Zbędne składniki portfela

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Krzysztof Guzik Edward Smaga Katedra Matematyki. Zbędne składniki portfela 1. Wprowadzenie Załóżmy, że inwestor określił swoje minimalne oczekiwania inwestycyjne, tzn. określił minimalną wartość oczekiwaną E 0 i maksymalne do zaakceptowania ryzyko s 0 (mierzone odchyleniem standardowym). Przyjmijmy również, że inwestor – jako swój priorytet – wymaga, aby jego portfel inwestycyjny był jak najmniej liczny. Wynika to z faktu, że im mniej składników ma portfel, tym zarządzanie takim portfelem jest łatwiejsze W tak postawionym zadaniu dokonuje się optymalizacji ze względu na liczbę składników portfela (jak najmniej liczny). Po wyznaczeniu minimalnego zbioru potrzebnych inwestycji bazowych do zbudowania takiego portfela, można również dokonać poprawy parametrów (s0, E 0) portfela inwestycyjnego. Przyjmijmy, że inwestor ten ma do dyspozycji ustalony zbiór inwestycji bazowych Z = { Ai ( si , Ei ), i ∈ {1, …, N }}, przy czym znane są współczynniki korelacji rij między i-tą i j-tą inwestycją bazową. Należy odpowiedzieć na następujące pytania: – czy portfel o charakterystykach (s0, E0) można utworzyć z elementów zbioru A? – jaka jest minimalna liczba składników takiego portfela? – czy parametry tego portfela można polepszyć? Symbolem U(Z) oznaczamy zbiór możliwości inwestycyjnych przy zbiorze inwestycji bazowych Z [Luenberger 2003]. Istotne znaczenie w dalszych rozważaniach będzie mieć równanie krzywej Markowitza. Krzywą Markowitza zbioru nazywamy zbiór portfeli należących do U(Z) o minimalnej wariancji, przy ustalonym poziomie stopy zwrotu. Zatem krzywa Markowitza jest istotną częścią brzegu zbioru portfeli osiągalnych przy zadanym zbiorze inwestycji bazowych Z..

(2) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 30. Krzywa Markowitza określa następujące zadanie optymalizacyjne:. Wyznaczyć udziały x1, …, xN , tak aby:. sP2 → min, . (1). przy warunkach:. N. ∑ xi Ei = E p i =1. N. ∑ xi = 1, i =1. (2) (3). gdzie EP oznacza zadaną stopę zwrotu portfela, sP2 jego wariancję. Rozwiązanie zagadnienia (1)–(3), jak również wyprowadzenie wzoru na krzywą Markowitza i zagadnienia pokrewne, można znaleźć w pracach [Merton 1972], [Piasecki 2005] oraz [Markowitz 1959]. W celu przytoczenia odpowiedniego równania przyjmijmy następujące oznaczenia macierzowe: K = [covij] – macierz wariancji-kowariancji dla inwestycji bazowych ze zbioru A, XT = [x1, x2, …, xN] – wektor udziałów, ET = [E1, E2, …, EN] – wektor wartości oczekiwanych inwestycji bazowych, [1]T = [1 1 … 1], EP – zadana stopa zwrotu portfela.. Przyjmujemy ponadto, że: A = ET K–1E, B = [1]T K–1E, C = [1]T K–1 [1] , D = AC – B2. Wariancję portfela można zapisać w postaci formy kwadratowej: s 2p = XTKX. Przy powyższych oznaczeniach zagadnienie (1)–(3) można sformułować w następujący sposób: Wyznaczyć wektor udziałów X, tak aby:. XTKX → min,. (4). XTE = EP. (5). [1]T X = 1.. (6). przy warunkach:.

(3) Zbędne składniki portfela. 31. Przy powyższych oznaczeniach warunek (1) opisujący krzywą Markowitza ma następującą postać: C 2 2B A (7) Ep – Ep + . D D D W układzie współrzędnych (sP, EP) równanie (7) przedstawia hiperbolę. Z kolei udziały portfela o minimalnej wariancji przy założonym poziomie stopy zwrotu przedstawia formuła:. sP2 = –. 1 1 ( AK –1[1] – BK –1E ) + (CK –1E – BK –1[1])E p . (8) D D Wnętrze zbioru portfeli osiągalnych (zbioru możliwości inwestycyjnych) określa nierówność:. X=. C 2 2B A Ep – Ep + . D D D Punkty (sP, EP), których współrzędne spełniają nierówność: s 2p > –. s 2p < –. (9). C 2 2B A Ep – Ep + , D D D . nie są osiągalne przy danym zbiorze inwestycji bazowych Z. 2. Składniki zbędne Niech (s0, E0) będzie punktem osiągalnym przy zbiorze inwestycji bazowych Z, tzn. (s0, E0) ∈ U(Z). Przyjmijmy następujące definicje: Definicje: 1. Element Ar(sr, Er ) zbioru nazywamy zbędnym składnikiem portfela w punkcie (s0, E0), jeżeli (s0, E0) ∈ U(Z \ {Ar}). 2. Element zbioru Z nazywamy zbędnym składnikiem portfela w zbiorze, jeżeli jest zbędny w każdym punkcie tego zbioru. 3. Najmniejszą liczbę składników portfela ze zbioru Z, przy której punkt (s0, E0) jest osiągalny, nazywamy rzędem punktu (s0, E0). Z powyższych definicji wynikają następujące fakty:. Fakty: 1. Jeżeli Z1 ⊂ Z, to U(Z1) ⊂ U(Z). 2. Element Ar(sr, Er) zbioru jest zbędny w zbiorze U(Z\{Ar})..

(4) 32. Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 3. Jeżeli element zbioru Z jest zbędny w pewnym zbiorze, to jest zbędny w każdym jego podzbiorze. 4. Dla każdego Z1 ⊂ Z zbiór U(Z1) jest wypukły. 5. Każdy punkt zbioru U(Z) ma jednoznacznie określony rząd. Jest to liczba naturalna mniejsza lub równa ilości elementów zbioru Z. 6. Jeżeli punkt (s0, E0) nie należy do krzywej Markowitza wyznaczonej przez minimalny dla (s0, E0) zbiór inwestycji bazowych, to parametry portfela inwestycyjnego (s0, E0) można poprawić – w sensie podstawowych reguł inwestowania. Istnieje portfel o mniejszym ryzyku s0 przy zadanym poziomie wartości oczekiwanej E 0, jak również portfel o większej wartości oczekiwanej przy zadanym poziomie ryzyka, a także portfel, który ma obydwa parametry lepsze od wyjściowych. 3. Ilustracje empiryczne W badaniach empirycznych uwzględniono akcje, które były zaliczane do indeksu WIG20 w okresie od stycznia 2004 r. do grudnia 2005 r. przynajmniej przez jedno półrocze. W większości były to akcje, które w całym okresie tworzyły WIG20 – takich akcji było trzynaście: Agora, BPH, BRE, BZWBK, Computerland, Kęty, KGHM, Orbis, PKO, Prokom, Softbank, PKN, TPSA. Pozostałe akcje uwzględnione w analizie to: Dębica, Świecie, Netia, Budimex, PGF, Stalexport, Comarch. W tabelach zastosowano skróty nazw poszczególnych akcji (pierwsze trzy litery). W tabeli 1 przedstawiono wyniki obliczeń oczekiwanej stopy zwrotu i odchylenia standardowego akcji uzyskanych na podstawie miesięcznych notowań w badanym okresie dwuletnim, tj. 01.2004–12.2005. Tabela 1. Stopy zwrotu i odchylenie standardowe badanych akcji ComParameBudiAgora BPH BRE BZWBKComarch putertry akcji mex land s 0,072 0,060 0,064 0,086 0,075 0,061 0,075 Er 0,015 0,034 0,027 0,006 0,029 0,011 0,003 ParameSoftNetia Orbis PKN PGF PKO Prokom try akcji bank s 0,046 0,064 0,068 0,056 0,066 0,095 0,114 Er 0,005 0,009 0,041 0,017 0,022 –0,005 0,023. Źródło: obliczenia własne.. Dębica Kęty KGHM 0,060 0,064 –0,026 –0,001 StalŚwiecie export 0,131 0,069 0,004 –0,015. 0,095 0,041 TPSA WIG20 0,078 0,021. 0,052 0,023. Na podstawie danych empirycznych utworzona została również macierz kowariancji K, która była podstawą do wyznaczania portfeli o zadanych parametrach..

(5) Zbędne składniki portfela. 33. Wyniki podane w tabeli 1 przedstawiono na rys. 1. W układzie „ryzyko-zwrot” umieszczono punkty reprezentujące poszczególne akcje oraz dla porównania indeks giełdowy WIG20. 0,05 PKN. 0,04. BPH. 0,03. BZW BRE PKO TPSA. Zwrot. 0,02. SOF. PGF AGO COMR OBR BUD NET COMP. 0,01 0,00. KGHM. 0,02. 0,04. 0,06. KET. –0,01. 0,10 PRO. 0,12. 0,14. SWI. –0,02 –0,03. 0,08. STA. DEB Odchylenie standardowe Akcje z indeksu WIG20 WIG20. Rys. 1. Stopy zwrotu i odchylenia standardowe badanych akcji Źródło: obliczenia własne.. W pierwszym etapie badań przeprowadzono obliczenia prowadzące do wyznaczenia zbioru możliwości inwestycyjnych na podstawie inwestycji bazowych. Zbiór możliwości inwestycyjnych został ustalony przy założeniu braku możliwości krótkiej sprzedaży (udziały poszczególnych składników portfela są nieujemne) oraz z możliwością krótkiej sprzedaży. Kształt zbioru możliwość inwestycyjnych w obydwu sytuacjach przedstawia rys. 2. W obliczeniach zastosowano moduł Solver, programu Excel. Na podstawie wzoru (7) wyznaczono krzywą Markowitza przy dozwolonej krótkiej sprzedaży. Wartości parametrów wzoru (7) przedstawia tabela 2. Tabela 2. Wartości współczynników w formule (7) A 15,417310. Źródło: obliczenia własne.. B –376,269889. C 15477,827082. D 97047,428000.

(6) Krzysztof Guzik, Edward Smaga. 34. 0,15. 0,10. Zwrot. 0,05. 0,00. 0,02. 0,04. 0,06. 0,08. 0,10. 0,12. 0,14. Ryzyko (s). –0,05. –0,10. –0,15. Krzywa Markowitza Akcje z indeksu WIG20 Portfel minimalnego ryzyka. Kórtka sprzedaż zabroniona WIG20. Rys. 2. Krzywa Markowitza i zbiór możliwości inwestycyjnych Źródło: obliczenia własne.. W dalszym etapie badań należało wyznaczyć udziały portfela o zadanych (żądanych) parametrach ryzyka i oczekiwanej stopy zwrotu. Przyjęto za nie parametry portfela reprezentującego indeks WIG20, tzn. (s0, E0) = (0,051509; 0,023285). Wyznaczanie udziałów portfela o zadanych parametrach z możliwością krótkiej sprzedaży wymaga rozwiązania złożonego problemu optymalizacyjnego. Do wyznaczenia udziałów szukanego portfela posłużono się modułem Solver w programie Excel. Także składniki portfela przy założeniu krótkiej sprzedaży wyliczono w ten sam sposób. Formułę (8) zastosowano w sytuacji, gdy szukano portfela optymalnego – minimalizująego wariancję. Aby sprawdzić, czy portfel o parametrach (s0, E0) = (0,051509; 0,023285) istnieje, wystarczy zauważyć, że punkt (s0, E0) należy do zbioru możliwości inwestycyjnych. Aby to stwierdzić, należy wyznaczyć odchylenie standardowe smin portfela o minimalnej wariancji dla zadanej wartości oczekiwanej stopy zwrotu E 0. Ponieważ smin = 0,032306 (przy zabronionej krótkiej sprzedaży) oraz smin = = 0,020638 (przy dozwolonej krótkiej sprzedaży), więc zachodzi warunek s0 > smin, a to oznacza, że taki portfel istnieje, bez względu na to, czy krótka sprzedaż jest dozwolona, czy też nie. Wyraźnie widać to na rys. 2. Udziały portfela o parametrach (smin, E 0) przedstawiają tabele 3 i 4..

(7) 0. 0,052. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,135 0,091 0,320 0,237. 0. 0. PKO PRO 0. SOF. 0. STA. 0. SWI. PKO PRO. SOF. STA. SWI. TPS. 0. TPS. Źródło: obliczenia własne.. 0,008 0,977 -0,163 -0,524 -0,239 -0,435 0,084 -0,072 0,069 -0,600 0,492 0,356 1,155 0,229 -0,563 -0,113 0,117 0,266 0,436 -0,480. AGO BPH BRE BUD BZW CMR CMP DEB KET KGH NET ORB PKN PGF. Tabela 4. Udziały w portfelu o minimalnej wariancji przy stopie zwrotu E 0 = 0,023285 z możliwością krótkiej sprzedaży. Źródło: obliczenia własne.. 0,075 0,090. AGO BPH BRE BUD BZW CMR CMP DEB KET KGH NET ORB PKN PGF. Tabela 3. Udziały w portfelu o minimalnej wariancji przy stopie zwrotu E 0 = 0,023285 bez możliwości krótkiej sprzedaży. Zbędne składniki portfela 35.

(8) 0. 3. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,328. 0,056. 0,190. 0,116. 0,178. 0,149. 0,123. 0,114. 0,119. Źródło: obliczenia własne.. 16. 15. 14. 13. 0. 0. 0. 0. 11. 12. 0. 0. 0. 0,061 0,093. 0,059 0,086. 0,056 0,081. 0,087 0,077. 0,088 0,075. 0. 0. 0. 0. 0,086 0,073 0,011 0,094 0,037 0,027. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,274. 0,183. 0,188. 0,156. 0,131. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,122 0,095. 0,116 0,076. 0,105 0,078. 0,098 0,078. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,099 0,060 0,052. 0,100 0,050 0,042. 0,096 0,044 0,034. 0,095 0,041 0,031. 0,087 0,074 0,013 0,094 0,039 0,029. 10. 9. 8. 7. 0. 6. 5. 0. 4. 0. 0. 2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. TPS. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,072. 0,126. 0,127. 0,112. 0,101. 0,108. 0,112. 0,110. 0,022 0,118. 0,019 0,118. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,106 0,566. 0,219 0,451. 0,170 0,217. 0,024 0,192 0,225. 0. 0. 0. 0. 0,150 0,128 0,141 0,107. 0,119 0,151 0,132 0,120. 0,099 0,100 0,114 0,108. 0,122 0,082 0,103 0,084. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,071. 0,112 0,085 0,096 0,067 0,063 0,068. 0,101 0,083 0,091 0,071 0,065 0,069. 0,109 0,063 0,087 0,062 0,068 0,058. 0,040 0,109 0,050 0,084 0,062 0,075 0,052. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,240. 0,255. 0,140. 0,125. 0,114. 0,104. 0,095. 0,091. 0,088. 0,087. 0,034 0,108 0,043 0,080 0,053 0,081 0,044 0,027 0,082. 0,031 0,106 0,040 0,078 0,051 0,080 0,041 0,023 0,081. 0,028 0,105 0,037 0,077 0,051 0,089 0,040 0,021 0,080. 0,018 0,118 0,011 0,027 0,104 0,035 0,076 0,051 0,094 0,039 0,020 0,080. Lp. AGO BPH BRE BUD BZW CMR CMP DEB KET KGH NET ORB PKN PGF PKO PRO SOF STA SWI. Tabela 5. Kolejne etapy eliminacji z portfela składnika o najmniejszym udziale przy braku możliwości krótkiej sprzedaży. 36. Krzysztof Guzik, Edward Smaga.

(9) –0,10 –0,31. 0. –0,28. 0. 0. –0,74. –0,43. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Źródło: obliczenia własne.. 0. 0. –0,18. 0. 0. –0,05. –0,43. –0,15. 0,01 –0,52. 0,05 –0,47. 0,07 –0,44. –0,14 –0,37. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,03 –0,23. 0,13 –0,17. 0. 0,07. 0,11. 0,18. 0. 0. 0. –0,49. –0,37. –0,23. –0,09. –0,06. 0,01. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,05 –0,50. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,07 –0,44 –0,44. 0,13 –0,36 –0,34. 0,17 –0,29 –0,26. 0,23 –0,22 –0,20. 0,24 –0,14 –0,10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –1,01. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –0,85. –0,19. 0,06. 0,18. 0,24. 0,32. 0,25. 0,22. 0,29. 0,31. 0,31. –0,52 0,34. –0,43 0,36. –0,36 0,41. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –0,52. –0,37. –0,28. –0,18. –0,22. –0,26. –0,18. –0,17. –0,19. –0,15. –0,63 –0,09. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,96. 0,93. 0,88. 0. 0. 0. 0. 0. 0,07. 0,13. 0,33. 0,29. STA. 0,26. 0,24. 0,38. 0,26. SWI. 0,17. 0,22. 0,28. 0,30. 0,31. 0,35. 0,33. TPS. 2,13. 1,91. –0,58 2,43. –0,44 2,36. –0,50 2,39. –0,37 2,34. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –0,51. –0,35. –0,58 –0,08. 1,74 –0,52 –0,29 –0,03. 1,68 –0,45 –0,26 0,02. 1,69 –0,38 –0,17 0,07. 1,65 –0,29 –0,06 0,11. 1,55 –0,18 0,06. 1,37 –0,09 0,15. 1,15 –0,03 0,20. 1,02. 0,89. 0,70. 0,47. SOF. –0,17 2,27. –0,66 0,03. –0,38 0,62. –0,31 0,64. –0,25 0,65. –0,20 0,73. –0,16 0,81. –0,08 0,89. –0,03 0,94. –0,54 –0,01 –0,74 0,04. –0,23 0,37 –0,67 –0,41 –0,06 –0,60 0,08. 0,89. 0,58. PKO PRO. 0,12 –0,03 0,26. 0,26 –0,20 –0,07 –0,06 –0,24 0,21. 0,32 –0,04 0,04. –0,12 0,33 –0,52 –0,30 –0,10 –0,48 0,12. 0,14. 0,18 –0,19 0,16. 0,17 –0,12 –0,61 0,25 –0,07 –0,02. –0,95 0,00 –0,25 0,27. 0,14 –0,05 0,31. 0. 0. 0. –2,45 0,18. AGO BPH BRE BUD BZW CMR CMP DEB KET KGH NET ORB PKN PGF. Tabela 6. Kolejne etapy eliminacji z portfela składnika o najmniejszym udziale przy dozwolonej krótkiej sprzedaży. Zbędne składniki portfela 37.

(10) 0,280 0,524. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. Źródło: obliczenia własne.. 0. 0. 0,183. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –2,07. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0,196. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –1,17. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. –0,81. 0 0. 4,235. 0. 0. 0. 0. 0. 0. PKO PRO. 0,212 0,606. 0. 0. AGO BPH BRE BUD BZW CMR CMP DEB KET KGH NET ORB PKN PGF. Tabela 7. Portfele trzyskładnikowe o zadanych parametrach (s0, E 0) = (0,051509; 0,023285). 0. 0. 2,22. 0. SOF. 0. 0. 0. 0. STA. 0. 0. –0,41. 0. SWI. 0. 0. 0. 0. TPS. 38. Krzysztof Guzik, Edward Smaga.

(11) Zbędne składniki portfela. 39. Bardzo ważnym punktem krzywej Markowitza jest globalny portfel minimalnego ryzyka, który dla analizowanych inwestycji bazowych charakteryzuje się parametrami EPmin = –0,024310253 oraz sPmin = 0,008037945. W kolejnym etapie badań tworzono portfele o zadanych wcześniej parametrach (s 0, E 0) i kolejno zmniejszano liczbę składników portfela, bez zmiany parametrów portfela. Punktem wyjścia był portfel o zadanych udziałach, który posiadał oczywiście parametry różne od zadanych. W pierwszym kroku ustalano udziały poszczególnych inwestycji bazowych tak, aby uzyskać portfel o parametrach (s 0, E 0) = (0,051509; 0,023285). Takich portfeli może być nieskończenie wiele. Ustalone portfele należy więc traktować jako przykładowe. W kolejnych krokach eliminowano te inwestycje bazowe, których udziały były najmniejsze, i zmieniano udziały pozostałych składników tak, aby uzyskać portfel o zadanych wcześniej parametrach. Jeśli to się powiodło, to odrzucony składnik okazywał się zbędny. Kolejne kroki procedury przedstawione zostały w tabelach 5 i 6. Umieszczono w nich udziały inwestycji bazowych w kolejnych (coraz mniej licznych) portfelach o parametrach (s0, E0). Minimalna liczba inwestycji bazowych portfela o zadanych parametrach wynosi trzy lub, rzadziej, dwa. Druga możliwość prawie nie występuje, gdyż portfel (s0, E0) musiałby znaleźć się w zbiorze możliwości inwestycyjnych dla dwóch akcji, który jest zbiorem jednowymiarowym. Natomiast już dla trzech i więcej akcji zbiór taki może być zbiorem dwuwymiarowym, co zdecydowanie poszerza pole manewru. Portfele trzyskładnikowe o zadanych parametrach, które otrzymaliśmy, nie są oczywiście jedynymi. Gdy w kolejnych krokach będziemy pomijać niekoniecznie te składniki o najmniejszym udziale, to dostaniemy inny skład portfela końcowego. Skład kilku portfeli przedstawia tabela 7. 4. Podsumowanie W trakcie badań empirycznych badano skład portfeli o zadanym poziomie ryzyka i stopy zwrotu. Były to parametry indeksu WIG20, jednak ten wybór jest dowolny. Wyznaczone portfele nie są jednoznaczne. Nie ma w tej sytuacji znaczenia, czy krótka sprzedaż jest dozwolona, czy też nie. Potwierdzają to uzyskane wyniki zamieszczone w tabelach 4–6. Każdy portfel o składzie, jak w omawianych tabelach, charakteryzuje się tymi samymi parametrami (s0, E0) = (0,051509; 0,023285). Punktem wyjścia był portfel o zadanych udziałach (np. równych). W kolejnym etapie postępowania tak modyfikowano udziały, aby uzyskać zadane parametry portfela, i pomijano w następnym ten o najmniejszym udziale – o ile okazywał się zbędny. Przy dopuszczonej krótkiej sprzedaży udziały wszystkich składników portfela w pierwszym kroku są niezerowe. Przy braku krótkiej sprzedaży dwa z nich miały udział 0. W analizowanych przypadkach efektem końcowym omawianej procedury był portfel trzyskładnikowy. Portfel.

(12) 40. Krzysztof Guzik, Edward Smaga. dwuskładnikowy można uzyskać tylko wtedy, gdy punkt o zadanych parametrach portfela znajdzie się na krzywej Markowitza zbudowanej dla tych dwóch składników. Ponieważ jest to zbiór jednowymiarowy, dlatego taka sytuacja jest prawie niemożliwa. Dla portfela trzyskładnikowego zbiór możliwości inwestycyjnych jest dwuwymiarowy i stąd zadany punkt może się w nim znaleźć z dużo większym prawdopodobieństwem. Analizując otrzymane wyniki, można zauważyć, że portfeli o zadanych parametrach trzyskładnikowych jest kilka. Przedmiotem dalszych badań będzie analiza problemu, przy jakich warunkach początkowych można zredukować liczbę składników portfela o zadanych parametrach do trzech, a kiedy nie będzie to możliwe. Literatura Luenberger D.G. [2003], Teoria inwestycji finansowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Markowitz H. [1959], Portfolio Selection, Jon Wiley and Sons, New York. Merton R. [1972], An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, „Journal of Financial and Quantitative Analysis”, vol. 7, nr 4. Piasecki K. [2005], Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo AE w Poznaniu, Poznań. Superfluous Portfolio Components This paper evaluates problems in stock investment when two characteristics – expected value of return, E 0, and risk, s 0, – are given. The authors assume that a point (s 0, E 0) interpreted as the portfolio belongs to an opportunity set constructed according to the available basic investment. The Markowitz curve is then described. There is an infinite number of portfolios with varying combinations of components. The authors assume that a minimal size portfolio with the given characteristics is required by investors. In the empirical part of the paper, a portfolio with the given characteristics is constructed. The component with minimal share is eliminated when other components are modified and a three-component portfolio is consequently produced. Finally, a two-component portfolio can also be obtained, but only when a given point lies on the Markowitz curve constructed for these components..

(13)