IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO ROBOTA GĄSIENICOWEGO

IDENTYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO

ROBOTA GĄSIENICOWEGO

Krzysztof Kurc

^1a

, Dariusz Szybicki

^1b

1Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska

akkurc@prz.edu.pl, ^bdszybicki@prz.edu.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono identyfikację modelu matematycznego mobilnego robota gąsienicowego z wykorzysta- niem sieci neuronowych. Podczas modelowania manipulatorów czy robotów trudno jest uwzględnić wszystkie zja- wiska, dlatego model matematyczny nie jest dokładnie znany i poprawna analiza dynamiki układów złożonych, wymaga identyfikacji dynamicznych równań ruchu. Identyfikacja modelu matematycznego, z zastosowaniem sieci neuronowych, umożliwia uzyskanie informacji o nieznanych parametrach, przydatnych podczas sterowania czy konstruowania. Rozwiązanie problemu przeprowadzono na drodze numerycznej.

Słowa kluczowe: Sieć neuronowa, identyfikacja, model matematyczny, robot

IDENTIFICATION OF THE MATHEMATICAL MODEL OF A TRACKED ROBOT

Summary

The paper focuses on the identification of the mathematical model of an tracked robot by making use neural net- works. It is hard to take all phenomena into consideration when modelling manipulators or robots, therefore the corresponding mathematical models are not known exactly. Correct analysis of dynamics of such complex systems requires identification of dynamical equations of motion. The identification of mathematical models with the use of neural networks and fuzzy logic systems enables one to recognize unknown parameters and adjust the mathe- matical model to the real object. The solution to the problem was carried out through simulations.

Keywords: neural networks, identification, mathematical model, robot

1. WSTĘP

W wielu dziedzinach wiedzy pojawia się konieczność identyfikowania parametrów systemów dynamicznych, co pozwala na zrozumienie zachowania rzeczywistych zjawisk. Identyfikacja oznacza znalezienie zależności między wejściem a wyjściem na podstawie danych doświadczalnych. Po poddaniu obiektu szeregowi do- świadczeń dobiera się parametry modelu w taki sposób, aby pasowały one do danych doświadczalnych. Identyfi- kacja odgrywa zasadniczą rolę w odniesieniu do obiek- tów i procesów regulacji, gdyż umożliwia poprawne nastrojenie układu regulacji automatycznej. W czasie identyfikacji określane są wartości parametrów modelu, które wykorzystuje się następnie w doborze nastaw regulatora sterującego rzeczywistym obiektem. Autorzy

w artykułach [2],[9],[10],[11],[12],[13],[16],[17] opisali sposoby identyfikowania parametrów systemów dyna- micznych różnych układów.

Podczas modelowania manipulatorów czy robotów trudno jest uwzględnić wszystkie zjawiska, dlatego model matematyczny nie jest dokładnie znany i popraw- na analiza dynamiki układów złożonych wymaga identy- fikacji dynamicznych równań ruchu [3],[4].

Identyfikacja modelu matematycznego z zastosowaniem sieci neuronowych jest jedną z metod [1],[6], która pozwala uzyskać informacje o nieznanych parametrach, przydatnych podczas sterowania czy konstruowania.

Parametry modeli są wykorzystywane również między

innymi w procesie syntezy regulatorów, obserwatorów stanu czy w systemach detekcji uszkodzeń.

2. IDENTYFIKACJA

Rozwiązanie zadania identyfikacji modelu matematycz- nego robota inspekcyjnego przeprowadzono, stosując sztuczne sieci neuronowe. Do opisu ruchu robota [7],[8],[14],[15] podwodnego (rys.1) przyjęto model ma- tematyczny przedstawiony na rysunkach 2 i 3.

Rys. 1. Robot podwodny CAD 3D

Rys. 2. Model matematyczny robota widok 3D

Rys. 3. Model matematyczny robota widok 2D

Postać matematyczną opisu zjawisk fizycznych uzyska- no, stosując równanie Lagrange’a II rodzaju i równania Maggiego. Dynamiczne równania ruchu przedstawiono w postaci [5]

2 2

n1 4 1 2 1 3 2 1 2 5

M = a α +a α +a α +a α -a&& & && & ⁽¹⁾

2 2

n2 4 1 2 1 3 2 1 2 5

M = b α +b α +b α +b α -b&& & && & ⁽²⁾ gdzie:

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

2 R 1

1

2 2

3

2 R 1

r 1-s cos β m +2m 1-s sin β

a = 4H

r 1-s sin β cos γ m +2m 1-s cos β

- 4H

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

1 R

2

3 2

3

2 R

r 1-s cos β m +2m sin β

a = 4H

r 1-s sin β cos γ m +2m cos β

+ 4H

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ^{( )}

2 2

3 2 R 1

2 2

2

2 R 1

2 2

2 R 1

2 2

2 R z 1

2

a =1r 1-s sin β m +2m 1-s 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m 1-s 4

+1r 1-s sin γ m +2m 1-s 4

r 1-s I +2I +2mH 1-s

- H

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

4 1 R

2 2 2

2

1 R

2 2

2

1 R

2 2 2

1 R z

2 x

a =1r 1-s sin β m +2m 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m 4

+1r 1-s sin γ m +2m 4

r 1-s I +2I +2mH

+ +I

H

( ) ( ) ( )

( )

5 1 w t1 u D

p 1

a =r 1-s 0,5F sin γ -W -0,5P -0,5F -0,5Gsin γ M r 1-s

+ H

 

 

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

2 R

1

3 2

3

2 R

r 1-s cos β m +2m sin β

b = 4H

r 1-s sin β cos γ m +2m cos β

- 4H

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2

1 R 2

2

2 2

3

1 R 2

r 1-s cos β m +2m 1-s sin β

b = 4H

r 1-s sin β cos γ m +2m 1-s cos β

+ 4H

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

3 2 R

2 2 2

2

2 R

2 2

2

2 R

2 2 2

2 R z

2 x

b =1r 1-s sin β m +2m 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m 4

+1r 1-s sin γ m +2m 4

r 1-s I +2I +2mH

+ +I

H

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ^{( )}

2 2

4 2 R 1

2 2

2

2 R 1

2 2

2 R 1

2 2

2 R z 1

2

b =1r 1-s sin β m +2m 1-s 4

+1r 1-s cos β cos γ m +2m 1-s 4

+1r 1-s sin γ m +2m 1-s 4

r 1-s I +2I +2mH 1-s

- H

( ) ( ) ( )

( )

5 2 w t2 u D

p 2

b =r 1-s 0,5F sin γ -W -0,5P -0,5F -0,5Gsin γ M r 1-s

- H

 

 

r – promień kół napędowych gąsienice, H – odległość pomiędzy osiami gąsienic, P – siła uciągu, m – masa modułu gąsienicowego, m – masa ramy, I^R, Iz, Ix – masowe momenty bezwładności, β – kąt obrotu ramy robota (rys.5), γ - kąt wzniesienia (rys.5), Wt – siła oporu toczenia gąsienicy, Fw – siła wyporu, FD – siła oporu hydrodynamicznego,α – przyspieszenie kątowe koła napędowego gąsienicę 1, α – przyspieszenie kątowe koła napędowego gąsienicę 2, α – prędkość kątowa koła napędowego gąsienicę 1, α – prędkość kątowa koła napędowego gąsienicę 2, s – poślizg gąsienicy 1, s – poślizg gąsienicy 2.

Równania (1) i (2) przekształcono i zapisano w prze- strzeni stanu jako

( ) ( )

α=Aα+B f α,β,γ +G α,β,γ u(t)&   ⁽³⁾ Dodając i odejmując od dynamicznego równania ruchu robota (3) wyrażenie A α, gdzie A jest odpowiednio dobraną stabilną macierzą projektową [4], otrzymano

( ) ( ) ( )

m m

α=A α+ A-A& α+B f α,β,γ +G α,β,γ u  ⁽⁴⁾ Równanie (4) definiuje strukturę szeregowo-równoległą układu identyfikacji, którą przyjęto w postaci

( ) ( ) ( )

m m ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

α=A α+ A-A α+B f α,β,γ +G α,β,γ u 

 

& (5)

gdzie:

ˆα - estymata wektora stanu α,

( )

ˆ ˆ ˆ

f α,β,γ ^{i G α,β,γˆ}

(

^{ˆ ˆ}

)

- estymaty nieliniowych funkcji występujących w równaniu (4).

Błąd estymacji stanu zdefiniowano w postaci

α=α-α% ˆ (6)

Odejmując równanie (5) od równania (4), otrzymano opis analizowanego zadania identyfikacji w przestrzeni błędów

( ) ( )

m ˆ ˆ ˆ ˆ

α=A α+B f α,β,γ,β,γ +G α,β,γ,β,γ u 

% 

& %

% % ⁽⁷⁾

gdzie:

m m mˆ

A α=A α-A α% (8)

(

^{ˆ ˆ}

) ^{( )}

^ˆ

(

^ˆˆ

)

f α,β,γ,β,γ =f α,β,γ -f α,β,γ% (9)

(

^{ˆ ˆ}

) ^{( )}

^ˆ

(

^ˆˆ

)

G α,β,γ,β,γ =G α,β,γ -G α,β,γ% (10) Do wyznaczenia funkcji ^{ˆf α,β,γ}

(

^{ˆ ˆ}

)

^{i G α,β,γˆ}

(

^{ˆ ˆ}

)

^zastoso-

wano sieci neuronowe. Funkcje ^{f α,β,γ}

( )

^{i G α,β,γ}

( )

mają być aproksymowane za pomocą sieci neuronowych, a więc

( )

f^T f

( )

f

( )

f α,β,γ =W S α,β,γ +ε α,β,γ (11)

( )

G^T G

( )

G

( )

G α,β,γ =W S α,β,γ +ε α,β,γ (12) gdzie:

( )

ε α,β,γf i εG

(

α,β,γ

)

- niedokładność aproksymacji funkcji ^{f α,β,γ}

( )

^{i G α,β,γ}

( )

przez sieci neuronowe,

W i f W - macierz wag połączeń neuronowych, _G

( )

S α,β,γf i SG

(

α,β,γ

)

- wektory funkcji bazowych.

Struktura sieci z radialnym rozszerzeniem funkcyjnym w postaci funkcji Gaussa

( ) (

²

)

j j

S x =exp -β x-c ⁽¹³⁾

gdzie cj oznacza j-te centrum.

Ogólną strukturę układu pokazano na rys. 4.

Rys. 4. Struktura sieci radialnych realizujących aproksymację funkcji ^{f α,β,γˆ}

(

^{ˆ ˆ}

)

^{i G α,β,γˆ}

(

^ˆˆ

)

Przyjmując estymaty funkcji występujących w równa- niach (9) i (10) w postaci

( )

^{fT f}

( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

f α,β,γ =W S α,β,γ ⁽¹⁴⁾

(

^ˆ

)

^{GT G}

(

^ˆ

)

ˆ ˆ ˆ ˆ

G α,β,γ =W S α,β,γ ⁽¹⁵⁾

zależności (9) i (10) zapisano w postaci

(

ˆ ˆ

)

f^T f

(

ˆˆ

)

f

^{( )}

f α,β,γ,β,γ =W S α,β,γ,β,γ +ε% % α,β,γ (16)

(

ˆˆ

)

G^T G

(

ˆˆ

)

G

^{( )}

G α,β,γ,β,γ =W S% % α,β,γ,β,γ +ε α,β,γ (17) gdzie:

( )

εf α,β,γ i ε_G

(

α,β,γ

)

- błędy aproksymacji sieci, W%f i W%_G - błędy estymacji wag sieci.

Równanie (7) przyjmuje postać

( ) ( )

[ ]

T T

m f f G Δ

f G

ˆˆ ˆ ˆ

α=A α+B W S α,β,γ,β,γ +W S α,β,γ,β,γ +B R +R

 

 

& % %

% % ₍₁₈₎

gdzie:

( )

f f

R =ε α,β,γ

,

R =εG G

(

α,β,γ u

) ,

( ) ( )

Δ ˆ ˆ G ˆ ˆ

S α,β,γ,β,γ =u⊗S α,β,γ,β,γ

.

Stabilność układu zbadano na podstawie kryterium stabilności Lapunowa. Wiadomo, że układ dynamiczny będzie stabilny, jeżeli istnieje dla niego funkcja Lapuno- wa [3],[4],[18],[19].

Funkcję tę przyjęto w postaci

T T -1 T -1

f f f G G G

1 1 1

V= α Pα+ trW F W + trW F W

2% % 2 % % 2 % % ⁽¹⁹⁾

Aby funkcja (19) była funkcją Lapunowa, jej pochodna musi być ujemna

( )

( )

T f f

T T T

G Δ

f G

T -1 T -1

f f f G G G

W S α,β,γ,β,γ +ˆ ˆ ˆ ˆ V=-α Qα+α PB +W S α,β,γ,β,γ +

+R +R +trW F W +trW F W

 

 

 

 

 

 

 

%

& % % % %

& &

% % % %

(20)

Uczenie wag sieci przebiega zgodnie z zależnościami

( )

^T

f f f ˆ ˆ

W =-F S α,β,γ,β,γ α PB&% % ⁽²¹⁾

( )

^T

G G Δ ˆ ˆ

W =-F S&% α,β,γ,β,γ α PB% ⁽²²⁾ Z macierzowego równania Lapunowa

E P+PE=-Q=-IT (23)

określono macierz hermitowską

1 2

2 3

p p

P= p p

 

 

 

(24)

rozwiązując równanie

1 2 1 2

11 21 11 12

2 3 2 3

12 22 21 22

p p p p

e e e e -1 0

+ =

p p p p

e e e e 0 -1

   

     

   

     

 

     

(25)

Przyjęto oznaczenie:

h = PB (26)

stąd:

1

2

h= h h

 

 

 

(27)

Ostatecznie algorytm uczenia wag (21) i (22) ma postać

( )

^T

f f f ˆ

ˆ ˆ

W =F S α,β,γ,β,γ α h& % ⁽²⁸⁾

( )

^T

G G G ˆ

ˆ ˆ

W =F S& α,β,γ,β,γ α h% ⁽²⁹⁾ Według przedstawionej procedury przeprowadzono symulację identyfikacji modelu matematycznego robota inspekcyjnego.

Na rys. 5 przedstawiono trajektorię zadaną i założony profil prędkości punktu C robota (rys.6).

Rys. 5. Trajektoria zadana 3D

Rys. 6. Profil prędkości punktu C robota

3. BADANIA SYMULACYJNE

Dokonano identyfikacji z zastosowaniem sieci neurono- wych parametrów robota inspekcyjnego według struktu- ry (rys.7), wykonanej w programie MatlabTM-Simulink, przyjmując jako sygnał wymuszający u(t) moment napędowy silnika (rys.8).

Rys. 7. Struktura identyfikacji sieciami neuronowymi

Układy (rys.7) „sieć neuronowa f” i „sieć neuronowa G”

reprezentuje struktura przedstawiona na rys. 4.

Rys. 8. Sygnały wejściowe

Rys. 9. Prędkości kątowe wałów silników napędowych

f(u) Mn1 Mn2

u(t)

UY

UY Mn1 Mn2 A1p A2p

Robot

Al^

Al~

f ^

Neural network f Al^

Al~

G^

Neural network G

Mux 1

s K*u

I K*u

B K*u

Am1

K*u Am

Al~

Al^

K*u A

Rys. 10. Parametry estymowane

Rys. 11. Błędy estymat

Momenty napędowe wałów silników, otrzymane z zada- nia odwrotnego dynamiki, przyjęto jako sygnały wej- ściowe (rys.8). Estymowane parametry prędkości kąto- wych wałów silników napędowych przedstawiono na rys.

10, które porównano z prędkościami, uzyskanymi w trakcie symulacji zadania odwrotnego kinematyki (rys.9). Dokonując obliczeń zgodnie z zależnością (6), uzyskano błędy estymacji (rys.11). Maksymalny błąd estymacji prędkości kątowych wałów silników napędo- wych wynosi około 0,5% (rys.11).

4. PODSUMOWANIE

Problem identyfikacji parametrycznej składa się z wybo- ru optymalnego modelu z danej klasy i dostosowania jego parametrów w taki sposób, aby odpowiedź modelu na sygnał wejściowy była zbliżona do odpowiedzi obiek- tu dynamicznego. Przeprowadzona identyfikacja modelu matematycznego pozwoliła na identyfikację dynamicz- nych równań ruchu z zastosowaniem sieci neuronowych.

Uzyskane rozwiązania identyfikacji są ograniczone, a zaproponowana procedura może zostać użyta do identy- fikacji, monitorowania obciążeń dynamicznych czy wykrywanie uszkodzeń systemów nieliniowych innych obiektów.

Literatura

1. Buratowski T., Giergiel J.: Dynamics modeling and identification of the Amigobot Robot. “Mechanics and Mechanical Engineering”, International Journal, 2010, Vol. 14, No. 1, p. 65-79.

2. Eykhoff P.: Identyfikacja układów dynamicznych. Warszawa: PWN, 1980.

3. Giergiel J., Hendzel Z., Żylski W.: Kinematyka, dynamika i sterowanie mobilnych robotów kołowych w ujęciu mechatronicznym. Monografia. Kraków: Wydz. IMiR, 2000.

4. Giergiel J., Kurc K., Giergiel M.: Mechatroniczne projektowanie robotów inspekcyjnych. Monografia. Rzeszów:

Ofic. Wyd. Pol. Rzesz., 2010.

5. Giergiel J., Kurc K., Szybicki D.: Modelowanie i symulacja zadania prostego kinematyki i dynamiki robota inspekcyjnego. „Modelowanie Inżynierskie” 2014, t. 21, nr 52, s.51 – 56.

6. Giergiel J., Kurc K.: Identification of the mathematical model of an inspection mobile robot with fuzzy logic systems and neural networks. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2011, 49, 1, p. 209-225.

7. Giergiel M., Buratowski T., Małka P., Kurc K., Kohut P., Majkut K.: The project of tank inspection robot.

“Key Engineering Materials” 2012, Vol. 518, p 375-383. Online available since 2012/Jul/12 at www.scientific.net

© (2012) Trans Tech Publications, Switzerland, doi:10.4028/www.scientific.net/KEM.518.375.

8. Giergiel M., Buratowski T., Małka P., Kurc K.: the mathematical description of the robot for the tank inspec- tion. “Mechanics and Mechanical Engineering”, International Journal, 2011, Vol. 15, No. 4, p. 53-62.

9. Giergiel J., UHL T.: Identyfikacja układów mechanicznych. Warszawa: PWN, 1990.

10. Giergiel M., Hendzel Z., Żylski W.: Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa: Wyd.

Nauk. PWN., 2013.

11. Hendzel Z., Nawrocki M.: Identyfikacja parametryczna manipulatora SCORBOT. „Postępy robotyki” 2006, nr 1, s. 77-86.

12. Kozłowski K. Modele matematyczne dynamiki robotów oraz identyfikacja parametrów tych modeli.

Poznań: Pol. Pozn., 1992.

13. Kozłowski K., Dutkiewicz P.: Modelowanie i identyfikacja w robotyce.

14. Kurc K., Szybicki D.: Kinematics of a International Journal, 2011, Vol. 15, No. 4

15. Mężyk A., Świtoński E., Kciuk S., Klein W.: Modelling and vehicles. “Mechanics and Mechanical Engineering

16. Slotine J.J. E. et al.: Applied nonlinear control. Englewood Cliffs, NJ:

17. Söderström T., Stoica P.: Identyfikacja systemów.

18. Stefański A., Kapitaniak T., Dąbrowski A.: The

delay. In: IUTAM Symposium on Chaotic Dynamics and Control of Systems and Processes in Mechanics, Solid Mechanics and its Applications 2005,

19. Wojewoda J., Stefański A., Wiercigroch M.,

sensitive friction model. “Archive of Applied Mechanics

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

K. Modele matematyczne dynamiki robotów oraz identyfikacja parametrów tych modeli.

Modelowanie i identyfikacja w robotyce. Poznań: Wyd. Pol.

Kurc K., Szybicki D.: Kinematics of a robot with crawler drive. “Mechanics and Mechanical Engineering ol. 15, No. 4, p. 93-100.

Mężyk A., Świtoński E., Kciuk S., Klein W.: Modelling and investigation of dynamic parameters Mechanics and Mechanical Engineering”, International Journal, 2011, Vol. 15, No. 4

Applied nonlinear control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.

Identyfikacja systemów. Warszawa: Wyd. Nauk.PWN, 1997. ISBN 83 Stefański A., Kapitaniak T., Dąbrowski A.: The largest Lyapunov exponent of dynamical systems

IUTAM Symposium on Chaotic Dynamics and Control of Systems and Processes in Mechanics, Solid 2005, Vol. 122, 2005, p 493-500.

Wojewoda J., Stefański A., Wiercigroch M., Kapitaniak T.: Estimation of Lyapunov exponents for a system with Archive of Applied Mechanics” 2009, Vol. 79, Iss. 6-7, p 667-677.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

/creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

K. Modele matematyczne dynamiki robotów oraz identyfikacja parametrów tych modeli. Rozprawy.

. Pozn., 1996.

Mechanics and Mechanical Engineering”,

dynamic parameters of tracked Vol. 15, No. 4, p. 115-130.

.

ISBN 83-01-12158-0.

dynamical systems with time IUTAM Symposium on Chaotic Dynamics and Control of Systems and Processes in Mechanics, Solid

Kapitaniak T.: Estimation of Lyapunov exponents for a system with .

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.