POSTĘPY
A S T R O N O M I I
C Z A S O P I S M O
P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U
W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J
PTA
TOM XXV - ZESZYT 2
197?
P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E
POSTĘPY
ASTRONOMII
K W A R T A L N I K
TOM XXV — ZESZYT 2
19??
KOLEGIUM REDAKCYJNE
Redaktor naczelny: Stefan Piotrowski, Warszawa
Członkowie:
Stanisław Grzędzielski, Warszawa Andrzej Woszczyk, Toruń
Sekretarz Redakcji: Jerzy Stodółkiewicz, Warszawa
Adres Redakcji: Warszawa, Al. Ujazdowskie 4 Obserwatorium Astronomiczne UW
W Y D A W A N E Z ZASIŁKU POLSKIEJ A K A D E M II NAUK
Printed in Poland
Państwowe Wydawnictwo Naukowe O ddział w Łodzi 1977
Wydanie I. Nakład 674 4-% egz. Ark. wyd. 5.25. Ark. druk. 4,75 Papier offset, kl. III, 80
g,
70x 100. Oddano do składania w kwietniu 1977 r. Podpisano do druku w sierpniu 1977 r. Druk nkońc/.ono we wrześniu 1977 r.Zam. 287/77. W-3. Cena zł 10,—
Zakład Graficzny Wydawnictw Naukowych Łódź, ul. Żwirki 2
A R T Y K U Ł Y
POSTĘPY ASTRONOM II Tom XXV (1977). Z eszyt 2
* CAŁKOW ICIE N IE C IĄ G Ł E PROCESY PRZYPADKOW E
W POLU S IŁ N IER EG U LA RN Y CH
I R I N A W. P 1 E T R O W S K A J A
O bserw atorium A stronom iczne U niw ersytetu Leningradzkiego (L eningrad Z SR R )
4MCTO PA3PbIBH bIE CJlYMAMHblE IlPOUECCbl B IlO JIE HPPErYJlflPHblX CM/1
M. B. I l c T p O B C K a H
C o f l e p a c a H H e
PaecMaTpHBaeTCH ripHJiowemie cxcMbi MacTo pa3pbiBHoro cjiywaiiHoro nponecca k Hccne- flOBaHHK) iieiiCTBHH HpperyJIHpHbIX CHJ1 B 3Be3flHbIX CHCTCMaX. ypaBHeHHH KoJiMoropoBa- -Oejinepa npHBefleHbi k BMay, ynofinoM y
wisi
onwcaHMH H3MeHeHHH xapaKTepHCTHK abmjkc hhh 3Be3flbi n ofl fleńcTBHeM c6jih5kchhh co 3Be3A3MH nojiH. ,I1jih npnGjiHweHHoro pemeHHH BToporo ypaBHeHHH KojiMoropoBa-<Dejmepa, onHCbiBatomero H3MeHeHHH m o ^ 'jh i CKopocTHpaccMaTpHBacMOH 3Be3flbi, npn OTcyTCTBMH pery;iHpHoro nona, ncnojib3yeTCH m c t o a Oypbe. Mccne/ioBaHa sbojiiouhh b o BpeMCHH (J>yHKUHH pacnpefle/ieHMH cK op ocieft rp yn n 3BC3A c pa3- JiHMHbiMH MaccaMH.pejiaKCHpyiomHX Ha 3Be3flax itonH.BbinoJiHeHbi oueHKH AHccnnamiH 3BC3A
pa3J!HMHbIX Macc H flOJIH yHOCHMOH 3THMH 3Be3fl3MH 3HeprHH.
P U R ELY DISCONTINUOUS RANDOM PROCESSES IN A F IE L D O F IR R E G U L A R FO R CES
i A b s t r a c t
The schem e o f a purely disco n tin u o u s random process is applied to the investigation o f irregular forces effec ts in stellar system s. K olm ogorov-Feller’s eq u atio n s are reduced to the form convenient for the description o f variations o f sta r m o tio n param eters u n d er the en co u n te rs w ith field stars. F ourier m e th o d is used fo r the ap p ro x im ate solu tio n o f th e second K olm ogorov-Feller eq u a tio n w hich describes the velocity m o d u lu s variations. The regular cluster p o te n tia l is neglected. The evolution o f a velocity d istrib u tio n fu n ctio n for groups o f stars w ith given mass and initial velocity d istrib u tio n is investigated for the case o f stars relaxing am ong the field stars. The escape rate o f stars o f different masses and the am o u n t o f energy taken away by th e dissipated stars are evaluated.
60 /. W. Pietrowskaja
1. ZMIANY CHARAKTERYSTYK RUCHU GWIAZDY JAKO PROCES PRZYPADKOWY
S iłę grawitacyjną działającą na gwiazdę w pewnym punkcie uk ład u gwiazdowego roz patruje się w dynamice gwiazdowej jako składającą się z dwóch części: regularnej i nie regularnej.
Siłą regularną nazywa się tę siłę , która by działała na gwiazdę, gdyby cała masa po zostałych gwiazd b y ła gładko rozm yta w objętości układu. U kład nazywa się stacjonarnym w polu regularnym, jeśli siła regularna jest stała w każdym punkcie u k ła d u . W takim przy padku siła ta zależy tylko od położenia gwiazdy i nie zależy jawnie od czasu. Równania ruchu każdej gwiazdy w polu sił regularnych mają więc sześć całek pierwszych. Ich war tości pozostają stałe w czasie ruchu gwiazdy po orbicie.
W rzeczywistości siła działająca na gwiazdę zawsze różni się od siły regularnej wskutek fluktuacji pola gwiazdowego w najbliższym otoczeniu rozpatrywanej gwiazdy i wskutek jej spotkań z innymi gwiazdami tego otoczenia. S iła nieregularna jest równa różnicy m ię dzy siłą rzeczywistą a siłą regularną działającą na gwiazdę w pewnym punkcie układu ( C h a n d r a s e k h a r 1941; C h a n d r a s e k h a r , v o n N e u m a n n 1 9 4 2 ,1 9 4 3 ).
Przebieg zmiany każdej z charakterystyk ruchu rozpatrywanej gwiazdy (całek ruchu czy prędkości) pod w pływ em sił nieregularnych, tzn. wskutek spotkań z innymi gwiazda mi układu (gwiazdami pola), jest procesem przypadkowym. Zwykle rozpatryw ano go jako przypadkowy proces ciągły, gdyż można uważać, że zmiany charakterystyk ruchu wskutek jednego spotkania Są nieskończenie m ałe.
Uważano w ięc, że charakterystyki ruchu członków u k ład u zmieniają się pod w pływ em sił nieregularnych w sposób ciągły. Opisuje ten proces równanie Fokkera-Plancka często używane w astronomii i fizyce ( C h a n d r a s e k h a r 1947 ; C o h e n , S p i t z e r , R o u t l y 1950; G a s i o r o w i c z , N e u m a n n , R i d d e l l 1956; R o s e n b l u t h M c D o n a l d , J u d d 1957; S p i t z e r , S c h w a r z s c h i l d 1951; S p i t z e r , H a r m 1958). W takim ujęciu przyrosty prędkości gwiazdy (przy nieobecności pola regularnego) traktuje się jako nieskończenie m ałe. Podejście to jest dopuszczalne przy rozwiązywaniu pewnych problemów dynamiki układów gwiazdowych, gdyż znaczny w kład do zmiany parametrów ruchu rozpatrywanej gwiazdy wnoszą gwiazdy dalekie, które w yw ołują m ałe zmiany prędkości.
Dla prawidłowego rozpatrzenia pewnych procesów w układach gwiazdowych należy uwzględnić dyskretny charakter działania sił nieregularnych. Na p rzykład, w schemacie procesu ciągłego gwiazda opuszcza układ z prędkością ściśle równą prędkości krytycznej (prędkości ucieczki), gdyż prędkość zmienia się nieskończenie m ałym i porcjami. Stąd oceny prędkości dyssypacji w tym schemacie nie są dosyć ścisłe.
W schemacie procesu ciągłego niemożliwe jest także wyliczenie energii, którą unoszą z układu gwiazdy dyssypujące, gdyż opuszczają one układ z prędkością krytyczną, a więc z zerową energią.
Przy obecności pola regularnego, jak pokazał H e n o n (1960a), zmieniając energię nieskończenie m ałym i porcjami gwiazda w ogóle nie może opuścić u k ład u , bo pod w p ły wem każdej takiej zmiany jej orbita będzie się wyciągała i gwiazda będzie przebyw ała co raz dłużej na peryferiach układu. Stąd prawdopodobieństwo kolejnego spotkania stale sf§ zmniejsza. H e n o n dochodzi do wniosku, że dyssypacja gwiazd w realnych układach
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 61
gwiazdowych przebiega głównie pod wpływem dostatecznie bliskich spotkań, które wy wołują znaczne zmiany prędkości.
W rzeczywistości działanie sił nieregularnych ma charakter dyskretny. Na przykład prędkość v gwiazdy może doznać skoku i przybrać wskutek spotkania z inną gwiazdą do wolną wartość z przedziału 0 < v < Istnieje nierówne zeru prawdopodobieństwo takiego skoku, źe m oduł prędkości gwiazdy po spotkaniu przybierze wartość większą od krytycz nej v > v^. W takim przypadku gwiazda opuści układ unosząc energię dodatnią.
Dla uwzględnienia dyskretności zmian charakterystyk ruchu gwiazdy w polu sił nie regularnych dogodny jest schemat procesu całkowicie nieciągłego ( G n e d e n k o 1961). Należy przy tym wziąć pod uwagę obecność ekranu absorbującego: zmiany charakterystyk ruchu gwiazdy są rozpatrywane, póki energia gwiazdy jest ujemna (H < 0), ale w chwili gdy zajdzie H > 0, tzn. gwiazda przybierze prędkość równą czy większą od krytycznej (*•' ^ ł'j), opuszcza ona układ i zostaje wykluczona z dalszych rozważań.
2. ZASTOSOWANIE RÓWNAŃ KOŁMOGOROWA-FELLERA DO OPISU DZIAŁANIA SIŁ NIEREGULARNYCH
Przypadkowy proces całkowicie nieciągły opisują całkowo-różniczkowe równania Kołmo- gorowa-Fellera, które w najogólniejszej postaci zostały wyprowadzone przez D u b r o w - s k i e g o (1938, 1944). Założono przy tym , że proces przypadkowy jest typu Markowa, tzn. przyrost zmiennej przypadkowej zależy tylko od jej wartości bezpośrednio przed sko kiem, a nie zależy od tego, jakie wartości przybierała ona we wcześniejszych momentach czasu. Zastosujemy te równania do opisu zmian charakterystyk regularnej orbity gwiazdy pod wpływem sił nieregularnych.
Rozpatrzmy zmiany dwóch całek orbjty: stałej energii H i kwadratu stałej pól Q. Niech funkcja f ( t , Hq , Qo , t, H, Q) dHdQ, będzie prawdopodobieństwem tego, że całki ruchu, które miały w chwili t wartości H q i Qo , w chwili r będą miały wartości na leżące odpowiednio do interwałów H. H + d H i Q, Q + dQ.
Oznaczmy przez <|>(r, / / Q, Qo , H, Q) dHdQdt prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch następujących zdarzeń: 1) w interwale czasu (t, t + dt) całki orbity gwiazdy mające wartości Hq i Qo doznały skoku; 2) po tym skoku ich wartości należą odpowiednio do interwałów (H , H + dH) i {Q, Q + dQ).
Po pewnych przekształceniach równań Kołmogorowa-Fellera ( P i e t r o w s k a j a 1969a) doprowadzimy te równania do postaci dogodnej w dynamice gwiazdowej:
oo oo j-t = } { t , H o, Q o ,T.,H,Q) J J ct>(,,//o , Q Q' h, q ) dhdą — H m 0
rr
0)
- J J f (t, h, q , T, H,Q ) <S> (t, Ho , Qo , h, q ) dhdq 06 2 /. W Pietrowskaja
x ao
° £ = - f ( t . H Q, Q o , T . H . Q )
f f
<1 > ( T , H . { ) . h . q ) d h d q +(2) +
Sf
f ( t . H o , ()a , T, h . q ) <i> ( f . H. q. H . Q ) dl lii q.//<i0
Dokonuje się tu całkowania po obszarze uwarunkowanym dopuszczalnymi wartościami całki energii H < H < 0 . gdzie przez Hm oznaczono minimalne wartości całki energii.
Pierwsze równanie Kołmogorowa-Fellera. które doprowadziliśmy do postaci ( I ) . nazy wa się równaniem skierowanym ku przeszłości, drugie - doprowadzone do postaci (2 ) - skierowanym ku przyszłości. Mając wartości całek ruchu / / , gwiazdy w chwili r może my, korzystając z równania (1), znaleźć gęstość prawdopodobieństwa możliwych wartości tych całek w dowolnej poprzedniej chwili t, tzn. zależność funkqi / o d t, Hn, (>0 przy usta lonych t , H, Q. Znając wartości całek ruchu HQ, Q0 gwiazdy w chwili t i rozwiązując rów nanie (2 ) otrzymujemy gęstość prawdopodobieństwa tych wartości w dowolnym później szym momencie czasu r , tzn. zależność funkcji / od r, H. Q przy ustalonych t, Ho , Qq .
Dla rozwiązania tego zagadnienia trzeba znać „funkcję przejścia” Mt, Ho , Qo , //, (J)
która zależy od charakterystyk pola gwiazdowego i jest równa gęstości prawdopodobień stwa takiego spotkania rozpatrywanej gwiazdy z gwiazdą pola w ciągu jednostki czasu, po którym całki ruchu rozpatrywanej gwiazdy mającej w chwili t wartości H i Qq osiągną wartości leżące odpowiednio w interwałach H, H + dH i Q, Q + dQ.
Biorąc pod uwagę, że przy r = t mamy H = H , Q = Q otrzymujemy warunki począt kowe dla równań (1 ) i (2)
Hm
/
U. HQ
t ,H, ()) =
5
(H
-)
8
(Q
- Q),
T = t
(
3
)
gdzie 8 (jc - y ) jest deltą Diraca.
Równania całkowo-różniczkowe (1 ), (2 ) razem z warunkami początkowymi (3 ) umożli wiają badanie ewolucji (w czasie) funkcji rozkładu całek orbity gwiazd, a więc badanie zmian powstających w strukturze układu gwiazdowego pod wpływem sił nieregularnych. Takie postawienie problemu bierze pod uwagę siły regularne działające w układzie gwiazdo wym, na które nakładają się siły nieregularne.
Taki problem w postaci ogólnej jest bardzo trudny do rozwiązania i wymaga dalszych badań. Ale w pewnych zagadnieniach dynamiki gwiazdowej można poprzestać na roz patrzeniu zmian w czasie charakterystyk ruchu gwiazdy w polu sił nieregularnych przy nieobecności sił regularnych Najłatwiejsze jest zastosowanie równań Kołmogorowa-Fellera do opisu zmiany jednej wielkości przypadkowej, która jest równa modułowi prędkości gwiazdy. Przy tym można założyć, że proces przypadkowy jest procesem jednorodnym, tzn. funkcje / i <t> zależą tylko od różnicy momentów czasu r - t, którą w dalszym ciągu będzie my oznaczać przez t.
Oznaczmy przez v moduł prędkości rozpatrywanej gwiazdy, przez v — średnią kwadratową prędkości gwiazd pola:
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 63
v - s / 3 ,
przez w, - prędkość krytyczną.
Rozpatrzmy zmianę w czasie wielkości przypadkowej
y
= •=> jeśli wiadomo, że w chwili
t =
0 jej wartość była równax.
Wtedy funkcja różniczkowa wielkościy
w chwilit,
f(x, t , y )
spełnia równania:oo y j
d / (*.
t , y ) _
bt
—/( * .t , y ) J
x , z ) d z
+J f ( z , t , y ) ^ ( t , x , z ) d z ,
(4)oo y j
~^ ~ V r
y) = ~ ^ x’ t,y^ J * y’ z)dz + f
l ’ z) ***& z' y
) d z > (5)v l
gdzie
y l
= — . Warunki początkowe mają postać:f(x,
0
,
y ) = 8(y
-
x).
(
6
)
3. EWOLUCJA ROZKŁADU PRĘDKOŚCI GWIAZD. PODSTAWOWE RÓWNANIA
Pomnóżmy obie strony równania (4) przez pewną funkcję
*PD(y)
i przecałkujmy poy
w przedziale
[ 0 , y ^ ] .
Wtedy wprowadzając bezwymiarowy czas:* = (7) O otrzymamy równanie:
y \
— = — 10(6 x \ t I tb <7 fl » 7 \ H 7 4de
i warunki początkowe:V>(0,jr) = y>0 (*).
(9)
Nowa niewiadoma funkcja: ->'1
*(0, x) = J
(y) f(x, 0, y ) d y
(
10
)
64
/. W. P i e i r o w s k a j ajest rożniczkową funkcją rozkładu prędkości bezwymiarowej w momencie czasu — 6 grupy gwiazd, które w chwili 0 = 0 będą m iały rozkład prędkości:
f ( 0 , X ) = spo(x). (11)
Mnożąc (5) i (6) przez funkcję VQ{x) i całkując po x w przedziale [ 0 , y y ] , otrzymamy równanie:
d * ( 0
~
1
~ * p ( 0 . y ) t o J <1>(t0 Q , y , z ) dz + J * <p( 6, z ) t o <I> ( f o Q , z , y ) d z ( 1 2 )
d d
o o
funkcji rozkładu prędkości:
y \
v(0, y )
= s6, y) dx
(13)O
w chwili + 6 dla grupy gwiazd, które w chwili 0 = 0 m iały rozkład prędkości:
* (0, y ) = ^ o0 ) . (14)
Równania (8) i (12) z warunkami początkowymi (9) i (13) w zasadzie można rozwiązy wać korzystając z przekształceń całkow ych, jak to się czyni w teorii rozproszenia neutro nów ( M a r s h a k 1947), ale przeszkadza tem u dalekosiężność oddziaływ ania sił grawita cyjnych, która doprowadza do nieokreśloności pojęcia spotkania gwiazdowego, a w ięc do niemożliwości wyliczenia prawdopodobieństwa takiego spotkania rozpatrywanej gwiazdy z gwiazdą pola, w rezultacie którego jej prędkość przybiera dowolną w artość z przedziału 0 < v < Dla gwiazdy z początkową prędkością
x
prawdopodobieństwo to jest równe:S
4> (f,x, y ) d y .
(15)O
Funkcja przejścia 4>(r,
x, y )
w teorii sił nieregularnych działających w układach gwiazdo wych została znaleziona przez A g e k j a n a (1959, 1961) i H e n o n a (1960), do czego wrócimy później. Niestety, wszystkie dotychczas znalezione postacie tej funkcji zachowują się jak (y -x)~v
przyy
-*x,
gdzie v > 1, w ięc całka (15) nie istnieje. Jest to jeden z prze jawów powszechnie znanej rozbieżności całki zderzeń dla sił grawitacyjnych.Rozpatrzm y sposób rozwiązania równania (12) z warunkami początkowym i (13), który pokonuje tę trudność. Sens fizyczny równania (12) jest łatw y do zrozumienia.
Niech i
p ( y ) d y
będzie liczbą gwiazd w chwili0
z prędkościami w przedziale(y,
y
+dy).
Liczba gwiazd uchodzących z przedziału(y, y
+dy
) w czasie( 0 , 6 + dd)
jest równa liczbie gwiazd w przedziale (y,y
+dy)
w chwili6
pomnożonej przez praw dopodo bieństwo dowolnej zmiany prędkości w czasied6:
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 65
oo
ip(0, y ) d y f <b(tQ d , y, z ) d z d d .
o (16)
Przy tym przyrost prędkości z — y gwiazdy może być dowolnie wielki. Gwiazda może nawet opuścić układ jeśli z ~2yj . Dlatego górna granica całki w (16) jest równa nieskoń czoności.
Liczba gwiazd mających w chwili 6 prędkości w przedziale (z, z + dz) i przechodzą cych w ciągu dd do przedziału prędkości (y, y + dy) jest równa liczbie gwiazd w chwili d z prędkościami w przedziale (z, z + dz) pomnożonej przez prawdopodobieństwo takiego przejścia w ciągu d d :
Całkując (17) po wszystkich możliwych wartościach prędkości z gwiazd należących do układu otrzymamy ogólną liczbę gwiazd wchodzących do przedziału prędkości w czasie dd:
Odejmując (16) od (18), otrzymamy zmianę liczby gwiazd w przedziale prędkości (y, y + dy) w czasie dd:
Równanie (12) z warunkami początkowymi (13) opisuje ewolucję funkcji rozkładu prędkości \p(d, y ) grupy gwiazd, które w chwili 0 = 0 miały rozkład prędkości v ( y \ Jądro 4*(/o 6, z, y ) równania (12) zależy od charakterystyk gwiazd pola, z którymi spoty kają się rozpatrywane gwiazdy. Jako jądra można użyć np. wyrażenia, które otrzymał A g e k j a n (1959) dla gęstości prawdopodobieństwa spotkania gwiazd z określoną zmianą kwadratu prędkości pod warunkiem, że rozkład prędkości gwiazd pola jest maxwellowski i że charakterystyki pola nie zależą od czasu. Wtedy z wzorów (68), (69), (74) i (78). A g e k j a n a (1959) można otrzymać prawdopodobieństwo <I>* (fi, g) dgdt tego, że gwiazda mająca kwadrat prędkości /3 = x 2 w ciągu d t dozna spotkania, wskutek którego otrzyma przyrost kwadratu prędkości w interwale (g, g + dg).
Podamy tu wyrażenia na to prawdopodobieństwo <I>j (0, g)dgdt i (fi, g)gddt od powiednio dla przypadków, kiedy masa rozpatrywanej gwiazdy jest równa średniej masie
ifi(d, z )d z $ ( f o 0, z, y ) dydO. (17)
o
y
i/ ip(0, z) <I>(fo 6 z, y ) d z d y dd. (18)
skąd wynika równanie (12).
4. STAŁE POLE GWIAZDOWE
66 / . W. Pietrowskaja
gwiazdy pola ( m l = m) i kiedy masa ta jest nieskończenie mała w porównaniu z masą gwiazdy pola (w , = 0):
gdzie D - gęstość gwiazd pola, G — stała grawitacji.
Funkcja 4>*(fi, g) zachowuje się przy g -* 0 jak # - 3 , więc odpowiednie momenty tej funkcji nie istnieją. A g e k j a n (1961) zaproponował wprowadzenie do wzorów na prawdopodobieństwo spotkania z określonym g tzw. współczynnika wielokrotności X, zdefiniowanego jako ułamek, którego licznik równa się wkładowi gwiazd znajdujących się w danej odległości w średnią siłę wywieraną przez całe pole nieregularne na gwiazdy rozpatrywane, zaś mianownik równa się arytmetycznej sumie m odułów tych sił. Na tak zdefiniowany współczynnik wielokrotności A g e k j a n otrzymał następujące wyrażenie:
zaś a * 1 jest stałą.
Potrzeba użycia współczynnika wielokrotności spotkania gwiazdowego X (W) wynika stąd, że przy wyprowadzeniu funkcji przejścia <t>* (fi, g) używa się schematu kolejnych spotkań podwójnych, których efekty się kumulują. W rzeczywistości im dalsze spotkania się rozpatruje, tym bardziej należy uwzględniać jednoczesność działania na gwiazdę roz patrywaną wszystkich gwiazd pola, które znajdują się w danej odległości. Współczynnik X (jV) uwzględnia częściowo ekranowanie wzajemne sił grawitacyjnych, działających na
2 2 (fi, g)dgdt = 3 2 \/6 7 r ^ dgdt 7,-i i
„
i3«’3
Isl
o (19) m j . _ ->-<n
—G^m^Dfi
‘I*. (A g)dgdt = 32 V 6n —---f«3
Ul
3
(
20)
(21)
gdzie:(
22
)
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 67
gwiazdę rozpatrywaną ze strony gwiazd pola w wielkich odległościach. W (20) N jest równe średniej liczbie gwiazd położonych bliżej gwiazdy, z którą spotkania rozpatrujemy.
Przy jV = 0 (bliskie spotkania) współczynnik wielokrotności (21) równy jest 1. Zależność efektu wielokrotności od g dla bliskich spotkań zostało zbadane przez P i e t r o w s k a j ę i J a k i m o w a (1974) sposobem prób numerycznych.
Wprowadzenie współczynnika wielokrotności spotkania gwiazdowego poprawia nieco sytuację, jeśli idzie o rozbieżność całki spotkań, bo iloczyn X (fi, g) <J>* (fi, g) zachowuje się jak g ~ 1 przy g -* 0, istnieją więc momenty tego iloczynu.
Jądro równania (12) przybiera postać:
Zastosujmy metodę Fouriera do znalezienia rozwiązania równania (12) z jądrem (23) i warunkami początkowymi (14). Przedstawmy rozwiązanie w postaci:
( P i e t r o w s k a j a 1969b). Wskutek liniowości równania (12) każdy składnik (26) od dzielnie spełnia także to równanie. Podstawiając (26) do (12) i oznaczając:
oraz niewiadomą funkcję i/>(0, y ) w postaci rozwiniętej na szereg (26) względem funkcji własnych równania całkowego (28). Współczynniki zależące od czasu otrzymamy w postaci:
‘o
$(*. y ) = 2 tQy
\(fi, g)<i>*(fi,
g), (23)gdzie oznaczone:
0 = x 2, g = y 2 - x 2, (24)
przy tym wygodnie jest przyjąć:
t.o (25)
II. ROZW IĄZANIE METODĄ FO U R IER A
*(e. y ) = 2 c . Tj (6) Yj 0 0 / (26)
\ dT^e)
(27) M/ t.(6) d e ’ otrzymamy: M. Yj( y) = YAy) / <t>0. - / Y. (2) <t>(z, y ) d z ,
1 1 o o ' (28)68
/. W. PietrowskajaTf (6) = e ^ (29)
gdzie iij są wartościami własnymi równania (28).
Jak powiedziano wyżej, funkcja <I> (x, y ) dąży do nieskończoności, gdy g -*■ 0. Ale roz wiązanie równania całkowego jest możliwe, bo można doprowadzić je do postaci:
M,
Y,
00
= / [Y .(y)
$ 0 , z ) -Yt e )
$ (z,y )
] dz +Y.(y)
/ <J> (y
, z ) dz , (30)' ' o ' '
gdzie różnica pod znakiem całki zdąża ku wartości skończonej, kiedy z -*■ y.
Funkcje własne Y. ( y ) i wartości własne /u. równania (28) znajdujemy w sposób liczbo wy. Zastąpmy całki w (28) sumami wyliczając wartości funkcji 4> (z, y ) i $ (y, z ) w każdym z (n + 2) równoodległych punktów z (k^ (k = 0, ... n + 1) interwału prędkości [ 0, y ^ J . Załóżmy przy tym:
V ° ) = K/ O l ) = 0. (31)
Zamiast równania całkowego (28) otrzymamy równanie algebraiczne. Takie równanie wy piszemy dla każdego y^eHs = 1, ... n) z równoodległych punktów interwału [0 , y ^ J . Współczynniki tego układu algebralicznego n równań, zawierającego n niewiadomych funk cji, tworzą macierz kwadratową rzędu n. Wartości własne i wektory własne tej macierzy można przyjąć w przybliżeniu jako pierwsze n wartości własnych fi. i odpowiednich funkcji własnych Y. (y) równania całkowego (28).
Przyjmijmy, że średnio w układzie = 2, jak wynika to z twierdzenia o wiriale ( A m b a r - c u m i a n 1938) i rozpatrzmy najpierw przypadek m j = m, tzn. taki, w którym masy rozpatrywanych gwiazd są równe średniej masie gwiazd w układzie. Wszystkie wartości własne otrzymuje się dodatnie. Dlatego możemy ustawić wyrazy szeregu (26) w kolejności wzrastania wartości n i zastąpić go sumą n składników:
* ( 6 , y ) = 2 C. e - Ui 9 Y (y). (32)
/= i / /
Rozkład <pQ
00
gwiazd rozpatrywanej grupy w chwili 6 = 0 określają współczynniki C. su my (32) przez wyrażenie:*0 O'*) = / £ 1 C. Yj O'*). (33)
Przy 6 > 0 składniki sumy (32) szybko maleją, kiedy / wzrasta. Tak więc przy 0 otrzymamy:
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych
69
Funkcję Y j (y), która jest zawsze dodatnia, możemy uważać za przedstawiającą rozkład prędkości gwiazd rozpatrywanej grupy przy 6 ->
Całkując obie strony równania (28) po y od 0 do y j otrzymamy wyrażenie dla war tości własnych:
/ Y / y ) f 4> (y, z ) d z dy o i y j
^ "
Ti
oJ
z którego można skorzystać dla bardziej ścisłego wyliczenia /ij po wyliczeniu funkcji własnych Yj(y).
Założyliśmy, że masa każdej z rozpatrywanych gwiazd jest równa średniej masie gwiazdy pola g) = <J>*(0, £)). Możemy więc uważać, że rozkład prędkości Y x(y) ustala się dla gwiazd całego układu, kiedy 9 -> °°; chociaż, ściśle mówiąc, rozpatrujemy spotkania grupy gwiazd z gwiazdami pola, które mają maxwellowski rozkład prędkości. Z (34) widzi my, że postać rozkładu prędkości w układzie nie zależy od czasu, a ogólna liczba gwiazd:
r l
N ( 0 ) = Ci e S Y x ( y ) d y (35)
O
przy 0 -» oo zmniejsza się w czasie jak e . Cały układ dąży więc do stanu kwazistacjo- narnego w polu nieregularnym.
Wielkość:
1 dN( 6)
^ ~ N( d) d6 (36)
przedstawia ułam ek wszystkich gwiazd, które opuszczają układ w ciągu czasu fQ. Wielkość tQ związana jest z czasem relaksacji układu (A g e k j a n 1962) wzorem:
v3 r0
r = --- = I r ’ 0 1 )
K G 2 m 2D K
gdzie K jest stałą.
III. OBLICZENIA ROZKŁADU PRĘDKOŚCI DLA GWIAZD RÓŻNYCH MAS W RÓŻNYCH CZASACH t
Dokonano obliczeń ( P i e t r o w s k a j a 1969b) dla typowej gromady otwartej, dla któ rej K ^ 100. W tym przypadku ułam ek wszystkich gwiazd, które uchodzą z takiej gromady w stanie kwazistacjonarności w czasie relaksacji jest równa:
70
I. W. PietrowskajaRys. 1. R ozkład prędkości w różnych m om entach czasu grupy gwiazd z masami m j = m , których prędkości przy t - 0 były rozmieszczone równomiernie w przedziale 0,3 5 1) - 0,75v
1
Rys. 2. Rozkład prędkości w różnych momentach czasu t grupy gwiazd z masami m j = m , których prędkości przy t = 0 by ły rozmieszczone równomiernie w przedziale 0,75 «5 — 1,25 i»
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 71
Rys. 3. R ozkład prędkości w różnych momentach czasu t grupy gwiazd z masami m j = m, których • prędkości przy / = 0 były rozmieszczone równomiernie w przedziale 1,25 F 1,65 T
Rys. 4. Rozkład prędkości w różnych mom entach czasu / grupy gwiazd zerowej masy, których pręd' kości przy / = 0 by ły rozmieszczone równomiernie w przedziale 0,71 v - 1,22 v
72
I. W. P ie tro w sk a jaT--- - 0,01
Mi-o
Na rys. 1—3 przedstawiony jest w różnych chwilach czasu rozkład prędkości <p(6, y ) gru py gwiazd, których prędkości w chwili 6 = 0 były rozmieszczone równomiernie w prze dziale prędkości 0,351; — 0,75 77 (rys. 1), 0,75 v -1 ,2 5 v (rys. 2) i 1,25 v - 1,65 v (rys. 3.). Możemy zauważyć, że poczynając od chwili t * 20 t rozkład prędkości gwiazd rozpatry
wanych grup praktycznie się nie zmienia, a następuje tylko zmniejszanie ogólnej liczby gwiazd wskutek dyssypacji. Stąd wynika, że po upływie czasu rzędu 20 r rozkład pręd kości każdej grupy będzie taki sam, jak rozkład prędkości gwiazd pola.
Rys. 5. R ozk ład prędkości w różnych m om entach czasu t grupy gwiazd zerowej masy, których prędkości przy t - 0 b y ły rozmieszczone równomiernie w przedziale 1,22 o — 1,58 u
Rozwiązanie liczbowe równania (12) przy m j = 0 , kiedy jądro wylicza się wg formuł (20)—(23) przedstawia ewolucję rozkładu prędkości grup gwiazd, których masa jest nie skończenie m ała w porównaniu ze średnią masą m gwiazdy układu (K a 1 i b e r d a i P i e t r o w s k a j a 1970). Rozkłady prędkości dwóch grup gwiazd zerowej masy w róż nych momentach czasu przedstawione są na rys. 4 i 5. Te rozkłady dążą ku rozkładowi kwazistacjonarnemu i osiągają go w ciągu czasu t ~ 10 t .
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 73
Odpowiednich wyliczeń dokonano dla gwiazd mających = — ( K a l i b e r d a i P i e-t r o w s k a j a 1972) i dla gwiazd z/ Wj = 2 m ( K a l i b e r d a i P i e e-t r o w s k a j a 1971). Grupy gwiazd z = 2m, bardziej masywnych niż gwiazdy pola osiągają kwazistacjonarny rozkład prędkości w czasie t ~ 50 r. Tak więc im mniejsza jest masa rozpatrywanych gwiazd, tym szybciej przebiega ich relaksacja w układzie.
IV. PRZYPADEK KWAZISTACJONARNOŚCI (t = “ >)
W tab. 1 podane są ułamki liczby gwiazd różnych mas uchodzących z układu w ciągu czasu relaksacji przy t -*■ tzn. w stanie kwazistacjonarności, obliczone wg (38) i
- y1 - . / 0 0 / (z - 4) $ O'. z ) dzdy o y . E = 0,01 --- --- (39) ^1 I y 2 Y ! (y)dy o
część energii, którą te gwiazdy unoszą. Dla porównania przedstawiono odpowiednie wartości prędkości dyssypacji znalezione przez S p i t z e r a i H a r m a (1958) z rozwiąza nia równania Fokkera-Plancka (jak powiedziano wyżej, wyliczenie z tego równania unoszonej energii jest niemożliwe).
T a b e l a 1
Tempo ucieczki gwiazd z kwazistacjonamego układu i ocena unoszonej przez nie energii
Wielkość mj = 0 my = 0,5 m m j = m m j = 2 m / r d N \ U * / , — . 0,154 (0,205 SH) 0,0291 (0,0615 SH) 0,01038 (0,0114 SH) 0,00582 / T dt: \ \ E d t ) t = ~ 0,0254 0,00556 0,00187 0,000536 ( m. )
Na rys. 6 przedstawione są funkcje Y { (y) rozkładu prędkości gwiazd różnych mas w stanie kwazistacjonarności. Tendencja ku ekwipartycji energii przy wzajemnych spotka niach gwiazd prowadzi do powiększenia średniej prędkości gwiazd, kiedy masa ich maleje. Na tym rysunku przedstawiono także rozkłady prędkości gwiazd różnych mas otrzy mane z rozwiązania równania Fokkera-Plancka przez S p i t z e r a i H a r m a .
Zauważmy, że równanie (28) dla j = 1 opisuje rozkład prędkości gwiazd rozpatrywanej grupy w układzie kwazistacjonarnym, tzn. przy t -* Korzystając z wyrażenia (36) dla jUj możemy z (28) otrzymać tzw. równanie bilansu dla układu kwazistacjonamego, które otrzymał A g e k j a n (1959b), a które rozwiązali w spośób liczbowy A g e k j a n (1959b) i K a l i b e r d a (1964). Równanie bilansu w naszych oznaczeniach ma postać:
74 /. W. P ietro w sk aja
Rys. 6. Funkcje rozkładu prędkości gwiazd różnych mas w układzie kwazistacjonarnym: 1 - całkowicie nieciągły proces przypadkowy, 2 — dane S p i t z e r a i H a r m a
$ (z, y)dz +
S l Yx <y)dy o
J
Yjiy)
J
*(y.
z)dzdy. (40)5. PRZYPADEK POLA GWIAZDOWEGO ZMIENNEGO W CZASIE
I. JĄDRO RÓWNAŃ PODSTAWOWYCH W BARDZIEJ OGÓLNEJ POSTACI
Stosując funkcję przejścia (23) $ (x, y ) w postaci A g e k j a n a (1959a, 1961) zakłada liśmy dotychczas, że rozpatrywana grupa gwiazd zanurzona jest w polu gwiazdowym, którego charakterystyki nie zmieniają się w czasie i że rozkład prędkości gwiazd pola jest maxwellowski.
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 75
W rzeczywistości charakterystyki pola gwiazdowego zmieniają się w czasie. W ogólnym przypadku funkcja przejścia zależy od czasu i dla przypadku m 1 = m ma postać (V j u g a, K a l i b e r d a i P i e t r o w s k a j a 1976): y
*<■•» -
w
[
/
^
u _
+
3xiJ 1^1
g+lgl (41) y \ i dla y < y x; . l 6 n G 2m 2y \ ( Ń ) f*|
f|
+
g,
, <*>(*, y ) = --- V k 2 (4*2 + |; | - l g) d k (42) 3 j c^ 3 | ^ | 3 J k ' 2r
/ g+\g\ dla y > y 1 oraz: <*>(*.;') = 0 (43) 2 2 2dla y > x + y , . W funkcję przejścia <t(jc, y ) wchodzi zależna od czasu funkcja:
N ( 6 , k ) d k
(44)
przedstawiająca liczbę gwiazd w jednostce objętości mających prędkość bezwymiarową k = v/v w przedziale (k , k + dk), a talęże zmieniająca się w czasie wielkość Ii3 (6) ( P i e t r o w s k a j a 1971).
II. U K ŁA D KW AZISTACJONARNY
Załóżmy, że cały układ przeszedł do stanu kwazistacjonarnego w polu nieregular nym, tzn.:
76 I. W. Pietrowskaja
W wyrażeniu dla funkcji przejścia 4>(0, x, y ) otrzym am y wtedy współczynnik zależny od czasu:
D ( 6 ) l (0), (46)
który związany jest z czasem relaksacji wzorem:
m = — , (47)
K G 2 m2 D{6)
gdzie D ( 0 ) - gęstość gwiazdowa, zaś K - wielkość zależnd od charakterystyk układu, przy czym zależność K od czasu można zaniedbać.
Określmy czas bezwymiarowy przez stosunek:
e = tit*Q,
(48)gdzie
'o* - (49>
zas
To, = (^®)
— czas relaksacji uk ład u w chwili 0 = 0. Wprowadzając funkcję:
= l i U l
To
zamiast (12) otrzym am y równanie:
T*(0 ) = (51)
r o
e'--~ = - ¥>(*. o . y ) — — f (v. *)<& +
a e T*(0) j
\ 0 )
_
Jądro równania (52) ma postać:
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 77 lórcy A(VV) 3 x \ g \ 3
j
im
.(
4 * 2+1^1 - 2 ^ +
i g + 1*1 2/ I |^| —
g7
/ 1 / w
- y * — 2 — ( 4 * + t e i + :2 £ ) J j t d k (*. 7 ) 16 n y \ ( N ) 3 jc |^ |J g \ + g (4 A:2 + \ g \ - 2 g ) d k , y z ^ (53) dla y > yj oraz: $*(*-.>') = 0, dla £ > y*.Do tego jądra wchodzi funkcja rozkładu gwiazd pola f ( k ) .
Równanie (52) zapisane dla gwiazd z masą równą średniej masie gwiazdy w układzie (»ij = m ) jest nieliniowym całkowo-różniczkowym równaniem na funkcję <p(x, d, _y). Zapisując rozwiązanie tego równania w postaci szeregu.
*(X, e , y ) = X C j T/ ( 0 ) Y j (y), (54)
otrzym am y równanie całkow e dla funkcji Y.(y):
t*iY . ( y) = Y . ( y ) f <ł>.(y,z)dz - f Y { z ) <J>*(z, y ) d z ,
o o
z jądrem (53), gdzie należy przyjąć:
f ( k ) = v>(x , °° k ) = Y j (k).
(55)
78
I. W. PietrowskajaII. ZASTOSOWANIE METODY KOLEJNYCH PRZYBLIŻEŃ
N ieliniow e rów nanie c a łk o w e (5 5 ) m o żn a rozw iązać m etodą kolejnych przybliżeń. Z a łó ż m y z p o czątk u , że funkcja ro z k ła d u p ręd k o ści po la je st m axw ellow ska i znajdziem y, ja k w yżej, funkcje w łasn e Y (l * (y ) rów nania (5 5 ) z jąd rem postaci (19). F unkcja y j 1* ^ ) , k tó ra odpow iada najm niejszej w artości w łasnej je st p rzedstaw iona na rys. 7 i odpow iada przypadkow i Wj = m na rys. 6. Podstaw iając n astęp n ie o trzy m an ą funkcję K j1} (&) = f ( k )
ząm iast m axw ellow skiej d o w yrażenia (5 3 ) w yliczam y na n ow o ją d ro (5 3 ) rów nania (5 5 ) i znajdujem y funkcje w łasn e Y ^ ( y ) tego rów nania w drugim przybliżeniu. W yliczenia p o k a z a ły ( V j u g a , K a l i b e r d a i P i e t r o w s k a j a 1976), że funkcje Y ^ { y ) i ^(y) prak ty czn ie są iden ty czn e, tzn. z a ło ż e n ie o m axw ellow skim ro zk ła d zie p ręd k o ści gwiazd pola je st dostatecznie ścisłe dla w yliczenia ją d ra rów nania (1 2 ). Na rys 7 przedstaw ione są trzy funkcje ro z k ła d u p ręd k o śc i gwiazd pola: p rz y ję ta w zerow ym przybliżeniu m ax w ellowska oraz otrzy m an e w pierw szym przybliżeniu * (y) i w drugim przybliżeniu
(2)
F j (y ); dwie ostatnie praw ie identyczne.
Rys. 7. Funkcja rozkładu prędkości w układzie kwazistacjonamym: 1 - rozk ład m axwellowski; 2,3 - funk cje rozkładu prędkości w pierwszym i drugim przybliżeniu odpowiednio
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych 79
III. EW OLUCJA W CZASIE
Zależność rozwiązania (54) równania (52) od czasu określa równanie:
t * ( 9 ) d T j
7^(0) dO Pij • (57)
Zauważmy, że w układzie kwazistacjonarnym ogólna liczba gwiazd N (6) zmienia się w czasie proporcjonalnie do współczynnika rozwinięcia (54) otrzymanego dla przypadku, kiedy masa rozpatrywanej gwiazdy jest równa średniej masie gwiazd pola. Wtedy z (57) otrzymamy: t
*(0) dN*(6) _ _
N*(0)
dd
^
( }
gdzie oznaczono*
*
<
«
)
-
(
59
)
i m ^a n = /ij przedstawia największą wartość własną równania (55) dla przypadku = m. Korzystając z twierdzenia o wiriale dla sferycznego układu kwazistacjonarnego możemy napisać (A g e k j a n 1962):
7
t* (0 ) = [ N * { 0 ) f i . (60)
Podstawiając (60) do (58) otrzymamy prawo zmiany w czasie ogólnej liczby gwiazd sferycznego układu kwazistacjonarnego:
N * (0 ) = ( ~ ~ n e + l) T, (61)
oraz czasu relaksacji układu:
t* ( 0) = - ^ n O + 1. (62)
Podstawiając (62) do (57) otrzymamy wyrażenie na współczynniki T .(6) w (54) dla dowolnej masy rozpatrywanych gwiazd:
2
^
(63)
80
I. W. Pie t r o w sk aj aFunkcje 7^.(0) szybko maleją ze wzrostem 0, więc ewolucja grupy gwiazd m 1 przy dostatecznie wielkich 0 określona jest przez form ułę:
y ( x l , d , y ) S ‘ C1 Tl ( e ) Y l (y),
(63')gdzie
( m i )
2 " l
7 ^(0 ) = \ n d + l ] ^ M (64)
a Mj jest najmniejszą wartością własną równania (55) dla gwiazd masy m j. P rzy :
0 . = ^ , (65)
7 /x
współczynniki T.(d ) oraz ogólna liczba gwiazd (61) układu są równe zeru, stąd wielkość:
2 K r
u -
(66)
jest równa czasowi dyssypacji ogólnej układu sferycznego. Dla typowej gromady otwartej K = 100, a t , = 31 t0 .
Wyrażenia przedstawiające ułamki ogólnej liczby gwiazd, które opuszczają układ w chwili 0 w ciągu czasu relaksacji r = r (0), oraz części energii, którą te gwiazdy unoszą, mają odpo wiednio postać :
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych
8 1
" gdzie f y , ( y ) f (z2 - 4 ) <P, (y, z)dzdy ° ' y . Ej = --- (69) f y 2 Y (y)dy oWielkość (67) zdąża ku jUj/K, a (68) — ku E l /K, kiedy t -*■ U .
W tab. 2 i 3 przedstawione są wartości j j ~ oraz~ w różnych momentach czasu dla typowej gromady otwartej (K = 100, y l = 2), a także odpowiednie wartości dla stałego odstępu czasu, a mianowicie początkowego czasu relaksacji t q :
N dt N dt V 2 + 1
£• d r
- i
(70)
Dla porównania przedstawione są odpowiednie wartości przy stałych charakterysty kach pola gwiazdowego, kiedy r ( d ) = t Q = const, a współczynniki T. wyliczane są z (29).
W tab. 2 przedstawiono rezultaty dla gwiazd, których masa jest równa średniej masie gwiazdy w układzie (w j = m), a prędkości początkowe są rozmieszczone równomiernie w przedziale [ 0 , 75 v, 1,25 v J .
W tab. 3 zawarte są odpowiednie dane dla gwiazd zerowej masy (m^ = 0), których prędkości początkowe były rozmieszczone równomiernie w interwale £0,71 E, 1,22 v j .
T a b e l a 2
Tempo ucieczki z gromady gwiazd o średniej masie i ocena unoszonej przez nie eneigii Pole
zmienne niezmienne zmienne niezmienne
t T =r (0) T(d) =T Q= const. 7 r(0) 7(0) = T Q = const. 0 _ J _ d N *“1 O 1 To dN T dE To dE , To dE N dt N dt N dt E dt E d t E d t 10 0,00650 0,00964 0,00543 0,00130 0,00193 0,00112 15 0,00857 0,0167 0,00753 0,00166 0,00320 0,00148 20 0,00919 0,0263 0,00850 0,00176 0,00504 0,00164 31 0,00930 O O 0,00913 0,00177 O O 0,00178 oo - - - 0,00930 - - 0,00177
82 I. W. Pietrowskaja
T a b e l a 3
Tempo ucieczki z gromady gwiazd o zerowej masie i ocena unoszonej przez nie energii
P o l e
zmienne niezmienne zmienne niezmienne
t T “ r ( 6 ) T ( 0 ) =T Q = const. T = T (0) t ( 6 ) = t q = const.
*7
T d N T o M r 0 d N T dE 7 odE
r 0 dE N d t N d t N d t E d t E d t E d t 5 0 ,0740 0,0884 0,0735 0,0125 0,0149 0,0123 7,5 0,0768 0,1016 0,0765 0,0127 0 ,0168 0,0126 10 0,0770 0,114 0,0771 0,0127 0,0188 0,0127 15 0,0771 0,151 0,0771 0,0127 0,0248 0,0127 31 0,0771 O O 0,0771 0,0127 oo 0,0127 o o - 0,0771 - - 0,0127Dane tab. 2 i 3 wskazują na przyspieszony charakter dyssypacji i unoszenia energii grup gwiazd zanurzonych w kwazistacjonarnym układzie gwiazdowym.
Przypomnijmy 4® rezultaty przedstawione w tym artykule ( P i e t r o w s k a j a 1969a, b, 1971; K a l i b e r d a i P i e t r o w s k a j a 1 9 7 0 ,1 9 7 1 ,1 9 7 2 ; W j u g a , K a l i b e r d a i P i e t r o w s k a j a 1976) z o sta ły uzyskane bez uwzględnienia pola regularnego u kład u. Uwzględnienie p otencjału regularnego m oże znacznie zm ienić otrzymane liczby.
L I T E R A T U R A
A g e k j a n , T. A., 1959a, Astron. Żurn., 36, 41. A g e k j a n, T. A., 1959b, Astron. Żurn., 36, 283. A g e k j a n , T. A., 1 9 6 1 ,Astron. Żurn., 38, 1055.
A g e k j a n , T. A., 1962, Kurs astrofizyki i zwiozdnoj astronomii, gl. 20, Fizmatgiz. A m b a r c u m i a n W. A ., 1938, Uczonyje zapiski LGU, N 22, 19.
C h a n d r a s e k h a r , S., 1941, Astrophys. Joum ., 9 4 ,5 1 1 .
C h a n d r a s e k h a r , S., v o n N e u m a n n , J., 1942, Astrophys. Joum ., 9 5 ,4 8 9 . C h a n d r a s e k h a r , S., v o n N e u m a n n , J., 1943, Astrophys. Journ., 97, 1. C o h e n , R. S., S p i t z e r, L., R o u 1 1 y , P., 1950, Phys. Rev , 8 0 , 230.
G a s i o r o w i c z , S., N e u m a n n , M., R i d d e 1, P., 1956, Phys. Rev., 101, 922. G n e d e n k o , B. W., 1961, Kurs teorii werojatnostiej, gl. 10, Fizmatgiz. M. D u b r o w s k i j, W. M„ 1938, Dokl. AN SSSR, 19, 439.
D u b r o w s k i j, W. M„ 1944. Izw. AN SSSR, 8 , 107. H e n o n , M., 1960a, Ann. Astrophys., 2 3 , 459. H e n o n, M., 1960b, Ann. Astrophys., 23, 668.
K a l i b e r d a , W. S., 1964, Westnik Leningradskogo un-ta, N 1, 123. K a l i b e r d a , W. S., P i e t r o w s k aj a, I. W., 1970, Astrofizyka, 6, 135. K a l i b e r d a , W. S., P i e t r o w s k a j a , I. W., 1971, Astrofizyka, 7, 663. K a 1 i b e r d a, W. S., P i e t r o w s k a j a, 1. W., 1972, Astrofizyka, 8 , 305. M a r s h a k , R. E., 1947, Rey. Mod. Phys., 1 9 ,1 8 5 .
Nieciągłe procesy przypadkowe w polu sił nieregularnych
83
P i e t r o w s k a j a , I. W., 1969a, Astron. Żurn., 46, 824. P i e t r o w s k a j a , I. W., 1969b, Astron Żurn., 46, 1220. P i e t r o w s k a j a , I.W ., 1971, Astron. Żurn., 48, 309.
P i e t r o w s k a j a , I. W., J a k i m o w , S.P., 1975, Trudy AO LGU, 31, 182.
R o s e n b l u t c h , M. M., M c D o n a l d , W . M , J u d d , D. L , 1957, Phys. Rev., 107,1. S p i t z e r , L., H a r m , R., 1958, Astrophys. Joum ., 127,544
S p i t z e r , L., S c h w a r z c h i l d , M„ 1951, Astrophys. Journ., 114,385.
•' " • ■■
■
POSTĘPY ASTRONOMII Tom XXV (1977). Zeszyt 2
TEORETYCZNE I DOŚWIADCZALNE BADANIA PROMIENIOWANIA MULTIPOLOWEGO ATOMÓW L U C Y N A A U G U S T Y N I A K , K A Z I M I E R Z D U N A J S K I
Instytut Fizyki Uniwersytetu Gdańskiego (Gdańsk)
TEOPETOTECKHE H 3KCIIEPHMEHTAJlbHblE HCCJIEflOBAHHfl MyJBbTHTIOJIEBOrO M3JiyyEHHH ATOMOB
JI. A B r y c T b i H H K , E . f l y H a ń c K H
C o f l e p a c a H H e
f lH C K y ra p y e T C H 3H a«m T eJibH bie H fleH l e o p r a H 3 J iy M a ie jib H b ix n e p e x o f lO B h p e 3 y j i b T a i w cne-
KTpOCKOnHMeCKHX 3K CnepH M C H T0B CBH32HbLX C M yjIbT H nO JieB blM H3JiyM eH H eM .
THEORETICAL AND EXPERIMENTAL INVESTIGATIONS OF MULTIPOLE RADIATION OF ATOMS
A b s t r a c t
Principal theoretical ideas o f multipole radiation transitions are discussed. Some experimental results o f spectroscopical investigation are also given.
W artykule tym pragniemy przybliżyć Czytelnikowi, nie zajmującemu się bezpośrednio badaniem promieniowania multipolowego, głów ne idee teorii przejść prom ienistych prom ie niowania wyższych rzędów oraz omówić niektóre wyniki bardziej typow ych doświadczeń spektroskopowych. Zwracamy też uwagę na prace teoretyczne i doświadczalne fizyków i astrofizyków uzasadniające doniosłe zanczenie dla teorii widm atom owych oraz w pozna niu atm osfer gwiazdowych badań nad promieniowaniem mulipolowym. Pom iary natężeń linii wzbronionych emitowanych przez m gławice, gwiazdy i koronę słoneczną pozwalają oszacować gęstość, skład oraz tem peratury panujące w tych obiektach. W ostatnich latach zastosowanie satelitów do pomiarów promieniowania obiektów pozaziemskich spowodo w ało, że znowu w zrosło zainteresowanie liniami wzbronionymi, które obserwowane są szcze gólnie w ultrafiolecie i części rentgenowskiej widma.
86
L. Augustyniak, K. Dunajski1. WSTĘP
Obiektami szczególnego zainteresowania fizyków są promieniujące, swobodne atom y, cząste czki, ich jony umieszczone w zewnętrznym polu magnetycznym lub elektrycznym. Prace teore tyczne poświęcone opisowi struktury wymienionych układów , a także oddziaływ ania emi terów z promieniowaniem doprow adziły do syntezy m etod m atem atycznych w ujęciu kwantowej teorii pola, której działem jest elektrodynam ika kwantowa. Rozwiązania proble mu oddziaływ ania elektronów w układach emitujących z polem elektromagnetycznym podawane na jej gruncie mają charakter zasadniczy i ogólny ( H e i t l e r 1959; B i e r e S t e c k i , L i f s z y c , P i t a j e w s k i 1967; K u s z i r i e n k o 1967). Korzystanie z nich wiąże się z przybliżeniami (Ś o b e 1 m a n 1962; D a w y d o w 1969). Że względu na nie kom pletność i przybliżony charakter teorii ważny jest nie tylko jej rozwój w kierunku uściślenia i opisania nowych efektów , ale konfrontacja jej przewidywań z wynikami pre cyzyjnych pomiarów spektroskopow ych.
Wśród licznych prac teoretycznych i doświadczalnych spektroskopii atomowej szczegól ne znaczenie mają badania poświęcone promieniowaniu multipolowem u, związanemu z emisją spontaniczną. Należą do nich: badanie promieniowania elektrycznego kwadrupolowego (E2), magnetycznego dipolowego (M l), magnetycznego kwadrupolowego (M2) i promie niowań typu mieszanego, które są wynikiem emisji koherentnego promieniowania dwu rodzajów (np. E2 i M l lub M2 i elektrycznego dipolowego ( E l)) przez ten sam atom, jo n lub drobiiię. G łów ne ich rezultaty oparte są na pomiarach widm, natężeń lub względ nych natężeń „linii w zbronionych” , na badaniu efektu Zeemana i struktury nadsubtelnej tych linii. Badania te prowadzi się po to, aby poznać strukturę elektronową poziomów energetycznych, tj. wartości poszczególnych termów jednej konfiguracji i by określić typ promieniowania związanego z przejściami pom iędzy termami. Na podstawie wyników badań widm układów promieniujących umieszczonych w polu magnetycznym można stwier dzić poprawność oznaczenia termów i określić typ promieniowania.
Wszystkie linie widmowe dzieli się na takie, które odpowiadają przejściom z emisją promieniowania elektrycznego dipolowego i takie, które nie są z nią związane. Te ostat nie nazywa się za R u b i n o w i c z e m liniami m ultipolowym i, o ile są wynikiem emisji spontanicznej, a towarzyszące im promieniowanie - elektrom agnetycznym prom ienio waniem multipolowym. W niniejszym artykule będziem y zajmowali się tylko tym i ostatnim i.
Historia odkryć linii m ultipolow ych jest integralną częścią historii rozwoju astrofizyki. Zna na jest z innych artykułów ( G a r s t a n g 1962; R u b i n o w i c z 1949; B o r i s o g l e ta s k i 1958; H a l d t 1970) i dlatego we w stępie podajem y tylko przegląd prac mających aspekt fizyczny.
Literaturę dotyczącą obliczeń prawdopodobieństw przejść m ultipolow ych dla różnych przypadków sprzężenia, badań i doświadczalnego otrzym yw ania linii w zbronionych w labora torium można znaleźć w monografiach C o n d o n a i S h o r t l e y a (1951), S o b e l r a a - n a (1962) oraz w artykułach przeglądowych B o r i s o g l e b s k i e g o (1958), G a r s t a n- g a (1962), M r o z o w s k i e g o (1944) i R u b i n o w i c z a (1949). M ateriał doświad czalny dotyczący efektu Zeemana linii m ultipolow ych obejmuje zaledwie kilkanaście prac.. Wśród nich są też takie, które są poświęcone efektow i Zeemana linii w zbronionych mają cych strukturę nadsubtelną ( J e n k i n s , M r o z o w s k i 1941; H e 1 d t 1967).
Badania promieniowania multipolowego atomów 87
Znacznym osiągnięciem polskiej fizyki okresu międzywojennego jest odkrycie i zbada nie przez R u b i n o w i c z a , M i l i a ń c z u k a i B l a t o n a promieniowania m ultipolo wego i wyjaśnienie natury linii wzbronionych. Wskazali oni prawa rządzące przejściami związanymi z emisją promieniowania drugiego rzędu, tj. E2 i Ml i wyższych rzędów, które um ożliw iły klasyfikację linii o nieznanym pochodzeniu, wykrytych w widmach mgławic planetarnych, korony słonecznej i w świetle nocnego nieba. Przewidywania teo rii potwierdzili w doświadczeniach: N i e w o d n i c z a ń s k i , odkrywca promieniowania M 1 (1934), F r e r i c k s i C u m p b a l l , odkrywcy promieniowania E2 (1930) oraz J e n k i n s i M r o z o w s k i , odkrywcy promieniowania interferencyjnego mieszanego. Wyprowadzone pizez R u b i n o w i c z a reguły wyboru dla linii wzbronionych, zanalizowane i sprawdzo ne Drzez M i l i a ń c z u k a , dopuszczają przejścia z emisją promieniowania typu miesza nego E2 i M l. M r o z o w s k i i J e n k i n s w 1941 r. pierwsi zbadali efekt Zeemana linii wzbronionych typu mieszanego. Zauważyli, że natężenie składow ych zeemanowskich nie wynika z addytywnego sumowania w kładów promieniowania E2 i M l do ich natęże nia, lecz jest m odyfikowane przez wyraz interferencyjny, zależny od cosinusa stałej fazo wej pom iędzy amplitudami natężeń promieniowań E2 i M l. Doświadczenie to pow tórzył H u 1 1 s. D okładnie zbadane zo stały domieszki promieniowania E2 w liniach wzbronionych parzystych izotopów ołow iu: X = 733,0 nm (Pb I), X = 709,98 nm (Pb II). W 1967 r. H e 1 d t i M r o z o w s k i po raz pierwszy zbadali efekt Zeemana linii mieszanych bizmutu, pierwia stka o spinie jądra różnym od zera. O parta o teorię efektu interferencyjnego analiza wy ników doświadczalnych H e l d t a i M r o z o w s k i e g o pozw oliła dokładnie wyznaczyć domieszkę promieniowania E2 w liniach mających strukturę nadsubtelną i lepiej zrozum ieć ich naturę, specyficzną, bo określoną przez interferencję koherentnego promieniowania typów E2 i M l. Prace poświęcone wyznaczeniu w kładu promieniowania E2 i M l do całkow itego natężenia linii wzbronionych ołow iu, rtęci, bizmutu i antym onu wykonali J e n k i n s i M r o z o w s k i (1941), H u 1 1 s (1966), H e l d t i M r o z o w s k i (1967), D e m b i ń s k i , H e l d t i W o l n i e w i c z (1 9 7 2 )oraz C z u b , H e l d t i K o w a l c z y k (1973). Wymienione prace (tem atyka ta jest rozwijana w Uniwersytecie Gdańskim i Uni wersytecie Jagiellońskim) stanowią poważny w k ład do dziedziny spektroskopii atomowej linii wzbronionych zapoczątkowanej przez R u b i n o w i c z a , N i e w o d n i c z a ń s k i e g o i M r o z o w s k i e g o . M i z u s h i m a (1966) i G a r s t a n g (1967) teoretycznie wy kazali, że przejścia pom iędzy poziomami 3P 2 - ^ konfiguracji elektronowych nsnp - ns2 są związane z emisją promieniowania trzeciego rzędu (E3 i M2). Odpowiadające im linie od kryto dla cynku i magnezu w widmach mgławic planetarnych, a dla kadmu i rtęci w la boratoryjnych źró d łach światła. Z teorii wynika, że linie te są typu mieszanego i powstają w- wyniku przejść z emisją spontaniczną promieniowań koherentnych E l i M2. Można sądzić, że jeżeli ich ź ró d ła ujnieści się w polu magnetycznym, to wystąpi efekt interferencyjny.
Teoria promieniowania Diraca opisująca promieniowanie wyższych rzędów wyznacza prawa nim rządzące, a w szczególności wyrażenia na prawdopodobieństwa (na jednostkę czasu) emisji promieniowania multipolowego i reguły wyboru. Głów ne idee teorii przejść prom ienistych omawiamy poniżej, przy czym nie podajem y w jawnej postaci funkcji falo wych układów emitujących (np. atomów swobodnych lub w polu magnetycznym ) i funkcji falowych fotonów określonych typów. Czytelnikowi, pragnącemu zapoznać się z interesują cym zagadnieniem promieniowania multipolowego, polecamy podstawową pracę S h o r t l y a, A l l e r a , B a c k e r a i M e n z l a opublikowaną w 1941 r.
88
L. Augustyniak, K. Dunajski 2. PRZEJŚCIA PROMIENISTEOddziaływanie układ u elektronów znajdujących się w atomach, jonach i cząsteczkach, a także w innych układach promieniujących z polem elektromagnetycznym jest w elektro dynamice kwantowej określone przez następujący operator:
V(x)
= Z
A J x y ^ x ) , AQc) = (Av A v A y A Ą),(1)
gdzie x =■ (?, ict) oznacza położenie punktu w czasoprzestłzeni, w którym określono gęstość ha m iltonianu oddziaływ ania V(x), / M oznacza fi — tą składową czterowymiarowego wektora gęstości prądu elektrycznego, zdefiniowanego w teorii Diraca jako:
/„(*)'= Y
[V>
* 7 =
i e N [ $ ( x )
7
^
$ ( x ) ] ,
(2)
A
przy czym N - to operator iloczynu normalnego, — macierz dirakowska, oznacza / i - t ą składow ą czterow ektora pola elektromagnetycznego, które skwantowano. Opera tory ty są rozw inięte na funkcje falowe stacjonarnych stanów uk ład u promieniującego. Są one czteroskładnikow ym i funkcjami wyznaczonymi zgodnie z relatywistyczną mecha niką kwantową. G ęstość hamiltonianu wyznacza znaną z rachunku zaburzeń macierz S. Jeżeli w chwili początkowej (t -* — °°) u k ła d swobodny, atom i swobodne pole elektro magnetyczne znajduje się w stanie | i > , a w chwili końcowej znajdzie się yv stanie I / > , to praw dopodobieństw o’ wystąpienia takiego procesu określi kwadrat wartości bezwzględnej jej elementu macierzowego:
< / |S |/ > - =
= < / | 2
( - i y ± \ d * x l . . . d \ p { v ( x 1) . . . v( xn) \ \ f > ,
(3)
n =
0
1
n = 0
n J
1
1
"fedzie P jest operatorem chronologicznym Dysona. Prawdopodobieństwo, że u k ła d znaj dujący się w stanie | i > pod wpływ em zew nętrznego zaburzenia znajdzie się w stanie \ f > :
w = 2 j r | < / | 5 | / > | 2. (4)
Kwantowania pola elektromagnetycznego można dokonać rozwijając potencjał pola na funkcje sferyczne, które opisują stany fotonów o określonej: energii, momencie p ędu, rzucie m om entu pędu i parzystości. R ozkład ten przedstawiamy następująco:
A>1 ^~L { C w jm n ^ w / b i A + Cw jm *
gdzie C^jm n * >jmn traktuje się jako operatory anihilacji i krecji. Wybór potencjałów A(jjjm -n’ które ^ odpowiednikami funkcji falowych dla fotonów , implikują pewne kryteria.
Wyniki teorii, mające sens fizyczny, nie mogą zależeć od sposobu wycechowania potencjału
Badania promieniowania multipolowego atomów
89
się z zasadą zachowania ładunku 3 fM = 0. Jawna postać A H Ł o j j i r m powinna odzwierciedlać
*
własności transformacyjne tej funkcji falowej względem obrotów i operacji inwersji układu w spółrzędnych. Liczba kwantowa /, wyznaczająca wartości m om entu pędu fotonów , może przyjmować wartości naturalne 1 ,2 ,.... Wartości własne operatora parzystości stanów fo tonów Ti mogą być równe ( — i y i ( — i y +1. Dla różnych stanów fotonów przyjęta została następująca terminologia. F oton o m omencie pędu / i o parzystości (— i y nazywamy fotonem elektrycznym o polowości 2 1 (lub fotonem Ej), a w przypadku wystąpienia parzy stości ( - 1 ) /+1 fotonem magnetycznym o polowości 2 1 (lub fotonem Mj). Tak np. foto nowi elektrycznemu dipolowemu odpowiada stan nieparzysty, o wartości / = 1, fotonowi elektrycznem u kwadrupolowemu - stan parzysty odpowiadający wartości j = 1. Energię fotonu wyznacza liczba w, zaś wartości rzutów m om entu pędu fotonów liczby m = ... /. Wektory sferyczne i YM , poprzeczne względem wersora n wskazującego kieru nek ruchu fotonu, za pomocą których przedstawiamy funkcje falowe jr)#j, wyrażają rozkłady prawdopodobieństw możliwych kierunków poruszania się fotonów o różnych liczbach kwantowych cojmn. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że zostanie zarejestrowany foton o określonym momencie pędu i o określonej parzystości, poruszający się w kierunku
n leżącym w elemencie kąta bryłow ego cfó2, jest równe:
W(n) dSl = \ Y ^ ] ( n ) f dSl.
(
6)
Wyrażenie to napisaliśmy dla fotonu typu Ę. Ponieważ jednak:
2 p 2
\ y Zjm \ = i y Ljm 1 > (7)v '
więc rozkłady prawdopodobieństwa w ( n ) dla fotonów obu typów są jednakowe. Ortogo nalne względem siebie wektorowe funkcje kuliste wyrazić można za pośrednictwem zw ykłych
■ 2
(skalarnych) funkcji sferycznych Y-m . Kwadrat m odułu | Y?m I nie zależy od kąta azymu-talnego ip. Dlatego rozkład prawdopodobieństwa w ( n ) = w( d) jest symetryczny względem osi z, co ilustrują rysunki (rys. 1).
Procesy jednofotonow e emisji i pochłaniania są z dobrą dokładnością opisane już w pierw szym przybliżeniu macierzy S . , « 5 ^ ^ . W dalszym ciągu ograniczamy się tylko do opisu procesów emisji. Aby uprościć zapis przyjmijmy | i > = ty. I > i I f > = ^ I +1 > . Funkcje ty. i t y j reprezentują stacjonarne stany elektronu przed i po akcie emisji (lub \ uk ład u oddziałujących cząstek), który przed aktem emisji fotonu znajduje się w stanie ty., a po nim przechodzi do stanu t y Dla przejść optycznych interesujące są przypadki, kiedy początkowe i końcowe stany elektronu są związane, a długość1 wy słanej fali jest duża w po równaniu z rozmiarami obszaru, w którym porusza się elektron. Prawdopodobieństwo przejść w tym przybliżeniu związane jest z m om entam i m ultipolowym i elektrycznym i i magnetycznym i atom u lub innego uk ład u promieniującego.
