Możliwości wykorzystania iterowanego konwolucyjnego filtru uśredniającego w procesie generowania map interpolacyjnych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 798. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2009. Jacek Wołoszyn Katedra Informatyki. Możliwości wykorzystania iterowanego konwolucyjnego filtru uśredniającego w procesie generowania map interpolacyjnych Streszczenie. W pracy przedstawiono możliwości wykorzystania iterowania procedury filtrowania konwolucyjnego w zadaniu generowania interpolacji wartości cechy wizualizowanej na mapie barwnej. Pokazano przydatność wspomnianej metody w pracy z obrazem rastrowym. Podejście to polega na utworzeniu mapy bitowej na podstawie wizualizowanego modelu, a następnie przetwarzaniu powstałego obrazu w celu uzyskania ciągłego rozkładu przestrzennego prezentowanej cechy. Do takiego przetwarzania można zastosować klasyczne metody manipulacji obrazem cyfrowym wykorzystywane powszechnie w grafice komputerowej. Słowa kluczowe: wizualizacja danych cyfrowych, generowanie dwuwymiarowej mapy, interpolacja wartości cech, iterowanie konwolucyjnego filtru.. 1. Wprowadzenie Podczas prowadzenia komputerowych eksperymentów symulacyjnych z wykorzystaniem modeli systemów dynamicznych, w tym również modeli systemów ekonomicznych, niejednokrotnie zachodzi potrzeba wizualizacji stanu modelowanego systemu w postaci dwuwymiarowej mapy rozkładu wybranych cech. Szczególnie często taka sytuacja ma miejsce w przypadku systemów mających pewną wewnętrzną strukturę przestrzenną, a więc zajmujących określoną przestrzeń o dwóch wymiarach lub większej ich liczbie. Przykładem może być sieć oddziałów firmy pokrywająca swoim zasięgiem działania jakiś obszar lub podział administracyjny regionu obejmujący województwa, powiaty i gminy. W tego rodzaju sys-.

(2) 60. Jacek Wołoszyn. temach można obserwować zróżnicowanie przestrzenne cech skalarnych zdefiniowanych w punktach przestrzeni wyznaczonych przez strukturę samego systemu. Wizualna prezentacja wartości wybranej cechy w poszczególnych punktach przestrzeni zajmowanej przez system może przyjąć formę dwuwymiarowej mapy barwnej. Jest to czytelna i wygodna w interpretacji metoda wizualizacji, powszechnie wykorzystywana w wielu dziedzinach nauki i techniki [Hand, Mannila i Smyth 2005]. Użycie oprogramowania komputerowego ułatwia sporządzanie takich map i dokonywanie operacji na skalach barwnych. Zastosowanie znajdują tu między innymi metody wypracowane w grafice komputerowej, służące pierwotnie do przetwarzania obrazów cyfrowych. W tej pracy omówiono użycie jednej z takich metod, a mianowicie filtrowania konwolucyjnego, do przeprowadzania interpolacji wartości cechy wizualizowanej na mapie barwnej. 2. Interpolacja wartości cech Generowanie mapy dwuwymiarowego rozkładu pewnej wielkości jest zadaniem łatwym, gdy wizualizowana wielkość jest reprezentowana przez ciągłą funkcję dwóch zmiennych. W modelach komputerowych częściej jednak można spotkać reprezentację dyskretną, zwłaszcza gdy wartości podlegające wizualizacji pochodzą z obliczeń symulacyjnych prowadzonych z modelem przybliżającym zachowanie się ciągłego przestrzennie systemu za pomocą skończonej liczby elementów. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku, gdy wizualizowana cecha systemu z natury jest zdefiniowana tylko w pojedynczych punktach przestrzeni, a wizualizacja w postaci mapy usiłuje sztucznie nadać rozkładowi cechy charakter ciągły.. Rys. 1. Regularna siatka punktów modelu wizualizowanego w postaci mapy. Cieniowany prostokąt na tym i następnych rysunkach reprezentuje barwną skalę wartości Źródło: opracowanie własne..

(3) Możliwości wykorzystania iterowanego…. 61. W takich wypadkach stworzenie ciągłej mapy barwnej wymaga przeprowadzenia interpolacji wartości wizualizowanej cechy pomiędzy punktami, w których jest określona. Jeżeli punkty te rozmieszczone są w regularnej siatce, na przykład prostokątnej (rys. 1), wówczas interpolacja jest zadaniem bardzo łatwym. Bardziej skomplikowany jest wariant ogólny, gdzie punkty, dla których cecha jest określona, są rozmieszczone w dowolny sposób (rys. 2).. Rys. 2. Nieregularna siatka punktów modelu wizualizowanego w postaci mapy Źródło: opracowanie własne.. Rys. 3. Nieregularna siatka punktów modelu (po lewej) oraz ta sama siatka poddana triangulacji (po prawej) Źródło: opracowanie własne.. Jedną z metod stosowanych przy rekonstrukcji ciągłej mapy na podstawie zbioru dyskretnych punktów jest triangulacja tego zbioru punktów [Foley i in. 1995, Jankowski 1990] i liniowa interpolacja wizualizowanej cechy w obrębie poszczególnych trójkątów (rys. 3). Triangulacja zbioru punktów, a więc rozkład.

(4) 62. Jacek Wołoszyn. ich powłoki wypukłej na sumę simpleksów rozpiętych na tych punktach, jest typowym problemem geometrii obliczeniowej. W przypadku mapy dwuwymiarowej powstającymi simpleksami są trójkąty. Klasycznym sposobem prowadzenia tego rozkładu jest dokonanie triangulacji Delaunaya, w której preferowane są trójkąty o możliwie ostrych kątach, co sprzyja uzyskaniu bardziej naturalnego efektu wizualnego interpolowanej mapy. Algorytmy triangulacji Delaunaya wymagają przede wszystkim prowadzenia obliczeń decydujących, czy pewien punkt leży wewnątrz okręgu opisanego na danym trójkącie, oraz sprawnego zarządzania strukturami danych wiążącymi wierzchołki w trójkąty. Złożoność zoptymalizowanych algorytmów triangulacji osiąga O(n log n). 3. Filtr konwolucyjny jako metoda interpolacji Podejście oparte na triangulacji jest użyteczne w przypadku tworzenia map w postaci wektorowej, niezależnej od technologii prezentacji obrazu. Wiele zastosowań map barwnych związanych jest jednak z technikami wykorzystującymi urządzenia rastrowe, takie jak monitory komputerowe czy drukarki. W tych sytuacjach dokonanie interpolacji poddanej triangulacji mapy obejmuje także rasteryzację poszczególnych trójkątów. Cały proces tworzenia mapy składa się zatem z dwóch etapów. Pierwszy, którym jest triangulacja, zachodzi w przestrzeni wizualizowanego modelu. Drugi, będący właściwą interpolacją, polega na przeniesieniu rezultatu do przestrzeni fizycznej urządzenia wykorzystywanego do prezentacji obrazu. Można jednak zastosować w procesie generowania mapy odmienne podejście, zakładające pracę z obrazem rastrowym od początku. Polega to na utworzeniu mapy bitowej na podstawie wizualizowanego modelu, a następnie przetwarzaniu powstałego obrazu tak, aby uzyskać ciągły rozkład przestrzenny prezentowanej cechy. Do wspomnianego przetwarzania można zastosować klasyczne metody manipulacji obrazem cyfrowym wykorzystywane powszechnie w grafice komputerowej. Podobnie jak w triangulacji proces powstawania mapy obejmuje dwa etapy: wstępne przygotowanie obrazu oraz interpolację. W tym wypadku jednak oba etapy zachodzą już w docelowej przestrzeni obrazu. Aby uniezależnić się od przyjętej skali barwnej, można przez cały proces tworzenia mapy rozważać obraz monochromatyczny, a dopiero na koniec przekształcić go na postać obrazu barwnego z zastosowaniem prostego mapowania kolorów. Pierwszy etap sprowadza się do naniesienia na pierwotnie pusty obraz wszystkich pikseli, dla których znana jest wartość prezentowanej cechy (rys. 4). Drugim etapem jest rekonstrukcja nieznanych wartości w pustych obszarach leżących pomiędzy ustalonymi punktami. Najpierw te puste obszary zostają wypełnione średnią wartością dotychczas naniesionych punktów (rys. 5). W ten sposób.

(5) Możliwości wykorzystania iterowanego…. 63. zostaje przygotowane tło, które będzie następnie podlegać wygładzaniu tak, aby zostały zniwelowane ostre różnice wartości wokół pierwotnych pikseli.. Rys. 4. Wstępny etap przygotowania mapy Źródło: opracowanie własne.. Rys. 5. Wyjściowy obraz mapy wraz z tłem Źródło: opracowanie własne.. Prostym sposobem przeprowadzenia takiego wygładzania jest użycie filtru rozmywającego. Operację rozmywania można wykonać za pomocą konwolucji uśredniającej wartości pikseli w ich najbliższym otoczeniu. Filtr konwolucyjny operuje kwadratową macierzą wag wykorzystywaną do obliczania ważonej sumy wartości pikseli leżących wokół przetwarzanego piksela [Gonzalez i Woods 2002, Watkins, Sadun i Marenka 1993]. W przypadku równych sobie wszystkich wag rezultatem działania filtru jest lokalne uśrednianie wartości pikseli w obszarach wielkości macierzy konwolucji. Aby zachować oryginalne wartości pierwotnie przeniesione z wizualizowanego modelu, należy wykluczyć z przetwarzania pik-.

(6) 64. Jacek Wołoszyn. sele naniesione na obraz w pierwszym etapie. Ponieważ nie będą one zmieniać wartości, wokół nich zaś tło będzie ulegało rozmyciu, aby uniknąć gwałtownych skoków wartości przy przejściu z zablokowanych pikseli do ich otoczenia, należy użyć konwolucji o najmniejszej możliwej macierzy, a więc o rozmiarach 3 × 3.. Rys. 6. Rezultat pierwszej iteracji filtru rozmywającego Źródło: opracowanie własne.. Rys. 7. Gotowa mapa uzyskana metodą rozmywania Źródło: opracowanie własne.. Jednokrotne użycie konwolucji rozmywającej w niewielkim stopniu zmienia cały obraz mapy. Modyfikacji ulegają jedynie piksele leżące w bezpośrednim otoczeniu punktów o wartościach odmiennych od uśrednionego tła (rys. 6). Powtarzanie procesu rozmywania poszerza jednak stopniowo zasięg oddziaływania tych punktów za każdym razem o promień macierzy konwolucji, a więc o jeden piksel. Iterowanie konwolucji prowadzi z czasem do objęcia tym wpływem całego obrazu.

(7) Możliwości wykorzystania iterowanego…. 65. (rys. 7). Uśredniający charakter filtru stabilizuje powstającą mapę, która asymptotycznie dąży do pewnej granicznej postaci. Wprawdzie wartości pochodzące z wizualizowanego modelu są liczbami rzeczywistymi, jednak reprezentacja barwna przenosi te wartości do przestrzeni liczb całkowitych, co sprawia, że po skończonej liczbie iteracji filtru mapa bitowa przestaje ulegać zmianom. Na tym etapie można przerwać iteracje i zakończyć proces generowania mapy. 4. Zalety i wady metody W porównaniu z interpolacją opartą na triangulacji metoda rozmywania konwolucyjnego jest prostsza algorytmicznie, jej implementacja zaś nie wymaga posługiwania się złożonymi strukturami danych. Operacja konwolucji może być niekiedy przeprowadzona nawet z wykorzystaniem gotowych procedur oferowanych przez podsystem graficzny systemu operacyjnego lub wspomaganych sprzętowo przez urządzenia komputera. Złożoność obliczeniowa procesu generowania mapy jest zależna od jej rozmiarów wyrażonych w pikselach, w przeciwieństwie do procesu triangulacji uzależnionego od liczby i konfiguracji przestrzennej punktów reprezentowanych w modelu. Należy zauważyć, że mapa powstaje iteracyjnie, w kolejnych krokach osiągane są coraz lepsze przybliżenia ostatecznego obrazu, a zatem już po pierwszej iteracji mapa nadaje się do prezentacji wizualnej. W zależności od rozdzielczości obrazu liczba iteracji potrzebna do uzyskania czytelnego obrazu może być różna, nie można natomiast ogólnie określić, po ilu iteracjach obraz osiągnie ostateczną postać. Podjęcie decyzji o zakończeniu procesu generowania mapy opiera się na empirycznej obserwacji zmian zachodzących w obrazie podczas kolejnych iteracji, nie zaś na kryteriach analitycznych. Wadą takiej metody przetwarzania obrazu jest jej zanikająca z czasem efektywność. Początkowe iteracje wnoszą duże zmiany w mapie, lecz pod koniec całego procesu różnice są niewielkie i obejmują coraz mniejszą liczbę pikseli, mimo to konwolucji poddawany musi być za każdym razem cały obraz. Metoda iteracyjnego rozmywania daje w pewnych sytuacjach bardziej zgodne z intuicyjnymi oczekiwaniami wyniki. Przykładem jest generowanie mapy na podstawie czterech punktów rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu. Triangulacja takiego układu punktów może zostać dokonana na dwa sposoby, skutkując odmiennymi wizualizacjami, z których żadna nie odpowiada takiej, jakiej można by się spodziewać (rys. 8). Zastosowanie metody iterowanej konwolucji daje jednoznacznie obraz o charakterystyce siodła, lepiej odpowiadający intuicyjnej interpretacji modelu (rys. 9). Taki obraz jednocześnie odzwierciedla wygląd diagramu Woronoja odpowiadającego triangulacji układu punktów modelu..

(8) 66. Jacek Wołoszyn. Rys. 8. Dwuznaczna triangulacja zbioru punktów Źródło: opracowanie własne.. Rys. 9. Mapa modelu z rys. 8 utworzona metodą rozmywania Źródło: opracowanie własne.. Swoistym artefaktem, występującym na końcowych obrazach map, są ułożone skośnie promienie rozchodzące się od punktów modelu i przyjmujące ich zabarwienie. Jest to rezultat użycia kwadratowej macierzy konwolucji wielkości 3 × 3 realizującej operację arytmetycznego uśredniania wartości pikseli. Wyeliminowanie tego rodzaju artefaktów byłoby możliwe poprzez zastąpienie prostego filtru uśredniającego filtrem rozmycia gaussowskiego o współczynnikach konwolucji rozłożonych jednorodnie we wszystkich kierunkach bez wyróżniania kierunków przekątnych..

(9) Możliwości wykorzystania iterowanego…. 67. Literatura Foley J.D. i in. [1995], Wprowadzenie do grafiki komputerowej, WNT, Warszawa. Gonzalez R.C., Woods R.E. [2002], Digital Image Processing, Prentice-Hall, New York. Hand D., Mannila H., Smyth P. [2005], Eksploracja danych, WNT, Warszawa. Jankowski M. [1990], Elementy grafiki komputerowej, WNT, Warszawa. Watkins C., Sadun A., Marenka S. [1993], Nowoczesne metody przetwarzania obrazu, WNT, Warszawa. Possibilities of Application of Iterative Averaging Convolutive Filter to Generation of Interpolation Maps The paper presents the application options of iteration-making for convolutive filtering procedure in the task of interpolation of feature value that is visualised in the colour map. The usefulness of this method in the processing of bitmap images has been shown. This approach relies on creation of a bit map on the basis of visualised model, and next on processing of obtained image in order to find a continuous spatial distribution of presented feature. For such a processing, classical methods of digital image adjustment, which are commonly used in computer graphics, can be applied..

(10)