Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6. RÓWNANIA PŁASZCZYZN

1

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

RÓWNANIA PŁASZCZYZN Fakt (równanie normalne płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny



przechodzącej przez punkt P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) o wektorze wodzącym

0 [ ,0 0, 0]

r  x y z i prostopadłej do wektora n [ , , ]A B C 0 ma postać : (r r0) n 0,



 

gdzie r [ , , ]x y z jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor n[ , , ]A B C 0 nazywamy wektorem normalnym do płaszczyzny.

W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny



przyjmuje postać:

0 0 0

: (A x x ) B y( y ) C z( z ) 0.



     

Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny.

Fakt (równanie ogólne płaszczyzny) Każde równanie postaci

:Ax By Cz D 0,

    

gdzie A  B  C 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny [ , , ]

n A B C i przecina oś OZ w punkcie D

z C , o ile C 0.

Przykład

Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB , gdzie (3, 2, 1), (5,0,7)

A  B i prostopadłej do tego odcinka.

2 Fakt (równanie parametryczne płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny



przechodzącej przez punkt P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) o wektorze wodzącym

0 [ ,0 0, 0]

r  x y z i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach u [ , , ] i a b c_{1 1 1} v [a b c₂, ₂, ₂] ^ma postać

:r r0 su tv,



   gdzie s t,  lub inaczej

0 0 0 1 1 1 2 2 2

:[ , , ] [ ,x y z x y z, ] s a b c[ , , ] t a b c[ , , ],



   gdzie s t, 

lub

0 1 2

0 1 2

0 1 2

:

x x s a t a y y s b t b z z s c t c



  

   

   



, gdzie s t,  .

Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny.

Przykład

Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i równoległej do wektorów u[1, 2,3], v[0, 1, 2].

Fakt (równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty)

Równanie płaszczyzny



przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty

1 ( ,1 1, ),1 2 ( ,2 2, 2), 3 ( ,3 3, 3)

P  x y z P  x y z P  x y z ma postać

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

: 1 0

1 1

x y z

x y z

x y z

x y z



 .

Fakt (równanie odcinkowe płaszczyzny)

Równanie płaszczyzny



odcinającej na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty a b c, , 0 ma postać

: x y z 1

a b c



  

3

Powyższą zależność nazywany równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Przykład

Znaleźć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P ( 1, 2,3) i odcina na osiach układu odcinki jednakowej

RÓWNANIA PROSTYCH Fakt (równanie parametryczne prostej)

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) o wektorze wodzącym

0 [ ,0 0, 0]

r  x y z i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v [ , , ]a b c ma postać

: 0 ,

l r  r tv gdzie l r:  r₀ tv, lub po rozpisaniu

0 0 0

:[ , , ] [ , , ] [ , , ],

l x y z  x y z t a b c ^gdzie t lub

0 0 0

:

x x t a y y t b z z t c



 

  

  



, gdzie t .

4 Fakt (równanie kierunkowe prostej)

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v [ , , ]a b c ma postać

0 0 0

: x x y y z z .

l a b c

    

Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym.

Przykład

Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P ( 1,0,3) i równoległej do wektora v [2, 1,5]

Definicja (równanie krawędziowe prostej)

Prosta l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn

1:A x1 B y1 C z1 D1 0



    oraz



₂:A x₂ B y₂ C z₂ D₂ 0, będziemy zapisywać w postaci

1 1 1 1

2 2 2 2

: 0 .

0 A x B y C z D l A x B y C z D

   

    



Ten sposób zapisu nazywamy jej równaniem krawędziowym.

5

Fakt (o wektorze kierunkowym prostej w postaci kierunkowej)

Wektor kierunkowy prostej ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

: 0

0 A x B y C z D l A x B y C z D

   

    

 ma postać

1 1 1 2 2 2

[ , , ] [ , , ].

v  A B C  A B C Przykład

Prostą 6 2 9 0

: 3 2 2 12 0

x y z

l x y z

   

    

 zapisać w postaci parametrycznej Definicja (rzutu punktu na płaszczyznę i na prostą)

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę



nazywamy punkt P tej płaszczyzny ' spełniający warunek

' .

P P 

Podobnie rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt P tej prostej spełniający ' warunek

' . P P l

6 Rzut ukośny punktu.

Fakt (odległość punktu od płaszczyzny)

Odległość punktu P₀ ( ,x y z_{0 0}, ₀) od płaszczyzny  :AxByCzD0 wyraża się wzorem

0 0 0

0 2 2 2

( , ) Ax By Cz D .

d P

A B C



 ^{  }

 

Fakt (odległość płaszczyzn równoległych)

Odległość między płaszczyznami równoległymi



₁ ⁱ



₂ o równaniach



₁:AxByCzD₁0,

2:Ax By Cz D2 0



    wyraża się wzorem

1 2

1 2 2 2 2

( , ) D D .

d

A B C

 

 ^

  Przykład

Obliczyć odległość:

a) Punktu P(5, 1,6) od płaszczyzny  :3x4y12z120;

b) płaszczyzn równoległych



₁:x y 2z 5 0,



₂: 2 x2y4z 8 0.

Fakt (wzór do obliczania kąta nachylenia prostej do płaszczyzny)

Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny



o wektorze normalnym n wyraża się wzorem

7

( , ) arcsin n v .

l



 n v

Przykład

Obliczyć kąt nachylenia prostej 1 2

: 2 1 2

x y z

l    

 do płaszczyzny :2x  y z 0.: Fakt (wzór do obliczania kąta między prostymi)

Kąt między prostymi l l₁, ₂ o wektorach kierunkowych v₁ i v₂ odpowiednio wyraża się wzorem

1 2

1 2

1 2

( , ) arccos v v .

l l  v v

Przykład

Obliczyć kąt między prostymi _{1 2}

2 1 3

: 1 , , : 2 .

3

x t x s

l y t t l y s

z t z

  

 

      

 

    

 

Fakt (wzór do obliczania kąta między płaszczyznami)

Kąt między płaszczyznami



₁ i



₂ o wektorach normalnych odpowiednio n₁ i n₂ wyraża się wzorem

8

1 2

1 2

1 2

( , ) arccos n n .

 

 n n

Przykład

Obliczyć kąt między płaszczyznami



₁:x 2y  z 1 0,



₂:x 2y  z 3 0.