Ruch w obracaj ˛acym si˛e potencjale harmonicznym
pełne rozwi ˛azanie
Tomasz Sowi´nski
Seminarium CFT – p.1/16
Troch˛e mechaniki klasycznej...
hamiltonian ( m = 1 )
H(t) = p 2
2 + 1
2 r ˆ V (t)r ⇒ H = p 2
2 + r ˆ Ωp + 1
2 r ˆ V r
V ˆ =
V x 0 0 0 V y 0 0 0 V z
Ω = ˆ
0 − Ω z Ω y Ω z 0 − Ω x
− Ω y Ω x 0
równania ruchu
( ˙r = p − ˆ Ωr
˙p = − ˆ V r − ˆ Ωp
Rozwi ˛azania poprzez mody
Równania ruchu w całej okazało´sci:
d dt
r x r y r z p x p y p z
=
0 − Ω z Ω y 1 0 0
Ω z 0 − Ω x 0 1 0
− Ω y Ω x 0 0 0 1
− V x 0 0 0 − Ω z Ω y 0 − V y 0 Ω z 0 − Ω x
0 0 − V z − Ω y Ω x 0
r x r y r z p x p y p z
Szukamy rozwi ˛ aza´n w postaci:
R(t) = ~ ~ R 0 e iωt gdzie R = ~
r p
, ω - cz˛esto´s´c własna danego modu.
Seminarium CFT – p.3/16
Cz˛esto´sci własne, a stabilno´s´c układu
Równanie na cz˛esto´sci własne ( Ω = Ω~n ~ ) ω 6 + aω 4 + bω 2 + c = 0
χ 3 + aχ 2 + bχ + c = 0 (ω 2 = χ) a = −2Ω 2 − Tr( ˆ V )
b = Ω 4 + Ω 2 h
3~n ˆ V ~ n − Tr( ˆ V ) i
+ Tr( ˆ V ) 2 − Tr( ˆ V 2 ) 2
c = −Ω 4 ~ n ˆ V ~ n + Ω 2 h
Tr( ˆ V )~n ˆ V ~ n − ~n ˆ V 2 ~ n i
− Det( ˆ V )
Dla ustalonego ˆ V i ~n równanie na cz˛esto´sci własne zadaje nam
krzyw ˛ a f(χ, Ω) = χ 3 + a(Ω)χ 2 + b(Ω)χ + c(Ω) = 0.
Przypadek dwuwymiarowy
V x = 1 , V y = 3 , V z = 2 Ω = (0, 0, Ω) ~
0 1 2 3 4
Ω
1 2 3 4 5 6
χ 0
1 2 3 4
Ω
1 2 3 4 5 6
χ
Seminarium CFT – p.5/16
Przypadek dwuwymiarowy
V x = 1 , V y = 3 , V z = 2 Ω = (0, 0, Ω) ~
0 1 2 3 4
Ω
1 2 3 4 5 6
Przypadek dwuwymiarowy
V x = 3 , V y = 1 Potencjał nieobracaj ˛acy si˛e
Seminarium CFT – p.6/16
Przypadek dwuwymiarowy
V x = 3 , V y = 1 Powolny obrót (Ω = 0. 2 ), pierwszy obszar stabilno ´sci
Przypadek dwuwymiarowy
V x = 3 , V y = 1 Obrót destrukcyjny (Ω = 1. 5 ), obszar niestabilno ´sci
Seminarium CFT – p.6/16
Przypadek dwuwymiarowy
V x = 3 , V y = 1 Szybki obrót (Ω = 2), drugi obszar stabilno´sci
Pułapka Paula (Nagroda Nobla 1989)
Seminarium CFT – p.7/16
Dowolne ustawienie osi obrotu
V x = 3 , V y = 2 , V z = 1 Ω = ~ √ Ω
3 (1, 1, 1)
1 2 3 4
Ω
Dowolne ustawienie osi obrotu
V x = 3 , V y = 2 , V z = 1 Ω = ~ √ Ω
3 (1, 1, 1)
0 1 2 3 4
Ω
1 2 3 4 5 6
χ
Seminarium CFT – p.8/16
Przypadek trójwymiarowy
V x = 3 , V y = 2 , V z = 1 Pierwszy obszar niestabilno´sci
Przypadek trójwymiarowy
V x = 3 , V y = 2 , V z = 1 Drugi obszar niestablino´sci
Seminarium CFT – p.9/16
Przypadek trójwymiarowy
V x = 3 , V y = 2 , V z = 1 Stabilizacja sił ˛ a Coriolisa
Dowolne ustawienie osi obrotu
WNIOSEK:
Obrót wokół osi obrotu niepokrywaj ˛ acej si˛e z ˙zadn ˛ a osi ˛ a główn ˛ a potencjału całkowicie zmienia własno ´sci ruchu i nie jest trywialnym uogólnieniem obrotu dwuwymiarowego
Seminarium CFT – p.10/16
Zagadanienie fukcji falowej
Załó˙zmy, ˙ze układ kwantowy jest opisywany funkcj ˛ a gaussowsk ˛ a
Ψ(r, t) = M e −
12r ˆ K (t)r
gdzie K ˆ jest dowoln ˛ a zespolon ˛ a macierz ˛ a symetryczn ˛ a z dodatniookre´slon ˛ a cz˛e´sci ˛ a rzeczywist ˛ a.
Z równania Schrödingera i∂ t Ψ = HΨ ( } = 1 ) wynika równanie na ewolucj˛e K ˆ
d
dt K ˆ = −i ˆ K 2 + i ˆ V − [ ˆ Ω, ˆ K ]
Dekompozycja
Szukamy macierzy K ˆ w postaci:
K ˆ (t) = −i ˆ N (t) ˆ D −1 (t) równanie na K ˆ w tych terminach
−i d dt N ˆ
D ˆ −1 + i ˆ N ˆ D −1 d dt D ˆ
D ˆ −1 =
= i ˆ N ˆ D −1 N ˆ ˆ D −1 + i ˆ V + i ˆ Ω ˆ N ˆ D −1 − i ˆ N ˆ D −1 Ω ˆ Wystarczy, ˙ze b˛edzie spełniony układ (EUREKA!)
( D ˙ˆ = ˆ N − ˆ Ω ˆ D
N ˙ˆ = − ˆ V ˆ D − ˆ Ω ˆ N
( ˙r = p − ˆ Ωr
˙p = − ˆ V r − ˆ Ωp
Seminarium CFT – p.12/16
Dekompozycja
Szukamy macierzy K ˆ w postaci:
K ˆ (t) = −i ˆ N (t) ˆ D −1 (t) równanie na K ˆ w tych terminach
−i d dt N ˆ
D ˆ −1 + i ˆ N ˆ D −1 d dt D ˆ
D ˆ −1 =
= i ˆ N ˆ D −1 N ˆ ˆ D −1 + i ˆ V + i ˆ Ω ˆ N ˆ D −1 − i ˆ N ˆ D −1 Ω ˆ Wystarczy, ˙ze b˛edzie spełniony układ (EUREKA!)
( D ˙ˆ = ˆ N − ˆ Ω ˆ D
N ˙ˆ = − ˆ V ˆ D − ˆ Ω ˆ N
( ˙r = p − ˆ Ωr
˙p = − ˆ V r − ˆ Ωp
Dekompozycja
Szukamy macierzy K ˆ w postaci:
K ˆ (t) = −i ˆ N (t) ˆ D −1 (t) równanie na K ˆ w tych terminach
−i d dt N ˆ
D ˆ −1 + i ˆ N ˆ D −1 d dt D ˆ
D ˆ −1 =
= i ˆ N ˆ D −1 N ˆ ˆ D −1 + i ˆ V + i ˆ Ω ˆ N ˆ D −1 − i ˆ N ˆ D −1 Ω ˆ Wystarczy, ˙ze b˛edzie spełniony układ (EUREKA!)
( D ˙ˆ = ˆ N − ˆ Ω ˆ D
N ˙ˆ = − ˆ V ˆ D − ˆ Ω ˆ N
( ˙r = p − ˆ Ωr
˙p = − ˆ V r − ˆ Ωp
Seminarium CFT – p.12/16
Stan stacjonarny
Aby K ˆ nie zale˙zało od czasu wystarczy, by:
( D ˆ = ˆ De i ωt ˆ N ˆ = ˆ N e i ωt ˆ
Wiemy dodatkowo, ˙ze macierze D ˆ i N ˆ spełniaj ˛ a klasyczne równania ruchu
Znamy takie rozwi ˛ azania klasycznie - MODY WŁASNE!!!
R(t) = ~
R x R y R
e iωt P(t) = ~
P x P y P
e iωt
Przepis na funkcje falow ˛a
Ustawi´c mody obok siebie
D =
R x R y R z
R x R y R z
R x R y R z
ω 1 ω 2 ω 3
N =
P x P y P z
P x P y P z
P x P y P z
ω 1 ω 2 ω 3
Podzieli´c macierze przez siebie K ˆ = N D −1
tak otrzymane K ˆ spełnia równanie Schrödingera
Seminarium CFT – p.14/16
Wybór znaku
Jest jeszcze dowolno´s´c wyboru znaku ±ω
Trzeba wybra´c znak tak, aby ostatecznie macierz K ˆ była dodatniookre´slona
W I obszarze stabilno´sci ⇒ + + + W II obszarze stabilno´sci ⇒ − + + W III obszarze stabilno´sci ⇒ + − +
Czy fizyka klasyczna mówi, który znak wybra´c??
H = ω 1 A 1 A ∗ 1 + ω 2 A 2 A ∗ 2 + ω 3 A 3 A ∗ 3
(I obszar stabilno´sci)
H = ω 1 A 1 A ∗ 1 −ω 2 A 2 A ∗ 2 + ω 3 A 3 A ∗ 3 (III obszar stabilno´sci)
Wybór znaku
Jest jeszcze dowolno´s´c wyboru znaku ±ω
Trzeba wybra´c znak tak, aby ostatecznie macierz K ˆ była dodatniookre´slona
W I obszarze stabilno´sci ⇒ + + + W II obszarze stabilno´sci ⇒ − + + W III obszarze stabilno´sci ⇒ + − +
Czy fizyka klasyczna mówi, który znak wybra´c??
H = ω 1 A 1 A ∗ 1 + ω 2 A 2 A ∗ 2 + ω 3 A 3 A ∗ 3 (I obszar stabilno´sci)
H = ω 1 A 1 A ∗ 1 −ω 2 A 2 A ∗ 2 + ω 3 A 3 A ∗ 3 (III obszar stabilno´sci)
{A m , A ∗ n } = −iδ mn
Seminarium CFT – p.15/16
