WYKŁAD 12 Algebra

WYKŁAD 12

W geometrii analitycznej przestrzeni prosta (podobnie

jak płaszczyzna) jest definiowana jako zbiór punktów

o pewnej własności i opisywana stosownym równaniem.

Dane są punkt P(x₀, y₀, z₀) oraz wektor

Równanie prostej przechodzącej przez punkt

P

, równoległej do wektora

v

ma postać

R t

tv z=z

tv y=y

tv x=x

l

z y x

 



 









0 0 0

:

,

Jest to

parametryczna postać równania prostej.

Wektor

v

nazywamy wektorem kierunkowym prostej

l.

] [ v

_x

, v

_y

, v

_z

 v 

0 y

z

P(x₀, y₀, z₀)

] , ,

[v_x v_y v_z

 v

Niech

v - wektor kierunkowy prostej ,

r

₀

- wektor wodzący ustalonego punktu prostej ,

Wówczas wektor wodzący r dowolnego punktu prostej ma przedstawienie

r = r

₀

+ t v , tR

Jest to postać wektorowa równania prostej.

r

₀

r

t v

Jeśli

v

_x ^{ 0,}

v

_y ^{ 0,}

v

_z  0, to przekształcając układ równań dostajemy

R t

v t z t z

v y t y

v x x

z y

x



 

 

 

, ,

,

^{0 0}

0

, Stąd

,

:

^{0 0 0}

z y

x

v

z z v

y y

v x

l x 

 

 

Jest to

kierunkowa postać równania prostej.

Interpretacja:

Dowolny wektor o początku w punkcie

P

0 i końcu

P(x, y, z)

należącym na prostej

l

(tzn

. [x-x

₀

, y-y

₀

, z-z

₀

])

jest równoległy do wektora v. ^{0 y}

z

P(x₀, y₀, z₀)

] , ,

[v_x v_y v_z

 v

P(x, y, z)

Uwaga

Aby nie ograniczać ogólności zapisu przyjęto, że w mianowniku mogą symbolicznie wystąpić

„0”

^.

Przykład

0 , 3 1

0 2

: x  1  y   z  l

Oznacza to, że

z

 3, zaś liczby w mianownikach reprezentują odpowiednie współrzędne wektora kierunkowego prostej. Leży on w płaszczyźnie

xOy

.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P(x₀, y₀, z₀) i Q(x₁, y₁, z₁).

Ponieważ wektor PQ ||l_, dostajemy równanie prostej w postaci kierunkowej:

, :

0 1

0 0

1

0 0

1

0

z z

z z

y y

y y

x x

x l x



 



 





lub w postaci parametrycznej:

R t

z z

t z=z

y y

t y=y

x x

t x=x

l 

 

 















, ) (

) (

) (

:

0 1

0

0 1

0

0 1

0

Przykład

Wyznaczyć równanie prostej

l

przechodzącej przez dwa punkty:

P(1,2,3), Q(2,4,−1).

Wektor równoległy do prostej

l:

^PQ

= [1,2,−4] ,

stąd postać kierunkowa

prostej l:

4 -

3 - 2

2 - 1

1

: x - y z

l  

lub postać parametryczna:

R t

t - z=

t + y=

+t x=

l 

 

 



, 4 3

2 2 1 :

Dwie płaszczyzny 1 : A1x +B1y +C1z +D1 = 0 i 2: A2x +B2y +C2z +D2= 0

mogą mieć punkty wspólne, lub być zbiorami rozłącznymi.

Punkty wspólne tych płaszczyzn będą rozwiązaniami następującego układu równań liniowych z trzema niewiadomymi:





















. D

z C y

B x A

, D

z C y B x

A

0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelli’ego układ będzie miał rozwiązanie, gdy rzędy macierzy



 



 

2 2

2

1 1

1

C B

A

C B

A A

oraz 



 







 

2 2

2 2

1 1

1

| 1

D C

B A

D C

B D A

A będą sobie równe.

Jeżeli rz(A) = rz(A|D) = 1, to wektory n1

=[A1, B1, C1] i n2

=[A2, B2, C2] są równoległe, czyli istnieje R, takie że n1

=^n2, a ponieważ rz(A|D) = 1, więc także D1=D2, a więc płaszczyzny ₁ i ₂ pokrywają się.

Jeżeli rz(A) = rz(A|D) = 2, to rozwiązania tego układu są zależne od jednego parametru i przedstawiają równania parametryczne prostej l = 12 będącej wspólną krawędzią tych płaszczyzn.

Otrzymujemy w ten sposób równania krawędziowe prostej l:





















. D

z C y B x A

, D

z C y B x l A

0 : 0

2 2

2 2

1 1

1 1

Uwaga

Wektor kierunkowy prostej przedstawionej równaniem w postaci krawędziowej jest iloczynem wektorowym wektorów normalnych płaszczyzn wyznaczających tę prostą.

] , , [

n₁  A₁ B₁ C₁

] , , [

n₂  A₂ B₂ C₂ ] , , [ ] , , [ n

n₁₂  A₁ B₁ C₁  A₂ B₂ C₂

Krawędź l wyznacza tzw. pęk płaszczyzn (czyli zbiór wszystkich płaszczyzn zawierających prostą l), który jest kombinacją liniową równań płaszczyzn wyznaczających prostą l.

Równanie pęku płaszczyzn ma więc następującą postać:

(A₁

x +B

₁

y +C

₁

z +D

₁

) +( A

₂

x +B

₂

y +C

₂

z +D

₂

)=0, 

²

+

²  0, , R.

Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(1, 2, −1) i zawierającej prostą

 



0 4

3 2

: 0

= z -

x -y +

= x + y - z

l .

Szukana płaszczyzna należy do pęku:

(x+y−z) + (2x−y+3z−4) = 0 .

Ponieważ punkt P należy do szukanej płaszczyzny,

więc (1 + 2 + 1) + (2 − 2 − 3 − 4) = 0 , stąd 4 = 7 .

Przyjmując  = 7,  = 4 otrzymamy równanie szukanej

płaszczyzny:

Wyznaczyć punkt Q symetryczny do punktu

P

(1, −2, 7) względem prostej







-t z=

+t y=

t x=

l

2 1 2 :

.

Wektor

v

=[

2, 1, −1

] równoległy do prostej

l

jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny prostopadłej do prostej

l

. Wyznaczymy równanie takiej

płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt

P

:

: 2(

x

⁻¹⁾⁺¹⁽

y

⁺²⁾⁻¹⁽

z

−7)= 0  2

x

⁺

y

⁻

z

^{+ 7=0.}

Punkt wspólny

S

danej prostej i znalezionej płaszczyzny wyznaczymy wstawiając do równania płaszczyzny współrzędne prostej:

2(2

t

) + (1+

t

) − (2−

t

) + 7= 0, stąd

t

= −1 i mamy punkt

S

(-2,0,3).

Punkt

S

jest środkiem odcinka

PQ

i jeśli punkt

Q

ma współrzędne (

a,b,c

), to:

, 2 3

7 , +

2 0 2 , -

2 2 1

+   b  c 

a

, stąd

Q

(−5, 2, −1).

P

S Q

l

Przykład (c. d.)

Rozważmy dwie proste

l

₁ i

l

₂ o równaniach:

z y

x z

y

x

u

z-z u

y-y u

l x-x v

z-z v

y-y v

l

₁

: x-x

¹



¹



¹

,

₂

:

²



²



²

. Kąt między prostymi:

2 2

2 2

2

cos

2

z y

x z

y x

z z y

y x

x

u u

u v

v v

u v u

v u

v











 

 

u v

u v 



 





.

Warunek prostopadłości:

0

2

0

1

 l    v

_x

u

_x

 v

_y

u

_y

 v

_z

u

_z



l v u 

 

Warunek równoległości:

y z x

u v u

v u

l v

l

₁

||

₂

 v   u   0   

Warunek przecinania się prostych nierównoległych:

2 1

,

gdzie ,

0 )

, , (

i

0 AB  A  l B  l



 u v u

v     

,

(proste muszą leżeć w jednej płaszczyźnie - wektory kierunkowe obu prostych i dowolny wektor łączący punkty leżące na tych prostych muszą być współpłaszczyznowe )

Jeżeli ( ,v,u)  0

AB , to proste nazywamy skośnymi .

Przykład

Sprawdzić, że proste

2

1 - z 2

2 + y 1

1 - : x

1

 

l

i

3

4 + z 1

- 5 - y 1

: x

2

 

l

się przecinają. Wyznaczyć cosinus kąta między nimi.

Punkt A(1,-2,1) l₁, zaś B(0, 5, -4) l₂ , stąd

AB

= [−1,7,−5];

Wektory kierunkowe prostych

v 

= [1,2,2] , ^u = [1,−1,3], stąd

0 ] 3 , 1 , 8

[  



 u v  

. Ponieważ (v u)

 

AB ₌

(−1)8+(7)(−1)+(−5)(−3) = 0

, więc proste przecinają się.

11 3

5 9

1 1 4 4 1

6 2

cos 1 











 



stąd

3 11

arccos 5

 

.

Odległość punktu

P(x

₀

,y

₀

,z

₀

)

od prostej obliczamy ze wzoru^:

l A AP

l P

d  

 , gdzie punkt

) ,

( v

v





,

Uzasadnienie

Pole równoległoboku

ABCP

jest równe

 AP v 

Jest też równe

) , (

|

| v   d P l

z z y

y x

x

v a z

v a y

v a

x   

 

d P

P’ B

C



Przykład

Wyznaczyć odległość punktu

P(1, 2,−1)

od prostej

1 3 0

1 2

: x  1  y   z 

l

.

Punkt

A(1, −1, 3)l,

AP



[ 0 , 3 ,



4 ]

_,

v   [ 2 , 0 , 1 ]

, a stąd

6]

8, [-3, 4

- 3 0

1 0 2

k j i













 AP

v

Ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy:

5 109 1

0 4

36 64

) 9 ,

( 







 

l

P

d

Odległość dwóch prostych skośnych^:

2 1

2

1

, gdzie ,

) ,

( ) ,

( A l B l

AB l

l

d  

 

u v

u , v









Uzasadnienie

- objętość równoległościanu

) , ( l

₁

l

₂

 d

 u v  

- objętość równoległościanu

) ,

( v  , u  AB

B

A v

u

l₁ l₂

d

Zadanie

Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt

P(1, 2, 0),

równoległej do płaszczyzny

: x + 2y − z + 4 = 0

oraz przecinającej prostą

1 3 1

1

: 2    z  -

y

l x