Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...

Różniczkowe prawo Gaussa i  co z niego wynika...

Niech ładunek będzie  rozłożony w objętości V 

z ciągłą gęstością  ρ(x,y,z). Wytworzone  przez ten ładunek pole 

elektryczne będzie  również zmieniać się w 

przestrzeni w sposób  ciągły. Obliczmy  strumień tego pola przez 

powierzchnię bardzo małego prostopadłościanu. Strumień  przez ścianki prostopadłe do osi x wynosi

_x= E '⋅ S ' E ' '⋅ S ' '=E '_x−E ' '_xy  z

Ponieważ różnica natężeń E'x ­ E''x jest z założenia bardzo  mała, możemy ją zapisać jako

E '_x−E ' '_x=E_xx x , y , z−E_xx , y , z

E '_x−E ' '_x≈E_xx , y , z∂E_x

∂x  x−E_xx , y , z=∂E_x

∂ x x

Wobec tego mamy

_x=∂E_x

∂x x  y  z=∂ E_x

∂x V

Podobnie liczymy strumień przez ścianki prostopadłe do  pozostałych osi

_y=∂E_y

∂ y V ;_z=∂E_z

∂z V

Całkowity strumień wyniesie

=∂E_x

∂ x  ∂E_y

∂ y ∂E_z

∂ z V

Wyrażenie w nawiasie jest z definicji dywergencją pola  wektorowego E. Zapisując to z użyciem operatora nabla:

=∇ E V

Możemy to przeczytać: dywergencja pola elektrycznego w  danym punkcie jest równa strumieniowi pola elektrycznego 

na jednostkę objętości. Porównajmy to z prawem Gaussa

=Q

₀ = V

₀

Porównując dwa ostatnie równania otrzymujemy

Otrzymaliśmy lokalny związek między natężeniem pola  elektrycznego a gęstością ładunku w danym punkcie.

różniczkowe prawo Gaussa

∇ E= 

₀

Widzimy, że gdy w pewnym obszarze nie ma ładunków  dywergencja natężenia pola zanika. Takie pola nazywa się 

często bezźródłowym.

W miejsce natężenia pola możemy wstawić gradient  potencjału

∇ E=∇ −∇ =−∂²

∂x²∂²

∂y² ∂²

∂ y² =−∇²

Otrzymaliśmy w ten sposób

Jest to równanie różniczkowe umożliwiające znalezienie  potencjału  w przestrzeni, w której znamy rozkład ładunku. 

Do jego rozwiązania potrzebne są zwykle również warunki  brzegowe.

równanie Poissone'a

∇²r =−r 

₀

Jeżeli w danym obszarze nie ma ładunków otrzymujemy  równanie nazywane

Do jego rozwiązania potrzebujemy jedynie warunków  brzegowych.

Obydwa równania należą do najbardziej fundamentalnych  w elektrodynamice teoretycznej, występują również w  mechanice ośrodków ciągłych, teorii grawitacji, zjawiskach 

transportu i wielu innych dziedzinach nauki i techniki.

Zapisaliśmy prawo Gaussa w postaci różniczkowej. 

Możemy podobnie zapisać fakt, że praca przesunięcia  ładunku wykonana na drodze zamkniętej jest równa zeru:

∮

C

F  dl=q

∮

C

E  dl=0 ⇒

∮

C

E  dl=0

Policzmy na przykład wartość całki  po zamkniętym konturze 

skierowanym zgodnie z osią z,  leżącym w płaszczyźnie xy:

 =

∮

 =∂ E_y

∂x −∂E_x

∂y y  x

równaniem Laplace'a

∇²r =0

Zdefiniujmy teraz składową zetową rotacji:

rot E_z= lim

S  0

 

S=∂E_y

∂x −∂E_x

∂y

podobnie definiujemy pozostałe składowe

rot E_x=∂E_z

∂ y −∂ E_y

∂z

rot E_y=∂E_x

∂ z −∂E_z

∂ x

Zerowanie się wszystkich składowych rotacji możemy  zapisać teraz tak:

rot E=0

lub z symbolicznie użyciem operatora nabla

∇ ×E=0

Pole, którego rotacja zanika nazywa się bezwirowym. 

Możemy próbować sobie wyobrazić, że niemożliwe jest  wytworzenie pola elektrycznego o zamkniętych liniach sił.

Warto zwrócić uwagę, że wyprowadzając równania  różniczkowe pola przeszliśmy do opisu jego własności 

lokalnych.

Do naszych równoważnych stwierdzeń dotyczących  zachowawczości pola elektrycznego dodamy jeszcze 

jedno:

Siła kulombowska jest siłą zachowawczą, czyli praca  wykonana przy przesunięciu ładunku między dwoma 

punktami nie zależy od drogi przesunięcia.

Praca wykonana w polu sił elektrycznych przy przesunięciu  ładunku po drodze zamkniętej jest równa zeru.

Pole elektryczne jest polem potencjalnym, to znaczy istnieje  taka skalarna funkcja położenia f, zwana potencjałem,  że

E r=−∇ r

Pole elektryczne jest bezwirowe, to znaczy jego rotacja  zanika w całej przestrzeni

∇× E=0

Policzmy

Jeżeli z trzech wielkości: potencjału, natężenia pola i  gęstości ładunku znamy jedno, to możemy obliczyć 

pozostałe.

­­ Na przykład wychodząc z  potencjału:

⇒ E=−∇  ⇒=₀∇ E

Potencjał równomiernie naładowanej kuli opisany jest  zależnością

= 3Q

8 ₀R1− r² 3 R²

Obliczyć wartość natężenia pola E na powierzchni kuli.

Do przemyślenia w długie i ciemne  wieczory:

Cztery z przedstawionych pól mają w przedstawionym  obszarze zanikającą dywergencję, a trzy znikającą rotację. 

Spróbuj się zastanowić, które z nich mogą mieć te cechy.

(W.M. Purcell, str. 96)