projektów harmonogramowanie portfela Wielokryterialne

Wielokryterialne

harmonogramowanie portfela

projektów

Bogumiła Krzeszowska Katedra Badań Operacyjnych

Problem

Należy utworzyć harmonogram portfela projektów.

Poprzez harmonogram portfela projektów będziemy rozumieć

wyznaczenie

czasów

rozpoczęcia

oraz

zakończenia

poszczególnych czynności projektów wchodzących skład

portfela. Do wykonania projektów wymagane są określone

środki, relacje kolejnościowe pomiędzy czynnościami zostały

ściśle określone, a poziom dostępności zasobów odnawialnych

w poszczególnych jednostkach czasu jest ograniczony.

Przykład

Realizowany jest portfel składający się z dwóch projektów P1 oraz P2.

Projekty umieszczone zostały na sieci czynności (AON). Horyzont

planowania wynosi 5 jednostek czasu, a maksymalna dostępność zasobów

odnawialnych w jednostce czasu wynosi 3.

1 3 2 P1 Czynność Czas trwania [ES,EF] [LS,LF] Zasób k1 Zasób k2 Przepływy pieniężne 1 1 [0,1] [0,1] 2 1 -2 2 2 [1,3] [1,3] 1 3 1 3 1 [3,4] [3,4] 2 1 3 P2 Czynność Czas trwania [ES,EF] [LS,LF] Zasób k1 Zasób k2 Przepływy pieniężne 1 2 [0,2] [0,2] 1 2 -1 2 0 - - - - - 3 1 [2,3] [2,3] 1 2 2 Przykładowy haromonogram. ₃

Model matematyczny - założenia

• Realizowany jest portfel projektów składający się z p=1,…,P projektów, • Każdy projekt składa się z j=1,…,J czynności,

• Horyzont planowania ograniczony jest do T, przy czym jednostka czasu

t=1,…,T, gdzie t=1 oznacza okres czasu (0,1),

• Czynności projektu umieszczone zostały na sieci czynności (graf AON), • Przepływy pieniężne generowane są w momencie zakończenia czynności, • Zasoby odnawialne są ograniczone w każdej jednostce czasu,

• Relacje kolejnościowe pomiędzy czynnościami projektów mogą być typu: zakończenie-początek, początek-początek, początek-zakończenie,

zakończenie-zakończenie,

• Realizacja czynności może być przerywana w trakcie trwania, • Projekty w portfelu mogą być na różnym etapie realizacji,

• Realizacja jednego projektu może zależeć od innego projektu w portfelu.

Model matematyczny - oznaczenia

• x_ijp - czynność j projektu p w czasie t,

• d_jp- czas trwania czynności j projektu p,

• F_jp - czas zakończenia czynności j projektu p,

• S_jp - czas rozpoczęcia czynności j projektu p,

• A_ijp - zbiór bezpośrednich poprzedników i czynności j projektu p,

• F_ijp - czas zakończenia poprzednika i czynności j projektu p,

• S_ijp - czas rozpoczęcia poprzednika i czynności j projektu p,

• k=1,…,K- zbiór zasobów odnawialnych,

• r_jpk - wielkość zasobu odnawialnego k wymaganego przez czynność j

projektu p,

• R_kt – dostępność zasobu odnawialnego k w czasie t,

• LF_jp – najpóźniejszy czas zakończenia czynności j projektu p wyznaczony

metodą ścieżki krytycznej,

•  - stopa dyskontowa,

• cf_jp – przepływy pieniężne netto generowane przez czynność j projektu p,

• M_p – zbiór czynności j projektu p, będących kamieniami milowymi projektu

Model matematyczny – przykład

Ograniczenia

p=2

j=3

t=5

Liczba zmiennych decyzyjnych wynosi j



p



t=2



3



5=30

X={x

_1,1,1

, x

_2,1,1

, x

_3,1,1

, x

_1,1,2

, x

_2,1,2

, x

_3,1,2

, x

_1,1,3

, x

_2,1,3

, x

_3,1,3

, x

_1,1,4

,

x

_2,1,4

, x

_3,1,4

, x

_1,1,5

, x

_2,1,5

, x

_3,1,5

, x

_1,2,1

, x

_2,2,1

, x

_3,2,1

, x

_1,2,2

, x

_2,2,2

, x

_3,2,2

,

x

_1,2,3

, x

_2,2,3

, x

_3,2,3

, x

_1,2,4

, x

_2,2,4

, x

_3,2,4

, x

_1,2,5

, x

_2,2,5

, x

_3,2,5

}

(1)

x

_jpt



{

0

,

1

}

( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T)

Model matematyczny – przykład

Ograniczenia

x_1,1,1=0, x_1,1,2=1, x_1,1,3=0, x_1,1,4=0, x_1,1,5=0, x_2,1,1=0, x_2,1,2=0, x_2,1,3=1, x_2,1,4=1, x_2,1,5=0, x_3,1,1=0, x_3,1,2=0, x_3,1,3=0, x_3,1,4=0, x_3,1,5=1, x_1,2,1=1, x_1,2,2=1, x_1,2,3=0, x_1,2,4=0, x_1,2,5=0, x_2,2,1=0, x_2,2,2=0, x_2,2,3=0, x_2,2,4=0, x_2,2,5=0, x_3,2,1=0, x_3,2,2=0, x_3,2,3=1, x_3,2,4=0, x_3,2,5=0. (2) ( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T)









0

1

jpt

x

gdy czynność j projektu p trwa w okresie t

w przeciwnym wypadku

Model matematyczny – przykład

Ograniczenia

Czasy trwania d

_jp

poszczególnych czynności są następujące: d

_1,1

=1,

d

_2,1

=2, d

_3,1

=1, d

_1,2

=2, d

_2,2

=0, d

_3,2

=1. Horyzont planowani t=5.

Dla j=1 oraz p=1



x

_1,1,1+

x

_1,1,2

+x

_1,1,3

+x

_1,1,4

+x

_1,1,5

=d

_1,1



0+1+0+0+0=1.

Dla j=1 oraz p=2



x

_1,2,1+

x

_1,2,2

+x

_1,2,3

+x

_1,2,4

+x

_1,2,5

=d

_1,2



1+1+0+0+0=2

(3) jp ( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T) T t jpt J j p 



_ x  d 1 ,..., 1 1 1 , 1 5 1 , 1 , 1 d x t t 



 2 , 1 5 1 , 2 , 1 d x t t 



 8

Model matematyczny – przykład

Ograniczenia

Dla j=1 oraz p=1

F

_1,1

= max {x

_1,1,1



1, x

_1,1,2



2, x

_1,1,3



3, x

_1,1,4



4, x

_1,1,5



5} =

max{0



1, 1



2, 0



3, 0



4, 0



5}=2

S

_1,1

= min{x

_1,1,2



2}-1

= min{1



2}-1=1

(4)

max{

_1,..,

(

jpt

)}

( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T) T t jp

t

x

F







 (4`)

min{

(

)}

( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T)

1

,.., 1 0











  jp t T jpt x_jpt

S

t

x

9

Model matematyczny – przykład

Ograniczenia

(5`) S_jp ≥ F_ijp  zakończenie-początek ( j=1,…,J, p=1,…,P, i AI jp) ) (5``) S_jp ≥ S_ijp  początek-początek ( j=1,…,J, p=1,…,P, i AII jp)

(5```) F_jp ≥ S_ijp  początek-zakończenie ( j=1,…,J, p=1,…,P, i AIII jp)

(5````) F_jp ≥ F_ijp  zakończenie-zakończenie ( j=1,…,J, p=1,…,P, i AIV_jp)

Dla j=3 raz p=1, A

I

jp

={1, 2}

Relacje kolejnościowe typu :zakończenie – początek



(5`)

S

_3,1

≥ F

_1,1

^ S

_3,1

≥ F

_2,1

F

_1,1

=2, F

_2,1

=4, S

_3,1

=4.

Model matematyczny – przykład

Ograniczenia

dostępność zasobów k=1 oraz k=2 jest ograniczona w każdej jednostce

czasu do 3 jednostek



R

_1t

=3 oraz R

_2t

=3.

Dla k=1 oraz t=1.



(r_1,1,1 x_1,1,1+ r_2,1,1 x_2,1,1+ r_3,1,1 x_3,1,1+ r_1,2,1 x_1,2,1+ r_2,2,1 x_2,2,1+ r_3,2,1 x_3,2,1) ≤R_1,1

 20+11+20+11+00+10≤3  1≤3

Ograniczenie dostępności zasobu pierwszego k=1 w pierwszej jednostce czasu

t=1 zostało spełnione. (6)



( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T)    









P p kt jpt J j jpk T t K k

r

x

R

1 1 ,..., 1 ,..., 1

(

)



    2 1 1 , 1 1 3 1 1 ) ( p jp j jp x R r 11

Model matematyczny - przykład

Funkcje kryterium

F_1,1=2 F_1,2=2 LF_1,1=1 LF_1,2=2 F_2,1=4 F_2,2=0 LF_2,1=3 LF_2,2=0 F_3,1=5 F_3,2=3 LF_3,1=4 LF_3,2=3 Dla projektu p=1:

[max{0, F_1,1- LF_1,1}+ max{0, F_2,1- LF_2,1}+max{0, F_3,1- LF_3,1}]- [max{0, F_1,1- LF_1,1}+ max{0, F_2,1- LF_2,1}]min 

[max{0, 2- 1}+ max{0, 4- 3}+max{0, 5- 4}]-[max{0, 2- 1}+ max{0, 4₁- 3}]min  (K1’)=1

Dla projektu p=2:

[max{0, F_1,2- LF_1,2}+max{0, F_2,2- LF_2,2}]-[max{0, F_1,2- LF_1,2}]min  [max{0, 2- 2}+max{0, 3- 3}]-[max{0, F_1,2- LF_1,2}]min  (K1’’)=0

(K1) (j=1,…,J, i=1,…,I, p=1,…,P, t=1,…,T, jM_p, iM_p^[i AI jp˅ i AIIjp ˅ i AIIIjp˅ i AIVjp]) 12

min

}

,

0

max{

}

,

0

max{

1 1 ,..., 1















   ip I i ip jp J j jp P p

F

LF

F

LF

Model matematyczny - przykład

Funkcje kryterium

Dla zasobu k=1. max{ r_1,1,1 x_1,1,1+ r_2,1,1 x_2,1,1+ r_3,1,1 x_3,1,1+ r_1,2,1 x_1,2,1+ r_2,2,1 x_2,2,1+ r_3,2,1 x_3,2,1, r_1,1,1 x_1,1,2+ r_2,1,1 x_2,1,2+ r_3,1,1 x_3,1,2+ r_1,2,1 x_1,2,2+ r_2,2,1 x_2,2,2+ r_3,2,1 x_3,2,2, r_1,1,1 x_1,1,3+ r_2,1,1 x_2,1,3+ r_3,1,1 x_3,1,3+ r_1,2,1 x_1,2,3+ r_2,2,1 x_2,2,3+ r_3,2,1 x_3,2,3, r_1,1,1 x_1,1,4+ r_2,1,1 x_2,1,4+ r_3,1,1 x_3,1,4+ r_1,2,1 x_1,2,4+ r_2,2,1 x_2,2,4+ r_3,2,1 x_3,2,4, r_1,1,1 x_1,1,5+ r_2,1,1 x_2,1,5+ r_3,1,1 x_3,1,5+ r_1,2,1 x_1,2,5+ r_2,2,1 x_2,2,5+ r_3,2,1 x_3,2,5}min  max{1, 3, 2, 1, 2}min (K2’)=3 (K2) ( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T, k=1,…,K)



    







P p jpt J j jpk T t K k

r

x

1 1 ,..., 1 ,..., 1

max

[

]

min

13

Model matematyczny - przykład

Funkcje kryterium



=5%

(K3)=2,16

(K3) ( j=1,…,J, p=1,…,P, t=1,…,T) 14



     P p J j F jp jp e cf 1 1 max 

max

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 , 2 2 , 1 1 , 3 1 , 2 1 , 1 05 , 0 2 , 2 05 , 0 2 , 1 05 , 0 1 , 3 05 , 0 1 , 2 05 , 0 1 , 1





















          F F F F F

e

cf

e

cf

e

cf

e

cf

e

cf

Algorytm

ETAP 1. IDENTYFIKACJA ZBIORU ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH –

ALGORYTM SPEA2

Krok1: Inicjalizacja.

Krok 2: Ocena dopasowania

Krok 3: Aktualizacja zbioru zewnętrznego. Krok 4: Elitaryzm.

Krok 5: Selekcja.

Krok 6: Krzyżowanie. Krok 7: Mutacja.

Krok 8: Zakończenie.

ETAP 2. FILTRACJA ROZWIĄZAŃ

METODA LBS

Populacja P(t) Zbiór rozwiązań niezdominowanych

Selekcja

Selekcja rozwiązań niezdominowanych

Zewnętrzny zbiór zawierający rozwiązania niezdominowane Zredukowany zbiór zewnętrzny

Populacja P(t+1) Zaktualizowany zbiór rozwiązań niezdominowanych Krzyżowanie i mutacja Pokolenie t Pokolenie t+1 15

E

TAP

1. I

DENTYFIKACJA ZBIORU ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH

Elementy algorytmu

Kodowanie rozwiązania

Chromosom jest macierzą binarną o rozmiarze jp



t. Wiersze

chromosomu reprezentują poszczególne czynności wszystkich

projektów w portfelu jp, natomiast kolumny reprezentują jednostki

czasu t.

Populacja początkowa

Zbiór N rozwiązań generowanych w sposób losowy.

               jpt jp jp t t i x x x x x x x x x Ch ... 2 , 1 , , 1 , 2 2 , 1 , 2 1 , 1 , 2 , 1 , 1 2 , 1 , 1 1 , 1 , 1       Przykład p=2, j=3, t=5 Chromosom jest macierzą o rozmiarze [6x5] 16                      0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Ch

E

TAP

1. I

DENTYFIKACJA ZBIORU ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH

Elementy algorytmu

Ocena rozwiązań

1. Sprawdzanie „dopuszczalności” osobnika – odrzucenie osobników

nienależących do ZRD

2. Każdemu osobnikowi przyporządkowywanych jest p+k+2

parametrów [K1

₁

,…,K1

_p

, K2

₁

,…,K2

_k

,K3] będących wynikami

etapu oceny.

3. Ocena dopasowania (wg. algorytmu SPEA2)

Szacowanie wartości siły osobnika

Wyznaczenie „surowej” wartości dopasowania

Szacowanie gęstości

Wartość dopasowania osobnika

| } | { | ) (i j j P P i j S   _t  _t  



   i j P P j _{t t} j S i R  , ) ( ) ( 2 1 ) (   _k i i D  ) ( ) ( ) (i R i D i F   17

Selekcja

• Jeżeli , wówczas proces selekcji jest kompletny.

• Jeżeli , wówczas najlepszych osobników

zdominowanych ze zbioru zewnętrznego oraz populacji jest

kopiowana do nowego zbioru zewnętrznego.

• Jeżeli , następuje redukcja zbioru zewnętrznego poprzez

usuwanie osobników.

} 1 ) ( | { 1       i i P P F i Pt _{t t} N P_t | | ₁ N P_t | | ₁ N | P_t1 | t P P_t N P_t | | ₁ 18

E

TAP

1. I

DENTYFIKACJA ZBIORU ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH

Krzyżowanie

W pierwszej fazie następuje wylosowanie pary osobników z puli

rodzicielskiej do krzyżowania oraz punktów krzyżowania, a więc

wierszy do wymiany, dla poszczególnych osobników rodzicielskich.

Przykład

Wylosowano następujące wiersze do przeprowadzenia krzyżowania:

dla osobnika pierwszego wylosowano do krzyżowania wiersz 2,

natomiast dla osobnika drugiego wiersz 4.



                     0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Ch                      1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 Ch                      0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 '1 Ch                      1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 '₂ Ch 19

E

TAP

1. I

DENTYFIKACJA ZBIORU ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH

Mutacja dni

polega na zamianie miejscami dwóch kolumn odpowiadających różnym

dniom.

Przykład



Dni do mutacji: 1 oraz 4

Kryterium zatrzymania algorytmu

Wykonanie odpowiedniej liczby iteracji.

WYNIK ETAPU 1



Z

BIÓR ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH

                     0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Ch                      0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 '₁ Ch 20

E

TAP

1. I

DENTYFIKACJA ZBIORU ROZWIĄZAŃ NIEZDOMINOWANYCH

E

TAP

2. F

ILTRACJA

ROZWIĄZAŃ

Zbiór rozwiązań niezdominowanych uzyskany w pierwszym etapie

posłuży do wyznaczenia rozwiązania zadania poprzez zastosowanie

metody Przeglądu Wiązką Światła (Light Beam Search

1

_{) przy udziale}

decydenta.

WYNIK ETAPU 2  ROZWIĄZANIE ZADANIA

1 _{A. Jaszkiewicz, R. Słowiński 1993, 1995, 1999.}

Zastosowanie

• Portfel składający się z 4 projektów informatycznych,

• Projekt opisany przez zbiór 37 czynności realizowanych w 12 etapach, • Zespół projektowy składa się z dwunastu członków,

• Projekty są na różnym etapie realizacji,

• Każda czynność opisana jest przez parametry: czas trwania, generowane przepływy pieniężne, wymagane zasoby, opis relacji kolejnościowych, • Występują zależności pomiędzy projektami.

Etap I Etap II Etap III Etap VI Etap IV Etap VII Etap IX Etap X Etap XI Etap VIII Etap V PP ZZ 23

Etapy projektu

ETAP

Etap I - Przygotowanie wdrożenia Definicja projektu Etap II - Projekt rozwiązania / Analiza informatyczna

Etap III - Przygotowanie środowiska technicznego i aplikacyjnego Etap IV - Przygotowanie i konfiguracja aplikacji

Etap V - Przygotowanie i przeprowadzenie sesji testowania funkcjonalnego wybranych procesów Etap VI - Przystosowanie aplikacji - prace programowe

Etap VII - Szkolenia użytkowników Etap VIII - Przygotowanie bazy produkcyjnej

ETAP IX - Eksploatacja Produktywna

Etap X – Wdrożenie pełnej funkcjonalności zgodnie z Analizą informatyczną Etap XI - Wdrożenie modułu Budżetowanie

Etap XII - Odbiór aplikacji w zakresie uzgodnionym w Analizie

PP 1. 1 2. 3 2. 2 2. 1 3. 2 3. 1 6. 1 4. 3 4. 2 4. 1 5. 1 5.₃ 5. 2 8. 1 7. 1 7. 2 7. 3 7. 4 7. 6 7. 5 7. 7 9. 1 7 9. 2 9. 3 10. 1 10. 2 12. 1 12. 2 12. 3 1. 2 11. 1 9. 4 4. 4 8. 2 8. 4 8. 3 25