Vraagstukken over elektriciteit en magnetisme; verzameld door G. Wiegand

n

-0 .... 4:-0 " ' 0

""N

VI-..J

1

I1I

1

~IIWi~II

~

Il~

I

I

I

II·

lij

lj

IIIIII

~

III

III~1I1

11 Im 11 1 1 1 11UI IUIIU InUIt I1

~

IIU

VRAAGSTUKKEN OVER ELEKTRICITEIT EN MAGNETISME verzameld door G. WIEGAND BIBLIOTHEEK TU Delft P 1158 3043

" 11 " "" 111

C 279414 "0

w ....

0 ... ~V1 ~Q)

2

Reeksontwikkelingen :

binomiaalreeks:

( 1 + X )n = 1 +

ïï

n x + n(n 2! - 1) 2 x + n(n - 1 3! )(n - 2) x + . . . 3 (voor lxi

<

1; elke waarde van n) bijzondere gevallen:

(1 + X)-l = I - x + x2 - x3 _{+ .. .} (1 + X)I/2 = I + x/2 - x2 /8 + x3/16 + ..• (1 + X)_1/2

= 1

- x/2 + 3x2 /8 - Sx3_{/16 + . . .} Reeksontwikkeling volgens Taylor (MacLaurin):

( af) Àx (a2f) (ÀX)2 f(x o + ÀX)

=

f(x o ) + ax 0

1T

+ ax2 0 ~ + . . . bijzondere gevallen: In (1 + x) = x - x2 /2 + x3/3 - x4/4 + . .. (lxi

<

1) eX

=

exp (x)

= 1+ x/1! +

x2/2! + x3/3! + .. . (elke x) sin x

=

x/1! - x3/3! + xS/S! - . . . (x in rad) cos x = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + . .. (x in rad) tg x = x + x3/3 + 4x s /S + 17x7/31S +... (x in rad)

Griekse alfabet:

a

A alfa IJ

N

nu {3 B bèta _~

:=:

xi 'Y

r

gamma 0 0 omikron

0

À delta 1T TI pi €

E

epsilon p

P

rho ~ Z zêta

a

~ sigma 7J H êta T T tau

{} (e)

e

thêta

v

"(' upsilon

I iota ",(Ij;) eI> phi

K K kappa X

X

chi

À A labda

l/I

'lr psi

VRAAGSTUKKEN ELEKTRICITEIT EN MAGNETISME

VOOR

NI-STUDENTEN

verzameld door G. Wiegand (herziene uitgave)

De vraagstukken zijn bedoeld als hulpmiddel bij de propaedeutische studie voor natuurkundestudenten aan de Technische Hogeschool te Delft.

Bij het college, gegeven door Prof.DrJr. 1. Smidt, wordt "Electromagnetic Fields and Waves" van Paul Lorrain en Dale R. Corson (Second Edition) gebruikt. De hoofdstukken V en VI worden bij dit college niet ter sprake gebracht.

Getracht is de vraagstukken te rangschikken volgens de indeling in hoofdstukken van bovenvermeld boek. Tevens zijn in deze bundel enige examenvraagstukken van de laatste jaren opgenomen.

In dit college worden de "eenvoudige" stroomgeleiding in metalen en de niet te ingewikkelde inschakelverschijnselen als bekend verondersteld.

Aangezien in Lorrain and Corson hieraan geen apart hoofdstuk gewijd is, zijn enige vraagstukken van bovenvermeld type aan het slot van deze vraagstukkenbundel op-genomen.

De verzameling vraagstukken is door leden van de vakgroep algemene natuurkunde, die het onderwijs in Elektriciteit en Magnetisme verzorgen samengesteld ten behoeve van de studie voor het propaedeutische examen. Drs. W.H. Wisman die zijn mede-werking bij deze herziene uitgave verleende wordt hier dank betuigd.

INHOUD

Electrostatica I (1- 31) 5

Electrostatica II (32-40) 15

Electrostatische velden (41-52) 18

Beeldladingen (53-63) 23

Magnetisch veld van elektrische stromen (64-78) 29

Halleffect (79-90) 34

Magnetische velden II (inductie, veldenergie) (91-121) 39

Magnetische velden II (magnetische materialen) (122-135) 52

Maxwell-vergelijkingen en voortplanting van elektromagnetische

golven (136-143) 57

Stroomgeleiding en inschakelverschijnselen (144-155) 61

ELECTROSTATICA I

1. Bereken de kracht, waarmee twee positieve ladingen, elk van 1 coulomb, elkaar afstoten, indien zij zich op een afstand van 1 kilometer van elkaar bevinden.

Neem voor 4-L = 9 x 109 farad/meter.

1Tco

2. Aan één ophangpunt hangen, aan twee isolerende dunne draden met een lengte

JI., , twee massa's m, die gelijke ladingen van Q coulomb bezitten. Bewijs dat de

hoek <{J, die de draden met de verticaal maken, bepaald is door:

1 61Tc omgl2sin3<{J = Q2 cos <{J.

3. Een waterstofatoom is opgebouwd uit een positief geladen kern (proton) en een elektron dat in een cirkelvormige baan om de kern beweegt.

In de zgn. grond toestand is de straal van de cirkelvormige baan a = 0,5 x 10-lOm.

De ladingen van proton en elektron bedragen resp.

+

e en - e; e

=

1,6 x 10-19

c

.

a. Bereken de kracht ten gevolge van de elektrostatische wisselwerking waarmee kern en elektron elkaar aantrekken.

Vergelijk hiermee de kracht waarmee ze elkaar aantrekken ten gevolge van de

gra-vitationele wisselwerking (gravitatieconstante is 6,7 x 10-11 _Nm2_/kg2_;

me

=

9,1 x 10-31 kg: mp

=

1836 me).

b. Bereken de potentiele energie van het elektron in zijn baan. Stel hierbij de

po-tentiële energie als het elektron zich op zeer grote afstand van het proton bevindt nul.

c. Hoe groot is de totale energie van het elektron in zijn baan t.o.v. de toestand waarbij het elektron zich in rust op zeer grote afstand van het proton bevindt?

d. Hoe groot is de ionisatie-energie van een waterstofatoom (uitgedrukt in J en in

elektronvolt)?

4. Een lang recht draadstuk AB, overal even dicht met elektrische lading bedekt

l.

•

•

A

B-2.

_•

_•

A

B p

•

-b

(lading per lengteëenheid: À),

heeft een lengte .Q.,.

a. Bereken de elektrische veld-sterkte in een punt P gelegen op het verlengde van het draad-stuk AB, op afstand b van B. (Zie fig. 1).

b. Bereken ook de potentiaal in het punt P; stel V ~ =

o.

c. Bereken de elektrische veld-sterkte in een punt Q in het middenloodvlak op afstand a er vandaan. (Zie fig. 2).

d. Hoe groot is de elektrische veldsterkte als a

«

JI., ?

e. Bereken in geval (c) de veldsterkte ook met behulp van het theorema van Gauss. f. Stel voor het laatste geval een uitdrukking op voor de potentiaal in een punt van

het middenloodvlak op afstand r van de draad (stel nu de potentiaal nul voor r = _ro).

oppervlakte-ladingsdichtheid

a Cim?

bedraagt. De straal van de schijf is R.

x p

a. Bereken met behulp van de wet van Coulomb de elek-trische veldsterkte in een punt P op de as van de schijf, op afstand x er vandaan. De schijf is opgesteld in vacuo. b. Als R

> >

x, wat is dan de benaderde waarde van de veldsterkte? (Termen met machten I en hoger van

i

t.o.v. I verwaarlozen).

c. Bereken de veldsterkte in (b) ook met behulp van het theorema van Gauss.

d. Bereken de grootte van de veldsterkte E binnen een in vacuüm opgestelde vlakke condensator, waarvan de op-pervlakte van de platen S is, terwijl de afstand van de platen klein is t.o.v. de af-metingen van de platen, als de ladingen van de platen

+

Q en - Q zijn. Doe dit zo-wel rechtstreeks via Coulomb als ook met behulp van het theorema van Gauss. e. Leid ook uit (d) af dat de platen van een dergelijke vlakke condensator elkaar aantrekken met een kracht 1€oSE2.

f. Bereken de potentiële energie van de geladen condensator, als functie van de on-derlinge afstand x van de platen door de potentiële energie van de ene geladen plaat in het veld van de andere plaat te bepalen t.o.v. de toestand, waarbij de platen samenvallen.

6. In de rUImte is een x-as gedefinieerd, waarop zich twee puntladingen bevinden: + Q ter plaatse x = - a en - 2Q ter plaatse x = + a. We stellen de potententiaal V = 0 voor x • "".

a. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking V(x) = O. b. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking E(x)

=

O.

c. Bereken welke arbeid men moet verrichten om een lading van - 3Q te verplaat-sen van x

=

+ 2a naar x

= -

2a.

7. Vier puntladingen Q, - 2Q,

+

3Q en - 4Q bevinden zich aanvankelijk op zeer grote afstanden van elkaar. Men brengt deze puntladingen in de hoekpunten van een vierkant met zijden a.

Bereken de arbeid die men daartoe moet verrichten. 8. Als men aanneemt dat de totale lading van de atoomkern Ze uniform verdeeld is binnen een bol met straal a, bereken dan:

a. de potentiaal op afstand r ,;:;;; a van de kern. Stel V = 0 voor r • "". b. de elektrostatische energie van zo'n kern.

9. Een elektrostatisch veld is gegeven door Ex = 8(x2 - y2)

+

bz; Ey = cxy en Ez = (d

+

2)x

+

by.

a. Bereken de constanten b, c en d door van een veldvergelijking gebruik te maken. b. Bepaal de vergelijking van de veldlijn door P (1,2,0).

c. Bereken het potentiaalverschil tussen P (1,2,0) en Q (3,2,0).

B

Y!Lv:

x

A

-d VI V I _ ' 2

Y = d, voor de verhouding

V

geldt:

V -

sm \{J.

o 0

De afstand tussen de platen is d. Bij P komt een elektron

bin-nen met snelheid

v

_o'

verkregen

doordat het elektron met begin-snelheid nul een

potentiaalver-schil V 0 heeft doorlopen.

a. Toon aan dat als voor het

elektron geldt: vy = 0 voor

b. Toon aan dat in dat geval voor de plaats waar de baan van het elektron plaat B

raakt geldt: x = 2dcofg \{J.

11. Van twee gelijke bolcondensatoren worden de binnenste bollen (stralen = Ra)

al en a₂ genoemd; de buitenste bollen (stralen = Rb) noemen we b I en b₂• De

buitenste bollen worden op potentiaal nul gebracht terwijl al en a₂ elk geladen

worden tot een potentiaal V bereikt is. Daarna wordt de verbinding van b₂ met de

aarde verbroken en vervolgens al met b₂ geleidend verbonden. Stel Vaarde = V _ = O.

a. Hoe groot is nu het potentiaalverschil tussen a₂ en b₂ ?

b. Bereken de potentiaal V' van al'

C. In welk geval is V' ~ V, zodat door de serieschakeling een bijna twee maal zo

grote spanning wordt verkregen?

12. In een beperkt gebied is er een elektrisch veld dat voldoet aan de vergelijkingen:

Ex = 2 cxz

I

Ey = 2 cyz (c en R zijn constanten)

Ez = c(x2 + y2 + 3z2 _ R2)

In dat gebied bevindt zich geen polariseerbaar medium.

a. Bereken de volumieke ladingsdichtheid p van de ruimtelading als functie van de

coördinaten.

b. Toon aan dat het veld een potentiaalveld is.

o

x

c. Bereken (op een constante na) de potentiaal V(x,y,z).

d. Er is nog gegeven dat de ruimte op de in de figuur aangegeven wijze begrensd is door een dunwandige metalen halve bol en een aanslui-tende dunne, metalen, cirkelvor-mige vlakke plaat. Toon aan dat het niet strijdig is met de vorige uitkomst.

e. Bereken de totale ruimtelading in die begrensde ruimte.

f. Bereken de totale oppervlaktelading op de binnenkant van de vlakke plaat.

g. Bereken de totale oppervlaktelading op de binnenwand van de halve bol (gebruik

daarbij de vorige uitkomsten, maar leg wel goed uit waarom dat mag).

13. Een bepaalde bolsymmetrische ladingsverdeling leidt tot een (bolsymmetrisch)

'i

i I

i

, door

Ê

=

~

(r3 - r) Kr' EO

a. Bereken de potentiaal Ver) op een afstand r van het centrum als de potentiaal in het centrum nul is.

b. Bereken de waarde van re waarvoor Veen extreme waarde heeft.

c. Kunt U zonder een berekening uit te voeren, maar beredeneerd aangeven hoe groot de lading is, die omvat wordt door een bol met straal re?

d. Bereken de lading

Q

binnen een bol met een willekeurige straal r. e. Bereken de ruimteladingsdichtheid p als functie van r.

14. Tussen twee oppervlakken van een cilindercondensator, waarvan de lengte Q, is, bevindt zich ruimtelading, waarvan de dichtheid alleen van de afstand r tot de as afhangt. De elektrische veldsterkte is in de tussenruimte naar buiten gericht; de

.grootte ervan is E = ~. De buitenste cilinder is geaard. De straal van de binnenste r

cilinders is Rpdie van de buitenste R_{2 ;} Rl' R₂

«

Q,.

a. Bereken de grootte van de totale ruimte lading tussen de cilinders. b. Bereken de potentiaal van de binnenste cilinder.

c. Bepaal de dichtheid van de ruimtelading als functie van r. d. Hoe groot is de lading van de binnenste cilinder?

e. Hoe groot is de lading op de binnenwand van de buitenste cilinder? 15. z I I

..L---~--y

,,'.. D "C

...

A B

x

In de getekende kubus hangt de elek-trische potentiaal van de plaats af volgens V = _{Vo e-}x/a + by.

De ribbe van de kubus is c. Hoekpunt D van de kubus valt samen met de oor-sprong. Het grondvlak valt samen met het vlak z = O .

a. Bepaal Ex' Ey en Ez.

b. Bepaal de omvatte lading door de kubus.

16. Een ongeladen zeepbel heeft een straal R. Men brengt er een lading Q op. Ten-gevolge daarvan wordt de straal groter. Met welk bedrag ÁP moet men de buiten-druk verhogen, opdat de straal weer de oorspronkelijke waarde R krijgt?

17. Voor de potentiaal veroorzaakt door een elektrische dipool geplaatst in de oor-

.. ..

p. r

sprong op grote afstand r: V = - - 3 .

41T€or -+

3erCer •

p)

-

P

..

r

Ga na dat E= 3 als er =r'

41T€or

18. In een punt

Q

bevindt zich een elektrische dipool, waarvan het moment pis. a. Bewijs dat de potentiaal in een punt P op grote afstand r van de dipool gegeven wordt door V R = P cos '{J =

~

.

41T€or2 41T€or3 ..

b. Leid uit de formule van de potantiaal af de componenten Er en E.,o van E. c. Men heeft nu twee dipolen I en H, in één vlak en op grote afstand r van elkaar

gelegen. Hierbij is r de verbindingslijn

l

+q)

r

~;q2

~_-q-)---L~_~--I II

met de middens der dipolen. De dipool-momenten zijn PI en P2'

Dipool I maakt een hoek ~ met de ver-dingslijn r, dipool II maakt een hoek

e

2 hiermee. Bepaal in grootte en rich-ting het veld van dipool I ter plaatse van dipool II.

d. Kies nu als nulniveau van de potentiële energie van dipool II ten gevolge van het veld van dipool I die stand, waarbij dipool II een hoek

e

2 = 0 maakt met r en

be-paal de potentiële energie van dipool in de stand waarbij () 2

*-

0 is.

e. Wat zou nu de potentiële energie van dipool 11 in stand () 2

*-

0 worden, indien men r + 00 als nulniveau gekozen had?

19. Men plaatst een dipool iS in een elektrisch veld

Ê.

a. Stel een uitdrukking op voor de potentiële energie van de dipool (nulniveau van

potentiële energie is die stand waarbij de dipool 1 staat op het lokale veld).

b. Bereken nu de potentiële energie van dipool IJ geplaatst in het veld van dipool

PI

I, uitgedrukt in r, () l ' ()2' PI en P2

(zie figuur).

De dipolen liggen in één vlak, () 1 en ()2 zijn de hoeken welke PI

(dipool-moment dipool I) en P2 dipoolrno-ment dipool 11) maken met de

ver-bindingslijn r, die de middens der beide dipolen verbinden.

20. Een cirkelvormige schijf met straal R is aan één zijde homogeen geladen; de oppervlakteladingsdichtheid is

a.

p

a. Toon aan dat de potentiaal V_{p t.O.V.} 00 in een punt P op

de as van de schijf gelijk is aan

ff-(J

x2 + R 2 - X),

o

waarin X de afstand is van het middelpunt van de

schijf tot P. Stel weer V = 0 voor r + 00. b. Bereken de veldsterkte Ep in P (x ;;;. 0).

Leid hieruit benaderde uitdrukkingen af voor x

< <

R

en voor

x»

R.

c. Bereken de kracht op een elektrische dipool met dipoolmoment

p,

die zich op de as bevindt in een punt op afstand x van de schijf;

iS

is van de schijf af gericht.

21. Een dipoolmolecuul (a) met dipoolmoment

iS

ter grootte van 4,8 x 10-30 coulombmeter bevindt 'zich op een afstand van 10-8 m van een positief geladen ion (b) met lading +2e (e = 1,6 x 10-19_).

De plaatsvector

r

is van het dipoolmolecuul naar het ion gericht. De hoek tussen

iS

en ris 90°.

P

a

It---'l ..

-:-+

a. Bereken het moment van het koppel dat het dipoolmolecuul in het veld van het ion ondervindt.

b. Bereken de elektrostatische krachten (richting en grootte) die het molecuul en het ion op elkaar uitoefenen.

c. Bereken de elektrostatische potentiaal die de dipool ter plaatse van het positieve ion opwekt.

d. Het dipoolmolecuul bestaat nader beschouwd uit twee ladingen - e en + e die zich op een afstand van 3 x 10-11 _{m van elkaar bevinden.}

Tot op welke afstand van het midden van dit molecuul is op de verbindingslijn van

- e naar

+

e van de dipool de potentiaal binnen I % correct gegeven door de formu-le: V = - p - ?

41T€or2

22. Twee homogene lijnladingen met totale ladingen

+

Q en - Q bevinden zich op

~

~~}'

R -' / -' -'

"

/ -'

"

M~~~ ~ ___ ±Q __ '- Cl. _.... ... '-_.... ... ' ... '.

-Q

concentrische cirkelbogen in een vlak.

De eindpunten van beide bogen liggen op mid-dellijnen die een hoek 2a met elkaar maken, de

stralen van de cirkels R en R + a (zie figuur),

terwijl a niet klein is t.O.V. R.

a. Bereken de veldsterkte in het middelpunt M

van de cirkels .

b. Bereken de potentiaal (t.o.v. het oneindige) in M.

c. Bereken de plaats van de ladingsmiddelpunten van de lijnladingen. d. Hoe groot is het dipoolmoment van het geheel?

(Niet uit vraag a, want de afstand a is niet klein t.O.V. R!).

23. Een elektrische quadrupooi wordt gevormd door een lading - 2e in de oor-sprong en de ladingen + e in de punten (± a,O,O).

Toon aan dat de potentiaal V op een afstand r, groot t.O.V. a bij benadering V = ea2(3 cos28 - 1) is, waarbij 8 de hoek tussen r en de verbindingslijn door

41T€or3 de ladingen is.

24.

-- ""'-1-- "

,

\

--,'

0"

_ I

-+ , \ m 1 ~ \ / ~ E o

"

...

-

- ; " ,

zich in een geleider.

a. Toon aan dat het middelloodvlak van een elektrische dipool een equipotentiaalvlak is. Daaruit volgt dat de formule voor de potenti-aal t.o.v. het oneindige V

=

P cos: ' ook geldt

41T€or t.o.v. dit vlak als nulniveau.

b. In een uniform elektrisch veld Eo wordt een elektrische dipool

p

geplaatst, waarvan de rich-ting gelijk is aan die van Eo'

Bewijs dat het resulterende veld een potentiaal heeft die op een bepaalde afstand Ro van de dipool constant is. Bereken de straal Ro van dit bolvormig eq uipotentiaaloppervlak.

c. Dezelfde dipool wordt nu geplaatst in het middelpunt van een bolvormige holte met gege-ven straal R (niet Ro uit b); de holte bevindt Bereken de ladingsdichtheid aan het geleideroppervlak in A en in B (zie figuur),

25.

isolerende

stelen

aarde

Tussen de ladingen Q I en Q2 en de potentialen VI en V 2 van de geleiders bestaat het volgende verband:

VI =1'l1 Q I +1'12 Q 2

V 2 = 1'21 QI + 1'22 Q2' waarin l' 11' 1'12' 1'21 en 1'22 gegeven constanten zijn. Stel dat aanvankelijk beide geleiders ongeladen zijn.

a. Hoeveel arbeid moet men verrichten om een lading Ql op de eerste geleider te brengen?

b. Hoeveel arbeid moet men verrichten om hierna een lading Q2 op de tweede ge-leider te brengen?

c. Hoeveel energie bevat het elektrische veld, wanneer de ladingen der geleiders Q 1

en Q2 zijn?

d. Stel nu nogmaals een uitdrukking op voor de totale, onder c) berekende veld-energie, door de onder a) en b) genoemde stappen in omgekeerde volgorde uit te voeren: eerst de lading Q2 op de tweede geleider brengen en daarna Q 1 op de eerste.

e. Welk verband tussen l' 12 en 1'21 volgt uit de onder c en d gevonden uitdrukkin-gen voor de totale veldenergie?

26.

A

x

d

l

I

B

Tussen twee evenwijdige grote vlakke metalen platen A en B, met oppervlakte S en op af-stand d

< < VS

van elkaar ge-plaatst bevindt zich een ruim-telading met een constante ruimteladingsdichtheid. De to-tale positieve ruimtelading be-draagt Q coulomb en men geeft de platen een potenti-aalverschil:

_ J Qd

VA - V B - 4€OS·

a. Bepaal E als funktie van x.

b. Bepaal de grootte en het teken van de lading op de binnenkant van elk van de platen.

27. In een beperkt gebied is een elektrisch veld t.o.v. rechthoekig coördinatenstel-sel gegeven

Ex = ax + by + c

Ey = bx - ay

+ c

(a, b en c zijn positieve constanten) Ez = c.

a. Is het veld een potentiaalveld? Uw antwoord motiveren. b. Bevindt zich in dit gebied lading? Uw antwoord motiveren.

c. In het zich in het bedoelde gebied bevindende punt (0,0,0) brengt men een elek-trische dipool

iJ

gericht langs de positieve x-as.

Bereken de componenten van de kracht op deze dipool.

d. Bereken de componenten van het krachtmoment op deze dipool.

28. Tussen twee evenwijdige vlakke metalen platen A en B bevindt zich een posi-tieve ruimtelading. De dichtheid van deze lading op een afstand x van A is

P = ax2. De potentialen van A en B zijn V 0' de afstand van de platen is d. a. Bereken de potentiaal in de ruimte tussen A en B áls funktie van x.

b. Bereken de dichtheid van de oppervlakteladingen, die zich aan de binnenkanten van de platen A en B bevinden.

29. Drie dunwandige metalen bollen zijn concentrisch opgesteld. De stralen zijn R, 2R en 3R.

Op de binnenste en de buitenste bol is een positieve lading Qo aangebracht en op de middelste bol een onbekende lading Qx. De middelste bol heeft een potentiaal nul.

a. Hoe groot is nu de lading van de middelste bol?

b. Hoe is deze lading over de binnen en buitenkant van de middelste bol verdeeld? c. Bereken de veldenergie in de ruimte tussen eerste en tweede bol.

30. In een punt A bevindt zich een vaste elektrische dipool, waarvan het moment

iJ

is; in een punt B bevindt zich een vaste positieve elektrische puntlading Q. De vector

p

is naar B gericht; de afstand AB is Q,.

a. Een puntlading die vrij kan bewegen is in het midden Van AB in evenwicht. Is het evenwicht labiel of stabiel en welke betrekking is er dan tussen m, Q en Q,? b. De punt lading in het midden van AB heeft een positieve lading q; de massa er-van is M.

Door een overigens te verwaarlozen stootje in een richting loodrecht op AB ver-laat de puntlading het lijnstuk AB. Onder invloed van de veldkrachten gaat hij langs een gekompliceerde baan naar "het oneindige".

Welke snelheid heeft de puntlading daar, uitgedrukt in Q, q, m en M. (Verwaar-loos straling).

31. Twee. even grote vlakke metalen platen A en B zijn op een afstand van 6 mm tegenover elkaar gezet.

Zij zijn verbonden met een batterij van 600 Volt; A heeft de hoge potentiaal. De oppervlakte van de platen is 0,04 mm2. Men verbreekt de verbindingen met de batterij en schuift een ongeladen even grote derde vlakke metalen plaat C tussen A en B. De dikte van C is 2 mm; de plaat komt op een afstand van 1 mm van B te staan. De platen hebben elkaar niet aangeraakt.

a. Bereken VA - V

_c

en V

_c

-

VB'

b. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. Men gaat nu weer uit van dezelfde begintoestand. Men laat de verbindingen met de batterij echter bestaan en schuift dan plaat C op dezelfde plaats tussen A en B. c. Hoe groot is nu VA - V_{c ?}

d. Bereken de verhouding van de ladingen van plaat A vóór en na het inschuiven van C.

15

ELECTROSTA TICA 11, DIELEKTRICA

32. Een dunne schijf van elektrisch isolerende stof (een elektreet) is permanent elektrisch gepolariseerd in een richting loodrecht op de schijf. De polarisatie is ge-richt van zijvlak a naar zijvlak ~. De dikte van de plaat is d. De schijf heeft geen oppervlaktelading en er zijn geen ladingen of elektrisch gepolariseerde lichamen in de omgeving ervan.

a. Bereken het potentiaalverschil VA - V B tussen twee punten A en B, gelegen in de zijvlakken a en ~, niet te dicht bij de randen ervan.

b. Hoe groot is de veldsterkte in een willekeurig punt buiten de schijf, relatief dicht bij het midden van de schijf gelegen?

33. Een dunne, planparallelle schijf is loodrecht op de schijf gepolariseerd. De grootte van de polarisatie is P en de richting ervan is van zijvlak A naar zijvlak B. De schijf is ongeladen. Op beide zijvlakken wordt een dunne laag van hetzelfde materiaal aangebracht. De dikte van de schijf is d.

a. Men brengt tussen de metalen lagen een geleidende ,verbinding aan. Hoe groot is dan de dichtheid van de oppervlaktelading aan de binnenzijde van de metalen laag op A en welk teken heeft deze lading? (Ondersteld wordt dat de polarisatie door het aanbrengen van de platen niet verandert.)

b. Men verbreekt de geleidende verbinding. Daarna neemt door een of andere oor-zaak de polarisatie af tot ip; de richting ervan blijft ongewijzigd.

Hoe groot is nu het potentiaalverschil VA - V B ?

34. Een massieve bol van isolerend materiaal is uniform gepolariseerd. De polarisa-tie is

P.

De bol bezit geen vrije lading. Hij is opgesteld in een oorspronkelijk veld-vrije, luchtledige ruimte.

B Bewijs dat in de bol de veldsterkte gelijk is aan:

CD

I pi - : ___ A

Ë=

_L

3Eo

35. Een oneindig lange cilinder bestaande uit een isotroop lineair diëlektricum is uniform gepolariseerd in de richting loodrecht op de cilinderas. De polarisatie is

P

.

Bewijs dat geldt:

Ë

= - -2

P

.

EO

36. Een dunne vierkante plaat van een diëlektrisch materiaal is uniform gepolari-seerd. De polarisatie-vector

P

is evenwijdig aan één van de lange zijden. De dikte b van de plaat is zéér veel kleiner dan de lengten a van de acht zijden. Bereken

Ë

en

D

in het centrum van de plaat, neem de richting van

P

als positieve richting. 37. Zijn de volgende beweringen goed of vals?

oDx

0fy

aDz

a. De betrekking

Tx

+

Y

+

Ol

= Pware geldt alleen voor een lineair, isotroop

en homogeen medium (L.I.H. medium).

. 02y a 2y 02y Pware

b. De betrekking - -

+ - - +

- -

= - - -geldt voor ieder lineair isotroop

ox

2 _{oy2 OZ2 EOEr}

medium (L.I. medium).

a 2 y 02 Y 02 Y - (p + p . )

D b t kki

+

+

-

ware POIsson Idt lt"d

c. e e re ng - - - -- ge a IJ .

ox

2

ol

OZ2 EO

38. Een vlakke condensator is geheel opgevuld met een diëlektricum waarvan de

A

x

cl

B relatieve permittiviteit is gegeven door de

ver-gelijking: Er = I + ~a. Hierin stelt x de afstand tot de plaat A voor en is a een positieve kon-stante. De oppervlakte van de platen is S, de afstand van de vlakke platen is d. Er geldt dat

d

«VS

.

a. Wat is de kapaciteit van deze condensator?

b. Bereken de polarisatieruimteladingsdichtheid

Pp in het diëlektricum als funktie van x als het potentiaalverschil tussen de platen Y bedraagt.

39. Van twee concentrische dunne metalen boloppervlakken heeft het binnenste een buitenstraai Rl en het buitenste een binnenstraai R₂. De buitenste bol is geaard

(potentiaal nul), de binnenste heeft een lading QI' In de ruimte tussen de bollen bevindt zich een ruimtelading met een overal even grote ruimteladingsdichtheid p.

Men mag voor de tussenruimte Er = I stellen.

a. Bereken de veldsterkte in de tussenruimte als funktie van r. b. Bereken de lading Q2 van de buitenste bol.

C. De in a) berekende veldsterkte kunt U schrijven in de vorm E = ~ + Br. r'

-Bereken de potentiaal van de binnenste bol, uitgedrukt in A, B, Rl en R2'

d. Bereken de totale veldenergie (wederom uitgedrukt in A, B, Rl en R2), 40.

at

ad

-'-~

I I

~

V

I"'

~

~

~

~

~

...

....

R

-

-=.,?-Tegen één van de platen van een vlakke condensator wordt een laag diëlektricum aangebracht die de condensatorplaat geheel

bedekt (zie figuur). Het diëlektricum is

aan één zijde bedekt met vrije lading. De oppervlakteladingsdichtheid van deze vrije

lading is (aan de linkerzijde) - af' De vrije

lading is zo groot dat de gebonden

opper-vlaktelading geen rol speelt,

De rechterplaat van de condensator is

ge-aard en is bovendien via een weerstand R verbonden met de linkerplaat, Het opper-vlak van de platen is A, de dikte van het

diëlektricum is ad en van de luchtlaag al'

De relatieve permittiviteit van het

diëlek-tricum is Er' Randeffecten worden

verwaar-loosd,

a. Bereken de oppervlakteladingsdichtheden van de op de platen geinduceerde la-ding,

b. Stel de differentiaalvergelijking op waar de oppervlakteladingsdichtheid op de

linkerplaat, a I ' aan moet voldoen wanneer de afstand tussen de platen zodanig

wordt gevarieerd dat geldt:

al = _ao

+

b cos wt

ELECTROSTA TISCHE VELDEN 111

41. Een massief stuk van een isolerende stof heeft de vorm van een langgerekte om

-wentelingsellipsoïde. De lengte van de lange as is .Q,; de oppervlakte van de, cirkel-vormige, dwarse doorsnede door het midden is S. Het lichaam is geplaatst in een oorspronkelijk veldvrije, lege ruimte. Het materiaal is uniform elektrisch

gepolari-B

A

c

seerd in de richting van de lange as; het heeft geen ware (vrije) lading. De polarisa-tie is P. In de stof is de veldsterkte overal

p

- 0,1 € .

o

A, B en C zijn op het oppervlak gelegen punten; A en B op de as, C in het midden-vlak.

a. Bereken VA - VB·

b. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van C?

c. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van A?

d. Bereken grootte en teken van de totale polarisatielading (poissonlading) op de rechterhelft van de ellipsoïde.

42. Een massieve bol met straal R, van isolerend materiaal met Er = 3 is, wordt ge -bracht tussen de platen van een vlakke condensator. De spanning over de conden-sator is Vo' de afstand van de platen is a.

R is klein t.o.v. a. De bol wordt ten gevolge van het veld Eo van de condensator gepolariseerd.

Bereken het dipoolmoment van de bol (uitgedrukt in Vo' R en a). 43.

v

o

(zie figuur). F a

Een vlakke condensator bestaat uit twee vierkante platen met zijden a op onder-linge afstand b (b «a). De condensator is en blijft aangesloten op een spannings-bron met constante spanning VOo Door een plaat met dikte b kan de ruimte tussen de platen geheel of gedeeltelijk worden opgevuld met een diëlektricum waarvan Er = 4 a. Druk de waarde van de elektrische veldenergie U van de condensator uit in de gegevens als het diëlektricum er voor een lengte x insteekt.

b. Druk de lading Q op de geleidende platen van de condensator uit in de onder a. beschreven situatie.

c. Bereken de waarde van de kracht F, waarmee het diëlektricum in het veld wordt getrokken.

19

44. Een massieve bol van isolerend materiaal is uniform gepolariseerd. De polarisa-tie is

P.

De bol bezit geen vrije lading. Hij is opgesteld in een oorspronkelijk

veld-B

~

0

A

vrije, luchtledige ruimte. ... In de bol is de veldsterkte

Ê

= -

3~

.

o ...

a. Bereken de elektrische veldsterkte E in de punten A en B onmiddellijk buiten de bol uitgedrukt in

P

.

b. Idem voor een willekeurig punt S onmiddellijk bui-ten de bol uitgedrukt in de polarisatie P en de hoek cp. 45. Op een diëlektrische bol met straal R bevindt zich een uniforme, vrije oppervlakte-lading met een oppervlakteoppervlakte-ladingsdichtheid uf' De relatieve permittiviteit van het diëlektricum is Er' De bol bevindt zich in vacuüm.

a. Hoe groot is de absolute waarde van de sprong van de elektrische veldsterkte aan het oppervlak van de bol?

b. Wat is de potentiaal in het centrum van de bol indien de potentiaal van het on-eindige gelijk aan nul wordt gekozen?

c. Hoe groot is het dipoolmoment van de gebonden ladingen in een halve bolschil met binnenstraai r en buitenstraai r + dr (r

<

R)?

46. Een vlakke condensator is gedeeltelijk in een wijde bak met een niet geleidende vloeistof gedompeld. De platen zijn rechthoekig; de lengte van de horizontale zijde is b;

de afstand tussen de platen is a. De soortelijke massa van de vloeistof is p: de relatieve

per-s

01---"'1

- ... ---- V

-=r-r-

n

h

mittiviteit ervan is Er'

a. Als schakelaar S gesloten wordt, geeft de spanningsbron aan de platen het constante potentiaalverschil V. De vloei-stof stijgt daarna over een hoogte h. Capillaire werkingen worden buiten beschouwing gelaten. Hoeveel veranderen door die stijging de potentiële energieën van:

1. het elektrische veld tussen de platen;

2. het zwaartekrachtsveld; 3. de spanningsbron? Schets in één grafiek het verloop van die potentiële energieën en van de totale po-tentiële energie met de hoogte h.

b. De vloeistof heeft aanvankelijk door zijn beweging nog kinetische energie, die door wrijvingskrachten in warmte wordt omgezet.

De meniscus komt daardoor in een bepaalde evenwichtsstand (h = hl)' Wat kunt U zeggen van de totale potentiële energie die bij a) berekend is, voor de eindstand h = hl? Bereken op grond van Uw overweging hl'

47. Een diëlektricum is homogeen en isotroop, maar niet lineair. In het diëlektri-cum zijn

E

en

D

dus gelijk gericht; de relatie tussen hun grootten is de volgende:

I -AE

D = Eo (E

+ -

e -AE Eo), waarin A en Eo constanten zijn. I + e

a. Tot welke verzadigingswaarde nadert de elektrische polarisatie P als de

veldsterk-te in het medium sveldsterk-terk toeneemt?

B

E

b. Binnen het diëlektricum, nabij een punt B van het oppervlak ervan,

is de grootte van de veldsterkte

E

=l

_A'

De richting maakt met naar binnen gerichte normaal in B een hoek a; tg a =

i.

Bereken de normale en tangentiële component van de veldsterkte buiten het diëlek-tricum, in de onmiddellijke nabijheid van B.

48. Een oneindig lange, holle cilinder van diëlektrisch

materiaal is uniform gepolariseerd in een richting loodrecht op de as.

De binnenstraai van de cilinder is Rl' de buiten

-straaI van de cilinder is R2' de polarisatievector is

P,

gericht naar rechts.

a. Bereken Er als funktie van r en <p voor

Rl ~r ~ _R2·

b. Bereken Er als funktie van r en <p voor r ;;;. R_{2 .} c. Wat is Uw controle op de antwoorden van a) en b)?

49. Een massieve bol (straal R) van een lineair, isotroop diëlektricum, waarvan de relatieve permittiviteit Er bedraagt bevindt zich in lucht op een afstand a van een

puntlading Q. Daar a

»

R kan men het van Q afkomstige veld ter plaatse van de bol als uniform beschouwen.

a. Bewijs dat de bol een dipoolmoment ten bedrage van Er - I

Q~

3 heeft,

uitgaan-.. Er

+

2 a

de van de formule

Ep

= -

3:

voor de polarisatieveldsterkte in een uniform

gepo-o

lariseerde bol.

b. Hoe groot is de kracht die de bol op de puntlading uitoefent?

50. Het gemeenschappelijke grensvlak van twee lineaire en isotrope media I en 11 is een plat vlak. Op het grensvlak bevindt zich overal even dichte oppervlaktelading In het diëlektricum I is een uniform elektrisch veld, waarvan de sterkte EI is. De veldlijnen zijn naar het grensvlak gericht en maken een hoek van 30° met de nor-maal op dit vlak. In het diëlektricum 11 maken de veldlijnen een hoek van 60° met de normaal op het grensvlak.

In I is Er = 3; in 11 is Er = I 2.

a. Bereken de dichtheid van de vrije lading op het grensvlak van de media.

b. Bereken de grootte en de richting van de polarisatie in elk van de media. c. Bereken de totale oppervlakteladingsdichtheid van de polarisatieladingen in het grensvlak.

51.

A

'

A Er=5 G

B'

2~ x 10:'..3 B

Een cirkelvormige glazen plaat G, waarvan de straal 30 cm en de dikte 2 mm is, is aan beide zijden met een zeer dunne laag metaal bedekt.

Aan weerszijden van G zijn twee cirkelvormige melalen platen A en B waarvan de stralen eveneens 30 cm zijn geplaatst, op afstanden van 1 mm van G.

Plaat A is geaard, terwijl de beide zijden van G en plaat B achtereenvolgens met spanningsbronnen van 100 V, 150 V en 250 V verbonden zijn. De relatieve permit-tiviteit van het glas is 5.

a. Bereken de totale elektrische veldenergie van het stelsel.

b. Hoe groot zijn de ladingen op A, op de beide zijden van G en op B?

De verbindingen met de spanningsbronnen worden verbroken en daarna wordt G tussen A en B weggetrokken zonder A of B aan te raken.

c. Hoeveel arbeid moet voor het verwijderen van G verricht worden?

52. _A

x P

--B A en B stellen twee even grote, dunne me-talen platen voor, elk met een oppervlakte S en een kleine afstand d tegenover elkaar geplaatst.

De ruimte ertussen is vacuüm. Plaat A is geaard en plaat B heeft aanvankelijk een potentiaal van V volt t.O.V. aarde. Rand-effecten mogen worden verwaarloosd. a. Schets in een grafiek het verloop van de potentiaal van een punt P tussen de platen gelegen, als funktie van x (afstand van P tot A).

b. Men brengt vervolgens in het midden tussen A en B een even grote ongeladen metalen plaat ter dikte dx aan. Tengevolge daarvan blijkt de potentiaal van B met

d

A

cl

x

B

~ V te veranderen. Teken nu in dezelfde grafiek het potentiaalverlo.op en bepaal de dikte dx van deze plaat.

c. Bepaal de capaciteit van de aldus ver -kregen condensator.

d. Bereken de arbeid, die men moet richten om de metalen plaat weer te ver-wijderen.

e. Indien men nu in plaats van de ongela-den metalen plaat een ongelaongela-den plaat van isolerend materiaal van dezelfde dikte en

met relatieve permittiviteit €r in het midden tussen A en B had aangebracht, over welke afstand moet men daarna de plaat B in de x-richting verplaatsen om eenzelfde capaciteit te verkrijgen als in onderdeel a), d.w.z. de condensator in de beginsitua-tie. Moet men B in de richting van de positieve of van de negatieve x-as verplaatsen? f. Bepaal grootte en richting van de polarisatievector in het isolerende medium, na de onder e) bedoelde handeling.

BEELD LADINGEN

53. +Q

...

---A

r 54. 2.

In een punt A op afstand r van een ge-aarde metalen plaat bevindt zich een po-sitieve puntlading Q.

a. Hoe groot is de oppervlakteladingsdicht-heid a op een afstand x vanaf P?

b. Bereken de totale oppervlaktelading binnen een straal x = a.

I1 c. Bereken de totale geihfluenceerde lading.

Men heeft een neutrale, geïsoleerd opge-stelde, holle metalen bol met straal R en middelpunt M.

Een lading q op afstand a van M gebracht (zie fig. I) ondervindt een aantrekkende kracht.

a. Hoe groot is deze?

b. Hoe groot zou de kracht op q zijn, in-dien de lading binnen de bol op afstand b van M geplaatst was (zie fig. 2)? Aanwijzing: Zoek de beeldlading q' van q buiten de bol die samen met de binnen de bol geplaatste lading q ter plaatse van de bol een equipotentiaalvlak geeft.

ss.

Een hoogspanningskabel van I cm diameter bevindt zich op een constante po-tentiaal van + 50.000 V t.o.v. de aarde en op een constante hoogte van 50 m bo-ven de aarde. Beschouw de aarde als een geleidend plat vlak en onderstel bij de berekeningen dat de lading op de kabel gelijkmatig over het oppervlak verdeeld is. Bereken:

a. de lading per meter van de kabel;

c. de kracht, die op de kabel per meter wordt uitgeoefend. 56. z IQ I al I I I -x

Twee zeer grote, vlakke ge-aarde metalen platen staan loodrecht op elkaar, en vallen samen met respectievelijk het x,y-vlak en het x,z-vlak van een rechthoekig coördinaten-stelsel.

In het punt (O,a,a) plaatst men een puntlading Q.

Bereken de dichtheid a p van

de influentielading in het punt P (O,a,O).

Aanwijzing: Maak gebruik van beeldladingen en let daarbij op de symmetrie.

57. _+Q - { [ ) M +Q • •

A

R

...

-!Q

~R

Een geladen metalen bol met lading +Q heeft een

straal R. Op afstand R van het boloppervlak plaatst

men een puntlading + Q. Er treedt dus influen-tie op.

a. Laat zien dat aan de eis dat de bol een equi-potentiaal oppervlak moet zijn, voldaan is in-dien men de lading Q van de bol vervangen denkt door puntladingen - 1Q in P en +~Q in punt M. Hoe groot is dan deze po-tentiaal t.O.V. 00 als nulniveau?

b. Bereken de kracht, waarmee de puntlading + Q en de bol elkaar afstoten.

c. Bereken de ladingsdichtheid a A in punt A van het boloppervlak.

Vervolgens brengt men een geleidende verbinding aan tussen de bol en de aarde (stel: de potentiaal van de aarde = de potentiaal in een punt met r = 00). Vervol-gens verbreekt men deze verbinding weer, waarna men de puntlading

+

Q verplaatst naar een punt op zeer grote afstand van de bol.

d. Wat is na elk van deze drie stappen de lading en de potentiaal van de bol?

58. Van een bolletje, gemaakt van isolerend materiaal, wordt het oppervlak elektro-statisch geladen. We nemen aan dat de positieve oppervlakteladingsdichtheid over het oppervlak homogeen is verdeeld.

De totale lading op het bolletje is 2 x 10-9 _{coulomb (Stel - 4 I = 9 x 10}9 _Nm2 _C-2_).

1TEO

De straal van het bolletje is veel kleiner dan I cm.

a. Het bolletje wordt (in lucht) op 2 cm afstand van een grote geaarde metalen plaat gebracht. Bereken de grootte en richting van de kracht, die op het bolletje werkt.

Het bolletje wordt weggenomen en vervangen door een tweede grote vlakke plaat,

die op een afstand van I cm van de eerste plaat evenwijdig wordt opgesteld. Deze tweede plaat heeft een potentiaal van - 100 V t.O.V. aarde. Achtereenvolgens wordt nu de aardleiding van de eerste plaat onderbroken en daarna de tweede plaat ver-wijderd.

Opnieuw wordt nu het geladen bolletje op 2 cm afstand van de plaat geplaatst. c. Tot verwondering van de experimentator wordt het positief geladen bolletje ge-laden bolletje aangetrokken door de nu positieve plaat. Verklaar dit verschijnsel kwalitatief.

d. Op welke afstand van de plaat moet het bolletje geplaatst worden, opdat het geen krachtwerking van de geladen plaat ondervindt?

59. Het middelpunt 0 van een geaarde metalen bol met straal R valt samen met de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel (zie figuur).

y

+q A

+q

B

- . x

In het punt A met de coördi-naten (- 2R,0,0) en ook in het punt B met de coördina-ten (0,- 2R,0) bevindt zich een lading

+

q.

Bereken de grootte van de elek-trische veldsterkte in het punt C met de coöräinaten

(!Rv'2,!R.y2,O); geef ook aan hoe de elektrische veldsterkte in C gericht is.

60. Er is gegeven: Po (cos 8)

=

I; PI (cos 8)

=

cos 8; P₂(cos 8)

=

~cos28 - !; Als 8 =

°

is P n(cos 8) = I, voor alle n; verder is V

z A

y

x

r

= I r2

?

In het xy-vlak van een carte-sisch coördinatenstelsel bevindt zich een dunnen ring met een daarover uniform verdeelde la-ding Q; de straal van de ring is a, zijn middelpunt valt sa-men met de oorsprong van het coördinatenstelsel.

a. Bereken de potentiaal in een punt (O,O,z) op de z-as door uit te gaan van de uit-drukking voor de potentiaal van een puntlading.

b. Geef drie termen van de reeksontwikkeling naar z voor de onder a berekende potentiaal als z

>

a.

c. Aan welke vergelijking moet de potentiaal in het gebied buiten de ring voldoen? d. Hoe gedraagt zich de potentiaalfunctie voor r + oo?

Op grond van axiale symmetrie van het probleem is de algemene oplossing van de '

00

onder c) bedoelde vergelijking: V(r,8) = ~ {Anrn + B r-(n+ I)}p (cos 8).

n=O n n

e. Geef de oplossing V(r,8) die voor r + 00 het onder d) bedoelde gedrag vertoont. De onder e) gevraagde oplossing moet voor 8 =

°

overgaan in de onder b) bedoelde reeks.

f. Wat volgt hieruit voor de eerste drie coëfficiënten in de onder e) gevraagde reeks?

g. Geef de eerste drie termen uit de reeksontwikkeling van de potentiaalfunctie V(r,8) in een willekeurig punt A buiten de geladen ring.

61. Een volledig of zeer sterk geioniseerd gas waarin de positieve en negatieve la-dingsdragers zo verdeeld zijn dat de ruimteladingsdichtheid p overal nul is (ladings-neutraliteit), noemt men plasma. Wanneer men in zo een plasma een zeer klein bolletje met lading + Q brengt, zal de ladingsneutraliteit verstoord worden: nega-tieve ladingsdragers bewegen naar het bolletje toe waar de potentiaal Ver) hoger is dan op grote afstand ervan waar de potentiaal V 0 is; de positieve ladingsdragers bewegen in tegengestelde richting.

Door de beweging van de ladingsdragers wordt de lading van het bolletje afgeschermd en stelt zich een nieuw evenwicht in waarbij volgens Boltzmann de concentratie n (d.i. het aantal per volume-eenheid) van de ladingsdragers gegeven wordt door: n = no exp {- k~} waarin no de concentratie is op grote afstand r van het mid-delpunt van het bolletje waar de potentiaal V 0 is, terwijl € voorstelt de potentiële energie van één ladingsdrager ter plaatse r t.o.V. zijn potentiële energie in het ge-bied waar de potentiaal V 0 is.

a. Geef de uitdrukkingen voor de concentraties n_ en n+ van respectievelijk de negatieve ladingsdragers (lading - e) en de positieve ladingsdragers (lading

+

e).

b. Geef een uitdrukking voor de ladingsdichtheid p(r,T) als functie van de afstand r tot )let middelpunt van het bolletje en de temperatuur T.

c. Op symmetrie-gronden mag men verwachten dat Ver) een bolsymmetrische func-tie zal zijn. Als voor dergelijke bolsymmetrische fucfunc-ties de Laplace-operator van de vorm

1/;

=

~

dd {r2 dd} is, aan welke differentiaalvergelijking moet dan Ver)

vol-r r r

doen?

d. Voor hoge temperaturen waarbij kT> eV, kan men door gebruik te maken van een benadering de onder c) bedoelde vergelijking lineariseren.

Hoe luidt de gelineariseerde vergelijking?

e. De oplossing van de onder d) bedoelde vergelijking is: Ver)

=

V +

~

exp{-.!:.}.

o 47T€or h

waarin h de zgn. Debye afschermlengte is. Druk h uit in €o' k, T, no en e.

62. In een vloeistof met relatieve permittiviteit €rl heerst een uniform elektrisch veld Êo· Men plaatst in de vloeistof een diëlektrische cilinder, zó dat zijn as lood-recht staat op Êo.

z

....r

_...

'-,

I Y I

...

_{... I}

...

... .J

,

...

- -

...

De straal van de cilinder is R en zijn relatieve permittiviteit is _Er2. Bereken de elektrische veldsterkte in de cilinder.

Voor de berekening mag worden aangenomen dat de cilinder en de vloeistof zich tot in het oneindige uitstrekken.

Verder is gegeven dat de algemene oplossing van de vergelijking van Laplace voor de gegeven configuratie van de volgende vorm is:

V(r,e) =

k

rn {Ancos(ne)

+

Bnsin(ne)}

+

k

r- n {Cncos(ne)

+

Gnsin(ne)}.

n=l n=l

63. In een oneindig uitgebreid, oorspronkelijk uniform, elektrisch veld (veldsterkte

Eo)

in vacuo plaatst men een ongeladen rechte cirkelcilinder (lengte ~; straal R

< <

~) van lineair isotroop homogeen diëlektrisch materiaal (relatieve permitti-viteit Er)' met zijn as loodrecht op

EO'

Om het veld buiten de cilinder te kunnen beschrijven, maken we gebruik van cilin-dercoördinaten, waarbij de z-as samenvalt met de cilinderas; de oorsprong ligt in het midden van de cilinder; de as, waar vanaf lP wordt bepaald, loopt in de richting van

Eo

(zie figuur).

Als men zich beperkt tot punten, waarvoor p

«

~ en Izl

«

~, zo-dat men de randeffecten mag ver-waarlozen, blijkt de potentiaal aldus van de plaats af te hangen:

V = A P cos lP voor P <; R; C

V = - Eo p cos lP

+

75

cos lP voor

p;;;'R.

a. Bewijs, dat deze potentiaal een oplossing is van de vergelijking van Laplace.

b. Druk A en C uit in Eo en R.

c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid abop het cilinderoppervlak als functie van tp.

Algemene aanwijzingen:

In cilindercoördinaten is 'ï/ x

Ä.

=

~

Hierin zijn

PI'

\PI'

zl

eenheidsvectoren in respectievelijk de p, tp en z-richting.

In cilindercoördinaten is

'ï/2f =

1

a (paf) +

-1.a.:J:

+ a2f

I

l

MAGNETISCH VELD VAN ELEKTRISCHE STROMEN I

64. Een oneindig lange stroomgeleider waardoor een stroom ter sterkte I gaat, is

twee maal rechthoekig gebogen, zodat een U-vormige draad met oneindig lange

benen ontstaat. De onderlingen afstand van de benen is 29.,. Hoe groot is de mag-netische fluxdichtheid in een punt, midden tussen de benen gelegen, op een af-stand s van de verbindingsdraad?

65. Door een in de vorm van een cirkel met straal R gebogen metalen draad gaat een stroom I. Op een afstand x van het middelpunt van de cirkel is een punt P; er geldt

~

= tan

a.

P

a. Bewijs dat in een punt P op de as B -P - Ilo 2R sm I · 3 a.

b. Op grote afstand x kan men schrijven Bp = Axm. Bepaal A en m.

c. Leid door toepassing van de stelling

{f

Bn d S = 0 uit b) af dat de magnetische flux dichtheid in Q op een afstand r van de

as voor x» R en r

«

x een component loodrecht op de as heeft ten bedrage

31lorlR2 Br = 4 ' 4x

29

66. 29.,

-

..

Door een spoel waarvan het aantal windingen n bedraagt,

de lengte 29., is en de dia me-2R, gaat een stroom ter sterk-te I.

a. Bereken de absolute waarde van de magnetische flux dicht-heid Bp in een punt P ergens op de as van de spoel gelegen.

b. Idem als P in het midden van de as van de spoel is gelegen.

c. Indien we aannemen dat de spoel zeer lang en slank is, wat is dan _Bp:

1) in het midden van de spoel; 2) op een van de uiteinden?

d. Als 9., = lOR, hoeveel procent is dan het verschil tussen de uitkomsten in b) en c) onderdeel I) voor de magnetische fluxdichtheid in P?

67. Een vlakke niet geleidende, cirkelvormige schijf die aan één zijde homogeen met lading bedekt is, wentelt eenparig om een as loodrecht op het vlak van de schijf,

door het middelpunt M. De oppervlakteladingsdichtheid is a; de straal van de schijf is R, de hoeksnelheid is w.

a. Bereken de magnetische fluxdichtheid in het middelpunt van de schijf. b. Bereken de magnetische fluxdichtheid in een punt van de omwentelingsas op een afstand x van het middelpunt.

68. Twee rechte draden kruisen elkaar loodrecht. De ene draad is zeer lang, de lengte van de andere draad is 29.,.

De lange draad ligt in het middenloodvlak van de korte draad; de afstand van de draden is a. Door elke draad gaat een stroom ter sterkte I.

Bereken het moment van het koppel dat de lange draad op de korte uitoefent. 69. In een uniform magnetisch veld bevindt zich een dun spoeltje, bestaande uit N vlakke rechthoekige draadwindingen met breedte b, lengte a, bestaande uit me-talen draden, waardoor een stroom ter sterkte I gaat.

De magnetische fluxdichtheid is

B.

_{Welke kracht en welk krachtmoment wordt op}

de stroomkring uitgeoefend: a. Als

B

II

het draadraam is;

b. Als

B

1 _{het draadraam is, rechts toegevoegd aan de omlooprichting van de stroom} ;

c. Als

B

een hoek <p _{met het "vlak" van het spoeltje maakt.}

70. Een draaispoelinstrument bevat een spoeltje dat aan een torsiedraad opgehan-gen is in een veld ter sterkte 0,4 tesla.

Dit dunne spoeltje heeft een vierkante doorsnede (zijde van het vierkant 2 cm) en bevat 250 windingen. Indien er een koppel met een moment van 10-3 _{Nm op}

werkt, draait het spoeltje over één radiaal. Hoeveel radialen draait het indien een stroom van 10 mA door de windingen gevoerd wordt?

71.

a

2b

Twee identieke cirkelvormige spoelen, ieder met N wikkelingen en een straal a worden met hun vlakken evenwijdig en loodrecht op de verbindingslijn op afstand 2b van elkaar geplaatst. Door elk der spoelen gaat een stroom I.

a. Bereken B in een punt P dat op afstand z van één der spoelen ligt op de as van de spoelen.

b. Bereken de afgeleide van B naar z voor z = b.

c. Bewijs dat de tweede afgeleide van B naar z in hetzelfde punt nul kan zijn, maar dat slechts indien 2b = a.

d. Wat is het voordeel van de keuze 2b = a boven 2b =1= a?

Opmerking: De opstelling met 2b = _{a wordt genoemd "De spoel van Helmholtz".}

72.

x

z -+ E ~

Bp

/ O - - - Y

In een beperkt deel van de ruimte heeft men een constant en uniform elektrisch veld

Ê

II

y-as en _{een constant en} uniform magn~tisch _veld

_B

_II

_{x-as (zie} figuur).

Een deeltje met lading q

>

0 passeert op het tijdstip t

=

0 de oorsprong met een snelheid V

o in de richting van de positieve x-as.

a. Toon aan dat voor t

>

0 geldt:

v

=

v . v

=

~sin

{qB}t· v

=

~(cos

{qB}t -

1)

x 0' y B m ' Z B m

b. Stel nu dat het deeltje zich rechtlijnig eenparig door het zojuist gegeven veld beweegt met een snelheid ter grootte v 0' maar anders gericht.

Bereken de componenten vx' v y en v z van deze snelheid.

c. Hoe groot moet v 0 minstens zijn opdat deze beweging mogelijk is?

73.

_z

In een ruimte is een constant

en uniform elektrisch veld in de x-richting:

Ë

= E.f, en een

constant en uniform magne-tisch veld in de z-richting met Y magnetische fluxdichheid

B

=

k.B.

a. Wat is de totale kracht

F,

die op een elektrisch geladen deeltje met lading q, dat zich met snelheid

v

= vJ +

Vyr

+ vzk door bovengenoemde ruimte beweegt, wordt

uit-geoefend?

Het deeltje met lading q heeft een massa m. Het wordt in de oorsprong 0 van het coördinatenstelsel neergezet en op het tijdstip t = 0 losgelaten.

b. Schrijf de drie bewegingsvergelijkingen (voor x, y en z richting) op.

c. Is direct in te zien dat het deeltje in het vlak z = 0 blijft?Licht Uw antwoord toe.

Uit de bewegingsvergelijking voor bewegingen in x- en y-richting is v_y te elimineren

(differentieer daartoe de bewegingsvergelijkingen voor de x-richting naar de tijd). d. Wat is de oplossing van de verkregen differentiaalvergelijking? Stel V_{x als}

func-tie van de tijd op.

e. Bereken ook v y als functie van de tijd t.

f. Laat zien dat de beweging van het deeltje te beschouwen is als de superpositie

van een eenparige cirkelbeweging en een beweging met constante snelheid - E/B in de y-richting (zoals een punt aan de omtrek van een wiel, dat in het x,y-vlak met een constante snelheid in de richting van de negatieve y-as rolt; zie figuur). g. Welke is de hoeksnelheid w van de eenparige cirkel beweging?

h. Bereken de straal.

74. Een bundel snelle elektronen in vacuüm wordt gemaakt door tegenover een gloeidraad (aardpotentiaal) een anode met potentiaal V 0 te plaatsen. Door een kleine opening in deze anode treedt een bundel uit, die op een bepaalde plaats P een ronde doorsnede met oppervlak S bezit. De elektronenstroom is homogeen over de doorsnede verdeeld en bedraagt in het totaal I mA.

a. Hoe groot zijn de stroomdichtheid J en de ruimteladingsdichtheid p in P? Behalve de stroomsterkte, zijn de verdere gegevens in S.L-eenheden uitgedrukt. b. Hoeveel radialen verandert de bundelrichting wanneer hij een uniform, lood-recht op de as gericht magneetveld doorloopt dat begrensd is door twee vlakken op afstand b (zie figuur)?

, p

I

- ' - 1 - ' -

' - ' - ' - '

-=-

I

~I-v---o

...

_b

..

c. De bundel elektronen kan worden voorgesteld als een cilindrische ruimte met

straal Rl' gevuld met een homogene ruimtelading p.

Stel dat zich hieromheen een concentrische metalen cilinder met straal R₂ bevindt. Bereken het potentiaalverschil dat t.g.v. de ruimtelading ontstaat tussen de as en de metalen cilinder.

75. Twee positief geladen deeltjes, beide met massa m em lading Q gaan tegelijk op t = 0 met een snelheid v door een punt P van een uniform magnetisch veld met fluxdichtheid B. De richtingen van de beide snelheden en de richting van B liggen op t

=

0 in een plat vlak. Beide snelheden maken een hoek a met Baan weerszijde van B.

a. Op welke tijdstippen ontmoeten de deeltjes elkaar weer?

b. Bepaal de plaatsen waar de ontmoetingen gebeuren.

c. Bereken de maximale afstand die tussen de deeltjes ontstaat als we de elektro-statische wisselwerking verwaarlozen.

76.

z

fotografische plaat

- - y

L

x

Door een nauwe opening komen twee soorten positieve ionen binnen met lading q en massa's ml' resp. m₂, waarbij m_l

>

m₂.

Ter plaatse van de opening hebben deze ionen snelheden waarvoor geldt

v_x = V_z = _{0 terwijl vy praktisch kontinu varieert tussen nul en een zeer grote}

waar-de (voor het coördinatenstelsel: zie figuur).

In de ruimte tussen vlak opening en fotografische plaat, dus in het gebied ter leng-te Q, (zie figuur) heerst een uniform elektromagnetisch veld, gegeven door:

B

=

Bk en

E

=

Ek

(dus evenwijdig aan de z-as).

De ionen worden naar hun massa gescheiden. Op de ontwikkelde fotografische plaat tekenen zich zwarte sporen af.

a. In welke richting worden de ionen afgebogen, direct na passeren van de ope-ning?

b. Stel de bewegingsvergelijkingen van een ion met massa m op en los deze op als functie van de tijd.

c. Wat is de minimale snelheid die de ionen ter plaatse van het gat moeten hebben om de plaat te treffen?

d. Laat zien dat bij waarden van v

Yn waarvoor geldt v

Y _n » 9..qB (n =

mn

1 of 2) (1)

de tijd die de ionen nodig hebben om de weg van de opening naar de plaat af te leggen, omgekeerd evenredig met v Y nis.

e. Wat is voor de zwarte sporen het verband tussen x en z voor het geval dat de voorwaarde (1) geldt. Schets het verloop van de sporen.

77.

z

~---'---

y

x

Men heeft een deeltje met een lading van 4 x 10-9 coulomb. Wanneer dit zich met een snelheid vI = 3 x 104

mIs,

welke een hoek van 45° maakt met de richting van de positieve Y- en Z-assen in het YZ-vlak beweegt, oefent een uni-form magnetisch veld met flux dicht-heid

B

en kracht Flop het deeltje uit.

F

1 is gericht langs de negatieve x-as. Als het deeltje zich met snelheid

v

2 = 2 x 10

4

r

_mIs

beweegt langs de positieve x-as werkt er een kracht

F

₂ op ter grootte van 4 x 10- 5 N in de richting van de positieve y-as.

a. Bereken de grootte en richting van de magnetische fluxdichtheid

B.

b. Bereken de grootte van de kracht

F

I'

78. Gegeven zijn een uniform magnetisch veld met

H

=

-

Hk en een uniform elek-trisch veld met

Ë

= -

Ek.

Op t = 0 passeert een deeltje met positieve lading q en

x

-+ v

o

Z ~~---Y

o

massa m de oorsprong met snelheid

vO

o

v

0 maakt met de positieve z-as een hoek <p en voldoet aan:

v

o

=

V_{o sin} <p

.r

+ V_{o cos} <p

.

k

(zie fi-guur).

a. Toon aan dat voor t ;;.: 0 geldt: vx = V

o sin <p cos

(IJ.L~H

t); v_y = _{vo sin} <p sin

(q~H

t).

b. Toon aan, dat de projectie van de baan op het x,y-vlak een cirkel is met straal mvosin <p

R

=

- -=--

-::=-qJ.LoH .

c. Door een geschikte keuze van vo (bij gegeven <p) bereikt men dat het deeltje in de oorsprong terugkeert. Bereken de waarde van v 0 waarvoor dit het geval is.