M orn het zwaartepunt die op het vliegtuig werken: X = rn.A X Z = m.A z M =

i.4

Uit deze drie grootheden worden de drie dimensieloze cofficinten C, CZ

2

en Cm berekend, met behuip van de bekende, gemeten waarde van pV en de

eveneens bekende constanten S em

X

C=

--PVS

C-C-

_m PV2S M

Voor elk van de niet-stationaire toestanden waarin een meting is verricht,

kunnen C , C en C dus worden bepaaid.

X Z n

De drie aerodynarnische cofficinten zum afhankelijk van verschillende

variabeien, waaronder componenten van de beweging en de roerhoek. Deze afhanke-iijkheid wordt voor het subsone schroefvliegtuig als voigt uitgedrukt:

2 C

.a+c2.a

C)( = C+ C

T + Xa

_a

qe C

.a+c

C

= C+ C. i +

. + C v + C .5 q Z5 e

-C =-C +-C .+-C

.a+c

.+C .+C .5

rn in m 2 m n V n V

n

e

°

a

a

q 5

Bovendien wordt nog geschreven:

¿pt

pV2

_ab

Pef f

pV3

Een motivering voor de keuze van deze uitdrukkingen voor C, _CZ, Cm ¿pt

en is in hoofdstuk 3 gegeven, terwiji in AaLthangsel 2 soortgelijke

pV

uitdrukkingen voor een transsoon of supersoon straalvliegtuig zijn afgeleid.

Uit de metingen volgen nu een groot aantal bu elkaar behorende, d.w.z.

telkens op n

tui

dstip betrekking hebbenile waarden van de variabelen in de

bovenstaande vergelijkingen, dus van:

2 q neff

5 en

Cx, Cz

C, -,

a, a ,

i:-,

_V'

e

pV

vervolgens worden de in hoofdstuk 4 en Aanhangsel 3 besproken regressie-berekeningen - gebaseerd op de methode der kleinste kwadraten - toegepast orn de bekende constanten en afgeleiden in elk van de vergelijkingen te bepalen. Dit zijn dus de grootheden:

Cx,Cx

a

a

,CzCzCz.Cz

o

AP

a

a

q S

C ,C

,C ,C ,C ,C

n n n rn n rn o

a

a

q 5 a, b.

Met behuip van de aldus gevonden constanten en afgeleiden is het nogelijk de reeds genoende, gezochte grootheden- zoals de prestaties in stationaire vluchten - te bepalen. De wijze waarop dit geschiedt, is in hoofdstuk 5 nader uitgewerkt.

Met blijkt nu dat de mogelijkheid de bovenstaande aerodynamische constan-ten en afgeleiden door middel van regressieberekeningen te bepalen, aan een aantal beperkingen onderhevig is. In hoofdstuk 6 is in het bijzonder nagegaan,

aan welke voorwaarden de vorm

van

de manoeuvre waarin de metingen worden

ver-richt moet voldoen, opdat de regressieberekeningen zo nauwkeurig rnogelijke

In hoofdstuk 7 zi,Jn een aarital resultaten van de methode van uitwerken weergegeven en besproken. Deze resultaten zijn echter niet gebaseerd op

werke-luke metingen in de vlucht, maar op berekende bewegungen die door oplossen

van de bewegingsvergelijkingen van het vliegtuig werden verkregen. Gemeend wordt dat deze resultaten, die dus op een digitale simulatie berusten, enige indruk geven van de mogelijkbeden en beperkingen van de methode.

Tenslotte is in hoofdstuk 8 een korte beschouwing gegeven over de te

verwachten toepasbaarheid van de methode op andere categorien van

vlieg-tuigen dan het subsone schroezvliegtuig, dat in de voorgaande hoofdstukken werd bestudeerd.

-7-3.

Afleiding van uitdrukkingen voor de aerodynamische cofficinten C,_C

enC voor een subsoon schroefvliegtuig.

3.1.

Algemeen.

De in dit rapport beschreven en geanalyseerde meetmethode

is gebaseerd

op de veronderstelling, dat het

aerodynamische gedrag van het vliegtuig reeds

v66r de metingen in algemene gedaante enigszinS bekend is. Dit aerodynamische

gedrag komt tot uiting in de wijze waarop de aerodynamische cofficinten

C , C

en C

veranderen als functie van verschillende parameters. De drie

X Z m

cofficinten zijn gedefinieerd als:

X 2

pVS

C

pVS

M

n

_pV2SC

Er wordt van de veronderstelling uitgegaan, dat het voor conventionele

vliegtuigen vrijwel steeds mogelijk is, uitdrukkingen voor deze

drie

aero-dynamische cofficinten op te stellen, die de veranderingen der coÎficinten

met de bewegingstoestafld van het vliegtuig met een redelijke

nauwkeurigheid

voorspellen. De numerieke waarden der constanten in die uitdrukkirigen noeten

echter uit de metingen worden afgeleid.

De noodzaak orn formules voor C, CZ en C

op te stellen nog v66r jets

omtrent het werkelijke aerodynamische gedrag van het vliegtuig uit

de netingen

bekend is, is ongetwijfeld een bezwaar van deze methode. Aan de

hand van de

in hoofdstuk 4 te beschrijven regressieberekeningen kunnen

echter niet alleen

de gezochte waarden der constanten worden gevonden, maar 00k kan worden nagegaan

in welke mate de gekozen formules voor C, C

en Cm een aanpassing aan de

meet-resultaten geven. Zo nodig kan de formule voor C, C

en C

worden gewijzigd

ter verkrijging van een betere aanpassing. Deze mogelijkheid is in

hoofdstuk

7 aan de hand van enkele nuxnerieke voorbeelden nader onderzocht. De aldus

verkregen resultaten laten de voorlopige conclusie toe, dat de

formules die

in het onderstaande worden afgeleid, binnen zekere grenzen slechts

behoeven te

worden beschouwd als een eerste aanloop voor hat verkrijgen van uitdrukkingen

die een zo goed mogelijke aanpassing aan de neetresultaten geven.

In het nu volgende worden formules voor C, C en C voor een bepaalde categorie van vliegtuigen opgesteld. De daarbij in te voeren veronderstel-lingen komen overeen net hetgeen gewoonhijk aangaande de aerodynamische

cofficinten wordt aangenomen.

De uitdrukkelijke afspraak wordt gernaakt, dat de waarden van de

ver-schillende constanten in de betrekkingen voor C, C en Cm die uit de metingen in een bepaalde manoeuvre volgen, slechts mogen worden gebruikt voor het gebied van vliegtoestanden, dat tijdens die manoeuvre is doorlopen. Alleen voor het berekenen van de vliegtuigpolaire moet hierop een uitzondering worden gexnaakt. Het zal dan namelijk nodig zijn, te extrapoleren naar een vliegtoestand waarbij de trekkracht gelijk is aan nul, zoals in hoofdstuk 5 is toegelicht.

In verband met de eigenschappen van bet vliegtuig dat waarschijnlijk het eerst voor de metingen in niet-stationaire vluchten zal worden gebruikt, namelijk een De Havilland DHC-2 "Beaver", zie de Inleiding, heeft de hier te geven beschouwing uitsluitend betrekking op een star vliegtuig, voorzien van een zuigermotor die een regulateurschroef aandrijft. De stroning orn het vlieg-tuig wordt als onsamendrukbaar beschouwd, terwijl alleen symmetrische vluchten worden uitgevoerd. In Aanhangsel 2 zijn overeenkomstige formules voor een transsoon of supersoon straalvliegtuig afgeleid.

3.2. Uitdrukkingen voor stationaire, rechtlijnige vluchten.

Voorlopig worden afleen stationaire, symmetrische, rechtlijnige vluchten beschouwd van een vliegtuig dat voorzien is van een zuigermotor met regulateur-schroef. Het zwaartepiint van dit vliegtuig is variabel. De snelheid van bet vliegtuig en de scliroefbladen is zo laag, dat de stroming orn bet vliegtuig en de schroef voortdurend subsoon blijft. Aangenonen wordt, dat de verandering van het getal van Reynolds gedurende de manoeuvre een verwaarloosbare invloed op de

aerodynamische cofficinten beef t. Onder deze omstandigheden wordt het gehele

stromingsbeeld - op een schaalfactor na - bepaald door vier onafhankelijke para-meters. Hiervoor kunnen gekozen worden:

de invalahoek van bet vliegtuig, a de hoogteroerhoek, 5e

de trekkrachtscofficint van de schroef, T

C

Als de invloed van de schroefwerking op de stroming orn het vulegtuig wordt beschouwd, blijkt - bij constant gehouden a, 5e en Tc - met

c in de

eerste plaats de rotatie in de slipstroom te veranderen. In het onderstaande is de invloed van deze verandering van de rotatie op de symmetrische krach-ten X en Z en het moment M verwaarloosd voor het gebied van vliegtoestanden

dat in n manoeuvre wordt doorlopen. Voor een herleiding der aerodynamische

coÎficinten die in een niet-stationaire manoeuvre zum gemeten, maar

stationaire vliegtoestanden lijkt deze verwaarlozing toelaatbaar.

In de tweede plaats verandert met Q bij constante a, 5 en Tc ook de

verdeuing van de trekkracht langs het blad van de schroef, terwiji de totale

dimensieloze trekkrachtscofficint T constant blijft. 00k de invloed van

C

deze verandering van de verdeling van de trekkracht op X, Z en M wordt ver-waarloosd. Dit betekent evenwel, dat de gehele invloed van veranderingen

van Q op de krachten en het moment verwaarloosbaar wordt geacht. De

statio-flaire stromingstoestand is dan met deze benadering slechts van drie parameters

afhankelijk: a, 5e en T. Op het verband tussen deze drie grootheden en de

beide aerodynamische krachten en het moment wordt in het onderstaande nader ingegaan.

De krachten X en Z en het moment M worden gemeten ten opzichte van een vast aan het vliegtuig verbonden, rechthoekig, rechtsdraaiend assenstelsel.

De oorsprong van dit vliegtuigassenstelsel ugt in het zwaartepunt van het

vliegtuig, zie 00k de Notaties. Tijdens een manoeuvre veranderen de ligging van de oorsprong en de richting der assen niet ten opzichte van het vliegtuig.

3.2.1. X-vergelijking.

De aerodynamische kracht in de X-ruchting is:

X=T cosi +Lsina-Dcoscz

p p

waarin T de effectieve trekkracht van de schroef, L de draagkracht en D de

p ₂

weerstand is, zie fig. 3-l. Na deling van X door pV S voigt hieruit:

C = T cos i + C sin a - C cos a

(C

-C

)

L L1

CD=CD +

tAe

2

Hierbij moet worden opgemerkt, dat de trekkrachtscofficint T hier dus gedefinieerd is als:

T T - p

C

waarin T de totale luchtkracht op de schroef en de overige delen van het

vlieg-tuig is, die door de schroefwerking ontstaat. i is de hoek die T met de X-as

maakt. Deze hoek behoef t niet gelijk te zijn aan de hoek tussen de schroefas en

de X-as. De kwantitatieve waarde van i is in de berekeningen niet van belang.

De bovenstaande uitdrukking vormt een afwij king ten opzichte van de meer

gebruikelijke formule voor T:

T

p

T_ 22

pV D

Met de hier toegepaste definitie van T wordt de trekkracht echter op dezelfde

wijze dimensieloos gemaakt als de overige aerodynamische krachten.

Nu wordt verondersteld, dat voor het gebied van invaishoeken dat tijdens ¿én manoeuvre wordt doorlopen, geldt:

(a - a)

CL=CL

o 2 (3-2) CL = C0 + . (a - a1)2 (3-3) o

Hierin is a de invalshoek waarbij de draagkrachtscofficint gelijk is aan nul en a1 is de invalshoek waarbij de weerstandscofficint minimaal en gelijk

aan CD is. Met is niet noodzakelijk dat a en a1 aan elkaar gelijk zum.

In principe zullen de grootheden CL

, CD , e, a en a1 in (3-2) en (3-3)

a

o

functies van T zijn. Verondersteld wordt echter, dat voor het gebied van

waarden van T dat tijdens én manoeuvre wordt doorlopen, de zojuist genoemde

vijf grootheden als constanten mogen worden beschouwd. Zoals in het begin van dit hoofdstuk reeds werd opgemerkt, kan hierop nog een verfijning worden aange-bracht, indien uit de metingen mocht blijken dat dit wenselijk is.

In sonnige gevallen kan CD 00k meetbaar net

e veranderen. Aangezien

echter tijdens een manoeuvre de hoogteroerhoek slechts kleine veranderingen ondergaat, wordt verondersteld dat de invloed van 5e op CD gedurende één

voor C komt daarom geen afzonderlijke term c .b voor.

Met behulp van (3-2) en (3-3) is C: b

2 cLa

c = T cos + C (a - a ) sin a - CD cos a - (a - a1)2 cos a

X C p _La

o

Indien nu wordt gesteld:

sin a

a

en

cosal-a2

is:

CL2

CL2

C =T cosi -C

---.a2-(C

.a X c p D tAe i L o tAe i

c°2

a

_C 2 C 2

+{CLa+ C-

(i - a12)}.a2 - a1a3 + a4

In deze uitdrukking worden de termen die evenredig zijn met a3 en a4

ver-waarloosd, aangezien zij steeds voldoende klein blijven. Dan is:

2

C =C' +C

.T +C .a.i.c2.a

X X XTc c Xa a o waarin 2 Cxt

_(CD+j_.al2)

o o CXT = Cos ip C

CL:

(C .a

2----a1)

Cxa =_

LaO

2 C

CX2=CL +CD iX._(i_ai2)

a

a

o (3-4)

3.2.2. Z-vergelijking.

De aerodynamische kracht in de Z-richting wordt vervolgens uitgewerkt. Uit fig. 3-1 blijkt:

Z=-T smi -Lcosa-Dsina+Z.5

_p

p

5e

In deze formule is de term - T sin i de component van de totale luchtkracht

p p

ten gevolge van de schroefwerking in de richting van de Z-as. Dit is in eerste instantie de component van de trekkracht van de schroef in de richting van de Z-as. Dikwijls veroorzaakt de slipstroom echter een niet verwaarloosbare draag-krachtsvergroting van de vleugel. In die gevallen ontstaat de verandering van Z

met T niet alleen door de component in de Z-richting van de trekkracht van de

schroef, maar 00k als gevolg van de draagkrachtsvergroting ten gevolge van de slipstroom.

Deling van (3-5) door pV2S geeft:

C =-T smi

-C cosa-C sina+C

.5

Z C p L D Z5 e

CZ kan met behulp van (3-2) en (3-3) aldus worden geschreven:

C = C ' + CZT .T + Z Z c o c waarin:

C'=C .a

Z L o o

a

CZT = - sin i p C 2 CLa . CZa = - (CLa+ CD+

Deze drie grootheden worden tijdens n manoeuvre als constanten beschouwd,

hoewel

zu

in principe functies van T zijn. Metingen bij verschillende

motorregelingen kunnen dus verschillende waarden van deze groothedem opleveren. In (3-6) zijn termen die evenredig zijn met de tweede en hogere machten van a verwaarloosd op grond van hun geringe grootte.

.a+c

.5

Z e

(3-5)

3.2.3. M-vergelijking.

De uitdrukking voor het aerodynamische moment M in stat ionaire recht-lijnige, symmetrische vluchten sluit min of meer bij het voorgaande aan:

M =

C.PV2S

waarin:

C = C ' + C .T + C

.a

C .5 (3-7) a n _n.T c _ma a5 e

C

Een lineair verband tussen C en T is enigszins plausibel omdat T niet

n e c

alleen een maat is voor de trekkracht van de schroef, maar 00k lineair ver-andert met de geniddelde verhoging van de dynamische druk in de slipstroom. Als gevolg daarvan zullen bij constante a zowel de draagkrachtsverhoging

in de slipstroom als de neerstroomhoek achter de vleugel en de hierdoor

ver-oorzaakte verandering van Cm in eerste benadering lineair met T veranderen.

Eenvoudigheidshalve wordt voorlopig 00k een lineair

verband

tussen Cm en a

aangenomen.

Samenvattend luiden dè uitdrukkingen voor C, C en Cm in stationaire, recht lijnige vluchten:

C ₌

C'

+ C .T + C

.a +

C

2.a2

X,.1 e _Xa

a

c C ₌

C'

+ C .T + C .a + C .5 Z,, c _Za Z5 e C C = C ' + C .T + C

.a +

C .5 (3-7) n n _mT e _m m5 e C

3.3. Uitdrukkingen voor niet-stationaire, niet-rechtlijnige vluchten.

De uitbreiding die de bovenstaande formules behoeven on ook het gedrag in niet-stationaire, niet-rechtlijnige vluchten weer te geven, is bekend uit beschouwingen betreffende de dynamische langsstabiliteit.

In de Z- en M-vergelijking worden temen evenredig met en opgenomen. De Xvergelijking blijft echter ongewijzigd, aangezien zoals gebruikelijk

-qc

C onafhankelijk van

_-

en

-wordt gesteld. Kwantitatief zum voornamelijk de beide temen in de M-vergelujking van belang. De overeenkomstige bijdragen

beschouwing gelaten. Uit de numerieke voorbeelden van hoofdstuk 7 blijkt,

dat in de daar beschouwde gevallen, C in het geheel niet en C slechts

a

q

met een niet al te grote nauwkeurigheid kan worden gevonden. Ter wille

van de volledigheid blijven C en C hier toch steeds in de formules

ge-handhaafd. a q

De formules voor C , C en C luiden nu:

X Z m CX C,

Xc

+

cXaa

+

CXa2a

(3-8) ac

c .SE+c

.5 (3.9) CZ = CZ' + CZT .T ₊

_CZaa

+ CZ. V.- + z y z e q 5 C cc qc C = C ' + C .T + C .a + C

. -

+ C

-

+ C .5 (3-10) n m _m. e n n V

mV

in5 e o

a

a

q C

3.4. Een formule voor een parameter voor de schroefinvloed.

De verschillende variabelen in de formules (3-8) t/m (3-10) kunnen, met

uitzondering van T, alle direct worden afgeleid uit grootheden die in de vlucht worden gemeten. De trekkrachtscofficint kan op een soortgelijke wijze slechts

worden gevonden, als een rechtstreekse meting van de trekkracht mogelijk is. Im het algemeen is dit niet het geval.

Daarom wordt nu een hulpgrootheid ingevoerd, die wel meetbaar is en die

in eerste benadering lineair net T verandert in een gebied van vliegtoestanden

dat in één manoeuvre wordt doorlopen. Hiervoor is gekozen het dimensieloze drukverschil:

pt pV2

waarin

¿p

het verschil is tussen de totale druk in de slipstroom op een

zekere af stand van de schroefas gemeten en de totale druk Pt in de ongestoorde

stron.ing. Een geschikte waarde van kan worden gevonden, door de totale

druk in twee diametraal tegenover elkaar gelegen punten op gelijke af stand (bijvoorbeeld 160/o van de halve schroefdiameter) achter het schroefvlak en op gelijke afstand (bijvoorbeeld 75°/o van de halve schroefdiameter) van de schroef-as te meten.

Van bet gemiddelde van deze beide drukken wordt

Pt

van de ongestoorde stroming

afgetrokken, ter verkrijging van

APt =

_Pt

_-

Pt

In overeenstemming met de theorie van Froude, die de schroef als een

trek-APt

kende schuf beschouwt, wordt nu een lineaire relatie tussen i en de

dimensie-IpV

loos gemaakte trekkracht in de schroefas verondersteld. Bovendien wordt als zeer ruwe

benadering aangenonen, dat 00k de vergroting van de weerstandscofficint der APt delen van het vliegtuig die in de slipstroom liggen, evenredig is met -. Dan

pV

zal echter de dimensleloze cofÍicint van de effectieve trekkracht T eveneens

c

lineair met i veranderen. Daaron wordt geschreven: pV

APt

-

a + d.T

pv C

APt

In hoeverre bet verband tussen T en - tijdens een manoeuvre inderdaad

c 2

pV

lineair is, moet uiteraard uit metingen volgen. Wel kan worden opgemerkt, dat

door een verandering van Q bu constante T niet alleen de verdeling van de

trekkracht langs het schroefblad zal veranderem. Als gevoig hiervan wordt

AP

ook de lineariteit van het verband tussen T en nadelig betnvloed.

Des-c 2

pV

ondanks wordt in het onderstaande voorlopig van een lineaire relatie tussen de twee variabelen uitgegaan. De weinige meetresuitaten die hieromtrent ter beschikking staan, wijzen er op dat dit wel een aanvaardbare veronderstellirig

is.

Dan is bet mogelijk de formules (3-8) t/m (3-lo) voor C, _CZ en Cm aldus te schrijven: 2

Cx=Cx +C

_Xp

.--i-C .a+c2.a

Xa

_a

Ap qc

C=C +C +C

.a+c

pv2

Za

Z

T

+ + C .5 (3-13)

a

q Z5 e Apt

C =C

+C .+C

.a+C.E+c

.+C .5

(3-14) m n n ii m

V

n V m5 e o _Apt pV

a

a

q (3-12)

Hierin is:

a 1

C0 = CX:) - a CXT Cx = a CXT

C t C

en evenzo voor C en C Uit deze formules blijkt tevens, waarom in het

voor-Z n

gaande de constanten C ' , C ' en C ' van een accent werden voorzien.

X Z n

o o o

De benodigde formules zum hiermee echter nog niet alle afgeleid. Het

is namelijk de bedoeling uit de aerodynamlsche afgeleiden in de formules (3_12) tim (3_14) o.a. de prestaties in stationaire vluchten te berekenen. Nu wordt een bepaalde stationaire vliegtoestand, voor zover het de

motorre-¿pt geling betref t, gewoonlijk niet aangeduid door een waarde van -i, maar

pV

voor een zuigermotor door de inlaatdruk en het motortoerental of door het vermogen en het toerental. Er is daarom nog een vergelijking nodig, die het

verband tussen en deze grootheden legt. In het onderstaande volgt een

pV

afleiding van dit verband, uitgaande van enkele reeds gemaakte,en de volgende nieuwe veronderstellingen:

het schroef rendement blijft tijdens de manoeuvre constant,

het vermogen dat de motor bij een gegeven toererital en een gegeven inlaatdruk ontwikkelt, kan uit een vermogensgrafiek van die motor, na een correctie voor het eventueel niet constant zijn van het

toerental, worden bepaald.

Bij een constant toerental en een constante inlaatdruk geldt voor de trekkracht van de schroef:

(3-15)

T 75 îP

p_

V (P in pk)

Tijdens de manoeuvre zal het toerental echter niet voortdurend constant blujven, 00k niet als de motor een regulateurschroef aandrijft. Wanneer het

toerental toeneemt, wordt enerzijds cen groter verinogen ontwikkeld, maar ander-zijds is een gedeelte van het vermogen nodig 0m de roterende delen te ver-snellen,

Stel nu, dat het geniddelde polaire traagheidsmoment van de bewegende

delen van motor en schroef ten opzichte van de schroef as I is. Dit

traagheids-moment wordt bekend verondersteld. Dan is het koppel dat voor het versnellen nodig is

2

= Ip.n

Het hiervoor benodigde vermogen is Pa:

1

2t

= 75 60

2

1 2n

=

()

.Ipnn

Het aan de schroef afgegeven vermogen is dan:

2

1 2it

neff = P -

() I.n.n

en de ontwikkelde trekkracht is:

T

-'

p V eff

terwijl de trekkrachtscofficint is:

75i'

T_

3

eff

pV S

¿pt

Eerder werd reeds een lineair verband tussen T

en i aangenomen:

pV - a + d.T C

_a+d

75r pv3S 'ef f

=ab

Pef:f pV3 (3-16) (3-17) (3-11)

(3-18)

In deze vergelijking zijn de cofficinten a en b de enige onbekenden; de

Pff

beide variabelen i en -- kunnen op elk tijdstip van de manoeuvre worden

pV pV

bepaald. Het zal blijken dat de twee coffici8nten a en b op analoge wijze als de cofficinten in (3_12) t/m (3-14) uit de vliegproeven kunnen worden bepaald.

.pt

pv2

Dan is nu:

pt

2 te berekenen. (3_18) is dus de gezochte vergelijking. In Aanhangsel i is

pV

een nadere bespreking van deze vergelijking gegeven.

3.5. Vereenvoudigde uitdrukkingen voor

enC.

Ten slotte moet nog een tweede, vereenvoudlgde vorm van de formules voor Cx, CZ en Cm worden besproken, een vorm die in de volgende hoofdstukken gebruikt

is voor bet onderzoek naar de meest geschikte wijze van uitwerken der metingen.

In deze eenvoudiger uitdrukkingen is geen gebruik gemaakt van Tevens is

neff gellik gesteld aan P, terwiji het vermogen bovendien gedurende de gehele

manoeuvre constant is verondersteld. Over bet werkelljke verloop van Apt en

P tijdens een manoeuvre

ef f

De verfijning die ontstaat hier dus bij gebrek aan de

In (3-17) is dan: Dan is: Cx

CXTcTc =

Cx

=.

evenzo is: en T P c pV3S const.

Zc =

Cz3.V3

C

.T =C

.V3

rnTC

IflV3

dV3

dT

.T

c 18

-Waiineer a en b evenwel bekend zijn, is het mogelijk voor elke stationaire vliegtoestand waarin de inlaatdruk en het toerental zijn gegeven, het motorver-mogen uit de vermotorver-mogensgrafiek te bepalen en hieruit met (3-18) de waarde van

¿pt

zijn uit de literatuur nainelijk geen gegevens bekend.

APt

door van de variabele -i gebruik te maken, moet ìpV

nodige gegevens buiten beschouwing blijven.

De formule voor C luidt dus nu:

3 2

Cx ₌

c'

₊

_{c_3.v}

+ c

.a

+ C 2

a

a

Ter vereenvoudiging van de schrijfwijze wordt in bet navolgende steeds

het accent bij C aebterwege gelaten, dus:

C = C

+ C;,3V

_{+ Cxaa + Cxa2a}

en evenzo voor C en C : Z a (3-19)

+ c

.a

+ c.

E

+ c

+ C .8 (3-20)

c

= c

_{+ CZv_3.V} Za

a

q y z8 e -.8 (3-21)

C =C

-pC .V

+C .a+C.+C

n n mg-3 a n V

mV

in8 e o

a

a

q

3.6. Korte bespreking van de gekozen uitdrukkingen voor CxCz enC.

Nu volgen nog enkele opmerkingen over de zojuist afgeleide formules voor

C, C

en Cm

De formules sluiten, voor zover zij de afhankelijkheid van Cx C en

ae qe

Cm van a, v-, _- en 6e uitdrukken, aan bij de veronderstellingen die algemeen

hieromtrent worden gemaakt. Op grond van vele langs theoretische en

experimen-tele weg verkregen gegevens mag worden verwacht, dat voor conventionele subsone

schroefvliegtuigen de drie aerodynamische cofficinten - bij constante

vlieg-ac qe

sneiheid - inderdaad siechts functies van

a, v-,

-

en 8e zijn en niet 00k nog

van andere variabelen afhangen.

De gekozen vorm van de functies is slechts kwadratisch voor zover het de

relatie tussen Cx en

a

betreft en lineair in alle andere gevallen. ifet

kwadra-tische verband tussen C en a voigt onmiddellijk uit de vorm van de

vliegtuig-polaire, die veelal voor niet te grote invalshoeken door een parabool wordt benaderd. Bij grote jnvalshoeken, als de stroming over een deel van de vieugel is losgelaten, kan de werkelijke vorm van de polaire echter aanzienhijk afwijken van de zojuist genoemde parabolisehe benadering voor het overige deel van de

polaire. Voor welke invalshoeken deze afwijking ontoeiaatbaar groot is, kan

echter niet v66r de metingen worden aangegeven. Dit moet als een principieel,

maar niet ernstig bezwaar van de methode worden beschouwd. Zoals reeds eerder

de formule voor C en de gevonden grootte der afgeleiden in die formule,

aan-sluiten bij het werkelijke gemeten verloop van C als functie van a.

Indien de al te grote invalshoeken buiten beschouwing worden gelaten,

blijken de lineaire relaties in de formules voor C, CZ en Cm de

werkelijk-heid doorgaans wel met een redelijke nauwkeurigwerkelijk-heid weer te geven. Slechts

bet verband tusseri Cm en a moet hier afzonderlijk worden genoemd. Bu vele

vliegtuigen blijkt name].ijk uit wind.tunnelmetingen en vliegproeven in stationaire vluchten, dat het verband tussen Cm en a - grafisch weergegeven door de z.g. momentenhijn - duidelijk niet-lineair is, hetzij in bet gehele gebied van invaishoeken die in normale vluchten voorkomen, hetzij slechts

in een gedeelte van dat gebied. Met de mogelijkheid dat de momentenlijn niet-lineair is, moet derhalve rekening worden gehouden.

Het zou nu voor de hand liggen, de uitdrukking voor Cm steeds aan te

vullen met een term C2.a2 en dan uit de uitwerking der metingen te laten

volgen welke waarde de afgeleide Cm

2 moet bezitten. Het aantal te bepalen

afgeleiden in de uitdrukking voor Cm is echter 00k zonder Cm

2 al zo groot,

dat een berekening slechts met enige moeite mogelijk blijkt te zijn. Het

toevoegen van de term C2.a2 zou in sommige gevallen tot gevolg kunnen

hebben dat geen der afgeleiden van Cm meer met voldoende nauwkeurigheid korn worden bepaald. Hoewel de numerieke berekeningen van hoofdstuk 7 in bet ene beschouwde geval dit vermoeden niet bevestigen, lijkt bet voorlopig toch goed, rekening te houden met de Inogelijkheid dat de methode moet uitgaan van een

lineair verband tussen C en a.

rn

Gelukkig heeft een onnauwkeurigheid in het gemeten verband tussen Cm en a slechts ecu verwaarloosbare invloed op de te berekenen vliegprestaties en de vliegtuigpolaire. De stuurstandslijn en de stuurverplaatsing per "g" zullen wel door die onnauwkeurigheid een afwijking verkrijgen. Maar hierbij moet

worden bedacht, dat de waarde van C , samen met de constante C die uit de

m m

a o

uitwerking volgen, de beste lineaire benadering van de niet-lineaire momenten-lijn geven, De gevonden afgeleiden zullen bovendien slechts worden gebruikt voor het berekemen der eigenschappen van stationaire vliegtoestanden in het gebied van imvalshoeken dat tijdens de manoeuvre is doorlopen. Daarom mag worden ver-wacht, dat een zekere mate van niet-lineariteit van de momentenlijn nog acceptabel

zal zum. Werkelijke metingen zullen echter nodig zum orn deze uitsprakem op

De voorgaande opmerkingen betroffen aile de veranderingen der

aerody-namische cofficinten bu constante vliegsnelheid. Hierover is, zoals reeds werd opgemerkt uit de literatuur zeer veel bekend. Omtrent het gedrag der

cofficinten als de snelheid verandert, zum de beschikbare gegevens

aan-zienlijk schaarser. Windtunnelmetingen, zowel als vliegproeven in stationaire vluchten en responsiemetingen in niet-stationaire vluchten vinden tot dusverre

alle of vrijwel alle bu constante vliegsnelheid plaats. Met de gegeven

vorm van de relaties tussen C , C en C en de snelbeid, die gebruik maakt

X Z n

van de hulpgrootheid -, is getracht de afhankelijkheid der

cofficinten

pV

van de snelheid met behuip van de beschikbare gegevens zo goed mogelijk uit te drukken. Zoals bij de afleiding reeds werd opgemerkt, zijn er nog geen praktische ervaringen met een dergelijke vorm der formules uit de literatuur bekend. Met is dus zeer wel nogelijk, dat uit metingen zal blijken dat een andere formulering de voorkeur verdient. Daarom is het hier slechts mogelijk

op deze onzekerheid te wijzen, zonder een meer definitieve oplossing aan

4. Bepaling van de aerodynamische afgeleiden door middel van regressie-berekeningen.

4.1. Uitwerking van responsiemetingen aan de hand van gelineariseerde

bewegings-vergelijkingen.

4.1.1. Algemeen.

Im het vorige hoofdstuk werden uitdrukkingen afgeleid voor de drie

aero-dynamische cofficinten CZ en C. In het nu volgende hoofdstuk wordt

aange-geven, hoe de aerodynamische aîgeleiden die in deze uitdrukkingen zijn gebruikt,

kunnen

worden berekend uit metingen in een niet-stationaire manoeuvre van het vliegtuig.

De bespreking van de toe te passen methode vindt plaats in twee stappen. Als inleiding op de uiteindelijk toe te passen methode wordt eerst aangegeven hoe de aerodynamische afgeleiden kunnen worden bepaald aan de hand van de ge-.

brikelijke, gelineariseerde bewegingsvergelijkingen van het vliegtuig. Daarna

wordt als tweede stap nagegaan, op welke wljze een wat meer verfijnde bepaling der afgeleiden mogelijk is, indien de bewegingsvergelijkingen van het vliegtuig in een niet-lineaire vorm worden geschreven.

De gebruikelijke responsiemetingen worden steeds ge!nterpreteerd nan de hand van een gelineariseerde vorm van de algemene bewegingsvergelijkingen van het vliegtuig. Die algeniene bewegingsvergelijkingen zijn in het onder-staande gegeven voor de symmetrische bewegingen van een star vliegtuig, dat zich ten opzichte van een viakke, niet roterende aarde beweegt. De vergelij-kingen luiden, onder gebruikmaking van eem vliegtuigassenstelsel, zoals in het hoofdstuk Notaties is onschreven:

-W sinQ+Cx.PV2S

= n

(i

+wq)

+ w cos Q

_c.pv2s

= n ( - uq)

C.pV2S=

q

Deze vergelijkingen worden gelineariseerd door eerst te veronderstellen, zie o.a. lit. 12, dat de manoeuvre slechts bestaat uit vliegtuigbewegingen

die als afwijkingen van een bepaalde, gegeven evenwichtstoestand mogen worden beschouwd. In de bewegingsvergeli.jkiflgen (4-l) t/m (4-4) kunnen dan de

linker en de rechter leden worden verminderd met de temen die deze

evenwichts-toestand beschrijven. Er blijven op deze wijze vergelijkingen over, die alleen

de afwijkingen t.o.v. de evenwichtstoestand weergeven. De variabelen in deze

"afwijkingsvergelijkingen" zijn de veranderingen van de componenten van de beweging en van de roerhoek ten opzichte van de waarde in de stationaire uit-gangstoestand. Deze veranderingen worden vervolgenS steeds zo klein veronder-steld, dat linearisatie van de afwijkingsvergelijkingen geoorloofd is. In het bijzonder worden de veranderingen van de aerodynamische krachten in de X- en de Z-richting en van het moment on de Y-as elk geschreven als de son van een aantal terinen, die ieder evenredig zijn met een component van de beweging of de

roer-hoek. De evenredigheidsconstaflten in die temen zijn partile afgeleiden die door de aerodynamische eigenschappen van het vliegtuig worden bepaald.

Ter vereenvoudiging van de berekeningen wordt de X-as van het vliegtuig-assenstelsel nu gelegd in de richting, die de snelheidsvector van het vlieg-tuigzwaartepunt vó6r de manoeuvre heeft. Een dergelijk vliegtuigassenstelSel wordt het stabiliteitsassenstelSel genoend, zie het hoofdstuk Notaties.

Gewoonlijk worden de vergelijkingen bovendien in een dimensieloze

vorm geschreven. De beide krachtenvergelijkingen, die ontstaan uit (4-l) en

(4-2), worden daartoe gedeeld door pV2S en de momentenvergelijking,

afkon-stig van (4-3), wordt gedeeld door pV2S. Daarbij is van belang, dat V

in deze factoren de constante vliegsnelheid is in de stationaire uitgangs-toestand vó6r de manoeuvre. De dimensieloze aerodynamische afgeleiden die

op deze wijze ontstaan heten de "stabiliteitsafgeleiden". Ter onderscheiding

van de afgeleiden in de formules (3-12) t/m (3-14) en (3-19) t/n (3-21) zijn

ze hier voorzien van de index s.

De bewegingsvergelijkiflgen die aldus zijn verkregen, vornen eveneens het uitgangspunt voor het onderzoek naar de dynamische langsstabiliteit

van een evenwichtstoestand. Z1.J ziJn dan 00k oorspronkelijk voor dat doel opgesteld.

UC A

C =2

_cZ

.u+C

.a s o o u Xa s S S C = 2 (ac qe) A ac qe Z

CV

V

.g=C

.u+C

.a+c

.+c

.8 (4-6) s o o o u

Za

a

o q Z8 e S S S S S S A

a

_qc C

=2

K2

=c

.u+C

.a+c .c +c

.8 (4-7) m. V n V n e rn C Y 2 m m

a

o q o 8 y u a o s s s s s

In de vergelijkingen (4-5)

en (4-6)

zijn de aerodynarnische cofficinten C en

C afzonderlijk in het linker lid geschreven. Zu worden in principe

rechts-streeks uit de aanwijzing van versnellingsmeters afgeleid en doorgaans niet

bepaald door de afzonderlijke temen in het middelste lid op de aangegeven wijze Samen te voegen. De momentencofficint Cm in het linker lid van (4-7) wordt

S

uit de hoekversnelling orn de dwarsas berekend, zoals uit het middelste lid van die vergelijking volgt. In de onderstaande beSchouwingen zijn echter alle drie de leden van de bovenstaande vergelijkingen van belang.

Bu de gebruikelijke responsiemetingen wordt steeds een zodanige uitslag

aan het hoogteroer gegeven, dat de vliegsnelheid tujdens de manoeuvre net goede

benadering constant blijft. Dit betekent, dat

i =

O, terwijl de vergelijking

(4-5) dan geheel buiten beschouwing kan blijven. In het onderstaande is evenwel de vliegsnelheid volledigheidshalve niet constant verondersteld.

Voorlopig worden alleen horizontale vluchten als uitgangstoestand

be-schouwd, d.w.z. r0 O. Dit betekent dat de cofficirnt C in (4-6), die

gelijk is aan:

cxos

= (4-8)

gelijk is aan nul. De laatste term in het middelste lid van de Z-vergelijking (4-6) vervalt dan.

Het probleem dat nu moet worden opgelost is het volgende. Gegeven zijn

de vergelijkingen(4-5) tIm (4-7) en de veranderingen in de tijd van de

A _{ac qe}

variabelen u, a,

_V'

5e' C en C in die vergelijkingen.

Gevraagd worden zodanige waarden van de stabiliteitsafgeleiden C, en C.

u

a

s s

in (4-5), C , C , C , C en C in (4-6) en C , C , C , C en

Z Z Z Z Z m m m m

u

a

a

q S u

a

u

q

s s s s s s s s s

C in (4-7) te bepalen, dat de veranderingen der variabelen zo goed mogelijk

s

aan de vergelijkingen voldoen. De vergelijkingen worden steeds elk afzonderlijk uitgewerkt.

Als gevolg van het feit dat de gegeven vergelijkingen lineair zijn, kunnen verschillende min of meer gelijkwaardige methoden worden toegepast orn het probleern op te lossen. Zo is het mogelijk de variabelen te blijven beschouwen als functies van de tijd, maar 00k wordt dikwijls eerst een Fouriertransformatie toegepast, waardoor de variabelen functies van de frequentie worden. In lit. 7 en 13 zijn verschillende van dergelijke nethoden voor het bepalen van de

stabiliteitsafge-leiden besproken. Slechts én, namelijk die welke het best aansluit bij de

uit-eindelijk te gebruiken methode, wordt hier behandeld. Die methode berust op het toepassen van een z.g. regressieberekening voor het bepalen van de stabili-teitsafgeleiden, zoals in het nu volgende wordt besproken, zie 00k lit. 25, 26 en 27.

4.1.2. Regressieberekeningen.

De vergelijkingen (4-5) t/m (4-7) zijn elk van de volgende algemene

vorm:

Y=a +a1X1+a2X2+

aX

_mm

o

waarin Y en X1 (i = 1 m) van de tijd afhankelijke varlabelen en a

con-stante cofficinten zijn.

In de hierna volgende beschouwing zijn de variabelen eerst alle ver-minderd met hun - over de tijd - gemiddelde waarde:

y=Y-Y

=X. -.

i i i

Aangezien blijkt te gelden, zie Aanhangsel 3, formule (A3-5):

y=a +aX1+a2X2+

_{o 1}

+aX

_mm

gaat de bovenstaande relatie tussen Y en X1 dan over in een relatie tussen y en X1:

y=a1X1+a2X +

+ax

2

mm

In deze vergelijking komt de constante term a niet meer voor.

Indien de gemeten waarden van y en x op n verschillende tijdstippen

in (4-9) worden gesubstitueerd ontstaan n lineaire vergelijkingen in de m

onbe-kenden a (n»m, buy, n = 150 à 300, m = 2 à 5). De cofficinten a. kunnen

met behuip van de methode van de kleinste kwadraten worden bepaald; een

derge-luke berekening heet 00k wel een regressieberekening. De grondsiagen hiervan

worden in Aanhangsel 3 besproken. Op deze plaats zij slechts medegedeeld, dat de aldus bepaalde waarden van a1 t/m am een "zo goed mogelijke" aanpassing

van (4-9) aan het resultaat van de metingen waarborgen. De constante a wordt

pas berekend met behuip van (A3-5) als a1 tim a bepaald zijn.

Het bepalen van de cofficinten a, hetzij door middel van een

regressie-berekening, dan wel volgens een andere methode, faalt echter in sommige gevallen geheel of gedeeltelijk en wel als:

er een lineair verband bestaat tussen alle variabelen X1,

er een lineair verband bestaat tussen enkele der variabelen

X..

Ad a). In dit geval kan geen der cofficinten a worden bepaald. Het is dan

nodig uit (4-9) en het bestaande lineaire verband 6én der variabelen te

elimi-neren, waardoor (4-9) overgaat in een betrekking tussen y en (n-l) variabelen

X..

De cofficintEn van de nieuwe betrekking kunnen dan wel uit een

regressiebere-kening worden bepaald, indien aithans de resterende nu wel lineair

onafhanke-luk zijn.

Een bijzonder geval doet zich voor indien y = O. Dan vormt namelijk (4-9)

zelí reeds een lineair verband tussen de

X..

Deling van (4-9) door én der

cofficinten (b.v. ak) geeft nu aan (4-9) een analoge gedaante, thans echter met én variabele minder, aangezien Xk - evenals aanvankelijk y - de cofficint 1 heef t. 00k nu is dus het aantal cofficinten dat kan worden bepaald, in feite

tot (m-1) gedaald. Indien tussen de variabelen x van de resulterende

verge-lijking nu geen lineair verband meer bestaat, kunnen de m-1 nieuwe cofficinten

worden bepaald.

Ad b). In dit geval kan slechts een gedeelte der cofficinten worden bepaald,

namelijk die welke behoren bu variabelen die in het genoemde lineaire verband

niet voorkomen. Eliminatie van én der wel in het lineaire verband

voorko-menUe variabelen doet - analoog aan geval a) - vergelijking (4-9) overgaan in

een een vergelijking met (m-1) variabelen. Hierin kunnen de coff1cinten op de