Optyka – I: optyka falowa

- Kanon fizyki WAT, Wydział Nowych Technologii i Chemii, Instytut Fizyki Technicznej W-21

16. Optyka - I

16.1. Optyka falowa:

•

zasada Huygensa,

•

interferencja,

•

spójność fal,

•

dyfrakcja,

•

polaryzacja światła – stan i stopień polaryzacji,

•

ośrodki anizotropowe – elementy dwójłomne,

•

idea holografii.

Zasada Huygensa

Została podana przez Christiana Huygensa w 1678 r. i zakłada się, że światło jest falą (a nie strumieniem cząstek).

Zasada ta głosi, że wszystkie punkty czoła fali można uważać za źródła nowych fal kulistych, a położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych.

Metoda Huygensa daje się zastosować jakościowo do wszelkich zjawisk falowych. Za pomocą fal elementarnych Huygensa można przedstawić zarówno odbicie fal jak i ich załamanie.

3 [„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

4

Interferencja

Jeżeli do punktu przestrzeni dochodzą dwie fale, to chwilowe pole elektryczne w tym punkcie będzie sumą wektorową natężeń pola elektrycznego obu fal

Jaka jest zależność natężenia fali elektromagnetycznej na ekranie od położenia punktu obserwacji?

5

Interferencja fal – suma amplitud

Interferencja jest podstawowym testem na to, czy jakieś zjawisko ma charakter falowy, czy nie.

Do P (położenie zależne od kąta Q) dochodzi światło ze źródeł S₁ i S₂ z różnymi fazami:

E = 𝐸

+ 𝐸

= 𝐸

𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟

− 𝜔𝑡 + 𝐸

𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟

− 𝜔𝑡 =

2𝐸

𝑐𝑜𝑠 𝑘

− 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘

≅ 2𝐸

𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑟 − 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑘∆𝑟/2

Wzmocnienie sygnału jeśli

𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛2𝜋 → 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛𝜆

∆𝑟 = 𝑛𝜆

różnica dróg optycznych jest równa całkowitej wielokrotności długości fali

6

Natężenie światła w obrazie interferencjnym

Żeby złożyć składowe pola elektrycznego E₁ i E₂ dodajemy ich wektory amplitud.

𝐸

= 𝐸

+ 𝐸

+ 2𝐸

𝑐𝑜𝑠𝜑

= 2𝐸

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 2𝐸

2𝑐𝑜𝑠

𝜑/2

= 4𝐸

𝑐𝑜𝑠

𝜑/2

Maksima natężenia (jasne prążki) gdy

_{𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛𝜋 → 𝑠𝑖𝑛𝜃 =}

𝑛𝜆

𝑑

𝐸 = 2 𝐸

𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝐸

𝑐𝑜𝑠 𝜑/2

𝐸

= 4𝐸

𝑐𝑜𝑠

𝜑/2

𝜑 = 𝑘Δ𝑟 = 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃

I= 2𝐼

1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃

𝐼 = 4𝐼

𝑐𝑜𝑠

𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃

2

Koherencja – zgodność między fazami w różnych punktach wiązki światła lub w różnych wiązkach, tj. różnica faz fal świetlnych docierających do danego punktu jest stała w czasie obserwacji.

Źródło światła spójnego → laser

Niekoherentne źródła fal (np. żarówki, słońce)

Brak prążków interferencyjnych

Powód: różnica faz dla fal pochodzą-cych z niekoherentnych źródeł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowa-ny. Natężenie fali (w danym punkcie) jest sumą natężeń od poszczególnych

źródeł. 7

Wiązka światła emitowana przez różne atomy składa się z ciągów fal o skończonej długości (niekoherentnych)

Różnice faz zmieniają się chaotycznie, wskutek czego interferencja nie zachodzi

W ciągu czasu Dt_o=1/2Df, gdzie Df jest szerokością linii, dowolna para fotonów będzie zachowywać względem siebie stałą fazę

Czas ten nazywamy czasem spójności (koherencji) a odpowiadającą mu długość paczki falowej – DL=cDt_o - długością koherencji

Dla linii widm atomowych Dt_o=10-8 _s

Im dłuższy czas spójności tym drganie jest bliższe harmonicznemu

W laserze dryft (płynięcie) częstotliwości jest znacznie mniejszy i dlatego czas koherencji jest dłuższy.

8

Płaska fala monochromatyczna ugina się na szczelinie S₀

Światło dochodzące do ekranu B jest ugięte na szczelinach S₁ i S₂, które działają jak źródła punktowe

Promieniowanie ze źródeł S₁ i S₂ jest całkowicie spójne (różnica faz pozostaje stała w czasie) gdyż jest częścią jednej fali świetlnej ze źródła S₀

Na ekranie C obserwujemy prążki interferencyjne

Półkoliste linie pomiędzy B i C obrazują fale, które rozchodziły by się gdyby któraś ze szczelin była przysłonięta

9

Doświadczenie Younga (1801)

Doświadczenie Thomasa Younga jest historycznie pierwszym doświadcze-niem pokazującym na interferencję światła czyli dowodzącym jego falową naturę ale

10

Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) fal odkrył Grimaldi w XVII w. Polega ono na uginaniu się, czyli odchylenia od prostoliniowości rozchodzenia się światła w pobliżu ciał nieprzezroczystych (przeszkody - np. brzeg szczeliny).

Zjawisko to jest tym wyraźniejsze, im rozmiary przeszkody (np. szerokość szczeliny) są bardziej zbliżone do długości fali

Dyfrakcji ulegają fale wszystkich rodzajów, a nie tylko fale świetlne

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

S

B

C P a)

Dyfrakcji Fresnela - fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe -źródło fal S i ekran C znajdują się w skończonej (bliskiej) odległości od ekranu za szczeliną B.

Dyfrakcja Fraunhofera - źródło S i ekran C znajdują się w dużej odległości od otworu uginającego. Czoła fal padających jak i ugię-tych są płaszczyznami (promienie są równo-ległe) do bardzo odległego ekranu z bardzo odległęgo źródła b)  B 11

Zasada Huygensa zastosowana dla czoła fali płaskiej padającej na otwór. Krawędzie czoła fali ulegają dyfrakcji po przejściu przez otwór. Wielkość dyfrakcji zwiększa się, gdy wielkość otworu maleje, zgodnie z faktem, że falowe właściwości są bardziej zauważalne przy oddziaływaniu z obiektami o rozmiarze porównywalnym do długości fali.

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

12

Dzielimy szczelinę na N stref tak małych, że każda z nich jest źródłem elementarnej fali Huygensa.

Pierwszy prążek ciemny, na ekranie powstaje w miejscach gdzie różnica dróg promieni 1 i 2 od górnych stref obu obszarów równa jest l/2:

[„Fizyka dla szkół wyższych – tom 3”, www.openstax.pl]

Dyfrakcji na pojedynczej szczelinie

𝑎 2sin 𝜃1 = 𝜆 2 → sin 𝜃1 = 𝜆 𝑎 2𝜋 = Φ ≝ 𝑘Δ𝑟 = 2𝜋 𝜆 𝑎sin 𝜃1 → sin 𝜃1 = 𝜆 𝑎

13

Natężenie prążków wytwarzanych w wyniku interferencji światła z dwóch szczelin jest modyfikowane przez dyfrakcje światła biegnącego z każdej ze szczelin

Dyfrakcji na dwóch szczelinach

𝐼 = 𝐼

𝑐𝑜𝑠

𝛽

𝛽 =

𝑠𝑖𝑛𝜃;

𝛼 =

𝑠𝑖𝑛𝜃

14 Z rozważań geometrycznych uzyskujemy związek [www.if.pwr.wroc.pl]

Siatki dyfrakcyjne

𝐼 = 𝐼

𝑠𝑖𝑛

_𝑁

𝜑

2

𝑠𝑖𝑛

𝜑

₂

; 𝜑 = 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃

→ 𝐼 = 𝑁

𝐼

Dla pozostałych kątów natężenie I jest równe I₀ czyli N2 _{razy mniejsze}

Zbiór równoległych jednakowych szczelin odległych o d (stała siatki)

𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛 𝜆

𝜑

= 2𝜋𝑛 →

𝑠𝑖𝑛𝜃

= 𝑛

= 𝑛

Siatki dyfrakcyjne wykorzystuje się do pomiaru dł. fali oraz do badań struktury i natężeń linii widmowych

15

Rozdzielczość obrazów dyfrakcyjnych

Położenie pierwszego minimum dla długiej wąskiej

szczeliny a

𝑠𝑖𝑛𝜃

=

𝜆 𝑎

Położenie pierwszego minimum dla otworu kołowego o średnicy d (kątowy rozmiar obrazu)

Obserwacja gwiazd (obrazów) – role otworu spełnia soczewka skupiająca

Kryterium rozdzielczości Rayleigha:

Obrazy są rozróżnialne gdy centralne max jednego obrazu dyfrakcyjnego przypada w miejscu pierwszego min drugiego obrazu

𝑠𝑖𝑛𝜃

= 1,22

𝜃

= arcsin 1,22

𝜆

𝑑

≈ 1,22

𝜆

𝑑

16

Polaryzacja światła

Światło niespolaryzowane jest sumą dwóch fal spolaryzowanych wzajemnie prostopadle

Fala EM jest spolaryzowana gdy wektory E i B mają ustalony kierunek w przestrzeni

▪ polaryzacja liniowa – E drga w jednym kierunku ▪ polaryzacja kołowa – E zatacza koła

Polaryzacja jest zjawiskiem, które występuje tylko dla fal poprzecznych

Kierunek polaryzacji to kierunek drgań E

Światło wysyłane przez wiele źródeł – atomów jest niespolaryzowane – składa się z wielu różnych kierunków polaryzacji

x y z E B 𝐸

[D. Goldstein: Polarized Light, Marcel Dekker Inc., New York, 2003]:

Polaryzacją nazywamy wektorową naturę światła

17

Stan polaryzacji (SOP) Azymut Q – kąt pomiędzy osią elipsy, a kierunkiem osi Ox

Kąt eliptyczności e - kąt którego tanges jest stosun-kiem długości małej do du-żej półosi elipsy polaryzacji

e=tg(b/a) Ψ→ →𝑟, 𝑡 = 𝐴→ →𝑟, 𝑡 exp 𝑖𝜙 𝑟→, 𝑡 ฐ=> 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑓𝑖𝑧𝑦𝑐𝑧𝑛𝑦 Re[ Ψ→ →𝑟, 𝑡 ] _Ψ→ →_{𝑟, 𝑡 = 𝐸}→ →_{𝑟, 𝑡} 𝐸→ →𝑟, 𝑡 ≡ 𝐴 𝑟→, 𝑡 𝑒→cos( 𝜔𝑡 + 𝑘→⋅ 𝑟→) 𝐷𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑙𝑖 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑘𝑖𝑒𝑗 𝑤 𝑘𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑘𝑢 ′𝑧′ 𝐸→ →𝑟, 𝑡 ≡ 𝐸→_𝑡cos( 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)

[D. Goldstein: Polarized Light, 2003]

Azymut drgania elektrycznego R. wielkość drgania elektrycznego - jego kwadrat jest proporcjonalny do gęstości energii w danym pkt pola R=(a2_+b2₎1/2

Stopień polaryzacji (DOP) [M. Born, E. Wolf, Principle of Optics, Pergamon NY, 1968]

I kąt polaryzatora 0 I P I 𝑃 = 𝐼𝑝 𝐼₀ 𝑃𝜖 < 0, 1 >

Sposoby polaryzacji

Dwie składowe wektora E padającej fali: •prostopadła do płaszczyzny padania, •leżąca w płaszczyźnie padania.

Jeśli +=90, to fala odbita jest całkowicie spolaryzowana. fala spolaryzowana w płaszczyźnie padania α β 900 fala spolaryzowana równolegle ODBICIE n = tg Kąt Brewstera Jeśli +=90, to n=sin/sin=sin/sin(90-)

Wygaszenie lub przepusz-czenie fali jest wynikiem interferencji fali padającej i wytworzonej w materiale polaryzatora E polaryzator: metalowe pręty (mikrofale, fale radiowe), długie cząsteczki (światło)

Fala padająca E_{pad Fala}

przepuszczona

Fala

wytworzona przez prąd E_pręty= -E E=E_pad+E_pręty=0

Fala

przepuszczona =fala padająca

POLARYZATORY

oś polaryzatora – linia prostopadła do prętów

Prawo Malusa

E_przep=E_pad cos

E_pad E_zatrzym E_przep  I = I_mcos2_ polaryzator analizator

Prawo Malusa – natężenie światła spolary-zowanego po przejściu przez analizator jest proporcjonalne do kwadratu cosinusa kąta pomiędzy płaszczyznami polaryzacji światła przed i po przejściu przez analizator (reguła kwadratu cosinusa) Fala padająca E_pad pod kątem do osi polaryzatora Przepuszczona tylko składowa równoległa do osi polaryzatora

Q-4 Polaryzacja światła w układzie dwóch folii polaryzacyjnych

Skręcenie płaszczyzny polaryzacji

polaryzator

fala zupełnie wygaszona część fali przechodzi

0 5 10 15 20 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

Zwiększenie ilości płytek polaryzacyjnych nie zmienia kąta skręcenia, lecz zwiększa natężenie przepuszczonej (i skręconej) fali

E_przep=E_pad cosn _(/n)

Możliwe jest skręcenie płaszczyzny polaryzacji fali

x

y _E z

x E

Ciekłe kryształy mają unikalne własności fizyczne - po przejściu przez CK płaszczyzna polaryzacji fali jest skręcona, lecz fala nie jest osłabiona

Dwójłomność

21

Q-5 Dwójłomność światła w krysztale

Jest to własność ośrodków optycznych do podwójnego załamywania światła (rozdwojenia promienia świet-lnego). Substancje dla których zjawisko zachodzi nazy-wamy substancjami dwójłomnymi.

Terminem tym określa się także różnice między współczynnikiem załamania promienia nadzwyczajnego n_e, a współczynnikiem załamania promienia zwyczajnego n_o.

Dn= n_e - n_o

Zjawisko dwójłomności odkrył w 1669 roku Rasmus Bartholin, zaś wyjaśnił Augustin J. Fresnel w pierwszej połowie XIX w wieku.

Dwójłomność wykazuje wiele substancji krystalicznych, a także wszystkie ciekłe kryształy. Przykładami substancji dwójłomnych mogą być kryształy rytylu i kalcytu.

fala spolaryzowana w płaszczyźnie padania α β 900 fala spolaryzowana równolegle ODBICIE

Zjawisko wynika z faktu, że substancja jest anizotropowa, co oznacza że współczynniki przenikalności elektrycznej ε i wynikająca z niego prędkość światła, stąd współczynnik załamania światła, w krysztale zależą od kierunku drgań pola elektrycznego fali elektromagnetycznej (polaryzacji fali).

W krysztale takim istnieje oś optyczna - kierunek w którym światło

biegnąc nie rozdziela się na dwa promienie, ponieważ prędkość światła jest taka sama dla wszystkich możliwych polaryzacji fali biegnącej w tym kierunku. Istnieją kryształy jedno i dwuosiowe

W krysztale jednoosiowym podczas załamania promień wchodzący do kryształu rozdziela się na dwa, jeden z nich jest to promień zwyczajny, (spełnia prawo Snelliusa), leży on w płaszczyźnie padania, oznaczany jako

o (ang. ordinary). Dla tego promienia kierunek drgań pola elektrycznego

jest prostopadły do jego płaszczyzny głównej.

Drugi to promień nadzwyczajny, w ogólności nie spełnia on prawa Snelliusa, oznaczany jako e (ang. extraordinary). Promień ten nie musi leżeć w płaszczyźnie padania, może się także załamać, gdy promień pada prostopadle do powierzchni kryształu. To w jaki sposób zmieni on kierunek przy takim padaniu, zależy od kierunku osi optycznej w krysztale. Nie załamie się kiedy oś optyczna jest prostopadła lub równoległa do powierzchni na którą pada promień. Dla promienia nadzwy-czajnego kierunek drgań pola elektrycznego jest równoległy do jego płaszczyzny głównej. W krysztale dwuosiowym oba promienie zachowują się jak promienie nadzwyczajne.

Holografia

23

Nazwa hologramu pochodzi od greckich słów hōlos i grápho lub grámma, które po polsku oznaczają: pełna informacja lub cały rysunek. Przyczyną nadania takiej nazwy jest fakt, że hologram przedstawia obraz trójwymiarowy, w odróżnieniu od zwykłej fotografii, która jest dwuwymiarowa. Można również regulować umiejscowienie przestrzeni w hologramie – wirtualny obiekt lub scena może się znajdować „za” kliszą holograficzną, „przed nią” lub też częściowo „za i przed”.

Holografia Fotografia

Hologram rejestruje amplitudę i fazę promieniowania tworząc wzo-rzec interferencyjny zapisany na wysokorozdzielczej emulsji

Zdjęcie zapisuje jedynie natężenia światła odbitego od obiektu (am-plituda) dając na błonie obszary jasne i ciemne

Wzór ten wygląda pod bardzo du-żym powiększeniem jak zestaw prążków wzajemnie nakładają-cych się na siebie

Na kliszy fotograficznej w powię-kszeniu widać jedynie jasne i ciemne punkty

Holografia

24

Wszystko zaczęło się w pierwszej połowie XX wieku. W roku 1920 wybitny polski fizyk, Mieczysław Wolfke, podczas rozważań nad możliwością wykorzystania interferencji fal do zapisywania informacji, zapropo-nował pewien sposób obrazowania na płycie fotogra-ficznej sieci krystalicznych (czyli tego, jak rozłożone są atomy w krysztale). Tym samym podał podstawową zasadę wykorzystywaną w holografii.

Dopiero dwadzieścia parę lat po Mieczysławie Wolfke holografią zajął się Dennis Gabor. Podczas pracy w

1947 roku w Wielkiej Brytanii nad udoskonaleniem mikroskopu elektronowego sformułował on podstawy teoretyczne (jak również w pewnym stopniu ekspery-mentalne) holografii. W celu potwierdzenia swojej teorii odnośnie hologramu wykonywał on doświadczenia zwane fachowo „rekonstrukcją czoła fali”. Już pierwsze artykuły Gabora dotyczące holografii wywołał bezpośrednią reakcję ze strony naukowców z całego świata.

Kryteria klasyfikacji hologramów

25

W ramach holografii optycznej rozróżnia się układy holograficzne i uzyskiwane hologramy według na-stępujących kryteriów:

• rodzaju użytych fal,

• własności holografowanego obiektu,

• położenia ośrodka światłoczułego w stosunku do obiektu i źródła wiązki odniesienia,

• kryteriów teoretycznych stosowanych do opisu procesu holograficznego,

• grubości stosowanego ośrodka światłoczułego,

• sposobu utrwalania obrazu interferencyjnego w tym ośrodku,

• typu użytego źródła światła (lasera).

Hologram odbiciowy

Obraz rzeczywisty jest jakby zawieszony w powietrzu przed hologramem i jest lustrzanym odbiciem przedmiotu holografowanego. Cechami obrazu pozornego są: tożsamość z przedmiotem, przestrzenność oraz zmienna perspektywa.

Dzięki temu można poruszając głową zaglądać za przedmiot i obserwować te jego fragmenty, które na zdjęciu fotograficznym były by zasłonięte.

Produkcja hologranu

Wiązka spójnego światła z lasera two-rzy dobrze określony obraz interferen-cyjny na kawałku foli. Wiązka laserowa jest podzielona przez częściowo po-srebrzane lustro na część światła pa-dającego na obiekt i na cześć trafia-jącą na płytkę światłoczułą

26

Hologram transmisyjny (Gabora)

Ten typ został zaproponowany przez Gabora i pierwszy raz wykonany przez E. Leitha i J. Upatnieksa. Wiązka światła monochromatycznego z lasera rozszcze-piana jest i kierowana na holografowany przedmiot. Klisza światłoczuła umiesz-czona jest za przedmiotem. Na skutek interferencji fal ugiętych na przedmiocie z nieugiętymi na kliszy fotograficznej utworzony zostaje hologram.

27

PODSUMOWANIE

1. Sformułowano zasadę Huygensa oraz podano jej praktyczne zastosowanie 2. Określono co to jest interferencja fal oraz podano warunki kiedy zachodzi 3. Określono warunki na uzyskanie tzw. „jasnego” i „ciemnego” prążka

interferencyjnego

4. Omówiono pojęcie spójności fal – podano rozróżnienie pojęcia spójności czasowej i spójności przestrzennej

5. Określono co to jest dyfrakcja fali oraz określono warunki do jej występowania (widoczności)

6. Omówiono pojęcie polaryzacji fal świetlnych

7. Wskazano dla jakiego typu fal (z klasyfikacji z wykładu - kanon 1) można mówić o polaryzacji

8. Omówiono różnicę pomiędzy pojęciami stopień od stan polaryzacji 9. Wskazano i omówiono sposoby polaryzowania wiązki świetlnej 10.Omówiono fenomenologicznie pojęcie dwójłomności optycznej