Regressie analyse van het vermogen dat een scheepsschroef opneemt

MATHEMATISCH CENTRUM

2e. BOERKAAVESTRAAT 49

AMSTERDAM

STATISTISCHE AFDELING

Leiding: Prof. Dr D. van Dantzig

Chef van de Statistische Consultatie: Prof. Dr J. Hemetrijk

Rapport S

io8

REGRESSIEANALYSE VAN NET VERMOGEN DAT EEN SCHEEPSSCHROEF O?NEEMT

door

R. Doornbo.

1. Inleidthg.

IJitgaande van de schroefkarakteristteken van model-proeven kan de vo].gende formule opgeste.ld wordn:

A.RK.

(o,i N )

= C,S+ C

i-waarin C,

C en b

. constanten ziJn en

A.P.K. _{vermogen in pk gemeten aan de as,}

= schijnbare slip in % = .100(1 Vx1852

_)7'

N.H6O

N = toerenta]. van de schroef per minuut, V = scheepssnelheid i knopen, (1 knoop

1852 m/fuur),

H _{= spoed van de schroef in m.}

Het toerental kan zeer nauwkeurig gemeten worden, het

vermogen tot ± 5% en de sohijnbare slip tot op ± 10% nauwkeurig.

We willen flu de coefficienten

C,, C en b schatten,

zowel met iriachtnemlng. van de te .verwachten waarnernings-fouten in A.P.K. en S5 ,, als onder de aanname dat S5

foutloos is. Eenzelfde berekening voeren we uit in de

onderstelling bo

, om de inviced van de wrijvingsterm

na te gaan.

Als orde van grootte van de verschillende componenten

is opgegeven:

C,S,15%

C82%

bN9 _3%

De volgende tabel geeft gemeten waarden van A.P.K., N

We voeren _{volgende notatie in:} l000A.P.K.= x S5N3=;

t3

z N

b=oc3

De verechiliende waarnemingen geven we aari met de index 1. De opgegeven waarden van

_x

en ziJn aan

waarnemings-fouten onderhevig. We noëmen de ware waarden van x1 en z,

resp. en de waarnemingsfouten t reep. v Verder

onderstellen we dat en trL voorticomen uit onderling onafhankeljjke normale verde].ingen met gemiddelde nu]. en spreidingen o resp. c

Er bestaan due de volgende betrekkingen:

iL=

tL'.

Onderstreping geeft aan, dat de betreffende groothe.td

stochastisch is, dat wil zeggen, dat een derge.lijke groot-A.PK. N 2820

_70,81

_25,k

2120 63,911.

2k,8

1730

6o,49

.

21,9

2350 66,116

.26,1

2k80

66,11

31,0

2330

_6k,36

_31,6

1780

60,57

26,2

2535

68,25

2k,5

2830

71,86

_21,3

211.00

68,37

20,0

2k20

_68,56

_i8,6

2310

67,78

17,2

2790

71,56

17,0

2080

_6k,67

_16,6

2110

6k93

_17,5

2200 .

Gk,5o

30,1

3000

71,88

27,0

1795

60,22

28,0

1760

6o.00

25,8

2390

67,12

25,8

211.05

68,kg

22,k

2860

71,68

21,7

2850

72,37

20,8

21190

_69,17.

_20,3

2360

_67,98

20,2

2OO

68,]i3

18,8

12k0

_55,20

i8,i

2320

_67,95

.

17,8

224O

_67,37

16,3

2800

_71,98

_16,5

2020

6k,k5

3000

7k,18

c

-3-held een waarschijnhiJkheidsverdeling

_bezit.

tjit vergellJking (1.1) voit:

(riormale verdeling met gemi.d.delde nul en spreiding

o

).

De u.s

zijri onderling

_{onafharikelijk, dus de}

simul-taneverdelingsdjchthejd f(1,

.

,) Van

_{a.,, . . ,}

is:

iT 1

=I V?

o-Vullen wij in deze formule

_{u.= x -}

_{in, waarin}

x

de vc3r

_{waargenomen waarden voorstellen, en}

substitueren we verder (i .2),

_{dan wordt}

_f(.u...

_,Lt)

uit-gedrukt in de waarnemingeri en de onbekende parameters

oc.,

en

.

De zo verkregen functie, opgevat

als

functje van de onbekende parameters, wordt

flu

gemaximali-seerd. Hiertoe nemen

we eerst de logarithme, welke

gewoon-lijk door

L

wordt aangegeven en de

_{aannernelijkhejdsfunctje}

genoemd wordt. Dus

= -

fn(vr)_. Cra_

') Nurrimer

_{tussen vierkantehaken}

_{verwijzeri naar de}

littera-tuuroDgave aan het einde

_{van dit versiag.}

(1.2)

°

oc1'+

2aL + CC

2. Behandeling van het geval dat S

_{foutloos wordt onderste].d.}

In dit geval is dus i= 0 voor ledere

i ,

d.w,z.

= Z ,

_{de waargenomen waarde. Met behuip van de}

methode der meest aannemel.ijke schattingen (Engels:

_method

of maximum likelihood) icunnen

_{we de parameters}

_{o,, oct,}

o

en o schatten. Dit komt hierop

_{fleer, dat desiniultane}

verdelingsdichthejd van alle waarnemthgen, opgevat als

functie van de te schatten parameters

_{maximaa]. wordt}

ge-maakt. Voor het hler beschouwde geval

_{van normaal verdeelde}

waarnemingsfouten komt deze methode overeeri met de methode

der kleinste kwadraten. Eennadere

_{uiteènzetting kan men}

b.v. vinden in A.M. MOOD Li]

t)

De verdelingsdichthejd van

u.

stellen we

(u). Dus

L4

(2.5)

(2.6)

ZZk

_0.jk

_{(j=1,2.; k=1,2.3).}

(2.1), (2.2)

en (2.3)

gaan flu over in de 3 verge1ijkingen

(2.8)

Door. differentiatje ñaar o

, o, oc

en o virideri we:

.1) b

I

(2.2) _{z(ZL_O(lZiL}

2323,.)

-

(2.3)

_Z

(2 .k)

=

-

_L.

Stellen we deze vergelijkingen nul en losseri we

vér-volgens.

, en

o.

hierujt op, dan vinden we

de meest aannemelijke sohattingen.

&, &.,

_en

van resp. cc, oc , oc3 en a . (Het kapje geeft aan, dat

de schattingen ttmeest aannemefljke schàttingen8 ziJn). We definieren:

Uit (2..k) volgt:

(2.9)

.

=

a1a,1+a,2a3a.,3

Y2= a, a,2.,- a2a22+ _30.23

A A A

= a1 13 + a2 a23 + 0.30.33

De

e1em-iten van de inverse van de matrix

we

0jk

Dan is de oplossing voor de

{a,

a2= 12

+a22u+

0.3= O.9I

_+0.2+

_0.1d3

(J

1,2a)

Besehouwn wij de waarningen weer als stochastisehe

grootheden. (dus grootheden,

die

_een waarschijnhijkheidsver-(2.7

{

if

deling bezttten), dan worderi 00k de sohattingen

stoehas-tisch..

Volgens AM. MOOD (blz.30k) heeft flu de grootheid

= p_Q(p

-

V&'n/n3

voor pi,. en

een

ST1JDENT"-verde1ing met

a

vriJheids-graden. Met behuip hiervan kunnen we dus een

betrouwbaar-heidsinterval voor de

oc..

opstelleri. (Zie memorandum

S k7(M

18))t).

Het geval oco

kan geheel analoogbehandeld worden.

3. Behandeling van het geval, dat zowel in

A.R)..

ala

S

waarnerningsfouten voorkomen.

We nemen flu aan, dat

u

en

_Vt

normaal en onderling

onafhankelijk verdeeld zijn met gemiddeide 0 en spreidingen

o-

resp.

_{a- .}

Om de methode der meest aannemeliJke sohat-.

tingen te kunnen toepassen, moeten

_{we onderstellen dat de}

verhouding

ic

!

bekend is. Als

o

en

a-

onafhankeliJk

kunnen variëren, heeft de aannemelijkheidsfurictje

name].ijk

geen absoluut maximum. Men vergelijke hiervoor by.

van

DANTZIG [2]

De verdeiingsdichthejd van

fl

is

flu:

-

_y_

7i

e

Zi2Oa. O2

dus

= = ri Cn (2rnc)

_{n n}

I

4U._ LV =

2 -v ç2 . 2a-. I -2 .

Z, _0(Z3,

)-z

Door te differentleren naar

_, 0(1, O(.a ,.

en

c-vinden we:

(3.1)

= _{(Z1j_}

)

(3.2)

=

) Dit memorandum is aan het einde

van dit rapport

(3.3)

ZaL(Qci

(3.k)

=

(3.5)

=_.a

_{a 2ç0q}

(3.6)

Z. 0_ii. +

_L. Z(z1_)2.

_2q

Stellen we deze vere1ijkingen nu]. en lossen we ver-volgens OL1 oc.2, o en de ,.0 _{hieruit op., dan}

vinden we de meest aannemelijlce sohattingen

&,

_{&., a1,}

en van resp. oc,,

oct,

oc3, o en Na

substitu-tie van deze waarden in de rechter leden van (3.1) t/m

(3.5) vj.nden we door (3.1) met (3.2), (3.3) en (3.k) te combineren:

;_)=o of

Noemen we de minoren van Ua,U

A.q dan volgt uit (3.7) en (3.8) met (2.5) en (2.6):

(3.7)

)o

of 2zZz,z

(3.8)

Z Z31(ZTL..

)O

of

Dus kunnen we (3.2), (3.3) en (3.) schrijven:

(3 .)

a,z,1,

a)

= 0

(3.10) ?:

Z(X_a1Z1L_a_8,Z3)0

(3.11)

uit (.i) volgt:

terwiji

a2

-- A11

= A13. _{i Y0a.. Y242}

A11

We beschikjcen in dit geval niet

_{over een methode orn}

pre-cieze betrouwbaarhejdsjntervallen _{voôr de parameters op te} stellen. Wel kunnen we een schatting _{van de spreidingen}

van de geschatte parameterwaarcjen _{berekenen.Voor grote n}

ztjn.de meest ãannemelijke schattingen van de parameterci

namelijk bij benadering simultaan _{normaal verdee].d, Zijn}

,e) _{de geschatte parameters,}

_dan

_{zijn de}

varian-ties (kwadraat van de spreiding

=

variantie) hiervan, de

corresponderende diagonaalelementen ult de matrix:

Substituereri we nu

(3.9),

_{(3.10) en (3.11) in (3.6), en} stelleri wij

Zx

_{., dan krijgen we de volgende}

vier-kantsvergelijlclrig voor

a1

(.15)

4I(y1A,1+yA1

+

& {ic2(a1A1 a1,A1.+ a13A)+

y2y33i3a_

X2A11J+ i- _{-- y3A3) = 0.}

De eerté en de derde term hebben _{tegerigesteld teken.}

_Er

is dus eeri positieve en een negatieve wortel. De positieve

wortel correspondeert met het maximum

van L

zoals door berekening is te verifiëren. tilt physisehe overwegingen

komt een negatieve eerste term _{vanzelfsprekend 00k}

niet-in aanmerkniet-ing.

Stellen we het rechter lid

_{van (3.5) riul en substitueren}

we hierin de gesehatte waarden

_voor

cr2, oc..,,

o2, oc

_en

en

_{dan is}

Voor het gevál dat _{o= 0 vinden we in plaats}

_{van (3.12)}

(3.1

7)

o1(,.i2a1)+

&,[c2(a,1o..2,_

a)

+

XZa2]

dus dan is:

(

a2L \ O( sc:;.

(a2L

(. '2L

We' défirijeren aiao(a

-

6

Z(z1.

0 ii = ik (k=2,3) , 1lMII=_JIfI a2L.t11..1_S

(vérgelijic voor de theorie b v. M.G. _{NDALL [3]).}

In bovenstaande formule stelt het symbool de mathe-mattsch verwachting vOor. In _{ons geva]. zijn de parameters}

oc oc _en

Y.

IJit de vergelijkingen (3.1) tot _(3.5)voigt:

- ¶

-

I pça 2L ,

-o

.voOi-.jr.20.2 3L' 4_.

(c)2=

K2O " verderis volgens (3.7)

iJ

,

2Z2L_

0(3z)i-L n n

n'_

_n

en volgens

_(3.8

terwij]. Tenslotte is: en

L_.i z°z

1

tt

3,

-'L

'(

L. \-o

\

Geven we grootheden _{waarin staat in plaats}

_van

&met de bovenjndex

° dan wordtde matrix

in ons geval: -:r:L

0.

0 0 0 o _a. -oc - 0 .12. 18 1,1 '3o2 1,82 o - _2,1 o L_ a1 ...1 L. Z Z.

K'O- 8 33 _)cac3i

icc'-2 0 .z Z°1,1 _)CQ2 Z.,

10a 31

z L

I

--

]

- - -

0 L'K2

j

o LZ OC1Z 1,82 2,32 K2O j=

Nu is dus cr

= -

_{als T22 de ininor van}

a1

= Itpq,) 'i

_ot=

_J$

en - .

We vermenigvuldlgen de 36e kolom _{achtereenvolgens met}

..-0

-i

' 1,32.

en K202 3,32. en

trekken deze kolom dan resp. af van de 2e 3e, en ke kolom.

Van de laatstgenoemde

_kolornrnen

_{zijn de laatste elementen}

flu gelijk aan nul.

Door hetzelfde procd toe te passen op de 5e tot en met

de 35e kolom, bereiken we dat van de 2e, 3e en kolom

vanaf de 5e

nj

alle elementen nul wor'den.

it1

10

-De term t22. is

dan

_overgegaanin

+ -cc,° cc° = C._cc

, waarin C-

-'

I 11

O2Lc2 J

Verder is

t'

= _{a12 = C.a12}

_enz,

as Du s (3.18)

(3.21)

en

(3.22)

waarin

cT = 02

-22)

lol

T

C G.0I

In het geval dat

_{oc= Ovinden we:}

= O(oc+K1) 1.

_IaI

a1 a1 a,2 a,1

I-

Io-°l Ca23

Ca

Ca33

Ca., _Ca, Ca,3

Ca12 Ca22 CO..a3 CC.13 _{Ca23 Ca}

Om de varianties numeriek te _{schatten substitueren we de} meest aannemelijlce schattingen voor o _en cr

in (3.18), (3.19),...(3.22).

. Resultaten,

Voor het geval dat S niet foutloos is, mOet i

worden geschat, Nemen _{we hiervoor, in aansluiting op de}

ver-strekte gegevens:

5

van

de gemiddelde waarde 1000 APK

dan virideri we . = 0, '18. De berekeningen iJn uitgevoerd

voor K = 0,15 en j = 0,2. De spreidthgèn van de

parame-ters zijnberelcend voor.k.=.0,15. We 1crijgen dande

volgen-de uitkomsten:

I,. S foutloos

II. Met waarnemingsfout in S

a., = _0,072

a2=

a=

1800 = 28.-b3

= i8.io

zonder wrijvingsterm

a1= 0073

2=

6)15 = 29.i0 =19k.103 o,00k r= .0,10

g =ikk,io3

a, =

_0,072

2 6,17

30.10

=152.10

a).

met wrijvingsterm

Betrouwbaarheidsinterval s .pr.0,05 a, = = = =

0,06k

. 5,87 2200 0,051 5;i5 -200 < < < a, a

a3.

< < < 0,077 6,59 k200 b) zonder wrijvthgsterm Betrouwbaarheidsinterval. s .pr.0,05

a, =

= = 0,070 6,21

k6.iO3

0,057

5,92

< < a, < <

0,083

6,50

a) met wrijvthgsterrn = 0,15 0,2 0,005 =

0,069

a2=

o,i6

2=

5,82

700

a3= 1900

g= 29.10'

Voor de grootte van de drie componenten vinden we in

geval Ia: C1S5 _18%,

C=

77% en

bN= 5%

ib: _C1S

_{= 20%, C= 80%}

11arn

(K

= 0,15) C1,S5

=20% C

_75%,

_{bN2= 5%}

lib: _{K = 0,15) C1S5} = 21%, C _79%.

111111101

'I

a, I 11 k 11F.11fthIh1NhI. fl!

I:aI11oL1oIfl

-1 UHI0110IIIIIO 01'1111111h11111111111I0 I11hI 1101111011 Lilifi

lJfl'lIffillhII

TI111!Hh11 Wilil fli' 11001 -1 1110111ff U110WI111111 1110

12

-Deze resultaten zijn verkregen op grond van het in de

inleiding onderstelde verband, dat door (1.1) gegeven

wordt, Het is interessant even na te gaan, in hoeverre de

gevoriden resultaten me

deze onderstelling in

overeenstem-ming ztJn.

In de bijgevoegdegrafiek 1

_{is daartoe voor 3 groepen}

waarnemingen, waarvan de waarden van N dicht blJ elkaar

liggen, het verband tussen

A.P.K. en

5

aangegeven. De

ge-trokken liJnen zijn berekend voor de drie

aangegeven

waar-den van

N

, waarbiJis aangenomen

_{a1= 0,072,}

_{= 5,79}

en

_{= i800, We zien dat de grafiek, de spreidingen in}

enA.RK, in aanmerkingen genomen, geen aanleiding

geeft aan het onderstelde verband tussen

_{A.P. K., S en N}

te twijfelen.

-

We merken op, dat in geval

1a

het

betrouwbaarheidsinter-val voorde wrijvingstei'm de waarde nul bevat.

In geval

11a

rnOeten we bedenken, dat de opgegeven spreidingen, dus 00k

°a3

slechts schattingen ziJn. De gebruikte formules

zijn

slechts geldig voor grote

n

, zoals in

_{§3 ook reeds werd}

ôpgemerkt.

-Er bestaat voor het algemene geval 00k

een

parameter-vrije methode, d.w.z. dat geen ondersteiling

_{behoeft te}

worden gemaakt omtrent de. verde ling

van de

i

en de

De toepassing van een dergelijke methode heeft

_{het voordeel,}

dat eventuele afwijkingen

van de mm

of meer uit de lucht

gegrepen onderstelling van normaliteit der

waarnemingsrou-ten ons dan geen parwaarnemingsrou-ten kunnen spelen. Hierbij moewaarnemingsrou-ten

echter de waarden van

_{S5 naar opklimmende grootte}

gerang-schlkt worden. Bij het beschikbare

_{waarnerningsrnateriaa1}

zouden we-dan slechts

_{stel waarnemingen van de 32 kunnen}

gebruiken, daar de intervallen te klein

_{zijri vergeleken met}

de spreiding. Als we by. de waarden 30,1 en 27,0 hebben,

dan kunrien de ware waarden

_{resp. 27,1 en 29,1 zijn, zodat}

de volgorde niet vaststaat-.

_{-Deze.methode zouden we dus wel}

kunnen toepassen op voldoend uit elkaar liggende

waarne-mingen.

LITTERATUTJR.

A.M.MOOD, Introduction to the theory

_{of statistics.}

London 1950, p.152 e.v.

D.V.DANTZIG,. Kadercursus Statistiek 19k8-k9,

Hóofd-suk

IV, §i, p.323 e..v..

- t3J

M.G.KENDALL, The advanced theory of statistics,

vol..L

MATHEMAISCH CEN'RUM

Amsterdam.

Sta-tis-tische Afdeling.

S47(M18)

Betrouwbaarhejdsin-terval]

(aJ.gemeen).

1)

:Zij

_{een stochas-tiache groo-theid, die een verdelingsfunctje}

bez±t die, op

_{een onbekende parame-ter 6}

_{na, geheel bekeid is}

0 kan by. het

gemiddelde van

_{zijn, of de spreiding of}

iets dergelijks), dan kan

_{men de vraag stelle,n uit een aan-taJ.}

waarnemingen van

_{een scha-t-ting voor 0 af te leiden.}

Een betrouwbaarhejdsjnteaLJvooi

_{is een interval,}

waarvan de grenzen .fhankelijk zijn

_{van de waarnerningen}

r1

4

van 2

,

en dat de eigenschap bezi-t, behoudens

_{een zekere}

gegeven onbetrouwbaarhejdx.,, de juiste

_{waarde van}

_{te bevat-ten.}

Di-t be-teken-t, dat bij een serie bepalingen van

betrouwbaarheids-intervallen slech-ts in

_{ongeveer een frac-tie O( van deze gevallen}

he-t in-tervaicf

_{zo zal uitvallen, dat he-t 0 nie-t beva-t.}

_Hierbij

is dus O constant en he-t inierva1eYverander1ijk

_{(en wel}

s10-ckastisch). Hierin iig-t bet

_{gro-te verschil met een zgñ.}

voor-spellirigsin-tervai, d.i. een

_{gegeven vast interval, waar een}

stochas-tjsch punt met een zekere

_{waarschijnhijkhejd in valt.}

Met algemene principe ter bepaling van een

betrouwbaarhejds-interval is het volgende

_{zij q'een toets}

_{voor de hypothese}

&

b, (vgl.S47(M6)), dan is

_{de verzameling van die}

waarden

die bij -toepassing

van

_{grond van de gevonden}

waarne-mingen

-

,..

X

_{nie-t voor verwer_ping in}

_aanmerki

kornen.

C7

Is j toegepas- met

een onbe-trouwbaarheidsdrempel o

,

dan is dit

00k de onbeLrouwbaarheidsdrempe1

_{van he-t be-trouwbaarhejdsjnter_}

val.

Littera-tuur

M.G. Kendall, The Advanced

_{Theory of Statistics, London}

_1946,

deel II, p.62-84.

A.M. Mood, In-troduc-tion

_{-to the theory of Statistics,}

_London

1950, p.220.

J iI'1rr1an, First course in probability and statistics, N.Y.

1950.

1) Di-t

_{memoranaum is slech-ts bedoeld-ter}

_{oriéntatie en streef-t}

nie-t naar volledigheid of

_{volledige exac-theid.}