Identyfikacja modelu matematycznego operacji startu samolotu Mathematical modeling of the take-off operation of an airplane

(1)

z. 69 Transport 2009

Katarzyna BEUTH, Anna STELMACH Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej

ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa e-mail: ast@it.pw.edu.pl

IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO OPERACJI

STARTU SAMOLOTU

Streszczenie

Przedmiotem artykułu jest modelowanie poszczególnych etapów operacji startu, a nastpnie identyfikacja elementarnych modeli tych etapów w oparciu o parametry zarejestrowane przez pokładowy rejestrator parametrów lotu samolotu. Zbudowane modele odwzorowujce rzeczywiste operacje samolotu w rejonie lotniska, bd wykorzystane w praktyce lotniczej.

Słowa kluczowe: ruch lotniczy, operacja startu, modelowanie

1. WPROWADZENIE

Komputerowa identyfikacja parametrów polega na opracowaniu modelu matematycznego z wykorzystaniem wyników pomiarów przeprowadzonych na rzeczywistym obiekcie [4]. W pierwszej kolejnoci naley okreli jaka jest posta zalenoci opisujcej dan zmienn w modelu matematycznym. Nastpnie przeprowadzana jest identyfikacja współczynników dla ju okrelonej postaci funkcji w przedziałach zmiennoci. W przypadku operacji startu dokonano podziału tej fazy na segmenty. S one dobrane tak, aby minimalizowa problem cigłoci funkcji na granicach przedziałów. Załoono, e segmentów startu samolotu jest sze . Po okreleniu, we wszystkich segmentach ww. funkcji dla przyjtych zmiennych, dokonuje si oceny jakoci odwzorowania przez model rzeczywistego procesu poprzez obliczenie współczynników jakoci identyfikacji. W ramach analizy takiej jak opisana powyej mona, ze wzgldu na zapotrzebowanie i konkretne wykorzystanie modelu, analizowa rónego rodzaju parametry. Mona tke dokona kompleksowej identyfikacji dynamiki ruchu samolotu w fazie startu poprzez identyfikacj sił i momentów sił działajcych na startujcy samolot. Tego typu odwzorowanie moe posłuy do budowy, na przykład, symulatorów lotu słucych do szkolenia personelu latajcego [4]. W przedstawionym przykładzie model odwzorowuje rzeczywist prdko lotu i prdko pionow samolotu w fazie startu. Jest to wystarczajce na potrzeby badania m.in. zajtoci pasa startowego, czy innego typu bada majcych na celu wzrost przepustowoci i bezpieczestwa w ruchu w rejonie lotniska.

2. IDENTYFIKACJA MODELU

W przedstawionym przykładzie analizowane s parametry lotu samolotu Embraer 170 [6] zarejestrowane przez pokładowe rejestratory lotu. Do parametrów rejestrowanych

(2)

parametrów nale m.in.: prdko rzeczywista wzgldem ziemi, wysoko barometryczna, współrzdne geograficzne, kurs, kt pochylenia i przychylenia, przyspieszenie podłune i normalne, liczba Macha lotu, moc silników, połoenie klap/podwozia, mas całkowit samolotu. Wykorzystane do stworzenia modelu przebiegi czasowe parametrów lotu zarejestrowano w lotach z lotniska Warszawa Okcie, przy starcie z pasa 29 na t sam tras i przy wykorzystaniu tej samej procedury standardowego odlotu (SID) TITAC 1G. Uwzgldniono dane zarejestrowane do momentu osignicia przez samolot prdkoci 250 wzłów. W ten sposób zdefiniowano na potrzeby analizy koniec fazy startu. Spełnienie wymienionych warunków odpowiada praktyce lotniczej i jest równoznaczne ze spełnieniem załoe przyjtych do modelowania. Na rys. 1 i 2 oraz w tab. 1 przedstawiono podział fazy startu na segmenty oraz opisy przebiegu startu. Z kolei dodatkowo na rys. 2 zamieszczono przykładowe przebiegi czasowe prdkoci lotu podczas operacji startu dla trzech samolotów. Analogicznie jak wyej rys. 3 przedstawia przebiegi czasowe prdkoci wznoszenia samolotu podczas startu.

Rys. 1. Schemat startu samolotu ródło: opracowanie własne na podstawie [3]

Tablica. 1. Opis poszczególnych segmentów fazy startu samolotu

ródło: opracowanie własne

Segment Opis segmentu

I pocztek rozbiegu

II rozbieg do momentu osignicia prdkoci decyzji (V1), nastpnie prdko rotacji (VR)

a do oderwania i wznoszenie na bezpiecznej prdkoci III dalsze wznoszenie oraz chowanie podwozia

IV chowanie klap

V lot od chwili schowania klap do momentu osignicie prdkoci 210 wzłów VI lot do chwili osignicia prdkoci 250 wzłów

(3)

Rys. 2. Prdko rzeczywista samolotu z trzech lotów

ródło: opracowanie własne na podstawie danych zarejestrowanych przez pokładowe rejestratory lotów.

Rys. 3. Prdko pionowa samolotu w trzech lotach ródło: opracowanie własne.

Poniej przedstawiono wyniki komputerowej identyfikacji modeli odwzorowujcych przebieg zmian w czasie prdkoci lotu oraz prdkoci wznoszenia. Wykorzystano metod komputerowej identyfikacji parametrycznej [4] wraz ze stosownym oprogramowaniem.

Identyfikacji dokonano wykorzystujc dane z rejestratorów trzech wybranych lotów wykonanych w dniach 14, 29 oraz 31 grudnia 2008 r.

(4)

Po analizie rzeczywistych lotów przyjto, e posta funkcji bdcej przedstawieniem prdkoci rzeczywistej (V) i pionowej (w) samolotu w fazie startu s wielomiany algebraiczne postaci: 1 1 1 1

( )

i k i i m l l l mj mj a t b t

V

t

w

t

− = − =

=

¦

(1)

gdzie: Vmj(t) – prdko rzeczywista samolotu w chwili t dla j-tego segmentu,

wmj(t) – prdko pionowa (wznoszenia) samolotu w chwili t dla j-tego segmentu,

ai – współczynniki wielomianu okrelajcego prdko rzeczywist samolotu,

bi – współczynniki wielomianu okrelajcego prdko pionow (wznoszenia)

samolotu,

j – numer segmentu fazy startu,

t – czas [s].

Dla kadego segmentu okrelono posta modelu (stopnie wielomianów k i m) i wartoci współczynników ai oraz bi. Wykorzystano przy tym wyznaczane wskaniki ilociowe

i jakociowe identyfikacji dokładnoci odwzorowania przez model rzeczywistych V i w [4]. Poniej przedstawiono wyniki identyfikacji rozpatrywanych model dla poszczególnych segmentów.

Segment I

Tablica. 2. Współczynniki wielomianu – modelu prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu EMB 170 w segmencie I fazy startu

lot 1 lot 2 lot 3

współ. Vm1 wm1 Vm1 wm1 Vm1 wm1

a1/b1 0 0 0 0 0 0

a2/b2 2,26E+00 5,46E-02 3,29E+00 -4,53E-02 8,69E+00 -2,13E+00

a3/b3 2,37E+00 -2,37E-01 3,40E+00 1,51E-01 3,08E+00 4,09E+00

a4/b4 - 1,40E-01 - -5,63E-02 - -1,95E+00

a5/b5 - -1,11E-00 - 3,83E-02 - 3,91E-01

a6/b6 - -2,73E-04 - -6,65E-03 - -3,51E-02

a7/b7 2,52E-05 3,19E-04 1,16E-03

ródło: opracowanie własne.

W tab. 2 przedstawiono wyniki identyfikacji parametrów ai i bl dla pojedynczo

identyfikowanych modeli lotów samolotu 1, 2 i 3. Dla rozpatrywanego segmentu lotu prdko rzeczywist odwzorowuje wielomian pierwszego stopnia natomiast prdko pionow wielomian szóstego stopnia. Wyznaczone wartoci wskaników jakoci identyfikacji podane zostały w tab.3. Wyznaczono tu współczynnik korelacji , wariancj resztkow 2 oraz wartoci przedziałów ufnoci a i b.

(5)

Tablica. 3. Wskaniki jakoci identyfikacji dla segmentu I fazy startu samolotu EMB 170

lot 1 lot 2 lot 3

Vm1 wm1 Vm1 wm1 Vm1 wm1 Uogólniony współczynnik korelacji 0,9043 0,9050 0,9693 0,6152 0,9688 0,8704 Wariancja resztkowa

2 4,46E+00 0,37E+00 3,68E+00 7,51E-01 3,06E+00 5,65E-01 a2/b2 5,49E+00 3,33E+00 3,86E+00 1,47E+00 3,21E+00 1,10E+00

a3/b3 7,46E-01 4,42E+00 5,46E-01 2,86E+00 4,54E-01 2,15E+00

a4/b4 - 1,91E+00 - 1,64E+00 - 1,23E+00

a5/b5 - 3,56E+00 - 3,62E-01 - 2,72E-01

a6/b6 - 2,97E-02 - 3,37E-02 - 2,54E-02

Przedziały ufnoci

a7/b7 - 9,08E-04 - 1,12E-03 - 8,42E-04

Rys. 4. Prdko rzeczywista (V) i pionowa (w) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (Vr i wr) i z modelu (Vm i wm)) samolotu w segmencie I fazy startu dla lotu 1

ródło: opracowanie własne na podstawie danych zarejestrowanych przez pokładowe rejestratory lotów

Przebiegi czasowe zmiany prdkoci rzeczywistej i prdkoci pionowej z modelu i z rzeczywistego lotu przedstawiono na rys. 4. Z przedstawionego wykresu celowym jest przyjcie modelu w postaci wielomianu wyszego stopnia. wiadcz o tym równie „niekorzystne” wartoci wskaników jakoci identyfikacji (tab. 3).

Segment II

Tablica. 4. Współczynniki wielomianu – modelu prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu EMB 170 w segmencie II fazy startu

lot 1 lot 2 lot 3

a1/b1 0 0 0 0 0 0

a2/b2 -1,18E+01 -1,18E+02 2,11E+00 1,94E+02 6,79E+00 2,41E+02

a3/b3 4,60E+00 2,81E+01 4,38E+00 -3,49E+01 4,16E+00 -4,53E+01

a4/b4 - -2,70E+00 - 2,11E+00 - 3,04E+00

a5/b5 - 1,31E-01 - -4,13E-02 - -8,30E-02

a6/b6 - -3,21E-03 - -3,23E-04 - 6,08E-04

a7/b7 - 3,10E-05 - 1,35E-05 - 5,39E-06

(6)

Tablica. 5. Wskaniki jakoci identyfikacji dla segmentu II fazy startu samolotu EMB 170

lot 1 lot 2 lot 3

2 0,30E+01 1,85E+00 3,08E+00 1,51E+00 3,50E+00 1,62E+00

a2/b2 4,27E+00 - 4,63E+00 - 5,26E+00 -

a3/b3 1,64E-01 - 1,82E-01 - 2,7E-01 -

a4/b4 - - - a5/b5 - - - a6/b6 - - - Przedziały ufnoci a7/b7 - - -

Rys. 5. Prdko rzeczywista (V) i pionowa (w) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (Vr i wr) i z modelu (Vm i wm)) samolotu w segmencie II fazy startu dla lotu 2

Segment III

Tablica. 6. Współczynniki funkcji prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu EMB 170 w segmencie III fazy startu

lot 1 lot 2 lot 3

a1/b1 0 0 0 0 0 0

a2/b2 1,47E+02 - 1,67E+02 -1,16E+00 1,65E+02 -9,87E+02

a3/b3 4,54E-01 -1,75E+01 -2,89E-01 1,03E+02 -5,02E-01 5,49E+01

a4/b4 -5,96E-03 8,34E-01 - -2,11E+00 3,50E-03 -9,56E-01

a5/b5 - -7,08E-03 - 1,08E-02 - 7,00E-03

a6/b6 - -1,08E-03 - 1,28E-04 - -5,37E-05

a7/b7 - 1,32E-06 -1,22E-06 - 4,64E-07

(7)

Tablica. 7. Wskaniki jakoci identyfikacji dla segmentu III fazy startu samolotu EMB 170

lot 1 lot 2 lot 3

Vm3 wm3 Vm3 wm3 Vm wm3 Uogólniony współczynnik korelacji 0,7492 0,9460 0,9628 0,9213 0,7231 0,9867 Wariancja resztkowa

2 1,43E+00 2,92E+00 7,41E-01 2,31E+00 1,25E+00 1,21E+00

a2/b2 2,12E+01 - 1,63E+00 - 1,79E+01 -

a3/b3 8,22E-01 - 3,12E-02 - 7,08E-01 -

a4/b4 7,81E-03 - - - 6,58E - a5/b5 - - - a6/b6 - - - Przedziały ufnoci a7/b7 - - -

Rys. 6. Prdko rzeczywista (V) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (Vr) i z modelu (Vm) samolotu w segmencie III fazy startu dla lotu 2

Rys. 7. Prdko pionowa (w) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (wr) i z modelu (wm)) samolotu w segmencie III fazy startu dla lotu 3

(8)

Segment IV

Tablica. 8. Współczynniki funkcji prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu EMB 170 w segmencie IV fazy startu

lot 1 lot 2 lot 3

a1/b1 0 0 0 0 0 0

a2/b2 5,93E+01 9,05E+02 3,19E+01 -1,47E+01 5,66E+01 -6,44E+01

a3/b3 1,37E+00 -8,80E+00 1,73E+00 1,78E+00 1,32E+00 -

a4/b4 - -2,20E-01 - 9,53E-03 - -2,09E+02

a5/b5 - -2,11E-05 - -2,10E-04 - 4,01E-03

a6/b6 - 6,39E-05 - -7,59E-06 - -7,60E-05

a7/b7 - -4,22E-05 - 7,49E-08 - 3,90E-07

Tablica 9. Wskaniki jakoci identyfikacji dla segmentu IV fazy startu samolotu EMB 170

lot 1 lot 2 lot 3

2 6,57E-01 1,47E+00 1,00E+00 1,98E+00 2,72E+00 1,23E+00

a2/b2 3,28E+00 - 4,68E+00 - 1,26E+01 -

a3/b3 4,13E-02 - 5,93E-02 - 1,60E-01 -

a4/b4 - - - a5/b5 - - - a6/b6 - - - Przedziały ufnoci a7/b7 - - -

Rys. 8. Prdko rzeczywista (V) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (Vr) i z modelu (Vm)) samolotu w segmencie IV fazy startu dla lotu 1

(9)

Rys. 9. Prdko pionowa (w) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (wr) i z modelu (wm)) samolotu w segmencie IV fazy startu dla lotu 3

Segment V

Tablica. 10. Współczynniki funkcji prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu EMB 170 w segmencie V fazy startu

lot 1 lot 2 lot 3

a1/b1 0 0 0 0 0 0

a2/b2 -2,59E+02 8,76E+02 1,44E+02 2,32E+02 1,32E+02 1,51E+03

a3/b3 7,95E+00 -1,42E+01 5,91E-01 -5,52E+00 6,70E-01 -2,39E+01

a4/b4 -3,38E-02 -4.20E-02 - -1,28E-02 - -8,61E-02

a5/b5 - 9,65E-04 - 3,22E-04 - 1,30E-03

a6/b6 - 5,78E-06 - 7,01E-06 - 1,86E-05

a7/b7 - -5,53E-08 - -5,40E-08 - -1,38E-07

Tablica. 11. Wskaniki jakoci identyfikacji dla segmentu V fazy startu samolotu EMB 170

lot 1 lot 2 lot 3

2 1,50E+00 3,77E+00 2,95E+00 3,95E+00 4,40E+00 2,71E+00

a2/b2 7,80E+01 - 1,21E+01 - 1,80E+01 -

a3/b3 1,50E+00 - 1,13E-01 - 1,68E-01 -

a4/b4 -6,95E-03 - - - a5/b5 - - - a6/b6 - - - Przedziały ufnoci a7/b7 - - -

(10)

Rys. 10. Prdko rzeczywista (V) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (Vr) i z modelu (Vm)) samolotu w segmencie V fazy startu dla lotu 1

Rys. 11. Prdko pionowa (w) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (wr) i z modelu (wm)) samolotu w segmencie V fazy startu dla lotu 3

Segment VI

Tablica. 12. Współczynniki funkcji prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu EMB 170 w segmencie VI fazy startu

lot 1 lot 2 lot 3

a1/b1 0 0 0 0 0 0

a2/b2 1,02E+02 3,75E+02 7,54E+01 1,94E+03 8,18E+01 3,80E+03

a3/b3 8,85E-01 -3,76E+00 1,10E+00 -1,78E+01 1,07E+00 -4,10E+01

a4/b4 - 1,06E-02 - -5,51E-02 - -7,31E-02

a5/b5 - -3,22E-05 - 3,56E-04 - 7,64E-04

a6/b6 - 5,70E-08 - 0,45E-05 - 1,04E-05

a7/b7 - 8,15E-10 - -1,94E-08 - -5,04E-08

(11)

Tablica. 13. Wskaniki jakoci identyfikacji dla segmentu VI fazy startu samolotu EMB 170

lot 1 lot 2 lot 3

Vm6 wm6 Vm6 wm6 Vm6 wm6

Uogólniony

współczynnik korelacji 0,9922 0,9455 0,9871 0,9360 0,9517 0,9089 Wariancja resztkowa

2 1,69E+00 2,21E+00 2,19E+00 3,32E+00 4,42E+00 3,83E+00

a2/b2 4,82E+00 - 8,30E+00 - 1,57E+01 -

a3/b3 3,22E-02 - 5,79E-02 - 1,09E-01 -

a4/b4 - - - - a5/b5 - - - - a6/b6 - - - - Przedziały ufnoci a7/b7 - - - -

W wyniku identyfikacji współczynników wielomianu, oraz weryfikacji poprzez wyznaczenie wskaników jakoci identyfikacji, otrzymano funkcje opisujce zmian prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu w segmencie VI fazy startu dla lotu 1 (rys. 12).

Rys. 12. Prdko rzeczywista (V) i pionowa (w) (zarejestrowana w rzeczywistym locie (Vr i wr) i z modelu (Vm i wm)) samolotu w segmencie VI fazy startu dla lotu 1

Wykorzystujc wyniki identyfikacji omawianych równa przedstawiono na rys. 13 przebiegi czasowe prdkoci rzeczywistej V i pionowej w samolotu w fazie startu, uzyskane z modelu i z rejestracji pokładowej. Z rysunku wida dobre odwzorowanie rzeczywistoci przez model.

(12)

Rys. 13. Wynik identyfikacji modelowego przebiegu czasowego prdkoci rzeczywistej i pionowej samolotu Embraer 170w fazie startu

3. PODSUMOWANIE

Przedstawiony przykład potwierdza, e metody komputerowej identyfikacji mog by z powodzeniem stosowane w opracowaniu modelu matematycznego o wysokim stopniu dokładnoci odwzorowania lotu rzeczywistego samolotu. Przy analizie odpowiednio duej liczby parametrów moliwe jest odwzorowanie dynamiki lotu samolotu w dowolnej fazie lotu, lub w całym przebiegu lotu. Tak skonstruowany model matematyczny lotu samolotu moe posłuy do wielu celów, na przykład do budowy modeli symulujcych lot, czy badania przepustowoci drogi startowej. Wad metody komputerowej identyfikacji jest jednak konieczno podziału obszaru analizy na przedziały zmiennoci parametrów co generuje problemy z zachowaniem cigłoci badanych parametrów na granicach tych przedziałów.

(13)

LITERATURA

[1] Aneks 14 – ICAO – Aerodromes volume aerodrome design and operations. wydanie 4, 2004. [2] Aerodata EU –OPS Regulatory Compliance Statement, Wydawnictwo AeroData, Inc.,

Scottsdale 2008.

[3] ERJ170 Airplane Flight Manual, Wydawnictwo Empresa Brasileira de Aeronautica S.A.,2004. [4] Manerowski J.: Identyfikacja modeli dynamiki ruchu sterowanych obiektów latajcych,

Wydawnictwo Naukowe Akson, Warszawa, 1999.

[5] Operations Manual part B rev18 ERJ170 Quick Reference Handbook, Wydawnictwo Empresa Brasileira de Aeronautica S.A., 2008.

[6] Operations Manual part B rev18 ERJ170 v2, Wydawnictwo Empresa Brasileira de Aeronautica S.A., 2008.

[7] PN – 83 L – 01010.02 Mechanika lotu samolotów i szybowców. [8] Procedura B, PL 8168,”Operacje Statków Powietrznych”, tom 1.

MATHEMATICAL MODELING OF THE TAKE-OFFOPERATION OF AN AIRPLANE Abstract

The purpose of this article is to create models for particular stages of the take-off operation and to identify elementary models of these stages basing on parameters recorded by the board flight recorder. The created mathematical and computer models (for simulation research), reproducing the aircraft’s real operations in the area of the airport, shall be used for automatization of the operations conducted in the airport’s area.

Key words: air traffic, take-off operation, modeling