Streszczenie
WątpliwoĞci związane z dokładnym odwzorowaniem modelu rzeczywistego z mo-delem wirtualnym stworzonym w programach CAD mogą mieü istotny wpływ na wyniki uzyskiwane z przeprowadzanych analiz dynamicznych na tych modelach. W niniejszym artykule przedstawiono efekty związane z przeprowadzoną analizą dy-namiczną, opartej na teoretycznej analizie modalnej, w programie Autodesk Inventor, a eksperymentalną analizą modalną przeprowadzoną na rzeczywistym obiekcie. Słowa kluczowe: teoretyczna analiza modalna, analiza MES, eksperymentalna analiza modalna Wprowadzenie
Stosowanie metod analitycznych do rozwizywania praktycznych zagadnie mechaniki orod-ków cigłych przez lata stanowiły ogromny problem dla inynierów. Wraz z rozwojem przyblionych metod numerycznych opartych na metodzie elementów skoczonych (MES) zwik-szały si moliwoci zwizane z analitycznym rozwizywaniem tyche problemów. W midzyczasie jednak radzono sobie z tym problemem poprzez realizowanie odpowiednich eks-perymentów na przygotowanych prototypach. W wyniku tego podejcia powstało wiele metod pomiarowych, które pozwalały dokładnie pozna sposób, w jaki zachowuje si badana konstrukcja w wybranych warunkach.
Współczenie w dalszym cigu mocno rozwijane s te dwa podejcia analizowania konstrukcji mechanicznych, które skutecznie wzajemnie si uzupełniaj. W wielu przypadkach równie kom-puterowe analizy w systemach CAD stanowi pewn form weryfikacji dla wyników uzyskiwanych z eksperymentu przeprowadzonego na rzeczywistym obiekcie i odwrotnie, wyniki uzyskane z eks-perymentu przeprowadzonego na rzeczywistym obiekcie mona zweryfikowa danymi uzyskanymi z analizy komputerowej. W jednym i drugim podejciu pojawiaj si liczne problemy zwizane z warunkami, jakie s przyjmowane podczas ich realizacji. W przypadku obiektu rzeczywistego osoba przeprowadzajca pomiar musi liczy si z zakłóceniami, które mog oddziaływa na układ pomiarowy podczas przeprowadzania eksperymentu, natomiast osoba przeprowadzajca analiz w programach CAD musi jak najdokładniej odwzorowa rzeczywiste warunki obiektu bada, aby moliwie jak najlepiej zbliy si do rzeczywistego obiektu, wykorzystujc operacje, w które wy-posaone jest oprogramowanie CAD.
Jedn z wielu metod realizowanych w celu identyfikacji własnoci dynamicznych konstrukcji mechanicznych a jednoczenie moliwych do zastosowania zarówno w programach CAD jak i w formie eksperymentu na rzeczywistym obiekcie s badania modalne.
144 1. Badania modalne
Badanie modalne to obecnie powszechnie stosowane techniki pomiarowe majce na celu okre-lenie właciwoci dynamicznych konstrukcji mechanicznych. Realizowane s one na dwa sposoby: teoretycznie bd dowiadczalnie. Wynikiem wyjciowym analizy modalnej jest uzyskanie modelu modalnego opisujcego konstrukcj mechaniczn, a składajc si ze zbioru postaci drga wła-snych, czstoci drga własnych oraz współczynników tłumienia. Znajomo tych wielkoci pozwala na okrelenie zachowania si konstrukcji przy dowolnych wymuszeniach, doborze stero-wa w aktywnych metodach ograniczania drga, modyfikacjach konstrukcji w celu osignicia danych charakterystyk dynamicznych, diagnostyce oraz wielu innych zagadnieniach, w których istotna jest znajomo własnoci dynamicznych. Tak widziane moliwoci zastosowa pozwala wy-róni nastpujce rodzaje analizy modalnej [6,7,8,9]:
a) teoretyczna – sprowadzajca si do rozwizania zagadnienia własnego,
b) eksperymentalna – polegajca na pomiarze wartoci wymuszenia oraz odpowiedzi układu, c) eksploatacyjna – polegajca jedynie na pomiarze odpowiedzi dynamicznych układu. 1.1. Teoretyczna analiza modalna
W teoretycznej analizie modalnej celem rozwizania zagadnienia własnego jest znalezienie ma-cierzy czstotliwoci i poszczególnych postaci drga własnych modeli numerycznych rozwaanych układów. Rozwizanie zagadnienia własnego sprowadza si do ułoenia układu równa w zaleno-ci od ilozaleno-ci stopni swobody obiektu bada, którego kady poszczególny człon wyglda nastpujco [4,9]: ݉ݔሷ ܿݔሶ ݇ݔ ൌ ݂ሺݐሻ, (1) gdzie: m – masa układu, c – współczynnik tłumienia, k – współczynnik sztywnoci, ݔሷ – przypieszenie, ݔሶ – prdko, ݔ – przemieszczenie,
݂ሺݐሻ – siła zewntrzna oddziałowujca na układ w czasie t.
Korzystajc z transformacji wektora przemieszcze i jego pochodnych czasowych sprowa-dzamy równanie (1) do bazy przemieszcze uogólnionych [4]:
ݔሺݐሻ ൌ ݍ௫כ ሺݐሻ௫ଵ, (2) gdzie:
p – wektor przemieszcze uogólnionych, q – macierz transformacji.
W praktyce wykorzystuje si macierz q uzyskan z rozwizania przemieszczeniowego zagad-nienia drga swobodnych z pominiciem wartoci tłumienia [4,9]:
Przekształcajc równanie (3) do postaci standardowego zagadnienia własnego mona załoy rozwizanie w postaci:
ݔ ൌ ܣݏ݅݊߱ݐ, (4) ݔሶ ൌ ܣ߱ܿݏ߱ݐ, (5) ݔሷ ൌ െܣ߱ଶݏ݅݊߱ݐ, (6) Przyjmujc załoenie, e istnieje ݉ିଵ, a ߱ i A s odpowiednio czstoci i wektorem postaci drga własnych. Załoenia te przyczyniaj si do spełnienia nastpujcej zalenoci [4]:
ሺ݇ െ ߱ଶ݉ሻܣ ൌ Ͳ ՜ ሺ݉ିଵ݇ െ ߱ଶܫሻܣ ൌ Ͳ, (7) przyjmujc, e:
݉ିଵ݇ ൌ ߚ, (8) ߱ଶൌ ߣ, (9) Sprowadzajc równanie (7) do postaci standardowej wygldałoby ono nastpujco [4]:
ሺߚ െ ߣܫሻܣ ൌ Ͳ, (10) którego rozwizaniem jest zbiór par czstoci oraz wektorów postaci drga własnych [4]:
ሺ߱ଵǡ ܣଵሻǡ ሺ߱ଶǡ ܣଶሻǡ ǥ ǡ ሺ߱ǡ ܣሻ, (11) zapisanych w postaci macierzy czstoci własnych [4]:
ȳଶൌ ۏ ێ ێ ێ ۍ߱ଵଶ Ǥ Ǥ Ǥ ڮ Ǥ Ǥ Ǥ ߱ଶ ǤǤ Ǥ ǤǤǤ Ǥ Ǥ Ǥ ڮ Ǥ Ǥ Ǥ Ǥ Ǥ ߱ଶےۑ ۑ ۑ ې , (12)
oraz macierzy wektorów postaci własnych [4]:
Ȱ ൌ ሾܣଵǡ ܣଶǡ ǥ ǡ ܣሿ, (13) przy czym wektory ܣ s wzajemnie ortogonalne wzgldem macierzy mas, tzn. [4]:
ܣ݉ܣ൜ൌ ͳǢ ݅ ൌ ݆ൌ ͲǢ ݅ ് ݆ൠ ǡ Ͳ ߱ଵଶ ߱ଶଶڮ ߱ଶڮ ߱ଶ, (14) Podstawiajc powysze równania do ogólnego równania róniczkowego ruchu (1) uzyskamy [4]:
ሷሺݐሻ Ȱ்ܿȰሶሺݐሻ Ȱ்݇Ȱሺݐሻ ൌ Ȱ்݂ሺݐሻ, (15) Korzystajc z ortogonalnoci macierzy mas mona zapisa nastpujce warunki pocztkowe [4]:
ൌ Ȱ݉ݔ, (16) ሶ ൌ Ȱ݉ݔሶ , (17) Układy analizowane w rodowisku Autodesk Inventor s rozwizywane zazwyczaj z pominiciem zjawiska tłumienia, tzn. ܿ ൌ Ͳ wraz z uwzgldnieniem sił zewntrznych wymusza-jcych układ ݂ሺݐሻ ൌ ݎݏ݅݊߱ݐ. Dziki czemu równanie ruchu wyglda nastpujco [4]:
146 gdzie:
ݎ – wektor wymusze, ߱ – czsto wymusze.
Algorytmy teoretycznej analizy modalnej s coraz powszechniejszym narzdziem moliwym do wykorzystania w znanych programach CAD, takich jak np. Autodesk Inventor. W niniejszym artykule dwóm rónym metodom analizy modalnej poddano prosty obiekt o wymiarach 40 mm x 40 mm x 1000 mm, którego form rzeczywist i zamodelowan w rodowisku CAD, przedstawiono na rysunku 1. Właciwoci materiału, z którego został wykonany obiekt bada przedstawiono w ta-beli 1.
Rysunek 1. Kształtownik zamkniĊty o profilu kwadratowym ródło: opracowanie własne.
W wikszoci konstrukcji mechanicznych mona zauway wyran struktur non utrzymu-jc pozostałe podzespoły i zespoły w zwartej bryle. Na konstrukcje te składaj si odpowiednie typy kształtowników lub profili powizanych połczeniami rozłcznymi lub nierozłcznymi. Prze-prowadzona analiza teoretyczna i eksperymentalna ma na celu zweryfikowanie dokładnoci w uzyskanych wynikach poszczególnych analiz.
Tabela 1. WłaĞciwoĞci mechaniczne materiału S235JR
ródło: opracowanie własne
Widoczny na rysunku 1 zamodelowany element poddano analizie za pomoc modułu „Analiza napre”. Ten moduł analityczny jest jednym z podsystemów obliczeniowych programu Inventor i został wyposaony w moliwo stosowania metody elementów skoczonych w celu przeprowa-dzenia teoretycznej analizy modalnej. Przygotowania poprzedzajce etap obliczeniowy zawieraj [1,2,3,5]:
• zdefiniowanie sposobu podparcia badanego elementu,
• konwersj wizów wynikajcych ze złoenia i sposobu połczenia brył poszczególnych elementów do postaci umoliwiajcej przeprowadzenie i okrelenie liczby postaci drga.
W zalenoci od rodzaju połczenia wystpujcego pomidzy elementami konstrukcji zostały one zastpione kontaktami tzw. zwizanymi w przypadku połcze nieruchomych i kontaktami typu spryna w przypadku połcze ruchomych. Kontakt zwizany jest równoznaczny ze spojeniem materiału łczonych elementów takich jak np.: połczenia spawane. Natomiast kontakt typu spr-yna umoliwia wprowadzenie pomidzy przylegajce powierzchnie bezmasowego elementu sprystego o współczynniku sztywnoci, który jest ustalany przez uytkownika. Podczas modelo-wania pomijane jest zjawisko tłumienia w przypadku połcze ruchomych, co powoduje e model jest znacznie uproszczony [1,2,3,5].
Na etapie modelowania i przygotowania obiektu do przeprowadzenia teoretycznej analizy mo-dalnej w programie Autodesk Inventor istotnym aspektem jest właciwe zidentyfikowanie warunków brzegowych, które bd wiernie odwzorowywały rzeczywiste warunki pracy badanego obiektu, a jednoczenie warunki te bd zgodne z tymi, w których realizowana była dowiadczalna analiza modalna. Zdefiniowanie warunków brzegowych oraz wprowadzenie ustawie analizy po-zwala na przeprowadzenie symulacji.
Wyniki przeprowadzonej symulacji przedstawiono w tabeli 2. W ustawieniach okrelono zakres czstotliwoci (do 2048Hz) w jakich ma zosta przeprowadzona analiza. Dziki przeprowadzonej symulacji uzyskano trzy postacie drga własnych o czstotliwociach przedstawionych w tabeli 2. Na rysunkach od 2 do 4 przedstawiono poszczególne postacie drga własnych.
Tabela 2. Wyniki analizy modalnej przeprowadzonej w Ğrodowisku CAD Posta drga Czstotliwo [Hz]
1 279,86
2 751,64
3 1420,55
ródło: opracowanie własne.
Rysunek 2. Pierwsza postaü drgaĔ własnych o czĊstotliwoĞci drgaĔ 279,86 [Hz] ródło: opracowanie własne.
Rysunek 3. Druga postaü drgaĔ własnych o czĊstotliwoĞci drgaĔ 751,64 [Hz] ródło: opracowanie własne.
148
Rysunek 4. Trzecia postaü drgaĔ własnych o czĊstotliwoĞci drgaĔ 1420,55 [Hz] ródło: opracowanie własne
1.1. Eksperymentalna analiza modalna
Eksperymentalna analiza modalna w przeciwiestwie do analizy teoretycznej realizowana jest na podstawie pomiarów na rzeczywistym obiekcie. Eksperyment sprowadza si do wymuszenia drga konstrukcji o odpowiednim zakresie czstotliwoci i pomiarze odpowiedzi układu na zadane w sposób impulsowy bd te harmoniczny wymuszenie. Schemat realizacji pomiaru z wymuszeniem impulsowym przedstawiono na rysunku 5.
Przed zastosowaniem metody w praktyce badany układ musi spełni odpowiednie warunki i załoenia, które przedstawiono poniej [8,9,10]:
− układ jest liniowy i jego dynamika moe by opisana za pomoc liniowego układu równa róniczkowych zwyczajnych lub czstkowych. Z załoenia o liniowoci układu moemy sformułowa zasad superpozycji układu,
− układ spełnia zasad wzajemnoci Maxwella; w rezultacie spełnienia tego warunku otrzymu-jemy symetryczne macierze mas, sztywnoci, tłumienia oraz charakterystyk czstociowych, − tłumienie w układzie jest małe lub proporcjonalne do masy lub sprystoci,
−
układ jest obserwowalny i istnieje moliwo pomiarów wszystkich charakterystyk, których znajomo jest niezbdna do znajomoci modelu.Rysunek 5. Eksperymentalna analiza modalna typu SISO (Single Input Single Output) ródło: opracowanie własne.
Zakładajc, e warunki zostały spełnione przechodzi si do badania analizowanej struktury po-budzajc j do drga wymuszeniem impulsowym ݂ሺ߱ሻ. Takiego rodzaju wymuszenie moe zosta zadane młotkiem modalnym, bd wzbudnikiem drga. Reakcja badanego elementu na to wymu-szenie jest w najczstszym przypadku mierzona czujnikiem przypiesze drgaݔሺ߱ሻ.
Rysunek 6. Schemat powstawania poszczególnych podatnoĞci dynamicznych ܪሺ߱ሻ ródło: opracowanie własne.
W trakcie pomiaru, wraz ze wzrostem czstotliwoci wymuszenia, nastpuj zmiany amplitudy w punkcie pomiarowym. Pomimo stałej w czasie siły wymuszajcej, odpowied układu na zadane wymuszenie wzmacnia si w niektórych czstotliwociach układu, a do momentu osignicia peł-nej zgodnoci pomidzy czstotliwoci wymuszenia a jego czstotliwoci rezonansow.
Rysunek 7. Rzeczywista postaü zmierzonej wielkoĞci ܪሺ߱ሻ nazywanej widmową funkcją przejĞcia FRF
ródło: opracowanie własne.
Przetworzenie sygnału czasowego na sygnał czstotliwociowy za pomoc szybkiej transfor-maty Fouriera (FFT) pozwala na wyznaczenie tzw. widmowej funkcji przejcia (FRF). Taka posta sygnału umoliwia znacznie prostsz form wyznaczania czstotliwoci rezonansowych obiektu (rysunek 6 i 7). W zalenoci od zastosowania metody modalnej naley dobra odpowiedni ilo
150
punktów pomiarowych, poniewa liczba ta stanowi o rozmiarze modelu modalnego. Schemat po-wstawania modelu modalnego przedstawiono na rysunku 8.
Rysunek 8. Powstawanie modelu modalnego badanego obiektu ródło: opracowanie własne.
Oprócz uzyskiwanych parametrów modalnych w postaci czstoci drga własnych i współczynników tłumienia, otrzymuje si równie poszczególne postacie drga badanej struktury nazywane równie modami wibracji. Mody wibracji mog mie odmienny charakter: skrtny, gitny oraz gitno – skrtny.
W przygotowaniach do realizacji eksperymentalnej analizy modalnej skonfigurowano układ pomiarowy składajcy si na akcelerometr trójosiowy do rejestrowania dynamicznej odpowiedzi struktury, młotek modalny do wymuszania tej struktury oraz system akwizycji danych LMS Scadas Recorder. Czujnik piezoelektryczny był mocowany do obiektu za pomoc wosku w 20 punktach pomiarowych na całej długoci obiektu badawczego. Przed realizacj właciwego pomiaru przepro-wadzono wstpny test pozwalajcy okreli najlepsze miejsce wymuszenia, które umoliwia wzbudzenie jak najwikszej liczby drga własnych obiektu. Trzeba przy tym równie pamita aby dobra odpowiedni kocówk do młotka modalnego, która sprawi, e warto siły wymuszajcej nie bdzie gwałtownie tłumiona przez obiekt i bdzie obejmowała pełny zakres analizowanej cz-stotliwoci. Zakres czstotliwoci drga w urzdzeniu LMS Scadas Recorder ustawiono na 2048 [Hz]. Wyniki przeprowadzonej eksperymentalnej analizy modalnej przedstawiono w tabeli 3.
Tabela 3. Wyniki z eksperymentalnej analizy modalnej
Posta Czsto [Hz] Wsp. Tłumienia [%]
Posta 1 279.463 0,001
Posta 2 752.122 0,03
Posta 3 1405.607 0,05
ródło: opracowanie własne.
Na rysunkach od 9 do 11 przedstawiono wyniki eksperymentalnej analizy modalnej w postaci poszczególnych postaci drga własnych.
Rysunek 9. Pierwsza postaü drgaĔ własnych o czĊstoĞci 279,46 [Hz] i tłumieniu 0,001 ródło: opracowanie własne.
Rysunek 10. Druga postaü drgaĔ własnych o czĊstoĞci 752,12 [Hz] i tłumieniu 0,03 [%] ródło: opracowanie własne.
152
Rysunek 11. Trzecia postaü drgaĔ własnych o czĊstoĞci 1405,61 [Hz] i tłumieniu 0,05 [%] ródło: opracowanie własne.
2. Analiza wyników
Po przeprowadzeniu bada proponowanymi metodami modalnymi sporzdzono zestawienie poszczególnych wyników. W pierwszej kolejnoci skupiono uwag na pierwszym sporód trzech parametrów modalnych, tj. czstotliwo drga własnych. Porównanie tego parametru z poszczególnych analiz zestawiono w tabeli 4. Skróty uyte w tabeli 4 oznaczaj kolejno: EAM – eksperymentalna analiza modalna, TAM – teoretyczna analiza modalna.
Tabela 4. Zestawienie wyników z obu analiz modalnych
TAM EAM Rónica
Posta 1 279,86 279,463 0,14% Posta 2 751,64 752,122 0,06% Posta 3 1420,55 1405,607 1,06% ródło: opracowanie własne.
Na podstawie wyników przedstawionych w tabeli 4 mona zauway, e rónica jest niewielka i tylko w przypadku jednej postaci drga jej warto przekracza granic 1%. Na rysunkach poniej przedstawiono równie zestawienie poszczególnych postaci drga własnych z obu metod modal-nych.
Rysunek 12. Pierwsza postaü drgaĔ własnych ródło: opracowanie własne.
Rysunek 13. Druga postaü drgaĔ własnych ródło: opracowanie własne.
Rysunek 14. Trzecia postaü drgaĔ własnych ródło: opracowanie własne.
Zaprezentowane powyej porównanie dwóch sporód trzech parametrów modalnych tj.: cz-stotliwoci drga własnych oraz poszczególnych postaci drga pokazuje, e istnieje pomidzy wynikami bardzo due podobiestwo.
154 3. Podsumowanie
Przeprowadzone badania modalne miały na celu porównanie wyników uzyskanych z teoretycz-nej i eksperymentalteoretycz-nej analizy modalteoretycz-nej. Do realizacji tych bada wykorzystano bardzo prosty element w postaci kształtownika zamknitego, aby maksymalnie zmniejszy moliwo zaistnienia błdów pomiarowych bd te obliczeniowych w przypadku nakładania siatki elementów skoczo-nych. Pomimo tego rónica w wynikach zaistniała, chocia jego poziom był bardzo znikomy i nie przekraczał w wikszoci wartoci 1%. Tego typu sytuacja pozwala uwiadomi sobie, e w przy-padku bardziej złoonych elementów, a nawet całych konstrukcji mechanicznych uzyskanie zbienoci w wynikach pomidzy tymi dwoma metodami jest bardzo trudne, nie mniej jednak w przypadku starannego odwzorowania warunków rzeczywistych w programach CAD jest to jak najbardziej moliwe. Najwikszych ograniczeniem w przypadku programów CAD s biblioteki na podstawie, których dobiera si materiał o właciwociach zblionych do tych, które s badane w rzeczywistoci. W przypadku bardziej złoonych konstrukcji do tych problemów dojdzie równie dokładno, z jak zostanie nałoona siatka MES oraz dobór warunków brzegowych.
Modelowanie elementów konstrukcyjnych w programach CAD oraz moliwo przeprowadza-nia w nich skomplikowanych analiz ma w głównej mierze zmniejszy koszty, z którymi zazwyczaj wi si badania dowiadczalne realizowane na przygotowanych prototypach. Nie spowoduj one jednak całkowitego zaniechania prowadzenia eksperymentów dowiadczalnych na prototypach, ale dziki dokładnemu odwzorowaniu rzeczywistego modelu i warunków, w jakich ma pracowa mona sprawi, e finalny obiekt zdecydowanie szybciej uzyska swój optymalny kształt i cechy konstrukcyjne. Co wicej modele stworzone w programach CAD mog posłuy te do weryfikacji modeli rzeczywistych opartych na pomiarach zrealizowanych na rzeczywistych obiektach.
Bibliografia
[1] Idziak P., Kowalski K., Analiza porównawcza wybranych Ğrodowisk CAD wykorzystywanych w obliczeniach elementów konstrukcyjnych maszyn elektrycznych, Pozna University of Technology Academic Journals, No 72, s. 185–195, 2012.
[2] Kpczak N., Pawłowski W., Teoretyczna i eksperymentalna analiza modalna korpusu obrabiarki, Mechanik, Nr 8–9, s. 194–198, 2015.
[3] Kpczak N., Pawłowski W., Teoretyczne badania właĞciwoĞci dynamicznych łóĪ obrabiarki wykonanych z Īeliwa i hybrydowego połączenia Īeliwa z odlewem mineralnym, Mechanik, Nr 8–9, s. 199–203, 2015.
[4] Nowak B., Modelowanie dynamiki układu koĞü – implant. Badania numeryczne i eksperymentalne, Praca doktorska, UKW, Bydgoszcz, 2009.
[5] Pawłowski W., Bojanowski S., Teoretyczna analiza modalna zespołu wrzeciennika przedmiotu szlifierki do otworów, Mechanik, Nr 11, s. 870–874, 2011.
[6] Rusiski E., Czmochowski J., Pietrusiak D., Problemy identyfikacji modeli modalnych stalowych ustrojów noĞnych, Eksploatacja i Niezawodno, Vol. 14, No 1, s. 54–61, 2012. [7] Sitek K., Syta S., Badania stanowiskowe i diagnostyka, WKiŁ, Warszawa, 2011.
[8] Uhl T., Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych, WNT, Kraków, 1997.
[9] ółtowski B., Badania dynamiki maszyn, Wydawnictwo MAKAR, Bydgoszcz, 2002. [10] ółtowski M., Operacyjna analiza modalna w badanich konstrukcji budowlanych.
COMPARISON OF MODAL ANALYSIS METHOD ON THE EXAMPLE OF SIMPLE CONSTRUCTION ELEMENT IN THEORY AND EXPERIMENTAL
Summary
Concerns relating to the accurate representation real model with virtual model created in CAD programs could have a significant effect on the results obtained from the analyzes of dynamic on these models. This article presents the results related the performed dynamic analysis, based on the theoretical modal analysis implemented in Autodesk Inventor and experimental modal analysis conducted on the real object. Keywords: theoretical modal analysis, experimental modal analysis, FEM analysis Michał Liss
Bogdan ółtowski Marcin Łukasiewicz Tomasz Kałaczyski Joanna Wilczarska
Zakład Pojazdów i Diagnostyki,
Instytut Eksploatacji Maszyn i Transportu Wydział Inynierii Mechanicznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy ul. Kaliskiego 7, 85-789 Bydgoszcz
e-mail: michal.liss@utp.edu.pl bogzol@utp.edu.pl
marcin.lukasiewicz@utp.edu.pl tomasz.kalaczynski@utp.edu.pl joanna.wilczarska@utp.edu.pl
