• Nie Znaleziono Wyników

Metoda podstawiania polega na odgadnięciu oszacowania, a następnie wykazaniu, że jest ono trafne.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Metoda podstawiania polega na odgadnięciu oszacowania, a następnie wykazaniu, że jest ono trafne."

Copied!
29
0
0

Pełen tekst

(1)

Rozważmy teraz rekursję, którą otrzymamy z (7) poprzez dodanie do prawej strony ciągu

Otrzymana wówczas rekurencja nazywa się niejednorodną.

Problem:

Jak znaleźć rozwiązanie szczególne rekurencji

niejednorodnej?

Jeśli jest ciągiem stałym, to są gotowe

twierdzenia.

(2)
(3)

Rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego można poszukiwać również metodą przewidywań. Najważniejsze jej przypadki to:

(4)

Metoda podstawiania polega na odgadnięciu oszacowania, a następnie wykazaniu, że jest ono trafne.

Kroki postępowania:

Wyznaczamy kilka początkowych wyrazów ciągu

Odgadujemy postać n-tego wyrazu ciągu

Wykazujemy (zwykle indukcyjnie), że ciąg o tak określonym n-tym wyrazie

spełnia rozwiązanie równania

(5)

Przykład

 

  

R c

N c n

y y

y

n n

, , ,

0

2 2

1

1

Odgadujemy, po wyliczeniu kilku pierwszych wyrazów, że

y

k

kc

2

Robimy podstawienie

2

k=

n

i otrzymujemy

y

n

c  log

2

n

Stosujemy zasadę indukcji matematycznej, aby udowodnić to rozwiązanie dla n będących potęgami dwójki.

Ćwiczenie - tablica

(6)

Metoda iteracyjna polega na tym, że przekształcamy rekurencję

w sumę, a następnie korzystamy z różnych technik szacowania

sum.

(7)

Przykład

Jak długo musimy powtarzać ten proces, zanim osiągniemy warunki początkowe?

(8)
(9)

Metoda rekurencji uniwersalnej stosowana jest do rekursji postaci

T(n)=aT(n/b)+f(n),

(10)

gdzie

a≥1, b>1, f

jest pewną funkcją nieujemną określoną na podzbiorze liczb naturalnych.

Rekursja (10) opisuje czas działania algorytmu, który dzieli problem rozmiaru n na a podproblemów o rozmiarze n/b.

Każdy z a podproblemów jest rozwiązywany rekurencyjnie w czasie T(n/b).

Koszt dzielenia problemu oraz łączenia rezultatów częściowych jest opisany funkcją f.

(10)

Ważne twierdzenie!!

(11)

I część (zakładamy, że n jest potęgą liczby b)

Etap 1

Etap 2

II część (rozszerzenie poprzedniej analizy na

przypadek dowolnych liczb naturalnych)

Etap 1 Etap 3

Etap 2 Schemat

dowodu:

(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)

Przykład

(26)
(27)
(28)

Pokażemy teraz przykład prawdziwości ostatniej uwagi.

Przykład ten wpada w lukę między przypadkami 2 i 3.

(29)

Uwaga końcowa:

Cytaty

Powiązane dokumenty

Om´ owiony wy˙zej spos´ ob rozwi azywania uk ladu r´ , owna´ n metod a Gaussa zawiera du˙zo ele- , ment´ ow dowolnych... Obliczamy najpierw wyznacznik g l´ owny naszego

W matematyce natomiast, akceptując osłabiony logicyzm, uznawał możliwość sprowadzenia jej pojęć (pierwotnych) do pojęć logicznych - przy niesprowadzalności

Pomimo niedostosowanego do zasad magnetometrii sposobu poboru próbek archiwalnych pochodzących z zasobów Państwowego Instytutu Geologicznego (w przypadku gleb leśnych

Innymi słowy, poprzed- nie zadanie prowadzi do CTG w sensie zbieżności momentów (można pokazać, że w tym przypadku zbieżność wg momentów implikuje zbieżność wg

Jedyne miejsca, gdzie będziemy używać algorytmu subtypowania to te, gdzie nie będziemy mieli wy- boru, bo inaczej type-checking zakończy się fiaskiem.. Jeżeli f jest typu t1 ->

Wykazać, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest

Wykazać, że kula jednostkowa w dowolnej normie jest zbiorem wypukłym..

Jeśli chcemy tam mieć przeciwne współczynnik to rozszerzamy, oba równania tak aby otrzymać przy x współczynnik 30 i -30 (najmniejsza wspólna wielokrotność dla 5 i 6, tak